आंतर गुणन समष्टियाँ, विशेष आव्यूह, जॉर्डन रूप व द्विघात रूप

खंड 2 का दूसरा आधा ज्यामिति व संरचना है। आंतर गुणन सदिश समष्टि को लंबाइयों व कोणों वाली समष्टि बनाता है, और ग्राम–श्मिट प्रक्रिया किसी भी आधार से प्रसामान्य-लांबिक आधार बना देती है। आव्यूहों के विशेष वर्ग — सममित, विषम-सममित, हर्मिटी, विषम-हर्मिटी, प्रसामान्य, लांबिक व ऐकिक — प्रत्येक एक सर्वसमिका से परिभाषित है और प्रत्येक अपने आइगेन-मानों को किसी रेखा या वृत्त पर बाँध देता है। सबसे गहरा परिणाम स्पेक्ट्रमी प्रमेय है: सम्मिश्र आव्यूह ऐकिक आव्यूह द्वारा ठीक तब विकर्णित हो सकता है जब वह प्रसामान्य हो। जो आव्यूह विकर्णित हो ही न सकें उनके लिए जॉर्डन विहित रूप अगला श्रेष्ठ विकल्प है, और उसकी खंड-संरचना न्यूनिष्ठ बहुपद व अष्टियों की विमाओं से पढ़ी जाती है। खंड द्विरैखिक व द्विघात रूपों पर समाप्त होता है, जिनका सिल्वेस्टर के जड़त्व नियम से वर्गीकरण आइगेन-मानों के चिह्नों का प्रश्न है।

1. आंतर गुणन, लांबिकता व ग्राम–श्मिट

वास्तविक या सम्मिश्र समष्टि पर आंतर गुणन एक स्थान में रैखिक, संयुग्मी-सममित (⟨u, v⟩ = conj ⟨v, u⟩) तथा धनात्मक निश्चित होता है। यह मानक ‖v‖ = √⟨v, v⟩, कौशी–श्वार्ट्ज़ असमिका |⟨u, v⟩| ≤ ‖u‖‖v‖ (समता यदि और केवल यदि u, v आश्रित) तथा त्रिभुज असमिका देता है। n-विमीय आंतर गुणन समष्टि की उपसमष्टि W हेतु V = W ⊕ W⊥ तथा dim W⊥ = n − dim W; W के प्रसामान्य-लांबिक आधार (eᵢ) हेतु W पर लांबिक प्रक्षेप v को Σ⟨v, eᵢ⟩eᵢ पर भेजता है।

ग्राम–श्मिट। स्वतंत्र u₁, u₂, … से v₁ = u₁ तथा vₖ = uₖ − Σj<k (⟨uₖ, vⱼ⟩/⟨vⱼ, vⱼ⟩) vⱼ रखें, फिर प्रसामान्यीकृत करें। प्रत्येक vₖ सभी पूर्ववर्तियों पर लांबिक है तथा span(v₁, …, vₖ) = span(u₁, …, uₖ)। उदाहरण: u₁ = (1, 1, 0), u₂ = (1, 0, 1) से v₂ = (1, 0, 1) − ½(1, 1, 0) = (½, −½, 1), जहाँ ‖v₂‖² = 3/2। आव्यूह रूप में यह QR गुणनखंडन A = QR है, Q के स्तंभ प्रसामान्य-लांबिक तथा R उपरि त्रिभुजीय।

2. सममित, हर्मिटी, प्रसामान्य, लांबिक व ऐकिक आव्यूह

प्रत्येक वर्ग, उसकी परिभाषक सर्वसमिका तथा उसके आइगेन-मान कहाँ हैं
वर्गपरिभाषाआइगेन-मान
वास्तविक सममित / हर्मिटीAᵀ = A / A∗ = Aवास्तविक
वास्तविक विषम-सममित / विषम-हर्मिटीAᵀ = −A / A∗ = −Aशुद्ध काल्पनिक या 0
लांबिक / ऐकिकQᵀQ = I / U∗U = Iमापांक 1; det Q = ±1, |det U| = 1
प्रसामान्यAA∗ = A∗Aकहीं भी; भिन्न आइगेन-मानों के आइगेन-सदिश लांबिक
  • विषम कोटि का वास्तविक विषम-सममित आव्यूह अव्युत्क्रमणीय है: det A = det Aᵀ = det(−A) = (−1)ⁿ det A से det A = 0।
  • प्रत्येक वर्ग सम्मिश्र आव्यूह अद्वितीयतः H + K है, जहाँ H = (A + A∗)/2 हर्मिटी तथा K = (A − A∗)/2 विषम-हर्मिटी; A प्रसामान्य है यदि और केवल यदि H व K क्रमविनिमेय हों।
  • लांबिक व ऐकिक आव्यूह आंतर गुणन व लंबाइयाँ सुरक्षित रखते हैं, ‖Ux‖ = ‖x‖; घूर्णन [[cos θ, −sin θ], [sin θ, cos θ]] के आइगेन-मान e±iθ हैं, ±1 नहीं।

3. ऐकिक आव्यूह द्वारा विकर्णीकरण

शूर प्रमेय: प्रत्येक सम्मिश्र वर्ग आव्यूह किसी उपरि त्रिभुजीय आव्यूह के ऐकिकतः समरूप है, U∗AU = T। स्पेक्ट्रमी प्रमेय: A ऐकिकतः विकर्णनीय है (किसी ऐकिक U हेतु U∗AU विकर्ण) यदि और केवल यदि A प्रसामान्य हो। वास्तविक आव्यूहों हेतु: A लांबिकतः विकर्णनीय है (वास्तविक लांबिक Q सहित QᵀAQ विकर्ण) यदि और केवल यदि A सममित हो।

🎯 प्रसामान्य त्रिभुजीय आव्यूह विकर्ण क्यों है
यदि T उपरि त्रिभुजीय हो और TT∗ = T∗T, तो (1, 1) प्रविष्टियों की तुलना करें: |t₁₁|² + |t₁₂|² + … + |t₁ₙ|² = |t₁₁|², अतः पहली पंक्ति विकर्ण से बाहर शून्य है; पंक्तियों पर आगमन करें। शूर व यह मिलकर एक पंक्ति में स्पेक्ट्रमी प्रमेय देते हैं, और यह भी दिखाते हैं कि प्रसामान्य शून्यभावी आव्यूह 0 है तथा वास्तविक आइगेन-मानों वाला प्रसामान्य आव्यूह हर्मिटी है।
⚠️ विकर्णनीय, ऐकिकतः विकर्णनीय से दुर्बल है
[[1, 1], [0, 2]] के भिन्न आइगेन-मान 1 व 2 हैं, अतः वह विकर्णनीय है, परंतु उसके आइगेन-सदिश (1, 0) व (1, 1) लांबिक नहीं तथा AA∗ ≠ A∗A। अतः वह विकर्णनीय है और ऐकिकतः विकर्णनीय नहीं। [[0, 1], [−1, 0]] वास्तविक है, सममित नहीं, फिर भी ℂ पर ऐकिकतः विकर्णनीय है, क्योंकि वह प्रसामान्य है (वह लांबिक है)।

4. जॉर्डन विहित रूप

ℂ पर प्रत्येक वर्ग आव्यूह जॉर्डन खंडों Jk(λ) — विकर्ण पर λ, अधिविकर्ण पर 1 — के खंड-विकर्ण आव्यूह के समरूप है, खंडों के क्रम तक अद्वितीय। प्रत्येक आइगेन-मान λ हेतु: खंडों की संख्या ज्यामितीय बहुलता dim ker(A − λI) है; उनके आकारों का योग बीजीय बहुलता है; सबसे बड़ा आकार न्यूनिष्ठ बहुपद में (x − λ) की घात है। आकार ≥ k वाले खंडों की संख्या dim ker(A − λI)k − dim ker(A − λI)k−1 है।

जॉर्डन रूप गिनना: प्रत्येक आइगेन-मान एक विभाजन है
अभिलक्षणिक / न्यूनिष्ठ बहुपदअनुमत खंड-आकाररूपों की संख्या
(x − 2)⁴ / (x − 2)²{2, 2}, {2, 1, 1}2
(x − 2)⁶ / (x − 2)³{3, 3}, {3, 2, 1}, {3, 1, 1, 1}3
(x − 1)³(x + 1)² / (x − 1)²(x + 1)λ = 1: {2, 1}; λ = −1: {1, 1}1
⚠️ न्यूनिष्ठ व अभिलक्षणिक बहुपद सदा रूप निर्धारित नहीं करते
n ≤ 3 हेतु वे करते हैं। n = 4 पर रुक जाते हैं: J₂(0) ⊕ J₂(0) तथा J₂(0) ⊕ J₁(0) ⊕ J₁(0) दोनों का अभिलक्षणिक बहुपद x⁴ व न्यूनिष्ठ बहुपद x² है, फिर भी उनके अष्टियों की विमाएँ 2 व 3 हैं, अतः वे समरूप नहीं। ज्यामितीय बहुलता वह अतिरिक्त निश्चर है जो उन्हें अलग करता है।

5. द्विरैखिक व द्विघात रूप

ℝⁿ पर द्विरैखिक रूप B(x, y) = xᵀAy है; यह सममित है यदि और केवल यदि A हो। द्विघात रूप Q(x) = xᵀAx है, A सममित (किसी भी A को (A + Aᵀ)/2 से बदलें): Q = x² + 4xy + y² हेतु A = [[1, 2], [2, 1]]। स्पेक्ट्रमी प्रमेय से प्रसामान्य-लांबिक आइगेन-निर्देशांकों में Q = Σλᵢyᵢ²। सिल्वेस्टर का जड़त्व नियम: व्युत्क्रमणीय चर-परिवर्तन द्वारा प्रत्येक विकर्णीकरण Q = Σ dᵢzᵢ² में धनात्मक गुणांकों की संख्या p तथा ऋणात्मकों की q समान रहती है; कोटि = p + q, तथा चिह्नक (signature) p − q है।

  • Q धनात्मक निश्चित है ⇔ A के सभी आइगेन-मान > 0 ⇔ सभी अग्र मुख्य उपसारणिक > 0 (सिल्वेस्टर कसौटी)। धनात्मक अर्ध-निश्चित हेतु सभी मुख्य उपसारणिक ≥ 0 चाहिए, केवल अग्र नहीं: [[0, 0], [0, −1]] के अग्र उपसारणिक 0, 0 हैं और वह अर्ध-निश्चित नहीं।
  • इकाई गोले पर min Q = λmin तथा max Q = λmax (रैले भागफल)। Q = 5x² + 4xy + 2y² हेतु A = [[5, 2], [2, 2]] के आइगेन-मान 6 व 1 हैं, अतः x² + y² = 1 पर रूप का परास [1, 6] है।
  • शांकव Q(x, y) = 1 दीर्घवृत्त है यदि दोनों आइगेन-मान धनात्मक हों, अतिपरवलय यदि विपरीत चिह्न के; x² + 4xy + y² = 1 (आइगेन-मान 3, −1) अतिपरवलय है।

मुख्य बिंदु

  • ग्राम–श्मिट पूर्ववर्ती सदिशों पर प्रक्षेप घटाता है; dim W + dim W⊥ = n।
  • हर्मिटी ⇒ वास्तविक आइगेन-मान, विषम-हर्मिटी ⇒ काल्पनिक, ऐकिक ⇒ मापांक 1; विषम कोटि का वास्तविक विषम-सममित आव्यूह अव्युत्क्रमणीय है।
  • ऐकिकतः विकर्णनीय ⇔ प्रसामान्य; ℝ पर लांबिकतः विकर्णनीय ⇔ सममित; केवल विकर्णनीय दुर्बल है।
  • λ हेतु जॉर्डन खंड: संख्या = ज्यामितीय बहुलता, कुल आकार = बीजीय बहुलता, सबसे बड़ा = न्यूनिष्ठ बहुपद में घातांक।
  • द्विघात रूप अपने सममित आव्यूह के आइगेन-मानों के चिह्नों से वर्गीकृत होता है; कोटि व चिह्नक निश्चर हैं (सिल्वेस्टर)।

अभ्यास प्रश्न (13)

उत्तर खोलने से पहले प्रत्येक प्रश्न हल करें। हर व्याख्या सही विकल्प के साथ लुभावना गलत विकल्प भी बताती है, क्योंकि अंक वहीं जाते हैं।

  1. आइगेन-मानों के विषय में कौन-सा कथन सही है?

    1. हर्मिटी आव्यूह के आइगेन-मान वास्तविक तथा ऐकिक आव्यूह के आइगेन-मान मापांक 1 के होते हैं
    2. ऐकिक आव्यूह के आइगेन-मान वास्तविक तथा हर्मिटी आव्यूह के मापांक 1 के होते हैं
    3. विषम-हर्मिटी आव्यूह के आइगेन-मान वास्तविक होते हैं
    4. वास्तविक लांबिक आव्यूह का प्रत्येक आइगेन-मान 1 या −1 होता है
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — हर्मिटी आव्यूह के आइगेन-मान वास्तविक तथा ऐकिक आव्यूह के आइगेन-मान मापांक 1 के होते हैं

    यदि H∗ = H सहित Hv = λv, तो λ‖v‖² = ⟨Hv, v⟩ = ⟨v, Hv⟩ = conj(λ)‖v‖², अतः λ वास्तविक; यदि U∗U = I, ‖v‖ = ‖Uv‖ = |λ|‖v‖, अतः |λ| = 1। विषम-हर्मिटी आइगेन-मान शुद्ध काल्पनिक हैं, और 90° का घूर्णन आइगेन-मान ±i वाला वास्तविक लांबिक आव्यूह है।

  2. मान लें Q एक वास्तविक n × n लांबिक आव्यूह है। कौन-से कथन सदा सत्य हैं?

    1. det Q = 1 या det Q = −1
    2. Q का प्रत्येक आइगेन-मान 1 या −1 है
    3. ℝⁿ के प्रत्येक x हेतु ‖Qx‖ = ‖x‖
    4. Q⁻¹ = Qᵀ
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — det Q = 1 या det Q = −1; C — ℝⁿ के प्रत्येक x हेतु ‖Qx‖ = ‖x‖; D — Q⁻¹ = Qᵀ

    (1) det(QᵀQ) = (det Q)² = 1। (3) ‖Qx‖² = xᵀQᵀQx = xᵀx। (4) वर्ग आव्यूह हेतु परिभाषा QᵀQ = I है। (2) असत्य: घूर्णन [[0, −1], [1, 0]] लांबिक है, आइगेन-मान ±i; वास्तविक आइगेन-मान, यदि हों, ±1 हैं, परंतु मापांक 1 के सम्मिश्र भी आते हैं।

  3. ℝ³ में (मानक आंतर गुणन) u₁ = (1, 1, 0) व u₂ = (1, 0, 1) पर, प्रसामान्यीकरण के बिना, ग्राम–श्मिट लगाने से v₁ = u₁ तथा v₂ मिलते हैं। ‖v₂‖² का मान ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 1.5

    v₂ = u₂ − (⟨u₂, v₁⟩/⟨v₁, v₁⟩)v₁ = (1, 0, 1) − (1/2)(1, 1, 0) = (1/2, −1/2, 1)। जाँच v₂·v₁ = 1/2 − 1/2 + 0 = 0। ‖v₂‖² = 1/4 + 1/4 + 1 = 1.5। ⟨v₁, v₁⟩ = 2 से भाग भूलने पर (0, −1, 1) व 2 आता है।

  4. ℝ⁴ में span{(1, 1, 1, 1), (1, −1, 0, 0)} के लांबिक पूरक की विमा ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 2

    दोनों सदिश स्वतंत्र हैं (वस्तुतः लांबिक), अतः W की विमा 2 तथा dim W⊥ = 4 − 2 = 2। ठोस रूप से W⊥ = {x : x₁ + x₂ + x₃ + x₄ = 0, x₁ = x₂}, जो (0, 0, 1, −1) व (1, 1, −1, −1) से जनित है।

  5. इनमें से कौन-से सम्मिश्र आव्यूह ऐकिकतः विकर्णनीय हैं?

    1. [[0, 1], [−1, 0]]
    2. [[1, 1], [0, 2]]
    3. [[1, i], [i, 1]]
    4. [[1, 1], [0, 1]]
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — [[0, 1], [−1, 0]]; C — [[1, i], [i, 1]]

    ऐकिकतः विकर्णनीय ⇔ प्रसामान्य। (1) वास्तविक लांबिक है, अतः प्रसामान्य। (3): A∗ = [[1, −i], [−i, 1]] तथा AA∗ = A∗A = 2I, अतः प्रसामान्य (यह I + iS है, S वास्तविक सममित)। (2) विकर्णनीय है (आइगेन-मान 1, 2) परंतु AA∗ = [[2, 2], [2, 4]] ≠ A∗A = [[1, 1], [1, 5]]। (4) विकर्णनीय भी नहीं।

  6. प्रत्येक वास्तविक 3 × 3 विषम-सममित आव्यूह A हेतु,

    1. det A = 0
    2. A के सभी आइगेन-मान वास्तविक हैं
    3. A व्युत्क्रमणीय है
    4. trace A ≠ 0
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — det A = 0

    det A = det Aᵀ = det(−A) = (−1)³ det A, अतः det A = 0। आइगेन-मान 0 व एक युग्म ±iθ हैं, जो A = 0 के अतिरिक्त वास्तविक नहीं। विषम-सममित आव्यूह का विकर्ण शून्य होता है, अतः अनुरेख 0 है।

  7. वह सम्मिश्र प्रसामान्य आव्यूह जिसके सभी आइगेन-मान वास्तविक हों, अवश्य होगा

    1. हर्मिटी
    2. ऐकिक
    3. विषम-हर्मिटी
    4. शून्यभावी
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — हर्मिटी

    स्पेक्ट्रमी प्रमेय से A = UDU∗, U ऐकिक तथा D आइगेन-मानों वाला विकर्ण। यदि D वास्तविक हो तो A∗ = UD∗U∗ = UDU∗ = A। यह ऐकिक होना आवश्यक नहीं (2I प्रसामान्य व वास्तविक आइगेन-मानों वाला है, ऐकिक नहीं), तथा प्रसामान्य शून्यभावी 0 होता है।

  8. मान लें A एक n × n सम्मिश्र आव्यूह है। कौन-से कथन सत्य हैं?

    1. A किसी उपरि त्रिभुजीय आव्यूह के ऐकिकतः समरूप है
    2. यदि A प्रसामान्य व शून्यभावी हो तो A = 0
    3. प्रत्येक विकर्णनीय आव्यूह प्रसामान्य है
    4. प्रसामान्य आव्यूह के भिन्न आइगेन-मानों के आइगेन-सदिश लांबिक होते हैं
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — A किसी उपरि त्रिभुजीय आव्यूह के ऐकिकतः समरूप है; B — यदि A प्रसामान्य व शून्यभावी हो तो A = 0; D — प्रसामान्य आव्यूह के भिन्न आइगेन-मानों के आइगेन-सदिश लांबिक होते हैं

    (1) शूर प्रमेय है। (2) प्रसामान्य A = UDU∗; शून्यभावी होने से प्रत्येक आइगेन-मान, अतः D, 0 होता है। (4) प्रसामान्य A हेतु Av = λv से A∗v = conj(λ)v, और तब λ⟨v, w⟩ = ⟨Av, w⟩ = ⟨v, A∗w⟩ = μ⟨v, w⟩। (3) असत्य: [[1, 1], [0, 2]] विकर्णनीय है, प्रसामान्य नहीं।

  9. एक 5 × 5 सम्मिश्र आव्यूह A का अभिलक्षणिक बहुपद (x − 3)⁵, न्यूनिष्ठ बहुपद (x − 3)² तथा dim ker(A − 3I) = 3 है। इसके जॉर्डन रूप में आकार 2 के जॉर्डन खंडों की संख्या ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 2

    3 खंड हैं (ज्यामितीय बहुलता), सबसे बड़ा आकार 2 (न्यूनिष्ठ बहुपद), और आकारों का योग 5। आकार {1, 2} में: a + b = 3 खंड तथा a + 2b = 5 से b = 2 खंड आकार 2 के और a = 1 आकार 1 का, अर्थात् {2, 2, 1}।

  10. खंडों के क्रम तक, अभिलक्षणिक बहुपद (x − 2)⁶ तथा न्यूनिष्ठ बहुपद (x − 2)³ वाले 6 × 6 सम्मिश्र आव्यूह के भिन्न जॉर्डन विहित रूपों की संख्या ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 3

    प्रत्येक रूप 6 का ऐसा विभाजन है जिसका सबसे बड़ा भाग ठीक 3 हो: {3, 3}, {3, 2, 1}, {3, 1, 1, 1}। यह 3 है। अधिकतम 3 वाले विभाजन गिनना (वे 7 हैं) भूलता है कि न्यूनिष्ठ बहुपद ठीक 3 आकार का एक खंड बाध्य करता है।

  11. वास्तविक द्विघात रूप Q(x, y) = x² + 4xy + y² हेतु कौन-से कथन सत्य हैं?

    1. Q अनिश्चित है
    2. Q की कोटि 2 तथा चिह्नक p − q बराबर 0 है
    3. Q(1, −1) < 0
    4. Q धनात्मक अर्ध-निश्चित है
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — Q अनिश्चित है; B — Q की कोटि 2 तथा चिह्नक p − q बराबर 0 है; C — Q(1, −1) < 0

    आव्यूह [[1, 2], [2, 1]] के आइगेन-मान 3 व −1 हैं: एक धनात्मक, एक ऋणात्मक, अतः p = q = 1, कोटि 2, चिह्नक 0, अनिश्चित; (4) विफल। सीधे Q(1, −1) = 1 − 4 + 1 = −2 < 0 जबकि Q(1, 1) = 6 > 0।

  12. वास्तविक द्विघात रूप Q(x, y, z) = (x + y + z)² + (x − y)² की कोटि ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 2

    Q = ℓ₁² + ℓ₂², जहाँ ℓ₁ = x + y + z तथा ℓ₂ = x − y रैखिकतः स्वतंत्र रैखिक रूप हैं, अतः इसका आव्यूह स्वतंत्र सदिशों वाले दो कोटि-एक आव्यूहों का योग है: कोटि 2, धनात्मक अर्ध-निश्चित, तथा रेखा x = y, z = −2x पर Q = 0।

  13. x² + y² = 1 के प्रतिबंध पर 5x² + 4xy + 2y² का न्यूनतम मान ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 1

    सममित आव्यूह [[5, 2], [2, 2]] है, अनुरेख 7 व सारणिक 6, अतः आइगेन-मान 6 व 1। इकाई वृत्त पर द्विघात रूप अपने न्यूनतम व अधिकतम आइगेन-मानों के बीच रहता है, अतः न्यूनतम 1 है, आइगेन-सदिश (1, −2)/√5 पर: (5 − 8 + 8)/5 = 1।