वैश्लेषिक फलन, कौशी का प्रमेय व सूत्र, तथा घात श्रेणियाँ

सम्मिश्र विश्लेषण GATE गणित (MA) पेपर का खंड 4 है, और यह परिशुद्धता से लगाए गए थोड़े-से प्रमेयों को पुरस्कृत करता है। यह पहला अध्याय वैश्लेषिक फलनों का सिद्धांत बनाता है: सम्मिश्र अवकलनीयता व कौशी–रीमान समीकरण, प्रसंवादी फलन व उनके संयुग्मी, अवकलजों के सूत्र सहित कौशी का समाकल प्रमेय व सूत्र, और वे वैश्विक परिणाम जो वैश्लेषिक फलनों को इतना दृढ़ बनाते हैं — लिउविल प्रमेय, अधिकतम मापांक सिद्धांत, मोरेरा प्रमेय, वियुक्त शून्यक व तत्समक प्रमेय — और अंत में घात श्रेणियाँ, टेलर श्रेणी व लॉरां श्रेणी। पेपर हेतु सबसे उपयोगी तथ्य यह है कि वैश्लेषिक फलन अपने प्रांत के भीतर समाने वाली सबसे बड़ी चकती पर अपनी टेलर श्रेणी के बराबर है, अतः अभिसरण त्रिज्या निकटतम विचित्रता की दूरी है, और सबसे उपयोगी आदत है प्रत्येक परिपथ-समाकल हेतु पूछना कि कौन-सी विचित्रताएँ परिपथ के भीतर हैं। दूसरा अध्याय विचित्रताएँ, अवशेष, रूशे प्रमेय, कोणांक सिद्धांत, श्वार्ट्ज़ प्रमेयिका व अनुकोण प्रतिचित्रण लेता है।

1. सम्मिश्र अवकलनीयता व कौशी–रीमान समीकरण

f = u + iv, z₀ पर सम्मिश्र अवकलनीय है यदि limh→0 [f(z₀ + h) − f(z₀)]/h का अस्तित्व हो, h सम्मिश्र। तब z₀ पर uₓ = vy तथा uy = −vₓ (कौशी–रीमान समीकरण) और f′ = uₓ + ivₓ। विलोमतः, यदि z₀ के निकट u व v के संतत प्रथम आंशिक अवकलज हों जो z₀ पर CR संतुष्ट करें, तो f, z₀ पर अवकलनीय है। f, z₀ पर वैश्लेषिक है यदि वह z₀ के किसी प्रतिवेश पर अवकलनीय हो; पूर्ण (entire) यदि सम्पूर्ण ℂ पर वैश्लेषिक हो।

बिंदु पर अवकलनीय होना वैश्लेषिक होना नहीं
f(z)कौशी–रीमाननिर्णय
z̄ = x − iyuₓ = 1 ≠ −1 = vyकहीं अवकलनीय नहीं
|z|² = x² + y²uₓ = 2x = vy = 0 तथा uy = 2y = −vₓ = 0 केवल 0 परकेवल 0 पर अवकलनीय, कहीं वैश्लेषिक नहीं
eᶻ, sin z, cos z, बहुपदहर स्थान पर लागूपूर्ण
Re z, Im z, |z|विवृत समुच्चय पर विफलकहीं वैश्लेषिक नहीं; प्रांत पर वास्तविक-मानी वैश्लेषिक फलन अचर होता है

2. प्रसंवादी फलन व प्रसंवादी संयुग्मी

यदि f = u + iv वैश्लेषिक हो तो u व v, C∞ व प्रसंवादी हैं: uₓₓ + uyy = 0। v, u का प्रसंवादी संयुग्मी है। सरलतः संबद्ध प्रांत पर प्रत्येक प्रसंवादी u का संयुग्मी है, एक योज्य अचर तक अद्वितीय, जो CR समीकरणों के समाकलन से मिलता है। v का संयुग्मी −u है (क्योंकि −if = v − iu वैश्लेषिक है)।

हल किया उदाहरण। u = x³ − 3xy² + 2y। uₓ = 3x² − 3y² = vy से v = 3x²y − y³ + φ(x); फिर uy = −6xy + 2 = −vₓ = −6xy − φ′(x), अतः φ′ = −2 तथा v = 3x²y − y³ − 2x + c। वस्तुतः f = z³ − 2iz।

⚠️ संयुग्मियों हेतु सरल संबद्धता महत्त्वपूर्ण है
u = log|z| = ½ log(x² + y²), ℂ ∖ {0} पर प्रसंवादी है, परंतु इसका संयुग्मी arg z होता, जिसे मूलबिंदु के चारों ओर संततः परिभाषित नहीं किया जा सकता। अतः अ-सरलतः संबद्ध प्रांत पर प्रसंवादी फलन का वहाँ किसी वैश्लेषिक फलन का वास्तविक भाग होना आवश्यक नहीं; स्थानीयतः वह सदा होता है।

3. कौशी का समाकल प्रमेय व सूत्र, तथा मोरेरा प्रमेय

कौशी प्रमेय। यदि f सरलतः संबद्ध प्रांत D पर वैश्लेषिक हो, तो D में प्रत्येक बंद खंडशः चिकने वक्र γ हेतु ∮γ f dz = 0; समतुल्यतः D पर f का पूर्वग है। कौशी का समाकल सूत्र। यदि f धनात्मक अभिविन्यस्त सरल बंद वक्र γ पर व उसके भीतर वैश्लेषिक हो और a भीतर हो, तो f(a) = (1/2πi)∮γ f(z)/(z − a) dz, तथा अधिक व्यापक रूप से f(n)(a) = (n!/2πi)∮γ f(z)/(z − a)n+1 dz। अतः वैश्लेषिक फलन अनंततः अवकलनीय हैं।

  • ∮|z|=2 eᶻ/(z − 1)³ dz = (2πi/2!)·(eᶻ)″|z=1 = πie।
  • ∮|z−i|=1 dz/(z² + 1): केवल z = i भीतर है, अतः 1/(z² + 1) = [1/(z + i)]/(z − i) लिखें और 2πi · 1/(2i) = π प्राप्त करें।
  • ∮|z|=1 z̄ dz कौशी के अंतर्गत नहीं (z̄ वैश्लेषिक नहीं): वृत्त पर z̄ = 1/z, अतः समाकल 2πi है।

मोरेरा प्रमेय विलोम है: यदि f प्रांत D पर संतत हो तथा D के प्रत्येक त्रिभुज T हेतु ∮∂T f dz = 0, तो f, D पर वैश्लेषिक है। इसी से सिद्ध होता है कि वैश्लेषिक फलनों की एकसमान सीमाएँ वैश्लेषिक हैं।

4. लिउविल, अधिकतम मापांक, तथा शून्यक

  • कौशी आकलन: यदि |z − a| = R पर |f| ≤ M तो |f(n)(a)| ≤ n!M/Rⁿ। लिउविल: परिबद्ध पूर्ण फलन अचर होता है। अतः |f(z)| ≤ C(1 + |z|ⁿ) वाला पूर्ण f घात ≤ n का बहुपद है, तथा Re f ≤ M वाला पूर्ण f अचर है (ef पर लिउविल लगाएँ)। लिउविल बीजगणित का मूल प्रमेय सिद्ध करता है।
  • अधिकतम मापांक: प्रांत पर अचर-भिन्न वैश्लेषिक f के |f| का कोई स्थानीय उच्चिष्ठ नहीं; परिबद्ध प्रांत पर, f सीमा तक संतत हो तो, max |f| सीमा पर प्राप्त होता है। यदि f का कोई शून्यक न हो तो न्यूनतम हेतु भी यही। |z| ≤ 1 पर f = z² + 2z हेतु |f| = |z||z + 2| ≤ 3, z = 1 पर प्राप्त।
  • प्रांत पर अचर-भिन्न वैश्लेषिक फलन के शून्यक वियुक्त होते हैं, और प्रत्येक की परिमित कोटि m है: f = (z − a)ᵐg, g(a) ≠ 0। तत्समक प्रमेय: यदि प्रांत में सीमा बिंदु वाले समुच्चय पर f = g, तो वहाँ f ≡ g।
⚠️ सीमा बिंदु प्रांत के भीतर होना चाहिए
sin(π/(1 − z)) इकाई चकती पर वैश्लेषिक है और प्रत्येक 1 − 1/k पर, अनंत बिंदुओं पर, शून्य है — परंतु वे 1 पर, सीमा पर, संचित होते हैं, अतः तत्समक प्रमेय कुछ नहीं कहता और फलन शून्य नहीं। इसके विपरीत, f(1/n) = 1/n² चकती पर f(z) = z² बाध्य करता है, और कोई वैश्लेषिक f, f(1/n) = (−1)ⁿ/n संतुष्ट नहीं कर सकता, क्योंकि सम n, f = z तथा विषम n, f = −z बाध्य करेंगे।

5. घात श्रेणियाँ, टेलर श्रेणी व लॉरां श्रेणी

घात श्रेणी Σaₙ(z − a)ⁿ विवृत चकती |z − a| < R में निरपेक्षतः अभिसृत है, R = 1/limsup |aₙ|1/n, छोटी संवृत चकतियों पर एकसमानतः, और उसका योग वहाँ वैश्लेषिक है। विलोमतः टेलर प्रमेय: यदि f, |z − a| < R पर वैश्लेषिक हो, तो उस पूरी चकती में f(z) = Σ f(n)(a)(z − a)ⁿ/n!। अतः a के परितः टेलर श्रेणी की अभिसरण त्रिज्या a से उस निकटतम बिंदु की दूरी है जहाँ f वैश्लेषिक नहीं रहता।

निकटतम विचित्रता से त्रिज्या
f, 0 के परितः प्रसारितनिकटतम विचित्रताR
1/(1 + z²)±i (यद्यपि सम्पूर्ण ℝ पर चिकना)1
1/(z² + 2z + 2)−1 ± i√2
tan z±π/2π/2
z/(eᶻ − 1)±2πi (z = 0 अपनेय है)2π

लॉरां प्रमेय। यदि f वलय r < |z − a| < R पर वैश्लेषिक हो, तो वहाँ f(z) = Σn=−∞∞ cₙ(z − a)ⁿ, जहाँ वलय के किसी भी वृत्त पर cₙ = (1/2πi)∮ f(ζ)/(ζ − a)n+1 dζ; प्रसार वलय पर निर्भर है। 1 < |z| < 2 पर f = 1/((z − 1)(z − 2)) = 1/(z − 2) − 1/(z − 1) हेतु: 1/(z − 2) = −½Σ(z/2)ⁿ तथा −1/(z − 1) = −Σ z−n−1, अतः c₂ = −1/8 तथा c₋₁ = −1।

मुख्य बिंदु

  • संतत आंशिक अवकलजों सहित कौशी–रीमान अवकलनीयता देता है; वैश्लेषिक अर्थात् विवृत समुच्चय पर अवकलनीय, अतः |z|², 0 पर अवकलनीय है और कहीं वैश्लेषिक नहीं।
  • वैश्लेषिक फलनों के वास्तविक व काल्पनिक भाग प्रसंवादी हैं; संयुग्मी CR के समाकलन से मिलते हैं और सरलतः संबद्ध प्रांतों पर वैश्विक रूप से होते हैं।
  • कौशी सूत्र f(n)(a) = (n!/2πi)∮f/(z − a)n+1 परिपथ-समाकलों को घिरे बिंदु पर अवकलजों में बदल देता है।
  • लिउविल, अधिकतम मापांक व तत्समक प्रमेय वैश्लेषिक फलनों को दृढ़ बनाते हैं; तत्समक प्रमेय को प्रांत के भीतर सीमा बिंदु चाहिए।
  • टेलर त्रिज्या निकटतम विचित्रता की दूरी है; लॉरां गुणांक वलय पर निर्भर हैं।

अभ्यास प्रश्न (13)

उत्तर खोलने से पहले प्रत्येक प्रश्न हल करें। हर व्याख्या सही विकल्प के साथ लुभावना गलत विकल्प भी बताती है, क्योंकि अंक वहीं जाते हैं।

  1. फलन f(z) = |z|² है

    1. केवल z = 0 पर सम्मिश्र अवकलनीय और कहीं वैश्लेषिक नहीं
    2. पूर्ण
    3. केवल z = 0 पर वैश्लेषिक
    4. कहीं अवकलनीय नहीं
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — केवल z = 0 पर सम्मिश्र अवकलनीय और कहीं वैश्लेषिक नहीं

    u = x² + y², v = 0: CR समीकरण 2x = 0 व 2y = 0 केवल मूलबिंदु पर लागू हैं, और आंशिक अवकलज संतत हैं, अतः f केवल वहीं अवकलनीय है। किसी बिंदु पर वैश्लेषिक होने हेतु प्रतिवेश पर अवकलनीयता चाहिए, जो 0 सहित प्रत्येक बिंदु पर विफल है।

  2. निम्नलिखित में से कौन-सा फलन पूर्ण है?

    1. cos z
    2. z̄
    3. |z|
    4. Re z
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — cos z

    cos z = (eiz + e−iz)/2, ℂ पर वैश्लेषिक है। z̄ हर स्थान पर CR में विफल है; |z| व Re z वास्तविक-मानी व अचर-भिन्न हैं, और प्रांत पर वास्तविक-मानी वैश्लेषिक फलन अचर होना चाहिए (v = 0 होने पर CR, u के सभी आंशिक अवकलज शून्य बाध्य करता है)।

  3. मान लें u(x, y) = x³ − 3xy² + 2y तथा v, u का वह प्रसंवादी संयुग्मी है जिसके लिए v(0, 0) = 0। v(1, 2) का मान ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: -4

    uₓ = vy से: v = 3x²y − y³ + φ(x)। uy = −vₓ से: −6xy + 2 = −6xy − φ′, अतः φ = −2x + c, तथा v(0, 0) = 0 से c = 0। v(1, 2) = 3·1·2 − 8 − 2 = −4। जाँच: f = z³ − 2iz से f(1 + 2i) = −7 − 4i। टाइप करने पर उत्तर -4 है।

  4. निम्नलिखित में से कौन-से फलन ℝ² पर प्रसंवादी हैं?

    1. x² − y²
    2. x² + y²
    3. eˣ sin y
    4. x³ − y³
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — x² − y²; C — eˣ sin y

    Δ(x² − y²) = 2 − 2 = 0 (यह Re z² है)। Δ(eˣ sin y) = eˣ sin y − eˣ sin y = 0 (यह Im eᶻ है)। Δ(x² + y²) = 4 ≠ 0। Δ(x³ − y³) = 6x − 6y, जो सर्वत्र 0 नहीं।

  5. यदि ∮|z|=2 eᶻ/(z − 1)³ dz = kπi, जहाँ वृत्त धनात्मक अभिविन्यस्त है, तो k, दो दशमलव स्थानों तक, ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 2.72

    z = 1, |z| = 2 के भीतर है, और द्वितीय अवकलज हेतु कौशी सूत्र देता है ∮ eᶻ/(z − 1)³ dz = (2πi/2!)·e¹ = πie। अतः k = e = 2.718…, अर्थात् 2.72। 2! भूलने पर 2e आता है।

  6. (1/π)∮|z−i|=1 dz/(z² + 1) का मान, वृत्त धनात्मक अभिविन्यस्त, ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 1

    ध्रुव ±i हैं; केवल i, |z − i| = 1 के भीतर है (−i दूरी 2 पर)। g(z) = 1/(z + i), जो भीतर वैश्लेषिक है, सहित समाकल 2πi·g(i) = 2πi/(2i) = π है, अतः अभीष्ट मान 1 है।

  7. पूर्ण फलनों के विषय में कौन-से कथन सत्य हैं?

    1. परिबद्ध पूर्ण फलन अचर होता है
    2. सभी z हेतु Re f(z) ≤ 5 वाला पूर्ण फलन f अचर है
    3. सभी z हेतु |f(z)| ≤ 1 + |z|² वाला पूर्ण फलन f अधिकतम घात 2 का बहुपद है
    4. sin z, ℂ पर परिबद्ध है
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — परिबद्ध पूर्ण फलन अचर होता है; B — सभी z हेतु Re f(z) ≤ 5 वाला पूर्ण फलन f अचर है; C — सभी z हेतु |f(z)| ≤ 1 + |z|² वाला पूर्ण फलन f अधिकतम घात 2 का बहुपद है

    (1) लिउविल है। (2) |ef| = eRe f ≤ e⁵, अतः ef अचर, अतः f′ef = 0 और f अचर। (3) |z| = R पर कौशी आकलन |f(3)(0)| ≤ 3!(1 + R²)/R³ → 0 देता है, और किसी भी बिंदु पर उच्चतर अवकलजों हेतु भी यही। (4) असत्य: |sin(iy)| = |sinh y| → ∞।

  8. संवृत चकती |z| ≤ 1 पर |z² + 2z| का अधिकतम ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 3

    अधिकतम मापांक सिद्धांत से अधिकतम |z| = 1 पर है, जहाँ |z² + 2z| = |z||z + 2| = |z + 2| ≤ 3, समता z = 1 पर। मान 3 = |1 + 2| प्राप्त होता है, अतः अधिकतम 3 है।

  9. कौन-से कथन सत्य हैं?

    1. इकाई चकती पर ऐसा वैश्लेषिक f है जिसके लिए प्रत्येक n ≥ 2 हेतु f(1/n) = 1/n²
    2. इकाई चकती पर ऐसा वैश्लेषिक f है जिसके लिए प्रत्येक n ≥ 2 हेतु f(1/n) = (−1)ⁿ/n
    3. प्रत्येक वास्तविक संख्या पर शून्य होने वाला पूर्ण फलन सर्वत्र शून्य है
    4. इकाई चकती पर अनंत शून्यकों वाला वैश्लेषिक फलन सर्वत्र शून्य है
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — इकाई चकती पर ऐसा वैश्लेषिक f है जिसके लिए प्रत्येक n ≥ 2 हेतु f(1/n) = 1/n²; C — प्रत्येक वास्तविक संख्या पर शून्य होने वाला पूर्ण फलन सर्वत्र शून्य है

    (1) f(z) = z²। (2) तत्समक प्रमेय से सम n, 0 के निकट f = z तथा विषम n, f = −z बाध्य करते हैं; विरोधाभास। (3) ℂ में ℝ के सीमा बिंदु हैं। (4) असत्य: sin(π/(1 − z)) प्रत्येक k ≥ 1 हेतु 1 − 1/k पर शून्य है, बिंदु जो केवल सीमा बिंदु 1 पर संचित होते हैं।

  10. कौन-से कथन सत्य हैं? (सभी वृत्त धनात्मक अभिविन्यस्त हैं।)

    1. यदि f प्रांत D पर संतत हो तथा D के प्रत्येक त्रिभुज T हेतु ∮∂T f dz = 0, तो f, D पर वैश्लेषिक है
    2. ∮|z|=1 dz/z² = 0
    3. ∮|z|=1 z̄ dz = 0
    4. यदि किसी एक बंद वक्र C हेतु ∮C f dz = 0, तो f, C के भीतर वैश्लेषिक है
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — यदि f प्रांत D पर संतत हो तथा D के प्रत्येक त्रिभुज T हेतु ∮_{∂T} f dz = 0, तो f, D पर वैश्लेषिक है; B — ∮_{|z|=1} dz/z² = 0

    (1) मोरेरा प्रमेय है। (2) ℂ ∖ {0} पर 1/z² का पूर्वग −1/z है, अतः वहाँ किसी भी बंद वक्र पर उसका समाकल 0 है (उसका अवशेष 0)। (3) |z| = 1 पर z̄ = 1/z, अतः समाकल 2πi है। (4) असत्य: |z| = 1 पर |z|² = 1, अतः वहाँ इसका समाकल ∮dz = 0 है, फिर भी |z|² कहीं वैश्लेषिक नहीं।

  11. z = 0 के परितः f(z) = 1/(z² + 2z + 2) की टेलर श्रेणी की अभिसरण त्रिज्या, दो दशमलव स्थानों तक, ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 1.41

    विचित्रताएँ z² + 2z + 2 = 0 के मूल हैं, z = −1 ± i, दोनों 0 से दूरी √2 पर। f, |z| < √2 पर वैश्लेषिक है और उससे आगे नहीं, अतः R = √2 = 1.414, अर्थात् 1.41।

  12. tan z की मैक्लॉरिन श्रेणी की अभिसरण त्रिज्या है

    1. π/2
    2. π
    3. 1
    4. ∞
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — π/2

    tan z = sin z/cos z, cos z = 0 अर्थात् z = π/2 + kπ के अतिरिक्त वैश्लेषिक है; ये सभी वास्तविक हैं, और 0 के निकटतम ±π/2 हैं। अतः R = π/2। श्रेणी में केवल विषम घातें होने से R नहीं बदलता।

  13. 1 < |z| < 2 में मान्य f(z) = 1/((z − 1)(z − 2)) के लॉरां प्रसार में z² का गुणांक ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: -0.125

    f = 1/(z − 2) − 1/(z − 1)। |z| < 2 हेतु 1/(z − 2) = −(1/2)·1/(1 − z/2) = −Σ zⁿ/2ⁿ⁺¹; |z| > 1 हेतु −1/(z − 1) = −Σn≥0 z−n−1 में केवल ऋणात्मक घातें हैं। अतः z² का गुणांक −1/2³ = −0.125 है। |z| < 1 में उत्तर −1/8 + 1 = 0.875 होता।