समूह: समाकारिता, क्रमचय, समूह क्रिया व सिलो प्रमेय

बीजगणित GATE गणित (MA) पेपर का खंड 6 है, और इसका समूह वाला आधा भाग पूरे पेपर में गणना-प्रश्नों का सबसे समृद्ध स्रोत है: चक्रीय समूह के जनकों की संख्या, दी गई कोटि के अवयवों की संख्या, दो चक्रीय समूहों के बीच समाकारिताओं की संख्या, दी गई कोटि के आबेली समूहों की संख्या, क्रमचय की अधिकतम कोटि, सिलो उपसमूहों की संख्या। इनमें से प्रत्येक का एक सूत्र है, और प्रत्येक सूत्र पाँच परिणामों में से किसी एक पर टिका है — लग्रांज प्रमेय, चक्रीय समूहों की संरचना, प्रथम तुल्याकारिता प्रमेय, कक्षा–स्थायीकारी प्रमेय तथा सिलो प्रमेय। यह अध्याय प्रत्येक को उसकी परिकल्पनाओं सहित बताता है, उससे निकलने वाला सूत्र देता है, और उसे उस प्रति-उदाहरण के साथ रखता है जिससे पेपर विलोम जाँचता है: कोटि 12 का A₄, जिसका कोटि 6 का कोई उपसमूह नहीं। दूसरा अध्याय वलय, गुणजावलियाँ, गुणनखंडन प्रांत व क्षेत्र लेता है।

1. उपसमूह, सहसमुच्चय, लग्रांज व चक्रीय समूह

अरिक्त H ⊆ G उपसमूह है यदि और केवल यदि सभी a, b ∈ H हेतु ab⁻¹ ∈ H (परिमित H हेतु संवृतता पर्याप्त)। H के वाम सहसमुच्चय G को |H| आकार के भागों में विभाजित करते हैं, अतः लग्रांज: |H|, |G| को विभाजित करता है, और प्रत्येक अवयव की कोटि |G| को विभाजित करती है; अतः अभाज्य कोटि का समूह चक्रीय है, तथा a|G| = e। विलोम विफल है: A₄ की कोटि 12 है परंतु कोटि 6 का कोई उपसमूह नहीं।

चक्रीय समूह ℤₙ में गणना
राशिसूत्रउदाहरण
जनकφ(n)ℤ₂₀: φ(20) = 8
उपसमूहप्रत्येक d | n कोटि का ठीक एक, अर्थात् ⟨n/d⟩ℤ₁₂ के 6 उपसमूह
कोटि d के अवयवयदि d | n तो φ(d), अन्यथा 0ℤ₃₀ में कोटि 6 के φ(6) = 2 अवयव
a की कोटिn/gcd(a, n)ℤ₁₂ में 8 की कोटि 3
समाकारिताएँ ℤₘ → ℤₙgcd(m, n)ℤ₁₂ → ℤ₁₈: 6
ℤₙ की स्वाकारिताएँAut(ℤₙ) ≅ U(n), कोटि φ(n)|Aut(ℤ₁₅)| = 8

गुणन के अंतर्गत एककों का समूह U(n) = {a ∈ ℤₙ : gcd(a, n) = 1} की कोटि φ(n) है, और यह ठीक तब चक्रीय है जब n = 1, 2, 4, pᵏ या 2pᵏ हो, p विषम अभाज्य। अतः U(9) ≅ ℤ₆ चक्रीय है, जबकि U(8) = {1, 3, 5, 7} का प्रत्येक अवयव कोटि ≤ 2 का है और यह ℤ₂ × ℤ₂ है। ℤₘ × ℤₙ चक्रीय है यदि और केवल यदि gcd(m, n) = 1।

2. प्रसामान्य उपसमूह, विभाग समूह, समाकारिता व स्वाकारिता

N प्रसामान्य (N ⊴ G) है यदि सभी g हेतु gNg⁻¹ = N; तब सहसमुच्चय कोटि [G : N] का विभाग समूह G/N बनाते हैं। समाकारिता का अष्टि प्रसामान्य है, और प्रथम तुल्याकारिता प्रमेय G/ker φ ≅ φ(G) देता है; अतः |φ(G)|, |G| तथा लक्ष्य की कोटि दोनों को विभाजित करता है। समाकारिता ℤₘ → H, 1 के प्रतिबिंब से निर्धारित है, जो H का ऐसा कोई भी अवयव हो सकता है जिसकी कोटि m को विभाजित करे — इसीलिए ℤₘ → ℤₙ की gcd(m, n) समाकारिताएँ हैं।

  • सूचकांक 2 का प्रत्येक उपसमूह प्रसामान्य है; आबेली समूह का प्रत्येक उपसमूह प्रसामान्य है; केंद्र Z(G) प्रसामान्य है।
  • यदि G/Z(G) चक्रीय हो तो G आबेली है, अतः G/Z(G) कभी कोटि > 1 का चक्रीय नहीं; तथा Inn(G) ≅ G/Z(G)।
  • प्रसामान्यता संक्रामक नहीं: D₄ (कोटि 8) में परावर्तन से जनित कोटि 2 का उपसमूह क्लाइन चतुष्क-उपसमूह में प्रसामान्य है, जो D₄ में प्रसामान्य है, परंतु वह D₄ में प्रसामान्य नहीं।

3. क्रमचय समूह

प्रत्येक क्रमचय असंयुक्त चक्रों का गुणनफल है, क्रम तक अद्वितीयतः; उसकी कोटि चक्र-लंबाइयों का लघुत्तम समापवर्त्य है और उसका चिह्न (−1)((लंबाई − 1) का योग): k-चक्र ठीक तब सम है जब k विषम हो। सम क्रमचयों का Aₙ, Sₙ में सूचकांक 2 रखता है। Sₙ में दो क्रमचय संयुग्मी हैं यदि और केवल यदि उनका चक्र-प्रकार समान हो, अतः Sₙ के संयुग्मता वर्ग n के विभाजनों के संगत हैं; S₅ के 3-चक्र आकार (5·4·3)/3 = 20 का एक वर्ग बनाते हैं। केली: कोटि n का प्रत्येक समूह Sₙ में अंतःस्थापित होता है।

Sₙ के अवयव की अधिकतम कोटि: n के विभाजनों पर लघुत्तम समापवर्त्य अधिकतम करें
nश्रेष्ठ चक्र-प्रकारअधिकतम कोटि
5(2, 3)6
6(1, 2, 3) या (6)6
7(3, 4)12
8(3, 5)15

4. समूह क्रियाएँ व परिमित आबेली समूह

समुच्चय X पर G की क्रिया X को विभाजित करने वाली कक्षाएँ तथा स्थायीकारी Gₓ ≤ G देती है, कक्षा–स्थायीकारी प्रमेय |G·x| = [G : Gₓ] सहित। संयुग्मन क्रिया हेतु यह वर्ग समीकरण |G| = |Z(G)| + Σ [G : CG(xᵢ)] है, योग अकेंद्रीय वर्गों के प्रतिनिधियों पर। परिणाम: अतुच्छ p-समूह का केंद्र अतुच्छ होता है, तथा कोटि p² का प्रत्येक समूह आबेली है (≅ ℤp² या ℤₚ × ℤₚ)।

परिमित आबेली समूहों का मूल प्रमेय: प्रत्येक परिमित आबेली समूह अभाज्य-घात कोटि के चक्रीय समूहों का प्रत्यक्ष गुणनफल है, क्रम तक अद्वितीयतः। अतः कोटि p₁e₁⋯pke_{k} के आबेली समूहों की संख्या P(e₁)⋯P(ek) है, P विभाजन फलन (P(1) = 1, P(2) = 2, P(3) = 3, P(4) = 5, P(5) = 7)। कोटि 72 = 2³·3² से 3 × 2 = 6। ℤ₂ × ℤ₄ × ℤ₆ में 2 को विभाजित करने वाली कोटि के अवयव 2 × 2 × 2 = 8 हैं, अतः उनमें से 7 की कोटि ठीक 2 है।

5. सिलो प्रमेय व उनके अनुप्रयोग

मान लें |G| = pᵃm, p अभाज्य तथा p ∤ m। (I) G का कोटि pᵃ का उपसमूह (सिलो p-उपसमूह) है, और वस्तुतः प्रत्येक कोटि pᵇ, b ≤ a, का। (II) कोई भी दो सिलो p-उपसमूह संयुग्मी हैं, और प्रत्येक p-उपसमूह किसी एक में निहित है। (III) सिलो p-उपसमूहों की संख्या np, np ≡ 1 (mod p) तथा np | m संतुष्ट करती है। सिलो p-उपसमूह प्रसामान्य है यदि और केवल यदि np = 1।

मानक अनुप्रयोग
कोटिसिलो गणनानिष्कर्ष
15 = 3·5n₃ | 5, n₃ ≡ 1 (3) ⇒ 1; n₅ | 3, n₅ ≡ 1 (5) ⇒ 1दोनों प्रसामान्य, G ≅ ℤ₃ × ℤ₅ ≅ ℤ₁₅; सामान्यतः p < q तथा p ∤ q − 1 सहित pq चक्रीय है
12n₃ ∈ {1, 4}; यदि 4, तो वे कोटि 3 के 8 अवयव देते हैंशेष 4 अवयव अद्वितीय सिलो 2-उपसमूह बनाते हैं, अतः कोई सिलो उपसमूह प्रसामान्य है (A₄ में n₃ = 4)
S₅, कोटि 12024 पंच-चक्र, प्रत्येक सिलो 5-उपसमूह में 4n₅ = 6
168, G सरलn₇ | 24, n₇ ≡ 1 (7), n₇ ≠ 1 ⇒ n₇ = 8कोटि 7 के 8 × 6 = 48 अवयव
🧠 प्रसामान्य उपसमूह बाध्य करने हेतु अवयव गिनना
अभाज्य कोटि p के भिन्न उपसमूह केवल e में मिलते हैं, अतः कोटि p के np सिलो p-उपसमूह कोटि p के np(p − 1) अवयव देते हैं। यदि दो अभाज्यों पर ये गणनाएँ |G| से अधिक हों, तो कोई np अवश्य 1 है। |G| = 30 हेतु: n₃ = 10 तथा n₅ = 6, 20 + 24 = 44 > 30 अवयव देते, अतः कोटि 30 का समूह कभी सरल नहीं।

मुख्य बिंदु

  • लग्रांज: उपसमूह-कोटियाँ व अवयव-कोटियाँ |G| को विभाजित करती हैं; A₄ व 6 हेतु विलोम विफल।
  • ℤₙ में: φ(n) जनक, प्रत्येक भाजक हेतु एक उपसमूह, कोटि d के φ(d) अवयव; ℤₘ → ℤₙ की gcd(m, n) समाकारिताएँ; |Aut ℤₙ| = φ(n)।
  • U(n) ठीक n = 1, 2, 4, pᵏ, 2pᵏ हेतु चक्रीय है; ℤₘ × ℤₙ चक्रीय है यदि और केवल यदि gcd(m, n) = 1।
  • क्रमचय की कोटि उसकी चक्र-लंबाइयों का लघुत्तम समापवर्त्य है; Sₙ में संयुग्मता चक्र-प्रकार है; कोटि n के आबेली समूह अभाज्य घातांकों के विभाजनों से गिने जाते हैं।
  • सिलो: np ≡ 1 (mod p) तथा np, p′-भाग को विभाजित करता है; np = 1 अर्थात् प्रसामान्य; इसे बाध्य करने हेतु अभाज्य कोटि के अवयव गिनें।

अभ्यास प्रश्न (14)

उत्तर खोलने से पहले प्रत्येक प्रश्न हल करें। हर व्याख्या सही विकल्प के साथ लुभावना गलत विकल्प भी बताती है, क्योंकि अंक वहीं जाते हैं।

  1. चक्रीय समूह ℤ₂₀ के जनकों की संख्या ____ है।

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    उत्तर: 8

    k, ℤ₂₀ का जनक है यदि और केवल यदि gcd(k, 20) = 1, अतः संख्या φ(20) = 20 · (1 − 1/2)(1 − 1/5) = 8 है: अर्थात् 1, 3, 7, 9, 11, 13, 17, 19।

  2. समूह ℤ₂ × ℤ₄ × ℤ₆ में कोटि 2 के अवयवों की संख्या ____ है।

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    उत्तर: 7

    (a, b, c) की कोटि 2 को विभाजित करती है यदि और केवल यदि 2a = 0, 2b = 0, 2c = 0, जिसके प्रत्येक गुणक में 2 हल हैं (0 व कोटि 2 का अवयव), अतः 2³ = 8 अवयव। तत्समक हटाने पर ठीक कोटि 2 के 7 बचते हैं।

  3. ℤ₁₂ से ℤ₁₈ तक समूह समाकारिताओं की संख्या ____ है।

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    उत्तर: 6

    समाकारिता x = φ(1) से निर्धारित है, जिसे ℤ₁₈ में 12x = 0 संतुष्ट करना चाहिए, अर्थात् 18 | 12x, अर्थात् 3 | 2x, अर्थात् x ∈ {0, 3, 6, 9, 12, 15}। यह gcd(12, 18) = 6 समाकारिताएँ हैं। कोई भी एकैकी नहीं, क्योंकि प्रतिबिंब की कोटि 12 व 18 दोनों को विभाजित करती है, अतः अधिकतम 6 है।

  4. निम्नलिखित में से कौन-से समूह चक्रीय हैं?

    1. U(9), गुणन के अंतर्गत ℤ₉ के एकक
    2. U(8), गुणन के अंतर्गत ℤ₈ के एकक
    3. ℤ₄ × ℤ₆
    4. ℤ₃ × ℤ₁₀
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    उत्तर: A — U(9), गुणन के अंतर्गत ℤ₉ के एकक; D — ℤ₃ × ℤ₁₀

    (1) 9 = 3², अतः U(9) कोटि 6 का चक्रीय है, 2 से जनित (2, 4, 8, 7, 5, 1)। (2) U(8) = {1, 3, 5, 7}, प्रत्येक वर्ग 1: ℤ₂ × ℤ₂। (3) gcd(4, 6) = 2, अतः अधिकतम अवयव-कोटि lcm = 12 < 24। (4) gcd(3, 10) = 1, अतः ℤ₃ × ℤ₁₀ ≅ ℤ₃₀।

  5. चक्रीय समूह ℤ₁₅ के स्वाकारिता समूह की कोटि ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

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    उत्तर: 8

    स्वाकारिता जनक 1 को किसी अन्य जनक पर भेजती है, और प्रत्येक जनक एक देता है, अतः Aut(ℤ₁₅) ≅ U(15), कोटि φ(15) = φ(3)φ(5) = 2 × 4 = 8।

  6. सममित समूह S₇ के किसी अवयव की अधिकतम कोटि ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

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    उत्तर: 12

    क्रमचय की कोटि उसकी चक्र-लंबाइयों का लघुत्तम समापवर्त्य है, जो 7 का विभाजन करती हैं। विकल्प: 7 → 7; 6 + 1 → 6; 5 + 2 → 10; 4 + 3 → 12; 4 + 2 + 1 → 4; 3 + 2 + 2 → 6। अधिकतम 12 है, 4-चक्र व असंयुक्त 3-चक्र के गुणनफल से।

  7. S₆ में निम्नलिखित में से कौन-सा क्रमचय सम है?

    1. (1 2 3 4)(5 6)
    2. (1 2 3 4)
    3. (1 2)(3 4)(5 6)
    4. (1 2 3 4 5 6)
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — (1 2 3 4)(5 6)

    k-चक्र k − 1 पक्षांतरणों का गुणनफल है। (1 2 3 4)(5 6), 3 + 1 = 4 लेता है, सम। (1 2 3 4), 3 लेता है, विषम; (1 2)(3 4)(5 6), 3, विषम; 6-चक्र 5, विषम।

  8. परिमित समूहों हेतु कौन-से कथन सत्य हैं?

    1. कोटि p² (p अभाज्य) का प्रत्येक समूह आबेली है
    2. यदि G/Z(G) चक्रीय हो तो G आबेली है
    3. सूचकांक 2 का प्रत्येक उपसमूह प्रसामान्य है
    4. A₄ का कोटि 6 का उपसमूह है
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — कोटि p² (p अभाज्य) का प्रत्येक समूह आबेली है; B — यदि G/Z(G) चक्रीय हो तो G आबेली है; C — सूचकांक 2 का प्रत्येक उपसमूह प्रसामान्य है

    (2) यदि G/Z = ⟨gZ⟩, तो प्रत्येक अवयव gⁱz है, और ऐसे अवयव क्रमविनिमेय हैं। (1) वर्ग समीकरण से Z(G) ≠ {e}, अतः |G/Z|, 1 या p है, चक्रीय, और (2) लागू। (3) दो वाम सहसमुच्चय H व G ∖ H हैं, और दो दक्षिण सहसमुच्चय भी। (4) असत्य: A₄ में कोटि 3 के 8 अवयव हैं, और कोटि 6 का उपसमूह (सूचकांक 2, प्रसामान्य) उनके सभी वर्ग, अतः सभी 8, समाविष्ट करता।

  9. कोटि 72 के आबेली समूहों की संख्या, तुल्याकारिता तक, ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

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    उत्तर: 6

    72 = 2³ · 3²। 2-भाग ℤ₈, ℤ₄ × ℤ₂ या ℤ₂³ है (3 के विभाजन: तीन), तथा 3-भाग ℤ₉ या ℤ₃² (2 के विभाजन: दो)। मूल प्रमेय 3 × 2 = 6 देता है।

  10. S₅ में 3-चक्र (1 2 3) के संयुग्मता वर्ग में अवयवों की संख्या ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

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    उत्तर: 20

    S₅ में संयुग्मता चक्र-प्रकार है, अतः वर्ग सभी 3-चक्र हैं: 5 में से 3 प्रतीक चुनें (10 प्रकार) और उन्हें चक्रीय रूप से व्यवस्थित करें (2 प्रकार), कुल 20। कक्षा–स्थायीकारी से केंद्रीकारक की कोटि 120/20 = 6 है, अर्थात् ⟨(1 2 3)⟩ × ⟨(4 5)⟩।

  11. सममित समूह S₅ के सिलो 5-उपसमूहों की संख्या ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 6

    |S₅| = 120 = 2³ · 3 · 5, अतः सिलो 5-उपसमूह कोटि 5 का है और एक पंच-चक्र से जनित है। 4!/1 = 24 पंच-चक्र हैं और प्रत्येक उपसमूह में 4 हैं, अतः n₅ = 24/4 = 6, जो n₅ ≡ 1 (mod 5) तथा n₅ | 24 से संगत है।

  12. मान लें G कोटि 15 का समूह है। कौन-से कथन सत्य हैं?

    1. G चक्रीय है
    2. G का कोटि 5 का प्रसामान्य उपसमूह है
    3. G अनाबेली हो सकता है
    4. G में कोटि 15 के ठीक 8 अवयव हैं
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — G चक्रीय है; B — G का कोटि 5 का प्रसामान्य उपसमूह है; D — G में कोटि 15 के ठीक 8 अवयव हैं

    n₅, 3 को विभाजित करता है और ≡ 1 (mod 5), अतः n₅ = 1; इसी प्रकार n₃, 5 को विभाजित करता है और ≡ 1 (mod 3), अतः n₃ = 1। दोनों सिलो उपसमूह प्रसामान्य हैं और प्रतिच्छेद तुच्छ, अतः G ≅ ℤ₃ × ℤ₅ ≅ ℤ₁₅: चक्रीय, अतः आबेली, φ(15) = 8 जनकों सहित, जो कोटि 15 के अवयव हैं।

  13. मान लें G कोटि 12 का समूह है जिसके ठीक चार सिलो 3-उपसमूह हैं। तब

    1. G में कोटि 3 के ठीक 8 अवयव हैं तथा एक अद्वितीय, अतः प्रसामान्य, सिलो 2-उपसमूह
    2. G का प्रसामान्य सिलो 3-उपसमूह है
    3. G आबेली है
    4. G के ठीक तीन सिलो 2-उपसमूह हैं
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — G में कोटि 3 के ठीक 8 अवयव हैं तथा एक अद्वितीय, अतः प्रसामान्य, सिलो 2-उपसमूह

    कोटि 3 के चार उपसमूह, परस्पर e में मिलते हुए, कोटि 3 के 4 × 2 = 8 अवयव देते हैं। शेष 4 अवयव ही किसी भी सिलो 2-उपसमूह (कोटि 4) को बनाएँगे, अतः ठीक एक है और वह प्रसामान्य है। n₃ = 4 ≠ 1 अर्थात् कोई प्रसामान्य सिलो 3-उपसमूह नहीं, अतः G आबेली नहीं; A₄ उदाहरण है।

  14. मान लें G कोटि 168 का सरल समूह है। G में कोटि 7 के अवयवों की संख्या ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 48

    168 = 2³ · 3 · 7। n₇, 24 को विभाजित करता है तथा n₇ ≡ 1 (mod 7), अतः n₇ ∈ {1, 8}; सरलता 1 को नकारती है, अतः n₇ = 8। अभाज्य कोटि 7 के उपसमूह केवल e में मिलते हैं, अतः वे कोटि 7 के 8 × 6 = 48 अवयव देते हैं।