द्रव यांत्रिकी व समुद्री द्रवगतिकी I: द्रव स्थैतिकी, संरक्षण नियम, समरूपता, श्यान प्रवाह व परिसीमा परत

नौवास्तुकला व समुद्री अभियांत्रिकी (NM) पेपर का खंड 3 दो विषयों, द्रव यांत्रिकी व समुद्री द्रवगतिकी, के नाम पर है, और उसे दो अध्यायों में उस रेखा पर बाँटा गया है जहाँ श्यानता का महत्त्व समाप्त होता है। यह पहला अध्याय वास्तविक तरल है: तरल गुण; द्रव स्थैतिकी व तैरते पिंडों का स्थायित्व; द्रव्यमान, संवेग व ऊर्जा के संरक्षण नियम समाकल व अवकल रूप में, सांतत्य, ऑयलर व बर्नूली समीकरणों सहित; विमीय विश्लेषण व गतिक समरूपता; असंपीड्य तरलों का श्यान प्रवाह — नेवियर–स्टोक्स समीकरण, कुएट व समतल प्वाज़ॉय प्रवाह, प्रारंभिक विक्षुब्ध प्रवाह व पाइपों में प्रवाह; तथा परिसीमा-परत सिद्धांत — प्रांटल समीकरण, पृथक्करण की कसौटी, ब्लासियस हल, त्वचा घर्षण, विस्थापन व संवेग मोटाई, विक्षुब्ध परिसीमा परत व परिसीमा-परत नियंत्रण। दूसरा अध्याय आदर्श तरल लेता है: विभव प्रवाह, भ्रमिल, उत्थापक पृष्ठ, संलग्न द्रव्यमान, मॉडल परीक्षण व पृष्ठीय तरंगें। यहाँ परिकलित त्वचा घर्षण जहाज़ का घर्षण प्रतिरोध है, और यहाँ मिलने वाली फ़्राउड व रेनॉल्ड्स संख्याएँ तय करती हैं कि मॉडल परीक्षण का मापन कैसे हो।

1. तरल गुण, द्रव स्थैतिकी व तैरते पिंडों का स्थायित्व

तरल अपरूपण के अंतर्गत निरंतर विरूपित होता है। उसका घनत्व ρ (मीठा जल लगभग 1000 kg/m³, समुद्री जल लगभग 1025 kg/m³), न्यूटन के श्यानता नियम τ = μ du/dy से परिभाषित गतिक श्यानता μ, और शुद्धगतिक श्यानता ν = μ/ρ यहाँ सर्वाधिक महत्त्वपूर्ण गुण हैं; पृष्ठ तनाव व वाष्प दाब छोटे मापों व कोटरन हेतु महत्त्वपूर्ण हैं। विराम में तरल में दाब हर दिशा में समान है और गहराई के साथ dp/dz = −ρg के अनुसार बढ़ता है, अतः अचर घनत्व के द्रव में p = p₀ + ρgh।

क्षेत्रफल A के समतल पृष्ठ, जिसका केंद्रक गहराई h_c पर है, पर द्रवस्थैतिक बल F = ρg h_c A है, जो दाब केंद्र पर कार्य करता है, जो केंद्रक के नीचे गहराई h_cp = h_c + I_G/(h_c A) पर है, I_G क्षेत्रफल का अपने क्षैतिज केंद्रकीय अक्ष के परितः द्वितीय आघूर्ण। पृष्ठ पर शीर्ष वाले d गहराई के ऊर्ध्वाधर आयत हेतु h_c = d/2 व दाब केंद्र 2d/3 पर है। वक्र पृष्ठ पर क्षैतिज घटक ऊर्ध्वाधर प्रक्षेप पर बल के बराबर और ऊर्ध्वाधर घटक पृष्ठ के ऊपर तरल के भार के बराबर है।

तैरता पिंड अपने भार के बराबर तरल विस्थापित करता है (आर्किमिडीज़), और उसकी उत्प्लावकता उत्प्लावकता केंद्र B पर कार्य करती है, जो विस्थापित आयतन का केंद्रक है। वह छोटे झुकाव में स्थिर है जब मेटासेंटर M गुरुत्व केंद्र G के ऊपर हो: GM = KB + BM − KG > 0, BM = I/∇ सहित, I झुकाव-अक्ष के परितः जलतल का द्वितीय आघूर्ण व ∇ विस्थापित आयतन। पूर्णतः निमज्जित पिंड का कोई जलतल नहीं होता, अतः BM = 0 और वह केवल तब स्थिर है जब G, B के नीचे हो। नौवास्तुकला अध्याय इसे पूरे जहाज़-स्थायित्व तक विकसित करता है।

2. संरक्षण नियम: सांतत्य, संवेग, ऊर्जा, ऑयलर व बर्नूली

नियंत्रण आयतन हेतु द्रव्यमान संरक्षण कहता है कि भीतर द्रव्यमान की वृद्धि-दर शुद्ध अंतर्वाह के बराबर है; वाहिनी में स्थायी प्रवाह में यह ρ₁A₁V₁ = ρ₂A₂V₂ है, और असंपीड्य तरल हेतु A₁V₁ = A₂V₂। अवकल रूप में यह ∂ρ/∂t + ∇·(ρV) = 0 है, असंपीड्य प्रवाह हेतु ∇·V = 0 तक घटते हुए। स्थायी नियंत्रण आयतन हेतु संवेग समीकरण ΣF = Σ(ṁV)_बहिर्गत − Σ(ṁV)_अंतर्गत पाइप मोड़, तुंड या फलक पर बल और जेट या नोदक का प्रणोद देता है; ऊर्जा समीकरण दाब, गतिज व स्थितिज ऊर्जा के संतुलन में ऊष्मा व दंड कार्य जोड़ता है, और उसके यांत्रिक-ऊर्जा रूप में घर्षण से खोया शीर्ष सम्मिलित है।

अश्यान तरल हेतु प्रति इकाई आयतन न्यूटन नियम ऑयलर समीकरण ρ DV/Dt = −∇p + ρg है। स्थायी प्रवाह में धारारेखा के अनुदिश समाकलित करने पर यह बर्नूली समीकरण p/ρ + V²/2 + gz = अचर बनता है, जो प्रत्येक धारारेखा के अनुदिश लागू है; यदि प्रवाह अघूर्णी भी हो तो अचर सर्वत्र समान है। इसकी चार शर्तें — स्थायी, अश्यान, असंपीड्य, धारारेखा के अनुदिश — वही हैं जिन्हें परीक्षक समीकरण के दुरुपयोग पर परखता है। विभव प्रवाह हेतु व्यापीकृत, अस्थायी रूप अगले अध्याय में लिया गया है।

🧠 पहले सांतत्य, फिर बर्नूली
जल (1000 kg/m³) 0.2 m पाइप से 2 m/s पर क्षैतिज 0.1 m पाइप में बहता है। सांतत्य: V₂ = 2 × (0.2/0.1)² = 8 m/s। बर्नूली: p₁ − p₂ = ½ × 1000 × (64 − 4) = 30 kPa। व्यास आधा करना वेग चौगुना करता है; वेग दोगुना करना नहीं।

3. विमीय विश्लेषण व गतिक समरूपता

बकिंघम π प्रमेय: k मूल विमाओं वाले n चरों के बीच संबंध n − k विमाहीन समूहों के बीच संबंध के रूप में लिखा जा सकता है। जहाज़ प्रतिरोध R, ρ, V, L, μ व g पर निर्भर है — छह चर व तीन विमाएँ (M, L, T) — अतः R/(½ρV²L²) = f(Re, Fn), तीन समूहों के बीच संबंध। समुद्री द्रवगतिकी में महत्त्वपूर्ण समूह हैं रेनॉल्ड्स संख्या Re = VL/ν (जड़त्व बनाम श्यान बल), फ़्राउड संख्या Fn = V/√(gL) (जड़त्व बनाम गुरुत्व, जो तरंग प्रतिरूप नियंत्रित करता है), वेबर संख्या (जड़त्व बनाम पृष्ठ तनाव), ऑयलर संख्या (दाब बनाम जड़त्व) व कोटरन संख्या σ = (p − p_v)/(½ρV²)।

मॉडल व आद्यरूप के बीच गतिक समरूपता हेतु ज्यामितीय समरूपता और प्रत्येक प्रासंगिक विमाहीन समूह के समान मान चाहिए। जहाज़ मॉडल हेतु यह असंभव है: समान Fn हेतु V_m = V_s/√λ चाहिए, जबकि समान श्यानता वाले जल में समान Re हेतु V_m = λV_s। उपाय फ़्राउड परिकल्पना है, जो प्रतिरोध को Re पर निर्भर घर्षण भाग व Fn पर निर्भर अवशिष्ट भाग मानती है; मॉडल संगत गति (समान Fn) पर चलाया जाता है और घर्षण भाग दोनों रेनॉल्ड्स संख्याओं के बीच संशोधित किया जाता है, जैसा नौवास्तुकला अध्याय का प्रतिरोध खंड दिखाता है।

4. श्यान प्रवाह: नेवियर–स्टोक्स, कुएट, प्वाज़ॉय, विक्षोभ व पाइप

नेवियर–स्टोक्स समीकरण ऑयलर में श्यान पद जोड़ते हैं: असंपीड्य न्यूटनी तरल हेतु ρ DV/Dt = −∇p + ρg + μ∇²V। समांतर प्रवाहों हेतु इनके यथार्थ हल हैं। स्थिर प्लेट व U से चलती प्लेट के बीच, अंतराल h, बिना दाब प्रवणता के कुएट प्रवाह की परिच्छेदिका रैखिक u = Uy/h है और अपरूपण प्रतिबल सर्वत्र τ = μU/h। दाब प्रवणता से चालित स्थिर प्लेटों के बीच समतल प्वाज़ॉय प्रवाह की परिच्छेदिका परवलयिक u = (1/2μ)(−dp/dx)y(h − y) है, u_max = 1.5 ū सहित। वृत्ताकार पाइप (हेगन–प्वाज़ॉय) में u_max = 2ū, Q = πR⁴(−dp/dx)/(8μ), और डार्सी घर्षण गुणक f = 64/Re है।

पाइप प्रवाह लगभग 2000 रेनॉल्ड्स संख्या से नीचे स्तरीय है और कुछ हज़ार से ऊपर विक्षुब्ध हो जाता है, यादृच्छिक उच्चावचनों सहित जो श्यानता से कहीं अधिक प्रभावी रूप से संवेग का परिवहन करते हैं — रेनॉल्ड्स प्रतिबल −ρu′v′ व भँवर श्यानता के रूप में प्रतिरूपित। विक्षुब्ध परिच्छेदिका कहीं अधिक चपटी है (लगभग 1/7-घात नियम), दीवार पर पतली श्यान उपपरत सहित। किसी भी व्यवस्था में घर्षण से खोया शीर्ष डार्सी–वाइसबाख समीकरण h_f = f(L/D)(V²/2g) देता है; विक्षुब्ध प्रवाह में f, Re व सापेक्ष खुरदरापन ε/D पर निर्भर है, मूडी चार्ट से पढ़ा जाता है। मोड़ों, वाल्वों व फ़िटिंगों पर गौण हानियाँ प्रत्येक K V²/2g हैं।

यथार्थ श्यान प्रवाह
प्रवाहपरिच्छेदिकाउपयोगी परिणाम
कुएट (चलती प्लेट, दाब प्रवणता नहीं)रैखिक, u = Uy/hτ = μU/h, अंतराल भर में एकसमान
समतल प्वाज़ॉय (स्थिर प्लेटें)परवलयिकu_max = 1.5 ū
हेगन–प्वाज़ॉय (वृत्ताकार पाइप)परवलयजीयu_max = 2ū, f = 64/Re

5. परिसीमा-परत सिद्धांत: ब्लासियस, मोटाइयाँ, पृथक्करण, विक्षोभ व नियंत्रण

उच्च रेनॉल्ड्स संख्या पर श्यान प्रभाव सतह से सटी पतली परिसीमा परत तक सीमित रहते हैं। प्रांटल का परिमाण-कोटि तर्क नेवियर–स्टोक्स को परिसीमा-परत समीकरणों u∂u/∂x + v∂u/∂y = −(1/ρ)dp/dx + ν∂²u/∂y² तक घटाता है, परत के आर-पार ∂p/∂y = 0 सहित, अतः दाब बाहरी विभव प्रवाह द्वारा आरोपित होता है। शून्य दाब प्रवणता वाली समतल प्लेट हेतु ब्लासियस का समरूपता हल मोटाई δ ≈ 5.0x/√Reₓ, विस्थापन मोटाई δ* = 1.72x/√Reₓ, संवेग मोटाई θ = 0.664x/√Reₓ, स्थानीय त्वचा-घर्षण गुणांक cf = 0.664/√Reₓ और प्लेट कर्षण गुणांक C_D = 1.328/√Re_L देता है। लैमिनार परत हेतु आकृति गुणक H = δ*/θ लगभग 2.59 है।

विस्थापन मोटाई δ* = ∫(1 − u/U)dy वह दूरी है जिससे वेग-न्यूनता बाहरी प्रवाह को धकेलती है; संवेग मोटाई θ = ∫(u/U)(1 − u/U)dy खोया संवेग मापती है, और प्लेट का प्रति इकाई चौड़ाई कर्षण उसके पश्च किनारे पर ρU²θ है। समतल प्लेट पर परत लगभग 5 × 10⁵ के Reₓ पर विक्षुब्ध हो जाती है, जिसके बाद वह तेज़ी से बढ़ती है, δ ≈ 0.37x/Reₓ1/5, C_D ≈ 0.074/Re_L1/5 व H ≈ 1.3 सहित। पूर्ण माप पर जहाज़ की परिसीमा परत लगभग पूरी लंबाई पर विक्षुब्ध होती है, इसीलिए उसका घर्षण प्रतिरोध विक्षुब्ध घर्षण रेखाओं से परिकलित होता है।

पृथक्करण प्रतिकूल दाब प्रवणता (dp/dx > 0) में होता है, जहाँ दीवार के निकट का धीमा तरल तब तक मंदित होता है जब तक वह उलट न जाए; कसौटी दीवार पर (∂u/∂y) = 0 है, अर्थात् शून्य दीवार अपरूपण। अनुप्रवाह में प्रवाह पुनःपरिसंचारी अनुगामी क्षेत्र (wake) बनता है और बड़ा दाब कर्षण प्रकट होता है। दीवार के निकट अधिक संवेग वाली विक्षुब्ध परत लैमिनार परत से अधिक समय तक पृथक्करण का प्रतिरोध करती है — इसीलिए गोले का कर्षण उसकी परिसीमा परत विक्षुब्ध होने पर तीव्रता से गिरता है। परिसीमा-परत नियंत्रण पृथक्करण को विलंबित करता है चूषण (धीमा तरल हटाकर), प्रधमन या स्पर्शरेखीय अंतःक्षेपण (उसे पुनः ऊर्जित कर), खाँचे व स्लैट, गतिशील सतहों, और भ्रमिल जनित्रों से जो उच्च-संवेग तरल को दीवार तक मिलाते हैं।

⚠️ शून्य दीवार अपरूपण पृथक्करण चिह्नित करता है; शून्य दाब प्रवणता नहीं
अनुकूल दाब प्रवणता (dp/dx < 0) परिसीमा परत को कभी पृथक नहीं करती, और शून्य प्रवणता पर समतल प्लेट भी कभी पृथक नहीं होती। पृथक्करण हेतु dp/dx > 0 चाहिए, और उसका स्थान वह है जहाँ दीवार पर (∂u/∂y) पहली बार शून्य होता है।

मुख्य बिंदु

  • समतल पृष्ठ पर F = ρg h_c A, पृष्ठ से ऊर्ध्वाधर आयत पर 2d/3 नीचे कार्यरत; तैरते स्थायित्व हेतु GM = KB + BM − KG > 0, BM = I/∇ सहित।
  • बर्नूली स्थायी, अश्यान, असंपीड्य प्रवाह में धारारेखा के अनुदिश, और प्रवाह अघूर्णी भी हो तो सर्वत्र लागू है।
  • जहाज़ प्रतिरोध: R/(½ρV²L²) = f(Re, Fn); समान Fn व समान Re दोनों नहीं मिल सकते, अतः फ़्राउड परिकल्पना प्रतिरोध को बाँटती है।
  • कुएट τ = μU/h; समतल प्वाज़ॉय u_max = 1.5ū; पाइप u_max = 2ū व f = 64/Re; h_f = f(L/D)V²/2g।
  • ब्लासियस: δ = 5x/√Re, C_D = 1.328/√Re, H = 2.59; प्रतिकूल प्रवणता में जहाँ दीवार अपरूपण शून्य हो वहाँ पृथक्करण।

अभ्यास प्रश्न (14)

उत्तर खोलने से पहले प्रत्येक प्रश्न हल करें। हर व्याख्या सही विकल्प के साथ लुभावना गलत विकल्प भी बताती है, क्योंकि अंक वहीं जाते हैं।

  1. 2 m चौड़े व 3 m गहरे ऊर्ध्वाधर आयताकार द्वार का ऊपरी किनारा 1025 kg/m³ घनत्व वाले समुद्री जल की मुक्त सतह पर है। g = 9.81 m/s² लेकर द्वार पर द्रवस्थैतिक बल (kN में), एक दशमलव स्थान तक, ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 90.5

    F = ρg h_c A = 1025 × 9.81 × 1.5 × 6 = 90 497 N = 90.5 kN, 2 m गहराई (ऊँचाई का 2/3) पर कार्यरत। केंद्रक गहराई के स्थान पर पूरी गहराई 3 m लेने से यह दोगुना 181.0 kN हो जाता है।

  2. निमज्जित ऊर्ध्वाधर समतल पृष्ठ पर दाब केंद्र स्थित होता है

    1. उसके केंद्रक के नीचे
    2. उसके केंद्रक पर
    3. उसके केंद्रक के ऊपर
    4. मुक्त सतह पर
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — उसके केंद्रक के नीचे

    h_cp = h_c + I_G/(h_c A), और जोड़ा पद सदैव धनात्मक है, क्योंकि दाब गहराई के साथ बढ़ता है और पृष्ठ का निचला भाग बल का अधिक अंश वहन करता है। पृष्ठ को अधिक गहरा डुबाने पर अंतर घटता है।

  3. 1000 kg/m³ घनत्व का जल 0.2 m व्यास के क्षैतिज पाइप में 2 m/s पर बहता है जो 0.1 m तक घटता है। हानियाँ उपेक्षित कर दोनों काटों के बीच दाब-पात (kPa में) ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

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    उत्तर: 30

    सांतत्य V₂ = 2 × (0.2/0.1)² = 8 m/s देता है; बर्नूली Δp = ½ × 1000 × (8² − 2²) = 30 000 Pa = 30 kPa देता है। वेग को व्यास अनुपात के वर्ग के स्थान पर अनुपात से मापने पर V₂ = 4 m/s व 6 kPa आता है।

  4. एक ही धारारेखा पर दो बिंदुओं के बीच बर्नूली समीकरण लगाने हेतु कौन-सी शर्तें आवश्यक हैं?

    1. स्थायी प्रवाह
    2. नगण्य श्यान हानियाँ
    3. असंपीड्य प्रवाह
    4. अघूर्णी प्रवाह
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — स्थायी प्रवाह; B — नगण्य श्यान हानियाँ; C — असंपीड्य प्रवाह

    धारारेखा के अनुदिश बर्नूली को स्थायी, अश्यान व असंपीड्य प्रवाह चाहिए। अघूर्णता केवल भिन्न धारारेखाओं के बिंदुओं के बीच लगाने हेतु चाहिए, जहाँ वह अचर को सर्वत्र समान बनाती है।

  5. जहाज़ का प्रतिरोध घनत्व, गति, लंबाई, श्यानता व गुरुत्वीय त्वरण पर निर्भर माना जाता है। प्रतिरोध गुणांक गिनते हुए, संबंध में स्वतंत्र विमाहीन समूहों की संख्या ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

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    उत्तर: 3

    छह चर (R, ρ, V, L, μ, g) घटा तीन विमाएँ (M, L, T) तीन समूह देते हैं: प्रतिरोध गुणांक, रेनॉल्ड्स संख्या व फ़्राउड संख्या। स्वयं R गिनना भूलने पर 2 आता है।

  6. जल में जहाज़ मॉडल की पूर्ण गतिक समरूपता प्राप्त नहीं हो सकती क्योंकि

    1. समान फ़्राउड संख्या हेतु कम मॉडल गति चाहिए जबकि समान रेनॉल्ड्स संख्या हेतु अधिक
    2. मॉडल ज्यामितीय रूप से समरूप नहीं बनाया जा सकता
    3. फ़्राउड संख्या श्यानता पर निर्भर है
    4. मॉडल टैंक प्रतिरोध यथार्थ नहीं माप सकते
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — समान फ़्राउड संख्या हेतु कम मॉडल गति चाहिए जबकि समान रेनॉल्ड्स संख्या हेतु अधिक

    समान Fn, V_m = V_s/√λ देता है, पर लगभग समान ν सहित समान Re, V_m = λV_s देता है — λ1.5 गुना अधिक गति। दोनों नहीं हो सकते, अतः मॉडल समान Fn पर चलता है और घर्षण अलग से संशोधित होता है। फ़्राउड संख्या में कोई श्यानता नहीं है।

  7. 0.001 Pa·s श्यानता का तेल एक स्थिर प्लेट व 2 m/s से चलती प्लेट के बीच 2 mm अंतराल भरता है। चलती प्लेट पर अपरूपण प्रतिबल (Pa में) ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

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    उत्तर: 1

    कुएट प्रवाह की परिच्छेदिका रैखिक है, अतः τ = μU/h = 0.001 × 2/0.002 = 1 Pa, पूरे अंतराल में समान। h को मिलीमीटर में छोड़ने पर 0.001 Pa आता है।

  8. जल 100 m लंबे व 0.1 m व्यास के पाइप में 2 m/s पर बहता है, डार्सी घर्षण गुणक 0.02। g = 9.81 m/s² लेकर घर्षण से खोया शीर्ष (m में), दो दशमलव स्थानों तक, ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 4.08

    h_f = f(L/D)(V²/2g) = 0.02 × 1000 × 4/19.62 = 4.08 m। 4f सहित फ़ैनिंग गुणक परिपाटी 16.31 m देती; 2g में 2 छोड़ने पर 8.15 m आता है।

  9. दो स्थिर समांतर प्लेटों के बीच पूर्णविकसित लैमिनार प्रवाह हेतु अधिकतम व माध्य वेग का अनुपात है

    1. 1.5
    2. 2
    3. 1
    4. 1.33
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — 1.5

    समतल प्वाज़ॉय प्रवाह अंतराल भर परवलयिक है और उसका माध्य शिखर का दो-तिहाई है, अतः u_max/ū = 1.5। मान 2 वृत्ताकार पाइप का है, जिसके परवलयज का माध्य शिखर का आधा है।

  10. पाइप में लैमिनार प्रवाह की रेनॉल्ड्स संख्या 1600 है। डार्सी घर्षण गुणक, दो दशमलव स्थानों तक, ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 0.04

    f = 64/Re = 64/1600 = 0.04। फ़ैनिंग घर्षण गुणक, डार्सी गुणक का चौथाई, 16/Re = 0.01 है, एक भिन्न परिपाटी।

  11. 1.0 × 10⁻⁶ m²/s शुद्धगतिक श्यानता का जल चिकनी समतल प्लेट पर 0.5 m/s से बहता है। ब्लासियस परिणाम δ = 5.0x/√Reₓ प्रयोग कर अग्र किनारे से 0.5 m पर परिसीमा-परत मोटाई (mm में) ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 5

    Reₓ = Ux/ν = 0.5 × 0.5/10⁻⁶ = 2.5 × 10⁵, लैमिनार; √Reₓ = 500; δ = 5 × 0.5/500 = 0.005 m = 5 mm। उसी बिंदु पर विस्थापन मोटाई 1.72 × 0.5/500 = 1.72 mm होती।

  12. स्थायी द्वि-विमीय परिसीमा परत के पृथक्करण की कसौटी है

    1. दीवार पर, दीवार के अभिलंब वेग प्रवणता शून्य हो जाती है
    2. दीवार के अनुदिश दाब प्रवणता शून्य हो जाती है
    3. परिसीमा परत विक्षुब्ध हो जाती है
    4. मुक्त-धारा वेग अपने अधिकतम पर पहुँचता है
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — दीवार पर, दीवार के अभिलंब वेग प्रवणता शून्य हो जाती है

    पृथक्करण वहाँ है जहाँ दीवार-निकट प्रवाह विराम में आता है और उलटने लगता है, जो वहाँ है जहाँ दीवार पर (∂u/∂y) — दीवार अपरूपण — शून्य होता है; वहाँ पहुँचने हेतु प्रतिकूल दाब प्रवणता चाहिए। विक्षोभ में संक्रमण पृथक्करण को कारित नहीं, विलंबित करता है।

  13. परिसीमा परतों के विषय में कौन-से कथन सही हैं?

    1. परत की मोटाई के आर-पार दाब लगभग अचर है
    2. लैमिनार समतल-प्लेट परत का आकृति गुणक विक्षुब्ध परत से बड़ा है
    3. दीवार पर चूषण पृथक्करण विलंबित करने में सहायक है
    4. विस्थापन मोटाई संवेग मोटाई से छोटी है
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — परत की मोटाई के आर-पार दाब लगभग अचर है; B — लैमिनार समतल-प्लेट परत का आकृति गुणक विक्षुब्ध परत से बड़ा है; C — दीवार पर चूषण पृथक्करण विलंबित करने में सहायक है

    ∂p/∂y ≈ 0 प्रांटल का मुख्य परिणाम है; H लैमिनार लगभग 2.59 व विक्षुब्ध 1.3 है; चूषण मंदित तरल हटाता है। चूँकि δ* का समाकल्य (1 − u/U), θ के (u/U)(1 − u/U) से कभी कम नहीं होता, विस्थापन मोटाई सदैव बड़ी होती है, इसीलिए H, 1 से अधिक है।

  14. एक चिकनी समतल प्लेट 2.5 × 10⁵ की लंबाई रेनॉल्ड्स संख्या पर लैमिनार प्रवाह में है। ब्लासियस हल से उसका त्वचा-घर्षण कर्षण गुणांक, चार दशमलव स्थानों तक, ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 0.0027

    C_D = 1.328/√Re_L = 1.328/500 = 0.002656, जो चार दशमलव स्थानों तक 0.0027 है। पश्च किनारे पर स्थानीय गुणांक 0.664/500 = 0.0013, प्लेट औसत का आधा है।