खानों हेतु सिस्टम अभियांत्रिकी: विश्वसनीयता, अनुरक्षणीयता व उपलब्धता, रैखिक प्रोग्रामन, परिवहन व नियतन, जाल विश्लेषण, माल-सूची व पंक्ति सिद्धांत
1. विश्वसनीयता, अनुरक्षणीयता व उपलब्धता
विश्वसनीयता R(t) वह प्रायिकता है कि कोई वस्तु निर्धारित दशाओं में समय t तक अपना कार्य करे। अचर विफलता (संकट) दर λ के साथ — बाथटब वक्र का सपाट मध्य भाग, प्रारंभिक (शिशु-मृत्यु) विफलताओं के छँट जाने के बाद और घिसाव आरंभ होने से पहले — R(t) = e−λt और विफलताओं के बीच माध्य समय MTBF = 1/λ। λ = 0.001 प्रति घंटा वाला पंप 200 h तक e−0.2 = 0.8187 प्रायिकता से टिकता है।
| व्यवस्था | तंत्र विश्वसनीयता | उदाहरण |
|---|---|---|
| श्रेणी — सभी कार्य करें | Rs = R₁ R₂ … Rₙ | 0.9 × 0.95 × 0.98 = 0.8379 |
| समांतर (सक्रिय अतिरेक) — एक पर्याप्त | Rp = 1 − (1 − R₁)(1 − R₂) … (1 − Rₙ) | 0.8 के दो पंप: 1 − 0.2² = 0.96 |
| मिश्रित | पहले समांतर समूह समानीत करें, फिर श्रेणी में गुणा करें | युग्म के साथ श्रेणी में 0.95: 0.95 × 0.96 = 0.912 |
| n में से k (समान, प्रत्येक R) | i = k से n तक Σ C(n, i) Rⁱ(1 − R)ⁿ⁻ⁱ | तीन में से दो पंखे आवश्यक |
अनुरक्षणीयता वह प्रायिकता है कि विफल वस्तु दिए समय में पुनःस्थापित हो जाए, मरम्मत का माध्य समय (MTTR) द्वारा संक्षेपित; अचर मरम्मत दर μ सहित MTTR = 1/μ। अंतर्निहित उपलब्धता समय का वह अंश है जिसमें वस्तु कार्य करने योग्य हो: A = MTBF/(MTBF + MTTR) — विफलताओं के बीच 90 h व मरम्मत में 10 h, 0.9 देते हैं। खान उपकरण सूचना में यांत्रिक उपलब्धता केवल अनुरक्षण डाउनटाइम गिनती है, और उपयोगिता उपलब्ध समय का वह अंश जिसमें मशीन वास्तव में प्रयुक्त हो; निष्पादन सहित उनका गुणनफल उत्पादन तय करता है। निवारक अनुरक्षण घिसाव द्वारा विफलता दर बढ़ाने से पहले पुर्ज़े बदलता है; दशा निगरानी — कंपन, तेल विश्लेषण, तापचित्रण — उसे आवश्यकता से समयबद्ध करती है।
2. रैखिक प्रोग्रामन, परिवहन व नियतन
रैखिक प्रोग्राम रैखिक बाधाओं व अऋणात्मकता के अधीन रैखिक उद्देश्य को अधिकतम या न्यूनतम करता है। दो चरों सहित यह आलेखीय रूप से हल होता है: बाधाएँ एक उत्तल सुसंगत क्षेत्र को सीमित करती हैं, और इष्टतम एक कोने-बिंदु पर होता है। x ≤ 4, 2y ≤ 12, 3x + 2y ≤ 18 के अधीन max z = 3x + 5y हेतु कोने (0, 0), (4, 0), (4, 3), (2, 6) व (0, 6) हैं, z = 0, 12, 27, 36 व 30 सहित, अतः (2, 6) पर z* = 36। बड़ी समस्याएँ सिम्प्लेक्स विधि प्रयुक्त करती हैं, z सुधारते किनारों के अनुदिश कोने से कोने जाते हुए, शिथिल चर असमिकाओं को समीकरणों में बदलते हैं। प्रत्येक LP का एक द्वैत होता है, जिसका इष्टतम मान मूल के बराबर है, और जिसके चर मूल बाधाओं के छाया मूल्य हैं — प्रत्येक संसाधन की एक अतिरिक्त इकाई का मूल्य। खानें LP का उपयोग अयस्क सम्मिश्रण (न्यूनतम लागत पर श्रेणी व अशुद्धि विनिर्देश पूरे करना), उत्पादन नियोजन व उपकरण आवंटन हेतु करती हैं।
परिवहन समस्या आपूर्तियों वाले m स्रोतों से माँगों वाले n गंतव्यों तक न्यूनतम लागत पर भेजती है। जब कुल आपूर्ति कुल माँग के बराबर हो (अन्यथा एक डमी पंक्ति या स्तंभ जोड़ें), तो आधारी सुसंगत हल में m + n − 1 आवंटन होते हैं; कम का अर्थ है वह अपभ्रष्ट है और एक ε रखना होगा। प्रारंभिक हल उत्तर-पश्चिम कोना नियम, न्यूनतम-लागत विधि या वोगेल सन्निकटन (प्रायः सर्वोत्तम आरंभ) से आता है, और MODI (u–v) विधि से जाँचा व सुधारा जाता है: अधिकृत कोष्ठों हेतु uᵢ + vⱼ = cᵢⱼ ज्ञात करें, और यदि किसी रिक्त कोष्ठ का cᵢⱼ − uᵢ − vⱼ < 0 हो, उसे एक बंद पाश के चारों ओर लाएँ। नियतन समस्या — n कार्य n मशीनों या संचालकों को, प्रत्येक को एक — एक विशेष परिवहन समस्या है जो हंगेरियन विधि से हल होती है: पंक्ति व स्तंभ न्यूनतम घटाएँ, सभी शून्यों को न्यूनतम रेखाओं से ढकें, और तब तक सबसे छोटे अनढके अवयव से समायोजन करें जब तक n रेखाएँ आवश्यक न हों।
3. जाल विश्लेषण: CPM व PERT
परियोजना पूर्वता सहित गतिविधियों के जाल के रूप में बनाई जाती है। क्रांतिक पथ विधि (CPM) शीघ्रतम आरंभ व समाप्ति समयों (ES, EF = ES + अवधि, प्रत्येक गतिविधि अपनी पूर्ववर्तियों के सबसे बाद के EF पर आरंभ) हेतु अग्र पास और विलंबतम समयों (LF, LS = LF − अवधि) हेतु पश्च पास करती है। किसी गतिविधि का कुल प्लव (total float) LS − ES वह विलंब है जिसे वह परियोजना को विलंबित किए बिना सह सकती है; क्रांतिक पथ शून्य-प्लव गतिविधियों की श्रृंखला है, और उसकी लंबाई परियोजना-अवधि है। आरंभ में A (3) व B (6), A के बाद C (2) व D (4), B व C के बाद E (3), तथा D व E के बाद F (2) हेतु: पथ A–C–E–F = 10, A–D–F = 9 व B–E–F = 11 हैं, अतः B–E–F क्रांतिक है, परियोजना 11 लेती है, और D का प्लव 2 है। क्रैशिंग न्यूनतम लागत-ढाल के क्रम में क्रांतिक गतिविधियों पर समय खरीदकर परियोजना छोटी करती है।
PERT अनिश्चित अवधियों को तीन आकलनों से संभालता है — आशावादी a, सर्वाधिक संभावित m, निराशावादी b — बीटा बंटन मानते हुए: अपेक्षित समय te = (a + 4m + b)/6 और प्रसरण σ² = ((b − a)/6)²। a = 4, m = 6, b = 14 हेतु te = 42/6 = 7 व σ² = (10/6)² = 2.78। परियोजना-अवधि को सामान्य बंटित माना जाता है, क्रांतिक पथ पर te के योग के माध्य व σ² के योग के प्रसरण सहित, अतः लक्ष्य T तक पूरा होने की प्रायिकता Φ((T − ΣTe)/√Σσ²) है।
4. माल-सूची मॉडल व पंक्ति सिद्धांत
खानें पुर्ज़ों, विस्फोटकों, टायरों, ईंधन व उपभोग्य सामग्री की बड़ी माल-सूची रखती हैं। मूल आर्थिक आदेश मात्रा मॉडल में — अचर वार्षिक माँग D, प्रति आदेश आदेशन लागत S, प्रति इकाई प्रति वर्ष धारण लागत H, तात्कालिक पुनःपूर्ति, कोई कमी नहीं — कुल वार्षिक लागत DS/Q + HQ/2 Q* = √(2DS/H) पर न्यूनतम है, जहाँ आदेशन व धारण लागत बराबर हों, और न्यूनतम कुल √(2DSH) है। D = 24 000 इकाई, S = ₹300 व H = ₹40 पर Q* = √360 000 = 600 इकाई और न्यूनतम लागत ₹24 000 प्रति वर्ष। पुनः-आदेश बिंदु अग्रता-काल के दौरान माँग तथा परिवर्ती माँग के विरुद्ध सुरक्षा भंडार है; ABC विश्लेषण नियंत्रण-प्रयास को उन थोड़ी वस्तुओं पर लगाता है जो अधिकांश मूल्य वहन करती हैं।
पंक्ति तब बनती है जब आगमन सीमित क्षमता के सेवक से मिलें — शॉवेल या कोल्हू पर ट्रक, लदान बिंदु पर गाड़ियाँ, कार्यशाला में टूटी मशीनें। M/M/1 मॉडल में (λ दर पर प्वासों आगमन, μ दर पर चरघातांकी सेवा, एक सेवक) पंक्ति के स्थिर होने हेतु उपयोग ρ = λ/μ 1 से कम होना चाहिए, और: तंत्र में L = ρ/(1 − ρ) इकाइयाँ, पंक्ति में Lq = ρ²/(1 − ρ), तंत्र में समय W = 1/(μ − λ) और प्रतीक्षा Wq = λ/(μ(μ − λ))। लिटिल का नियम, L = λW, किसी भी स्थिर पंक्ति हेतु सत्य है। λ = 10 ट्रक/h व μ = 12/h पर ρ = 0.833, L = 5, Lq = 4.17, W = 0.5 h व Wq = 25 min — 83% समय व्यस्त शॉवेल पहले ही चार ट्रक प्रतीक्षा में रखता है।
मुख्य बिंदु
- R(t) = e−λt, MTBF = 1/λ; श्रेणी विश्वसनीयताओं को, समांतर अविश्वसनीयताओं को गुणा करती है; A = MTBF/(MTBF + MTTR)।
- LP इष्टतम सुसंगत क्षेत्र के कोने पर होता है; द्वैत के चर छाया मूल्य हैं; सम्मिश्रण पारंपरिक खान LP है।
- परिवहन आधारी हल में m + n − 1 आवंटन होते हैं; MODI इष्टतमता जाँचती है; हंगेरियन विधि नियतन हल करती है।
- CPM: क्रांतिक पथ का प्लव शून्य है और वह अवधि तय करता है; PERT te = (a + 4m + b)/6, σ² = ((b − a)/6)²।
- EOQ = √(2DS/H), न्यूनतम लागत √(2DSH) सहित; M/M/1: ρ = λ/μ < 1, L = ρ/(1 − ρ), Wq = λ/(μ(μ − λ)), तथा L = λW।
अभ्यास प्रश्न (16)
उत्तर खोलने से पहले प्रत्येक प्रश्न हल करें। हर व्याख्या सही विकल्प के साथ लुभावना गलत विकल्प भी बताती है, क्योंकि अंक वहीं जाते हैं।
एक कन्वेयर पंक्ति में एक पाली हेतु 0.90, 0.95 व 0.98 विश्वसनीयता वाली तीन ड्राइव श्रेणी में हैं। पंक्ति की विश्वसनीयता, चार दशमलव स्थानों तक ____ है।
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उत्तर: 0.8379
श्रेणी: Rs = 0.90 × 0.95 × 0.98 = 0.8379, सबसे दुर्बल ड्राइव से भी कम। अविश्वसनीयताओं को जोड़ना (1 − 0.17 = 0.83) केवल छोटी विफलता प्रायिकताओं हेतु सन्निकटन है, और समांतर सूत्र 0.9999 देता।एक जल-निष्कासन तंत्र में 0.95 विश्वसनीयता का मुख्य वाल्व समांतर में दो समान पंपों के साथ श्रेणी में है, प्रत्येक 0.8 विश्वसनीयता का (अकेला कोई भी पंप पर्याप्त है)। तंत्र विश्वसनीयता, तीन दशमलव स्थानों तक ____ है।
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
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उत्तर: 0.912
समांतर पंप: 1 − (1 − 0.8)² = 1 − 0.04 = 0.96; वाल्व के साथ श्रेणी में: 0.95 × 0.96 = 0.912। तीनों को श्रेणी में मानना 0.608 देता है, और 0.95 × 0.8 = 0.76 अतिरिक्त पंप की पूर्ण उपेक्षा करता है।एक पंप की अचर विफलता दर 0.001 प्रति घंटा है। उसके बिना विफलता 200 घंटे चलने की प्रायिकता, चार दशमलव स्थानों तक ____ है।
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
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उत्तर: 0.8187
R(t) = e−λt = e−0.001 × 200 = e−0.2 = 0.8187। रैखिक सन्निकटन 1 − λt = 0.8 केवल छोटे λt हेतु निकट है, और 1000 h का MTBF माध्य आयु है, गारंटी नहीं — केवल 36.8% पंप वहाँ तक पहुँचते हैं।एक ड्रैगलाइन का विफलताओं के बीच माध्य समय 90 h व मरम्मत का माध्य समय 10 h है। उसकी अंतर्निहित उपलब्धता, भिन्न के रूप में, ____ है।
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
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उत्तर: 0.9
A = MTBF/(MTBF + MTTR) = 90/(90 + 10) = 0.9। MTTR को MTBF से भाग देना (0.11) बंद व चालू समय का अनुपात देता है, उपलब्धता नहीं, और 1 − 10/90 = 0.889 ग़लत हर प्रयुक्त करता है।बाथटब वक्र की उपयोगी-आयु अवधि के दौरान उपकरण की विफलता दर है:
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उत्तर: B — लगभग अचर
दोषों से प्रारंभिक विफलताएँ दर को पहले घटाती हैं, घिसाव अंत में उसे बढ़ाता है, और बीच में यादृच्छिक विफलताएँ लगभग अचर दर देती हैं — वह क्षेत्र जहाँ R = e−λt व MTBF = 1/λ लागू होते हैं। मशीन चलते समय दर कभी शून्य नहीं होती।x ≤ 4, 2y ≤ 12, 3x + 2y ≤ 18, x ≥ 0, y ≥ 0 के अधीन z = 3x + 5y अधिकतम करें। z का इष्टतम मान ____ है।
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
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उत्तर: 36
सुसंगत क्षेत्र के कोने (0, 0), (4, 0), (4, 3), (2, 6) व (0, 6) हैं, जो z = 0, 12, 27, 36 व 30 देते हैं; सर्वोत्तम (2, 6) पर 36 है, जहाँ y = 6 व 3x + 2y = 18 मिलते हैं। (4, 6) लेना 42 देता है पर 3x + 2y ≤ 18 का उल्लंघन करता है।एक संतुलित परिवहन समस्या 3 खानों से 4 धुलाई संयंत्रों तक कोयला भेजती है। अनपभ्रष्ट आधारी सुसंगत हल में कितने अधिकृत कोष्ठ होते हैं?
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उत्तर: B — 6
m + n − 1 = 3 + 4 − 1 = 6: आपूर्ति व माँग के m + n समीकरण हैं, पर एक अतिरिक्त है क्योंकि कुल आपूर्ति कुल माँग के बराबर है। सात में एक पाश होगा, 12 प्रत्येक कोष्ठ है, और छह से कम का अर्थ है हल अपभ्रष्ट है और उसे ε आवंटन चाहिए।हंगेरियन विधि हल करने हेतु प्रयुक्त होती है:
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उत्तर: B — नियतन समस्या
हंगेरियन विधि पंक्तियों व स्तंभों को घटाकर व शून्यों को ढककर n संचालकों को n मशीनों पर न्यूनतम कुल लागत पर नियत करती है; नियतन समस्या की विशेष संरचना, प्रत्येक आपूर्ति व माँग 1 के बराबर, ही इसे कार्यशील बनाती है। क्रांतिक पथ अग्र व पश्च पास प्रयुक्त करते हैं, और EOQ एक बंद-रूप सूत्र है।एक PERT गतिविधि का आशावादी समय 4 दिन, सर्वाधिक संभावित समय 6 दिन व निराशावादी समय 14 दिन है। उसका अपेक्षित समय, दिनों में, ____ है।
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उत्तर: 7
te = (a + 4m + b)/6 = (4 + 24 + 14)/6 = 42/6 = 7 दिन। साधारण औसत (4 + 6 + 14)/3 = 8 सर्वाधिक संभावित समय को बहुत कम भार देता है, और स्वयं सर्वाधिक संभावित समय, 6, लंबी निराशावादी पूँछ की उपेक्षा करता है।उसी PERT गतिविधि (a = 4, m = 6, b = 14 दिन) हेतु उसकी अवधि का प्रसरण, दिन² में, दो दशमलव स्थानों तक ____ है।
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उत्तर: 2.78
σ² = ((b − a)/6)² = (10/6)² = 1.6667² = 2.78 दिन²। मानक विचलन 1.67 दिन है; वर्ग करना भूलना प्रसरण के स्थान पर वह आँकड़ा देता है, जबकि क्रांतिक पथ पर प्रसरण ही जुड़ता है।एक परियोजना में आरंभ में गतिविधियाँ A (3 दिन) व B (6 दिन) हैं; A के बाद C (2 दिन) व D (4 दिन); B व C दोनों के बाद E (3 दिन); तथा D व E दोनों के बाद F (2 दिन)। परियोजना-अवधि, दिनों में, ____ है।
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उत्तर: 11
अग्र पास: A 3 पर, B 6 पर समाप्त; C 5 पर, D 7 पर समाप्त; E max(6, 5) = 6 पर आरंभ व 9 पर समाप्त; F max(7, 9) = 9 पर आरंभ व 11 पर समाप्त। क्रांतिक पथ B–E–F है; A–C–E–F (10) व A–D–F (9) में प्लव है। प्रत्येक गतिविधि का योग (20) जाल को एक श्रृंखला मानता है।एक खान प्रति वर्ष 24 000 ड्रिल बिट प्रयुक्त करती है। प्रत्येक आदेश देने की लागत ₹300 है, और एक बिट को भंडार में रखने की लागत ₹40 प्रति वर्ष है। आर्थिक आदेश मात्रा, बिटों में, ____ है।
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उत्तर: 600
Q* = √(2DS/H) = √(2 × 24 000 × 300/40) = √360 000 = 600 बिट, अर्थात् प्रति वर्ष 40 आदेश, कुल आदेशन व धारण लागत √(2DSH) = ₹24 000 सहित। 2 छोड़ना 424 देता है, और S व H उलटना 80।ट्रक एक शॉवेल पर यादृच्छिक रूप से औसतन 10 प्रति घंटा आते हैं, और शॉवेल उन्हें एक-एक करके औसतन 12 प्रति घंटा (चरघातांकी सेवा) की दर से लादता है। लदान आरंभ होने से पहले एक ट्रक द्वारा पंक्ति में औसत प्रतीक्षा, मिनटों में, ____ है।
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
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उत्तर: 25
Wq = λ/(μ(μ − λ)) = 10/(12 × 2) = 0.4167 h = 25 min। तंत्र में समय, W = 1/(μ − λ) = 0.5 h = 30 min, में स्वयं लदान के 5 min सम्मिलित हैं; Wq के स्थान पर W लेना सामान्य भूल है।उसी शॉवेल हेतु (λ = 10 प्रति घंटा, μ = 12 प्रति घंटा, एक सेवक), तंत्र में ट्रकों की औसत संख्या (प्रतीक्षारत व लदते हुए) ____ है।
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
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उत्तर: 5
ρ = 10/12 = 0.8333, अतः L = ρ/(1 − ρ) = 0.8333/0.1667 = 5। प्रतीक्षारत संख्या Lq = ρ²/(1 − ρ) = 4.17 है, और लिटिल का नियम जाँचता है: L = λW = 10 × 0.5 = 5।निम्न में से कौन-से कथन सही हैं? (सभी सही चुनें।)
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उत्तर: B — M/M/1 पंक्ति तभी स्थिर है जब आगमन दर सेवा दर से कम हो; C — लिटिल का नियम L = λW किसी भी स्थिर पंक्ति हेतु सत्य है; D — आर्थिक आदेश मात्रा पर वार्षिक आदेशन लागत वार्षिक धारण लागत के बराबर होती है
ρ = λ/μ, 1 से कम होना चाहिए अन्यथा पंक्ति असीमित बढ़ती है; लिटिल के नियम को केवल स्थायी अवस्था चाहिए; और Q* पर दोनों लागत पद DS/Q व HQ/2 बराबर हैं। चूँकि Q* = √(2DS/H), अधिक धारण लागत उसे छोटा करती है, बड़ा नहीं — महँगा भंडार छोटे लॉटों में मँगाया जाता है।रैखिक प्रोग्रामन के विषय में निम्न में से कौन-से कथन सही हैं? (सभी सही चुनें।)
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उत्तर: A — यदि इष्टतम हल हो, तो एक सुसंगत क्षेत्र के कोने-बिंदु पर होता है; B — मूल व उसके द्वैत के इष्टतम मान बराबर हैं; D — छाया मूल्य किसी बाधा के दायें पक्ष की प्रति इकाई वृद्धि पर इष्टतम उद्देश्य का परिवर्तन है
उत्तल बहुभुज पर रैखिक उद्देश्य अपना इष्टतम किसी शीर्ष पर पाता है; प्रबल द्वैतता मूल व द्वैत इष्टतमों को बराबर बनाती है; और छाया मूल्य किसी संसाधन का सीमांत मूल्य है। अर्ध-तलों का प्रतिच्छेद सदैव उत्तल होता है, अतः LP में अनुत्तल सुसंगत क्षेत्र उत्पन्न नहीं हो सकता।