क्वांटम यांत्रिकी II: केंद्रीय विभव, हाइड्रोजन-सदृश परमाणु, कोणीय संवेग व उसका योग, विचरण व विक्षोभ विधियाँ, तथा बॉर्न प्रकीर्णन
1. केंद्रीय विभव व हाइड्रोजन-सदृश परमाणु
V(r) हेतु ψ = R(r)Yₗᵐ(θ, φ)। कोणीय भाग प्रत्येक केंद्रीय विभव हेतु समान है; u = rR सहित त्रिज्य समीकरण एक-विमीय है, −(ħ²/2μ)u″ + [V + l(l + 1)ħ²/(2μr²)]u = Eu, दूसरा पद अपकेंद्री अवरोध। कूलॉम विभव −Ze²/(4πε₀r) हेतु Eₙ = −13.6 Z²/n² eV, केवल n पर निर्भर: अपभ्रष्टता n² (प्रचक्रण सहित 2n²) है, l = 0 … n − 1, और R_nl के n − l − 1 त्रिज्य निस्पंद हैं। बोर त्रिज्या a₀ = 0.529 Å है और पैमाना a₀/Z।
- संक्रमण: hν = 13.6 Z²(1/n₁² − 1/n₂²) eV। H: 3 → 2 (बामर Hα) 1.89 eV देता है; 2 → 1 (लाइमैन α) 10.2 eV, λ = 1240/10.2 = 121.6 nm। He⁺ (Z = 2) की आयनन ऊर्जा 54.4 eV है।
- मूल अवस्था ψ₁₀₀ = e−r/a₀/√(πa₀³): सर्वाधिक संभाव्य त्रिज्या a₀ है (r²|ψ|² का शिखर), पर ⟨r⟩ = 3a₀/2, तथा ⟨1/r⟩ = 1/a₀ से ⟨V⟩ = 2E₁ व ⟨T⟩ = −E₁, वीरियल प्रमेय।
- समानीत द्रव्यमान μ, m का स्थान लेता है, अतः ड्यूटीरियम की रेखाएँ हाइड्रोजन से थोड़ी नीली ओर हैं, और पॉज़िट्रोनियम (μ = m/2) की बंधन ऊर्जा हाइड्रोजन की आधी है।
2. कक्षीय व प्रचक्रण कोणीय संवेग
[Lₓ, L_y] = iħL_z तथा चक्रीय क्रम में, जबकि प्रत्येक घटक L² के साथ क्रमविनिमेय है। युगपत् आइगेन-अवस्थाओं |l, m⟩ के L² = l(l + 1)ħ² तथा L_z = mħ हैं, m = −l … l सहित। सीढ़ी संकारक L± = Lₓ ± iL_y, L±|l, m⟩ = ħ√(l(l + 1) − m(m ± 1)) |l, m ± 1⟩ देते हैं; l = 2 हेतु L₊|2, 1⟩ = ħ√(6 − 2)|2, 2⟩ = 2ħ|2, 2⟩। कक्षीय l पूर्णांक है, क्योंकि Yₗᵐ एकमानी होना चाहिए; वही बीजगणित अर्ध-पूर्णांकों की भी अनुमति देता है, और प्रचक्रण वहीं है।
इलेक्ट्रॉन का प्रचक्रण ½ है: पाउली आव्यूहों σₓ = [[0, 1], [1, 0]], σ_y = [[0, −i], [i, 0]], σ_z = [[1, 0], [0, −1]] सहित S = (ħ/2)σ, प्रत्येक के आइगेन-मान ±1, वर्ग 1 तथा अन्यों के साथ प्रतिक्रमविनिमेय। प्रत्येक प्रचक्रण-½ अवस्था हेतु S² = (3/4)ħ²। z के अनुदिश क्षेत्र B में प्रचक्रण लार्मर आवृत्ति पर पुरस्सरण करता है, और स्टर्न–गर्लाक चुंबक परमाणुओं को 2s + 1 पुंजों में छाँटता है — प्रचक्रण ½ हेतु दो, और इसी प्रकार अर्ध-पूर्णांक कोणीय संवेग पहली बार देखा गया।
3. कोणीय संवेगों का योग
j₁ व j₂ को जोड़ना कुल J = j₁ + j₂ देता है, j = |j₁ − j₂|, |j₁ − j₂| + 1, …, j₁ + j₂ सहित, और अवस्थाओं की गणना संरक्षित रहती है: Σ(2j + 1) = (2j₁ + 1)(2j₂ + 1)। युग्मित अवस्थाएँ |j, m⟩, m = m₁ + m₂ सहित गुणनफल अवस्थाओं |m₁, m₂⟩ के संयोजन हैं; गुणांक क्लेब्श–गॉर्डन गुणांक हैं।
- दो प्रचक्रण-½ कण: 2 × 2 = 4 अवस्थाएँ = एक त्रिक (s = 1: |↑↑⟩, (|↑↓⟩ + |↓↑⟩)/√2, |↓↓⟩), विनिमय में सममित, तथा एक एकक (s = 0: (|↑↓⟩ − |↓↑⟩)/√2), प्रतिसममित।
- l = 1 व s = ½: j = 3/2 (4 अवस्थाएँ) व j = 1/2 (2 अवस्थाएँ), कुल 6, जैसा 3 × 2 चाहता है।
- L·S = [J² − L² − S²]/2 = (ħ²/2)[j(j + 1) − l(l + 1) − s(s + 1)]: l = 1 हेतु यह j = 3/2 पर +½ħ² व j = 1/2 पर −ħ² है, अंतर (3/2)ħ² — वह प्रचक्रण–कक्षा विपाटन जिसका अगले खंड का अध्याय प्रयोग करता है।
4. विचरण विधि व काल-स्वतंत्र विक्षोभ सिद्धांत
विचरण सिद्धांत: किसी भी प्रसामान्यीकृत परीक्षण अवस्था हेतु ⟨ψ|H|ψ⟩ ≥ E₀। किसी प्राचल पर न्यूनीकरण मूल-अवस्था ऊर्जा की ऊपरी सीमा देता है — यथार्थ यदि वास्तविक अवस्था परिवार में हो (दोलक हेतु गाउसीय), अन्यथा अधिक (हाइड्रोजन हेतु गाउसीय −13.6 eV के विरुद्ध −(8/3π) × 13.6 = −11.5 eV देता है)। ऊर्जा तरंग-फलन की त्रुटि में द्वितीय कोटि तक यथार्थ है, इसीलिए स्थूल परीक्षण अवस्था भी अच्छी ऊर्जा देती है।
विक्षोभ सिद्धांत, H = H₀ + H′। प्रथम कोटि: Eₙ⁽¹⁾ = ⟨n|H′|n⟩। द्वितीय कोटि: Eₙ⁽²⁾ = Σm≠n |⟨m|H′|n⟩|²/(Eₙ − Eₘ), जो मूल अवस्था हेतु सदा ऋणात्मक है। हल किया: 0 < x < L बक्से में बाएँ अर्धांश पर H′ = V₀ प्रथम कोटि पर प्रत्येक स्तर को V₀/2 खिसकाता है (|ψₙ|² की सममिति से)। 21% कड़े किए स्प्रिंग वाला दोलक, H′ = ½(0.21k)x², E₀ को 0.21k⟨x²⟩/2 = 0.0525ħω खिसकाता है, अतः यथार्थ √1.21 = 1.100 के विरुद्ध E₀′/E₀ ≈ 1.105।
5. प्रारंभिक प्रकीर्णन सिद्धांत व बॉर्न सन्निकटन
लक्ष्य से दूर तरंग-फलन eikz + f(θ)eikr/r है, और अवकल प्रकीर्णन-क्षेत्र dσ/dΩ = |f(θ)|² है। प्रथम बॉर्न सन्निकटन में, जो तब वैध है जब विभव आपतित ऊर्जा की तुलना में दुर्बल हो, f संवेग-स्थानांतरण q = 2k sin(θ/2) पर विभव का फुरिये रूपांतर है: गोलीय सममित V हेतु f(θ) = −(2m/ħ²q)∫₀^∞ rV(r) sin(qr) dr। युकावा विभव V₀e−μr/r, f = −2mV₀/[ħ²(μ² + q²)] देता है; μ → 0 पर वह कूलॉम विभव बनता है और रदरफ़ोर्ड सूत्र, dσ/dΩ ∝ 1/sin⁴(θ/2), पुनः देता है।
आंशिक-तरंग दृष्टिकोण इसे पूरा करता है: निम्न ऊर्जा (ka ≪ 1) पर केवल l = 0 प्रकीर्णन करता है, और प्रकीर्णन समदैशिक है। तब a त्रिज्या के कठोर गोले का σ = 4πa² है — उसके ज्यामितीय क्षेत्र का चार गुना, एक तरंग प्रभाव; a = 1 fm हेतु σ = 12.57 fm²। प्रकाशिक प्रमेय कुल प्रकीर्णन-क्षेत्र को अग्र आयाम से जोड़ता है, σ = (4π/k) Im f(0)।
मुख्य बिंदु
- हाइड्रोजन-सदृश: Eₙ = −13.6Z²/n² eV, अपभ्रष्टता n² (प्रचक्रण सहित 2n²); मूल अवस्था a₀ पर सर्वाधिक संभाव्य पर ⟨r⟩ = 3a₀/2।
- L² = l(l + 1)ħ², L_z = mħ, L±|l, m⟩ = ħ√(l(l + 1) − m(m ± 1))|l, m ± 1⟩; प्रचक्रण ½, (ħ/2)σ है।
- j, |j₁ − j₂| से j₁ + j₂ तक चलता है और अवस्थाएँ कुल (2j₁ + 1)(2j₂ + 1) हैं; दो प्रचक्रण ½ एक त्रिक व एक एकक देते हैं।
- विचरण ऊर्जाएँ ऊपरी सीमाएँ हैं; E⁽¹⁾ = ⟨n|H′|n⟩, मूल अवस्था हेतु E⁽²⁾ < 0; अपभ्रष्ट स्तर में पहले H′ विकर्णित करें।
- बॉर्न: f, q = 2k sin(θ/2) पर V का फुरिये रूपांतर है; μ → 0 पर युकावा → रदरफ़ोर्ड; निम्न ऊर्जा पर कठोर गोले का σ = 4πa²।
अभ्यास प्रश्न (14)
उत्तर खोलने से पहले प्रत्येक प्रश्न हल करें। हर व्याख्या सही विकल्प के साथ लुभावना गलत विकल्प भी बताती है, क्योंकि अंक वहीं जाते हैं।
Eₙ = −13.6/n² eV प्रयोग करके हाइड्रोजन संक्रमण n = 3 → n = 2 में उत्सर्जित फ़ोटॉन की ऊर्जा, eV में, दो दशमलव स्थानों तक, ____ है।
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
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उत्तर: 1.89
ΔE = 13.6(1/4 − 1/9) = 13.6 × 5/36 = 1.89 eV (लाल Hα रेखा)। 13.6(1/2 − 1/3) = 2.27 eV, 1/n² के स्थान पर 1/n लेता है; 13.6/9 = 1.51 eV केवल n = 3 की बंधन ऊर्जा है।Eₙ = −13.6/n² eV व hc = 1240 eV nm प्रयोग करके हाइड्रोजन की लाइमैन-α रेखा (n = 2 → 1) की तरंगदैर्घ्य, nm में, एक दशमलव स्थान तक, ____ है।
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
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उत्तर: 121.6
ΔE = 13.6(1 − 1/4) = 10.2 eV तथा λ = hc/ΔE = 1240/10.2 = 121.6 nm, पराबैंगनी में। 1240/13.6 = 91.2 nm श्रेणी-सीमा है, लाइमैन-α नहीं।हाइड्रोजन मूल अवस्था ψ = e−r/a₀/√(πa₀³) हेतु प्रत्याशा मान ⟨r⟩, a₀ की इकाइयों में, ____ है।
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
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उत्तर: 1.5
⟨r⟩ = (4/a₀³)∫₀^∞ r³e−2r/a₀ dr = (4/a₀³) × 3!(a₀/2)⁴ = 3a₀/2 = 1.5a₀। सर्वाधिक संभाव्य त्रिज्या, जहाँ r²|ψ|² शिखर पर है, a₀ है — लुभावना ग़लत उत्तर, क्योंकि वितरण की लंबी पूँछ है।प्रचक्रण सहित हाइड्रोजन के n = 3 कोश में इलेक्ट्रॉन अवस्थाओं की संख्या ____ है।
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
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उत्तर: 18
l = 0, 1, 2, 1 + 3 + 5 = 9 = n² कक्षीय अवस्थाएँ देते हैं, और प्रत्येक की दो प्रचक्रण अवस्थाएँ 2n² = 18 देती हैं। प्रचक्रण के बिना उत्तर 9 है।L₊|l = 2, m = 1⟩ = cħ|l = 2, m = 2⟩। c का मान ____ है।
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
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उत्तर: 2
c = √(l(l + 1) − m(m + 1)) = √(6 − 2) = 2। m(m − 1), अवरोहण रूप, लेना √6 = 2.45 देता है; l − m लेना 1 देता है।l = 1 वाले इलेक्ट्रॉन हेतु j = 3/2 व j = 1/2 स्तरों के बीच ⟨L·S⟩ का अंतर, ħ² की इकाइयों में, ____ है।
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
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उत्तर: 1.5
L·S = ½[j(j + 1) − l(l + 1) − s(s + 1)]ħ²। j = 3/2: ½(15/4 − 2 − 3/4) = ½। j = 1/2: ½(3/4 − 2 − 3/4) = −1। अंतर = 1.5ħ²। ½ छोड़ना 3 देता है।दो प्रचक्रण-½ कणों को जोड़ा जाता है। कुल प्रचक्रण अवस्थाएँ हैं:
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उत्तर: A — एक त्रिक (S = 1) व एक एकक (S = 0)
½ ⊗ ½, S = 0 व 1 देता है; 1 + 3 = 4 = 2 × 2 अवस्थाएँ। त्रिक विनिमय में सममित और एकक प्रतिसममित है। चतुष्क हेतु तीन प्रचक्रण-½ कण चाहिए।कक्षीय कोणीय संवेग l = 1 को प्रचक्रण s = ½ के साथ जोड़ा जाता है। कौन-से कथन सही हैं?
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उत्तर: A — j = 3/2 आता है; B — j = 1/2 आता है; D — अवस्थाओं की कुल संख्या 6 है
j, |1 − ½| = ½ से 1 + ½ = 3/2 तक पूर्णांक चरणों में चलता है, अतः केवल ½ व 3/2 आते हैं, 2 + 4 = 6 = 3 × 2 अवस्थाओं सहित। 5/2 हेतु l = 2 या बड़ा प्रचक्रण चाहिए।मूल अवस्था हेतु विचरण विधि में एक परीक्षण तरंग-फलन प्रयुक्त है। वह जो ऊर्जा देता है वह है:
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उत्तर: A — वास्तविक मूल-अवस्था ऊर्जा से अधिक या बराबर
परीक्षण अवस्था को आइगेन-अवस्थाओं में प्रसारित करने पर ⟨H⟩ = Σ|cₙ|²Eₙ ≥ E₀Σ|cₙ|² = E₀: एक ऊपरी सीमा, केवल तब प्राप्त जब परीक्षण अवस्था मूल अवस्था हो। इसीलिए किसी प्राचल पर ⟨H⟩ घटाना सदा सुधार है।0 < x < L अनंत कूप में एक कण H′ = V₀ (0 < x < L/2 हेतु) व अन्यत्र शून्य से विक्षुब्ध है। किसी भी स्तर का प्रथम-कोटि ऊर्जा विस्थापन, V₀ की इकाइयों में, ____ है।
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
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उत्तर: 0.5
E⁽¹⁾ = V₀∫₀L/2(2/L)sin²(nπx/L) dx = V₀/2 = 0.5V₀, क्योंकि |ψₙ|², L/2 के परितः सममित है और प्रत्येक अर्धांश में प्रायिकता ½ है। उत्तर V₀ मानता है कि विक्षोभ पूरे कूप को ढकता है।किसी आवर्ती दोलक का स्प्रिंग नियतांक k से 1.21k किया जाता है। H′ = ½(0.21k)x² को विक्षोभ मानकर नई मूल-अवस्था ऊर्जा का पुरानी से अनुपात का प्रथम-कोटि अनुमान, तीन दशमलव स्थानों तक, ____ है।
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
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उत्तर: 1.105
⟨0|x²|0⟩ = ħ/(2mω), अतः E⁽¹⁾ = ½(0.21k)(ħ/2mω) = 0.21 × ħω/4 = 0.0525ħω, और (0.5 + 0.0525)/0.5 = 1.105। यथार्थ अनुपात √1.21 = 1.100 है; अंतर (ऋणात्मक) द्वितीय-कोटि पद है।अनपभ्रष्ट विक्षोभ सिद्धांत में मूल-अवस्था ऊर्जा का द्वितीय-कोटि संशोधन है:
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उत्तर: A — कभी धनात्मक नहीं
E₀⁽²⁾ = Σm≠0|⟨m|H′|0⟩|²/(E₀ − Eₘ): मूल अवस्था हेतु प्रत्येक अंश अऋणात्मक और प्रत्येक हर ऋणात्मक है, अतः योग ≤ 0। उत्तेजित अवस्था हेतु पदों के दोनों चिह्न होते हैं।अति निम्न ऊर्जा पर 1.0 fm त्रिज्या के कठोर गोले का कुल प्रकीर्णन-क्षेत्र, fm² में, दो दशमलव स्थानों तक, ____ है।
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
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उत्तर: 12.57
केवल s-तरंग प्रकीर्णन करती है, कला विस्थापन −ka सहित, अतः σ = 4πa² = 4π × 1.0 = 12.57 fm² — ज्यामितीय πa² = 3.14 fm² का चार गुना, एक तरंग प्रभाव। चिरसम्मत उत्तर πa² है।गोलीय सममित विभव हेतु प्रथम बॉर्न सन्निकटन में प्रकीर्णन आयाम कोण θ पर केवल किसके द्वारा निर्भर करता है?
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उत्तर: A — q = 2k sin(θ/2), संवेग-स्थानांतरण
f(θ), |k′ − k| = 2k sin(θ/2) पर निकाला गया V का फुरिये रूपांतर है, अतः संपूर्ण कोणीय निर्भरता q से आती है। संघट्ट प्राचल चिरसम्मत प्रक्षेप-पथों का है, और आंशिक तरंगें भिन्न प्रसार हैं।