द्रव यांत्रिकी व समुद्री द्रवगतिकी II: विभव प्रवाह, भ्रमिल, उत्थापक पृष्ठ, संलग्न द्रव्यमान, मॉडल परीक्षण व पृष्ठीय तरंगें

NM खंड 3 का दूसरा अध्याय आदर्श तरल है और वह जो समुद्री द्रवगतिकी उस पर बनाती है। भ्रमिलता, परिसंचरण, स्टोक्स का समाकल प्रमेय व केल्विन प्रमेय; विभव प्रवाह — स्रोत, कूप (सिंक), द्विक (द्विध्रुव), रेखा भ्रमिल व उनका अध्यारोपण, परिसंचरण सहित प्रवाह, घूर्णी सममिति वाला विभव प्रवाह, व्यापीकृत बर्नूली समीकरण, द्रवगतिक बल, दलाम्बेर विरोधाभास व द्रवगतिक उत्थापन का कुट्टा–जुकोव्स्की प्रमेय; भ्रमिल गति — बायो–सावर नियम से सादृश्य, सीधे समांतर भ्रमिल तंतु व भ्रमिल चादरें; वायुपर्ण (जलपर्ण) — उत्थापन, कर्षण, परिसंचरण व दाब वितरण, पतला-वायुपर्ण सिद्धांत, अनंत व सीमित विस्तृति के पंख, परिसंचरण वितरण, उत्थापक पृष्ठों का रैखिकीकृत सिद्धांत, तथा कोटरन; संलग्न द्रव्यमान व पतला-पिंड सिद्धांत; द्रवगतिक मॉडल परीक्षण व मापन नियम; तथा पृष्ठीय तरंगों पर विभव सिद्धांत — परिक्षेपण, ऊर्जा परिवहन व तरंग–पिंड बल। पतवार (rudder), नोदक पंखुड़ी व स्थायीकारी पंख सभी उत्थापक पृष्ठ हैं, और प्रत्येक समुद्र-सहन परिकलन रैखिक तरंग से आरंभ होता है।

1. भ्रमिलता, परिसंचरण, केल्विन प्रमेय व वेग विभव

भ्रमिलता ω = ∇ × V तरल अवयव के स्थानीय कोणीय वेग का दोगुना है। बंद वक्र के परितः परिसंचरण Γ = ∮V·dl, स्टोक्स प्रमेय से, उसे फैलाने वाले किसी भी पृष्ठ से भ्रमिलता फ़्लक्स Γ = ∫∫ω·dA के बराबर है। केल्विन परिसंचरण प्रमेय: संरक्षी पिंड बलों के अंतर्गत अश्यान, बैरोट्रॉपिक तरल में तरल के साथ चलते बंद वक्र के परितः परिसंचरण समय में अचर है। अतः विराम से आरंभ प्रवाह अघूर्णी है और रहता है — इसीलिए परिसीमा परत के बाहर प्रवाह विभव प्रवाह माना जा सकता है, और इसीलिए जब पर्ण चलना आरंभ कर प्रारंभिक भ्रमिल छोड़ता है, तो पर्ण के परितः बराबर व विपरीत परिसंचरण प्रकट होता है।

अघूर्णी प्रवाह का वेग विभव φ होता है, V = ∇φ सहित; यदि वह असंपीड्य भी हो तो ∇·V = 0 से लाप्लास समीकरण ∇²φ = 0 मिलता है, जो रैखिक है, अतः हलों का अध्यारोपण हो सकता है। द्वि-विमा में धारा फलन ψ (u = ∂ψ/∂y, v = −∂ψ/∂x) भी लाप्लास समीकरण संतुष्ट करता है; अचर ψ की रेखाएँ धारारेखाएँ हैं, दो धारारेखाओं के बीच ψ का अंतर उनके बीच प्रवाह-दर है, और धारारेखाएँ सम-विभव रेखाओं को समकोण पर काटती हैं। अस्थायी विभव प्रवाह हेतु ऑयलर समीकरण व्यापीकृत बर्नूली समीकरण ∂φ/∂t + p/ρ + ½|∇φ|² + gz = F(t) तक समाकलित होता है, जो पूरे तरल में लागू है, केवल धारारेखा के अनुदिश नहीं — तरंगों व त्वरित पिंडों हेतु प्रयुक्त रूप।

2. प्रारंभिक प्रवाह, अध्यारोपण, दलाम्बेर विरोधाभास व कुट्टा–जुकोव्स्की उत्थापन

प्रारंभिक द्वि-विमीय प्रवाह
प्रवाहविभव φवेग
एकसमान धारा UUxu = U
शक्ति m का स्रोत (m < 0 हो तो कूप)(m/2π) ln rत्रिज्य, m/(2πr)
परिसंचरण Γ का रेखा भ्रमिल(Γ/2π)θस्पर्शरेखीय, Γ/(2πr)
शक्ति κ का द्विक (द्विध्रुव)κ cos θ/(2πr)1/r² के अनुसार घटता

अध्यारोपण पिंड बनाता है। एकसमान धारा व स्रोत रैंकिन अर्ध-पिंड देते हैं, स्रोत से m/(2πU) दूरी पर प्रतिप्रवाह में विराम बिंदु सहित, और चौड़ाई दूर अनुप्रवाह में m/U की ओर जाती है। धारा व एक स्रोत व बराबर कूप बंद रैंकिन अंडाकार देते हैं; जोड़े को द्विक में विलीन होने देने से त्रिज्या a = √[κ/(2πU)] का वृत्ताकार बेलन बनता है, जिसकी सतह पर चाल 2U sin θ, दाब गुणांक Cp = 1 − 4 sin²θ, और कंधों पर न्यूनतम Cp −3 है। त्रि-विमा में घूर्णी सममिति वाला विभव प्रवाह गोला देता है (धारा में त्रि-विमीय द्विक), सतह चाल 1.5U sin θ सहित।

बेलन पर दाब आगे से पीछे सममित है, अतः स्थायी विभव प्रवाह किसी भी बंद पिंड पर कोई कर्षण नहीं डालता — दलाम्बेर विरोधाभास, जो श्यानता से हल होता है, जो परिसीमा परत, पृथक्करण व अनुगामी क्षेत्र बनाती है। बेलन में परिसंचरण Γ का भ्रमिल जोड़ना ऊपर–नीचे सममिति तोड़ता है: विराम बिंदु sin θ = −Γ/(4πUa) पर खिसकते हैं और पिंड धारा के लंबवत प्रति इकाई विस्तृति उत्थापन L′ = ρUΓ अनुभव करता है — कुट्टा–जुकोव्स्की प्रमेय, परिसंचरण Γ वाले किसी भी द्वि-विमीय पिंड हेतु सत्य। यह घूमते बेलन पर मैग्नस प्रभाव (फ़्लेटनर रोटर) और, कुट्टा प्रतिबंध सहित, पर्ण का उत्थापन समझाता है।

3. भ्रमिल गति: बायो–सावर, तंतु व चादरें

भ्रमिलता ठीक वैसे ही वेग प्रेरित करती है जैसे धारा चुंबकीय क्षेत्र, अतः बायो–सावर नियम लागू होता है: शक्ति Γ के भ्रमिल तंतु का अवयव dl, dV = (Γ/4π)(dl × r)/r³ प्रेरित करता है। अनंत सीधा तंतु दूरी r पर शुद्ध स्पर्शरेखीय चाल Γ/(2πr) प्रेरित करता है; अर्ध-अनंत तंतु अपने सिरे पर Γ/(4πr)। हेल्महोल्ट्ज़ प्रमेय: भ्रमिल तंतु की शक्ति उसके अनुदिश अचर है, तंतु तरल में समाप्त नहीं हो सकता (वह स्वयं पर बंद होता है या सीमा पर समाप्त होता है), और अश्यान तरल में वह तरल के साथ चलता है।

सीधे समांतर भ्रमिल तंतु एक-दूसरे को गतिमान करते हैं: d दूरी पर बराबर व विपरीत शक्ति के दो तंतु उन्हें जोड़ने वाली रेखा के लंबवत Γ/(2πd) से साथ चलते हैं; समान चिह्न के दो तंतु अपने केंद्रक के परितः घूमते हैं। भ्रमिल चादर प्रति इकाई लंबाई शक्ति γ वाला भ्रमिलता का सतत वितरण है, जिसके आर-पार स्पर्शरेखीय वेग γ से उछलता है। पतला-वायुपर्ण सिद्धांत पर्ण को उसकी वक्रता रेखा पर भ्रमिल चादर से बदलता है, और अश्वनाल भ्रमिल — विस्तृति के अनुदिश बद्ध भ्रमिल व दो अनुगामी सिरा भ्रमिल — सीमित पंख का मॉडल है।

4. पर्ण, सीमित पंख, उत्थापक पृष्ठ व कोटरन

धारा में पर्ण उत्थापन इसलिए उत्पन्न करता है कि कुट्टा प्रतिबंध — प्रवाह नुकीले पश्च किनारे को सुचारु रूप से छोड़ता है — परिसंचरण नियत करता है। पतला-वायुपर्ण सिद्धांत छोटे आक्रमण कोण α (रेडियन में) हेतु काट उत्थापन गुणांक C_l = 2π(α − αL0) देता है, सममित काट हेतु αL0 = 0 व धनात्मक वक्रता हेतु ऋणात्मक; वायुगतिक केंद्र चौथाई जीवा पर है, जहाँ पिचिंग आघूर्ण α के साथ नहीं बदलता, और सममित काट हेतु दाब केंद्र भी वहीं है। दाब वितरण ऊपरी (चूषण) पक्ष पर अग्र किनारे के निकट चूषण शिखर दिखाता है, और यही शिखर सबसे पहले कोटरित होता है।

सीमित विस्तृति के पंख पर दाब अंतर सिरों के परितः प्रवाह चलाता है, सिरों पर परिसंचरण शून्य तक गिरता है, और विस्तृति के अनुदिश छोड़ी भ्रमिलता अनुगामी भ्रमिल चादर बनाती है जो सिरा भ्रमिलों में लिपट जाती है। उससे प्रेरित अधोवाह स्थानीय प्रवाह को झुकाता है, प्रभावी कोण घटाता है और प्रेरित कर्षण उत्पन्न करता है। प्रांटल का उत्थापक-रेखा सिद्धांत दिखाता है कि दीर्घवृत्तीय परिसंचरण वितरण एकसमान अधोवाह और न्यूनतम प्रेरित कर्षण C_Di = C_L²/(πAR) देता है (अन्यथा विस्तृति-दक्षता गुणक e < 1 सहित C_L²/(πeAR)), और उत्थापन ढाल को a = a₀/[1 + a₀/(πAR)] तक घटाता है, AR अभिमुखता अनुपात विस्तृति²/क्षेत्रफल। उत्थापक पृष्ठों का रैखिकीकृत सिद्धांत पूरी सतह पर भ्रमिल वितरित कर इसे पतवार व नोदक पंखुड़ियों जैसे कम-अभिमुखता वाले तलरूपों तक बढ़ाता है।

कोटरन वहाँ वाष्प कोटरों का बनना है जहाँ स्थानीय दाब वाष्प दाब p_v तक गिर जाता है। यह कोटरन संख्या σ = (p∞ − p_v)/(½ρV²) से नियंत्रित है; पर्ण तब कोटरित होता है जब −Cp,min, σ से अधिक हो, अतः उच्च गति, उथला निमज्जन (कम p∞) व तीक्ष्ण चूषण शिखर सभी इसे बढ़ाते हैं। ढहते कोटर अपरदन, शोर व कंपन करते हैं, और व्यापक कोटरन उत्थापन या प्रणोद का पतन करता है। नोदकों पर इसके रूप — चादर, बुलबुला, मेघ, सिरा-भ्रमिल व हब-भ्रमिल — नोदन के साथ लिए गए हैं।

5. संलग्न द्रव्यमान, पतले पिंड, मॉडल परीक्षण व मापन नियम

तरल में त्वरित होता पिंड अपने साथ कुछ तरल को भी त्वरित करता है, अतः वह ऐसा व्यवहार करता है मानो उसका द्रव्यमान एक संलग्न (द्रवगतिक) द्रव्यमान से बढ़ गया हो; अतिरिक्त बल −m_a (dU/dt) है, विभव प्रवाह में भी और यद्यपि स्थिर गति वाला पिंड कोई कर्षण अनुभव नहीं करता। गोले हेतु संलग्न द्रव्यमान विस्थापित द्रव्यमान का आधा, ½ρ(4/3)πa³ है; अपने अक्ष के आर-पार चलते वृत्ताकार बेलन हेतु यह विस्थापित द्रव्यमान, प्रति इकाई लंबाई ρπa² है। संलग्न द्रव्यमान गति की दिशा, मुक्त सतह व गहराई पर निर्भर है, और यही पद जहाज़ के उत्प्लवन (heave) व लोटन आवर्तकालों को उसके शुष्क द्रव्यमान से अपेक्षित से लंबा बनाता है।

पतला-पिंड सिद्धांत उस पिंड का लाभ उठाता है जिसकी लंबाई चौड़ाई से बहुत अधिक है: प्रत्येक अनुप्रस्थ काट पर प्रवाह द्वि-विमीय माना जाता है, काट का संलग्न द्रव्यमान उसे अनंत बेलन मानकर परिकलित होता है, और बल गुज़रते काटों के तरल संवेग के परिवर्तन की दर से मिलते हैं। स्थायी अश्यान प्रवाह में बंद पतला पिंड कोई शुद्ध बल नहीं पर एक अस्थिरकारी (मंक) आघूर्ण अनुभव करता है; यही अनुप्रस्थ-प्रवाह विचार समुद्र-सहन में पट्टी सिद्धांत व युक्तिचालन बलों के पूर्वानुमान का आधार है।

द्रवगतिक मॉडल परीक्षण — कर्षण टैंकों, कोटरन सुरंगों, युक्तिचालन व समुद्र-सहन बेसिनों में — मापन नियमों पर निर्भर है। ज्यामितीय माप λ = L_s/L_m व समान g सहित फ़्राउड मापन में गतियाँ व समय √λ से, त्वरण 1 से, बल λ³ (गुणा घनत्व अनुपात) से और शक्ति λ3.5 से मापित होते हैं। श्यान प्रभाव Re से मापित होते हैं और एक साथ मिलाए नहीं जा सकते, अतः घर्षण अलग से संशोधित होता है; कोटरन परीक्षणों को σ भी मिलाना होता है, इसीलिए कोटरन सुरंगें परिवेशी दाब घटाती हैं।

6. पृष्ठीय तरंगें: रैखिक सिद्धांत, ऊर्जा परिवहन व तरंग–पिंड बल

छोटे आयाम सहित मुक्त सतह पर विभव सिद्धांत लगाने से रैखिक (ऐरी) तरंग सिद्धांत मिलता है: ऊँचाई H, आवर्तकाल T, तरंग संख्या k = 2π/L व आवृत्ति ω = 2π/T की तरंग गहराई h में परिक्षेपण संबंध ω² = gk tanh kh का पालन करती है। गहरे जल में (h > L/2, tanh kh → 1) ω² = gk, अतः वेग c = gT/(2π) व लंबाई L = gT²/(2π) — 10 s तरंग लगभग 156 m लंबी है और 8 s तरंग 12.5 m/s से चलती है। उथले जल में (h < L/20) c = √(gh), सभी आवर्तकालों हेतु समान। गहरे जल में जल-कण वृत्तों में चलते हैं, जिनकी त्रिज्या सतह के नीचे ekz के अनुसार घटती है, और उथले जल में चपटे होते दीर्घवृत्तों में।

प्रति इकाई पृष्ठ क्षेत्रफल तरंग ऊर्जा E = ρgH²/8 है, आधी गतिज व आधी स्थितिज, और वह c पर नहीं बल्कि समूह वेग c_g पर वहन होती है, जो गहरे जल में c/2 व उथले जल में c के बराबर है; ऊर्जा फ़्लक्स (प्रति इकाई शिखर-लंबाई तरंग शक्ति) E·c_g है। रैखिक सिद्धांत में तरंग–पिंड बल तीन भागों में बँटते हैं: अविक्षुब्ध तरंग के दाब से फ़्राउड–क्रिलोव बल, पिंड द्वारा उसके विक्षोभ से विवर्तन बल, और पिंड की अपनी गति से विकिरण बल — संलग्न द्रव्यमान व तरंग अवमंदन। अपतटीय संरचनाओं के पतले अवयवों हेतु मॉरिसन समीकरण प्रति इकाई लंबाई संरेख बल f = ½ρC_D D u|u| + ρC_M(πD²/4)(du/dt) देता है, कर्षण पद व जड़त्व पद, C_M = 1 + C_a सहित।

⚠️ कला c पर चलती है, ऊर्जा c/2 पर
गहरे जल में तरंग समूह अपने भीतर के शिखरों की आधी चाल से चलता है; शिखर समूह के पीछे प्रकट होते हैं, उसमें से दौड़ते हैं और आगे विलीन हो जाते हैं। अतः दूर के तूफ़ान से महातरंग (swell) c_g पर आती है, और तरंग शक्ति E·c_g है, E·c नहीं।

मुख्य बिंदु

  • केल्विन: अश्यान प्रवाह में पदार्थ-वक्र के परितः परिसंचरण अचर है, अतः विराम से प्रवाह अघूर्णी रहता है; V = ∇φ, ∇²φ = 0, और हल अध्यारोपित होते हैं।
  • बेलन: सतह चाल 2U sin θ, Cp,min = −3, शून्य कर्षण (दलाम्बेर); परिसंचरण सहित L′ = ρUΓ (कुट्टा–जुकोव्स्की)।
  • पतला पर्ण C_l = 2π(α − α_L0), वायुगतिक केंद्र c/4 पर; सीमित पंख C_Di = C_L²/(πeAR), दीर्घवृत्तीय भारण हेतु न्यूनतम।
  • संलग्न द्रव्यमान: गोले हेतु विस्थापित द्रव्यमान का आधा, बेलन हेतु विस्थापित द्रव्यमान; फ़्राउड मापन: V ∝ √λ, F ∝ λ³, P ∝ λ3.5।
  • गहरा जल c = gT/2π, L = gT²/2π, c_g = c/2; E = ρgH²/8; मॉरिसन f = ½ρC_D D u|u| + ρC_M(πD²/4)u̇।

अभ्यास प्रश्न (17)

उत्तर खोलने से पहले प्रत्येक प्रश्न हल करें। हर व्याख्या सही विकल्प के साथ लुभावना गलत विकल्प भी बताती है, क्योंकि अंक वहीं जाते हैं।

  1. केल्विन परिसंचरण प्रमेय कहता है कि संरक्षी पिंड बलों के अंतर्गत अश्यान बैरोट्रॉपिक तरल में तरल के साथ चलते बंद वक्र के परितः परिसंचरण

    1. समय में अचर रहता है
    2. चरघातांकी रूप से क्षीण होता है
    3. सदैव शून्य है
    4. भ्रमिलता के साथ बढ़ता है
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — समय में अचर रहता है

    उन परिस्थितियों में DΓ/Dt = 0, अतः अघूर्णी आरंभ हुआ प्रवाह अघूर्णी रहता है। यह सदैव शून्य नहीं है — पर्ण बद्ध परिसंचरण वहन करता है, जो उसके छोड़े प्रारंभिक भ्रमिल से संतुलित है — और केवल श्यानता के कार्य करने पर क्षीण होता है।

  2. शक्ति 4 m²/s का द्वि-विमीय स्रोत 2 m/s की एकसमान धारा में रखा है, जो रैंकिन अर्ध-पिंड बनाता है। स्रोत से प्रतिप्रवाह में विराम बिंदु की दूरी (m में), तीन दशमलव स्थानों तक, ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 0.318

    विराम बिंदु पर स्रोत का बहिर्वाह m/(2πr), U को निरस्त करता है, अतः r = m/(2πU) = 4/(4π) = 0.318 m। अर्ध-पिंड की दूर अनुप्रवाह पूरी चौड़ाई m/U = 2 m है; m/U को विराम दूरी समझने पर 2 आता है।

  3. परिसंचरण रहित वृत्ताकार बेलन के पार स्थायी विभव प्रवाह में उसकी सतह पर न्यूनतम दाब गुणांक है

    1. −3
    2. −1
    3. −4
    4. 0
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — −3

    सतह चाल 2U sin θ है, अतः Cp = 1 − (2 sin θ)² = 1 − 4 sin²θ, जो θ = 90° पर −3 है। −4 में 1 भुलाया गया है; −1 तब होता जब चाल केवल √2 U होती। गोले हेतु शिखर चाल 1.5U व Cp,min = −1.25 है।

  4. 1025 kg/m³ घनत्व वाले समुद्री जल में एक जलपर्ण काट 5 m/s से चलता है और 2 m²/s परिसंचरण वहन करता है। कुट्टा–जुकोव्स्की प्रमेय से प्रति इकाई विस्तृति उत्थापन (N/m में) ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 10250

    L′ = ρUΓ = 1025 × 5 × 2 = 10250 N/m, धारा के लंबवत। इसे गतिक दाब मानकर ½ρ रखने पर 5125 N/m आता है।

  5. स्थायी द्वि-विमीय विभव प्रवाह के विषय में कौन-से कथन सही हैं?

    1. बंद पिंड कोई कर्षण अनुभव नहीं करता
    2. धारारेखाएँ व सम-विभव रेखाएँ समकोण पर काटती हैं
    3. परिसंचरण वाला पिंड धारा के लंबवत बल अनुभव करता है
    4. धारा फलन केवल घूर्णी प्रवाह में लाप्लास समीकरण संतुष्ट करता है
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — बंद पिंड कोई कर्षण अनुभव नहीं करता; B — धारारेखाएँ व सम-विभव रेखाएँ समकोण पर काटती हैं; C — परिसंचरण वाला पिंड धारा के लंबवत बल अनुभव करता है

    दलाम्बेर विरोधाभास शून्य कर्षण देता है; ∇φ व ∇ψ लांबिक हैं; कुट्टा–जुकोव्स्की U के अभिलंब उत्थापन ρUΓ देता है। ∇²ψ = −ω, अतः ψ ठीक तब लाप्लास समीकरण संतुष्ट करता है जब प्रवाह अघूर्णी हो — चौथे कथन का उलटा।

  6. परिसंचरण 10 m²/s का सीधा रेखा भ्रमिल अन्यथा स्थिर तरल में है। उसके अक्ष से 2 m पर वह जो चाल प्रेरित करता है (m/s में), दो दशमलव स्थानों तक, ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

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    उत्तर: 0.80

    v = Γ/(2πr) = 10/(4π) = 0.796 ≈ 0.80 m/s, स्पर्शरेखीय। अर्ध-अनंत तंतु हेतु बायो–सावर परिणाम Γ/(4πr) प्रयोग करने पर 0.40 m/s; 2π छोड़ने पर 5 m/s आता है।

  7. अन्यथा स्थिर अश्यान तरल में, निश्चित दूरी पर, समान शक्ति पर विपरीत दिशा वाले दो सीधे समांतर भ्रमिल तंतु

    1. उन्हें जोड़ने वाली रेखा के लंबवत साथ-साथ स्थानांतरित होते हैं
    2. उनके बीच मध्यबिंदु के परितः घूमते हैं
    3. विराम में रहते हैं
    4. एक-दूसरे की ओर बढ़कर नष्ट हो जाते हैं
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — उन्हें जोड़ने वाली रेखा के लंबवत साथ-साथ स्थानांतरित होते हैं

    प्रत्येक दूसरे पर जोड़ने वाली रेखा के लंबवत एक ही दिशा में चाल Γ/(2πd) प्रेरित करता है, अतः जोड़ा उस चाल से इकाई के रूप में चलता है — पंख के पीछे सिरा-भ्रमिल जोड़े का मॉडल। समान दिशा के तंतु इसके स्थान पर अपने केंद्रक के परितः घूमते; अश्यान तरल में वे क्षीण नहीं होते।

  8. पतला-वायुपर्ण सिद्धांत से 4° आक्रमण कोण पर सममित काट का उत्थापन गुणांक, दो दशमलव स्थानों तक, ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

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    उत्तर: 0.44

    रेडियन में α सहित C_l = 2πα: 2π × 4π/180 = 2π × 0.0698 = 0.439 ≈ 0.44। डिग्री में α = 4 रखने पर 25.1 आता है, जो उत्थापन गुणांक नहीं; 2 भूलने पर 0.22 आता है।

  9. दीर्घवृत्तीय उत्थापन वितरण वाला अभिमुखता अनुपात 6 का पंख 0.5 उत्थापन गुणांक पर कार्य करता है। उसका प्रेरित-कर्षण गुणांक, चार दशमलव स्थानों तक, ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 0.0133

    दीर्घवृत्तीय भारण हेतु e = 1 सहित C_Di = C_L²/(πAR) = 0.25/(6π) = 0.01326 ≈ 0.0133। C_L का वर्ग करना भूलने पर 0.0265 आता है; अभिमुखता अनुपात दोगुना करने से प्रेरित कर्षण आधा होता।

  10. 1025 kg/m³ घनत्व वाले समुद्री जल में एक पर्ण 10 m/s से चलता है जहाँ परिवेशी दाब 120 kPa व वाष्प दाब 2 kPa है। कोटरन संख्या, दो दशमलव स्थानों तक, ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 2.30

    σ = (p∞ − p_v)/(½ρV²) = 118 000/(0.5 × 1025 × 100) = 118 000/51 250 = 2.30। पर्ण वहाँ कोटरित होता है जहाँ −Cp, 2.30 से अधिक हो। वाष्प दाब छोड़ने पर 2.34; ½ छोड़ने पर 1.15 आता है।

  11. कौन-से परिवर्तन जलपर्ण के कोटरित होने की संभावना बढ़ाते हैं?

    1. उसकी गति बढ़ाना
    2. उसके निमज्जन की गहराई घटाना
    3. उसका आक्रमण कोण बढ़ाना ताकि अग्र-किनारे का चूषण शिखर तीक्ष्ण हो
    4. दाबित सुरंग की भाँति परिवेशी दाब बढ़ाना
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — उसकी गति बढ़ाना; B — उसके निमज्जन की गहराई घटाना; C — उसका आक्रमण कोण बढ़ाना ताकि अग्र-किनारे का चूषण शिखर तीक्ष्ण हो

    कोटरन तब आरंभ होता है जब −Cp,min > σ = (p∞ − p_v)/(½ρV²)। अधिक गति व कम गहराई दोनों σ घटाते हैं; तीक्ष्ण चूषण शिखर −Cp,min बढ़ाता है। परिवेशी दाब बढ़ाना σ बढ़ाता है और कोटरन दबाता है — कोटरन सुरंग जहाज़ का σ प्रतिरूपित करने हेतु अपना दाब घटाती है।

  12. 1 m त्रिज्या का गोला 1025 kg/m³ घनत्व वाले गहरे समुद्री जल में त्वरित होता है। उसका संलग्न द्रव्यमान (kg में), निकटतम पूर्णांक तक, ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 2147

    m_a = ½ρ(4/3)πa³ = 0.5 × 1025 × 4.1888 = 2147 kg, 4294 kg विस्थापित द्रव्यमान का आधा। अनुप्रस्थ-प्रवाह में बेलन की भाँति पूरा विस्थापित द्रव्यमान लेने पर यह दोगुना हो जाता है।

  13. ज्यामितीय माप अनुपात λ व समान तरल सहित फ़्राउड मापन में मॉडल की तुलना में पूर्ण-माप जहाज़ की शक्ति किस अनुपात में मापित होती है?

    1. λ3.5
    2. λ³
    3. λ2.5
    4. λ⁴
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — λ^{3.5}

    बल λ³ से व गतियाँ √λ से मापित होती हैं, अतः शक्ति = बल × गति λ3.5 से मापित होती है। λ³ बल (या विस्थापन) अनुपात है; λ2.5 भूलता है कि बल लंबाई का घन वहन करता है।

  14. 8 s आवर्तकाल की नियमित तरंग गहरे जल में चलती है। g = 9.81 m/s² लेकर उसका वेग (m/s में), दो दशमलव स्थानों तक, ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

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    उत्तर: 12.49

    गहरा जल: c = gT/(2π) = 9.81 × 8/6.2832 = 12.49 m/s, और L = cT = 99.9 m। समूह वेग आधा, 6.24 m/s है; उथले-जल सूत्र √(gh) हेतु गहराई चाहिए और वह लागू नहीं होता।

  15. 2 m ऊँचाई की नियमित तरंग 1025 kg/m³ घनत्व वाले समुद्री जल में चलती है। g = 9.81 m/s² लेकर प्रति इकाई पृष्ठ क्षेत्रफल उसकी ऊर्जा (J/m² में), निकटतम पूर्णांक तक, ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 5028

    E = ρgH²/8 = 1025 × 9.81 × 4/8 = 5027.6 ≈ 5028 J/m²। उसी 1/8 सहित ऊँचाई के स्थान पर आयाम 1 m प्रयोग करने पर 1257; सही आयाम रूप ρga²/2 है।

  16. 1 m व्यास का ऊर्ध्वाधर बेलन 1025 kg/m³ घनत्व वाले समुद्री जल में खड़ा है। किसी क्षण जल-कण वेग 2 m/s व त्वरण 1 m/s² है। C_D = 1.0 व C_M = 2.0 सहित प्रति इकाई लंबाई मॉरिसन बल (N/m में), निकटतम पूर्णांक तक, ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 3660

    कर्षण ½ρC_D D u|u| = 0.5 × 1025 × 1 × 1 × 4 = 2050 N/m; जड़त्व ρC_M(πD²/4)u̇ = 1025 × 2 × 0.7854 × 1 = 1610 N/m; कुल 3660 N/m (दोनों जोड़े जाते हैं क्योंकि दोनों एक ही क्षण के दिए गए हैं)। जड़त्व पद में C_M − 1 = 1 प्रयोग करने पर 2855 N/m आता है।

  17. रैखिक पृष्ठीय तरंगों के विषय में कौन-से कथन सही हैं?

    1. गहरे जल में समूह वेग कला वेग का आधा है
    2. उथले जल में सभी तरंग आवर्तकाल समान चाल से चलते हैं
    3. गहरे जल में लंबे आवर्तकाल की तरंगें तेज़ चलती हैं
    4. प्रति इकाई क्षेत्रफल तरंग ऊर्जा तरंग ऊँचाई के समानुपाती है
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — गहरे जल में समूह वेग कला वेग का आधा है; B — उथले जल में सभी तरंग आवर्तकाल समान चाल से चलते हैं; C — गहरे जल में लंबे आवर्तकाल की तरंगें तेज़ चलती हैं

    गहरे जल में c_g = c/2; उथले जल में c = √(gh) आवर्तकाल से स्वतंत्र है (अपरिक्षेपी); गहरे जल में c = gT/(2π), T के साथ बढ़ता है, इसीलिए महातरंग तूफ़ान से आगे निकलती है। E = ρgH²/8 ऊँचाई के वर्ग के समानुपाती है।