अनुप्रयुक्त यांत्रिकी व संरचनाएँ I: अभियांत्रिकी यांत्रिकी व पदार्थों की यांत्रिकी
1. मुक्त-पिंड आरेख, साम्य, ट्रस, फ़्रेम व आभासी कार्य
मुक्त-पिंड आरेख एक पिंड को पृथक कर उस पर प्रत्येक बाह्य बल व युग्म दिखाता है, आधारों की प्रतिक्रियाओं सहित: रोलर अपनी सतह के अभिलंब एक बल देता है, पिन दो बल घटक, स्थिर आधार दो बल व एक आघूर्ण। समतल दृढ़ पिंड साम्य में है जब ΣFₓ = 0, ΣF_y = 0 व किसी भी बिंदु के परितः ΣM = 0 — तीन समीकरण, अतः तीन स्वतंत्र प्रतिक्रिया घटकों वाली समतल संरचना स्थैतिकतः निर्धार्य है। द्वि-बल अवयव अपने पिनों को जोड़ने वाली रेखा के अनुदिश बराबर व विपरीत बल वहन करता है; साम्य में त्रि-बल अवयव के तीनों बल संगामी या समांतर होते हैं।
ट्रस जोड़ों पर पिन किए द्वि-बल अवयवों का ढाँचा है जो केवल जोड़ों पर भारित होता है। m अवयवों, j जोड़ों व r प्रतिक्रिया घटकों वाला समतल ट्रस तब निर्धार्य है जब m + r = 2j। जोड़ विधि प्रत्येक जोड़ पर क्रम से ΣFₓ = ΣF_y = 0 लगाती है, वहाँ से आरंभ करके जहाँ अधिकतम दो बल अज्ञात हों; काट विधि अधिकतम तीन अवयवों से काटती है और उनमें से दो के प्रतिच्छेद के परितः आघूर्ण लेकर तीसरा सीधे ज्ञात करती है। किसी अभारित जोड़ पर जहाँ तीन में से दो अवयव संरेख हों, तीसरा शून्य-बल अवयव है; दो असंरेख अवयवों के अभारित जोड़ पर दोनों शून्य हैं। फ़्रेम में कम-से-कम एक बहु-बल अवयव होता है और उसे मुक्त पिंडों में विभक्त कर हल किया जाता है। आभासी कार्य का सिद्धांत कहता है कि पिंड साम्य में है यदि और केवल यदि बाधाओं से संगत प्रत्येक आभासी विस्थापन हेतु बाह्य बलों का कुल कार्य शून्य हो; यह प्रतिक्रियाएँ निकाले बिना एक समीकरण से एक अज्ञात बल देता है।
2. समतल गति में शुद्ध गतिकी व गतिकी; आवेग, संवेग व ऊर्जा
वक्र पर चलते कण का स्पर्शरेखीय त्वरण dv/dt व वक्रता केंद्र की ओर अभिलंब (अभिकेंद्र) त्वरण v²/ρ होता है। समतल गति में दृढ़ पिंड किसी संदर्भ बिंदु का स्थानांतरण और उसके परितः घूर्णन है: v_B = v_A + ω × rB/A, और प्रत्येक क्षण शून्य वेग का एक बिंदु, तात्क्षणिक केंद्र, होता है — बिना फिसले लुढ़कते पहिये हेतु वह संपर्क बिंदु है, अतः केंद्र v = ωr से चलता है। पिंड हेतु न्यूटन का द्वितीय नियम द्रव्यमान केंद्र हेतु ΣF = m a_G व घूर्णन हेतु ΣM_G = I_G α है।
आवेग–संवेग रूप न्यूटन नियम का समय पर समाकलन करता है: रैखिक संवेग हेतु ∫F dt = m(v₂ − v₁) और कोणीय संवेग हेतु ∫M dt = I(ω₂ − ω₁); कोई बाह्य आवेग न हो (या किसी अक्ष के परितः कोई बाह्य आघूर्ण न हो) तो संगत संवेग संरक्षित रहता है, और टक्करें इसी प्रकार हल होती हैं — प्रत्यवस्थान गुणांक e = (पृथक्करण की सापेक्ष चाल)/(उपगमन की सापेक्ष चाल) सहित। कार्य–ऊर्जा रूप इसका दूरी पर समाकलन करता है: किया गया कार्य = गतिज ऊर्जा में परिवर्तन, दृढ़ पिंड हेतु T = ½mv_G² + ½I_Gω² सहित। नत तल पर बिना फिसले लुढ़कता पिंड a = g sin θ/(1 + k²/r²) पाता है: ठोस चकती (k² = r²/2) हेतु यह (2/3)g sin θ, ठोस गोले हेतु (5/7)g sin θ व पतली वलय हेतु (1/2)g sin θ है।
3. प्रतिबल, विकृति, प्रत्यास्थ नियतांक व मोर वृत्त
अभिलंब प्रतिबल σ = P/A व अभिलंब विकृति ε = δ/L प्रत्यास्थ परास में हुक नियम σ = Eε से जुड़े हैं; अपरूपण प्रतिबल व विकृति τ = Gγ से। पॉयसन अनुपात ν = −ε_पार्श्व/ε_अक्षीय समदैशिक पदार्थों हेतु 0 व 0.5 के बीच है (इस्पात हेतु लगभग 0.3)। समदैशिक पदार्थ के केवल दो स्वतंत्र नियतांक होते हैं, E = 2G(1 + ν) = 3K(1 − 2ν) से संबद्ध, जहाँ K आयतन प्रत्यास्थता मापांक है; छड़ की आयतनिक विकृति ε(1 − 2ν) है। E = 200 GPa व ν = 0.3 वाले इस्पात हेतु G = 200/2.6 = 76.9 GPa व K = 200/1.2 = 166.7 GPa।
समतल प्रतिबल (σₓ, σ_y, τₓᵧ) में θ से घूमे तल पर प्रतिबल मोर वृत्त से मिलते हैं: σ-अक्ष पर केंद्र C = (σₓ + σ_y)/2 व त्रिज्या R = √{[(σₓ − σ_y)/2]² + τₓᵧ²}। मुख्य प्रतिबल σ₁,₂ = C ± R हैं, उन तलों पर जहाँ अपरूपण शून्य है, tan 2θ_p = 2τₓᵧ/(σₓ − σ_y) पर; अधिकतम तलीय अपरूपण R है, मुख्य तलों से 45° के तलों पर, जहाँ अभिलंब प्रतिबल C है। अवयव पर θ घूर्णन वृत्त पर 2θ है। समतल विकृति यही रचना σ के स्थान पर ε व τ के स्थान पर γ/2 से प्रयोग करती है: केंद्र (εₓ + ε_y)/2, त्रिज्या √{[(εₓ − ε_y)/2]² + (γₓᵧ/2)²}, और विकृति-मापी रोज़ेट इसी प्रकार हल होते हैं।
4. अपरूपण बल व बंकन आघूर्ण, बंकन व अपरूपण प्रतिबल, तथा मरोड़
धरन में किसी काट पर अपरूपण बल V व बंकन आघूर्ण M एक ओर की हर वस्तु का परिणामी बल व आघूर्ण हैं। वे वितरित भार w से dV/dx = −w व dM/dx = V द्वारा जुड़े हैं, अतः बंकन आघूर्ण वहाँ चरम है जहाँ अपरूपण बल का चिह्न बदलता है, बिंदु भार V में उछाल व M में मोड़ बनाता है, और समान वितरित भार V को रैखिक व M को परवलयिक बनाता है। शुद्धालंबित विस्तृति L हेतु: केंद्रीय बिंदु भार P, M_max = PL/4 देता है; समान भार w, मध्य-विस्तृति पर M_max = wL²/8 देता है। प्रास (cantilever) हेतु: सिरे पर भार P मूल पर PL देता है; समान भार wL²/2।
बंकन सूत्र σ = My/I = M/Z बंकन प्रतिबल देता है, उदासीन अक्ष (केंद्रक से होकर) पर शून्य व चरम तंतु पर अधिकतम; आयत b × d हेतु I = bd³/12 व Z = bd²/6। अपरूपण प्रतिबल τ = VQ/(Ib), जहाँ Q विचाराधीन तंतु से परे के क्षेत्रफल का उदासीन अक्ष के परितः प्रथम आघूर्ण है, आयत पर परवलयिक है और उदासीन अक्ष पर अधिकतम 1.5V/A (ठोस वृत्त हेतु 4V/3A)। वृत्ताकार दंड के मरोड़ में τ = Tr/J व ऐंठन θ = TL/(GJ), ठोस दंड हेतु J = πd⁴/32, अतः τ_max = 16T/(πd³); खोखले दंड हेतु J = π(D⁴ − d⁴)/32 और वह अधिक दक्ष है क्योंकि अक्ष के निकट का पदार्थ कम प्रतिबल वहन करता है।
| धरन व भार | अधिकतम बंकन आघूर्ण | कहाँ |
|---|---|---|
| शुद्धालंबित, केंद्रीय बिंदु भार P | PL/4 | मध्य-विस्तृति |
| शुद्धालंबित, प्रति लंबाई समान भार w | wL²/8 | मध्य-विस्तृति |
| प्रास, सिरे पर भार P | PL | स्थिर सिरा |
| प्रास, प्रति लंबाई समान भार w | wL²/2 | स्थिर सिरा |
5. स्तंभ, ऊर्जा विधियाँ, विफलता के सिद्धांत व पदार्थ परीक्षण
ऑयलर सिद्धांत आदर्श पतले स्तंभ का कुंचन भार P_cr = π²EI/L_e² देता है, जहाँ I न्यूनतम द्वितीय क्षेत्र-आघूर्ण व L_e प्रभावी लंबाई है: दोनों सिरे पिन हेतु L, एक सिरा स्थिर व दूसरा मुक्त हेतु 2L, स्थिर–पिन हेतु L/√2 (0.7L), और दोनों सिरे स्थिर हेतु L/2। अतः स्थिर–मुक्त स्तंभ दोनों सिरे पिन वाले उसी स्तंभ के भार का चौथाई, और स्थिर–स्थिर स्तंभ चार गुना, वहन करता है। क्रांतिक प्रतिबल π²E/(L_e/r)², जहाँ r = √(I/A) घूर्णन त्रिज्या है, दिखाता है कि ऑयलर केवल लंबे स्तंभों पर लागू है; छोटे स्तंभ कुचलने से विफल होते हैं, और रैंकिन–गॉर्डन सूत्र दोनों को मिलाता है।
ऊर्जा विधियाँ अवयव में संचित विकृति ऊर्जा प्रयोग करती हैं: अक्षीय भार में P²L/(2AE), बंकन में ∫M²/(2EI) dx व मरोड़ में T²L/(2GJ)। कास्टिग्लियानो प्रमेय किसी भार पर विक्षेप को उस भार के सापेक्ष कुल विकृति ऊर्जा के आंशिक अवकलज δ = ∂U/∂P के रूप में देता है, और एक आभासी (dummy) भार वहाँ विक्षेप ज्ञात करता है जहाँ कोई भार नहीं है। विफलता के सिद्धांत किसी प्रतिबल अवस्था की तुलना एकअक्षीय परीक्षण से करते हैं: अधिकतम मुख्य प्रतिबल (रैंकिन), भंगुर पदार्थों हेतु उपयुक्त; अधिकतम अपरूपण प्रतिबल (ट्रेस्का), σ₁ − σ₃ = S_y, व विरूपण ऊर्जा (वॉन माइसेस), समतल प्रतिबल में √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) = S_y, तन्य पदार्थों हेतु, दोनों में वॉन माइसेस कम रूढ़िवादी है; तथा अधिकतम विकृति (सेंट वेनां) व कुल विकृति ऊर्जा (हेग) सिद्धांत। शुद्ध अपरूपण में ट्रेस्का τ = 0.5S_y पर व वॉन माइसेस 0.577S_y पर पराभव बताता है।
| परीक्षण | क्या मापता है |
|---|---|
| तनन परीक्षण | E, पराभव व चरम सामर्थ्य, प्रतिशत दीर्घीकरण व क्षेत्रफल में कमी (तन्यता) |
| कठोरता (ब्रिनेल, विकर्स, रॉकवेल) | धँसाव का प्रतिरोध, जो तनन सामर्थ्य से सहसंबद्ध है |
| संघट्ट (शार्पी, आइज़ोड) | खाँचेदार छड़ तोड़ने में अवशोषित ऊर्जा — चीमड़पन, तथा तन्य-से-भंगुर संक्रमण ताप |
| श्रांति | चक्रीय प्रतिबल में S–N वक्र व सहनशीलता सीमा |
| विसर्पण | उच्च ताप पर स्थिर भार में समय-निर्भर विकृति |
| अविनाशी (पराश्रव्य, विकिरणचित्रण, चुंबकीय कण, रंजक भेदक) | आंतरिक व सतही दोष, वेल्ड दोषों सहित, भाग को क्षति पहुँचाए बिना |
मुख्य बिंदु
- समतल साम्य तीन समीकरण है; समतल ट्रस निर्धार्य है जब m + r = 2j; काट विधि अधिकतम तीन अवयव काटती है।
- आवेग = संवेग में सदिश परिवर्तन; बिना फिसले लुढ़कना: a = g sin θ/(1 + k²/r²), ठोस चकती हेतु (2/3)g sin θ।
- E = 2G(1 + ν) = 3K(1 − 2ν); मोर वृत्त केंद्र (σₓ + σ_y)/2 व त्रिज्या √{[(σₓ − σ_y)/2]² + τ²}; समतल विकृति γ/2 प्रयोग करती है।
- σ = My/I, आयत हेतु τ_max = 1.5V/A, ठोस दंड हेतु τ = 16T/(πd³); शुद्धालंबित विस्तृति हेतु M_max = wL²/8 व PL/4।
- P_cr = π²EI/L_e², L_e = L, 2L, 0.7L, 0.5L सहित; तन्य पदार्थों हेतु ट्रेस्का व वॉन माइसेस, भंगुर हेतु रैंकिन।
अभ्यास प्रश्न (14)
उत्तर खोलने से पहले प्रत्येक प्रश्न हल करें। हर व्याख्या सही विकल्प के साथ लुभावना गलत विकल्प भी बताती है, क्योंकि अंक वहीं जाते हैं।
एक सममित त्रिभुजाकार ट्रस, जिसके दोनों आनत अवयव क्षैतिज से 30° बनाते हैं, के शीर्ष पर 10 kN भार लटका है। प्रत्येक आनत अवयव में बल (kN में) ____ है।
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उत्तर: 10
शीर्ष पर ऊर्ध्वाधर साम्य: 2F sin 30° = 10, अतः F = 10/(2 × 0.5) = 10 kN, संपीडन में। sin 30° के स्थान पर cos 30° प्रयोग करने पर 5.77 kN; दो अवयव होना भूलने पर 20 kN आता है।समतल ट्रस के एक अभारित जोड़ पर तीन अवयव मिलते हैं और उनमें दो संरेख हैं। तीसरे अवयव में बल है
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उत्तर: A — शून्य
दोनों संरेख अवयवों के लंबवत वियोजन करने पर केवल तीसरे अवयव का उस दिशा में घटक है, अतः उसका बल शून्य होना चाहिए। शून्य-बल अवयव किसी अंकगणित से पहले इसी प्रकार पहचाने जाते हैं; स्थायित्व व अन्य स्थितियों में भार वहन हेतु वे फिर भी आवश्यक हैं।एक ठोस चकती 30° पर आनत तल पर बिना फिसले लुढ़कती है। g = 9.81 m/s² लेकर उसके केंद्र का त्वरण (m/s² में), दो दशमलव स्थानों तक, ____ है।
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उत्तर: 3.27
ठोस चकती हेतु k² = r²/2 सहित a = g sin θ/(1 + k²/r²), अतः a = (2/3) × 9.81 × 0.5 = 3.27 m/s²। घर्षणरहित फिसलन g sin θ = 4.905 देती है; पतली वलय g sin θ/2 = 2.45; ठोस गोला (5/7)g sin θ = 3.50।0.5 kg की गेंद 20 m/s से दीवार से अभिलंबवत टकराती है और उसी रेखा पर 15 m/s से लौटती है। गेंद पर आवेग का परिमाण (N·s में), एक दशमलव स्थान तक, ____ है।
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उत्तर: 17.5
चिह्नित वेगों सहित आवेग = m(v₂ − v₁): 0.5 × [15 − (−20)] = 17.5 N·s। चालें घटाने पर 2.5 N·s आता है, जो केवल तब उत्तर होता जब गेंद उसी दिशा में चलती रहती।समतल प्रतिबल में एक बिंदु पर σₓ = 80 MPa, σ_y = 20 MPa व τₓᵧ = 40 MPa हैं। प्रमुख मुख्य प्रतिबल (MPa में) ____ है।
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उत्तर: 100
केंद्र C = (80 + 20)/2 = 50; त्रिज्या R = √(30² + 40²) = 50; σ₁ = C + R = 100 MPa व σ₂ = 0। आधे के स्थान पर पूरा अंतर σₓ − σ_y = 60 प्रयोग करने पर R = 72.1 व σ₁ = 122.1 MPa आता है।एक इस्पात का E = 200 GPa व पॉयसन अनुपात 0.3 है। उसका अपरूपण मापांक (GPa में), एक दशमलव स्थान तक, ____ है।
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उत्तर: 76.9
G = E/[2(1 + ν)] = 200/2.6 = 76.9 GPa। 2(1 − ν) लिखने पर 142.9 GPa; आयतन मापांक E/[3(1 − 2ν)] = 166.7 GPa भिन्न नियतांक है।समतल विकृति हेतु मोर वृत्त पर अभिलंब विकृति के विरुद्ध ऊर्ध्वाधर निर्देशांक होता है
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उत्तर: A — अभियांत्रिकी अपरूपण विकृति का आधा, γ/2
विकृति-रूपांतरण समीकरणों का रूप प्रतिबल वालों जैसा ही है, σ के स्थान पर ε व τ के स्थान पर γ/2 (प्रदिश अपरूपण विकृति), अतः γ/2 आलेखित होता है। γ आलेखित करना त्रिज्या दोगुनी करता है और अपरूपण पद से गलत मुख्य विकृतियाँ देता है।6 m विस्तृति की शुद्धालंबित धरन पूरी लंबाई पर 10 kN/m का समान वितरित भार वहन करती है। अधिकतम बंकन आघूर्ण (kN·m में) ____ है।
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उत्तर: 45
M_max = wL²/8 = 10 × 36/8 = 45 kN·m मध्य-विस्तृति पर, जहाँ अपरूपण बल शून्य है। wL²/2 = 180 kN·m प्रास का मान है; wL²/4 = 90 पूरे भार को केंद्रीय बिंदु भार मानता है।100 mm चौड़ा व 200 mm गहरा आयताकार धरन-काट 20 kN·m बंकन आघूर्ण वहन करता है। अधिकतम बंकन प्रतिबल (MPa में) ____ है।
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उत्तर: 30
Z = bd²/6 = 100 × 200²/6 = 666 667 mm³, अतः σ = M/Z = 20 × 10⁶/666 667 = 30 MPa। bd³/12 को Z मानने पर 0.3 MPa; 100 mm आयाम को गहराई रखने पर 60 MPa आता है।50 mm व्यास का ठोस वृत्ताकार दंड 1 kN·m बल-आघूर्ण संचारित करता है। अधिकतम अपरूपण प्रतिबल (MPa में), एक दशमलव स्थान तक, ____ है।
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उत्तर: 40.7
τ = 16T/(πd³) = 16 × 10⁶/(π × 125 000) = 40.7 MPa। 16 के स्थान पर बंकन गुणक 32 प्रयोग करने पर 81.5 MPa; d³ में व्यास के स्थान पर त्रिज्या लेने पर 326 MPa आता है।4 m लंबे, दोनों सिरे पिन, इस्पात स्तंभ का E = 200 GPa व न्यूनतम द्वितीय क्षेत्र-आघूर्ण 8 × 10⁶ mm⁴ है। उसका ऑयलर कुंचन भार (kN में), निकटतम पूर्णांक तक, ____ है।
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उत्तर: 987
P_cr = π²EI/L² = π² × 200 000 × 8 × 10⁶/4000² = π² × 10⁵ N = 986 960 N ≈ 987 kN। एक सिरा स्थिर व दूसरा मुक्त (L_e = 2L) करने पर यह 247 kN; दोनों स्थिर (L_e = L/2) करने पर 3948 kN हो जाता।एक सिरे पर स्थिर व दूसरे पर मुक्त स्तंभ को दोनों सिरों पर पिन वाले समरूप स्तंभ से बदला जाता है। ऑयलर कुंचन भार हो जाता है
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उत्तर: A — चार गुना
P_cr ∝ 1/L_e²। स्थिर–मुक्त स्तंभ का L_e = 2L व पिन–पिन स्तंभ का L_e = L है, अतः अनुपात (2L/L)² = 4 है। प्रभावी लंबाई अनुपात का वर्ग लिए बिना पढ़ने पर दोगुना आता है।विफलता के सिद्धांतों के विषय में कौन-से कथन सही हैं?
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उत्तर: A — अधिकतम मुख्य प्रतिबल सिद्धांत भंगुर पदार्थों हेतु उपयुक्त है; B — शुद्ध अपरूपण में ट्रेस्का सिद्धांत तनन पराभव सामर्थ्य के आधे पर पराभव बताता है; D — विरूपण ऊर्जा सिद्धांत तन्य पदार्थों हेतु प्रयुक्त होता है
भंगुर पदार्थ सबसे बड़े तनन प्रतिबल पर विफल होते हैं, अतः रैंकिन उनके उपयुक्त है; शुद्ध अपरूपण में σ₁ = τ, σ₃ = −τ और ट्रेस्का 2τ = S_y, τ = 0.5S_y देता है। वॉन माइसेस अपरूपण में 0.577S_y पर पराभव बताता है और षट्भुज को घेरता उसका दीर्घवृत्त दोनों में कम रूढ़िवादी है; दोनों तन्य-पदार्थ सिद्धांत हैं।शार्पी परीक्षण मापता है
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उत्तर: A — संघट्ट द्वारा खाँचेदार नमूना तोड़ने में अवशोषित ऊर्जा
शार्पी (व आइज़ोड) संघट्ट परीक्षण हैं: एक लोलक खाँचेदार छड़ तोड़ता है और खोई ऊर्जा चीमड़पन है, जो तापों की परास पर परीक्षित होने पर तन्य-से-भंगुर संक्रमण प्रकट करती है, जो ठंडे जल में जहाज़ी इस्पात हेतु महत्त्वपूर्ण है। धँसाव कठोरता परीक्षण, सहनशीलता श्रांति परीक्षण और स्थिर-भार विकृति विसर्पण परीक्षण है।