श्रेणी हल, लेजांड्र व बेसेल फलन, निकाय, स्टर्म सिद्धांत व स्थायित्व

ODE का दूसरा अध्याय खंड 5 का शेष भाग लेता है। श्रेणी हल चर गुणांकों वाले समीकरणों को सँभालते हैं: साधारण बिंदु पर घात श्रेणी, तथा नियमित विचित्र बिंदु पर अपने सूचक समीकरण सहित फ़्रोबेनियस विधि। इस प्रकार हल किए गए दो समीकरण लेजांड्र बहुपदों व बेसेल फलनों को परिभाषित करते हैं, जिनके लांबिकता संबंध मानक NAT सामग्री हैं। रैखिक प्रथम-कोटि समीकरणों के निकाय आव्यूह चरघातांकी से हल होते हैं। स्टर्म के दोलन व पृथक्करण प्रमेय बिना कुछ हल किए बताते हैं कि हलों के शून्यक कहाँ हो सकते हैं, और स्टर्म–लिउविल समस्याएँ वास्तविक आइगेन-मान व लांबिक आइगेन-फलन देती हैं। अंत में, समतलीय स्वायत्त निकायों हेतु रैखिक भाग के आइगेन-मान स्थिर बिंदु को वर्गीकृत करते हैं, रैखिकीकरण यह निर्णय अरैखिक निकायों तक ले जाता है जब किसी आइगेन-मान का वास्तविक भाग शून्य न हो, और ल्यापुनोव फलन वे स्थितियाँ तय करता है जिन्हें रैखिकीकरण नहीं कर सकता।

1. घात श्रेणी व फ़्रोबेनियस विधि

y″ + P(x)y′ + Q(x)y = 0 हेतु x₀ साधारण बिंदु है यदि P व Q, x₀ पर वैश्लेषिक हों; तब दो स्वतंत्र घात-श्रेणी हल हैं, जो कम से कम निकटतम विचित्र बिंदु तक अभिसृत होते हैं। x₀ नियमित विचित्र बिंदु है यदि वह साधारण न हो परंतु (x − x₀)P तथा (x − x₀)²Q वहाँ वैश्लेषिक हों; अन्यथा वह अनियमित है। नियमित विचित्र बिंदु (मान लें 0) पर, xP → p₀ तथा x²Q → q₀ सहित, y = Σ aₙxn+r आज़माएँ; निम्नतम घात सूचक समीकरण r(r − 1) + p₀r + q₀ = 0 देती है।

  • यदि मूल r₁ ≥ r₂ का अंतर पूर्णांक न हो, तो दो फ़्रोबेनियस हल xr₁Σaₙxⁿ तथा xr₂Σbₙxⁿ हैं।
  • यदि r₁ = r₂, तो दूसरा हल y₁ ln x + xr₁Σbₙxⁿ है; यदि r₁ − r₂ धनात्मक पूर्णांक हो, तो दूसरे में लघुगणक हो भी सकता है और नहीं भी।
  • उदाहरण: 2x²y″ + xy′ − (x + 1)y = 0 हेतु p₀ = 1/2, q₀ = −1/2, सूचक समीकरण 2r² − r − 1 = 0, मूल 1 व −1/2, जिनका अंतर 3/2 है: दो फ़्रोबेनियस श्रेणियाँ।

2. लेजांड्र व बेसेल फलन

लेजांड्र समीकरण (1 − x²)y″ − 2xy′ + n(n + 1)y = 0 का 0 साधारण बिंदु है तथा ±1 नियमित विचित्र बिंदु। पूर्णांक n ≥ 0 हेतु एक हल Pₙ(1) = 1 वाला बहुपद Pₙ है, रॉड्रिग्स सूत्र Pₙ = (1/(2ⁿn!)) dⁿ/dxⁿ (x² − 1)ⁿ से: P₀ = 1, P₁ = x, P₂ = (3x² − 1)/2, P₃ = (5x³ − 3x)/2। लांबिकता: m ≠ n हेतु ∫−11 PₘPₙ dx = 0 तथा m = n हेतु 2/(2n + 1)। घात n का प्रत्येक बहुपद P₀, …, Pₙ का संयोजन है; उदाहरणार्थ x² = (2P₂ + P₀)/3, अतः ∫−11 x²P₂ dx = (2/3)(2/5) = 4/15।

बेसेल समीकरण x²y″ + xy′ + (x² − ν²)y = 0 का 0 पर नियमित विचित्र बिंदु है, सूचक मूल ±ν। r = ν हेतु फ़्रोबेनियस हल Jν(x) = Σ (−1)ᵏ(x/2)2k+ν/(k! Γ(k + ν + 1)) है। तथ्य: J₀(0) = 1 तथा n ≥ 1 हेतु Jₙ(0) = 0; पूर्णांक n हेतु J−n = (−1)ⁿJₙ (अतः दूसरा हल Yₙ चाहिए); J₀′ = −J₁; (xᵛJν)′ = xᵛJν−1; J1/2(x) = √(2/(πx)) sin x। प्रत्येक Jν के अनंत धनात्मक शून्यक हैं, और यदि α ≠ β उनमें से दो हों, तो ∫₀¹ x Jν(αx)Jν(βx) dx = 0: भार x सहित लांबिकता।

3. रैखिक प्रथम-कोटि समीकरणों के निकाय

I पर संतत A सहित X′ = A(t)X की हल-समष्टि n-विमीय है; मूलभूत आव्यूह Φ के स्तंभ स्वतंत्र हल हैं और det Φ लिउविल सूत्र det Φ(t) = det Φ(t₀)exp ∫ tr A संतुष्ट करता है। अचर A हेतु हल X(t) = etAX(0) है। यदि A = PDP⁻¹ विकर्णनीय हो, etA = PetDP⁻¹; यदि A = λI + N, N शून्यभावी, तो etA = eλt(I + tN + t²N²/2 + …), एक परिमित योग।

उदाहरण। A = [[1, 1], [0, 1]] = I + N, N² = 0, अतः etA = eᵗ[[1, t], [0, 1]]। X(0) = (1, 1) से X(t) = eᵗ(1 + t, 1); t = 1 पर प्रथम घटक 2e ≈ 5.44 है।

4. स्टर्म के प्रमेय व स्टर्म–लिउविल समस्याएँ

  • पृथक्करण: यदि y₁, y₂, y″ + q(x)y = 0 के स्वतंत्र हल हों, तो उनके शून्यक निश्चित रूप से एकांतरित होते हैं: एक के दो क्रमागत शून्यकों के बीच दूसरे का ठीक एक शून्यक है (sin x व cos x)।
  • तुलना (दोलन): यदि किसी अंतराल पर q₂ > q₁, तो y″ + q₁y = 0 के अतुच्छ हल के दो शून्यकों के बीच y″ + q₂y = 0 के प्रत्येक हल का एक शून्यक है। चूँकि sin(x − a), y″ + y = 0 को हल करता है, y″ + (1 + x²)y = 0 के प्रत्येक हल का लंबाई π के प्रत्येक विवृत अंतराल में शून्यक है।
  • यदि q ≤ 0, तो अतुच्छ हल का अधिकतम एक शून्यक है (y″ − y = 0: cosh, sinh, eˣ); अतुच्छ हलों के शून्यक सदा वियुक्त होते हैं।

नियमित स्टर्म–लिउविल समस्या [a, b] पर (p(x)y′)′ + (q(x) + λr(x))y = 0 है, p > 0, r > 0, पृथक्कृत परिसीमा शर्तों α₁y(a) + α₂y′(a) = 0, β₁y(b) + β₂y′(b) = 0 सहित। इसके आइगेन-मान वास्तविक व साधारण हैं, वर्धमान अनुक्रम λ₁ < λ₂ < … → ∞ बनाते हैं, n-वें आइगेन-फलन के (a, b) में ठीक n − 1 शून्यक हैं, तथा भिन्न आइगेन-मानों के आइगेन-फलन भार r सहित लांबिक हैं। y″ + λy = 0 हेतु: y(0) = y(π) = 0 सहित λₙ = n² तथा yₙ = sin nx; y(0) = 0 व y′(π) = 0 सहित cos(√λ π) = 0, अतः λₙ = (n − 1/2)², सबसे छोटा 1/4।

5. समतलीय स्वायत्त निकाय: स्थायित्व, रैखिकीकरण व ल्यापुनोव फलन

X′ = AX, A वास्तविक 2 × 2, A के आइगेन-मानों द्वारा (τ = अनुरेख, Δ = सारणिक)
आइगेन-मानस्थिर बिंदुमूलबिंदु का स्थायित्व
वास्तविक, दोनों ऋणात्मक (Δ > 0, τ < 0, τ² ≥ 4Δ)स्थायी नोडअनंतस्पर्शी रूप से स्थायी
वास्तविक, विपरीत चिह्न (Δ < 0)पल्याणअस्थायी
सम्मिश्र, ऋणात्मक वास्तविक भाग (τ < 0, τ² < 4Δ)स्थायी सर्पिल (फ़ोकस)अनंतस्पर्शी रूप से स्थायी
शुद्ध काल्पनिक (τ = 0, Δ > 0)केंद्रस्थायी, अनंतस्पर्शी रूप से नहीं
धनात्मक वास्तविक भाग (τ > 0, Δ > 0)अस्थायी नोड या सर्पिलअस्थायी

रैखिकीकरण। F(X∗) = 0 तथा C¹ वर्ग के F सहित X′ = F(X) हेतु J = DF(X∗) लें। यदि J के प्रत्येक आइगेन-मान का वास्तविक भाग ऋणात्मक हो, X∗ अनंतस्पर्शी रूप से स्थायी है; यदि किसी का वास्तविक भाग धनात्मक हो, X∗ अस्थायी है। शुद्ध काल्पनिक आइगेन-मानों पर रैखिकीकरण कुछ तय नहीं करता। अवमंदित लोलक x′ = y, y′ = −sin x − y हेतु: (0, 0) पर J = [[0, 1], [−1, −1]], τ = −1, Δ = 1, स्थायी सर्पिल; (π, 0) पर J = [[0, 1], [1, −1]], Δ = −1, पल्याण।

🎯 ल्यापुनोव की प्रत्यक्ष विधि
यदि V, C¹ हो, X∗ के निकट धनात्मक निश्चित (V(X∗) = 0, अन्यत्र V > 0) तथा V̇ = ∇V·F ≤ 0, तो X∗ स्थायी है; यदि X∗ से दूर V̇ < 0, तो अनंतस्पर्शी रूप से स्थायी। x′ = −x + y, y′ = −x − y³ हेतु V = x² + y² लें: V̇ = 2x(−x + y) + 2y(−x − y³) = −2x² − 2y⁴ < 0, (x, y) ≠ 0 हेतु, अतः मूलबिंदु अनंतस्पर्शी रूप से स्थायी है। विधि को हल नहीं चाहिए और वहाँ चलती है जहाँ रैखिकीकरण मौन है, उदा. x′ = −x³ (J = 0, V = x²)।

मुख्य बिंदु

  • नियमित विचित्र बिंदु: (x − x₀)P तथा (x − x₀)²Q वैश्लेषिक; सूचक समीकरण r(r − 1) + p₀r + q₀ = 0 फ़्रोबेनियस घातांक देता है।
  • ∫−11 Pₙ² = 2/(2n + 1); बेसेल फलन अपने शून्यकों पर [0, 1] पर भार x सहित लांबिक हैं; J₀′ = −J₁।
  • X′ = AX, etA से हल होता है; A = λI + N हेतु परिमित शून्यभावी श्रेणी लें।
  • स्टर्म: स्वतंत्र हलों के शून्यक एकांतरित होते हैं, बड़ा q तेज़ दोलन करता है, q ≤ 0 अधिकतम एक शून्यक देता है; स्टर्म–लिउविल आइगेन-मान वास्तविक व साधारण हैं, आइगेन-फलन भारित-लांबिक।
  • अनुरेख व सारणिक समतलीय रैखिक निकायों को वर्गीकृत करते हैं; रैखिकीकरण तब तक निर्णय करता है जब तक किसी आइगेन-मान का वास्तविक भाग शून्य न हो, और ल्यापुनोव फलन बिना हल किए निर्णय करते हैं।

अभ्यास प्रश्न (14)

उत्तर खोलने से पहले प्रत्येक प्रश्न हल करें। हर व्याख्या सही विकल्प के साथ लुभावना गलत विकल्प भी बताती है, क्योंकि अंक वहीं जाते हैं।

  1. बेसेल समीकरण x²y″ + xy′ + (x² − ν²)y = 0 हेतु बिंदु x = 0 है

    1. नियमित विचित्र बिंदु
    2. साधारण बिंदु
    3. अनियमित विचित्र बिंदु
    4. केवल ν = 0 पर साधारण बिंदु
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — नियमित विचित्र बिंदु

    मानक रूप में P = 1/x तथा Q = 1 − ν²/x², दोनों 0 पर विचित्र, अतः किसी भी ν हेतु 0 साधारण नहीं। परंतु xP = 1 तथा x²Q = x² − ν² वैश्लेषिक हैं, अतः यह नियमित विचित्र बिंदु है, सूचक समीकरण r² − ν² = 0 सहित।

  2. 2x²y″ + xy′ − (x + 1)y = 0 हेतु x = 0 पर सूचक समीकरण के दोनों मूलों का अंतर (बड़ा घटा छोटा) ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 1.5

    2x² से भाग: P = 1/(2x), Q = −(x + 1)/(2x²), अतः p₀ = lim xP = 1/2 तथा q₀ = lim x²Q = −1/2। सूचक समीकरण r(r − 1) + r/2 − 1/2 = 0, अर्थात् 2r² − r − 1 = (2r + 1)(r − 1) = 0: मूल 1 व −1/2, अंतर 1.5, पूर्णांक नहीं, अतः दो फ़्रोबेनियस श्रेणियाँ हैं।

  3. समीकरण x²(x − 1)²y″ + xy′ + y = 0 हेतु कौन-से कथन सत्य हैं?

    1. x = 0 नियमित विचित्र बिंदु है
    2. x = 1 नियमित विचित्र बिंदु है
    3. x = 1 अनियमित विचित्र बिंदु है
    4. x = −1 साधारण बिंदु है
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — x = 0 नियमित विचित्र बिंदु है; C — x = 1 अनियमित विचित्र बिंदु है; D — x = −1 साधारण बिंदु है

    P = 1/(x(x − 1)²), Q = 1/(x²(x − 1)²)। 0 पर: xP = 1/(x − 1)² तथा x²Q = 1/(x − 1)² वैश्लेषिक हैं, अतः नियमित विचित्र। 1 पर: (x − 1)P = 1/(x(x − 1)) वैश्लेषिक नहीं, अतः अनियमित। −1 पर P व Q वैश्लेषिक हैं, अतः साधारण।

  4. ∫−11 [P₃(x)]² dx का मान, जहाँ P₃ घात 3 का लेजांड्र बहुपद है, दो दशमलव स्थानों तक, ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 0.29

    n = 3 हेतु ∫−11 Pₙ² dx = 2/(2n + 1) = 2/7 = 0.2857, अर्थात् 0.29। सीधे, P₃ = (5x³ − 3x)/2 तथा [−1, 1] पर ∫(25x⁶ − 30x⁴ + 9x²)/4 dx = (50/7 − 12 + 6)/4 = 2/7।

  5. x = 0.5 पर लेजांड्र बहुपद P₂ का मान ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: -0.125

    P₂(x) = (3x² − 1)/2, अतः P₂(0.5) = (0.75 − 1)/2 = −0.125। प्रसामान्यीकरण P₂(1) = 1 जाँचें, जिसमें अप्रसामान्य 3x² − 1 विफल होता।

  6. ∫−11 x² P₂(x) dx का मान है

    1. 4/15
    2. 2/5
    3. 0
    4. 2/3
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — 4/15

    x² = (2P₂ + P₀)/3। लांबिकता से ∫P₀P₂ = 0, अतः समाकल (2/3)∫P₂² = (2/3)(2/5) = 4/15। मान 0, ∫x P₂ हेतु लागू होता, क्योंकि x = P₁; 2/5 स्वयं ∫P₂² है।

  7. प्रथम प्रकार के बेसेल फलनों के विषय में कौन-से कथन सत्य हैं?

    1. J1/2(x) = √(2/(πx)) sin x
    2. J₀(0) = 1
    3. प्रत्येक धनात्मक पूर्णांक n हेतु J−n(x) = (−1)ⁿJₙ(x)
    4. J₀′(x) = J₁(x)
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — J_{1/2}(x) = √(2/(πx)) sin x; B — J₀(0) = 1; C — प्रत्येक धनात्मक पूर्णांक n हेतु J_{−n}(x) = (−1)ⁿJₙ(x)

    (1) ν = 1/2 हेतु श्रेणी का योग √(2/(πx)) sin x है। (2) 0 पर J₀ का केवल k = 0 पद बचता है। (3) पूर्णांक n हेतु J−n के पहले n पद शून्य होते हैं (अधनात्मक पूर्णांक का 1/Γ शून्य है) और शेष (−1)ⁿJₙ देते हैं। (4) असत्य: ν = 0 सहित (x−νJν)′ = −x−νJν+1 से J₀′ = −J₁।

  8. A = [[1, 1], [0, 1]] तथा X(0) = (1, 1)ᵀ सहित X′ = AX हेतु X(1) का प्रथम घटक, दो दशमलव स्थानों तक, ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 5.44

    A = I + N, N = [[0, 1], [0, 0]], N² = 0, तथा I, N क्रमविनिमेय, अतः etA = eᵗ(I + tN) = eᵗ[[1, t], [0, 1]]। X(t) = eᵗ(1 + t, 1), और t = 1 पर प्रथम घटक 2e = 5.4366, अर्थात् 5.44। सीधे: x₂ = eᵗ, फिर x₁′ − x₁ = eᵗ से x₁ = (1 + t)eᵗ।

  9. निकाय x′ = y, y′ = −2x − 3y हेतु मूलबिंदु है

    1. स्थायी नोड
    2. पल्याण बिंदु
    3. केंद्र
    4. अस्थायी सर्पिल
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — स्थायी नोड

    A = [[0, 1], [−2, −3]] का अनुरेख −3 व सारणिक 2 है, अतः आइगेन-मान λ² + 3λ + 2 = 0 हल करते हैं: −1 व −2, वास्तविक, भिन्न व ऋणात्मक। यह स्थायी नोड है, अनंतस्पर्शी रूप से स्थायी। यह y″ + 3y′ + 2y = 0 का निकाय रूप है।

  10. वास्तविक 2 × 2 आव्यूह A सहित X′ = AX हेतु कौन-से कथन सत्य हैं?

    1. यदि trace A < 0 तथा det A > 0, तो मूलबिंदु अनंतस्पर्शी रूप से स्थायी है
    2. यदि det A < 0, तो मूलबिंदु पल्याण बिंदु है
    3. यदि आइगेन-मान शुद्ध काल्पनिक हों, तो मूलबिंदु स्थायी है परंतु अनंतस्पर्शी रूप से नहीं
    4. यदि trace A = 0, तो मूलबिंदु केंद्र है
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — यदि trace A < 0 तथा det A > 0, तो मूलबिंदु अनंतस्पर्शी रूप से स्थायी है; B — यदि det A < 0, तो मूलबिंदु पल्याण बिंदु है; C — यदि आइगेन-मान शुद्ध काल्पनिक हों, तो मूलबिंदु स्थायी है परंतु अनंतस्पर्शी रूप से नहीं

    (1) तब दोनों आइगेन-मानों का वास्तविक भाग ऋणात्मक है (योग < 0, गुणनफल > 0)। (2) det < 0 का अर्थ विपरीत चिह्न के वास्तविक आइगेन-मान। (3) कक्षाएँ बंद दीर्घवृत्त हैं: परिबद्ध, 0 की ओर नहीं जातीं। (4) असत्य: A = [[1, 0], [0, −1]] का अनुरेख 0 व सारणिक −1, पल्याण; केंद्र हेतु अनुरेख 0 व सारणिक > 0 चाहिए।

  11. अवमंदित लोलक x′ = y, y′ = −sin x − y हेतु स्थिर बिंदु (π, 0) है

    1. पल्याण बिंदु, अतः अस्थायी
    2. स्थायी सर्पिल
    3. केंद्र
    4. स्थायी नोड
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — पल्याण बिंदु, अतः अस्थायी

    जैकोबियन [[0, 1], [−cos x, −1]] है; x = π पर यह [[0, 1], [1, −1]] है, सारणिक −1 < 0, अतः आइगेन-मान विपरीत चिह्न के वास्तविक, (−1 ± √5)/2। रैखिकीकरण निर्णायक है (कोई शून्य वास्तविक भाग नहीं): पल्याण, उलटा लोलक। स्थायी सर्पिल (0, 0) पर है।

  12. निकाय x′ = −x + y, y′ = −x − y³ तथा V(x, y) = x² + y² हेतु कौन-से कथन सत्य हैं?

    1. V धनात्मक निश्चित है
    2. हलों के अनुदिश dV/dt = −2x² − 2y⁴
    3. मूलबिंदु अनंतस्पर्शी रूप से स्थायी है
    4. मूलबिंदु अस्थायी है
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — V धनात्मक निश्चित है; B — हलों के अनुदिश dV/dt = −2x² − 2y⁴; C — मूलबिंदु अनंतस्पर्शी रूप से स्थायी है

    V > 0, 0 के अतिरिक्त। dV/dt = 2x(−x + y) + 2y(−x − y³) = −2x² + 2xy − 2xy − 2y⁴ = −2x² − 2y⁴, जो मूलबिंदु के अतिरिक्त ऋणात्मक है, अतः ल्यापुनोव प्रमेय अनंतस्पर्शी स्थायित्व देता है, और (4) असत्य है।

  13. कौन-से कथन सत्य हैं? (q एक संतत फलन है।)

    1. y″ + y = 0 के अतुच्छ हल के दो क्रमागत शून्यकों के बीच किसी भी रैखिकतः स्वतंत्र हल का ठीक एक शून्यक है
    2. y″ + (1 + x²)y = 0 के प्रत्येक अतुच्छ हल का लंबाई π के प्रत्येक विवृत अंतराल में शून्यक है
    3. y″ − y = 0 के प्रत्येक अतुच्छ हल के अनंत शून्यक हैं
    4. y″ + q(x)y = 0 के अतुच्छ हल के शून्यक वियुक्त हैं
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — y″ + y = 0 के अतुच्छ हल के दो क्रमागत शून्यकों के बीच किसी भी रैखिकतः स्वतंत्र हल का ठीक एक शून्यक है; B — y″ + (1 + x²)y = 0 के प्रत्येक अतुच्छ हल का लंबाई π के प्रत्येक विवृत अंतराल में शून्यक है; D — y″ + q(x)y = 0 के अतुच्छ हल के शून्यक वियुक्त हैं

    (1) स्टर्म पृथक्करण है (sin x व cos x)। (2) y″ + y = 0 से तुलना करें: इसका हल sin(x − a), a व a + π पर शून्य है, तथा 1 + x² ≥ 1, समता केवल x = 0 पर, अतः बड़े गुणांक वाले समीकरण का प्रत्येक हल a व a + π के बीच निश्चित रूप से शून्य होता है। (3) असत्य: हल c₁eˣ + c₂e−x हैं, अधिकतम एक शून्यक सहित। (4) y′ = 0 वाला शून्यक अद्वितीयता से y ≡ 0 बाध्य करता, अतः प्रत्येक शून्यक पर y′ ≠ 0।

  14. [0, π] पर y(0) = 0 तथा y′(π) = 0 सहित y″ + λy = 0 का सबसे छोटा आइगेन-मान λ ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 0.25

    λ ≤ 0 केवल y ≡ 0 देता है। λ = μ² > 0 हेतु y(0) = 0 से y = sin μx, तथा y′(π) = μ cos μπ = 0 हेतु μ = n − 1/2। अतः λₙ = (n − 1/2)² और सबसे छोटा 1/4 = 0.25, आइगेन-फलन sin(x/2) सहित। इसके स्थान पर y(π) = 0 होने पर उत्तर 1 होता।