गणितीय भौतिकी I: आंतर-गुणन समष्टियाँ, पूर्णता, समरूपता रूपांतरण व प्रदिश

GATE भौतिकी (PH) पेपर के खंड 2, गणितीय भौतिकी, हेतु लिखे गए दो अध्यायों में से पहला, और केवल उन भागों हेतु जिन्हें कोई साझा गणित अध्याय नहीं पढ़ाता। साझा रैखिक बीजगणित अध्याय आइगेन-मान, आइगेन-सदिश तथा आव्यूह कब विकर्णनीय है — यह पहले ही पढ़ाता है, और सदिश समष्टि अध्याय आधार, स्वतंत्रता व कोटि पढ़ाता है। भौतिकी पाठ्यक्रम जो जोड़ता है, और जो यह अध्याय देता है, वह है आंतर गुणन: लांबिकता, ग्राम–श्मिट प्रक्रिया, तथा पूर्णता, उसी रूप में लिखी जैसे क्वांटम यांत्रिकी उसका प्रयोग करती है, Σ|eᵢ⟩⟨eᵢ| = 1। फिर यह समरूपता रूपांतरणों को आधार-परिवर्तन के रूप में लेता है, उन हर्मिटी व ऐकिक आव्यूहों सहित जिन्हें भौतिकी प्रतिदिन विकर्णित करती है, और प्रदिशों पर समाप्त होता है: वे रूपांतरण नियम जो सहपरिवर्ती व प्रतिपरिवर्ती घटकों को परिभाषित करते हैं, क्रोनेकर डेल्टा व लेवी-चिविटा प्रतीक, मापीय प्रदिश, संकुचन तथा भागफल नियम। यहाँ की प्रत्येक सर्वसमिका इस पेपर के चिरसम्मत यांत्रिकी, विद्युतचुंबकत्व व क्वांटम अध्यायों में पुनः प्रयुक्त होती है।

1. आंतर गुणन, लांबिकता व ग्राम–श्मिट प्रक्रिया

कोई रैखिक सदिश समष्टि तब ज्यामिति बनती है जब उसमें आंतर गुणन ⟨u|v⟩ हो: एक सम्मिश्र संख्या जो दूसरे स्थान में रैखिक, पहले में संयुग्मी-रैखिक है, ⟨u|v⟩ = ⟨v|u⟩* को संतुष्ट करती है, तथा प्रत्येक अशून्य v हेतु ⟨v|v⟩ > 0 देती है। मानक ‖v‖ = √⟨v|v⟩ है, दो सदिश लांबिक हैं जब ⟨u|v⟩ = 0, और कौशी–श्वार्ज़ असमिका |⟨u|v⟩|² ≤ ⟨u|u⟩⟨v|v⟩ लागू होती है, समता केवल तब जब एक सदिश दूसरे का गुणज हो। Cⁿ में आंतर गुणन ⟨u|v⟩ = Σ uᵢ* vᵢ है; किसी अंतराल पर फलनों हेतु यह ⟨f|g⟩ = ∫ f*(x) g(x) dx है।

ग्राम–श्मिट किसी भी स्वतंत्र समुच्चय v₁, v₂, … को प्रत्येक चरण में पहले बने सदिशों के अनुदिश घटक घटाकर प्रसामान्य-लांबिक बनाता है: e₁ = v₁/‖v₁‖, फिर u₂ = v₂ − ⟨e₁|v₂⟩e₁ तथा e₂ = u₂/‖u₂‖, इत्यादि। हल किया: v₁ = (1, 1, 0) व v₂ = (1, 0, 1) से, e₁ = (1, 1, 0)/√2, e₁ के अनुदिश v₂ का घटक 1/√2 है, अतः u₂ = (1, 0, 1) − ½(1, 1, 0) = (½, −½, 1), ‖u₂‖ = √(3/2) ≈ 1.22, तथा e₂ = (1, −1, 2)/√6। जाँच: e₁·e₂ = (1 − 1 + 0)/√12 = 0।

⚠️ प्रसामान्यीकृत सदिश पर प्रक्षेप घटाएँ
v₁ पर v₂ का प्रक्षेप (⟨v₁|v₂⟩/⟨v₁|v₁⟩)v₁ है। ⟨v₁|v₁⟩ — यहाँ 2 — से भाग दिए बिना ⟨v₁|v₂⟩v₁ लिखना दोगुना अधिक घटाता है और ऐसा सदिश छोड़ता है जो v₁ के लांबिक नहीं। या तो पहले प्रसामान्यीकरण करें, जैसा ऊपर, या हर रखें।

2. प्रसामान्य-लांबिक आधार व पूर्णता

प्रसामान्य-लांबिक आधार {|eᵢ⟩} में प्रत्येक सदिश |v⟩ = Σ cᵢ|eᵢ⟩ के रूप में प्रसारित होता है, जहाँ cᵢ = ⟨eᵢ|v⟩ — गुणांक एक आंतर गुणन है, किसी रैखिक निकाय का हल नहीं। वापस रखने पर प्रत्येक v हेतु |v⟩ = Σ |eᵢ⟩⟨eᵢ|v⟩ मिलता है, जो पूर्णता (संवरक) संबंध Σ|eᵢ⟩⟨eᵢ| = 1 है। मानक लेने पर पार्सेवल संबंध ‖v‖² = Σ|cᵢ|² मिलता है। पूर्णता कहती है कि आधार कुछ नहीं छोड़ता: प्रत्येक eᵢ के लांबिक एकमात्र सदिश शून्य सदिश है।

परिमित व अनंत विमाएँ साथ-साथ
विचारCⁿ(−π, π) पर फलन
आंतर गुणनΣ uᵢ* vᵢ∫ f* g dx
प्रसामान्य-लांबिक समुच्चयएकांक सदिश eᵢeinx/√(2π), n = 0, ±1, ±2, …
गुणांकcᵢ = ⟨eᵢ|v⟩cₙ = (1/√(2π)) ∫ e−inx f dx
पूर्णताΣ|eᵢ⟩⟨eᵢ| = 1Σₙ φₙ(x) φₙ*(x′) = δ(x − x′)

अनंत-विमीय समष्टि में केवल लांबिकता पूर्णता की गारंटी नहीं देती: (−π, π) पर sin nx लांबिक हैं, परंतु cos x जैसे सम फलन को निरूपित नहीं कर सकते, अतः वे वहाँ पूर्ण नहीं हैं — कोज्याएँ जोड़नी पड़ती हैं। पूरे समुच्चय einx की पूर्णता ही फुरिये श्रेणी को माध्य में f तक अभिसरित होने देती है, और यही क्वांटम यांत्रिकी मानती है जब वह किसी अवस्था को हर्मिटी संकारक के आइगेन-फलनों में प्रसारित करती है।

3. समरूपता रूपांतरण, हर्मिटी व ऐकिक आव्यूह

समरूपता रूपांतरण A′ = S⁻¹AS वही रैखिक प्रतिचित्रण है जो एक नए आधार में लिखा गया है, जिसके सदिश S के स्तंभ हैं। जो कुछ आधार पर निर्भर नहीं, वह बचा रहता है: अभिलक्षणिक बहुपद, अतः आइगेन-मान, ट्रेस, सारणिक तथा कोटि। आइगेन-सदिशों के घटक बदलते हैं, क्योंकि वे नए आधार में लिखे जाते हैं। विकर्णन S का वह विशेष चुनाव है जिसके स्तंभ n स्वतंत्र आइगेन-सदिश हों: तब S⁻¹AS = D = diag(λ₁, …, λₙ)।

  • हर्मिटी (H = H†): वास्तविक आइगेन-मान, भिन्न आइगेन-मानों के आइगेन-सदिश लांबिक, तथा सदा ऐकिक U द्वारा विकर्णनीय: U†HU = D। भौतिक प्रेक्षणीय ठीक इसी कारण हर्मिटी होते हैं।
  • ऐकिक (U†U = 1): आंतर गुणन व मानक संरक्षित रखता है, तथा प्रत्येक आइगेन-मान |λ| = 1, अतः λ = eiθ। वास्तविक ऐकिक आव्यूह लांबिक होता है (घूर्णन व परावर्तन, det = ±1)।
  • क्रमविनिमेय हर्मिटी आव्यूह एक ही ऐकिक आव्यूह से विकर्णित हो सकते हैं — उनके आइगेन-सदिशों का पूर्ण समुच्चय साझा होता है। यह "संगत प्रेक्षणीयों" का आव्यूह रूप है।
  • आव्यूह के फलन आइगेन-मानों का अनुसरण करते हैं: f(A) = S f(D) S⁻¹। अतः det(eA) = etr A, तथा पाउली आव्यूह σ_x (σ_x² = 1) हेतु श्रेणी eiθσ_x = cos θ · 1 + i sin θ · σ_x देती है।
🧠 पहले आइगेन-मान, आव्यूह कभी नहीं
H = [[2, i], [−i, 2]] हर्मिटी है, ट्रेस 4 व सारणिक 4 − 1 = 3, अतः आइगेन-मान 1 व 3 हैं। तब det(eH) = e¹·e³ = e⁴ ≈ 54.6 तथा tr(H²) = 1 + 9 = 10, eH या H² बनाए बिना। इसी प्रकार [[1, 2], [2, 1]] के आइगेन-मान 3 व −1 हैं, अतः tr(A⁴) = 81 + 1 = 82।

4. प्रदिश: रूपांतरण नियम, सहपरिवर्ती व प्रतिपरिवर्ती घटक

प्रदिश इस बात से परिभाषित होता है कि निर्देशांक xⁱ से x′ⁱ में बदलने पर उसके घटक कैसे बदलते हैं। प्रतिपरिवर्ती सदिश विस्थापन dxⁱ की तरह रूपांतरित होता है: A′ⁱ = (∂x′ⁱ/∂xʲ) Aʲ। सहपरिवर्ती सदिश प्रवणता ∂φ/∂xⁱ की तरह रूपांतरित होता है: A′ᵢ = (∂xʲ/∂x′ⁱ) Aⱼ। ऊपरी सूचकांक प्रतिपरिवर्ती, निचले सहपरिवर्ती हैं, और दोहराया गया ऊपरी–निचला युग्म जोड़ा जाता है (आइंस्टाइन परिपाटी)। कोटि-2 प्रदिश प्रत्येक सूचकांक हेतु एक गुणक लेता है: T′ⁱʲ = (∂x′ⁱ/∂xᵏ)(∂x′ʲ/∂xˡ) Tᵏˡ, और मिश्रित प्रदिश T′ⁱⱼ प्रत्येक प्रकार का एक गुणक लेता है।

एक विमा में हल किया: खिंचाव x′ = 2x के अंतर्गत ∂x′/∂x = 2। प्रतिपरिवर्ती घटक दोगुना होता है (A′ = 2A — आधी इकाइयों में मापा विस्थापन दोगुनी संख्या है), जबकि सहपरिवर्ती घटक आधा होता है (A′ = A/2 — प्रति नई इकाई ढाल आधी है)। अतः 6 का सहपरिवर्ती घटक 3 बनता है, और 6 का प्रतिपरिवर्ती घटक 12। कार्तीय अक्षों के घूर्णन के अंतर्गत रूपांतरण आव्यूह लांबिक है, उसका प्रतिलोम उसका परिवर्त है, और दोनों प्रकार संपाती हो जाते हैं — इसीलिए प्रारंभिक भौतिकी को यह भेद कभी नहीं चाहिए था।

भौतिकी पेपर जिन प्रदिशों का प्रयोग करता है
प्रदिशकोटि व सममितिकहाँ आता है
जड़त्व प्रदिश Iᵢⱼ2, सममितदृढ़ पिंड हेतु L = Iω
प्रतिबल प्रदिश σᵢⱼ2, सममितपृष्ठ पर प्रति क्षेत्रफल बल
मापीय प्रदिश gᵢⱼ2, सममितds² = gᵢⱼ dxⁱ dxʲ; सूचकांक उठाता व गिराता है
क्षेत्र प्रदिश Fμν2, प्रतिसममित, 6 घटकआपेक्षिकता में E व B साथ

5. प्रदिश बीजगणित: δ, ε, संकुचन, सममिति व भागफल नियम

  • क्रोनेकर डेल्टा δⁱⱼ मिश्रित कोटि-2 प्रदिश है जिसके घटक (1 या 0) प्रत्येक निर्देशांक निकाय में समान हैं। n विमाओं में δᵢᵢ = n, तथा δᵢⱼAⱼ = Aᵢ।
  • लेवी-चिविटा प्रतीक εᵢⱼₖ, 123 के सम क्रमचयों हेतु +1, विषम हेतु −1 तथा सूचकांक दोहराने पर 0 है। यह छद्म-प्रदिश है (परावर्तन में चिह्न बदलता है)। (A × B)ᵢ = εᵢⱼₖAⱼBₖ, तथा εᵢⱼₖεᵢₘₙ = δⱼₘδₖₙ − δⱼₙδₖₘ, जिसका पूर्ण संकुचन εᵢⱼₖεᵢⱼₖ = 6 देता है।
  • संकुचन — एक ऊपरी सूचकांक को एक निचले के बराबर रखकर जोड़ना — कोटि दो से घटाता है: Tⁱᵢ अदिश (ट्रेस) है, तथा AⁱBᵢ अपरिवर्ती अदिश गुणन है।
  • सममिति-गणना। n विमाओं में कोटि-2 प्रदिश अद्वितीय रूप से सममित व प्रतिसममित भागों में बँटता है, जिनके स्वतंत्र घटक n(n + 1)/2 व n(n − 1)/2 हैं। चार विमाओं में वे 10 व 6 हैं — मापीय प्रदिश व क्षेत्र प्रदिश।
  • मापीय प्रदिश। gᵢⱼ सूचकांक गिराता है, Aᵢ = gᵢⱼAʲ, तथा उसका प्रतिलोम gⁱʲ उठाता है। चिह्नक (+, −, −, −) वाली मिंकोव्स्की समष्टि में x_μ = (ct, −x, −y, −z) जबकि x^μ = (ct, x, y, z)।
🎯 भागफल नियम
यदि संख्याओं के किसी समुच्चय Tᵢⱼ का किसी यादृच्छिक प्रदिश से गुणन प्रदिश देता है — मान लें प्रत्येक प्रतिपरिवर्ती Bʲ हेतु TᵢⱼBʲ सहपरिवर्ती सदिश है — तो Tᵢⱼ स्वयं उस कोटि का प्रदिश है जो सूचकांक दिखाते हैं। जड़त्व प्रदिश इसी प्रकार पहचाना जाता है: L = Iω प्रत्येक ω हेतु सत्य है, और L व ω दोनों सदिश हैं, अतः I कोटि-2 प्रदिश होना चाहिए।

मुख्य बिंदु

  • प्रसामान्य-लांबिक आधार में प्रसार गुणांक आंतर गुणन है, cᵢ = ⟨eᵢ|v⟩, तथा Σ|eᵢ⟩⟨eᵢ| = 1 पूर्णता है; ‖v‖² = Σ|cᵢ|² पार्सेवल है।
  • ग्राम–श्मिट पहले बने प्रसामान्यीकृत सदिशों पर प्रक्षेप घटाता है; ⟨v₁|v₁⟩ हर भूलना मानक त्रुटि है।
  • समरूपता रूपांतरण अभिलक्षणिक बहुपद, आइगेन-मान, ट्रेस, सारणिक व कोटि रखता है; आइगेन-सदिशों के घटक बदलता है।
  • हर्मिटी: वास्तविक आइगेन-मान, ऐकिक विकर्णन। ऐकिक: |λ| = 1। आव्यूहों के फलन आइगेन-मानों पर क्रिया करते हैं, अतः det(eA) = etr A।
  • प्रतिपरिवर्ती घटक ∂x′/∂x से, सहपरिवर्ती ∂x/∂x′ से रूपांतरित होते हैं; संकुचन कोटि दो घटाता है; n विमाओं में कोटि-2 प्रदिश के n(n + 1)/2 सममित व n(n − 1)/2 प्रतिसममित घटक होते हैं।

अभ्यास प्रश्न (13)

उत्तर खोलने से पहले प्रत्येक प्रश्न हल करें। हर व्याख्या सही विकल्प के साथ लुभावना गलत विकल्प भी बताती है, क्योंकि अंक वहीं जाते हैं।

  1. e₁ = (1, 1, 0)/√2 हो तो v = (1, 0, 1) का e₁ के अनुदिश घटक ⟨e₁|v⟩ है:

    1. 1/√2
    2. 1
    3. √2
    4. 1/2
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — 1/√2

    ⟨e₁|v⟩ = (1·1 + 1·0 + 0·1)/√2 = 1/√2। मान 1 अप्रसामान्यीकृत v₁ = (1, 1, 0) सहित ⟨v₁|v⟩ है, और 1/2 प्रक्षेप गुणांक ⟨v₁|v⟩/⟨v₁|v₁⟩ है — दोनों अप्रसामान्यीकृत सदिश के हैं।

  2. v₁ = (1, 1, 0) व v₂ = (1, 0, 1) पर ग्राम–श्मिट लगाया जाता है। u₂ = v₂ − ⟨e₁|v₂⟩e₁ का मानक, प्रसामान्यीकरण से पहले, दो दशमलव स्थानों तक ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 1.22

    u₂ = (1, 0, 1) − (1/√2)(1, 1, 0)/√2 = (½, −½, 1), अतः ‖u₂‖ = √(¼ + ¼ + 1) = √1.5 = 1.22। हर के बिना ⟨v₁|v₂⟩v₁ = (1, 1, 0) घटाना (0, −1, 1) देता है जिसका मानक 1.41 है, और वह v₁ के लांबिक नहीं।

  3. पूर्ण प्रसामान्य-लांबिक समुच्चय {|eᵢ⟩} हेतु कौन-सा कथन पूर्णता संबंध है?

    1. Σᵢ |eᵢ⟩⟨eᵢ| = 1
    2. ⟨eᵢ|eⱼ⟩ = δᵢⱼ
    3. Σᵢ ⟨eᵢ|eᵢ⟩ = 1
    4. |eᵢ⟩⟨eⱼ| = δᵢⱼ
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — Σᵢ |eᵢ⟩⟨eᵢ| = 1

    पूर्णता तत्समक का वियोजन Σ|eᵢ⟩⟨eᵢ| = 1 है, जो प्रत्येक सदिश को Σ|eᵢ⟩⟨eᵢ|v⟩ लिखने देता है। ⟨eᵢ|eⱼ⟩ = δᵢⱼ प्रसामान्य-लांबिकता है, एक भिन्न गुण जो अपूर्ण समुच्चय में भी हो सकता है; Σ⟨eᵢ|eᵢ⟩ विमा के बराबर है, 1 के नहीं।

  4. व्युत्क्रमणीय S हेतु A′ = S⁻¹AS। निम्न में से कौन-से A व A′ हेतु अनिवार्यतः समान हैं?

    1. ट्रेस
    2. सारणिक
    3. प्रत्येक आइगेन-सदिश के घटक
    4. अभिलक्षणिक बहुपद
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — ट्रेस; B — सारणिक; D — अभिलक्षणिक बहुपद

    det(S⁻¹AS − λ1) = det(S⁻¹(A − λ1)S) = det(A − λ1), अतः अभिलक्षणिक बहुपद — और उसके साथ ट्रेस, सारणिक व आइगेन-मान — अपरिवर्तित है। यदि Ax = λx तो A′(S⁻¹x) = λ(S⁻¹x): आइगेन-सदिश S⁻¹x बन जाता है, अतः उसके घटक बदलते हैं।

  5. A = [[1, 2], [2, 1]] हेतु A⁴ का ट्रेस ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 82

    ट्रेस 2 व सारणिक −3 आइगेन-मान 3 व −1 देते हैं, अतः tr(A⁴) = 3⁴ + (−1)⁴ = 81 + 1 = 82। सीधी जाँच: A² = [[5, 4], [4, 5]] व A⁴ = [[41, 40], [40, 41]], ट्रेस 82। ट्रेस की घात, (tr A)⁴ = 16, लुभावना ग़लत मार्ग है।

  6. H = [[2, i], [−i, 2]]। det(eH) का मान, एक दशमलव स्थान तक, ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 54.6

    H हर्मिटी है, आइगेन-मान 1 व 3 (ट्रेस 4, सारणिक 3)। eH के आइगेन-मान e¹ व e³ हैं, अतः det(eH) = e⁴ = 54.6 — सर्वसमिका det(eA) = etr A। H की प्रत्येक प्रविष्टि का घातांक लेना आव्यूह घातांक नहीं है और अर्थहीन संख्या देता है।

  7. ऐकिक आव्यूह का प्रत्येक आइगेन-मान λ संतुष्ट करता है:

    1. |λ| = 1
    2. λ वास्तविक है
    3. केवल λ = ±1
    4. λ पूर्णतः काल्पनिक है
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — |λ| = 1

    यदि Ux = λx तो ‖Ux‖ = ‖x‖ क्योंकि U मानक संरक्षित रखता है, अतः |λ|‖x‖ = ‖x‖ व |λ| = 1: λ = eiθ एकांक वृत्त पर कहीं भी। वास्तविक आइगेन-मान हर्मिटी आव्यूहों के हैं; ±1 केवल वास्तविक सममित लांबिक आव्यूह की विशेष स्थिति है।

  8. पाउली आव्यूह σ_x = [[0, 1], [1, 0]] हेतु eiθσ_x बराबर है:

    1. cos θ · 1 + i sin θ · σ_x
    2. [[eiθ, 0], [0, eiθ]]
    3. cosh θ · 1 + sinh θ · σ_x
    4. [[1, eiθ], [eiθ, 1]]
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — cos θ · 1 + i sin θ · σ_x

    σ_x² = 1, अतः घातांकीय श्रेणी सम घातों, Σ(iθ)2k/(2k)! = cos θ, गुणा 1 तथा विषम घातों, i sin θ, गुणा σ_x में बँटती है। अतिपरवलयिक रूप i के बिना eθσ_x का है, और प्रविष्टिवार घातांक आव्यूह फलन नहीं है।

  9. चार विमाओं में सममित कोटि-2 प्रदिश के स्वतंत्र घटकों की संख्या ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 10

    सममित प्रदिश उसके विकर्ण (n प्रविष्टियाँ) व एक त्रिभुज (n(n − 1)/2) से निर्धारित होता है, अतः n(n + 1)/2 = 4·5/2 = 10 — दिक्काल के मापीय प्रदिश की गणना। प्रतिसममित भाग के n(n − 1)/2 = 6 हैं, विद्युतचुंबकीय क्षेत्र प्रदिश की गणना; 16 असीमित गणना है।

  10. एक विमा में निर्देशांक x से x′ = 2x में बदला जाता है। किसी सहपरिवर्ती सदिश का पुराने निर्देशांक में घटक A₁ = 6 है। नए निर्देशांक में उसका घटक ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 3

    सहपरिवर्ती: A′ = (∂x/∂x′)A = (1/2)(6) = 3, जैसे इकाई आधी होने पर प्रति इकाई लंबाई प्रवणता आधी हो जाती है। प्रतिपरिवर्ती घटक ∂x′/∂x = 2 लेकर 12 बनता — दोनों नियमों को उलटना ही जाल है।

  11. तीन विमाओं में, दोहराए सूचकांकों पर योग सहित, निम्न में से कौन-से सही हैं?

    1. δᵢᵢ = 3
    2. εᵢⱼₖδⱼₖ = 0
    3. εᵢⱼₖεᵢⱼₖ = 6
    4. AᵢBᵢ एक सदिश है
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — δᵢᵢ = 3; B — εᵢⱼₖδⱼₖ = 0; C — εᵢⱼₖεᵢⱼₖ = 6

    δᵢᵢ = 1 + 1 + 1 = 3। εᵢⱼₖδⱼₖ = εᵢⱼⱼ = 0 क्योंकि दो सूचकांक दोहराने पर ε लुप्त होता है। εᵢⱼₖεᵢⱼₖ 6 अशून्य प्रविष्टियाँ गिनता है, प्रत्येक का वर्ग 1। AᵢBᵢ में कोई मुक्त सूचकांक नहीं, अतः वह अदिश A·B है, सदिश नहीं।

  12. मिश्रित प्रदिश Tⁱⱼₖ का सूचकांक i व j पर संकुचन देता है:

    1. एक सहपरिवर्ती सदिश
    2. एक अदिश
    3. एक प्रतिपरिवर्ती सदिश
    4. एक कोटि-2 प्रदिश
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — एक सहपरिवर्ती सदिश

    संकुचन एक ऊपरी व एक निचला सूचकांक हटाकर कोटि दो घटाता है: कोटि 3 कोटि 1 बनती है, और शेष सूचकांक k निचला है, अतः Tⁱᵢₖ सहपरिवर्ती सदिश है। अदिश हेतु कोटि शून्य होनी चाहिए, जो कोटि-2 प्रदिश से होता है।

  13. ज्ञात है कि प्रत्येक कोणीय वेग ω हेतु Lᵢ = Iᵢⱼωⱼ सत्य है, और L व ω सदिश हैं। इससे Iᵢⱼ के विषय में क्या सिद्ध होता है?

    1. भागफल नियम से, वह कोटि-2 प्रदिश है
    2. वह δᵢⱼ का अदिश गुणज है
    3. वह अनिवार्यतः प्रतिसममित है
    4. कुछ नहीं, जब तक ω स्थिर न हो
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — भागफल नियम से, वह कोटि-2 प्रदिश है

    भागफल नियम: यदि किसी यादृच्छिक सदिश से Iᵢⱼ का संकुचन सदा सदिश देता है, तो Iᵢⱼ कोटि-2 प्रदिश की तरह रूपांतरित होता है। वह सममित है, प्रतिसममित नहीं, और δᵢⱼ का गुणज केवल गोले या केंद्र के परितः घन जैसे पिंडों हेतु है। "प्रत्येक ω हेतु" ही नियम को लागू करता है।