ठोस अवस्था भौतिकी I: क्रिस्टलिकी, विवर्तन, बंधन, जालक कंपन, मुक्त इलेक्ट्रॉन व बैंड सिद्धांत

GATE भौतिकी पेपर के खंड 9 हेतु दो अध्यायों में से पहला। खंड क्रिस्टलों की ज्यामिति से अतिचालकता तक चलता है, और दो अध्याय लेता है क्योंकि वह दो विषय है: यह स्वयं क्रिस्टल और उसमें रहने वाले इलेक्ट्रॉन व फ़ोनॉन है — क्रिस्टलिकी के तत्व, संरचना-निर्धारण हेतु विवर्तन विधियाँ, बंधन, जालक कंपन व तापीय गुण, मुक्त-इलेक्ट्रॉन सिद्धांत, तथा लगभग-मुक्त-इलेक्ट्रॉन मॉडल में बैंड सिद्धांत, धातुओं, कुचालकों व हॉल प्रभाव सहित। दूसरा अर्धचालक, संधियाँ, तथा परावैद्युत, चुंबकीय व अतिचालक गुण लेता है। अन्य पेपरों के इलेक्ट्रॉनिक युक्ति अध्याय सिलिकॉन के बैंड आरेख से आरंभ करते हैं; यह अध्याय बैंड व्युत्पन्न करता है।

1. क्रिस्टलिकी के तत्व

क्रिस्टल एक जालक (समान परिवेश वाले बिंदुओं का समुच्चय) तथा एक आधार (प्रत्येक बिंदु से जुड़े परमाणु) है। तीन विमाओं में 7 क्रिस्टल निकाय व 14 ब्रावे जालक हैं। तल मिलर सूचकांकों (hkl) से नामित होते हैं: जालक नियतांकों की इकाइयों में अंतःखंड लें, व्युत्क्रम करें, भिन्न हटाएँ। घनीय जालक में (hkl) तलों का अंतराल d = a/√(h² + k² + l²) है — bcc लोहे (a = 2.87 Å) हेतु d₁₁₀ = 2.03 Å।

घनीय जालक
जालकप्रति कोष्ठिका परमाणुसमन्वयसंकुलन भिन्न
सरल घनीय16π/6 = 0.52
अंतःकेंद्रित (bcc)28π√3/8 = 0.68
फलक-केंद्रित (fcc)412π/(3√2) = 0.74

व्युत्क्रम जालक उन सदिशों G का समुच्चय है जिनके लिए प्रत्येक जालक सदिश R हेतु eiG·R = 1; उसके आद्य सदिश b₁ = 2π(a₂ × a₃)/[a₁·(a₂ × a₃)] तथा चक्रीय क्रम में हैं। प्रत्येक G तलों के एक परिवार के अभिलंब है, |G| = 2π/d सहित। fcc का व्युत्क्रम bcc है और bcc का fcc। व्युत्क्रम जालक की विग्नर–साइट्ज़ कोष्ठिका प्रथम ब्रिलुआँ क्षेत्र है, क्रिस्टल में तरंग-सदिशों का प्राकृतिक स्थान।

2. संरचना-निर्धारण हेतु विवर्तन विधियाँ

अंतराल से तुलनीय तरंगदैर्घ्य की तरंगें — X-किरणें, इलेक्ट्रॉन, न्यूट्रॉन — तलों के किसी परिवार से रचनात्मक रूप से परावर्तित होती हैं जब 2d sin θ = nλ (ब्रैग), तुल्यतः जब प्रकीर्णन सदिश किसी व्युत्क्रम-जालक सदिश के बराबर हो, k′ − k = G (लाउए)। हल किया: ताँबे (fcc, a = 3.61 Å) के (111) तलों पर Cu Kα (1.54 Å): d = 3.61/√3 = 2.084 Å, sin θ = 1.54/4.168 = 0.3695, θ = 21.7°। X-किरणें इलेक्ट्रॉन घनत्व से प्रकीर्णित होती हैं; न्यूट्रॉन नाभिकों से (और चुंबकीय आघूर्णों से, जो प्रतिलौहचुंबकीय क्रम प्रकट करते हैं); इलेक्ट्रॉन प्रबल अन्योन्यक्रिया करते हैं और सतहों व पतली परतों हेतु उपयुक्त हैं।

किसी परावर्तन की तीव्रता |S_hkl|² है, जहाँ संरचना गुणक S = Σⱼ fⱼ e−2πi(hxⱼ + kyⱼ + lzⱼ) आधार पर जोड़ा जाता है। पारंपरिक bcc कोष्ठिका (000 व ½½½ पर परमाणु) हेतु S = f[1 + (−1)h+k+l], अतः परावर्तन केवल h + k + l सम हेतु आते हैं: (110), (200), (211), (220)। fcc (000, ½½0, ½0½, 0½½) हेतु S ≠ 0 केवल तब जब h, k, l सभी सम या सभी विषम हों: (111), (200), (220), (311)। ये विलोपन चूर्ण-प्रतिरूप से जालक पहचानते हैं।

3. ठोसों में बंधन

  • आयनिक (NaCl): इलेक्ट्रॉन स्थानांतरण व कूलॉम आकर्षण, मैडेलुंग नियतांक (NaCl हेतु 1.748) द्वारा जालक पर जोड़ा गया और लघु-परास प्रतिकर्षण से संतुलित; कठोर, भंगुर, कुचालक, उच्च गलनांक।
  • सहसंयोजी (हीरा, Si): दिशात्मक sp³ बंधों में साझा इलेक्ट्रॉन युग्म, जो खुली हीरा संरचना देते हैं (समन्वय 4, संकुलन भिन्न 0.34)।
  • धात्विक: आयन क्रोडों के चारों ओर समुद्र में विस्थानीकृत इलेक्ट्रॉन; अदिशात्मक, अतः निविड-संकुलित संरचनाएँ, तन्यता व चालन।
  • वान डर वाल्स (ठोस Ar): उच्चावची-द्विध्रुव आकर्षण ∝ −1/r⁶ व प्रतिकर्षण ∝ 1/r¹², लेनार्ड-जोन्स विभव 4ε[(σ/r)¹² − (σ/r)⁶], निम्निष्ठ r = 21/6σ पर; दुर्बल, निम्न गलनांक। हाइड्रोजन बंध (बर्फ़) मध्यवर्ती हैं।

4. जालक कंपन व तापीय गुण

K स्प्रिंगों से जुड़े m द्रव्यमान के परमाणुओं की a अंतराल वाली शृंखला का विक्षेपण ω = 2√(K/m)|sin(ka/2)| है: छोटे k पर रैखिक (ध्वनि), क्षेत्र सीमा k = π/a पर सपाट, जहाँ समूह वेग शून्य है और तरंगें अप्रगामी हैं। K = 10 N/m व m = 10⁻²⁶ kg हेतु अधिकतम 6.32 × 10¹³ rad/s है। प्रति कोष्ठिका दो भिन्न द्रव्यमानों वाली शृंखला की एक ध्वनिक शाखा (पड़ोसी सम-कला में, k → 0 पर ω → 0) तथा एक प्रकाशिक शाखा (पड़ोसी विपरीत-कला में, k = 0 पर परिमित ω, जिसे आयनिक क्रिस्टल अवरक्त प्रकाश से युग्मित करता है) होती है, क्षेत्र सीमा पर अंतराल से पृथक। प्रति आद्य कोष्ठिका p परमाणुओं वाले क्रिस्टल की 3 ध्वनिक व 3p − 3 प्रकाशिक शाखाएँ होती हैं। क्वांटा फ़ोनॉन हैं, ऊर्जा ħω सहित।

जालक ऊष्मा-धारिता: सीमाएँ
मॉडलउच्च Tनिम्न T
चिरसम्मत (ड्यूलॉन्ग–पेटिट)3R = 24.9 J mol⁻¹ K⁻¹3R — ग़लत, तृतीय नियम का उल्लंघन
आइंस्टाइन (एक आवृत्ति ω_E)T ≫ Θ_E हेतु → 3R∝ (Θ_E/T)² e−Θ_E/T, अति तीव्र गिरता
डिबाई (ω_D तक ω ∝ k)T ≫ Θ_D हेतु → 3R∝ T³, जैसा मापा जाता है
🧠 समाकल नहीं, सीमाएँ प्रयोग करें
Θ_D से बहुत नीचे डिबाई T³ नियम C(20 K)/C(10 K) = 2³ = 8 बनाता है, पदार्थ कोई भी हो। Θ_E व Θ_D दोनों से बहुत ऊपर प्रत्येक मॉडल प्रति मोल परमाणु 3R देता है। निम्न ताप पर धातु में इलेक्ट्रॉन T में रैखिक पद जोड़ते हैं, अतः C = γT + βT³, और C/T बनाम T² का आलेख सरल रेखा है।

5. मुक्त-इलेक्ट्रॉन सिद्धांत, बैंड सिद्धांत व हॉल प्रभाव

ड्रूड मॉडल σ = ne²τ/m तथा हॉल गुणांक R_H = −1/(ne) देता है। सोमरफ़ेल्ड मॉडल समतल-तरंग अवस्थाओं को फर्मी ऊर्जा E_F = (ħ²/2m)(3π²n)2/3 (सोडियम हेतु 3.24 eV, n = 2.65 × 10²⁸ m⁻³) तक भरता है, अवस्था घनत्व g(E) ∝ √E सहित; केवल E_F के k_BT के भीतर के इलेक्ट्रॉन अनुक्रिया करते हैं, जो छोटी इलेक्ट्रॉनिक ऊष्मा-धारिता तथा वीडेमान–फ़्रांज़ नियम κ/(σT) = L = (π²/3)(k_B/e)² = 2.44 × 10⁻⁸ W Ω K⁻² समझाता है।

आवर्ती विभव में अवस्थाएँ ब्लॉख तरंगें हैं, ψ = eik·ru_k(r), u आवर्ती सहित। लगभग-मुक्त-इलेक्ट्रॉन मॉडल में फुरिये घटक U_G वाला दुर्बल विभव क्षेत्र सीमा (एक विमा में k = π/a) पर अपभ्रष्ट मुक्त-इलेक्ट्रॉन अवस्थाओं k व k − G को मिलाता है; बनी दो अप्रगामी तरंगें — एक आयनों पर आवेश जमा करती, एक उनके बीच — ऊर्जा में भिन्न होती हैं, और 2|U_G| का अंतराल खुलता है। सीमा पर समूह वेग dE/dk लुप्त होता है, और प्रभावी द्रव्यमान m* = ħ²/(d²E/dk²) बैंड किनारे के निकट छोटा, बैंड के शीर्ष के निकट ऋणात्मक होता है (होल का मूल)।

  • धातु, कुचालक, अर्धचालक: एक बैंड 2N इलेक्ट्रॉन रखता है (N कोष्ठिकाएँ, दो प्रचक्रण)। आंशिक भरा बैंड चालन करता है (धातु); बड़े अंतराल से पृथक पूर्ण भरे व रिक्त बैंड नहीं करते (कुचालक); छोटा अंतराल (लगभग 1 eV) तापीय उत्तेजन से वाहक बनने देता है (अर्धचालक)। द्विसंयोजी धातुएँ चालन करती हैं क्योंकि बैंड अतिव्यापित होते हैं।
  • हॉल प्रभाव: t मोटाई की पट्टिका में, B क्षेत्र में धारा I वहन करते हुए, V_H = IB/(net)। ताँबे (n = 8.5 × 10²⁸ m⁻³) का R_H = −7.34 × 10⁻¹¹ m³/C है; I = 10 A, B = 1 T व t = 0.1 mm सहित V_H = 7.34 μV। R_H का चिह्न वाहकों का चिह्न देता है।

मुख्य बिंदु

  • घनीय d = a/√(h² + k² + l²); sc/bcc/fcc में 1/2/4 परमाणु, समन्वय 6/8/12 व संकुलन 0.52/0.68/0.74; fcc व bcc परस्पर व्युत्क्रम हैं।
  • 2d sin θ = nλ; bcc केवल h + k + l सम, fcc केवल अमिश्रित hkl परावर्तित करता है।
  • ω = 2√(K/m)|sin(ka/2)|; ध्वनिक व प्रकाशिक शाखाएँ; निम्न T पर डिबाई C ∝ T³, उच्च T पर प्रत्येक मॉडल 3R।
  • दुर्बल आवर्ती विभव क्षेत्र सीमा पर 2|U_G| का अंतराल खोलता है, जहाँ v_g = 0; m* = ħ²/(d²E/dk²) ऋणात्मक हो सकता है।
  • R_H = −1/(ne) तथा V_H = IB/(net); वीडेमान–फ़्रांज़ κ/(σT) = (π²/3)(k_B/e)²।

अभ्यास प्रश्न (14)

उत्तर खोलने से पहले प्रत्येक प्रश्न हल करें। हर व्याख्या सही विकल्प के साथ लुभावना गलत विकल्प भी बताती है, क्योंकि अंक वहीं जाते हैं।

  1. 1.54 Å तरंगदैर्घ्य की X-किरणें ताँबे के (111) तलों से प्रथम कोटि में विवर्तित होती हैं, जो a = 3.61 Å सहित fcc है। ब्रैग कोण θ, अंशों में, एक दशमलव स्थान तक, ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 21.7

    d₁₁₁ = 3.61/√3 = 2.084 Å; sin θ = λ/(2d) = 1.54/4.168 = 0.3695, θ = 21.7°। स्वयं a को d लेना 12.3° देता है, और प्रकीर्णन कोण 2θ बताना 43.4° देता है।

  2. अंतःकेंद्रित घनीय क्रिस्टल (पारंपरिक घनीय कोष्ठिका) हेतु कौन-से परावर्तन अनुमत हैं?

    1. (110)
    2. (111)
    3. (200)
    4. (211)
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — (110); C — (200); D — (211)

    h + k + l विषम होने पर S = f[1 + (−1)h+k+l] लुप्त होता है। (110), (200) व (211) के योग सम (2, 2, 4) हैं और वे आते हैं; (111) का योग 3 है और वह विलुप्त है। (111) प्रथम fcc परावर्तन है, अतः उसकी अनुपस्थिति bcc को fcc से अलग करती है।

  3. स्पर्शी कठोर गोलों की अंतःकेंद्रित घनीय संरचना का संकुलन भिन्न, दो दशमलव स्थानों तक, ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

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    उत्तर: 0.68

    प्रति कोष्ठिका दो परमाणु काय-विकर्ण के अनुदिश स्पर्श करते हैं: 4r = √3a। संकुलन = 2 × (4/3)πr³/a³ = π√3/8 = 0.68। 0.74 fcc (फलक-विकर्ण के अनुदिश स्पर्श) और 0.52 सरल घनीय है।

  4. फलक-केंद्रित घनीय जालक का व्युत्क्रम जालक है:

    1. अंतःकेंद्रित घनीय
    2. फलक-केंद्रित घनीय
    3. सरल घनीय
    4. षट्कोणीय
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — अंतःकेंद्रित घनीय

    fcc आद्य सदिशों (a/2)(0, 1, 1) इत्यादि से b₁ = 2π(a₂ × a₃)/V बनाना (2π/a)(−1, 1, 1) व उसके क्रमचय देता है — 4π/a भुजा के bcc जालक के आद्य सदिश। संबंध परस्पर है; केवल सरल घनीय स्वयं अपने व्युत्क्रम प्रकार का है।

  5. लोहा a = 2.87 Å सहित अंतःकेंद्रित घनीय है। उसके (110) तलों का अंतराल, Å में, दो दशमलव स्थानों तक, ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 2.03

    d = a/√(h² + k² + l²) = 2.87/√2 = 2.03 Å। सूत्र केवल घनीय कोष्ठिका की भुजा पर निर्भर है; bcc केंद्रण तय करता है कि कौन-से परावर्तन बचेंगे, अंतराल नहीं। √2 से गुणा करना 4.06 Å देता है।

  6. एक एकपरमाणुक शृंखला में 1.0 × 10⁻²⁶ kg द्रव्यमान के परमाणु 10 N/m नियतांक के स्प्रिंगों से जुड़े हैं। उसकी अधिकतम फ़ोनॉन कोणीय आवृत्ति, 10¹³ rad/s की इकाइयों में, दो दशमलव स्थानों तक, ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

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    उत्तर: 6.32

    ω_max = 2√(K/m) = 2√(10/10⁻²⁶) = 2 × 3.162 × 10¹³ = 6.32 × 10¹³ rad/s, क्षेत्र सीमा k = π/a पर। अकेला √(K/m), 3.16, एकल-दोलक आवृत्ति है।

  7. अपने डिबाई ताप से बहुत नीचे एक कुचालक की 10 K पर जालक ऊष्मा-धारिता C है। अनुपात C(20 K)/C(10 K) ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

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    उत्तर: 8

    डिबाई T³ नियम (20/10)³ = 8 देता है। कुचालक में इलेक्ट्रॉनिक पद नहीं, अतः T में रैखिक कुछ भी अनुपात नहीं बिगाड़ता। रैखिक मापन 2 देता, और आइंस्टाइन मॉडल एक घातांकीय अनुपात देता जो प्रेक्षित नहीं होता।

  8. ठोस के आइंस्टाइन मॉडल में आइंस्टाइन ताप से बहुत नीचे जालक ऊष्मा-धारिता:

    1. घातांकीय रूप से गिरती है, प्रेक्षित से तेज़
    2. T³ के अनुसार बदलती है, जैसा प्रेक्षित
    3. 3R पर रहती है
    4. T के साथ रैखिक बदलती है
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — घातांकीय रूप से गिरती है, प्रेक्षित से तेज़

    एकल आवृत्ति सहित उत्तेजन हेतु k_BT, ħω_E से तुलनीय होना चाहिए, अतः C ∝ (Θ_E/T)²e−Θ_E/T, जो प्रयोग से तेज़ मिटता है। डिबाई के निम्न-आवृत्ति ध्वनिक विधाओं का सांतत्य T³ देता है; 3R दोनों की उच्च-ताप सीमा है।

  9. सोडियम में प्रति m³ n = 2.65 × 10²⁸ चालन इलेक्ट्रॉन हैं। h = 6.626 × 10⁻³⁴ J s, m_e = 9.109 × 10⁻³¹ kg व e = 1.602 × 10⁻¹⁹ C सहित E_F = (ħ²/2m)(3π²n)2/3 प्रयोग करके फर्मी ऊर्जा eV में, दो दशमलव स्थानों तक, ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 3.24

    3π²n = 7.846 × 10²⁹ m⁻³, जिसकी 2/3 घात 8.505 × 10¹⁹ m⁻² है; ħ²/2m = 6.105 × 10⁻³⁹ J m²; E_F = 5.193 × 10⁻¹⁹ J = 3.24 eV। 2/3 घात भूलना, या ħ के स्थान पर h लेना, परिमाण की कोटियों से ग़लत मान देता है।

  10. ताँबे में प्रति m³ n = 8.5 × 10²⁸ मुक्त इलेक्ट्रॉन हैं। e = 1.602 × 10⁻¹⁹ C सहित उसका हॉल गुणांक, 10⁻¹¹ m³/C की इकाइयों में, दो दशमलव स्थानों तक, ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: -7.34

    R_H = −1/(ne) = −1/(8.5 × 10²⁸ × 1.602 × 10⁻¹⁹) = −7.34 × 10⁻¹¹ m³/C। चिह्न ऋणात्मक है क्योंकि वाहक इलेक्ट्रॉन हैं; +7.34 समान घनत्व के होलों का उत्तर है। उत्तर -7.34 के रूप में टाइप करें।

  11. 0.10 mm मोटी एक ताँबे की पट्टी (n = 8.5 × 10²⁸ m⁻³) 1.0 T के लंबवत् क्षेत्र में 10 A वहन करती है। हॉल वोल्टता का परिमाण, μV में, दो दशमलव स्थानों तक, ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 7.34

    V_H = IB/(net) = 10 × 1.0/(8.5 × 10²⁸ × 1.602 × 10⁻¹⁹ × 1.0 × 10⁻⁴) = 7.34 × 10⁻⁶ V। मोटाई B के अनुदिश मापी जाती है; चौड़ाई लेना भिन्न, ग़लत संख्या देता। छोटी वोल्टता ही कारण है कि हॉल प्रोब अर्धचालक प्रयोग करते हैं।

  12. एक विमा में लगभग-मुक्त-इलेक्ट्रॉन मॉडल में कौन-से कथन सही हैं?

    1. k = ±π/a पर ऊर्जा अंतराल खुलता है
    2. क्षेत्र सीमा पर समूह वेग लुप्त होता है
    3. अंतराल 2|U_G|, विभव के फुरिये घटक का दोगुना, है
    4. बैंड में सर्वत्र प्रभावी द्रव्यमान धनात्मक है
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — k = ±π/a पर ऊर्जा अंतराल खुलता है; B — क्षेत्र सीमा पर समूह वेग लुप्त होता है; C — अंतराल 2|U_G|, विभव के फुरिये घटक का दोगुना, है

    k = π/a पर अवस्थाएँ k व k − 2π/a अपभ्रष्ट हैं और U_G द्वारा दो अप्रगामी तरंगों में मिलकर 2|U_G| से विपाटित होती हैं; अप्रगामी तरंगें धारा वहन नहीं करतीं, अतः dE/dk = 0। बैंड के शीर्ष के निकट वक्रता ऋणात्मक है, अतः वहाँ m* ऋणात्मक है — होल प्रस्तुत करने का कारण।

  13. किस प्रकार का बंधन ऐसा क्रिस्टल देता है जो कठोर, भंगुर, ठोस रूप में विद्युत-कुचालक पर पिघलने पर चालक हो?

    1. आयनिक
    2. धात्विक
    3. वान डर वाल्स
    4. सहसंयोजी जाल
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — आयनिक

    आयनिक क्रिस्टल में आयन स्थिर बँधे होते हैं, अतः वह कुचालक है; पिघलना उन्हें आवेश वहन हेतु मुक्त करता है। धातुएँ ठोस रूप में चालन करती हैं; वान डर वाल्स ठोस मुलायम हैं; हीरे जैसे सहसंयोजी जाल कठोर हैं पर पिघलने पर चालन नहीं करते क्योंकि उनमें आयन नहीं होते।

  14. वीडेमान–फ़्रांज़ नियम के अनुसार किसी धातु हेतु अनुपात κ/(σT) है:

    1. (π²/3)(k_B/e)², सभी धातुओं हेतु समान
    2. इलेक्ट्रॉन घनत्व के समानुपाती
    3. T के समानुपाती
    4. विश्रांति काल पर निर्भर
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — (π²/3)(k_B/e)², सभी धातुओं हेतु समान

    κ व σ दोनों E_F के निकट उन्हीं इलेक्ट्रॉनों द्वारा समान τ सहित वहन होते हैं, अतः n व τ निरस्त होते हैं और κ/(σT) = (π²/3)(k_B/e)² = 2.44 × 10⁻⁸ W Ω K⁻²। ड्रूड चिरसम्मत मान में π²/3 के स्थान पर 3/2 है और वह लगभग 2 के गुणक से ग़लत है।