गणितीय भौतिकी II: विचित्रताएँ, अवशेष समाकल, फुरिये विश्लेषण व डेल्टा फलन

GATE भौतिकी पेपर के खंड 2 हेतु दूसरा अध्याय। साझा सम्मिश्र चर अध्याय कौशी–रीमान प्रतिबंध, कौशी प्रमेय व सूत्र, लॉरां श्रेणी तथा अवशेष प्रमेय पढ़ाता है; साझा रूपांतर अध्याय सममिति द्वारा फुरिये श्रेणी तथा फुरिये रूपांतर पढ़ाता है। खंड 2 "विचित्रताएँ, अवशेष प्रमेय व अनुप्रयोग" तथा "फुरिये विश्लेषण" नामित करता है, और भौतिकी पेपर दोनों को अभियांत्रिकी पेपर से अधिक गहराई से पूछता है। अतः यह अध्याय विचित्रताओं का वर्गीकरण करता है — विलोपनीय, ध्रुव, अनिवार्य व शाखा बिंदु — और फिर वह करता है जिसका अर्थ "अनुप्रयोग" है: यह परिपथ समाकलन से वास्तविक समाकल निकालता है, परिमेय, त्रिकोणमितीय तथा जॉर्डन प्रमेयिका सहित फुरिये-प्रकार के। यह भौतिकी में प्रयुक्त फुरिये विश्लेषण पर समाप्त होता है: सम्मिश्र श्रेणी व पार्सेवल प्रमेय, गाउसीय का रूपांतर, चौड़ाई–बैंड-चौड़ाई गुणनफल, संवलन, तथा डिरैक डेल्टा फलन, जिसे क्वांटम अध्याय विभव के रूप में देखते हैं।

1. विचित्रताओं का वर्गीकरण

बिंदु z₀ जहाँ f वैश्लेषिक नहीं रहता, वियुक्त विचित्रता है यदि उसके चारों ओर एक छिद्रित चक्रिका में f वैश्लेषिक हो। तब z₀ के परितः लॉरां श्रेणी उसे ऋणात्मक घातों से वर्गीकृत करती है। यदि कोई नहीं है, तो विचित्रता विलोपनीय है — z = 0 पर sin z/z, जिसकी श्रेणी 1 − z²/6 + … f(0) = 1 परिभाषित करते ही परिमित है। यदि ऋणात्मक घात (z − z₀)−m पर रुकते हैं, तो वह कोटि m का ध्रुव है। यदि वे कभी नहीं रुकते, तो वह अनिवार्य विचित्रता है — z = 0 पर e1/z = Σ z−n/n! — जिसके निकट f लगभग प्रत्येक सम्मिश्र मान लेता है।

चार प्रकार, और उन्हें कैसे पहचानें
प्रकारz = 0 पर उदाहरणपरीक्षण
विलोपनीयsin z / zlim f(z) विद्यमान व परिमित; अवशेष 0
कोटि m का ध्रुव1/z³, cos z / z²(z − z₀)m f → परिमित अशून्य
अनिवार्यe1/z, sin(1/z)अनंत ऋणात्मक घात
शाखा बिंदु (वियुक्त नहीं)√z, ln zचारों ओर f बहुमानी; शाखा-कटाव चाहिए

अनिवार्य विचित्रता पर अवशेष अब भी z−1 का गुणांक है, श्रेणी से पढ़ा गया। z²e1/z = z² Σ z−n/n! हेतु z−1 पद n = 3 से आता है, अतः अवशेष 1/3! = 1/6 है। 1/sin(1/z) हेतु z = 0 जैसा बिंदु बिल्कुल वियुक्त नहीं है: z = 1/(nπ) पर ध्रुव उसमें सिमटते हैं, और उसके परितः कोई लॉरां श्रेणी नहीं है।

2. अवशेषों से वास्तविक समाकल

  • पूरी रेखा पर परिमेय फलन। यदि P/Q के कोई वास्तविक ध्रुव नहीं और deg Q ≥ deg P + 2, तो ऊपरी अर्धतल में बड़े अर्धवृत्त से परिपथ बंद करें; चाप का योगदान शून्य, और ∫−∞∞ P/Q dx = 2πi Σ (ऊपरी अर्धतल के अवशेष)। अतः ∫dx/(1 + x²) = 2πi · 1/(2i) = π, तथा ∫dx/(1 + x²)² = 2πi · (−i/4) = π/2 (z = i पर द्विक ध्रुव)।
  • एक आवर्त पर त्रिकोणमितीय समाकल। z = eiθ रखें: cos θ = (z + 1/z)/2, dθ = dz/(iz), और समाकल |z| = 1 पर परिपथ समाकल बनता है। मानक परिणाम a > |b| हेतु ∫₀2π dθ/(a + b cos θ) = 2π/√(a² − b²) है, अतः a = 5, b = 4 पर यह 2π/3 है।
  • फुरिये-प्रकार के समाकल व जॉर्डन प्रमेयिका। k > 0 व अनंत पर f → 0 सहित ∫ f(x)eikx dx हेतु, ऊपरी चाप लुप्त होता है चाहे f केवल 1/|z| की तरह घटे (जॉर्डन प्रमेयिका)। अतः ∫−∞∞ cos kx/(x² + a²) dx = Re[2πi · e−ka/(2ia)] = (π/a)e−ka, जो k = a = 1 हेतु π/e ≈ 1.156 है।
⚠️ परिपथ उस ओर बंद करें जहाँ घातांक क्षय हो
k > 0 सहित eikx हेतु eikz = eikxe−ky केवल y > 0 हेतु क्षय होता है, अतः परिपथ ऊपर बंद होता है और Im z > 0 वाले ध्रुव गिने जाते हैं। k < 0 पर उसे नीचे बंद करना पड़ता है, दक्षिणावर्त दिशा से ऋण चिह्न सहित। स्वयं cos kx को चाप पर ले जाना सीधे विफल होता है, क्योंकि cos(kz) दोनों अर्धतलों में घातांकीय बढ़ता है — पहले उसे eikz के वास्तविक भाग के रूप में लिखें।

3. सम्मिश्र रूप में फुरिये श्रेणी, व पार्सेवल

(−π, π) पर आवर्ती f, f(x) = Σₙ cₙeinx है, जहाँ cₙ = (1/2π)∫ f(x)e−inx dx; वास्तविक f हेतु c₋ₙ = cₙ*, और cₙ = (aₙ − ibₙ)/2 इसे ज्या–कोज्या रूप से जोड़ता है। पार्सेवल प्रमेय इस आधार पर लागू पूर्णता है: (1/2π)∫|f|² dx = Σ|cₙ|² = a₀²/4 + ½Σ(aₙ² + bₙ²)। यह फुरिये श्रेणी को किसी संख्यात्मक श्रेणी के योग में बदल देता है।

हल किया: (−π, π) पर f(x) = x विषम है, अतः aₙ = 0 व bₙ = 2(−1)n+1/n। बायाँ पक्ष (1/2π)∫x² dx = π²/3 है; दायाँ पक्ष ½Σ4/n² = 2Σ1/n²। अतः Σ 1/n² = π²/6 ≈ 1.645। ±1 वाली वर्ग तरंग इसी प्रकार Σ 1/(2k − 1)² = π²/8 देती है। किसी उछाल के निकट छोटी की गई श्रेणी उछाल का लगभग 9% अधिक चढ़ जाती है, चाहे जितने पद रखे जाएँ — गिब्स परिघटना — जबकि पूर्ण श्रेणी उछाल के मध्य-बिंदु तक अभिसरित होती है।

4. भौतिकी में फुरिये रूपांतर, व डिरैक डेल्टा

भौतिकी प्रायः सममित युग्म F(k) = (1/√2π)∫ f(x)e−ikx dx तथा f(x) = (1/√2π)∫ F(k)eikx dk लिखती है; अभियांत्रिकी परिपाटियाँ 2π को खिसकाती या चिह्न पलटती हैं, और प्रश्न अपनी परिपाटी बताता है। चार गुण अधिकांश काम करते हैं: अवकलन गुणन बनता है, f′ ↔ ikF; विस्थापन कला बनता है, f(x − a) ↔ e−ikaF; संवलन गुणनफल बनता है, (f∗g) ↔ √2π FG; तथा प्लांशेरेल ∫|f|² dx = ∫|F|² dk मानक रखता है।

गाउसीय आकार में स्वयं का रूपांतर है: e−ax² ↦ (1/√(2a)) e−k²/4a। संकीर्ण गाउसीय (बड़ा a) का रूपांतर चौड़ा होता है, और चौड़ाइयों का गुणनफल नियत है — Δx Δk ≥ ½ का, और इस प्रकार अनिश्चितता सिद्धांत का, गणितीय मूल। डिरैक डेल्टा δ(x) इकाई-क्षेत्रफल वाले उत्तरोत्तर संकीर्ण गाउसीयों की सीमा है; उसका रूपांतर नियतांक 1/√2π है, जो δ(x) = (1/2π)∫eikx dk देता है।

डेल्टा-फलन नियम
नियमहल किया
∫ f(x) δ(x − a) dx = f(a)∫ (x³ + 1) δ(x − 2) dx = 9
δ(ax) = δ(x)/|a|∫ x² δ(2x − 4) dx = ∫ x² δ(x − 2)/2 dx = 2
δ(g(x)) = Σ δ(x − xᵢ)/|g′(xᵢ)|δ(x² − 1) = [δ(x − 1) + δ(x + 1)]/2
∫ f(x) δ′(x) dx = −f′(0)खंडशः; सीमा पद लुप्त होता है
⚠️ मापन नियम वही है जो परीक्षक रखते हैं
δ(2x − 4), δ(x − 2) नहीं है। u = 2x रखने से दिखता है कि उसका भार आधा है: ∫ f(x) δ(2x − 4) dx = f(2)/2। उत्तर f(2) वह विकल्प है जो 1/|a| छोड़ने वाले हेतु रखा जाता है।

मुख्य बिंदु

  • विलोपनीय, ध्रुव या अनिवार्य — लॉरां श्रेणी के ऋणात्मक घातों से पढ़ा जाता है; शाखा बिंदु वियुक्त विचित्रता नहीं है, और न वह बिंदु जहाँ ध्रुव सिमटते हैं।
  • deg Q ≥ deg P + 2 होने पर ∫−∞∞ P/Q dx = 2πi × (ऊपरी अर्धतल अवशेष); ∫₀2π dθ/(a + b cos θ) = 2π/√(a² − b²)।
  • k > 0 सहित eikx हेतु ऊपर बंद करें (जॉर्डन प्रमेयिका): ∫ cos kx/(x² + a²) dx = (π/a)e−ka। चाप पर cos kz कभी न रखें।
  • पार्सेवल फुरिये श्रेणी को संख्यात्मक योग में बदलता है: f = x से Σ1/n² = π²/6।
  • गाउसीय व्युत्क्रम चौड़ाई के गाउसीय में रूपांतरित होता है; δ(ax) = δ(x)/|a|, तथा ∫ f δ(x − a) dx = f(a)।

अभ्यास प्रश्न (13)

उत्तर खोलने से पहले प्रत्येक प्रश्न हल करें। हर व्याख्या सही विकल्प के साथ लुभावना गलत विकल्प भी बताती है, क्योंकि अंक वहीं जाते हैं।

  1. z = 0 पर फलन sin z / z की:

    1. विलोपनीय विचित्रता
    2. साधारण ध्रुव
    3. अनिवार्य विचित्रता
    4. शाखा बिंदु
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — विलोपनीय विचित्रता

    sin z/z = 1 − z²/6 + z⁴/120 − …, कोई ऋणात्मक घात नहीं, और 0 पर सीमा 1 है। f(0) = 1 परिभाषित करना विचित्रता हटा देता है। सूत्र का 1/z "साधारण ध्रुव" को लुभाता है, पर sin z का शून्य उसे निरस्त कर देता है।

  2. z = 0 पर फलन e1/z की:

    1. अनिवार्य विचित्रता
    2. अनंत कोटि का ध्रुव जो फिर भी ध्रुव है
    3. विलोपनीय विचित्रता
    4. शाखा बिंदु
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — अनिवार्य विचित्रता

    e1/z = Σ z−n/n! में अनंत ऋणात्मक घात हैं, जो अनिवार्य विचित्रता को परिभाषित करते हैं; उसके निकट फलन लगभग प्रत्येक सम्मिश्र मान लेता है। ध्रुव हेतु ऋणात्मक घात परिमित कोटि पर रुकने चाहिए, और फलन एकमानी है, अतः शाखा बिंदु नहीं।

  3. z = 0 पर z² e1/z का अवशेष, तीन दशमलव स्थानों तक, ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 0.167

    z² e1/z = z²(1 + 1/z + 1/(2z²) + 1/(6z³) + …); z−1 पद z²/(6z³) है, अतः अवशेष 1/6 = 0.167। अनिवार्य विचित्रता पर ध्रुवों का अवशेष सूत्र प्रयुक्त नहीं होता, और 1/(2z²) पद लेना 0.5 देता है।

  4. ∫−∞∞ dx/(x² + 1)² का मान, तीन दशमलव स्थानों तक, ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 1.571

    ऊपर बंद करें; z = i द्विक ध्रुव है। अवशेष = z = i पर d/dz[1/(z + i)²] = −2/(2i)³ = −2/(−8i) = −i/4। समाकल 2πi(−i/4) = π/2 = 1.571। ध्रुव को साधारण मानकर lim (z − i)f यहाँ अपरिभाषित है; 1/(1 + z²) का अवशेष लेना π देता है।

  5. ∫₀2π dθ/(5 + 4 cos θ) का मान, तीन दशमलव स्थानों तक, ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 2.094

    z = eiθ से समाकल्य dz/[i(2z² + 5z + 2)] = dz/[2i(z + ½)(z + 2)] बनता है; केवल z = −½, |z| = 1 के भीतर है, अवशेष 1/[2i · (3/2)] = 1/(3i)। अतः समाकल 2πi/(3i) = 2π/3 = 2.094, जो 2π/√(25 − 16) से मेल खाता है। −2 के ध्रुव को भी लेना 0 देता है।

  6. ∫−∞∞ cos x/(x² + 1) dx का मान, तीन दशमलव स्थानों तक, ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 1.156

    cos x = Re eix लिखें और ऊपर बंद करें (जॉर्डन प्रमेयिका)। z = i पर eiz/(z² + 1) का अवशेष e−1/(2i) है, अतः समाकल Re[2πi · e−1/(2i)] = π/e = 1.156। घातांक छोड़ना π = 3.142 देता है, जो केवल 1/(x² + 1) का उत्तर है।

  7. z = 0 पर, निम्न में से किन फलनों की विचित्रता वियुक्त है?

    1. 1/z²
    2. √z
    3. e1/z
    4. 1/sin(1/z)
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — 1/z²; C — e^{1/z}

    1/z² का द्विक ध्रुव व e1/z की अनिवार्य विचित्रता है, दोनों वियुक्त। √z, 0 के चारों ओर बहुमानी है — शाखा बिंदु, वियुक्त विचित्रता नहीं। 1/sin(1/z) के ध्रुव z = 1/(nπ) पर हैं जो 0 पर सिमटते हैं, अतः 0 के चारों ओर कोई छिद्रित चक्रिका विचित्रताओं से मुक्त नहीं।

  8. (−π, π) पर f(x) = x की फुरिये श्रेणी में bₙ = 2(−1)n+1/n है। पार्सेवल प्रमेय से Σn=1∞ 1/n² का मान, तीन दशमलव स्थानों तक, ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 1.645

    (1/π)∫−ππ x² dx = 2π²/3 को Σbₙ² = 4Σ1/n² के बराबर होना चाहिए, अतः Σ1/n² = π²/6 = 1.645। बाईं ओर (1/2π) व दाईं ओर Σbₙ² लेना (दोनों प्रसामान्यीकरण मिलाना) π²/12 = 0.822 देता है।

  9. गाउसीय स्पंद e−ax² को a बढ़ाकर संकीर्ण किया जाता है। उसका फुरिये रूपांतर:

    1. गाउसीय रहता है और k में चौड़ा होता है
    2. गाउसीय रहता है और k में संकीर्ण होता है
    3. sinc फलन बन जाता है
    4. लोरेंट्ज़ीय बन जाता है
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — गाउसीय रहता है और k में चौड़ा होता है

    e−ax² ↦ (1/√(2a))e−k²/4a: रूपांतर गाउसीय है जिसकी चौड़ाई ∝ √a, अतः संकीर्ण स्पंद का स्पेक्ट्रम चौड़ा होता है और चौड़ाई-गुणनफल नियत रहता है। sinc आयताकार स्पंद का और लोरेंट्ज़ीय e−a|x| का है।

  10. ∫−∞∞ (x³ + 1) δ(x − 2) dx का मान ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 9

    डेल्टा फलन शेष समाकल्य का x = 2 पर मान चुनता है: 2³ + 1 = 9। x = 0 पर मान लेना (δ(x − 2) को δ(x) पढ़ना) 1 देता है, और x = −2 पर −7।

  11. ∫−∞∞ x² δ(2x − 4) dx का मान ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 2

    δ(2x − 4) = δ(2(x − 2)) = δ(x − 2)/2, अतः समाकल 2²/2 = 2। मापन नियम δ(ax) = δ(x)/|a| की उपेक्षा 4 देती है, और वही सबसे आम ग़लत उत्तर है।

  12. F(k) = (1/√2π)∫f e−ikx dx परिपाटी में f(x) का फुरिये रूपांतर F(k) हो, तो df/dx का रूपांतर है:

    1. ik F(k)
    2. −ik F(k)
    3. dF/dk
    4. F(k)/(ik)
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — ik F(k)

    खंडशः समाकलन: (1/√2π)∫f′e−ikx dx = [सीमा पद, शून्य] + ik(1/√2π)∫f e−ikx dx = ikF। चिह्न −ik विपरीत परिपाटी e+ikx का है; dF/dk, −ixf का रूपांतर है, और F/(ik) समाकलन है।

  13. एक वर्ग तरंग को फुरिये श्रेणी में प्रसारित किया जाता है। कौन-से कथन सही हैं?

    1. उछाल पर पूर्ण श्रेणी उछाल के मध्य-बिंदु तक अभिसरित होती है
    2. उछाल के निकट छोटी की गई श्रेणी का अधि-चढ़ाव अधिक पद जोड़ने पर शून्य तक नहीं घटता
    3. पार्सेवल प्रमेय Σ 1/(2k − 1)² = π²/8 देता है
    4. गुणांक 1/n² की तरह घटते हैं, क्योंकि फलन परिबद्ध है
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — उछाल पर पूर्ण श्रेणी उछाल के मध्य-बिंदु तक अभिसरित होती है; B — उछाल के निकट छोटी की गई श्रेणी का अधि-चढ़ाव अधिक पद जोड़ने पर शून्य तक नहीं घटता; C — पार्सेवल प्रमेय Σ 1/(2k − 1)² = π²/8 देता है

    उछाल पर श्रेणी एकपक्षीय सीमाओं के औसत तक अभिसरित होती है, और गिब्स अधि-चढ़ाव उसके निकट खिसकते हुए उछाल के लगभग 9% पर बना रहता है। ±1 हेतु विषम n पर bₙ = 4/(nπ), और पार्सेवल (16/π²)·½Σ1/(2k − 1)² = 1, अर्थात् π²/8 देता है। ये गुणांक 1/n की तरह घटते हैं: असांतत्य 1/n बाध्य करता है, और 1/n² हेतु संतत फलन चाहिए।