सदिश समष्टियाँ, रैखिक प्रतिचित्र, आइगेन-मान व न्यूनिष्ठ बहुपद

रैखिक बीजगणित GATE गणित पेपर का खंड 2 है और इसके अंकों के सबसे भरोसेमंद स्रोतों में से एक, क्योंकि लगभग हर प्रश्न कुछ ही निश्चरों पर आ जाता है: विमा, कोटि व शून्यता, अनुरेख व सारणिक, अभिलक्षणिक व न्यूनिष्ठ बहुपद। यह अध्याय खंड का पहला आधा भाग लेता है — ℝ या ℂ पर परिमित-विमीय सदिश समष्टियाँ, रैखिक रूपांतरण व उनके आव्यूह, कोटि–शून्यता प्रमेय, रैखिक समीकरण-निकाय, आइगेन-मान व आइगेन-सदिश, विकर्णीकरण, न्यूनिष्ठ बहुपद तथा कैली–हैमिल्टन प्रमेय। दूसरा अध्याय आंतर गुणन, आव्यूहों के विशेष वर्ग, ऐकिक विकर्णीकरण, जॉर्डन रूप व द्विघात रूप लेता है। पूरे अध्याय में विकसित करने योग्य आदत है गणना के बजाय निश्चर से उत्तर देना: वर्गसम (idempotent) आव्यूह की कोटि उसका अनुरेख है, आव्यूह ठीक तब विकर्णनीय है जब उसके न्यूनिष्ठ बहुपद का कोई मूल दोहराया न हो, और कैली–हैमिल्टन लगाने पर आव्यूह की ऊँची घात उसका एक रैखिक बहुपद बन जाती है।

1. उपसमष्टियाँ, आधार व विमा

सदिश समष्टि V का आधार एक रैखिकतः स्वतंत्र जनक समुच्चय है, और परिमित-विमीय V के प्रत्येक आधार में अवयवों की संख्या समान होती है, उसकी विमा। प्रत्येक स्वतंत्र समुच्चय किसी आधार तक विस्तारित होता है और प्रत्येक जनक समुच्चय में एक आधार होता है। V की उपसमष्टियों U, W हेतु: U ∩ W व U + W उपसमष्टियाँ हैं, dim(U + W) = dim U + dim W − dim(U ∩ W), और U ∪ W उपसमष्टि केवल तब है जब उनमें से एक दूसरी को समाविष्ट करे।

विमाएँ जो पेपर बार-बार पूछता है
समष्टिविमा
n × n वास्तविक आव्यूहn²
सममित n × n आव्यूहn(n + 1)/2
विषम-सममित n × n आव्यूहn(n − 1)/2
अनुरेख 0 वाले n × n आव्यूहn² − 1
n × n उपरि त्रिभुजीय आव्यूहn(n + 1)/2
घात ≤ n के वास्तविक बहुपदn + 1
ℝ पर सदिश समष्टि के रूप में ℂⁿ2n
n × n सम्मिश्र हर्मिटी आव्यूह, ℝ परn²
⚠️ क्षेत्र विमा बदल देता है
ℂ, ℂ पर एक-विमीय तथा ℝ पर आधार {1, i} सहित द्वि-विमीय है। हर्मिटी आव्यूह सम्मिश्र सदिश समष्टि हैं ही नहीं (iH विषम-हर्मिटी है), परंतु ℝ पर वे n² विमा की समष्टि बनाते हैं: n वास्तविक विकर्ण प्रविष्टियाँ तथा विकर्ण के ऊपर की n(n − 1)/2 प्रविष्टियों में से प्रत्येक हेतु 2 वास्तविक प्राचल। सदा पूछें कि प्रश्न किस क्षेत्र पर रखा गया है।

2. रैखिक रूपांतरण, आव्यूह व कोटि–शून्यता

परिमित-विमीय समष्टियों के बीच रैखिक T: V → W, आधार निश्चित होने पर, एक आव्यूह ही है, और V = W में आधार-परिवर्तन आव्यूह A को P⁻¹AP से बदल देता है, एक समरूप आव्यूह जिसकी कोटि, अनुरेख, सारणिक, अभिलक्षणिक व न्यूनिष्ठ बहुपद वही हैं। कोटि–शून्यता प्रमेय कहता है dim V = rank T + nullity T, जहाँ rank T = dim T(V) तथा nullity T = dim ker T। पंक्ति-कोटि स्तंभ-कोटि के बराबर है, और rank(AB) ≤ min(rank A, rank B)।

  • परिमित-विमीय V सहित T: V → V हेतु, सीधे कोटि–शून्यता से, एकैकी ⇔ आच्छादक ⇔ व्युत्क्रमणीय। अनंत-विमीय समष्टि पर यह विफल है: विस्थापन (x₁, x₂, …) ↦ (0, x₁, x₂, …) एकैकी है, आच्छादक नहीं।
  • घात ≤ n के बहुपदों पर अवकलन D का अष्टि (kernel) अचर हैं, अतः शून्यता 1 व कोटि n; D² की शून्यता 2 व कोटि n − 1। D शून्यभावी है: Dⁿ⁺¹ = 0।
  • यदि T² = 0 तो T(V) ⊆ ker T, अतः rank T ≤ nullity T तथा rank T ≤ (dim V)/2।

रैखिक निकाय। m × n आव्यूह A सहित Ax = b ठीक तब संगत है जब rank A = rank [A | b]; तब यदि यह उभयनिष्ठ कोटि n हो तो अद्वितीय हल है, अन्यथा n − rank A विमा का हल-परिवार, अर्थात् एक विशेष हल जमा A की शून्य-समष्टि।

3. आइगेन-मान, आइगेन-सदिश व विकर्णीकरण

λ, A का आइगेन-मान है जब A − λI अव्युत्क्रमणीय हो, अर्थात् अभिलक्षणिक बहुपद pA(x) = det(xI − A) का मूल। आइगेन-मानों का योग (बीजीय बहुलता सहित) अनुरेख है और उनका गुणनफल सारणिक। λ की बीजीय बहुलता pA के मूल के रूप में उसकी बहुलता है; उसकी ज्यामितीय बहुलता dim ker(A − λI) है, तथा 1 ≤ ज्यामितीय ≤ बीजीय।

  • A विकर्णनीय है (A = PDP⁻¹) ⇔ उसके n स्वतंत्र आइगेन-सदिश हैं ⇔ प्रत्येक आइगेन-मान हेतु ज्यामितीय = बीजीय बहुलता। n भिन्न आइगेन-मान पर्याप्त हैं, आवश्यक नहीं (I एक आइगेन-मान सहित विकर्ण है)।
  • यदि Av = λv तो किसी भी बहुपद p हेतु p(A)v = p(λ)v, तथा A व्युत्क्रमणीय हो तो A⁻¹v = λ⁻¹v; अतः A² + I के आइगेन-मान λ² + 1 हैं।
  • कोटि-एक आव्यूह uvᵀ के आइगेन-मान vᵀu व 0 हैं (बहुलता n − 1 सहित); सभी-एक वाले n × n आव्यूह J के आइगेन-मान n व 0। अतः aI + bJ के आइगेन-मान a + nb तथा a (n − 1 बार) हैं।
⚠️ अपरूपण [[1, 1], [0, 1]]
इसका एकमात्र आइगेन-मान 1 है, बीजीय बहुलता 2 सहित, परंतु A − I = [[0, 1], [0, 0]] की कोटि 1 है, अतः ज्यामितीय बहुलता 1: एक स्वतंत्र आइगेन-सदिश, (1, 0), और A न ℝ पर न ℂ पर विकर्णनीय है, यद्यपि व्युत्क्रमणीय है। व्युत्क्रमणीयता व विकर्णनीयता स्वतंत्र गुण हैं; [[0, 0], [0, 1]] विकर्ण है और अव्युत्क्रमणीय।

4. न्यूनिष्ठ बहुपद व कैली–हैमिल्टन प्रमेय

कैली–हैमिल्टन: प्रत्येक वर्ग आव्यूह अपने अभिलक्षणिक बहुपद को संतुष्ट करता है, pA(A) = 0। न्यूनिष्ठ बहुपद mA न्यूनतम घात का वह एकपदी-अग्र (monic) बहुपद है जिसके लिए mA(A) = 0; यह A को शून्य करने वाले प्रत्येक बहुपद को, विशेषतः pA को, विभाजित करता है, और इसके मूल ठीक pA के ही हैं (प्रत्येक आइगेन-मान आता है, संभवतः कम बहुलता सहित)।

न्यूनिष्ठ बहुपद क्या बताता है
तथ्यपरिणाम
mA के मूल भिन्न हैं (भिन्न रैखिक गुणनखंडों में टूटता है)A विकर्णनीय है, और विलोमतः भी
A² = A (वर्गसम)mA, x(x − 1) को विभाजित करता है: आइगेन-मान 0, 1 सहित विकर्णनीय, तथा rank A = trace A
A³ = AmA, x(x − 1)(x + 1) को विभाजित करता है: विकर्णनीय, आइगेन-मान {0, 1, −1} में
किसी k हेतु Ak = 0 (शून्यभावी)प्रत्येक आइगेन-मान 0 है तथा Aⁿ = 0; अशून्य शून्यभावी कभी विकर्णनीय नहीं
mA में (x − λ) की अधिकतम घातλ हेतु सबसे बड़े जॉर्डन खंड का आकार
🧠 कैली–हैमिल्टन से घातें व व्युत्क्रम
2 × 2 आव्यूह हेतु pA(x) = x² − (tr A)x + det A। A = [[1, 2], [3, 4]] सहित tr A = 5 तथा det A = −2, अतः A² = 5A + 2I। तब A³ = 5A² + 2A = 27A + 10I तथा A⁴ = 27A² + 10A = 145A + 54I, बिना किसी आव्यूह-गुणन के। A² − 5A − 2I = 0 को A से भाग देने पर A⁻¹ = (A − 5I)/2 मिलता है।

मुख्य बिंदु

  • dim(U + W) = dim U + dim W − dim(U ∩ W); दो उपसमष्टियों का सम्मिलन उपसमष्टि केवल तब है जब एक दूसरी को समाविष्ट करे।
  • rank T + nullity T = dim V; परिमित-विमीय समष्टि पर एकैकी, आच्छादक व व्युत्क्रमणीय एक ही हैं।
  • Ax = b संगत है यदि और केवल यदि rank A = rank [A | b], और हल-समुच्चय की विमा n − rank A है।
  • अनुरेख = आइगेन-मानों का योग व सारणिक = गुणनफल; विकर्णनीय यदि और केवल यदि प्रत्येक आइगेन-मान हेतु ज्यामितीय बहुलता बीजीय के बराबर हो।
  • न्यूनिष्ठ बहुपद अभिलक्षणिक बहुपद को विभाजित करता है, उसके मूल साझा करता है, और ठीक तब भिन्न मूल रखता है जब A विकर्णनीय हो।

अभ्यास प्रश्न (13)

उत्तर खोलने से पहले प्रत्येक प्रश्न हल करें। हर व्याख्या सही विकल्प के साथ लुभावना गलत विकल्प भी बताती है, क्योंकि अंक वहीं जाते हैं।

  1. सभी 4 × 4 वास्तविक विषम-सममित आव्यूहों की वास्तविक सदिश समष्टि की विमा ____ है।

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    उत्तर: 6

    विषम-सममित आव्यूह का विकर्ण शून्य होता है और वह विकर्ण के ऊपर की प्रविष्टियों से निर्धारित होता है, जो n(n − 1)/2 = 4 × 3/2 = 6 हैं। सममित आव्यूह n(n + 1)/2 = 10 देते, और 6 + 10 = 16 = n², जैसा होना चाहिए।

  2. मान लें V अधिकतम घात 4 के वास्तविक बहुपदों की समष्टि है तथा T: V → V प्रतिचित्र T(p) = p″ (द्वितीय अवकलज) है। T की कोटि ____ है।

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    उत्तर: 3

    dim V = 5 (आधार 1, x, x², x³, x⁴)। ker T घात ≤ 1 के बहुपद हैं, विमा 2, अतः कोटि–शून्यता से rank T = 5 − 2 = 3; वास्तव में प्रतिबिंब 2, 6x, 12x² से जनित है। 4 उत्तर T को एकल अवकलज मान लेता है।

  3. U व W, ℝ⁷ की उपसमष्टियाँ हैं जहाँ dim U = 4 तथा dim W = 5। dim(U ∩ W) का न्यूनतम संभव मान ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

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    उत्तर: 2

    dim(U ∩ W) = dim U + dim W − dim(U + W) ≥ 4 + 5 − 7 = 2, क्योंकि U + W, ℝ⁷ के भीतर है। सीमा U = span(e₁, …, e₄), W = span(e₃, …, e₇) से प्राप्त होती है, जिनका प्रतिच्छेद span(e₃, e₄) है।

  4. मान लें V परिमित-विमीय सदिश समष्टि है तथा T: V → V रैखिक है। कौन-से कथन सदा सत्य हैं?

    1. T एकैकी है यदि और केवल यदि T आच्छादक है
    2. यदि T² = 0 तो rank T ≤ (dim V)/2
    3. rank T² = rank T
    4. rank T + nullity T = dim V (कोटि + शून्यता = विमा)
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    उत्तर: A — T एकैकी है यदि और केवल यदि T आच्छादक है; B — यदि T² = 0 तो rank T ≤ (dim V)/2; D — rank T + nullity T = dim V (कोटि + शून्यता = विमा)

    (1) व (4) कोटि–शून्यता हैं: शून्यता 0 ⇔ कोटि = dim V। (2) T² = 0 से T(V) ⊆ ker T, अतः कोटि ≤ शून्यता = dim V − कोटि। (3) असत्य है: T = [[0, 1], [0, 0]] की कोटि 1 है और T² = 0 की कोटि 0।

  5. वास्तविक अज्ञातों में निकाय x + y + z = 1, x + 2y + 3z = 2, x + 3y + 5z = k

    1. केवल k = 3 हेतु संगत है, और तब अनंत हल हैं
    2. प्रत्येक k हेतु संगत है और अद्वितीय हल है
    3. केवल k = 3 हेतु संगत है, और तब अद्वितीय हल है
    4. प्रत्येक k हेतु असंगत है
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    उत्तर: A — केवल k = 3 हेतु संगत है, और तब अनंत हल हैं

    R₂ − R₁ = (0, 1, 2 | 1) तथा R₃ − R₂ = (0, 1, 2 | k − 2)। ये केवल k − 2 = 1, अर्थात् k = 3 पर मेल खाते हैं; अन्यथा rank A = 2 < rank [A | b] = 3। k = 3 हेतु rank A = 2 < 3 अज्ञात, अतः हल एक-प्राचल परिवार बनाते हैं। A का सारणिक 0 है, जो प्रत्येक k हेतु अद्वितीयता नकारता है।

  6. A = [[2, 1, 1], [1, 2, 1], [1, 1, 2]] हेतु A⁻¹ के आइगेन-मानों का योग ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

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    उत्तर: 2.25

    A = I + J, जहाँ J सभी-एक आव्यूह है जिसके आइगेन-मान 3, 0, 0 हैं; अतः A के आइगेन-मान 4, 1, 1 (जाँच: अनुरेख 6, सारणिक 4)। A⁻¹ के आइगेन-मान 1/4, 1, 1 हैं, योग 2.25। अनुरेख का व्युत्क्रम, 1/6, लुभावना गलत उत्तर है।

  7. A = [[1, 1], [0, 1]] हेतु कौन-से कथन सत्य हैं?

    1. A, ℂ पर विकर्णनीय नहीं है
    2. A का न्यूनिष्ठ बहुपद (x − 1)² है
    3. आइगेन-मान 1 की ज्यामितीय बहुलता 2 है
    4. A व्युत्क्रमणीय है
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — A, ℂ पर विकर्णनीय नहीं है; B — A का न्यूनिष्ठ बहुपद (x − 1)² है; D — A व्युत्क्रमणीय है

    A − I = [[0, 1], [0, 0]] ≠ 0 परंतु (A − I)² = 0, अतः mA = (x − 1)², जिसका मूल दोहराया है: (1) व (2) सत्य। ker(A − I) = span{(1, 0)} की विमा 1 है, अतः (3) असत्य। det A = 1 ≠ 0, अतः (4) सत्य।

  8. एक वास्तविक 3 × 3 आव्यूह A के आइगेन-मान 1, 2 व 3 हैं। A² + I के आइगेन-मान हैं

    1. 2, 5, 10
    2. 2, 3, 4
    3. 1, 4, 9
    4. 3, 6, 11
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — 2, 5, 10

    यदि Av = λv तो (A² + I)v = (λ² + 1)v, अतः आइगेन-मान 1 + 1, 4 + 1, 9 + 1 = 2, 5, 10 हैं। A के तीन भिन्न आइगेन-मान होने से ये सभी हैं। λ² के बजाय λ में 1 जोड़ने पर 2, 3, 4 आता है।

  9. मान लें A = [[1, 2], [3, 4]]। कैली–हैमिल्टन प्रमेय से वास्तविक संख्याओं α, β हेतु A⁴ = αA + βI। α का मान ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

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    उत्तर: 145

    tr A = 5, det A = −2, अतः A² = 5A + 2I। तब A³ = 5A² + 2A = 5(5A + 2I) + 2A = 27A + 10I तथा A⁴ = 27A² + 10A = 27(5A + 2I) + 10A = 145A + 54I। (1, 1) प्रविष्टि की जाँच: A⁴ में 199 = 145 + 54।

  10. मान लें A एक n × n सम्मिश्र आव्यूह है। कौन-से कथन सत्य हैं?

    1. A विकर्णनीय है यदि और केवल यदि उसके न्यूनिष्ठ बहुपद का कोई मूल दोहराया न हो
    2. A के न्यूनिष्ठ व अभिलक्षणिक बहुपदों के मूल समान हैं
    3. यदि A³ = A तो A विकर्णनीय है
    4. यदि A² = 0 तथा A ≠ 0 तो A विकर्णनीय है
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — A विकर्णनीय है यदि और केवल यदि उसके न्यूनिष्ठ बहुपद का कोई मूल दोहराया न हो; B — A के न्यूनिष्ठ व अभिलक्षणिक बहुपदों के मूल समान हैं; C — यदि A³ = A तो A विकर्णनीय है

    (1) ℂ पर मानक कसौटी है। (2) mA, pA को विभाजित करता है, तथा प्रत्येक आइगेन-मान λ, mA का मूल है क्योंकि आइगेन-सदिश v हेतु mA(A)v = mA(λ)v = 0। (3) mA, x³ − x = x(x − 1)(x + 1) को विभाजित करता है, जिसके मूल भिन्न हैं। (4) mA = x², दोहराया मूल; उदा. [[0, 1], [0, 0]]।

  11. मान लें u = (1, 2, 3)ᵀ, v = (1, 1, 1)ᵀ तथा A = uvᵀ। A³ का अनुरेख ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

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    उत्तर: 216

    A = uvᵀ की कोटि 1 है तथा A² = u(vᵀu)vᵀ = (vᵀu)A, जहाँ vᵀu = 6। अतः A³ = 36A, तथा trace A³ = 36 × trace A = 36 × 6 = 216; समतुल्यतः A³ के आइगेन-मान 6³, 0, 0 हैं।

  12. एक 5 × 5 वास्तविक आव्यूह P, P² = P तथा trace P = 3 संतुष्ट करता है। P की कोटि है

    1. 3
    2. 2
    3. 5
    4. आँकड़ों से निर्धारित नहीं
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — 3

    mP, x(x − 1) को विभाजित करता है, अतः P आइगेन-मान 0 व 1 सहित विकर्णनीय है। इसकी कोटि 1 के बराबर आइगेन-मानों की संख्या है, जो अनुरेख है: 3। वर्गसम आव्यूह अपने अष्टि के अनुदिश अपने प्रतिबिंब पर प्रक्षेप है।

  13. [[2, 1, 0], [0, 2, 0], [0, 0, 3]] के रैखिकतः स्वतंत्र आइगेन-सदिशों की संख्या ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

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    उत्तर: 2

    आइगेन-मान 2 की बीजीय बहुलता 2 है, परंतु A − 2I = [[0, 1, 0], [0, 0, 0], [0, 0, 1]] की कोटि 2 है, अतः उसका अष्टि एक-विमीय है। आइगेन-मान 3 एक और देता है। कुल 2, अतः आव्यूह विकर्णनीय नहीं।