उत्पादन आयोजन, भंडार नियंत्रण व संक्रिया अनुसंधान
Q* = √(2DC₀/C_h) आदेशन-लागत को धारण-लागत के सामने संतुलित करता है, और दोनों इष्टतम पर समान हैं — जो उत्तर पर तीव्रतम जाँच भी है और वह कारण भी कि कुल-लागत वक्र इतना सपाट है कि आदर्श मात्रा से 25 प्रतिशत दूर होना लगभग ढाई प्रतिशत लेता है। संक्रिया अनुसंधान तीन भिन्न आकृतियों वाले तीन उपकरण देता है। रैखिक प्रोग्रामन का इष्टतम साध्य क्षेत्र के किसी शीर्ष पर होता है, सदा, और इसीलिए कोने गिनना काम करता है और इसीलिए सिंप्लेक्स विधि को कभी केवल कोने से कोने तक चलना ही पड़ता है। पंक्ति-सिद्धांत एक गहराई से अरैखिक परिणाम देता है: प्रतीक्षा-समय 1/(μ − λ) के रूप में चलता है, अतः वह भार के साथ मृदुता से नहीं बढ़ता बल्कि उपयोग के एक के निकट आते ही फट पड़ता है, और 95 प्रतिशत व्यस्त परिचारक 80 प्रतिशत वाले से तनिक बुरा नहीं बल्कि लगभग पाँच गुना बुरा है। और जाल-विश्लेषण क्रांतिक पथ देता है, उस ढील सहित जो बताती है कि कौन-से विलंब कुछ नहीं लेते। तत्पश्चात् उत्पादन आयोजन इन तीनों के ऊपर बैठता है, और उसकी पूर्वानुमान-विधियाँ अनुक्रियाशीलता के बदले स्थिरता देती हैं — जो चयन है, शुद्धता का प्रश्न नहीं।EOQ: इष्टतम, तथा उसे चूकना कितना कम लेता है
आधार भंडार-प्रतिरूप में दो लागतें विपरीत दिशाओं में खींचती हैं। आदेशन प्रति आदेश C₀ लेता है और आप वर्ष में D/Q आदेश देते हैं, अतः वह Q बढ़ते ही गिरता है। धारण, Q/2 औसत भंडार पर प्रति एकांक प्रति वर्ष C_h लेता है, अतः वह Q के साथ बढ़ता है। उन्हें जोड़कर न्यूनतम करना Q* = √(2DC₀/C_h) देता है, और उस मात्रा पर कुल सुसंगत लागत √(2DC₀C_h) है। उसे संख्याएँ दें: D = 10 000 एकांक प्रति वर्ष, C₀ = ₹200 प्रति आदेश, C_h = ₹4 प्रति एकांक प्रति वर्ष। तब Q* = √(2 × 10 000 × 200/4) = √1 000 000 = 1000 एकांक, जो वर्ष में 10 आदेश है, और कुल लागत √(2 × 10 000 × 200 × 4) = ₹4000। उसे विभाजित करें: आदेशन 10 × 200 = ₹2000 और धारण 500 × 4 = ₹2000। दोनों इष्टतम पर ठीक समान हैं, सदा, और वही तत्समता उपलब्ध तीव्रतम जाँच है — यदि आपके दोनों लागत-पद असमान निकलें, तो मात्रा EOQ नहीं है।
| आदेश-मात्रा | कुल सुसंगत लागत | इष्टतम के सामने दंड |
|---|---|---|
| 500 — EOQ का आधा | ₹5000 | +25.00 % |
| 800 | ₹4100 | +2.50 % |
| 1000 — EOQ | ₹4000 | 0 |
| 1250 | ₹4100 | +2.50 % — 800 के समान |
| 2000 — EOQ का दुगुना | ₹5000 | +25.00 % — 500 के समान |
C₀ व C_h वे दो संख्याएँ हैं जिन्हें वास्तविक संस्था न्यूनतम यथार्थता से जानती है। तत्पश्चात् सममिति हेतु: 800 व 1250 दोनों ₹4100 लेते हैं, और 500 व 2000 दोनों ₹5000। वह संयोग नहीं बल्कि प्रतिरूप का गुणधर्म है — दोनों लागत-पद Q में व्युत्क्रम हैं, अतः kQ* पर और Q*/k पर आदेश करना ठीक समान लेता है, और दंड प्रत्येक स्थिति में इष्टतम का ½(k + 1/k) − 1 है। उसे जाँचें: k = 2, ½(2.5) − 1 = 0.25 देता है, देखा गया 25 प्रतिशत ✓। दो व्यावहारिक परिणाम निकलते हैं, और वे ही सपाटपन को केवल ध्यान देने के बजाय जानने योग्य बनाते हैं। वह सुविधाजनक मात्रा तक पूर्णांकन की छूट देता है — कोई पैलेट, ट्रकभर, पेटी-गुणक — तुच्छ लागत पर, और भंडारगृह में EOQ वस्तुतः इसी प्रकार प्रयुक्त होता है। और उसका अर्थ है कि मात्रा-छूट का निर्णय लगभग सदा लेने योग्य है: यदि कोई प्रदायक 2000 एकांकों पर न्यूनतर एकांक-मूल्य दे, तो भंडार-लागत के अतिरिक्त ₹1000 उस छूट के पार करने हेतु लघु बाधा है। जहाँ प्रतिरूप को आदर चाहिए वह उसकी मान्यताओं में है — अचर माँग, तात्क्षणिक पुनःपूर्ति, कोई अभाव नहीं, कोई छूट नहीं — और अंतिम दो ठीक वही हैं जिन्हें शिथिल करने हेतु विस्तारित प्रतिरूप विद्यमान हैं।शीर्ष व क्रांतिक पथ: दो संरचनाएँ जो उत्तर दे देती हैं
रैखिक प्रोग्राम में किसी उत्तल बहुफलक पर रैखिक उद्देश्य होता है, और उस ज्यामिति का एक परिणाम किसी भी हल-विधि से अधिक मूल्यवान है: यदि इष्टतम विद्यमान हो, तो एक साध्य क्षेत्र के किसी शीर्ष पर आता है। अतः दो चरों हेतु आप केवल कोने गिन सकते हैं। x ≤ 4, 2y ≤ 12 व 3x + 2y ≤ 18 के अंतर्गत 3x + 5y अधिकतम करें। साध्य शीर्ष (0,0), (4,0), (4,3), (2,6) व (0,6) हैं, जो Z = 0, 12, 27, 36 व 30 देते हैं — इष्टतम (2, 6) पर Z = 36 है, जहाँ द्वितीय व तृतीय प्रतिबंध प्रतिच्छेद करते हैं। सिंप्लेक्स विधि ठीक वही गिनती है, दक्ष बनाई गई: वह एक शीर्ष से आरंभ होती है और किसी कोर के अनुदिश श्रेष्ठतर शीर्ष तक चलती है, अंतस्तल में कभी प्रवेश नहीं करती, क्योंकि अंतस्तल सीमा को कभी नहीं हरा सकता। उसके साथ रखने योग्य दो तथ्य। जो प्रतिबंध इष्टतम पर समता सहित टिके वह बंधक है और उसका संसाधन पूर्णतः प्रयुक्त है — यहाँ 2y ≤ 12 व 3x + 2y ≤ 18 दोनों बंधक हैं जबकि x ≤ 4 में 2 की ढील है, अतः प्रथम संसाधन का अधिक मूल्य चुकाने योग्य है और तृतीय का अधिक किसी मूल्य का नहीं। और द्वैत में प्रति प्राथमिक प्रतिबंध एक चर व प्रति प्राथमिक चर एक प्रतिबंध होता है, और इसीलिए थोड़े प्रतिबंधों व अनेक चरों वाली समस्या अपने द्वैत रूप में हल करना सरलतर है।
| क्रिया | अवधि | ES / EF | LS / LF | कुल ढील |
|---|---|---|---|---|
| A | 4 | 0 / 4 | 0 / 4 | 0 — क्रांतिक |
| B | 6 | 0 / 6 | 1 / 7 | 1 |
| C | 3 | 4 / 7 | 4 / 7 | 0 — क्रांतिक |
| D | 4 | 4 / 8 | 5 / 9 | 1 |
| E | 2 | 7 / 9 | 7 / 9 | 0 — क्रांतिक |
| F | 4 | 9 / 13 | 9 / 13 | 0 — क्रांतिक |
| G | 3 | 13 / 16 | 13 / 16 | 0 — क्रांतिक |
A-C-E-F-G = 4+3+2+4+3 = 16, A-D-F-G = 4+4+4+3 = 15, तथा B-E-F-G = 6+2+4+3 = 15। दीर्घतम 16 दिन है, अतः परियोजना-अवधि 16 है और क्रांतिक पथ A-C-E-F-G — और उस पर न रहती दो क्रियाएँ, B व D, प्रत्येक ठीक 1 दिन की ढील वहन करती हैं, जो पासों से मेल खाता है ✓। अब ढील को संख्या के बजाय अनुदेश की तरह पढ़ें। कुल ढील वह है कि कोई क्रिया परियोजना में विलंब किए बिना कितनी खिसक सकती है; मुक्त ढील वह कि वह अपने ही उत्तरवर्तियों में विलंब किए बिना कितनी खिसक सकती है। यहाँ B व D हेतु दोनों 1 हैं, क्योंकि प्रत्येक का अपनी ढील वाला एकल उत्तरवर्ती है। भेद तब काटता है जब वे भिन्न हों: 3 कुल ढील व 0 मुक्त ढील वाली क्रिया तीन दिन केवल अपने उत्तरवर्तियों की ढील खाकर सोख सकती है, अतः उसमें विलंब परियोजना-कुल पर निर्दोष दिखता है और समस्या को परवर्ती की ओर धकेल देता है। रखने योग्य दो और परिणाम। अक्रांतिक क्रिया की अवधि घटाना तनिक भी कुछ नहीं करता — यहाँ B अथवा D लघु करना परियोजना को 16 दिन पर छोड़ देता है — अतः क्रांतिक पथ से बाहर खर्च किया संघटन-प्रयास व्यर्थ धन है, और यह विश्लेषण उसी सर्वाधिक सामान्य परियोजना-प्रबंधन त्रुटि को रोकने हेतु विद्यमान है। और क्रांतिक पथ का संघटन उसे हटा देता है: C को 3 से 1 करें और A-C-E-F-G, 14 तक गिरता है जबकि अन्य दो पथ 15 पर रहते हैं, अतः परियोजना केवल 15 तक सुधरती है और क्रांतिक पथ भिन्न हो जाता है। पथ नियत मान लेने के बजाय प्रत्येक संघटन के पश्चात् पुनर्गणना करें।पंक्तियाँ फट पड़ती हैं, और पूर्वानुमान चाल के बदले स्थिरता देते हैं
एकल-परिचारक M/M/1 पंक्ति — λ पर प्वासों आगमन, μ पर चरघातांकी सेवा, एक परिचारक, अनंत पंक्ति, पहले आए पहले पाए — ρ = λ/μ, निकाय में L = ρ/(1 − ρ), प्रतीक्षारत L_q = ρ²/(1 − ρ), तथा W = 1/(μ − λ) देती है। हर पढ़ें: λ के μ के निकट आते ही इनमें प्रत्येक अनंत की ओर जाता है। प्रति घंटा μ = 10 कार्य सँभालता परिचारक लें। λ = 5 (50 प्रतिशत व्यस्त) पर निकाय में L = 1 कार्य है और W = 12 मिनट। λ = 8 (80 प्रतिशत) पर वह L = 4 व W = 30 मिनट है। λ = 9 (90 प्रतिशत) पर L = 9 व W = 60 मिनट। λ = 9.5 (95 प्रतिशत) पर L = 19 व W = 120 मिनट। 80 से 95 प्रतिशत उपयोग तक जाना 19 प्रतिशत अधिक कार्य है और लगभग पाँच गुना पंक्ति उत्पन्न करता है। वही अरैखिकता विषय की सम्पूर्ण अंतर्वस्तु है।
ρ = 0.95 पर उस यंत्र के सामने पंक्ति उन्नीस कार्य गहरी है और प्रत्येक दो घंटे प्रतीक्षा करता है; भार ρ = 0.80 तक गिराएँ और पंक्ति चार कार्य व तीस मिनट है। उपयोग व अनुक्रियाशीलता सीधे विरोध में हैं, और विरोध रैखिक के बजाय अतिपरवलयिक है — उपयोग के अंतिम कुछ प्रतिशत का मूल्य अधिकांश प्रमुख-समय से चुकाया जाता है। इसीलिए लीन उत्पादन जानबूझकर ढील लक्षित करता है, और इसीलिए अस्पताल का आपात विभाग अथवा हवाई अड्डे का धावन-पथ क्षमता से बहुत नीचे चलने हेतु आकारित होता है: पंक्ति की लागत परिचारक के अतिरिक्त कोई और वहन करता है। तीन परिष्करण ले जाने योग्य हैं जिससे यह अत्यधिक व्यापक रूप से न लगाया जाए। परिवर्तनशीलता ही उसे बुरा बनाती है: फटाव M/M/1 की यादृच्छिकता से आता है, और पूर्णतः नियमित आगमन व पूर्णतः अचर सेवा-समयों वाली पंक्ति में ρ = 1 तक कोई पंक्ति ही नहीं होती, अतः परिवर्तनशीलता घटाना भार घटाने जितना ही शक्तिशाली उत्तोलक है। परिचारक जोड़ना एक को तेज़ करने से श्रेष्ठ है: μ = 5 वाले दो परिचारक μ = 10 वाले एक जितना ही निर्गम सँभालते हैं और उच्च भार पर बहुत कम पंक्ति बनाते हैं, क्योंकि अगला कार्य कोई भी ले सकता है। और L = λW, लिटल का नियम, वितरण से निरपेक्ष वस्तुतः किसी भी पंक्ति हेतु टिकता है — विरल सामान्य परिणाम, और वही जिसे उठाना है जब प्रश्न आपको तीन में दो राशियाँ और वितरण-सूचना तनिक भी न दे।पूर्वानुमान खंड बंद करता है, और उसकी दो प्रारंभिक विधियाँ ऐसी रीति से भिन्न हैं जो शुद्धता के प्रश्न के बजाय चयन है। अंतिम k अवधियों का चल औसत उन k को समान भार देता है और उससे पुराना सब उपेक्षित करता है; चरघातांकी समकरण Ft+1 = αD_t + (1 − α)F_t प्रत्येक अतीत अवधि को भार देता है, 1 − α दर से गुणोत्तर रूप से क्षय होते भारों सहित। दोनों को उसी श्रेणी पर चलाएँ। α = 0.2 सहित 100 के पूर्वानुमान से आरंभ करके और वास्तविक 120, 90, 110, 130 सहित, समकृत पूर्वानुमान 100 → 104 → 101.2 → 102.96 → 108.37 चलते हैं। उन्हीं आँकड़ों पर तीन-अवधि चल औसत 103.33 → 106.67 → 110.00 देता है। चल औसत ऊर्ध्व प्रवृत्ति का तीव्रतर अनुसरण कर चुका है; समकृत श्रेणी पिछड़ रही है और बहुत अधिक स्थिर है। सम्पूर्ण सौदा वही है: लघु α स्थिर व धीमा है, बृहत् α अनुक्रियाशील व उछलता है, और α = 1 केवल "अगली अवधि इसी जैसी होगी" है। सामान्यतः कोई सही नहीं। लघु α तब चुनें जब आँकड़े कोलाहलपूर्ण हों और अंतर्निहित स्तर वस्तुतः स्थिर हो, और बृहत् तब जब स्तर वस्तुतः हटता हो और आप पिछड़ने के बजाय उसका पीछा करना चाहें। और दोनों की साझा ईमानदार परिसीमा पर ध्यान दें: कोई भी विधि प्रवृत्ति का प्रक्षेप नहीं कर सकती, क्योंकि दोनों अतीत स्तरों के औसत हैं और अतः बढ़ती श्रेणी के सदा पीछे बैठती हैं — और ठीक इसीलिए प्रवृत्ति-संशोधित विधियाँ विद्यमान हैं।
मुख्य बिंदु
- EOQ पर आदेशन-लागत धारण-लागत के बराबर है। D = 10 000, C₀ = 200, C_h = 4 सहित: EOQ = 1000, वर्ष में 10 आदेश, कुल ₹4000, ₹2000 + ₹2000 में विभाजित। असमान पद अर्थ रखते हैं कि मात्रा EOQ नहीं है।
- EOQ लागत-वक्र सपाट और अनुपात में सममित है: 800 व 1250 दोनों +2.50 % लेते हैं, 500 व 2000 दोनों +25.00 %।
kQ*पर दंड½(k + 1/k) − 1है, अतः पैलेट तक पूर्णांकन अथवा मात्रा-छूट लेना लगभग निःशुल्क है। - रैखिक प्रोग्राम का इष्टतम किसी शीर्ष पर बैठता है, सदा।
x ≤ 4,2y ≤ 12,3x + 2y ≤ 18के अंतर्गत3x + 5yअधिकतम हेतु पाँच कोने 0, 12, 27, 36, 30 देते हैं — (2, 6) पर इष्टतमZ = 36, दो बंधक प्रतिबंधों व तृतीय पर 2 की ढील सहित। - CPM जाँच के रूप में पथ गिनें: A-C-E-F-G = 16, A-D-F-G = 15, B-E-F-G = 15, अतः 16 दिन और B व D प्रत्येक 1 दिन की ढील वहन करते हैं। अक्रांतिक क्रिया लघु करना कुछ नहीं बदलता; क्रांतिक पथ का संघटन उसे हटा देता है, अतः पुनर्गणना करें।
M/M/1, हरμ − λपर फट पड़ती है। μ = 10/घंटा सहित: ρ = 0.5 पर L = 1 व W = 12 मिनट; 0.8 पर L = 4 व 30 मिनट; 0.95 पर L = 19 व 120 मिनट। उन्नीस प्रतिशत अधिक कार्य, लगभग पाँच गुना पंक्ति।- केवल भार नहीं, परिवर्तनशीलता ही पंक्तियों को बुरा बनाती है, अतः परिवर्तन घटाना उपयोग घटाने जितना ही बलवान उत्तोलक है; भार में μ वाले दो परिचारक 2μ वाले एक को हराते हैं; और
L = λW(लिटल) किसी भी पंक्ति हेतु टिकता है। - लघु
αस्थिर व धीमा है; बृहत्αअनुक्रियाशील व उछलता। 120, 90, 110, 130 के सामने α = 0.2 सहित F = 100 से पूर्वानुमान 108.37 तक पहुँचता है जबकि 3-अवधि चल औसत 110.00 तक। कोई भी प्रवृत्ति का प्रक्षेप नहीं कर सकता।
अभ्यास प्रश्न (8)
उत्तर खोलने से पहले प्रत्येक प्रश्न हल करें। हर व्याख्या सही विकल्प के साथ लुभावना गलत विकल्प भी बताती है, क्योंकि अंक वहीं जाते हैं।
वार्षिक माँग 10 000 एकांक, आदेशन-लागत प्रति आदेश ₹200 व धारण-लागत प्रति एकांक प्रति वर्ष ₹4 है। आर्थिक आदेश-मात्रा, एकांकों में, ______ है
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
उत्तर देखें
उत्तर: 1000
1000 एकांक।Q* = √(2DC₀/C_h) = √(2 × 10 000 × 200/4) = √1 000 000 = 1000। तत्पश्चात् वर्ष में10 000/1000 = 10आदेश हैं और कुल सुसंगत लागत√(2DC₀C_h) = √16 000 000 = ₹4000है। उसे विभाजित करके जाँचें: आदेशन10 × 200 = ₹2000और धारण(1000/2) × 4 = ₹2000— ठीक समान, जो वे EOQ पर सदा होते हैं, और जो उपलब्ध तीव्रतम सत्यापन है। यदि दोनों असमान निकलें तो आप इष्टतम पर नहीं हैं, और दिशा बता देती है कि किस ओर हटना है। संख्या से परे ले जाने योग्य दो गुणधर्म। लागत-वक्र अत्यंत सपाट है: 1000 के बजाय 800 अथवा 1250 आदेश करना केवल 2.5 प्रतिशत अधिक लेता है, जिसका अर्थ है EOQ तब भी उपयोगी है जबC₀वC_hकेवल स्थूल रूप से ज्ञात हों — सौभाग्य, क्योंकि वे ठीक वे दो आँकड़े हैं जिनका अनुमान वास्तविक संस्था निकृष्टतम लगाती है। और दंड अनुपात में सममित है, अंतर में नहीं:kQ*वQ*/kसमान लेते हैं, इष्टतम से½(k + 1/k) − 1ऊपर, अतः 500 व 2000 दोनों ₹5000 लेते हैं, 25 प्रतिशत का दंड। मिलकर वे दो तथ्य पैलेट अथवा ट्रकभर तक पूर्णांकन की छूट देते हैं और मात्रा-छूटों को लगभग सदा लेने योग्य बनाते हैं। प्रतिरूप जो मानता है वह कहने योग्य है: अचर माँग, तात्क्षणिक पुनःपूर्ति, कोई अभाव नहीं व कोई मूल्य-विराम नहीं — और अंतिम दो वही हैं जिन्हें शिथिल करने हेतु विस्तारित प्रतिरूप विद्यमान हैं।कोई संस्था एक बार में 2000 एकांक आदेश करती है जबकि उसका EOQ 1000 है। उसकी कुल सुसंगत भंडार-लागत इष्टतम से लगभग अधिक है
उत्तर देखें
उत्तर: B — 25 प्रतिशत
25 प्रतिशत। EOQ केkगुना पर आदेश करना इष्टतम का½(k + 1/k)लेता है, अतःk = 2पर गुणक½(2 + 0.5) = 1.25है — 25 प्रतिशत का दंड। उसे पूर्ववर्ती संख्याओं से जाँचें:D = 10 000,C₀ = 200,C_h = 4सहितQ = 2000पर लागत(10 000/2000) × 200 + (2000/2) × 4 = 1000 + 4000 = ₹5000है, इष्टतम ₹4000 के सामने ✓। विकल्प A मात्रा दुगुनी करता है और मानता है लागत दुगुनी होती है, जो दो व्युत्क्रम पदों के योग को एकल समानुपाती पद समझ लेता है। विकल्प D,k = 1.25पर दंड है — 1250 आदेश करना — और दोनों आँकड़े साथ देखना उचित है, क्योंकि वैषम्य ही बात है: मात्रा में 25 प्रतिशत की त्रुटि 2.5 प्रतिशत लेती है, जबकि 100 प्रतिशत की त्रुटि 25 प्रतिशत। वक्र इष्टतम के निकट सपाट है और केवल तब काटता है जब आप बहुत दूर हों। दो परिणाम। सूत्र अनुपात में सममित है, अतः आदेश 500 तक आधा करना उसे 2000 तक दुगुना करने के ठीक समान 25 प्रतिशत लेता है, और 800, 1250 के ठीक समान 2.5 प्रतिशत — दंड EOQ से अनुपात पर निर्भर है, दिशा पर कभी नहीं। और सपाटपन ही EOQ को शैक्षणिक के बजाय व्यावहारिक बनाता है: वह पैलेट, पेटी-गुणक अथवा ट्रकभर तक पूर्णांकन की तुच्छ लागत पर छूट देता है, और उसका अर्थ है प्रदायक की मात्रा-छूट सामान्यतः लघु भंडार-दंड सरलता से पार कर लेती है।x ≤ 4,2y ≤ 12,3x + 2y ≤ 18तथाx, y ≥ 0के अंतर्गतZ = 3x + 5yअधिकतम करें। Z का अधिकतम मान ______ हैसंख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
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उत्तर: 36
36,(x, y) = (2, 6)पर। चूँकि उद्देश्य किसी उत्तल बहुभुज पर रैखिक है, इष्टतम सदा किसी शीर्ष पर बैठता है, अतः कोने गिनना उसे निपटा देता है। साध्य शीर्ष(0,0),(4,0),(4,3),(2,6)व(0,6)हैं, जोZ = 0, 12, 27, 36, 30देते हैं। विजेता(2,6)है, जहाँ2y = 12व3x + 2y = 18प्रतिच्छेद करते हैं। संख्या से परे की सूचना हेतु हल पढ़ें। उन दोनों प्रतिबंधों में समता है, अतः वे बंधक हैं — वे दोनों संसाधन पूर्णतः खप गए, और किसी का अधिक खरीदनाZबढ़ाएगा। प्रथम प्रतिबंध,x ≤ 4,2 ≤ 4के रूप में टिकता है, अतः उसमें 2 की ढील है और उस संसाधन का अधिक सटीक रूप से किसी मूल्य का नहीं; छाया-मूल्य माँगता प्रश्न उसके लिए शून्य देता। बंधक व ढील वाले प्रतिबंधों के बीच वही भेद है जिसे द्वैत औपचारिक करता है, और इसीलिए द्वैत में प्रति प्राथमिक प्रतिबंध एक चर है: प्रत्येक द्वैत चर किसी प्रतिबंध को एक एकांक शिथिल करने का सीमांत मूल्य है। शीर्ष-गुणधर्म वही कारण भी है जिससे सिंप्लेक्स विधि जैसी चलती है वैसी चलती है — वह किसी साध्य कोने से आरंभ होती है और कोरों के अनुदिश श्रेष्ठतर कोनों तक चलती है, अंतस्तल में कभी प्रवेश नहीं करती, क्योंकि रैखिक उद्देश्य उत्तल क्षेत्र के अंतस्तल में कभी हराया नहीं जा सकता। दो चरों हेतु गिनती सिंप्लेक्स से तीव्रतर व अंकगणितीय चूकों से अभेद्य है, अतः परीक्षा में जब भी समस्या आलेखित करने योग्य लघु हो वही प्रयोग करने योग्य विधि है।किसी परियोजना में क्रियाएँ A(4 दिन), B(6), C(3, A के पश्चात्), D(4, A के पश्चात्), E(2, B व C के पश्चात्), F(4, D व E के पश्चात्), G(3, F के पश्चात्) हैं। परियोजना-अवधि, दिनों में, ______ है
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
उत्तर देखें
उत्तर: 16
16 दिन। इतने लघु जाल पर पथ गिनना अग्र व पश्च पासों से तीव्रतर व सुरक्षिततर है। अंत तक ठीक तीन मार्ग हैं:A-C-E-F-G = 4+3+2+4+3 = 16,A-D-F-G = 4+4+4+3 = 15, तथाB-E-F-G = 6+2+4+3 = 15। परियोजना अपने दीर्घतम पथ जितना ही समय लेती है, अतः उत्तर 16 दिन है और क्रांतिक पथ A-C-E-F-G। शेष सब निकलता है। क्रांतिक पथ से बाहर की दो क्रियाएँ, B व D, प्रत्येक ठीक 1 दिन की कुल ढील वहन करती हैं — B एक दिन देर से आरंभ हो सकती है (ES = 0के सामनेLS = 1) और D भी (ES = 4के सामनेLS = 5), समाप्ति हिलाए बिना। दो व्यावहारिक अर्थ जिन्हें देने हेतु गणना विद्यमान है। अक्रांतिक क्रिया लघु करना तनिक भी कुछ नहीं खरीदता: B को 6 दिन से 3 करें और परियोजना तब भी 16 है, अतः क्रांतिक पथ से बाहर संघटन में खर्च प्रयास व्यर्थ धन है — और वही सर्वाधिक सामान्य परियोजना-प्रबंधन त्रुटि है, तथा वही कारण कि किसी त्वरण की योजना से पूर्व क्रांतिक पथ निकाला जाता है। और क्रांतिक पथ का संघटन उसे हटा देता है: C को 3 से 1 करें औरA-C-E-F-G, 14 तक गिरता है, किंतु अन्य दो पथ तब भी 15 हैं, अतः परियोजना केवल 15 तक सुधरती है और क्रांतिक पथ अब भिन्न है। पथ को जाल का नियत गुणधर्म मान लेने के बजाय प्रत्येक संघटन के पश्चात् पुनर्गणना करें। यह भी ध्यान दें कि पथों के बीच बराबरी सामान्य है और उसका अर्थ दो युगपत् क्रांतिक पथ है, जिस स्थिति में अवधि तनिक भी हटने से पूर्व दोनों को साथ लघु करना पड़ता है।किसी M/M/1 पंक्ति में कार्य प्रति घंटा 9 की दर से आते हैं और प्रति घंटा 10 की दर से सेवित होते हैं। निकाय में कार्यों की औसत संख्या ______ है
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
उत्तर देखें
उत्तर: 9
9 कार्य।ρ = λ/μ = 0.9, अतःL = ρ/(1 − ρ) = 0.9/0.1 = 9, जिनमेंL_q = ρ²/(1 − ρ) = 8.1प्रतीक्षारत हैं और 0.9 सेवित हो रहा है — औरL − L_q = ρसदा, जो उपयोगी जाँच है। निकाय में औसत समयW = 1/(μ − λ) = 1घंटा है, और लिटल का नियम उसकी पुष्टि करता है:L = λW = 9 × 1 = 9✓। प्रतिक्रिया योग्य संख्या 9 नहीं बल्कि यह है कि वह वहाँ कितनी तीव्रता से पहुँची।ρ = 0.5पर इस पंक्ति काL = 1वW = 12मिनट है;ρ = 0.8परL = 4व 30 मिनट;ρ = 0.9परL = 9व 60 मिनट;ρ = 0.95परL = 19व 120 मिनट। 80 से 95 प्रतिशत उपयोग तक जाना 19 प्रतिशत अधिक कार्य और लगभग पाँच गुना पंक्ति है — हर का1 − ρइसे अतिपरवलयिक बनाता है, रैखिक नहीं। इसीलिए लीन निकाय जानबूझकर क्षमता निष्क्रिय छोड़ते हैं और इसीलिए अस्पताल का आपात विभाग क्षमता से बहुत नीचे चलने हेतु आकारित होता है: पंक्ति का मूल्य परिचारक के अतिरिक्त कोई और चुकाता है। तीन परिष्करण इसे अति-प्रयुक्त होने से रोकते हैं। परिवर्तनशीलता ही फटाव का कारण है — पूर्णतः नियमित आगमन व अचर सेवा-समयों सहितρ = 1तक कोई पंक्ति ही नहीं, अतः परिवर्तन घटाना भार घटाने जितना ही बलवान उत्तोलक है।μ = 5वाले दो परिचारक उच्च भार परμ = 10वाले एक को हराते हैं, समरूप निर्गम के बावजूद, क्योंकि अगला कार्य कोई भी ले सकता है। औरL = λWकिसी भी पंक्ति हेतु टिकता है, वितरण से निरपेक्ष, और वही परिणाम उठाना है जब प्रश्न तीन में दो राशियाँ दे और आगमन-प्रक्रिया के विषय में कुछ न दे।कोई यंत्र-केंद्र लंबी पंक्तियों सहित 95 प्रतिशत उपयोग पर चलता है। निम्नलिखित में से कौन औसत प्रतीक्षा-समय घटाएगा?
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उत्तर: A — उसी औसत आगमन-दर पर कार्य-आगमन समयों की परिवर्तनशीलता घटाना; B — कुछ कार्य अन्यत्र भेजना जिससे उपयोग 80 प्रतिशत तक गिरे; C — एकल यंत्र को प्रत्येक आधी सेवा-दर वाले दो यंत्रों से बदलना
A, B व C। B सीधा उत्तोलक है और संख्याएँ कठोर हैं:μ = 10/घंटापरρ = 0.95सेρ = 0.80तक गिरना निकाय में संख्या 19 से 4 और प्रतीक्षा 120 मिनट से 30 तक काट देता है। A वह उत्तोलक है जिसे लोग भूल जाते हैं: पंक्ति परिवर्तनशीलता के कारण विद्यमान है, केवल भार के कारण नहीं। पूर्णतः नियमित आगमन व पूर्णतः अचर सेवा-समयों सहितρ = 1तक कोई पंक्ति ही नहीं, अतः आगमन-धारा को सम करना — नियुक्ति-अनुसूचन, निर्मुक्त कार्य-आदेश, कानबान — अपरिवर्तित निर्गम पर प्रतीक्षा घटाता है। C वस्तुतः सत्य व प्रति-सहज है: प्रत्येकμ = 5वाले दो परिचारकों की कुल क्षमताμ = 10वाले एक के समान है, अतः उपयोग अपरिवर्तित है, तथापि प्रतीक्षा गिरती है, क्योंकि आता कार्य कोई भी परिचारक उपलब्ध पाता है, एकल यंत्र पर जो हो उसके पीछे प्रतीक्षा करने के बजाय। वही सम्मिलन-लाभ वह कारण है जिससे बैंक की पंक्तियाँ कई कोषपालों को पोसती एक पंक्ति में पुनर्गठित हुईं। D असत्य है और वही जाल है जिसके चारों ओर प्रश्न बना है। उपयोग को 0.99 तक धकेलनाL = ρ/(1 − ρ) = 99कार्य वW = 1/(10 − 9.9) = 10घंटे बना देता है — यंत्र वस्तुतः कभी निष्क्रिय नहीं है, और उसके सामने की पंक्ति विनाशकारी हो गई है। उच्च उपयोग व लघु प्रतीक्षा सीधे अतिपरवलयिक विरोध में हैं, और उपयोग के अंतिम कुछ प्रतिशत का मूल्य अधिकांश प्रमुख-समय से चुकाया जाता है। 99 प्रतिशत उपयोग को दक्षता बताता प्रबंधक एक संख्या पढ़ रहा है और उसकी उपेक्षा कर रहा है जिसे ग्राहक भोगता है।कोई माँग-श्रेणी कोलाहलपूर्ण है किंतु उसका अंतर्निहित स्तर स्थिर है। चरघातांकी समकरण में α का उपयुक्त चयन व उसका परिणाम है
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उत्तर: A — लघु α, जो स्थिर पूर्वानुमान देता है और वास्तविक परिवर्तनों पर धीरे अनुक्रिया करता है
लघु α, स्थिर व अनुक्रिया में धीमा। Ft+1 = αD_t + (1 − α)F_t, नवीनतम प्रेक्षण कोαसे और उससे पुराने सबको गुणोत्तर रूप से क्षय होते भारों से भार देता है। अतः लघुαअनेक अतीत अवधियों पर औसत लेता है, जो कोलाहल दबाता है — ठीक वही जो आप तब चाहते हैं जब परिवर्तन संकेत के बजाय कोलाहल हो — और उसका मूल्य स्तर में किसी वास्तविक परिवर्तन के पीछे रहकर चुकाता है। विकल्प B व C दोनों किसी मान को गलत परिणाम के साथ जोड़ते हैं, और सम्पूर्ण परीक्षा वही है: बृहत् α का अर्थ अनुक्रियाशील व उछलता, लघु α का अर्थ स्थिर व मंद, और जोड़ी उलटी करना मानक त्रुटि है। विकल्प D उसे देखने का स्वच्छतम उपाय है:α = 1, Ft+1 = D_t देता है, वह सरल पूर्वानुमान जो केवल अंतिम वास्तविक दोहराता है — उपलब्ध न्यूनतम समकृत पूर्वानुमान, सर्वाधिक नहीं। पिछड़ाव अनुभव करने हेतु अंकगणित करें। वास्तविक 120, 90, 110, 130 के सामनेα = 0.2सहितF = 100से पूर्वानुमान100 → 104 → 101.2 → 102.96 → 108.37चलते हैं, जबकि उन्हीं आँकड़ों पर तीन-अवधि चल औसत110.00तक पहुँचता है। चल औसत बढ़ती प्रवृत्ति का तीव्रतर अनुसरण कर चुका है; समकृत श्रेणी अधिक स्थिर व अधिक पीछे है। कोई अधिक सही नहीं — चयन इस पर निर्भर है कि संचलन संकेत है या कोलाहल। दोनों की एक साझा परिसीमा जिसे प्रश्न जाँच सकता है: कोई भी विधि प्रवृत्ति का प्रक्षेप नहीं कर सकती, चूँकि दोनों अतीत स्तरों के भारित औसत हैं और अतः आवश्यक रूप से बढ़ती श्रेणी के नीचे बैठती हैं, और ठीक इसीलिए प्रवृत्ति-संशोधित विधियाँ विद्यमान हैं।परियोजना-जाल A(4), B(6), C(3, A के पश्चात्), D(4, A के पश्चात्), E(2, B व C के पश्चात्), F(4, D व E के पश्चात्), G(3, F के पश्चात्) में निम्नलिखित में से कौन-से सही हैं?
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उत्तर: A — क्रांतिक पथ A-C-E-F-G है; B — क्रिया B की कुल ढील 1 दिन है; D — C को 3 दिन से 1 करना परियोजना केवल 1 दिन लघु करता है
A, B व D। तीन पथ गिनें:A-C-E-F-G = 16,A-D-F-G = 15,B-E-F-G = 15। दीर्घतम 16 दिन है, अतः A सही है और परियोजना-अवधि 16। B इसलिए निकलता है कि B केवल 15-दिन पथ पर है, क्रांतिक से एक दिन लघु, अतः वह एक दिन खिसक सकती है समाप्ति हिलाए बिना —ES = 0के सामनेLS = 1, कुल ढील 1। C असत्य है और वही त्रुटि है जिसे रोकने हेतु सम्पूर्ण तकनीक विद्यमान है: D, 1 दिन ढील वाले 15-दिन पथ पर बैठी है, अतः उसे 4 दिन से 2 करना उस पथ को 13 पर छोड़ देता है जबकि क्रांतिक पथ 16 पर अछूता है — परियोजना तनिक भी लघु नहीं होती, और संघटन-प्रयास के दो दिन व्यर्थ धन हैं। D सूक्ष्मतर सत्य है। C को 3 से 1 करें और उसका पथ 16 से 14 तक गिरता है, किंतु अन्य दो पथ तब भी 15 हैं, अतः परियोजना केवल 15 दिन तक सुधरती है, 2 के बजाय 1 का लाभ — और क्रांतिक पथ अब युगपत्A-D-F-GवB-E-F-Gबन गया है, दोनों 15 पर। आत्मसात् करने योग्य सामान्य व्यवहार वही है: संघटन क्रांतिक पथ हटा देता है, अतः किसी कटौती से लाभ द्वितीय-दीर्घतम पथ से परिबद्ध है, और प्रत्येक संघटन के पश्चात् जाल पुनर्गणित करना ही पड़ता है। वह यह भी समझाता है कि संघटन क्रमशः अधिक महँगा क्यों होता जाता है: एक बार कई पथ बराबर हो जाएँ, तो अवधि एक भी दिन आगे हटने से पूर्व उन सबको साथ लघु करना पड़ता है।