प्रथम-कोटि सिद्धांत, रैखिक समीकरण व लाप्लास रूपांतर

साधारण अवकल समीकरण GATE गणित (MA) पेपर का खंड 5 है। यह वह सिद्धांत पूछता है जो अभियांत्रिकी पेपर छोड़ देता है — प्रारंभिक मान समस्या का हल कब है, वह कब अद्वितीय है, और कितनी दूर तक विस्तारित होता है — हल की विधियों के साथ। यह पहला अध्याय पियानो व पिकार–लिंडेलॉफ़ प्रमेयों सहित प्रथम-कोटि समीकरण, मानक प्रथम-कोटि रूप (यथातथ, रैखिक, बर्नूली), अचर गुणांकों वाले उच्च कोटि के रैखिक समीकरण, रॉन्स्कियन, आबेल सूत्र, कोटि-ह्रास व प्राचल-विचरण के माध्यम से चर गुणांकों वाले द्वितीय-कोटि रैखिक समीकरण, कौशी–आयलर समीकरण, तथा प्रारंभिक मान समस्याओं हेतु उपयोग सहित लाप्लास रूपांतर लेता है। दूसरा अध्याय श्रेणी हल व लेजांड्र तथा बेसेल फलन, निकाय, स्टर्म सिद्धांत व स्टर्म–लिउविल समस्याएँ, तथा स्थायित्व लेता है। पेपर में ले जाने योग्य दो प्रति-उदाहरण हैं y′ = y2/3, जिसके मूलबिंदु से होकर दो हल हैं, तथा y′ = y², जिसका (0, 1) से होकर हल केवल (−∞, 1) पर है।

1. प्रारंभिक मान समस्याओं हेतु अस्तित्व व अद्वितीयता

आयत R = {|x − x₀| ≤ a, |y − y₀| ≤ b} पर, जहाँ R पर |f| ≤ M, y′ = f(x, y), y(x₀) = y₀ लें। पियानो: यदि f, R पर संतत हो, तो |x − x₀| ≤ h = min(a, b/M) पर हल का अस्तित्व है। पिकार–लिंडेलॉफ़: यदि इसके अतिरिक्त f, R पर y में लिप्शिट्ज़ हो, |f(x, y₁) − f(x, y₂)| ≤ L|y₁ − y₂| (जो R पर ∂f/∂y संतत होने पर लागू है), तो उस अंतराल पर हल अद्वितीय है, और पिकार पुनरावृत्त yₙ₊₁(x) = y₀ + ∫x₀x f(t, yₙ(t)) dt एकसमानतः उसकी ओर अभिसृत होते हैं।

प्रत्येक परिकल्पना क्या देती है, और उसके बिना क्या होता है
समीकरणपरिकल्पना की स्थितिपरिणाम
y′ = y2/3, y(0) = 0संतत; y = 0 पर लिप्शिट्ज़ नहींy ≡ 0 तथा y = (x/3)³ दोनों हल हैं (और अनंत अन्य)
y′ = y², y(0) = 1चिकना, स्थानीयतः लिप्शिट्ज़, वैश्विक नहींअद्वितीय हल y = 1/(1 − x), जो x = 1 पर अनंत हो जाता है
y′ = p(x)y + q(x), I पर p, q संततI पर वैश्विक लिप्शिट्ज़सम्पूर्ण I पर अद्वितीय हल: रैखिक समीकरण कभी अनंत नहीं होते
⚠️ अस्तित्व स्थानीय है
प्रमेय x₀ के निकट हल का वचन देते हैं, सम्पूर्ण रेखा पर नहीं। y(0) = 1/2 सहित y′ = y² का हल y = 1/(2 − x) है, अतः दाईं ओर अधिकतम अंतराल x = 2 पर समाप्त होता है; y(0) = y₀ > 0 हेतु 1/y₀ पर। हल तब तक विस्तारित हो सकता है जब तक वह उस क्षेत्र में रहे जहाँ परिकल्पनाएँ लागू हैं, और वह केवल प्रत्येक संहत उपसमुच्चय से बाहर निकल कर ही रुकता है।

2. हल किए जा सकने वाले प्रथम-कोटि समीकरण

  • यथातथ: My = Nₓ सहित M dx + N dy = 0 का विभव φ है, φₓ = M, φy = N, और हल φ = c है। यदि (My − Nₓ)/N केवल x पर निर्भर हो, तो e∫(M_{y − Nₓ)/N dx} समाकलन गुणक है; यदि (Nₓ − My)/M केवल y पर निर्भर हो, तो e∫(Nₓ − M_{y)/M dy}।
  • रैखिक: y′ + p(x)y = q(x)। μ = e∫p से गुणा करें: (μy)′ = μq। y′ + (2/x)y = x हेतु μ = x², (x²y)′ = x³ तथा y = x²/4 + C/x²; y(1) = 1 सहित C = 3/4 तथा y(2) = 1 + 3/16 = 1.1875।
  • बर्नूली: y′ + p(x)y = q(x)yⁿ, n ≠ 0, 1: v = y1−n इसे रैखिक बनाता है, v′ + (1 − n)pv = (1 − n)q। y′ + y = y² हेतु v = 1/y से v′ − v = −1, v = 1 + Ceˣ।

3. अचर गुणांकों वाले रैखिक समीकरण

y⁽ⁿ⁾ + a₁y⁽ⁿ⁻¹⁾ + … + aₙy = 0 हेतु y = emx आज़माएँ: m अभिलक्षणिक बहुपद को हल करता है। बहुलता k का वास्तविक मूल m, emx, xemx, …, xk−1emx देता है; सम्मिश्र युग्म α ± iβ, eαxcos βx तथा eαxsin βx देता है (दोहराए जाने पर x की घातों से गुणित)। प्राप्त n फलन हल-समष्टि का आधार बनाते हैं, जिसकी विमा ठीक n है।

⚠️ अनिर्धारित गुणांक विधि में अनुनाद
y″ + y = sin x हेतु स्वाभाविक अनुमान A cos x + B sin x समघात समीकरण को हल करता है और sin x उत्पन्न नहीं कर सकता। x से गुणा करें: yp = x(A cos x + B sin x), जो −2A sin x + 2B cos x = sin x देता है, अतः yp = −(x/2)cos x। सामान्यतः, यदि प्रणोदी पद का घातांक अभिलक्षणिक बहुपद का बहुलता s का मूल हो, तो अनुमान को xˢ से गुणा करें।

4. चर गुणांकों वाले द्वितीय-कोटि समीकरण; कौशी–आयलर समीकरण

I पर संतत p, q सहित y″ + p(x)y′ + q(x)y = 0 हेतु हल 2-विमीय समष्टि बनाते हैं। रॉन्स्कियन W(y₁, y₂) = y₁y₂′ − y₁′y₂ आबेल सूत्र W(x) = W(x₀) exp(−∫x₀x p) संतुष्ट करता है: यह या तो I पर कभी शून्य नहीं (y₁, y₂ स्वतंत्र) या सर्वत्र शून्य (आश्रित)। n फलनों हेतु W अवकलजों के आव्यूह का सारणिक है; 0 पर ex, e2x, e3x हेतु यह वांडरमॉण्ड सारणिक (2 − 1)(3 − 1)(3 − 2) = 2 है।

  • कोटि-ह्रास: यदि y₁ एक हल हो, तो y₂ = y₁∫ e−∫p/y₁² dx दूसरा, स्वतंत्र हल है।
  • प्राचल-विचरण: y″ + py′ + qy = g हेतु yp = −y₁∫ y₂g/W dx + y₂∫ y₁g/W dx।
  • कौशी–आयलर: x > 0 पर x²y″ + axy′ + by = 0। y = xᵐ रखें: m(m − 1) + am + b = 0। भिन्न वास्तविक मूल xm₁, xm₂ देते हैं; द्विक मूल m, xᵐ, xᵐ ln x देता है; मूल α ± iβ, xαcos(β ln x), xαsin(β ln x) देते हैं। प्रतिस्थापन x = eᵗ इसे अचर-गुणांक समीकरण बना देता है।
⚠️ यादृच्छिक फलनों हेतु रॉन्स्कियन परीक्षण एकदिशीय है
W ≢ 0 सदा स्वतंत्रता दर्शाता है। परंतु W ≡ 0 आश्रितता केवल संतत गुणांकों वाले एक रैखिक समीकरण के हलों हेतु दर्शाता है: ℝ पर x² तथा x|x| हेतु W ≡ 0 है और वे स्वतंत्र हैं। वे दोनों ऐसे समीकरण के हल नहीं हो सकते, क्योंकि x = 0 पर दोनों अपने अवकलजों सहित साथ शून्य होते हैं।

5. लाप्लास रूपांतर

चरघातांकी कोटि के खंडशः संतत f हेतु F(s) = L{f}(s) = ∫₀^∞ e−stf(t) dt, बड़े s हेतु, अस्तित्व रखता है। प्रारंभिक मान समस्याएँ हल करने हेतु प्रयुक्त गुण: रैखिकता; L{f′} = sF − f(0) तथा L{f″} = s²F − sf(0) − f′(0); प्रथम स्थानांतरण L{eatf} = F(s − a); द्वितीय स्थानांतरण L{u(t − a)f(t − a)} = e−asF(s); L{tf} = −F′(s); तथा संवलन प्रमेय L{f ∗ g} = F·G, जहाँ (f ∗ g)(t) = ∫₀ᵗ f(τ)g(t − τ) dτ। गुणनफल fg का रूपांतर F·G नहीं है।

जानने योग्य रूपांतर
f(t)F(s)
1, tⁿ1/s, n!/sⁿ⁺¹
eat, t eat1/(s − a), 1/(s − a)²
sin bt तथा cos btb/(s² + b²), s/(s² + b²)
u(t − a), δ(t − a)e−as/s, e−as

हल की गई प्रा.मा.स.। y″ + 4y = sin t, y(0) = y′(0) = 0। रूपांतर से (s² + 4)Y = 1/(s² + 1), अतः Y = 1/((s² + 1)(s² + 4)) = (1/3)[1/(s² + 1) − 1/(s² + 4)] तथा y = (1/3)(sin t − ½ sin 2t)। t = π/2 पर y = 1/3।

मुख्य बिंदु

  • f का सांतत्य स्थानीय अस्तित्व देता है (पियानो); y में लिप्शिट्ज़ शर्त अद्वितीयता देती है (पिकार–लिंडेलॉफ़); कोई भी वैश्विक हल नहीं देती।
  • यथातथ, रैखिक व बर्नूली समीकरण क्रमशः विभव, समाकलन गुणक व v = y1−n से हल होते हैं।
  • अचर गुणांक: अभिलक्षणिक बहुपद के मूल, दोहराए मूलों व अनुनादी प्रणोदन हेतु x से गुणित पदों सहित।
  • आबेल: W = W(x₀)e−∫p, अतः दो हलों का रॉन्स्कियन कभी शून्य नहीं या सदा शून्य; कौशी–आयलर y = xᵐ लेता है।
  • लाप्लास प्रा.मा.स. को बीजगणित में बदलता है: L{y′} = sY − y(0), स्थानांतरण प्रमेय, तथा रूपांतरों के गुणनफल हेतु संवलन।

अभ्यास प्रश्न (14)

उत्तर खोलने से पहले प्रत्येक प्रश्न हल करें। हर व्याख्या सही विकल्प के साथ लुभावना गलत विकल्प भी बताती है, क्योंकि अंक वहीं जाते हैं।

  1. प्रारंभिक मान समस्याओं y′ = f(x, y), y(x₀) = y₀ के विषय में कौन-से कथन सत्य हैं?

    1. y′ = y2/3, y(0) = 0 के एक से अधिक हल हैं
    2. y′ = y², y(0) = 1 का सम्पूर्ण ℝ पर परिभाषित हल है
    3. यदि (x₀, y₀) के परितः आयत पर f व ∂f/∂y संतत हों, तो x₀ के परितः किसी अंतराल पर समस्या का अद्वितीय हल है
    4. (x₀, y₀) के निकट केवल f का सांतत्य x₀ के निकट हल का अस्तित्व सुनिश्चित करता है
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — y′ = y^{2/3}, y(0) = 0 के एक से अधिक हल हैं; C — यदि (x₀, y₀) के परितः आयत पर f व ∂f/∂y संतत हों, तो x₀ के परितः किसी अंतराल पर समस्या का अद्वितीय हल है; D — (x₀, y₀) के निकट केवल f का सांतत्य x₀ के निकट हल का अस्तित्व सुनिश्चित करता है

    (1) y ≡ 0 तथा y = (x/3)³ दोनों चलते हैं: y′ = x²/9 = ((x/3)³)2/3। (2) अद्वितीय हल 1/(1 − x) है, जो x = 1 पर अनंत हो जाता है। (3) संतत ∂f/∂y आयत पर f को y में लिप्शिट्ज़ बनाता है: पिकार–लिंडेलॉफ़। (4) पियानो प्रमेय।

  2. y′ = y², y(0) = 1/2 का हल अंतराल [0, b) पर है, b यथासंभव बड़ा। b का मान ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 2

    पृथक्करण से −1/y = x + C, C = −2, अतः y = 1/(2 − x)। यह x < 2 हेतु परिभाषित व चिकना है और x → 2⁻ पर ∞ की ओर जाता है, अतः b = 2 के आगे विस्तारित नहीं हो सकता यद्यपि f(x, y) = y² हर स्थान पर चिकना है।

  3. x > 0 पर y′ + (2/x)y = x, y(1) = 1 के हल हेतु y(2), दो दशमलव स्थानों तक, ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 1.19

    μ = e∫2/x = x², अतः (x²y)′ = x³ तथा x²y = x⁴/4 + C। y(1) = 1 से C = 3/4, अतः y = x²/4 + 3/(4x²) तथा y(2) = 1 + 3/16 = 1.1875, अर्थात् 1.19।

  4. बर्नूली समीकरण y′ + y = y², y(0) = 1/2 के हल हेतु y(ln 3) = ____।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 0.25

    v = 1/y सहित v′ = −y′/y² = −(y² − y)/y² = −1 + v, अतः v′ − v = −1 तथा v = 1 + Ceˣ। v(0) = 2 से C = 1, अतः y = 1/(1 + eˣ) तथा y(ln 3) = 1/(1 + 3) = 0.25।

  5. y″ − 4y′ + 4y = 0 का व्यापक हल है

    1. (c₁ + c₂x)e2x
    2. c₁e2x + c₂e−2x
    3. c₁e2x
    4. c₁cos 2x + c₂sin 2x
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — (c₁ + c₂x)e^{2x}

    अभिलक्षणिक बहुपद m² − 4m + 4 = (m − 2)² का द्विक मूल 2 है, जो e2x तथा xe2x देता है। द्वितीय-कोटि समीकरण को दो स्वतंत्र हल चाहिए, अतः केवल c₁e2x अपूर्ण है।

  6. y″ + y = sin x हेतु अनिर्धारित गुणांक विधि में विशेष हल का सही परीक्षण रूप है

    1. x(A cos x + B sin x)
    2. A cos x + B sin x
    3. A x sin x
    4. A x² sin x
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — x(A cos x + B sin x)

    ±i, m² + 1 के साधारण मूल हैं, अतः sin x व cos x समघात समीकरण को हल करते हैं और x से गुणा आवश्यक है। ज्या व कोज्या दोनों पद रखना आवश्यक है: प्रतिस्थापन B = 0, A = −1/2, yp = −(x/2)cos x देता है, जिसे रूप A x sin x नहीं दे सकता।

  7. y₁ व y₂, x > 0 पर x²y″ + xy′ + (x² − 1)y = 0 के हल हैं, जिनका रॉन्स्कियन W(y₁, y₂)(1) = 2। W(y₁, y₂)(4) का मान ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 0.5

    मानक रूप y″ + (1/x)y′ + (1 − 1/x²)y = 0 है, अतः p = 1/x तथा आबेल सूत्र W(x) = W(1)exp(−∫₁ˣ dt/t) = 2/x देता है। अतः W(4) = 0.5। y के गुणांक की कोई भूमिका नहीं; x² से भाग भूलने पर p = x और गलत चरघातांकी मिलता।

  8. x = 0 पर eˣ, e2x, e3x का रॉन्स्कियन ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 2

    x = 0 पर पंक्तियाँ फलन, प्रथम व द्वितीय अवकलज हैं: (1, 1, 1), (1, 2, 3), (1, 4, 9)। यह वांडरमॉण्ड सारणिक (2 − 1)(3 − 1)(3 − 2) = 2 है। सामान्यतः W(x) = 2e6x, कभी शून्य नहीं, अतः तीनों फलन स्वतंत्र हैं।

  9. x > 0 पर कौशी–आयलर समीकरण x²y″ − 3xy′ + 4y = 0 का व्यापक हल है

    1. x²(c₁ + c₂ ln x)
    2. c₁x² + c₂x⁻²
    3. c₁x + c₂x⁴
    4. (c₁ + c₂x)e2x
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — x²(c₁ + c₂ ln x)

    y = xᵐ से m(m − 1) − 3m + 4 = m² − 4m + 4 = (m − 2)², द्विक मूल। दूसरा हल x² ln x है, ठीक वैसे जैसे अचर-गुणांक समीकरण का द्विक मूल xemx देता है (x = eᵗ रखें)। (c₁ + c₂x)e2x लिखना दोनों समीकरणों को मिला देता है।

  10. x²y″ − 2xy′ + 2y = 0, y(1) = 1, y′(1) = 3 के हल हेतु y(2) = ____।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 6

    m(m − 1) − 2m + 2 = m² − 3m + 2 = (m − 1)(m − 2), अतः y = c₁x + c₂x²। तब c₁ + c₂ = 1 तथा c₁ + 2c₂ = 3 से c₂ = 2, c₁ = −1, और y(2) = −2 + 8 = 6।

  11. t e2t का लाप्लास रूपांतर है

    1. 1/(s − 2)²
    2. 1/(s − 2)
    3. 2/(s − 2)³
    4. 1/(s + 2)²
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — 1/(s − 2)²

    L{t} = 1/s², तथा प्रथम स्थानांतरण प्रमेय s को s − 2 से बदलता है: 1/(s − 2)²। 2/(s − 2)³, t²e2t का रूपांतर है, तथा 1/(s + 2)² गलत दिशा में स्थानांतरित है।

  12. लाप्लास रूपांतर L (जहाँ L{f} = F, L{g} = G) के कौन-से गुण सही हैं?

    1. L{f′}(s) = sF(s) − f(0)
    2. L{eatf(t)}(s) = F(s − a)
    3. L{f ∗ g} = F·G, जहाँ f ∗ g संवलन ∫₀ᵗ f(τ)g(t − τ) dτ है
    4. L{f·g} = F·G
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — L{f′}(s) = sF(s) − f(0); B — L{e^{at}f(t)}(s) = F(s − a); C — L{f ∗ g} = F·G, जहाँ f ∗ g संवलन ∫₀ᵗ f(τ)g(t − τ) dτ है

    (1) खंडशः समाकलन से मिलता है। (2) प्रथम स्थानांतरण प्रमेय है। (3) संवलन प्रमेय है। (4) असत्य: f = g = 1 सहित L{1} = 1/s परंतु F·G = 1/s²।

  13. y″ + 4y = sin t, y(0) = 0, y′(0) = 0 के हल हेतु y(π/2), दो दशमलव स्थानों तक, ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 0.33

    (s² + 4)Y = 1/(s² + 1), अतः Y = (1/3)[1/(s² + 1) − 1/(s² + 4)] तथा y = (1/3)sin t − (1/6)sin 2t। t = π/2 पर: (1/3)(1) − (1/6)(0) = 1/3 = 0.33। जाँच: y″ + 4y = (1/3)(−sin t + 4 sin t) = sin t।

  14. मान लें f(t), 1/(s(s² + 1)) का प्रतिलोम लाप्लास रूपांतर है। f(π) का मान ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 2

    1/(s(s² + 1)) = 1/s − s/(s² + 1), अतः f(t) = 1 − cos t; समतुल्यतः f = 1 ∗ sin t = ∫₀ᵗ sin τ dτ। तब f(π) = 1 − (−1) = 2।