क्वांटम यांत्रिकी I: आधार, हिल्बर्ट समष्टि में संकारक, एक-विमीय विभव, बक्से, डेल्टा विभव व आवर्ती दोलक

GATE भौतिकी पेपर के खंड 7 हेतु दो अध्यायों में से पहला। यह खंड पाठ्यक्रम में सबसे बड़ा और सर्वाधिक परखा जाने वाला है, और यह स्वाभाविक रूप से बँटता है: यह अध्याय औपचारिकता व प्रत्येक यथार्थतः हल-योग्य एक-विमीय (व पृथक्करणीय बक्सा) समस्या है; दूसरा केंद्रीय विभव, हाइड्रोजन, कोणीय संवेग व सन्निकटन विधियाँ लेता है। यहाँ: मूल विचार व अनिश्चितता सिद्धांत; हिल्बर्ट समष्टि में रैखिक सदिश व संकारक, प्रत्याशा मान व मापन; काल-स्वतंत्र श्रोडिंगर समीकरण; सोपान विभव, परिमित आयताकार कूप व अवरोध से सुरंगन; एक-, द्वि- व त्रि-विमीय बक्सों में कण; एकल व द्वि डेल्टा-फलन विभव; तथा एक-, द्वि- व त्रि-विमीय आवर्ती दोलक, उन अपभ्रष्टताओं सहित जिनसे गणना-प्रश्न बनते हैं। नियतांक: h = 6.626 × 10⁻³⁴ J s, ħ = h/2π, m_e = 9.109 × 10⁻³¹ kg, e = 1.602 × 10⁻¹⁹ C।

1. मूल विचार व अनिश्चितता सिद्धांत

पदार्थ की तरंगदैर्घ्य λ = h/p (डी ब्रॉग्ली) है, प्रकाश क्वांटा E = hν में आता है, और कण एक तरंग-फलन ψ(x, t) से वर्णित है जिसका वर्ग-परिमाण प्रायिकता घनत्व है (बॉर्न): ∫|ψ|² dx = 1। क्योंकि स्थानीकृत तरंग-संवेष्टन को तरंग-संख्याओं का प्रसार चाहिए, स्थिति व संवेग दोनों तीक्ष्ण नहीं हो सकते: Δx Δp ≥ ħ/2। व्यापक रूप से किन्हीं दो प्रेक्षणीयों हेतु σ_A σ_B ≥ ½|⟨[A, B]⟩|, और [x, p] = iħ हाइज़ेनबर्ग रूप देता है।

अनिश्चितता सिद्धांत मूल-अवस्था ऊर्जाओं का अनुमान देता है। दोलक हेतु E ≈ (Δp)²/2m + ½mω²(Δx)², ΔxΔp = ħ/2 सहित, E = ħω/2 पर न्यूनतम है, जो यथार्थ उत्तर है (गाउसीय मूल अवस्था न्यूनतम-अनिश्चितता अवस्था है)। L चौड़ाई के बक्से में सीमित कण का Δp ≳ ħ/L और अतः ħ²/(mL²) कोटि की गतिज ऊर्जा है — शून्य-बिंदु ऊर्जा का मूल।

2. हिल्बर्ट समष्टि, संकारक, प्रत्याशा मान व मापन

  • अवस्थाएँ सदिश |ψ⟩ हैं, ⟨φ|ψ⟩ = ∫φ*ψ dx वाली हिल्बर्ट समष्टि में; प्रेक्षणीय हर्मिटी संकारक हैं, अतः उनके आइगेन-मान वास्तविक और आइगेन-सदिश पूर्ण व लांबिक हैं।
  • मापन: |ψ⟩ = Σcₙ|n⟩ को प्रेक्षणीय की आइगेन-अवस्थाओं में प्रसारित करें। मापन आइगेन-मान aₙ को प्रायिकता |cₙ|² से लौटाता है, और निकाय को |n⟩ में छोड़ता है। प्रत्याशा मान ⟨A⟩ = ⟨ψ|A|ψ⟩ = Σ|cₙ|²aₙ है।
  • क्रमविनिमेयक: [x, p] = iħ, [x, p²] = 2iħp, [H, x] = −iħp/m। क्रमविनिमेय प्रेक्षणीय आइगेन-अवस्थाएँ साझा करते हैं और साथ मापे जा सकते हैं।
  • काल-विकास: iħ∂ψ/∂t = Hψ। स्थिर अवस्था ψₙe−iEₙt/ħ की प्रायिकताएँ काल-स्वतंत्र हैं; भिन्न ऊर्जाओं का अध्यारोपण नहीं। एरेनफ़ेस्ट प्रमेय, d⟨A⟩/dt = (i/ħ)⟨[H, A]⟩ + ⟨∂A/∂t⟩, d⟨x⟩/dt = ⟨p⟩/m व d⟨p⟩/dt = −⟨dV/dx⟩ देता है।
🧠 गुणांकों से प्रत्याशा मान
ऊर्जा आइगेन-अवस्थाओं में ψ = (φ₁ + 2φ₂)/√5: P(E₂) = 4/5 = 0.8 तथा ⟨E⟩ = (E₁ + 4E₂)/5। दोलक अवस्था √(1/3) φ₀ + √(2/3) φ₁ हेतु: ⟨E⟩ = (1/3)(½ħω) + (2/3)(3/2 ħω) = (7/6)ħω ≈ 1.17ħω। अवस्था आइगेन-आधार में लिखी जाते ही किसी समाकल की आवश्यकता नहीं।

3. सोपान, परिमित कूप व सुरंगन

−(ħ²/2m)ψ″ + Vψ = Eψ को खंडशः हल करें और प्रत्येक सीमा पर ψ व ψ′ मिलाएँ (ψ′ केवल अनंत या डेल्टा-फलन विभव पर उछलता है)। E > V₀ सहित V₀ ऊँचाई के सोपान हेतु k₁ = √(2mE)/ħ व k₂ = √(2m(E − V₀))/ħ, तथा R = ((k₁ − k₂)/(k₁ + k₂))² — अशून्य, चिरसम्मत कण के विपरीत। E = 2V₀ पर k₂ = k₁/√2 व R = 0.0294। E < V₀ हेतु तरंग पूर्णतः परावर्तित होती है, पर सोपान में e−κx की तरह क्षीण होती है, κ = √(2m(V₀ − E))/ħ।

V₀ गहराई व 2a चौड़ाई के परिमित वर्ग कूप में एक विमा में सदा कम से कम एक बद्ध अवस्था होती है, और संख्या प्रबलता प्राचल z₀ = a√(2mV₀)/ħ के साथ बढ़ती है (प्रत्येक π/2 हेतु एक नई अवस्था)। बद्ध अवस्थाएँ समता में एकांतरित होती हैं, उनकी ऊर्जाएँ अनंत-कूप मानों से नीचे होती हैं, और तरंग-फलन चिरसम्मत रूप से वर्जित क्षेत्र में प्रवेश करता है। E < V₀ सहित V₀ ऊँचाई व a चौड़ाई के आयताकार अवरोध हेतु κa ≫ 1 पर पारगमन T ≈ 16(E/V₀)(1 − E/V₀)e−2κa है, e−2κa से प्रभावित। E = 1 eV, V₀ = 5 eV व a = 0.5 nm वाले इलेक्ट्रॉन हेतु κ = 1.02 × 10¹⁰ m⁻¹ व e−2κa ≈ 3.6 × 10⁻⁵ — वही घातांकीय संवेदनशीलता जिसका क्रमवीक्षी सुरंगन सूक्ष्मदर्शी उपयोग करता है।

4. एक, दो व तीन विमाओं में बक्से, तथा डेल्टा विभव

अनंत कूप 0 < x < L में ψₙ = √(2/L) sin(nπx/L) तथा Eₙ = n²π²ħ²/(2mL²) = n²h²/(8mL²); 1 nm बक्से में इलेक्ट्रॉन हेतु E₁ = 0.376 eV। बक्से में पृथक्करणीय हल गुणित होता है: E = (π²ħ²/2m)(n_x²/L_x² + n_y²/L_y² + n_z²/L_z²)। घन में E = E₀(n_x² + n_y² + n_z²) और अपभ्रष्टता समान वर्ग-योग वाले क्रमित त्रिकों की संख्या है।

घनीय बक्से के निम्नतम स्तर
n_x² + n_y² + n_z²त्रिकअपभ्रष्टता
3(1, 1, 1)1
6(1, 1, 2) व क्रमचय3
9(1, 2, 2) व क्रमचय3
11(1, 1, 3) व क्रमचय3
14(1, 2, 3) व क्रमचय6

आकर्षी डेल्टा कूप V = −αδ(x) की ठीक एक बद्ध अवस्था है, ψ = √κ e−κ|x|, जहाँ κ = mα/ħ² व E = −mα²/(2ħ²)। ψ संतत है पर ψ′, −(2mα/ħ²)ψ(0) से उछलता है। |x| < 1/κ के भीतर कण पाने की प्रायिकता 1 − e−2 = 0.865 है। द्वि डेल्टा कूप −α[δ(x − a) + δ(x + a)] में सम बद्ध अवस्था सदा होती है और विषम केवल तब जब कूप पर्याप्त प्रबल या दूर हों (maα/ħ² > ½) — बंधी व प्रतिबंधी कक्षक का एक-विमीय मॉडल। डेल्टा अवरोध T = 1/(1 + mα²/(2ħ²E)) पारगमित करता है।

5. एक, दो व तीन विमाओं में आवर्ती दोलक

a = √(mω/2ħ)(x + ip/(mω)) व a† सहित H = ħω(a†a + ½), [a, a†] = 1, तथा Eₙ = (n + ½)ħω: समान अंतराल, शून्य-बिंदु ऊर्जा ħω/2 सहित। a†|n⟩ = √(n + 1)|n + 1⟩ व a|n⟩ = √n|n − 1⟩, x = √(ħ/2mω)(a + a†), अतः ⟨n|x|n⟩ = 0 व ⟨n|x²|n⟩ = (ħ/2mω)(2n + 1)। आइगेन-फलन हर्मिट बहुपद गुणा गाउसीय हैं, समता (−1)ⁿ सहित, तथा प्रत्येक आइगेन-अवस्था में ⟨T⟩ = ⟨V⟩ = Eₙ/2।

  • दो विमाएँ (समदैशिक): E = (n_x + n_y + 1)ħω = (N + 1)ħω, अपभ्रष्टता N + 1।
  • तीन विमाएँ (समदैशिक): E = (N + 3/2)ħω, अपभ्रष्टता (N + 1)(N + 2)/2 — N = 0, 1, 2, 3 हेतु 1, 3, 6, 10।
  • विषमदैशिक आवृत्तियाँ अपभ्रष्टता तोड़ती हैं; यह सममिति का परिणाम है, और गणना-प्रश्न सदा बताते हैं कि ω_x = ω_y = ω_z है या नहीं।

मुख्य बिंदु

  • σ_Aσ_B ≥ ½|⟨[A, B]⟩|; मापन aₙ को प्रायिकता |cₙ|² से देता है, तथा ⟨A⟩ = Σ|cₙ|²aₙ।
  • सोपान: E > V₀ पर भी R = ((k₁ − k₂)/(k₁ + k₂))²; अवरोध: κ = √(2m(V₀ − E))/ħ सहित T ≈ e−2κa।
  • बक्सा: Eₙ = n²h²/(8mL²); घन का स्तर 14E₀ छह-गुना अपभ्रष्ट है। 1D परिमित कूप सदा कम से कम एक अवस्था बाँधता है।
  • डेल्टा कूप ठीक एक अवस्था बाँधता है, E = −mα²/(2ħ²); द्वि डेल्टा कूप एक या दो बाँधता है।
  • दोलक: Eₙ = (n + ½)ħω, ⟨x²⟩ = (ħ/2mω)(2n + 1); 3D अपभ्रष्टता (N + 1)(N + 2)/2, 2D N + 1।

अभ्यास प्रश्न (13)

उत्तर खोलने से पहले प्रत्येक प्रश्न हल करें। हर व्याख्या सही विकल्प के साथ लुभावना गलत विकल्प भी बताती है, क्योंकि अंक वहीं जाते हैं।

  1. क्रमविनिमेयक [x, p²] बराबर है:

    1. 2iħp
    2. iħ
    3. −2iħp
    4. 0
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    उत्तर: A — 2iħp

    [x, p²] = [x, p]p + p[x, p] = iħp + piħ = 2iħp। [x, p²] को [x, p]² मानना −ħ² देता है, और उसे शून्य मानना भूलता है कि p² में p है।

  2. एक कण अवस्था ψ = (φ₁ + 2φ₂)/√5 में है, जहाँ φ₁ व φ₂ प्रसामान्यीकृत ऊर्जा आइगेन-अवस्थाएँ हैं। ऊर्जा मापन के E₂ देने की प्रायिकता ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 0.8

    c₂ = 2/√5, अतः P(E₂) = |c₂|² = 4/5 = 0.8। आयाम 2/√5 = 0.894 को प्रायिकता लेना वर्ग करना भूलता है; 2/3 प्रसामान्यीकरण के बिना गुणांकों की तुलना से आता है।

  3. एक आवर्ती दोलक अवस्था √(1/3) φ₀ + √(2/3) φ₁ में है। उसका ऊर्जा प्रत्याशा मान, ħω की इकाइयों में, दो दशमलव स्थानों तक, ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

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    उत्तर: 1.17

    ⟨E⟩ = (1/3)(0.5) + (2/3)(1.5) = 0.1667 + 1.0 = 1.1667ħω → 1.17। वर्गों के स्थान पर आयामों से भारित करना 0.577 × 0.5 + 0.816 × 1.5 = 1.51 देता है; Eₙ = nħω लेना 0.67 देता है।

  4. एक इलेक्ट्रॉन 1.0 nm चौड़ाई के एक-विमीय अनंत कूप में सीमित है। उसकी मूल-अवस्था ऊर्जा, eV में, दो दशमलव स्थानों तक, ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

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    उत्तर: 0.38

    E₁ = h²/(8mL²) = (6.626 × 10⁻³⁴)²/(8 × 9.109 × 10⁻³¹ × 10⁻¹⁸) = 6.03 × 10⁻²⁰ J = 0.376 eV → 0.38। h²/(8mL²) में h के स्थान पर ħ लेना 4π² गुना छोटा मान, 0.0095 eV, देता है।

  5. एक कण घनीय बक्से में है, ऊर्जाएँ E = E₀(n_x² + n_y² + n_z²)। स्तर E = 14E₀ की अपभ्रष्टता ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

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    उत्तर: 6

    14 = 1 + 4 + 9 ही है, अर्थात् (1, 2, 3), और उसके 3! = 6 क्रम भिन्न अवस्थाएँ हैं। दोहराई क्वांटम संख्या वाले स्तर, जैसे (1, 1, 2) से 6E₀, केवल त्रिगुण हैं।

  6. समदैशिक त्रि-विमीय आवर्ती दोलक हेतु ऊर्जा स्तर (9/2)ħω की अपभ्रष्टता ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 10

    E = (N + 3/2)ħω = (9/2)ħω से N = 3, और अपभ्रष्टता (N + 1)(N + 2)/2 = 4 × 5/2 = 10। 9/2 को एक विमा में n + ½ पढ़ना n = 4 व अपभ्रष्टता 1 देता है; 2D सूत्र N + 1, 4 देता है।

  7. 1.0 eV ऊर्जा का एक इलेक्ट्रॉन 5.0 eV ऊँचाई व 0.50 nm चौड़ाई के आयताकार अवरोध से मिलता है। κ = √(2m(V₀ − E))/ħ सहित T ≈ e−2κa प्रयोग करके T × 10⁵ का मान, एक दशमलव स्थान तक, ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

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    उत्तर: 3.6

    V₀ − E = 4 eV = 6.408 × 10⁻¹⁹ J; κ = √(2 × 9.109 × 10⁻³¹ × 6.408 × 10⁻¹⁹)/1.0546 × 10⁻³⁴ = 1.025 × 10¹⁰ m⁻¹; 2κa = 10.25, T = e−10.25 = 3.6 × 10⁻⁵। V₀ − E के स्थान पर V₀ लेना 2κa = 11.45 व T ≈ 1.1 × 10⁻⁵ देता है।

  8. E = 2V₀ ऊर्जा वाले कणों का एक पुंज V₀ ऊँचाई के विभव सोपान से मिलता है। परावर्तन गुणांक, तीन दशमलव स्थानों तक, ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 0.029

    k₂/k₁ = √((E − V₀)/E) = 1/√2 = 0.7071, अतः R = ((1 − 0.7071)/(1 + 0.7071))² = (0.1716)² = 0.029। चिरसम्मत रूप से R = 0; आयाम 0.172 बताना वर्ग करना भूलता है।

  9. एक कण आकर्षी डेल्टा विभव V = −αδ(x) में बद्ध है, मूल अवस्था ψ = √κ e−κ|x|। उसे −1/κ < x < 1/κ में पाने की प्रायिकता, तीन दशमलव स्थानों तक, ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 0.865

    P = 2∫₀1/κ κ e−2κx dx = 1 − e−2 = 1 − 0.1353 = 0.865। |ψ|² के स्थान पर |ψ| (अर्थात् e−κx) लेना 1 − e−1 = 0.632 देता है।

  10. एक-विमीय आकर्षी विभव V(x) = −αδ(x) (α > 0) की कितनी बद्ध अवस्थाएँ हैं?

    1. किसी भी α > 0 हेतु ठीक एक
    2. कोई नहीं, क्योंकि कूप की चौड़ाई शून्य है
    3. अनंत
    4. α पर निर्भर, एक या दो
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — किसी भी α > 0 हेतु ठीक एक

    एकमात्र प्रसामान्यीकरणीय सम हल √κ e−κ|x| है, κ = mα/ħ² सहित, जो प्रत्येक α > 0 हेतु विद्यमान है; विषम हल x = 0 पर लुप्त होता और विभव को कभी अनुभव न करता। "एक या दो" द्वि डेल्टा कूप का वर्णन है।

  11. V₀ गहराई के एक-विमीय परिमित वर्ग कूप हेतु कौन-से कथन सही हैं?

    1. कूप कितना भी उथला हो, कम से कम एक बद्ध अवस्था है
    2. बद्ध अवस्थाओं की संख्या V₀a² के साथ बढ़ती है
    3. बद्ध-अवस्था तरंग-फलन चिरसम्मत रूप से वर्जित क्षेत्र में फैलते हैं
    4. बद्ध-अवस्था ऊर्जाएँ समान चौड़ाई के अनंत कूप के बराबर हैं
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — कूप कितना भी उथला हो, कम से कम एक बद्ध अवस्था है; B — बद्ध अवस्थाओं की संख्या V₀a² के साथ बढ़ती है; C — बद्ध-अवस्था तरंग-फलन चिरसम्मत रूप से वर्जित क्षेत्र में फैलते हैं

    एक विमा में सम अवस्था सदा विद्यमान है; गणना z₀ = a√(2mV₀)/ħ से, अतः V₀a² से तय होती है; कूप के बाहर ψ ∝ e−κ|x| अशून्य है। क्योंकि ψ बाहर रिसता है, प्रभावी चौड़ाई बड़ी है और प्रत्येक ऊर्जा अनंत-कूप मान से नीचे है।

  12. एक-विमीय आवर्ती दोलक हेतु कौन-से कथन सही हैं?

    1. ऊर्जा स्तर समान अंतराल पर हैं
    2. आइगेन-अवस्थाएँ समता में एकांतरित होती हैं
    3. मूल अवस्था न्यूनतम-अनिश्चितता अवस्था है
    4. प्रत्येक स्तर द्विगुण अपभ्रष्ट है
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — ऊर्जा स्तर समान अंतराल पर हैं; B — आइगेन-अवस्थाएँ समता में एकांतरित होती हैं; C — मूल अवस्था न्यूनतम-अनिश्चितता अवस्था है

    Eₙ = (n + ½)ħω समान अंतराल पर है; ψₙ की समता (−1)ⁿ है; गाउसीय मूल अवस्था का ΔxΔp ठीक ħ/2 है। एक विमा में बद्ध अवस्थाएँ कभी अपभ्रष्ट नहीं होतीं, अतः अंतिम कथन असत्य है।

  13. कौन-सा गुण सुनिश्चित करता है कि किसी प्रेक्षणीय का प्रत्येक मापा गया मान वास्तविक संख्या है?

    1. संकारक हर्मिटी है
    2. संकारक ऐकिक है
    3. संकारक H के साथ क्रमविनिमेय है
    4. संकारक रैखिक है
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — संकारक हर्मिटी है

    हर्मिटी संकारक का ⟨ψ|Aψ⟩ = ⟨Aψ|ψ⟩ है, जो उसके आइगेन-मानों — संभावित परिणामों — को वास्तविक होने को बाध्य करता है। ऐकिक संकारक के आइगेन-मानों का परिमाण 1 है, प्रायः सम्मिश्र; H के साथ क्रमविनिमेयता राशि को संरक्षित बनाती है, वास्तविक नहीं।