सर्वेक्षण: त्रुटियाँ व समायोजन, समतलन, ट्रैवर्स, त्रिभुजन व वक्र

भू-सूचना अभियांत्रिकी सिविल अभियांत्रिकी पेपर का खंड 7 है, और उस पेपर का एकमात्र खंड जो अभिकल्प नहीं, मापन करता है, और वह उलटाव यह बदल देता है कि सही उत्तर का अर्थ ही क्या है। पेपर में अन्यत्र हर राशि या तो सही है या गलत; यहाँ हर राशि एक त्रुटि ले जाती है, वह त्रुटि भूल नहीं है, और अभियांत्रिकी इसमें है कि आपके पास किस प्रकार की त्रुटि है यह जानना और उसका क्या किया जा सकता है। सर्वेक्षण के सिद्धांत दो कार्यकारी नियमों में सिमट जाते हैं — सदा सम्पूर्ण से अंश की ओर काम कीजिए, ताकि छोटी त्रुटि फैलने के बजाय स्थानीय रहे, और सदा अज्ञातों से अधिक प्रेक्षण दीजिए, ताकि अतिरिक्त की जाँच स्वयं से हो सके। नीचे का सब कुछ उन दो नियमों में से किसी एक का विशेष वेश है। जो वर्गीकरण महत्त्व रखता है वह पाठ्यपुस्तक की सूची नहीं, एक ही प्रश्न है: क्या त्रुटि एक मापन से दूसरे तक चिह्न बदलती है? यादृच्छिक त्रुटि बदलती है — उसके धनात्मक होने की उतनी ही संभावना है जितनी ऋणात्मक — अतः बारंबार मापन परस्पर खींचते हैं और माध्य किसी भी एकल पाठ्यांक से बेहतर है: यादृच्छिक त्रुटि केवल √n की भाँति संचित होती है। व्यवस्थित त्रुटि नहीं बदलती — 5 mm छोटा फीता हर बार 5 mm छोटा है — अतः पुनरावृत्ति उसे पूरा संचित करती है, n की भाँति, और औसत लेना कुछ भी नहीं करता। नीचे हल किए अंक अंतर को उसके सर्वाधिक तीक्ष्ण रूप में रखते हैं: 100 मापनों पर वही 0.05 m त्रुटि व्यवस्थित हो तो 5.00 m देती है और यादृच्छिक हो तो 0.50 m, अर्थात् दस गुना अंतर। यही कारण है कि सर्वेक्षण केवल मापा नहीं, समायोजित भी किया जाता है, यही कि ट्रैवर्स अपने आरंभ पर वापस बंद किया जाता है, बाहर तक चलाकर भरोसा नहीं किया जाता, और यही कि नए यंत्र के साथ पहला काम उसे ज्ञात लंबाई पर अंशांकित करना है। दूसरा संयोजक विचार यह है कि सर्वेक्षण का आकार उसकी स्थिति से पूर्व जाँचा जाता है: पहले कोण, फिर दूरियाँ, और जो बंदी विफल हो उसे सब कुछ पुनः मापकर नहीं, त्रुटि बाँटकर सुधारा जाता है — बॉडिच नियम वही है, और यही कारण कि वह लंबाई के समानुपात में बाँटता है।

त्रुटियाँ, और वह एकमात्र प्रश्न जो उन्हें वर्गीकृत करता है

तीनों प्रकार, और प्रत्येक किससे प्रभावित होता है
प्रकारपुनरावृत्ति पर व्यवहारकिस भाँति संचितएकमात्र उपचार
भूल (चूक)मनमाना — गलत पढ़ा स्टाफ़, अदल-बदल अंकबिलकुल नहीं — वह एक गलत मान हैस्वतंत्र जाँच से संसूचन, फिर त्याग
व्यवस्थित (संचयी)हर बार वही चिह्न — छोटा फीता, अनंशांकित यंत्र, झोल, तापमानn — पूरा, हर बारअंशांकन व निकाला गया संशोधन। औसत कुछ नहीं करता
यादृच्छिक (आकस्मिक)चिह्न बदलता है — अंतिम अंक का आकलन, बुलबुला बैठाना, लक्ष्यन√n — पाठ्यांक आंशिक रूप से कट जाते हैंपुनरावृत्ति व न्यूनतम-वर्ग समायोजन
🎯 औसत लेना ऐसा उपकरण है जो तीनों में ठीक एक पर काम करता है
प्रति मापन 0.05 m त्रुटि लीजिए। यदि वह यादृच्छिक है तो n मापन 0.05√n संचित करते हैं: दस पर 0.158 m, सौ पर 0.500 m। यदि वह व्यवस्थित है तो वे 0.05n संचित करते हैं: दस पर 0.500 m, सौ पर 5.000 m। n = 100 पर वही प्रति-मापन त्रुटि से दोनों दस गुना अलग हैं, और अंतर सदा √n की भाँति बढ़ता जाता है। यही कारण है कि वर्गीकरण शैक्षणिक लेखांकन नहीं है। जो सर्वेक्षक लंबी रेखा बारंबार मापकर औसत ले वह यादृच्छिक त्रुटि वस्तुतः सुधार चुका है और व्यवस्थित को छुआ तक नहीं — 5 mm छोटे फीते के सौ पाठ्यांकों का माध्य प्रति फीता-लंबाई अब भी 5 mm छोटा है, और अब वह सौ पाठ्यांकों का मिथ्या अधिकार भी ले जाता है। व्यवस्थित त्रुटि का उपचार पुनरावृत्ति कभी नहीं; वह ज्ञात मानक के सामने अंशांकन व निकाला गया संशोधन है: फीता-लंबाई हेतु मानकीकरण, साथ में तापमान, कर्षण, झोल व ढाल के संशोधन। यह भी ध्यान दीजिए कि दोनों अतिरेक-जाँचों पर भिन्न व्यवहार करते हैं। यादृच्छिक त्रुटि छोटी, अपूर्वानुमेय बंदी-त्रुटि के रूप में दिखती है, और बॉडिच समायोजन उसी को बाँटने हेतु अभिकल्पित है। व्यवस्थित त्रुटि ट्रैवर्स को पूर्ण रूप से बंद कर सकती है जबकि उसकी हर दूरी गलत हो — क्योंकि मापनी-त्रुटि हर पाद को समानुपात में प्रभावित करती है और लूप के चारों ओर कट जाती है। अतः पूर्ण बंदी केवल यादृच्छिक त्रुटि का साक्ष्य है, और यही इस अध्याय की सर्वाधिक उपयोगी चेतावनी है।

मानचित्र, मापनी व निर्देशांक पद्धतियाँ

मापनी एक अनुपात है, और उसके दोनों जाल इस विषय में हैं कि वह अनुपात क्षेत्रफल व आलेखन शुद्धता के साथ क्या करता है। 1:1000 से 1:2000 तक मापनी आधी करने पर वह क्षेत्रफल एक-चौथाई हो जाता है जो शीट प्रति इकाई भूमि दर्शाती है — क्षेत्रफल निरूपक भिन्न के वर्ग से चलते हैं — अतः जो प्रश्न आलेखित क्षेत्रफल को भूमि-क्षेत्रफल में बदले और मापनी का वर्ग करना भूल जाए वह उसी गुणक से गलत है। और जो न्यूनतम दूरी आलेखित कर आँख से पढ़ी जा सके वह लगभग 0.25 mm है, अतः 1:1000 पर भूमि पर 0.25 m से महीन कुछ भी दिखाया ही नहीं जा सकता: मिलीमीटर तक मापना और 1:1000 पर आलेखित करना ऐसी परिशुद्धता मापना है जिसे मानचित्र ले ही नहीं सकता, यही कारण है कि सर्वेक्षण-शुद्धता मानचित्र-मापनी से चुनी जाती है, उल्टा नहीं।

तत्पश्चात् निर्देशांक पद्धति को तीन पृथक वस्तुएँ चाहिए, और उन्हें मिला देना सर्वाधिक सामान्य संकल्पनात्मक त्रुटि है। डेटम संदर्भ पृष्ठ नियत करता है — ऊँचाइयों हेतु भूआभ (माध्य समुद्र तल), स्थितियों हेतु WGS-84 जैसा दीर्घवृत्तज — और दो डेटम एक ही बिंदु को दसियों मीटर अलग रख सकते हैं। प्रक्षेप वक्र पृष्ठ को समतल पर प्रतिचित्रित करता है, और चूँकि वह विरूपण के बिना ज्यामितीय रूप से असंभव है, हर प्रक्षेप कुछ गुण बचाता व कुछ नष्ट करता है: अनुरूप प्रक्षेप कोण बचाता व क्षेत्रफल खींचता है, समक्षेत्र प्रक्षेप उल्टा करता है, और कोई भी प्रक्षेप दोनों नहीं करता। तत्पश्चात् ग्रिड वह आयताकार निर्देशांक पद्धति है जो प्रक्षेप पर बिछाई जाती है, और जिसमें सर्वेक्षक वस्तुतः गणना करता है। व्यावहारिक परिणाम यह है कि भूमि पर मापी दूरी, दीर्घवृत्तज पर की दूरी तथा ग्रिड पर की दूरी तीन भिन्न संख्याएँ हैं, जो ऊँचाई-संशोधन व मापनी-गुणक से संबंधित हैं — किसी स्थल पर छोटी, किसी राज्य पर निर्णायक।

समतलन, और वह संशोधन जो दूरी के वर्ग से बढ़ता है

सामान्य विभेदी समतलन पश्च-दृष्टियों व अग्र-दृष्टियों की शृंखला से किसी बेंचमार्क से ऊँचाई ले जाता है, और उसकी अंकगणितीय जाँच ठीक-ठीक व अपरिहार्य है: ΣBS − ΣFS = अंतिम RL − प्रथम RL। ΣBS = 4.965 व ΣFS = 7.035 पर अंतर −2.070 है, अतः 100.000 का प्रथम समानीत तल 97.930 का अंतिम देता है, और जो भी समानयन यह जाँच न पूरी करे उसमें अंकगणितीय त्रुटि है, क्षेत्र-कार्य कितना भी सावधान रहा हो। दोनों समानयन विधियाँ — यंत्र-ऊँचाई तथा उत्थान व पतन — ठीक एक बात में भिन्न हैं जो याद रखने योग्य है: उत्थान व पतन प्रत्येक मध्यवर्ती दृष्टि पर जाँच देती है (ΣUत्थान − ΣPतन भी अंतिम तलों के अंतर के बराबर होना चाहिए), जबकि यंत्र-ऊँचाई केवल परिवर्तन-बिंदु जाँचती है। इससे उत्थान व पतन धीमी होती है और वहाँ उचित जहाँ मध्यवर्ती दृष्टियाँ महत्त्व रखें, और यंत्र-ऊँचाई परिवर्तन-बिंदुओं की लंबी रेखा पर उचित।

⚠️ वक्रता व अपवर्तन 1 km पर उपेक्षणीय हैं और 5 पर नहीं
समतल रेखा क्षैतिज है; पृथ्वी का पृष्ठ नहीं। D लंबाई की दृष्टि पर पृथ्वी की वक्रता वस्तुतः क्षैतिज रेखा को समतल पृष्ठ से D²/2R ऊपर कर देती है, अतः दूर के स्टाफ़ का पाठ्यांक बहुत बड़ा होता है। उसके विरुद्ध कार्य करते हुए अपवर्तन दृष्टि-रेखा को नीचे मोड़ता है, उसका लगभग सातवाँ भाग वापस देते हुए, और मानक संयुक्त संशोधन +0.06728 D² मीटर है (D किलोमीटर में), जिसे त्रिकोणमितीय ऊँचाई-अंतर में जोड़ना है। महत्त्वपूर्ण विशेषता वर्ग है। D = 1 km पर संशोधन 0.067 m है — अधिकांश सर्वेक्षण-सह्यताओं से छोटा, और सामान्यतः उपेक्षित। D = 5 km पर वह 1.682 m है, पच्चीस गुना बड़ा, और उसे उपेक्षित करना स्थूल त्रुटि होगी। अतः ईमानदार कथन "वक्रता व अपवर्तन उपेक्षणीय हैं" नहीं, बल्कि "वे सामान्य दृष्टि-लंबाइयों पर उपेक्षणीय हैं और लंबी पर हावी" है। दो परिणाम निकलते हैं। विभेदी समतलन में संशोधन लगभग ठीक-ठीक कट जाता है यदि पश्च- व अग्र-दृष्टि की दूरियाँ समान रखी जाएँ, यही कारण है कि दृष्टियाँ संतुलित करना नखरा नहीं, मानक व्यवहार है — वह वक्रता, अपवर्तन व कोई भी अवशिष्ट संरेखण-त्रुटि साथ हटा देता है। लंबी रेखा पर त्रिकोणमितीय समतलन में कटने को कुछ है ही नहीं, अतः संशोधन निकालकर लगाना होगा: D = 1000 m पर α = 2.5° संशोधन से पूर्व h = D tan α = 43.661 m देता है और उसके बाद 43.728 m।

ट्रैवर्स: बंदी, और त्रुटि कैसे बाँटी जाती है

बंद ट्रैवर्स अपने आरंभ-बिंदु पर लौटता है, अतः उसके अक्षांशों (L cos θ) व विचलनों (L sin θ) के योग प्रत्येक शून्य होने चाहिए। वे कभी नहीं होते। शेष ΣL व ΣD दोनों दिशाओं में बंदी-त्रुटि हैं, और अ-बंदी का परिमाण e = √(ΣL² + ΣD²) है। ΣL = +0.15 m व ΣD = −0.20 m पर वह ठीक 0.250 m है, और 700 m परिमाप पर आपेक्षिक त्रुटि 0.25/700 = 1 में 2800 है — वही आँकड़ा जिससे ट्रैवर्स स्वीकृत या अस्वीकृत होता है, क्योंकि वह विमाहीन है और सर्वेक्षण का आकार जो भी हो, विशिष्टि से तुलनीय है।

दोनों समायोजन नियम, और प्रत्येक कब उचित
नियमसंशोधन किसके समानुपात में बाँटा जाता हैक्या मानता है
बॉडिच (कंपास नियम)प्रत्येक पाद की लंबाई: संशोधन = −Σ × (पाद/परिमाप)कोण व दूरियाँ समान रूप से विश्वसनीय — सामान्य स्थिति
ट्रांज़िट नियमस्वयं अक्षांश या विचलन: −ΣL × (|अक्षांश|/Σ|अक्षांश|)कोण दूरियों से अधिक विश्वसनीय — फीते वाली भुजाओं सहित थियोडोलाइट ट्रैवर्स
🧠 बॉडिच, एक पाद पर हल किया
ऊपर के ट्रैवर्स हेतु — ΣL = +0.15, ΣD = −0.20, परिमाप 700 m — 200 m के पाद पर संशोधन हैं ΔLat = −0.15 × 200/700 = −0.0429 m तथा ΔDep = −(−0.20) × 200/700 = +0.0571 m। दो बातें स्पष्ट रखिए। संशोधन अ-बंदी से विपरीत चिह्न का है, क्योंकि आप उसे हटा रहे हैं; चिह्न गलत करने पर त्रुटि मिटने के बजाय दुगुनी हो जाती है, और जाँच यह है कि समायोजन के बाद योग ठीक शून्य होने चाहिए। और अनुपात पाद/परिमाप है, पाद/पादों की संख्या नहीं — बॉडिच मानता है कि त्रुटि तय की गई दूरी के साथ संचित होती है, यही कारण है कि लंबा पाद छोटे से अधिक संशोधन सोखता है। बॉडिच व ट्रांज़िट के बीच चयन सीधे इससे निकलता है कि आप किस मापन पर कम भरोसा करते हैं। बॉडिच त्रुटि लंबाई से फैलाता है क्योंकि वह मानता है कि कोण व दूरियाँ दोनों योगदान देते हैं; ट्रांज़िट उसे स्वयं अक्षांशों व विचलनों के आकार से फैलाता है, जो दिकमानों को लगभग अपरिवर्तित छोड़ता है और अतः तब उचित है जब कोण भुजाओं से कहीं अधिक परिशुद्धता से मापे गए हों। आधुनिक टोटल स्टेशन के साथ, जो दोनों तुलनीय परिशुद्धता से मापता है, बॉडिच मानक है — और GNSS नियंत्रण के साथ प्रायः बाँटने को कोई अ-बंदी होती ही नहीं, क्योंकि हर बिंदु पिछले से आगे ले जाया नहीं, स्वतंत्र रूप से नियत होता है।

त्रिभुजन उसी समस्या को उल्टे ढंग से हल करता है। जहाँ ट्रैवर्स हर दूरी मापता है और त्रुटि शृंखला भर आगे ले जाता है, वहीं त्रिभुजन एक दूरी मापता है — आधार रेखा, उपलब्ध उच्चतम परिशुद्धता तक — और तत्पश्चात् त्रिभुजों के जाल में कोण मापकर व साइन नियम से हल कर हर दूसरी लंबाई प्राप्त करता है। उसका तर्क ऊपर की त्रुटि-चर्चा का सीधा परिणाम है: ऐतिहासिक रूप से कोण लंबी दूरियों की अपेक्षा कहीं सरलता से परिशुद्ध मापे जा सकते थे, अतः कोणों व एक सावधानी से मापी आधार रेखा पर बना जाल मापी लंबाइयों की शृंखला से अधिक शुद्ध था। वह स्व-जाँची भी है, क्योंकि हर त्रिभुज के तीनों कोणों का योग 180° होना चाहिए (बड़े क्षेत्रों पर गोलीय आधिक्य सहित), जो किसी बुरे प्रेक्षण को फैलने के बजाय एक ही त्रिभुज तक सीमित कर देता है। इलेक्ट्रॉनिक दूरी-मापन और तत्पश्चात् GNSS ने ऐतिहासिक लाभ उलट दिया, अतः आधुनिक नियंत्रण त्रिपार्श्वन या उपग्रह-आधारित है — पर त्रिभुज-योग जाँच सर्वत्र टिकी है, क्योंकि अतिरेक ही सर्वेक्षण को मात्र पूर्ण नहीं, सत्यापनीय बनाता है।

क्षैतिज व ऊर्ध्वाधर वक्र निर्धारण

सरल वृत्ताकार वक्र, R = 300 m, विचलन कोण Δ = 40°
तत्त्वसूत्रमान
स्पर्शी लंबाईT = R tan(Δ/2)109.19 m
वक्र लंबाई (चाप)L = RΔ (Δ रेडियन में) = πRΔ°/180209.44 m
दीर्घ जीवा= 2R sin(Δ/2)205.21 m
शीर्ष दूरीE = R(sec(Δ/2) − 1)19.25 m
मध्य-कोटिM = R(1 − cos(Δ/2))18.09 m
वक्र कोटि (30 m चाप)D = 30 × 180/(πR)5.73°

दूरी व कोण मापन इस सबका निवेश है, और दोनों ने ऐतिहासिक रूप से स्थान बदल लिए हैं। दूरी एक समय कठिन मापन थी — ज़ंजीर या फीता, मानकीकरण, तापमान, कर्षण, झोल व ढाल हेतु संशोधित, हर संशोधन व्यवस्थित — जबकि कोण थियोडोलाइट से कुछ सेकंडों तक मिल जाता था। इलेक्ट्रॉनिक दूरी-मापन ने वह उलट दिया: टोटल स्टेशन किसी माडुलित अवरक्त किरण का समय लेकर ढाल-दूरी मापता है और उसे भीतर ही क्षैतिज में समानीत कर देता है, अतः दूरी अब सरल मापन है और अवशिष्ट कठिनाई कोण में है, जहाँ संरेखण, ट्रनियन-अक्ष व उत्केंद्रता त्रुटियाँ दोनों फलकों पर प्रेक्षण कर व पाठ्यांकों का माध्य लेकर हटाई जाती हैं। वह समतलन में दृष्टि-लंबाइयाँ संतुलित करने जैसा ही व्यवस्थित-त्रुटि अनुशासन है, भिन्न यंत्र पर लगाया गया।

ऊर्ध्वाधर वक्र क्षैतिज वक्रों के साथ जोड़ी पूरी करते हैं। ज्यामितीय रूप से वे राजमार्ग-अभिकल्प की वही समस्या हैं — दो प्रवणताओं को जोड़ता परवलय, जिसकी लंबाई शिखर पर दृष्टि दूरी से और घाटी में सुविधा व हेडलाइट-पहुँच से नियंत्रित होती है — पर सर्वेक्षक का काम अभिकल्पक के काम से भिन्न है: लंबाई व प्रवणताएँ दी हुई होने पर उसके अनुदिश प्रत्येक खूँटे का समानीत तल निर्धारित करना। स्पर्शी से कोटियाँ स्पर्श-बिंदु से दूरी के वर्ग की भाँति चलती हैं, अतः तलों की तालिका एक बार निकाली जाती है और एक ही यंत्र-स्थापन से खूँटे लगाए जाते हैं, और जाँच यह है कि दोनों स्पर्श-बिंदु व मध्य-बिंदु अभिकल्पित प्रवणताएँ पुनःनिर्मित करें। त्रुटि-प्रसार का तर्क नीचे की विचलन-कोण विधि जैसा ही है: प्रत्येक खूँटा पिछले खूँटे से नहीं, किसी ज्ञात संदर्भ से नियत कीजिए।

ध्यान दीजिए कि चाप-लंबाई दीर्घ जीवा से अधिक है — 209.44 बनाम 205.21 — और होनी भी चाहिए, तथा जीवा से छोटी निकली "वक्र लंबाई" तत्काल गलत सूत्र का चिह्न है। क्षेत्र में वक्र स्पर्शी से विचलन कोणों द्वारा निर्धारित किया जाता है (रैंकिन विधि), क्योंकि उसमें वक्र-बिंदु पर केवल एक यंत्र-स्थापन व एक फीता चाहिए, और हर बिंदु पिछले बिंदु से नहीं, किसी नियत संदर्भ से घुमाए गए कोण से नियत होता है — अतः एक भूल वक्र भर नहीं फैलती। अवरुद्ध स्थलों हेतु द्वि-थियोडोलाइट व कोटि विधियाँ हैं, पर ठीक उसी त्रुटि-प्रसार कारण से विचलन विधि मानक है, और वही सिद्धांत इस सम्पूर्ण अध्याय में चलता है: ऐसी विधि को वरीयता दीजिए जिसकी त्रुटियाँ संचित न हों।

मुख्य बिंदु

  • यादृच्छिक त्रुटि √n की भाँति संचित होती है और औसत सहायक है; व्यवस्थित n की भाँति और औसत कुछ नहीं करता।
  • ट्रैवर्स पूर्ण रूप से बंद हो सकता है जबकि उसकी हर दूरी गलत हो — मापनी-त्रुटि लूप के चारों ओर कट जाती है।
  • बंदी-त्रुटि e = √(ΣL² + ΣD²); निर्णय आपेक्षिक त्रुटि e/परिमाप पर होता है।
  • बॉडिच पाद-लंबाई से बाँटता है; ट्रांज़िट स्वयं अक्षांश या विचलन से, जब कोण बेहतर मापन हों।
  • वक्रता व अपवर्तन +0.06728 D² km से संशोधित होते हैं — 1 km पर 0.067 m पर 5 km पर 1.682 m।
  • समतलन जाँच ΣBS − ΣFS = अंतिम RL − प्रथम RL, और दृष्टि-लंबाइयाँ संतुलित करना वक्रता, अपवर्तन व संरेखण साथ काट देता है।

अभ्यास प्रश्न (8)

उत्तर खोलने से पहले प्रत्येक प्रश्न हल करें। हर व्याख्या सही विकल्प के साथ लुभावना गलत विकल्प भी बताती है, क्योंकि अंक वहीं जाते हैं।

  1. 700 m कुल परिमाप वाले किसी बंद ट्रैवर्स में अक्षांशों का योग +0.15 m तथा विचलनों का योग −0.20 m है। बंदी-त्रुटि मीटर में ______ है (तीन दशमलव तक)

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 0.25

    0.250 m। बंद ट्रैवर्स वहीं लौटता है जहाँ से आरंभ हुआ, अतः अक्षांशों व विचलनों का योग प्रत्येक शून्य होना चाहिए; शेष दो लंबवत दिशाओं में विभाजित अ-बंदी हैं, और परिमाण उनका परिणामी: e = √(0.15² + 0.20²) = √(0.0225 + 0.0400) = √0.0625 = 0.250 m — 0.05 से गुणित 3–4–5 त्रिभुज। पर जिस संख्या पर वस्तुतः निर्णय होता है वह आपेक्षिक त्रुटि है, e/परिमाप = 0.25/700 = 1 में 2800, क्योंकि वह विमाहीन है और ट्रैवर्स का आकार जो भी हो, विशिष्टि के सामने जाँची जा सकती है: 0.25 m अ-बंदी 5 km ट्रैवर्स पर उत्कृष्ट है और 50 m वाले पर अस्वीकार्य। सामान्य सीमाएँ कंपास ट्रैवर्स हेतु लगभग 1 में 1000 से लेकर परिशुद्ध थियोडोलाइट कार्य हेतु 1 में 10,000 या बेहतर तक चलती हैं, अतः 1 में 2800 बीच में बैठता है — विवरण-सर्वेक्षण हेतु स्वीकार्य, नियंत्रण हेतु नहीं। दो और बिंदु। अ-बंदी की दिशा, tan⁻¹(ΣD/ΣL), निकालने योग्य है यद्यपि प्रश्न नहीं पूछता: जो अ-बंदी किसी एक विशेष पाद के अनुदिश हो वह प्रायः संचित यादृच्छिक त्रुटि के बजाय उसी पाद की भूल की ओर संकेत करती है, और भूल खोजकर हटानी होती है, समायोजित कभी नहीं। और पूर्ण बंदी दिखने से कमज़ोर साक्ष्य है — मापनी-त्रुटि वाला फीता हर पाद को समानुपात में प्रभावित करता है और लूप के चारों ओर काफी हद तक कट जाता है, अतः ट्रैवर्स सुंदर रूप से बंद हो सकता है जबकि उसकी हर दूरी गलत हो। बंदी यादृच्छिक त्रुटि जाँचती है; व्यवस्थित त्रुटि केवल अंशांकन जाँचता है।

  2. कोई सर्वेक्षक 5 mm छोटे फीते से लंबी रेखा 100 बार मापता है और परिणामों का औसत लेता है। त्रुटि पर औसत लेने का प्रभाव है कि

    1. वह उसका कुछ भी नहीं हटाता — व्यवस्थित त्रुटि कितनी भी बार दोहराई जाए, पूरी संचित होती है
    2. वह त्रुटि 10 गुना घटाता है, क्योंकि यादृच्छिक त्रुटियाँ √n से गिरती हैं
    3. वह त्रुटि 100 गुना घटाता है, क्योंकि n पाठ्यांकों का माध्य n गुना बेहतर है
    4. वह त्रुटि पूर्णतः हटा देता है, क्योंकि धनात्मक व ऋणात्मक विचलन कट जाते हैं
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — वह उसका कुछ भी नहीं हटाता — व्यवस्थित त्रुटि कितनी भी बार दोहराई जाए, पूरी संचित होती है

    वह उसका कुछ भी नहीं हटाता। 5 mm छोटा फीता हर मापन पर, उसी दिशा में, 5 mm छोटा है, अतः पाठ्यांकों के कटने को कुछ है ही नहीं। औसत केवल वहाँ काम करता है जहाँ विचलन चिह्न बदलें, और व्यवस्थित त्रुटि परिभाषा से नहीं बदलती। सौ पाठ्यांकों का माध्य ठीक उतना ही गलत है जितना एक पाठ्यांक — और अब वह सौ का मिथ्या अधिकार भी ले जाता है, और व्यावहारिक संकट यही है। दोनों व्यवहारों की तुलना संख्याओं से कीजिए, क्योंकि अंतर चौंकाने वाला है। प्रति मापन 0.05 m त्रुटि लीजिए। यदि वह यादृच्छिक है तो n मापन 0.05√n संचित करते हैं: दस पर 0.158 m; सौ पर 0.500 m। यदि वह व्यवस्थित है तो वे 0.05n संचित करते हैं: दस पर 0.500 m; सौ पर 5.000 m — n = 100 पर दस गुना अंतर, और सदा √n की भाँति बढ़ता हुआ। वर्गीकरण के महत्त्व का सम्पूर्ण कारण यही है। विकल्प (ब) √n नियम गलत प्रकार की त्रुटि पर लगाता है; विकल्प (स) ऐसा नियम गढ़ता है जो किसी पर लागू नहीं; विकल्प (द) वह वर्णन करता है जो यादृच्छिक त्रुटियों के साथ n → ∞ पर होता है, और वहाँ भी कमी पूर्ण नहीं, अनंतस्पर्शी है। फीते का सही उपचार अंशांकन है: उसकी तुलना मानकीकृत लंबाई से कीजिए, प्रति फीता-लंबाई संशोधन निकालिए, और लगाइए — साथ में तापमान, कर्षण, झोल व ढाल के संशोधन, जो ठीक उसी कारण से व्यवस्थित हैं। जो सर्वेक्षक न बता सके कि उसके कार्य पर किस प्रकार की त्रुटि हावी है वह यह भी नहीं बता सकता कि इन दो उपचारों में से कौन-सा उठाए, और गलत उठाने पर सर्वेक्षण आत्मविश्वास सहित गलत रह जाता है।

  3. किसी सरल वृत्ताकार वक्र की त्रिज्या 300 m व विचलन कोण 40° है। उसकी स्पर्शी लंबाई मीटर में ______ है (दो दशमलव तक)

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

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    उत्तर: 109.19

    109.19 m। T = R tan(Δ/2) = 300 × tan 20° = 300 × 0.36397 = 109.19 m। अर्ध-कोण वहीं है जहाँ अंक खोए जाते हैं: tan 40° लेने पर 251.73 m आता है, जो त्रिज्या से अधिक है और देखते ही असंभव पहचाना जाना चाहिए, क्योंकि 40° वक्र की स्पर्शी लंबाई उसकी त्रिज्या के निकट नहीं पहुँच सकती। शेष वक्र उन्हीं दो निवेशों से निकलता है और समुच्चय के रूप में निकालने योग्य है, क्योंकि प्रत्येक तत्त्व दूसरों की जाँच करता है। चाप-लंबाई L = RΔ, Δ रेडियन में = 300 × 0.69813 = 209.44 m। दीर्घ जीवा = 2R sin(Δ/2) = 205.21 m। शीर्ष दूरी E = R(sec(Δ/2) − 1) = 19.25 m, तथा मध्य-कोटि M = R(1 − cos(Δ/2)) = 18.09 m। दो विवेक-जाँचें तुरंत निकलती हैं: चाप दीर्घ जीवा से अधिक होनी चाहिए (209.44 > 205.21 ✓), क्योंकि वक्र अपने सिरों को जोड़ती सीधी रेखा से लंबा है, तथा शीर्ष दूरी मध्य-कोटि से अधिक होनी चाहिए (19.25 > 18.09 ✓), क्योंकि शीर्ष वक्र के बाहर है और मध्य-कोटि भीतर। इनमें से किसी का उल्लंघन करता उत्तर सूत्र-त्रुटि रखता है। वक्र कोटि भी ध्यान दीजिए, 30 m चाप परिभाषा पर D = 30 × 180/(πR) = 5.73° — भारतीय व्यवहार चाप-परिभाषा प्रयोग करता है, और 30 m जीवा परिभाषा वाला प्रश्न कुछ भिन्न मान देता है, अतः पढ़िए कि कौन-सी अभीष्ट है। क्षेत्र में वक्र स्पर्शी से विचलन कोणों द्वारा निर्धारित होता है, क्योंकि तब हर बिंदु पिछले बिंदु से नहीं, नियत संदर्भ से कोण द्वारा नियत होता है, अतः एक भूल वक्र भर नहीं फैलती — वही त्रुटि-प्रसार सिद्धांत जो इस सम्पूर्ण अध्याय में चलता है।

  4. प्रश्न 1 के ट्रैवर्स हेतु (ΣLat = +0.15 m, ΣDep = −0.20 m, परिमाप 700 m), 200 m पाद के विचलन पर बॉडिच संशोधन, मीटर में, ______ है (चार दशमलव तक, चिह्न सहित)

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: +0.0571

    +0.0571 m। बॉडिच (कंपास) नियम प्रत्येक अ-बंदी को पाद की लंबाई के समानुपात में बाँटता है: विचलन पर संशोधन = −ΣDep × (पाद लंबाई/परिमाप) = −(−0.20) × 200/700 = +0.20 × 0.28571 = +0.0571 m। तदनुरूप अक्षांश-संशोधन −0.15 × 200/700 = −0.0429 m है। दो बातें तय करती हैं कि यह सही है या नहीं। चिह्न अ-बंदी से विपरीत है, क्योंकि संशोधन उसे हटाता है — उसे उल्टा करने पर त्रुटि मिटने के बजाय दुगुनी हो जाती है, और जाँच यह है कि हर पाद पर संशोधन लगाने के बाद अक्षांशों व विचलनों के योग ठीक शून्य होने चाहिए। और अनुपात पाद/परिमाप है, पाद/पादों की संख्या नहीं: बॉडिच मानता है कि त्रुटि तय की गई दूरी के साथ संचित होती है, अतः लंबे पाद को समानुपात में बड़ा भाग मिलता है। नियम की अभिधारणा यह है कि कोण व दूरियाँ समान रूप से विश्वसनीय हैं, जो आधुनिक टोटल स्टेशन के साथ सामान्य स्थिति है, जो दोनों तुलनीय परिशुद्धता से मापता है। जहाँ कोण भुजाओं से कहीं बेहतर हों — फीते वाली दूरियों सहित परिशुद्ध थियोडोलाइट ट्रैवर्स — वहाँ इसके स्थान पर ट्रांज़िट नियम वरीय है: वह अ-बंदी को लंबाइयों के बजाय स्वयं अक्षांशों व विचलनों के समानुपात में बाँटता है, जो दिकमानों को लगभग अपरिवर्तित छोड़ता है और अधिकांशतः दूरियाँ समायोजित करता है। उनके बीच चयन यह कथन है कि आप किस मापन पर कम भरोसा करते हैं, और वह मनमाना नहीं। एक चेतावनी ले जाने योग्य: समायोजन केवल यादृच्छिक त्रुटि हेतु वैध है। यदि अ-बंदी बड़ी हो, या किसी एक विशेष पाद की दिशा के अनुदिश हो, तो वह अधिक संभावना से उसी पाद की भूल है — और भूल खोजकर पुनः मापनी होती है, कभी सम्पूर्ण ट्रैवर्स पर फैलाई नहीं जाती, जो एक के बजाय हर बिंदु दूषित कर देगी।

  5. वक्रता व अपवर्तन का संयुक्त संशोधन 0.06728 D² मीटर है, जहाँ D किलोमीटर में। 5 km की दृष्टि-लंबाई हेतु यह संशोधन मीटर में ______ है (चार दशमलव तक)

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

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    उत्तर: 1.682

    1.6820 m। 0.06728 × 5² = 0.06728 × 25 = 1.6820 m। प्रतिस्थापन तुच्छ है; प्रश्न का मर्म घातांक है। D = 1 km पर वही संशोधन केवल 0.0673 m है, अधिकांश सर्वेक्षण-सह्यताओं से छोटा और नित्य उपेक्षित — पर 5 km पर वह पच्चीस गुना बड़ा है और उसकी उपेक्षा स्थूल भूल होगी। अतः सामान्य कथन "वक्रता व अपवर्तन उपेक्षणीय हैं" केवल एक शर्त के साथ सत्य है, और वही शर्त परीक्षणीय भाग है: वे सामान्य दृष्टि-लंबाइयों पर उपेक्षणीय हैं और लंबी पर हावी, क्योंकि संशोधन दूरी के वर्ग से बढ़ता है। दोनों घटक विपरीत दिशाओं में खींचते हैं और कटते नहीं। वक्रता वस्तुतः क्षैतिज दृष्टि-रेखा को समतल पृष्ठ से D²/2R दूर ऊपर कर देती है, अतः दूर के स्टाफ़ का पाठ्यांक बहुत बड़ा होता है। अपवर्तन किरण को घटते घनत्व की वायु से गुज़रते हुए नीचे मोड़ता है, उसका लगभग एक-सातवाँ भाग वापस देते हुए, और 0.06728 दोनों का शुद्ध मान है। चिह्न इससे निकलता है: संशोधन त्रिकोणमितीय ऊँचाई-अंतर में जोड़ा जाता है। उसे निकालने से कहीं बेहतर उपचार है, और यही कारण है कि संशोधन सामान्य समतलन में विरले ही आता है: यदि पश्च- व अग्र-दृष्टि की दूरियाँ समान रखी जाएँ तो त्रुटि दोनों सिरों पर समरूप है और अंतर में कट जाती है। अतः दृष्टि-लंबाइयाँ संतुलित करना नखरा नहीं — वह वक्रता, अपवर्तन तथा यंत्र की कोई भी अवशिष्ट संरेखण-त्रुटि एक ही प्रहार में हटा देता है। लंबी रेखा पर त्रिकोणमितीय समतलन में संतुलित करने को कुछ है ही नहीं, अतः संशोधन निकालकर लगाना होगा: D = 1000 m पर α = 2.5° असंशोधित 43.661 m देता है और संशोधित 43.728 m।

  6. समतलन व ट्रैवर्स के विषय में निम्नलिखित में से कौन-से कथन सही हैं?

    1. अंकगणितीय जाँच ΣBS − ΣFS = अंतिम RL − प्रथम RL किसी भी सही समानीत तल-पुस्तिका पर टिकनी चाहिए
    2. पश्च- व अग्र-दृष्टि की दूरियाँ समान रखना वक्रता, अपवर्तन व संरेखण-त्रुटि साथ काट देता है
    3. उत्थान-पतन विधि प्रत्येक मध्यवर्ती दृष्टि जाँचती है, जबकि यंत्र-ऊँचाई विधि नहीं
    4. जो ट्रैवर्स पूर्ण रूप से बंद हो वह सिद्ध करता है कि उसकी हर मापी दूरी सही है
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — अंकगणितीय जाँच ΣBS − ΣFS = अंतिम RL − प्रथम RL किसी भी सही समानीत तल-पुस्तिका पर टिकनी चाहिए; B — पश्च- व अग्र-दृष्टि की दूरियाँ समान रखना वक्रता, अपवर्तन व संरेखण-त्रुटि साथ काट देता है; C — उत्थान-पतन विधि प्रत्येक मध्यवर्ती दृष्टि जाँचती है, जबकि यंत्र-ऊँचाई विधि नहीं

    (अ), (ब) व (स)। (अ) तत्समक है, परिपाटी नहीं: हर पश्च-दृष्टि संरेखण-रेखा में जुड़ती है और हर अग्र-दृष्टि उसमें से घटती है, अतः उनका अंतर तल के कुल परिवर्तन के बराबर होना ही चाहिए। वह समानयन की अंकगणितीय त्रुटियाँ पकड़ती है, क्षेत्र-कार्य कितना भी अच्छा रहा हो — और केवल वही पकड़ती है, जो जानने योग्य है, क्योंकि तल-पुस्तिका यह जाँच पूर्ण रूप से पास कर सकती है जबकि उसका हर पाठ्यांक अ-समायोजित यंत्र से लिया गया हो। (ब) समतलन की सर्वाधिक उपयोगी एकल आदत है। वक्रता, अपवर्तन तथा कोई भी अवशिष्ट संरेखण-त्रुटि सब दृष्टि-दूरी पर निर्भर हैं; पश्च- व अग्र-दृष्टि की दूरियाँ समान कीजिए और प्रत्येक त्रुटि दोनों सिरों पर समरूप होकर अंतर में ठीक-ठीक कट जाती है। यही कारण है कि व्यवहार नखरा नहीं, मानक है, और यही भी कि ज्ञात संरेखण-त्रुटि वाला लेवल भी दृष्टियाँ संतुलित होने पर अच्छा कार्य दे सकता है। (स) दोनों समानयन विधियों का वास्तविक भेद है, और वही तय करता है कि कौन-सी प्रयोग हो। उत्थान-पतन प्रत्येक क्रमागत पाठ्यांक-युग्म हेतु उत्थान या पतन निकालती है, अतः दूसरी जाँच ΣUत्थान − ΣPतन = अंतिम RL − प्रथम RL मध्यवर्ती दृष्टियाँ भी सत्यापित करती है; यंत्र-ऊँचाई संरेखण-ऊँचाई से तल निकालती है और केवल परिवर्तन-बिंदुओं पर जाँचती है, मध्यवर्ती पाठ्यांक असत्यापित छोड़ते हुए। अतः उत्थान-पतन धीमी है और वहाँ उचित जहाँ मध्यवर्ती दृष्टियाँ सर्वेक्षण ले जाएँ; यंत्र-ऊँचाई परिवर्तन-बिंदुओं की लंबी रेखा पर उचित। (द) गलत है, और वही जाल है। बंदी केवल यादृच्छिक त्रुटि जाँचती है। मापनी-त्रुटि वाला फीता हर पाद पर समानुपात में गलत है, अतः त्रुटियाँ लूप के चारों ओर काफी हद तक कट जाती हैं — ट्रैवर्स सुंदर रूप से बंद हो सकता है जबकि उसकी हर दूरी उसी भिन्न से छोटी हो। उसे केवल ज्ञात मानक के सामने अंशांकन ही पकड़ता है।

  7. त्रिभुजन एक आधार रेखा परिशुद्ध रूप से मापकर, फिर कोण मापकर लंबाइयाँ प्राप्त करता है। ऐतिहासिक रूप से यह हर दूरी मापने पर इसलिए वरीय था कि

    1. कोण लंबी दूरियों से कहीं अधिक परिशुद्ध मापे जा सकते थे, और त्रिभुज-योग जाँच किसी बुरे प्रेक्षण को सीमित कर देती है
    2. कोण व्यवस्थित त्रुटि से मुक्त हैं, जबकि दूरियाँ नहीं
    3. ट्रैवर्स के विपरीत त्रिभुजन को कोई गणना नहीं चाहिए
    4. त्रिभुजित जाल को कोई समायोजन नहीं चाहिए क्योंकि उसमें बंदी-त्रुटि है ही नहीं
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — कोण लंबी दूरियों से कहीं अधिक परिशुद्ध मापे जा सकते थे, और त्रिभुज-योग जाँच किसी बुरे प्रेक्षण को सीमित कर देती है

    कोण कहीं सरलता से परिशुद्ध मापे जा सकते थे, और जाल स्वयं की जाँच करता है। इलेक्ट्रॉनिक दूरी-मापन से पूर्व, ज़ंजीर या फीते से एक किलोमीटर मापना हर फीता-लंबाई पर त्रुटि संचित करता था — झोल, तापमान, कर्षण, ढाल व मानकीकरण सब व्यवस्थित रूप से योगदान देते हुए — जबकि सुनिर्मित थियोडोलाइट कोण को चाप के कुछ सेकंडों तक घुमा सकता था, लक्ष्य कितना भी दूर हो। त्रिभुजन उसी विषमता का लाभ उठाता है: एक आधार रेखा असाधारण सावधानी से मापिए, फिर जाल की हर दूसरी लंबाई कोण प्रेक्षित कर व साइन नियम से त्रिभुज हल कर प्राप्त कीजिए। आधार की परिशुद्धता जाल भर उससे कहीं बेहतर प्रसारित होती है जितनी मापी दूरियों की शृंखला। उत्तर का दूसरा आधा उतना ही महत्त्वपूर्ण है। हर त्रिभुज स्वतंत्र जाँच ले जाता है — उसके तीनों कोणों का योग 180° होना चाहिए, बड़े क्षेत्रों पर गोलीय आधिक्य सहित — अतः बुरा प्रेक्षण विफल त्रिभुज के रूप में दिखता है और सीमित हो जाता है, उस भाँति मौन रूप से आगे नहीं ले जाया जाता जैसे ट्रैवर्स-पाद की त्रुटि। वही अतिरेक गहरा सिद्धांत है: जिस सर्वेक्षण में अज्ञातों से अधिक प्रेक्षण हों उसका सत्यापन हो सकता है, वह मात्र पूर्ण नहीं होता। विकल्प (ब) गलत है — कोणों की अपनी व्यवस्थित त्रुटियाँ हैं (संरेखण, ट्रनियन अक्ष, उत्केंद्रता), ठीक इसीलिए प्रेक्षण दोनों फलकों पर लिए जाते व पाठ्यांकों का माध्य लिया जाता है। विकल्प (स) विपरीत दिशा में गलत है: त्रिभुजन को अधिक गणना चाहिए, कम नहीं। विकल्प (द) गलत है और सत्य उलट देता है — त्रिभुजित जाल में अनेक बंदी-शर्तें होती हैं और वह न्यूनतम-वर्ग से समायोजित होता है। आधुनिक व्यवहार ने ऐतिहासिक लाभ उलट दिया है: EDM और तत्पश्चात् GNSS ने दूरियों को सरल मापन बना दिया, अतः नियंत्रण अब त्रिपार्श्वित या उपग्रह-नियत है — पर त्रिभुज-योग जाँच व अतिरेक का सिद्धांत अपरिवर्तित टिके हैं।

  8. कोई थियोडोलाइट क्षैतिज रूप से 1000 m दूर किसी बिंदु तक 2.5° ऊर्ध्वाधर कोण मापता है। वक्रता व अपवर्तन उपेक्षित करते हुए ऊँचाई-अंतर मीटर में ______ है (तीन दशमलव तक)

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 43.661

    43.661 m। h = D tan α = 1000 × tan 2.5° = 1000 × 0.0436609 = 43.661 m। त्रिकोणमिति एक पंक्ति की है; प्रश्न को रखने योग्य वह बनाता है जो छोड़ा गया है और यह कि आप जानते हैं या नहीं कि वह कब मायने रखता है। वक्रता व अपवर्तन यहाँ बाहर रखे गए, और इस दूरी पर वह रक्षणीय है: संयुक्त संशोधन 0.06728 × 1² = 0.067 m है, उत्तर का लगभग 0.15% और अधिकांश सह्यताओं के भीतर। उसी दृष्टि को 5 km तक ले जाइए और संशोधन 1.682 m हो जाता है — पच्चीस गुना बड़ा, क्योंकि वह D² से बढ़ता है — और उसे बाहर रखना अब सरलीकरण नहीं, त्रुटि होगा। इसके समानीत तल बनने से पूर्व, न कि केवल ऊँचाई-अंतर, दो और वस्तुएँ चाहिए, और प्रश्न प्रायः उन्हें ठीक यह देखने हेतु देते हैं कि वे प्रयुक्त हुईं या नहीं। यंत्र की अपने स्टेशन से ऊँचाई जोड़नी होगी, और लक्षित बिंदु से संकेत या लक्ष्य की ऊँचाई घटानी होगी; जो परीक्षार्थी 43.661 m को दो भू-चिह्नों के बीच तल-अंतर बताए उसने दोनों छोड़ दिए। अपवर्तन को प्रतिरूपित करने के बजाय हटाने का एक सुंदर उपाय भी है: व्युत्क्रम समतलन, जिसमें ऊर्ध्वाधर कोण रेखा के दोनों सिरों से एक साथ प्रेक्षित होता है। अपवर्तन दोनों प्रेक्षणों को लगभग समान रूप से और दोनों निकाले गए ऊँचाई-अंतरों में विपरीत अर्थ में प्रभावित करता है, अतः दोनों का माध्य उससे काफी हद तक मुक्त है — वही कटाव-सिद्धांत जो विभेदी समतलन में दृष्टि-लंबाइयाँ संतुलित करने का है, और यही कारण कि दोनों तकनीकें वैकल्पिक परिष्कार नहीं, मानक हैं।