भूमि सर्वेक्षण III: ट्रैवर्सन, त्रिभुजन व त्रिपार्श्वन

B1 की भूमि सर्वेक्षण सूची की अंतिम तीन मदें — “ट्रैवर्सन, त्रिभुजन व त्रिपार्श्वन” — क्षैतिज नियंत्रण बनाने के तीन ढंग हैं। ट्रैवर्स मापी गई रेखाओं व कोणों की शृंखला चलाता है; यह अध्याय उसके कोण जाँचता है, अक्षांश व विचलन निकालता है, संवरण-त्रुटि व उसकी दिशा तथा सापेक्ष परिशुद्धता ज्ञात करता है, और निर्देशांकों में बदलने से पहले असंवरण को बॉडिच व ट्रांज़िट नियमों से समायोजित करता है। त्रिभुजन किसी मापे गए आधार से सुप्रतिबंधित त्रिभुजों के जाल के कोण मापता है; अध्याय उसकी आकृतियाँ, आकृति-सामर्थ्य, कोण व भुजा प्रतिबंधों की संख्या, मापी गई आधार-रेखा पर लगने वाले संशोधन (ताप, खिंचाव, झोल, ढाल, माध्य समुद्र तल पर समानयन) तथा गोलीय आधिक्य लेता है। त्रिपार्श्वन इसके स्थान पर भुजाएँ मापता है, और कोण कोज्या नियम से निकलते हैं। संख्यात्मक प्रश्न संवरण-त्रुटि व बॉडिच गणनाएँ तथा आधार-रेखा संशोधन हैं।

1. ट्रैवर्सन: प्रकार, कोण-जाँच, अक्षांश व विचलन

ट्रैवर्स जुड़ी हुई रेखाओं की शृंखला है जिनकी लंबाइयाँ व दिशाएँ मापी जाती हैं। बंद ट्रैवर्स अपने आरंभ पर लौटता है (लूप) या दो ज्ञात बिंदुओं के बीच चलता है (लिंक); खुले ट्रैवर्स में कोई जाँच नहीं होती और नियंत्रण हेतु उससे बचा जाता है। दिशाएँ थियोडोलाइट या टोटल स्टेशन से अंतर्विष्ट कोणों या विक्षेप कोणों से (या दिक्सूचक से दिक्मानों से) आती हैं। n भुजाओं वाले बंद लूप हेतु कोण-जाँच: अंतः कोणों का योग (2n − 4) × 90° = (n − 2) × 180°, बाह्य कोणों का (2n + 4) × 90°। षट्भुज के अंतः कोणों का योग 720° है। कोण समान रूप से विश्वसनीय हों तो कोणीय असंवरण उनमें समान बाँटा जाता है।

l लंबाई व पूर्ण-वृत्त दिक्मान θ वाले प्रत्येक पाद का अक्षांश L = l cos θ (उत्तर +, दक्षिण −) व विचलन D = l sin θ (पूर्व +, पश्चिम −) है। 210° पर 150 m पाद का L = -129.904 m व D = −75.000 m है। बंद लूप हेतु सिद्धांततः ΣL = 0 व ΣD = 0; व्यवहार में अवशेष संवरण-त्रुटि e = √((ΣL)² + (ΣD)²) देते हैं, जिसकी दिशा tan⁻¹(ΣD/ΣL) सही चतुर्थांश में ली जाती है, तथा सापेक्ष परिशुद्धता e/Σl, जो (Σl/e) में 1 के रूप में कही जाती है। यदि 1000 m परिमाप पर ΣL = +0.30 m व ΣD = −0.40 m, तो e = 0.50 m (दिक्मान 306°52′, अर्थात N 53°08′ W) और परिशुद्धता 2000 में 1 है।

2. ट्रैवर्स का समायोजन: बॉडिच व ट्रांज़िट नियम, तथा निर्देशांक

दो नियम
नियमकिसी पाद के अक्षांश का संशोधन (विचलन भी वैसे ही)मान्यता
बॉडिच (दिक्सूचक नियम)−ΣL × (पाद-लंबाई / परिमाप)कोणीय व रैखिक मापन समान रूप से परिशुद्ध; दिशा व लंबाई दोनों की त्रुटियाँ √l के समानुपाती
ट्रांज़िट नियम−ΣL × (|पाद-अक्षांश| / Σ|अक्षांश|)कोण दूरियों से अधिक परिशुद्धता से मापे गए (फीते सहित थियोडोलाइट)

हल बॉडिच: ΣL = +0.30 m, ΣD = −0.40 m व परिमाप 1000 m के साथ 250 m पाद को अक्षांश में −0.30 × 250/1000 = -0.075 m व विचलन में +0.40 × 250/1000 = +0.100 m मिलते हैं; प्रत्येक पाद के संशोधन उसी अनुपात में हैं, अतः संवरण-त्रुटि अपनी ही दिशा के अनुदिश हटती है। ट्रांज़िट नियम से Σ|L| = 1200 m के साथ, जिस पाद का अक्षांश 200 m है उसे −0.30 × 200/1200 = -0.050 m मिलता है। फिर संशोधित क्रमागत निर्देशांक किसी ज्ञात स्टेशन से संचित होकर स्वतंत्र निर्देशांक बनते हैं (गेल की ट्रैवर्स सारणी पूरी गणना रखती है)। छूटे मापन — एक लंबाई व एक दिक्मान, दो लंबाइयाँ, या दो दिक्मान अनुपस्थित — ΣL = ΣD = 0 से प्राप्त किए जा सकते हैं, पर तब ट्रैवर्स में कोई जाँच शेष नहीं रहती।

⚠️ संशोधनों का चिह्न त्रुटि के विपरीत होता है
यदि ΣL = +0.30 m, तो उत्तरांक बहुत बड़े हैं और प्रत्येक संशोधन ऋणात्मक है। असंवरण वाले ही चिह्न का संशोधन उसे दुगुना कर देता है। और कोण जाँचे बिना समायोजन न करें: किसी एक दिशा में बड़ी संवरण-त्रुटि प्रायः एक खराब कोण या एक गलत लिखी लंबाई दर्शाती है, जिसे किसी नियम से फैलाना नहीं चाहिए।

3. त्रिभुजन

त्रिभुजन किसी क्षेत्र को त्रिभुजों के जाल से ढकता है जिनके सभी कोण मापे जाते हैं और एक या अधिक भुजाएँ (आधार-रेखाएँ) अत्यंत सावधानी से मापी जाती हैं; शेष भुजाएँ ज्या-नियम से निकलती हैं, और सुदूर सिरे पर जाँच-आधार शृंखला को परखता है। आकृतियाँ: त्रिभुजों की एकल शृंखला (सबसे तेज़, सबसे दुर्बल), आबद्ध चतुर्भुजों की शृंखलाएँ (संकरी पट्टी हेतु सबसे सुदृढ़), तथा केंद्रित बहुभुज (चौड़े क्षेत्रों हेतु)। सुप्रतिबंधित त्रिभुज वह है जिसकी आकृति भुजा-त्रुटियों को कोण-त्रुटियों के प्रति न्यूनतम संवेदी बनाए; कोई कोण लगभग 30° से छोटा या लगभग 120° से बड़ा न हो, और आदर्श समद्विबाहु त्रिभुज के आधार-कोण 56°14′ हैं।

आकृति-सामर्थ्य: R = ((D − C)/D) × Σ(δ_A² + δ_Aδ_B + δ_B²), जहाँ D प्रेक्षित दिशाओं की संख्या (ज्ञात भुजा वाली छोड़कर), C ज्यामितीय प्रतिबंधों की संख्या, और δ दूरी-कोणों के 1″ हेतु log sine के छठे दशमलव में परिवर्तन है; R जितना छोटा, आकृति उतनी सुदृढ़। प्रतिबंधों की संख्या C = (n′ − S′ + 1) + (n − 2S + 3) है: S′ अधिकृत स्टेशनों सहित दोनों ओर से प्रेक्षित n′ रेखाओं से कोण-प्रतिबंध, तथा n रेखाओं व S स्टेशनों से भुजा-प्रतिबंध। प्रत्येक रेखा दोनों ओर से प्रेक्षित आबद्ध चतुर्भुज हेतु n = n′ = 6 व S = S′ = 4: 3 कोण-प्रतिबंध व 1 भुजा-प्रतिबंध, C = 4; D = 2 × 6 − 2 = 10, अतः (D − C)/D = 0.6।

फीते से मापी आधार-रेखा के संशोधन (L = मापी लंबाई)
संशोधनसूत्रचिह्न व उदाहरण
तापαL(T − T₀)मानक से गर्म होने पर +; 30 m, α = 1.2 × 10⁻⁵/°C, 15 °C गर्म: +0.0054 m
खिंचाव (तनाव)(P − P₀)L/(AE)मानक से अधिक खिंचाव पर +; 50 N अधिक, 30 m, A = 3 mm², E = 2 × 10¹¹ Pa: +0.0025 m
झोलW²L/(24P²), W = लटकी लंबाई का भारसदा −; W = 6 N, L = 30 m, P = 100 N: −0.0045 m
ढालh²/(2L) (या L(1 − cos θ))सदा −; 30 m पर h = 1.5 m: −0.0375 m
MSL पर समानयनLH/R (H = MSL से आधार की ऊँचाई)MSL से ऊपर के आधार हेतु −; H = 637 m पर 1000 m, R = 6370 km: −0.100 m

बड़े त्रिभुजों पर कोण एक गोलीय त्रिभुज के होते हैं, जिनका योग 180° से गोलीय आधिक्य ε = A/(R² sin 1″) सेकंड अधिक होता है। R = 6370 km पर R² sin 1″ = 196.7 km², अतः क्षेत्रफल के प्रत्येक 196.7 km² हेतु ε लगभग 1″ है; 590 km² के त्रिभुज का ε = 3.0″। असंवरण ε घटाने के बाद लिया जाता है। जिन स्टेशनों पर बैठा न जा सके उन्हें निकट के उपग्रह स्टेशन से प्रेक्षित कर कोणों को केंद्र पर समानीत किया जाता है।

4. त्रिपार्श्वन

त्रिपार्श्वन कोणों के स्थान पर त्रिभुजों की सभी भुजाएँ EDM (या GNSS आधार-रेखाओं) से मापता है। कोण कोज्या नियम से निकलते हैं: cos C = (a² + b² − c²)/(2ab)। 400, 500 व 600 m भुजाओं हेतु 600 m के सम्मुख कोण cos⁻¹(0.125) = 82.82° है। EDM ने लंबी दूरियाँ सस्ती व परिशुद्ध बना दी हैं, अतः त्रिपार्श्वन तथा संयुक्त त्रिभुजन-त्रिपार्श्वन (कोण व भुजाएँ साथ) ने शुद्ध त्रिभुजन का अधिकांशतः स्थान ले लिया है; केवल तीन भुजाओं से मापे एकल त्रिभुज में कोई अतिरेक नहीं होता, अतः जाल विकर्ण जोड़ते हैं (छह मापी भुजाओं वाले आबद्ध चतुर्भुज में एक अतिरिक्त मापन होता है)।

विधि का चयन
विधिमापता हैसर्वोत्तम जब
ट्रैवर्सनशृंखला के अनुदिश लंबाइयाँ व कोणनिर्मित या वनाच्छादित क्षेत्र, मार्ग, जहाँ लंबी दृष्टि-रेखाएँ असंभव हों
त्रिभुजनकोण, एक या दो आधारों सहितलंबी अंतर्दृश्य रेखाओं वाला पहाड़ी, खुला प्रदेश
त्रिपार्श्वनEDM या GNSS से भुजाएँआधुनिक दूरी-मापन सहित परिशुद्ध नियंत्रण
ℹ️ GNSS कहाँ बैठता है
स्थैतिक GNSS जाल त्रि-विमीय त्रिपार्श्वन है: प्रत्येक आधार-रेखा एक मापा गया सदिश है, और जाल ठीक भाग A की भाँति न्यूनतम वर्गों से समायोजित होता है। जहाँ आकाश अवरुद्ध हो — सुरंगें, सघन नगर, वन — वहाँ शास्त्रीय त्रिभुजन व ट्रैवर्सन अनिवार्य बने रहते हैं।

मुख्य बिंदु

  • n भुजाओं वाले बंद ट्रैवर्स के अंतः कोणों का योग (n − 2) × 180°; अक्षांश = l cos θ, विचलन = l sin θ।
  • संवरण-त्रुटि e = √(ΣL² + ΣD²), सापेक्ष परिशुद्धता Σl/e में 1।
  • बॉडिच: संशोधन = −Σ × l/Σl; ट्रांज़िट: −Σ × |L|/Σ|L|; संशोधन असंवरण के विपरीत होते हैं।
  • त्रिभुजन: सुप्रतिबंधित त्रिभुज (आदर्श 56°14′), सामर्थ्य (D − C)/D जहाँ C = (n′ − S′ + 1) + (n − 2S + 3); आबद्ध चतुर्भुज C = 4, (D − C)/D = 0.6; गोलीय आधिक्य ≈ प्रति 196.7 km² 1″।
  • आधार-रेखा संशोधन: ताप αLΔT, खिंचाव ΔPL/AE, झोल −W²L/24P², ढाल −h²/2L, MSL −LH/R; त्रिपार्श्वन कोज्या नियम का प्रयोग करता है।

अभ्यास प्रश्न (16)

उत्तर खोलने से पहले प्रत्येक प्रश्न हल करें। हर व्याख्या सही विकल्प के साथ लुभावना गलत विकल्प भी बताती है, क्योंकि अंक वहीं जाते हैं।

  1. छह भुजाओं वाले बंद ट्रैवर्स के अंतः कोणों का योग, अंशों में, ____ होना चाहिए।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

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    उत्तर: 720

    Σ अंतः = (n − 2) × 180° = 4 × 180° = 720°, या समतुल्य रूप से (2n − 4) × 90° = 8 × 90°। बाह्य कोणों का योग (2n + 4) × 90° = 1440° होता।

  2. एक बंद ट्रैवर्स के पाँच अंतः कोणों का योग 540°01′00″ है। यदि कोण समान रूप से विश्वसनीय हों, तो प्रत्येक कोण का संशोधन, सेकंड में, ____ है (चिह्न सहित मान दें)।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

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    उत्तर: -12

    सैद्धांतिक योग (5 − 2) × 180° = 540° है, अतः असंवरण +1′ = +60″ है। समान बाँटने पर प्रत्येक कोण -60/5 = -12″ से संशोधित होता है। चिह्न ऋणात्मक है क्योंकि प्रेक्षित योग अधिक है।

  3. एक ट्रैवर्स पाद 150.000 m लंबा है और उसका पूर्ण-वृत्त दिक्मान 210° है। उसका अक्षांश, मीटर में (तीन दशमलव तक, चिह्न सहित), ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

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    उत्तर: -129.904

    L = l cos θ = 150 cos 210° = 150 × (−0.866025) = -129.904 m (दक्षिण की ओर); विचलन 150 sin 210° = −75.000 m (पश्चिम की ओर)। समानीत दिक्मान S 30° W से वही परिमाण मिलते हैं, चिह्न चतुर्थांश से।

  4. 1000 m परिमाप वाले बंद ट्रैवर्स में अक्षांशों का योग +0.30 m और विचलनों का योग −0.40 m है। संवरण-त्रुटि, मीटर में, ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

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    उत्तर: 0.5

    e = √((ΣL)² + (ΣD)²) = √(0.09 + 0.16) = √0.25 = 0.50 m। सापेक्ष परिशुद्धता 0.50/1000 = 2000 में 1 है। परिमाणों को जोड़ना (0.70 m) भूल है।

  5. उसी ट्रैवर्स (ΣL = +0.30 m, ΣD = −0.40 m, परिमाप 1000 m) हेतु 250 m पाद के अक्षांश का बॉडिच संशोधन, मीटर में (चिह्न सहित, तीन दशमलव तक), ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

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    उत्तर: -0.075

    बॉडिच: संशोधन = −ΣL × l/Σl = −0.30 × 250/1000 = -0.075 m। विचलन संशोधन −(−0.40) × 250/1000 = +0.100 m है। धनात्मक अक्षांश संशोधन असंवरण हटाने के स्थान पर उसमें जोड़ देता।

  6. उसी ट्रैवर्स हेतु सभी अक्षांशों का अंकगणितीय योग, Σ|L|, 1200 m है। ट्रांज़िट नियम से उस पाद का संशोधन जिसका अक्षांश 200 m है, मीटर में (चिह्न सहित, तीन दशमलव तक), ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

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    उत्तर: -0.05

    ट्रांज़िट नियम: संशोधन = −ΣL × |L|/Σ|L| = −0.30 × 200/1200 = -0.050 m। यह पाद की लंबाई से नहीं, अक्षांश के आकार से बाँटता है, इसीलिए उन कोणों हेतु उपयुक्त है जो दूरियों से अधिक परिशुद्ध मापे गए हों।

  7. बॉडिच (दिक्सूचक) नियम सर्वाधिक उपयुक्त है जब

    1. कोण व दूरियाँ लगभग समान परिशुद्धता से मापे गए हों
    2. कोण दूरियों से कहीं अधिक परिशुद्ध हों
    3. ट्रैवर्स खुला हो
    4. किसी एक पाद में भूल होना ज्ञात हो
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    उत्तर: A — कोण व दूरियाँ लगभग समान परिशुद्धता से मापे गए हों

    बॉडिच मानता है कि दिशा व लंबाई की त्रुटियों का प्रभाव समान है, अतः असंवरण को पाद-लंबाई के अनुपात में बाँटता है। जब कोण दूरियों से बहुत बेहतर हों, ट्रांज़िट नियम वरीय है। खुले ट्रैवर्स का समायोजन नहीं हो सकता, और भूल को ढूँढना होता है, फैलाना नहीं।

  8. 20 °C पर मानकीकृत 30 m इस्पात फीता 35 °C पर प्रयुक्त होता है। α = 1.2 × 10⁻⁵ प्रति °C के साथ प्रति फीता-लंबाई ताप संशोधन, मीटर में (चार दशमलव तक), ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

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    उत्तर: 0.0054

    Ct = αL(T − T₀) = 1.2 × 10⁻⁵ × 30 × 15 = 0.0054 m, धनात्मक क्योंकि गर्म फीता अपने नाममात्र 30 m से लंबा है और इसलिए कम पढ़ता है। इसे ऋणात्मक मानना सामान्य चिह्न-भूल है।

  9. आधारों के बीच 6 N भार वाला 30 m फीता 100 N खिंचाव में प्रयुक्त होता है। झोल संशोधन, मीटर में (परिमाण, चार दशमलव तक), ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

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    उत्तर: 0.0045

    Cs = W²L/(24P²) = 6² × 30/(24 × 100²) = 1080/240,000 = 0.0045 m, सदा घटाया जाता है, क्योंकि झोलदार फीते की जीवा फीते से छोटी होती है। W के स्थान पर L का वर्ग करना सामान्य बीजगणितीय भूल है।

  10. 1000.000 m मापी गई आधार-रेखा माध्य समुद्र तल से 637 m की माध्य ऊँचाई पर है। R = 6370 km लेकर माध्य समुद्र तल पर समानयन, मीटर में (परिमाण), ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

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    उत्तर: 0.1

    C = LH/R = 1000 × 637/6,370,000 = 0.100 m, घटाया जाता है, क्योंकि वही कोण आधार की ऊँचाई की अपेक्षा समुद्र तल पर छोटा चाप अंतरित करता है। हर में (R + H) लेने से उत्तर केवल पाँचवें दशमलव में बदलता है।

  11. R = 6370 km लेकर 590 km² क्षेत्रफल वाले त्रिभुज का गोलीय आधिक्य, चाप-सेकंड में (एक दशमलव तक), ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

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    उत्तर: 3

    ε = A/(R² sin 1″)। R² sin 1″ = 6370² × 4.8481 × 10⁻⁶ = 196.72 km², अतः ε = 590/196.72 = 3.0″। अँगूठा-नियम है कि क्षेत्रफल के प्रत्येक 196 km² हेतु लगभग 1″ आधिक्य।

  12. ऐसे आबद्ध चतुर्भुज में जिसकी प्रत्येक रेखा दोनों दिशाओं में प्रेक्षित हो, ज्यामितीय प्रतिबंधों (कोण जमा भुजा) की कुल संख्या है

    1. 4
    2. 3
    3. 6
    4. 8
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — 4

    n = n′ = 6 रेखाओं व S = S′ = 4 स्टेशनों के साथ: कोण-प्रतिबंध n′ − S′ + 1 = 3, भुजा-प्रतिबंध n − 2S + 3 = 1, कुल 4। तीन केवल कोण-प्रतिबंध गिनता है; भुजा-प्रतिबंध ही आकृति में मापनी की जाँच करता है।

  13. एक त्रिपार्श्वन त्रिभुज की मापी गई भुजाएँ 400 m, 500 m व 600 m हैं। 600 m भुजा के सम्मुख कोण, अंशों में (दो दशमलव तक), ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 82.82

    cos C = (400² + 500² − 600²)/(2 × 400 × 500) = (160,000 + 250,000 − 360,000)/400,000 = 0.125, अतः C = 82.82°। सबसे बड़ा कोण सदा सबसे लंबी भुजा के सम्मुख होता है; अंश में चिह्न-भूल एक अधिक कोण देती है।

  14. फीते से मापी आधार-रेखा के निम्न में से कौन-से संशोधन सदा ऋणात्मक होते हैं?

    1. झोल संशोधन
    2. ढाल संशोधन
    3. समुद्र तल से ऊपर के आधार हेतु माध्य समुद्र तल पर समानयन
    4. ताप संशोधन
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — झोल संशोधन; B — ढाल संशोधन; C — समुद्र तल से ऊपर के आधार हेतु माध्य समुद्र तल पर समानयन

    झोलदार फीते की जीवा फीते से छोटी है, ढलान वाली लंबाई अपने क्षैतिज प्रक्षेप से लंबी है, और समुद्र तल से ऊपर का चाप समुद्र तल पर अपने प्रक्षेप से लंबा है — तीनों मापी लंबाई घटाते हैं। ताप संशोधन मानकीकरण ताप से ऊपर धनात्मक व नीचे ऋणात्मक होता है।

  15. ट्रैवर्स गणनाओं के विषय में निम्न में से कौन-से कथन सही हैं?

    1. बंद लूप ट्रैवर्स में अक्षांशों व विचलनों के बीजगणितीय योग दोनों शून्य होने चाहिए
    2. बॉडिच नियम समायोजन के बाद पादों के दिक्मान किंचित बदल देता है
    3. संवरण-प्रतिबंधों से दो छूटे मापन निकाले जा सकते हैं, किसी भी जाँच की कीमत पर
    4. सापेक्ष परिशुद्धता संवरण-त्रुटि को परिमाप से गुणा करना है
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — बंद लूप ट्रैवर्स में अक्षांशों व विचलनों के बीजगणितीय योग दोनों शून्य होने चाहिए; B — बॉडिच नियम समायोजन के बाद पादों के दिक्मान किंचित बदल देता है; C — संवरण-प्रतिबंधों से दो छूटे मापन निकाले जा सकते हैं, किसी भी जाँच की कीमत पर

    लूप अपने आरंभ पर लौटता है, अतः ΣL = ΣD = 0; बॉडिच संशोधन प्रत्येक पाद के अक्षांश व विचलन, और इसलिए उसके दिक्मान व लंबाई को किंचित बदलते हैं; और दो संवरण-समीकरण दो अज्ञात हल कर सकते हैं पर तब कोई अतिरेक नहीं छोड़ते। सापेक्ष परिशुद्धता संवरण-त्रुटि बटा परिमाप है, Σl/e में 1 के रूप में।

  16. त्रिभुजन के विषय में निम्न में से कौन-से कथन सही हैं?

    1. आकृति-सामर्थ्य गुणक R का छोटा मान सुदृढ़ आकृति दर्शाता है
    2. आबद्ध चतुर्भुजों की शृंखलाएँ त्रिभुजों की एकल शृंखलाओं से सुदृढ़ हैं
    3. शृंखला के अंत पर जाँच-आधार संचित मापनी-त्रुटि परखता है
    4. बहुत छोटे कोण (लगभग 10°) वरीय हैं क्योंकि उन्हें मापना सरल है
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — आकृति-सामर्थ्य गुणक R का छोटा मान सुदृढ़ आकृति दर्शाता है; B — आबद्ध चतुर्भुजों की शृंखलाएँ त्रिभुजों की एकल शृंखलाओं से सुदृढ़ हैं; C — शृंखला के अंत पर जाँच-आधार संचित मापनी-त्रुटि परखता है

    R मापता है कि आकृति में भुजा-त्रुटियाँ कितनी बढ़ती हैं, अतः छोटा अधिक सुदृढ़ है; आबद्ध चतुर्भुज के अतिरिक्त विकर्ण प्रतिबंध व अतिरेक जोड़ते हैं; और जाँच-आधार परिकलित व मापी लंबाई की तुलना करता है। छोटे कोणों के प्रति सेकंड log-sine अंतर बड़े होते हैं, अतः भुजा-त्रुटियाँ बढ़ जाती हैं: लगभग 30° से छोटे कोणों से बचा जाता है।