Which statements about the point z = 0 are true?

e^{1/z} has an essential singularity at 0

z/(eᶻ − 1) has a removable singularity at 0

e^{1/z} has an essential singularity at 0

(1 − cos z)/z² has a pole at 0

1/sin(1/z) has an isolated singularity at 0

z/(eᶻ − 1) has a removable singularity at 0

Let f be analytic on the open unit disc 𝔻 with f(𝔻) ⊆ 𝔻 and f(0) = 0. Which statements must hold?

if f(1/2) = 1/2 then f(z) = z for all z in 𝔻

Which statements are true?

f(z) = z² is conformal at every z ≠ 0

every Möbius transformation maps circles and lines onto circles and lines

T(z) = (z − i)/(z + i) maps the upper half-plane onto the open unit disc

f(z) = z² is conformal at every z ≠ 0

f(z) = z² is conformal at z = 0

every Möbius transformation maps circles and lines onto circles and lines

T(z) = (z − i)/(z + i) maps the upper half-plane onto the open unit disc

विचित्रताएँ, अवशेष, रूशे, कोणांक सिद्धांत व अनुकोण प्रतिचित्रण

खंड 4 का दूसरा आधा उन बिंदुओं के विषय में है जहाँ फलन वैश्लेषिक नहीं रहता, तथा प्रतिचित्रों के रूप में वैश्लेषिक फलनों के विषय में। वियुक्त विचित्रताएँ तीन प्रकार की हैं — अपनेय, ध्रुव व अनिवार्य — और लॉरां श्रेणी उन्हें अलग करती है। अवशेष प्रमेय परिपथ-समाकल को परिमित योग में बदल देता है और, सही परिपथ सहित, ऐसे वास्तविक समाकल निकालता है जिन्हें कलन छू नहीं सकता। कोणांक सिद्धांत शून्यक घटा ध्रुव गिनता है, और रूशे प्रमेय उस गणना को वृत्त पर दो फलनों की तुलना में बदल देता है, जिस रूप में GATE पूछता है “इस वलय में कितने मूल हैं”। श्वार्ट्ज़ प्रमेयिका चकती के स्व-प्रतिचित्रों हेतु तीक्ष्ण सीमा है। अंत में, अशून्य अवकलज वाले वैश्लेषिक फलन अनुकोण हैं, और मोबियस रूपांतरण रीमान गोले के अनुकोण स्व-प्रतिचित्र हैं, जो तीन बिंदुओं के प्रतिबिंबों से निर्धारित होते हैं।

1. वियुक्त विचित्रताएँ

यदि f, 0 < |z − a| < r पर वैश्लेषिक हो, तो लॉरां श्रेणी Σcₙ(z − a)ⁿ, a को वर्गीकृत करती है: अपनेय यदि कोई ऋणात्मक घात न आए (समतुल्यतः a के निकट f परिबद्ध है — रीमान प्रमेय); कोटि m का ध्रुव यदि सबसे ऋणात्मक घात (z − a)^−m हो (समतुल्यतः |f| → ∞); अनिवार्य यदि अनंत ऋणात्मक घातें आएँ। यदि g का a पर कोटि m का शून्यक हो, तो 1/g का वहाँ कोटि m का ध्रुव है।

तीनों प्रकार, मानक उदाहरणों सहित
प्रकार	0 पर उदाहरण	बिंदु के निकट व्यवहार
अपनेय	sin z/z, (1 − cos z)/z², z/(eᶻ − 1)	परिबद्ध; वैश्लेषिकतः विस्तारित
कोटि m का ध्रुव	1/zᵐ; z/(1 − cos z) साधारण ध्रुव है	\|f\| → ∞
अनिवार्य	e^1/z, sin(1/z), z² sin(1/z)	कैसोराती–वायरस्ट्रास: a के निकट मान ℂ में सघन हैं; पिकार: अधिकतम एक को छोड़ प्रत्येक मान अनंत बार लिया जाता है

⚠️ प्रत्येक विचित्रता वियुक्त नहीं होती

1/sin(1/z) के ध्रुव प्रत्येक अशून्य पूर्णांक k हेतु z = 1/(kπ) पर हैं, और वे 0 पर संचित होते हैं, अतः 0 अ-वियुक्त विचित्रता है: वह न अपनेय है, न ध्रुव, न अनिवार्य, और उसका कोई अवशेष नहीं। log z का 0 पर शाखा बिंदु है, जो किसी एकमानी शाखा की भी वियुक्त विचित्रता नहीं।

2. अवशेष व अवशेष प्रमेय

अवशेष Res(f, a) लॉरां गुणांक c₋₁ है। अवशेष प्रमेय: यदि f धनात्मक अभिविन्यस्त सरल बंद वक्र γ पर व उसके भीतर, γ के भीतर परिमित वियुक्त विचित्रताओं a₁, …, aₖ के अतिरिक्त, वैश्लेषिक हो, तो ∮_γ f dz = 2πi Σ Res(f, aⱼ)।

अवशेष की गणना
स्थिति	सूत्र	उदाहरण
साधारण ध्रुव	lim_z→a (z − a)f(z); h(a) = 0 ≠ h′(a) सहित f = g/h हेतु g(a)/h′(a)	Res(cot z, 0) = cos 0/cos 0, अर्थात् 1
कोटि m का ध्रुव	(1/(m − 1)!) lim d^m−1/dz^m−1 [(z − a)ᵐf(z)]	Res(eᶻ/z³, 0) = 1/2
अनिवार्य विचित्रता	लॉरां श्रेणी से c₋₁ पढ़ें	z² sin(1/z) = z − 1/(6z) + …: अवशेष −1/6
नीचे द्विक शून्यक वाला भागफल	प्रसार करें: 1 − cos z = z²/2 − z⁴/24 + …	z/(1 − cos z) = 2/z + z/6 + …: अवशेष 2

उदाहरण। ∮_|z|=3 (z² + 1)/(z(z − 2)) dz: दोनों ध्रुव भीतर हैं, 0 पर अवशेष 1/(−2) = −1/2 तथा 2 पर 5/2, अतः समाकल 2πi · 2 = 4πi है। ∞ पर अवशेष 1/z में प्रसार का −c₋₁ है, और परिमेय फलन के सभी अवशेषों का योग, ∞ सहित, 0 है।

3. अवशेषों द्वारा वास्तविक समाकल

त्रिकोणमितीय। ∫₀^2π R(cos θ, sin θ) dθ: z = e^iθ, cos θ = (z + 1/z)/2, dθ = dz/(iz) रखें, और |z| = 1 के भीतर अवशेष जोड़ें। याद रखने योग्य परिणाम: a > |b| हेतु ∫₀^2π dθ/(a + b cos θ) = 2π/√(a² − b²); a = 5, b = 4 सहित यह 2π/3 है।
ℝ पर परिमेय। यदि deg Q ≥ deg P + 2 तथा Q के कोई वास्तविक शून्यक न हों, ∫_−∞^∞ P/Q dx = 2πi Σ उपरि अर्धतल के अवशेष (बड़े अर्धवृत्त से बंद करें, जिसका योगदान → 0)। ∫ dx/((x² + 1)(x² + 4)) = 2πi[1/(2i · 3) + 1/(−3 · 4i)] = π/6; ∫ dx/(x⁴ + 1) = π/√2।
फ़ूरिये प्रकार (जॉर्डन प्रमेयिका)। ∫_−∞^∞ cos x/(x² + 1) dx = Re ∫ e^ix/(x² + 1) dx = Re[2πi · e⁻¹/(2i)] = π/e। cos z नहीं, e^ix लें, क्योंकि उपरि अर्धतल में cos z, e^|y| की भाँति बढ़ता है।
खाँचेदार परिपथ। वास्तविक अक्ष पर साधारण ध्रुव अपने अवशेष का πi गुना योगदान देता है (आधा वृत्त): इससे ∫₀^∞ sin x/x dx = π/2 मिलता है।

4. कोणांक सिद्धांत, रूशे प्रमेय व श्वार्ट्ज़ प्रमेयिका

कोणांक सिद्धांत। यदि f सरल बंद वक्र γ पर व भीतर मेरोमॉर्फ़िक हो और γ पर कोई शून्यक या ध्रुव न हो, तो (1/2πi)∮_γ f′/f dz = Z − P, भीतर शून्यकों की संख्या घटा ध्रुवों की संख्या, बहुलता सहित। f = (z² − 1)/(z³(z − 3)) तथा |z| = 2 हेतु यह 2 − 3 = −1 है: 3 पर ध्रुव बाहर है।

रूशे प्रमेय। यदि f व g, γ पर व भीतर वैश्लेषिक हों और γ पर |f(z) − g(z)| < |f(z)|, तो γ के भीतर f व g के शून्यकों की संख्या समान है। व्यवहार में: प्रत्येक वृत्त पर p = (प्रभावी पद) + (शेष) में तोड़ें। z⁴ − 6z + 3 हेतु: |z| = 2 पर |z⁴| = 16 > |−6z + 3| ≤ 15, अतः |z| < 2 में 4 शून्यक; |z| = 1 पर |−6z| = 6 > |z⁴ + 3| ≤ 4, अतः |z| < 1 में 1 शून्यक; अतः 1 < |z| < 2 में 3 शून्यक (|z| = 1 पर कोई नहीं, क्योंकि वहाँ असमिका निश्चित है)।

🎯 श्वार्ट्ज़ प्रमेयिका व चकती के स्वाकारिता

यदि f: 𝔻 → 𝔻 वैश्लेषिक हो और f(0) = 0, तो g = f(z)/z की 0 पर अपनेय विचित्रता है और प्रत्येक r < 1 हेतु |z| = r पर |g| ≤ 1/r, अतः अधिकतम मापांक सिद्धांत से |g| ≤ 1: अर्थात् |f(z)| ≤ |z| तथा |f′(0)| ≤ 1, और कहीं भी समता (किसी z ≠ 0 हेतु, या f′(0) पर) केवल घूर्णन f = e^iθz हेतु। चकती के वैश्लेषिक एकैकी आच्छादन ठीक e^iθ(z − a)/(1 − āz) हैं, |a| < 1।

5. अनुकोण प्रतिचित्रण व मोबियस रूपांतरण

f′(z₀) ≠ 0 वाला वैश्लेषिक f, z₀ पर अनुकोण है: यह वक्रों के बीच कोणों को, परिमाण व अभिविन्यास में, सुरक्षित रखता है, क्योंकि z₀ के निकट यह f′(z₀) से गुणन की भाँति, एक घूर्णन व मापन, कार्य करता है। क्रांतिक बिंदु पर नहीं: z², 0 पर कोणों को दुगुना करता है। मानक प्रतिचित्र: z ↦ z² प्रथम चतुर्थांश को उपरि अर्धतल पर ले जाता है; eᶻ पट्टी 0 < Im z < π को उपरि अर्धतल पर; केली प्रतिचित्र (z − i)/(z + i) उपरि अर्धतल को इकाई चकती पर।

मोबियस रूपांतरण T(z) = (az + b)/(cz + d), ad − bc ≠ 0, विस्तारित तल ℂ ∪ {∞} का एकैकी आच्छादन है, स्थानांतरणों, घूर्णन–विस्फारणों व व्युत्क्रम 1/z का संयोजन। यह वृत्तों व रेखाओं को वृत्तों व रेखाओं पर भेजता है।
तीन भिन्न बिंदुओं को तीन भिन्न बिंदुओं पर भेजने वाला ठीक एक मोबियस प्रतिचित्र है; यह तिर्यक-अनुपात (cross-ratio) सुरक्षित रखता है। तत्समक के अतिरिक्त मोबियस प्रतिचित्र के अधिकतम दो नियत बिंदु होते हैं।
उदाहरण। 0 ↦ 0, 1 ↦ ∞, ∞ ↦ 1 वाला प्रतिचित्र T(z) = z/(z − 1) है: अंश का शून्यक 0 देता है, हर का शून्यक ∞, और अग्र गुणांकों का अनुपात T(∞) = 1। तब T(−1) = 1/2।

मुख्य बिंदु

विचित्रता को उसकी लॉरां श्रेणी से वर्गीकृत करें: कोई ऋणात्मक घात नहीं तो अपनेय, परिमित तो ध्रुव, अनंत तो अनिवार्य।
साधारण ध्रुव पर अवशेष g(a)/h′(a) है; कोटि m के ध्रुव पर (m − 1)-वाँ अवकलज; अनिवार्य विचित्रता पर c₋₁ पढ़ें।
वास्तविक समाकल: त्रिकोणमितीय समाकल्यों हेतु z = e^iθ, परिमेय हेतु उपरि अर्धतल, फ़ूरिये प्रकारों हेतु जॉर्डन प्रमेयिका सहित e^ix।
रूशे प्रत्येक वृत्त पर प्रभावी पद की शेष से तुलना करता है; वलय की गणना दोनों चकती-गणनाओं का अंतर है।
मोबियस प्रतिचित्र वृत्तों व रेखाओं को वृत्तों व रेखाओं पर भेजते हैं और तीन बिंदुओं से निर्धारित होते हैं; श्वार्ट्ज़ प्रमेयिका 0 को नियत रखने वाले चकती के स्व-प्रतिचित्रों को सीमित करती है।

अभ्यास प्रश्न (13)

उत्तर खोलने से पहले प्रत्येक प्रश्न हल करें। हर व्याख्या सही विकल्प के साथ लुभावना गलत विकल्प भी बताती है, क्योंकि अंक वहीं जाते हैं।

z = 0 पर sin z/z की विचित्रता है
1. अपनेय
2. साधारण ध्रुव
3. कोटि 2 का ध्रुव
4. अनिवार्य
उत्तर देखें
उत्तर: A — अपनेय
sin z/z = 1 − z²/6 + z⁴/120 − … में कोई ऋणात्मक घात नहीं, अतः 0 पर मान 1 परिभाषित करने से यह पूर्ण बनता है। फलन 0 के निकट परिबद्ध है, जो रीमान प्रमेय से स्वयं अपनेयता बाध्य करता है।
बिंदु z = 0 के विषय में कौन-से कथन सत्य हैं?
1. e^1/z की 0 पर अनिवार्य विचित्रता है
2. (1 − cos z)/z² का 0 पर ध्रुव है
3. 1/sin(1/z) की 0 पर वियुक्त विचित्रता है
4. z/(eᶻ − 1) की 0 पर अपनेय विचित्रता है
उत्तर देखें
उत्तर: A — e^{1/z} की 0 पर अनिवार्य विचित्रता है; D — z/(eᶻ − 1) की 0 पर अपनेय विचित्रता है
(1) e^1/z = Σ z⁻ⁿ/n! में अनंत ऋणात्मक घातें हैं। (2) (1 − cos z)/z² = 1/2 − z²/24 + …: अपनेय। (3) ध्रुव 1/(kπ), 0 पर संचित होते हैं, अतः 0 वियुक्त नहीं। (4) z/(eᶻ − 1) = 1/(1 + z/2 + …) → 1: अपनेय।
z = 0 पर f(z) = z/(1 − cos z) का अवशेष ____ है।
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
उत्तर देखें
उत्तर: 2
1 − cos z = (z²/2)(1 − z²/12 + …), अतः f = (2/z)(1 + z²/12 + …) = 2/z + z/6 + …: अवशेष 2 सहित साधारण ध्रुव। हर के शून्यक को साधारण मानकर g/h′ लगाने से h′(0) = sin 0 = 0 से भाग होता।
z = 0 पर z² sin(1/z) का अवशेष, दो दशमलव स्थानों तक, ____ है।
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
उत्तर देखें
उत्तर: -0.17
sin(1/z) = 1/z − 1/(6z³) + 1/(120z⁵) − …, अतः z² sin(1/z) = z − 1/(6z) + 1/(120z³) − …। विचित्रता अनिवार्य है और 1/z का गुणांक −1/6 = −0.1667, अर्थात् −0.17। अनिवार्य विचित्रता पर कोई सीमा सूत्र नहीं; श्रेणी ही विधि है। टाइप करने पर उत्तर -0.17 है।
यदि ∮_|z|=3 (z² + 1)/(z(z − 2)) dz = kπi, वृत्त धनात्मक अभिविन्यस्त, तो k = ____।
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
उत्तर देखें
उत्तर: 4
दोनों साधारण ध्रुव, 0 व 2, |z| = 3 के भीतर हैं। 0 पर अवशेष = (0 + 1)/(0 − 2) = −1/2; 2 पर = (4 + 1)/2 = 5/2। समाकल 2πi(−1/2 + 5/2) = 4πi, अतः k = 4। |z| = 1 पर केवल 0 का ध्रुव गिना जाता, −πi देता।
∫₀^2π dθ/(5 + 4 cos θ) का मान, दो दशमलव स्थानों तक, ____ है।
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
उत्तर देखें
उत्तर: 2.09
z = e^iθ सहित: ∮_|z|=1 dz/(iz(5 + 2(z + 1/z))) = ∮ dz/(i(2z² + 5z + 2)) = ∮ dz/(i(2z + 1)(z + 2))। केवल z = −1/2 भीतर है, अवशेष 1/(i · 2 · (3/2)) = 1/(3i)। समाकल 2πi/(3i) = 2π/3 = 2.094, अर्थात् 2.09, जो 2π/√(a² − b²) = 2π/3 से मेल खाता है।
∫_−∞^∞ dx/((x² + 1)(x² + 4)) का मान, दो दशमलव स्थानों तक, ____ है।
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
उत्तर देखें
उत्तर: 0.52
उपरि अर्धतल में बंद करें; वहाँ ध्रुव i व 2i हैं। i पर अवशेष = 1/(2i · 3) = 1/(6i); 2i पर = 1/((−3)(4i)) = −1/(12i)। योग 1/(12i), और समाकल 2πi/(12i) = π/6 = 0.5236, अर्थात् 0.52।
∫_−∞^∞ cos x/(x² + 1) dx का मान है
1. π/e
2. πe
3. π
4. π/(2e)
उत्तर देखें
उत्तर: A — π/e
उपरि अर्धतल पर e^iz/(z² + 1) का समाकलन करें; जॉर्डन प्रमेयिका चाप को नष्ट करती है। भीतर एकमात्र ध्रुव i है, अवशेष e⁻¹/(2i), अतः ∫ e^ix/(x² + 1) dx = 2πi · e⁻¹/(2i) = π/e, जो वास्तविक है, और कोज्या समाकल इसका वास्तविक भाग है। सीधे cos z लेना विफल है क्योंकि चाप पर |cos z| बढ़ता है।
वलय 1 < |z| < 2 में p(z) = z⁴ − 6z + 3 के शून्यकों की संख्या, बहुलता सहित, ____ है।
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
उत्तर देखें
उत्तर: 3
|z| = 2 पर: |z⁴| = 16 तथा |−6z + 3| ≤ 15 < 16, अतः |z| < 2 में p के 4 शून्यक (z⁴ सहित रूशे)। |z| = 1 पर: |−6z| = 6 तथा |z⁴ + 3| ≤ 4 < 6, अतः |z| < 1 में p का 1 शून्यक (−6z सहित रूशे), और |z| = 1 पर कोई नहीं। अतः 4 − 1 = 3।
f(z) = (z² − 1)/(z³(z − 3)) हेतु (1/2πi)∮_|z|=2 f′(z)/f(z) dz का मान, वृत्त धनात्मक अभिविन्यस्त, ____ है।
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
उत्तर देखें
उत्तर: -1
कोणांक सिद्धांत से समाकल |z| = 2 के भीतर Z − P गिनता है। शून्यक: ±1, दो साधारण। ध्रुव: z = 0 कोटि 3 का; z = 3 बाहर है। अतः Z − P = 2 − 3 = −1। 3 के ध्रुव को गिनने पर −2 आता। टाइप करने पर उत्तर -1 है।
मान लें f खुली इकाई चकती 𝔻 पर वैश्लेषिक है, f(𝔻) ⊆ 𝔻 तथा f(0) = 0। कौन-से कथन अवश्य लागू होंगे?
1. |f(1/2)| ≤ 1/2
2. |f′(0)| ≤ 1
3. यदि f(1/2) = 1/2 तो 𝔻 के सभी z हेतु f(z) = z
4. f′(0), 2 के बराबर हो सकता है
उत्तर देखें
उत्तर: A — |f(1/2)| ≤ 1/2; B — |f′(0)| ≤ 1; C — यदि f(1/2) = 1/2 तो 𝔻 के सभी z हेतु f(z) = z
श्वार्ट्ज़ प्रमेयिका |f(z)| ≤ |z| तथा |f′(0)| ≤ 1 देती है, अतः (1), (2) लागू और (4) विफल। यदि किसी z₀ ≠ 0 हेतु |f(z₀)| = |z₀|, तो f घूर्णन e^iθz है; f(1/2) = 1/2 से e^iθ = 1, अतः (3) लागू।
T वह मोबियस रूपांतरण है जिसके लिए T(0) = 0, T(1) = ∞ तथा T(∞) = 1। T(−1) का मान ____ है।
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
उत्तर देखें
उत्तर: 0.5
0 पर शून्यक व 1 पर ध्रुव से T(z) = kz/(z − 1); T(∞) = k = 1। अतः T(z) = z/(z − 1) तथा T(−1) = −1/(−2) = 1/2। तीन निर्धारित बिंदुओं से होकर मोबियस प्रतिचित्र अद्वितीय है, अतः यही एकमात्र उत्तर है।
कौन-से कथन सत्य हैं?
1. f(z) = z², प्रत्येक z ≠ 0 पर अनुकोण है
2. f(z) = z², z = 0 पर अनुकोण है
3. प्रत्येक मोबियस रूपांतरण वृत्तों व रेखाओं को वृत्तों व रेखाओं पर भेजता है
4. T(z) = (z − i)/(z + i) उपरि अर्धतल को खुली इकाई चकती पर भेजता है
उत्तर देखें
उत्तर: A — f(z) = z², प्रत्येक z ≠ 0 पर अनुकोण है; C — प्रत्येक मोबियस रूपांतरण वृत्तों व रेखाओं को वृत्तों व रेखाओं पर भेजता है; D — T(z) = (z − i)/(z + i) उपरि अर्धतल को खुली इकाई चकती पर भेजता है
(1) वहाँ f′(z) = 2z ≠ 0। (2) f′(0) = 0 तथा 0 पर कोण दुगुने होते हैं (90° पर धनात्मक वास्तविक व काल्पनिक अक्ष 180° की किरणों पर जाते हैं)। (3) लागू क्योंकि प्रत्येक जनक (स्थानांतरण, विस्फारण-घूर्णन, 1/z) ऐसा करता है। (4) Im z > 0 हेतु z, −i की अपेक्षा i के निकट है, अतः |T(z)| < 1, और T चकती पर एकैकी आच्छादन है।

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