वलय, गुणजावलियाँ, गुणनखंडन प्रांत, बहुपद व क्षेत्र

खंड 6 का वलय व क्षेत्र वाला आधा भाग परिभाषाओं की सीढ़ी है, प्रत्येक एक ऐसे उदाहरण सहित जो एक पायदान पर है और अगले पर नहीं। 1 सहित क्रमविनिमेय वलय में शून्य-भाजक हो सकते हैं; पूर्णांकीय प्रांत में कोई नहीं; यूक्लिडीय प्रांत में विभाजन एल्गोरिथ्म है; प्रत्येक यूक्लिडीय प्रांत मुख्य गुणजावली प्रांत है, और प्रत्येक PID अद्वितीय गुणनखंडन प्रांत — और प्रत्येक समावेशन निश्चित है। अभाज्य व उच्चिष्ठ गुणजावलियाँ अपने विभाग वलयों से पहचानी जाती हैं: R/P प्रांत है, R/M क्षेत्र। बहुपद वलयों हेतु कार्यकारी उपकरण गाउस प्रमेयिका व आइज़ेनस्टाइन कसौटी हैं। फिर क्षेत्र अपने विस्तारों के माध्यम से आते हैं: मीनारों में घातें गुणा होती हैं, परिमित विस्तार बीजीय हैं, ℂ बीजीय रूप से संवृत है, और प्रत्येक अभाज्य-घात कोटि का ठीक एक परिमित क्षेत्र है, जिसका गुणनात्मक समूह चक्रीय है। यहाँ दिए जाने वाले प्रश्न गणनाएँ हैं — ℤₙ के एकक व शून्य-भाजक, गुणजावलियाँ, विस्तारों की घातें, आद्य अवयव, ℤₚ पर अखंडनीय बहुपद — तथा “इनमें से कौन-सा वलय UFD है” वाले MSQ।

1. वलय, गुणजावलियाँ, विभाग वलय व ℤₙ

क्रमविनिमेय वलय R की गुणजावली I एक योज्य उपसमूह है जिसके लिए rI ⊆ I; विभाग R/I एक वलय है, और वलय समाकारिताओं के अष्टि ठीक गुणजावलियाँ हैं। ℤ की गुणजावलियाँ nℤ हैं, और ℤₙ की, n के भाजकों के संगत, अतः ℤ₃₆ की d(36) = 9 गुणजावलियाँ हैं। ℤₙ में प्रत्येक अशून्य अवयव या तो एकक है (gcd(a, n) = 1; ऐसे φ(n) हैं) या शून्य-भाजक, अतः ℤ₂₄ में φ(24) = 8 एकक तथा 23 − 8 = 15 अशून्य शून्य-भाजक हैं। परिमित पूर्णांकीय प्रांत क्षेत्र होता है, इसीलिए ℤₙ ठीक तब क्षेत्र है जब n अभाज्य हो।

2. अभाज्य व उच्चिष्ठ गुणजावलियाँ

1 सहित क्रमविनिमेय वलय में: P अभाज्य है यदि और केवल यदि R/P पूर्णांकीय प्रांत हो; M उच्चिष्ठ है यदि और केवल यदि R/M क्षेत्र हो। अतः प्रत्येक उच्चिष्ठ गुणजावली अभाज्य है। ℤ में अशून्य अभाज्य गुणजावलियाँ pℤ उच्चिष्ठ हैं तथा (0) अभाज्य है परंतु उच्चिष्ठ नहीं। ℤₙ की उच्चिष्ठ गुणजावलियाँ अभाज्य p | n हेतु pℤₙ हैं। F[x] में (f) उच्चिष्ठ है यदि और केवल यदि f अखंडनीय हो, तथा PID में प्रत्येक अशून्य अभाज्य गुणजावली उच्चिष्ठ है।

ℤ[x] व ℝ[x] की गुणजावलियाँ, उनके विभाग वलयों से पढ़ी गईं
गुणजावलीविभाग वलयनिर्णय
ℤ[x] में (x)ℤअभाज्य, उच्चिष्ठ नहीं
ℤ[x] में (2, x)ℤ₂उच्चिष्ठ, तथा मुख्य नहीं
ℤ[x] में (x² + 1)ℤ[i]अभाज्य, उच्चिष्ठ नहीं
ℝ[x] में (x² + 1)ℂउच्चिष्ठ
ℚ[x] में (x² − 1)ℚ × ℚअभाज्य नहीं: (x − 1)(x + 1) ∈ I, कोई गुणक नहीं

3. यूक्लिडीय प्रांत, PID व UFD

यूक्लिडीय प्रांत ⊊ PID ⊊ UFD ⊊ पूर्णांकीय प्रांत। UFD में प्रत्येक अशून्य अ-एकक अखंडनीयों का गुणनफल है, क्रम व एककों तक अद्वितीयतः, और अखंडनीय अवयव अभाज्य हैं। गाउस: यदि R, UFD हो, तो R[x] भी; अतः ℤ[x] तथा F[x, y], UFD हैं, यद्यपि कोई भी PID नहीं।

प्रत्येक मानक वलय कहाँ है
वलययूक्लिडीयPIDUFD
ℤ, F[x], ℤ[i]हाँहाँहाँ
ℤ[(1 + √−19)/2]नहींहाँहाँ
ℤ[x], F[x, y]नहींनहीं: (2, x) या (x, y) मुख्य नहींहाँ (गाउस)
ℤ[√−5]नहींनहींनहीं: 6 = 2 · 3 = (1 + √−5)(1 − √−5), चार अखंडनीय, कोई दो सहचर नहीं

4. बहुपद वलय व अखंडनीयता

  • क्षेत्र पर घात 2 या 3 का बहुपद अखंडनीय है यदि और केवल यदि उसका वहाँ कोई मूल न हो; ℚ पर परिमेय मूल परीक्षण संभावित मूलों को ±(a₀ के भाजक)/(aₙ के भाजक) तक सीमित करता है।
  • गाउस प्रमेयिका: ℤ[x] का आद्य बहुपद जो ℚ पर गुणनखंडित हो, ℤ पर समान घातों के बहुपदों में गुणनखंडित होता है।
  • आइज़ेनस्टाइन: यदि अभाज्य p, a₀, …, aₙ₋₁ को विभाजित करे, p ∤ aₙ तथा p² ∤ a₀, तो aₙxⁿ + … + a₀, ℚ पर अखंडनीय है। अतः x⁵ + 6x³ + 9x + 3 (p = 3) तथा xⁿ − 2 (p = 2) अखंडनीय हैं। स्थानांतरण x ↦ x + 1 के बाद p पर आइज़ेनस्टाइन चक्रविभाजक Φₚ(x) = xᵖ⁻¹ + … + 1 को अखंडनीय सिद्ध करता है।
⚠️ घात 4 से आगे मूल न होने का अर्थ अखंडनीय नहीं
x⁴ + 4 का कोई परिमेय मूल नहीं, फिर भी x⁴ + 4 = (x² + 2x + 2)(x² − 2x + 2)। तथा x⁴ + 1, ℚ पर अखंडनीय है (x ↦ x + 1 के बाद आइज़ेनस्टाइन: x⁴ + 4x³ + 6x² + 4x + 2, p = 2) यद्यपि वह प्रत्येक अभाज्य के मापांक पर गुणनखंडित होता है, अतः p के मापांक पर घटाना अखंडनीयता सिद्ध कर सकता है परंतु कभी खंडित नहीं कर सकता।

5. क्षेत्र विस्तार, बीजीय विस्तार व परिमित क्षेत्र

क्षेत्रों F ⊆ K हेतु घात [K : F], dimF K है, और मीनार F ⊆ K ⊆ L में [L : F] = [L : K][K : F]। α ∈ K, F पर बीजीय है यदि वह किसी अशून्य बहुपद का मूल हो; उसका न्यूनिष्ठ बहुपद एकपदी-अग्र अखंडनीय बहुपद है, और [F(α) : F] उसकी घात के बराबर है। प्रत्येक परिमित विस्तार बीजीय है। [ℚ(∛2) : ℚ] = 3 (x³ − 2, आइज़ेनस्टाइन); [ℚ(√2, √3) : ℚ] = 4; x³ − 2 का विभाजन क्षेत्र ℚ(∛2, ω) है, घात 6, क्योंकि ℚ(∛2) ⊂ ℝ अवास्तविक ω को समाविष्ट नहीं कर सकता। क्षेत्र बीजीय रूप से संवृत है यदि प्रत्येक अचर-भिन्न बहुपद का उसमें मूल हो: ℂ है (बीजगणित का मूल प्रमेय), और सभी बीजीय संख्याओं का गणनीय क्षेत्र भी; ℝ तथा प्रत्येक परिमित क्षेत्र नहीं (Fq में xq − x + 1 का कोई मूल नहीं)।

  • परिमित क्षेत्र में pⁿ अवयव होते हैं, p उसका अभिलक्षण; प्रत्येक अभाज्य घात हेतु तुल्याकारिता तक ठीक एक है, ℤₚ पर xpⁿ − x का विभाजन क्षेत्र। 6, 10 या 12 अवयवों का कोई क्षेत्र नहीं।
  • Fpⁿ में Fpᵐ की प्रति है यदि और केवल यदि m | n: F₄ ⊂ F₁₆, परंतु F₈ ⊄ F₁₆।
  • गुणनात्मक समूह Fq×, कोटि q − 1 का चक्रीय है, φ(q − 1) जनकों सहित: F₁₆ में φ(15) = 8 आद्य अवयव हैं।
  • ℤ₂[x]/(x³ + x + 1), F₈ है, क्योंकि ℤ₂ में x³ + x + 1 का कोई मूल नहीं। ℤₚ पर एकपदी-अग्र अखंडनीय द्विघातों की संख्या (p² − p)/2 है: सभी p² एकपदी-अग्र द्विघात घटा वे p(p + 1)/2 जो खंडित होते हैं, अतः ℤ₅ पर 10।

मुख्य बिंदु

  • ℤₙ में φ(n) एकक तथा n − 1 − φ(n) अशून्य शून्य-भाजक; गुणजावलियाँ n के भाजकों के तथा उच्चिष्ठ गुणजावलियाँ उसके अभाज्य भाजकों के संगत हैं।
  • अभाज्य P हेतु R/P प्रांत है और उच्चिष्ठ हेतु क्षेत्र; ℤ[x] में (x) अभाज्य है उच्चिष्ठ नहीं, (2, x) उच्चिष्ठ है मुख्य नहीं।
  • ED ⊊ PID ⊊ UFD: ℤ[x], UFD है PID नहीं; ℤ[√−5], UFD नहीं क्योंकि 6 के दो गुणनखंडन हैं।
  • आइज़ेनस्टाइन ℚ पर अखंडनीयता सिद्ध करता है; घात ≤ 3 हेतु केवल मूल परीक्षण; x⁴ + 4 दिखाता है कि उससे आगे मूल न होना पर्याप्त नहीं।
  • मीनारों में घातें गुणा होती हैं; प्रत्येक कोटि pⁿ का एक परिमित क्षेत्र, Fpᵐ ⊆ Fpⁿ यदि और केवल यदि m | n, तथा Fq×, φ(q − 1) जनकों सहित चक्रीय है।

अभ्यास प्रश्न (14)

उत्तर खोलने से पहले प्रत्येक प्रश्न हल करें। हर व्याख्या सही विकल्प के साथ लुभावना गलत विकल्प भी बताती है, क्योंकि अंक वहीं जाते हैं।

  1. वलय ℤ₃₆ में एककों की संख्या ____ है।

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    उत्तर: 12

    a, ℤₙ का एकक है यदि और केवल यदि gcd(a, n) = 1, अतः संख्या φ(36) = 36 · (1 − 1/2)(1 − 1/3) = 12 है।

  2. वलय ℤ₂₄ में अशून्य शून्य-भाजकों की संख्या ____ है।

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    उत्तर: 15

    ℤₙ में अशून्य a, gcd(a, n) = 1 होने पर एकक है और अन्यथा शून्य-भाजक (a · n/gcd(a, n) = 0)। 23 अशून्य अवयव व φ(24) = 8 एकक हैं, अतः 15 शून्य-भाजक।

  3. वलय ℤ₃₆ की गुणजावलियों की संख्या ____ है।

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    उत्तर: 9

    ℤₙ की गुणजावलियाँ d | n सहित योज्य उपसमूह ⟨d⟩ हैं, प्रत्येक भाजक हेतु एक। 36 = 2²·3² के (2 + 1)(2 + 1) = 9 भाजक हैं। उनमें से केवल दो, (2) व (3), उच्चिष्ठ हैं।

  4. ℤ[x] की गुणजावलियों के विषय में कौन-से कथन सत्य हैं?

    1. (x) एक अभाज्य गुणजावली है जो उच्चिष्ठ नहीं
    2. (2, x) एक उच्चिष्ठ गुणजावली है
    3. (2, x) एक मुख्य गुणजावली है
    4. (x² + 1) एक उच्चिष्ठ गुणजावली है
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    उत्तर: A — (x) एक अभाज्य गुणजावली है जो उच्चिष्ठ नहीं; B — (2, x) एक उच्चिष्ठ गुणजावली है

    (1) ℤ[x]/(x) ≅ ℤ, प्रांत जो क्षेत्र नहीं। (2) ℤ[x]/(2, x) ≅ ℤ₂, क्षेत्र। (3) जनक f, 2 व x दोनों को विभाजित करता, f = ±1 बाध्य होता, परंतु 1 ∉ (2, x)। (4) ℤ[x]/(x² + 1) ≅ ℤ[i], प्रांत परंतु क्षेत्र नहीं (2 का व्युत्क्रम नहीं), अतः गुणजावली अभाज्य है उच्चिष्ठ नहीं।

  5. निम्नलिखित में से कौन-से वलय अद्वितीय गुणनखंडन प्रांत हैं?

    1. ℤ[x]
    2. ℤ[√−5]
    3. ℚ[x, y]
    4. ℤ[i]
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    उत्तर: A — ℤ[x]; C — ℚ[x, y]; D — ℤ[i]

    (1) व (3) गाउस से: ℤ व ℚ[x], UFD हैं, अतः ℤ[x] व ℚ[x][y] भी। (4) ℤ[i], N(a + bi) = a² + b² के अंतर्गत यूक्लिडीय है, अतः PID व UFD। (2) विफल: 6 = 2 · 3 = (1 + √−5)(1 − √−5), चारों गुणक अखंडनीय (मानक 4, 9, 6, 6, और किसी अवयव का मानक 2 या 3 नहीं) तथा कोई दो सहचर नहीं।

  6. निम्नलिखित में से कौन-सा वलय मुख्य गुणजावली प्रांत है?

    1. ℤ[i]
    2. ℤ[x]
    3. ℚ[x, y]
    4. ℤ[√−5]
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    उत्तर: A — ℤ[i]

    ℤ[i] में मानक के सापेक्ष विभाजन एल्गोरिथ्म है, अतः वह यूक्लिडीय और इसलिए PID है। ℤ[x] में गुणजावली (2, x) तथा ℚ[x, y] में (x, y) मुख्य नहीं; ℤ[√−5] तो UFD भी नहीं, और प्रत्येक PID, UFD है।

  7. निम्नलिखित में से कौन-से बहुपद ℚ पर अखंडनीय हैं?

    1. x⁵ + 6x³ + 9x + 3
    2. x⁴ + 4
    3. x³ − 2
    4. x⁴ + 1
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    उत्तर: A — x⁵ + 6x³ + 9x + 3; C — x³ − 2; D — x⁴ + 1

    (1) p = 3 पर आइज़ेनस्टाइन: 3 | 6, 9, 3 (तथा शून्य गुणांक), 3 ∤ 1, 9 ∤ 3। (3) 2 पर आइज़ेनस्टाइन, या: बिना परिमेय मूल का घन (±1, ±2 विफल)। (4) x ↦ x + 1 के बाद 2 पर आइज़ेनस्टाइन। (2) खंडनीय: x⁴ + 4 = (x² + 2x + 2)(x² − 2x + 2), यद्यपि इसका कोई परिमेय मूल नहीं।

  8. ℚ पर क्षेत्र विस्तार ℚ(√2, √3) की घात ____ है।

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    उत्तर: 4

    [ℚ(√2) : ℚ] = 2। √3 ∉ ℚ(√2): यदि परिमेय a, b सहित √3 = a + b√2, तो वर्ग करने से ab = 0 और फिर 3 = a² या 3 = 2b², असंभव। अतः ℚ(√2) पर x² − 3 अखंडनीय रहता है और मीनार नियम 2 × 2 = 4 देता है, आधार 1, √2, √3, √6।

  9. x³ − 2 के विभाजन क्षेत्र की ℚ पर घात ____ है।

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    उत्तर: 6

    मूल ∛2, ∛2 ω, ∛2 ω² हैं, अतः विभाजन क्षेत्र ℚ(∛2, ω) है। आइज़ेनस्टाइन से [ℚ(∛2) : ℚ] = 3, तथा ω, x² + x + 1 का मूल, वास्तविक नहीं, अतः ℚ(∛2) ⊂ ℝ में नहीं: 2 का एक और गुणक। कुल 3 × 2 = 6।

  10. क्षेत्र F₁₆ के उन अवयवों की संख्या जो उसके गुणनात्मक समूह के जनक हैं, ____ है।

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    उत्तर: 8

    F₁₆× कोटि 15 का चक्रीय है, और कोटि 15 के चक्रीय समूह के φ(15) = φ(3)φ(5) = 8 जनक हैं। सभी अशून्य अवयव (15) या सभी अवयव (16) गिनना यह भूलता है कि अधिकांश की कोटि कम है।

  11. परिमित क्षेत्रों के विषय में कौन-से कथन सत्य हैं?

    1. 12 अवयवों वाला एक क्षेत्र है
    2. F₁₆ में 4 अवयवों वाला उपक्षेत्र है
    3. F₁₆ में 8 अवयवों वाला उपक्षेत्र है
    4. F₂₅ का गुणनात्मक समूह चक्रीय है
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — F₁₆ में 4 अवयवों वाला उपक्षेत्र है; D — F₂₅ का गुणनात्मक समूह चक्रीय है

    (1) परिमित क्षेत्र की कोटि अभाज्य घात होती है, और 12 नहीं है। (2) F2ᵐ ⊆ F2⁴ यदि और केवल यदि m | 4; m = 2 चलता है। (3) m = 3, 4 को विभाजित नहीं करता (तथा [F₁₆ : F₈], 4/3 होता)। (4) प्रत्येक परिमित क्षेत्र का गुणनात्मक समूह चक्रीय है, यहाँ कोटि 24 का।

  12. क्षेत्र ℤ₅ पर घात 2 के एकपदी-अग्र अखंडनीय बहुपदों की संख्या ____ है।

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    उत्तर: 10

    5² = 25 एकपदी-अग्र द्विघात x² + bx + c हैं। खंडनीय (x − a)(x − b) हैं: a = b सहित 5 तथा a ≠ b सहित C(5, 2) = 10, कुल 15। अतः 25 − 15 = 10 अखंडनीय हैं, जो (p² − p)/2 से मेल खाता है।

  13. विभाग वलय ℤ₂[x]/(x³ + x + 1) है

    1. 8 अवयवों वाला क्षेत्र
    2. 6 अवयवों वाला क्षेत्र
    3. शून्य-भाजकों वाला 8 अवयवों का वलय
    4. ℤ₈ के तुल्याकारी
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — 8 अवयवों वाला क्षेत्र

    x³ + x + 1 का ℤ₂ में कोई मूल नहीं (0 व 1 दोनों पर मान 1), अतः घन के रूप में अखंडनीय है और गुणजावली उच्चिष्ठ: विभाग वलय क्षेत्र है। इसके अवयव 2³ = 8 शेषफल a + bx + cx² हैं। इसका अभिलक्षण 2 है, अतः यह ℤ₈ नहीं।

  14. कौन-से कथन सत्य हैं?

    1. ℂ बीजीय रूप से संवृत है
    2. वास्तविक बीजीय संख्याओं का क्षेत्र बीजीय रूप से संवृत है
    3. किसी क्षेत्र का प्रत्येक परिमित विस्तार बीजीय है
    4. कोई परिमित क्षेत्र बीजीय रूप से संवृत नहीं
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — ℂ बीजीय रूप से संवृत है; C — किसी क्षेत्र का प्रत्येक परिमित विस्तार बीजीय है; D — कोई परिमित क्षेत्र बीजीय रूप से संवृत नहीं

    (1) बीजगणित का मूल प्रमेय है। (2) असत्य: x² + 1 का कोई वास्तविक मूल नहीं। (3) यदि [K : F] = n, तो n + 1 घातें 1, α, …, αⁿ आश्रित हैं, जो α मूल वाला बहुपद देती हैं। (4) Fq में प्रत्येक a, aq = a संतुष्ट करता है, अतः xq − x + 1 हर स्थान पर मान 1 लेता है और उसका कोई मूल नहीं।