अभियांत्रिकी गणित II: समाश्रयण, सहसंबंध, सांख्यिकीय सार्थकता व काई-वर्ग परीक्षण

भाग A के अभियांत्रिकी गणित का दूसरा आधा भाग समाश्रयण विश्लेषण, सहसंबंध गुणांक, “सांख्यिकीय सार्थक मान” तथा काई-वर्ग परीक्षण नामित करता है। ये वे सांख्यिकी हैं जिनका भू-सूचना अभियंता प्रतिदिन प्रयोग करता है: अंशांकन आँकड़ों पर रेखा या भू-नियंत्रण अवशेषों पर प्रवृत्ति बैठाना, यह मापना कि दो स्पेक्ट्रमी बैंड कितनी दृढ़ता से साथ चलते हैं, यह तय करना कि कोई प्रतीत अंतर या अवशेष वास्तविक है या संयोग, तथा यह परखना कि किसी समायोजन के अवशेष या किसी वर्ग-बंटन अपेक्षा से मेल खाते हैं या नहीं। यह अध्याय न्यूनतम-वर्ग समाश्रयण रेखा बैठाकर उसके गुणांक पढ़ता है, पियर्सन का r व उसका दोनों समाश्रयण ढलानों से संबंध निकालता है, सार्थकता-स्तर, क्रांतिक मान व दो प्रकार की त्रुटियों सहित सार्थकता परीक्षण बनाता है, तथा काई-वर्ग प्रतिदर्शज को समंजन-सुष्ठुता, आसंग सारणियों व समायोजन के प्रसरण गुणक पर लागू करता है। जाल लगभग सभी इस विषय में हैं कि किस चर का किस पर समाश्रयण है, और परीक्षण की कितनी स्वातंत्र्य-कोटियाँ हैं।

1. समाश्रयण विश्लेषण: न्यूनतम-वर्ग रेखा

y का x पर समाश्रयण ऊर्ध्वाधर विचलनों के वर्गों का योग Σ(yᵢ − a − bxᵢ)² न्यूनतम कर y = a + bx बैठाता है। Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² तथा Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) के साथ प्रसामान्य समीकरण b = Sxy/Sxx व a = ȳ − b x̄ देते हैं, अतः रेखा सदा (x̄, ȳ) से गुज़रती है। x का y पर समाश्रयण, x = a′ + b′y, क्षैतिज विचलन न्यूनतम करता है और b′ = Sxy/Syy है; दोनों रेखाएँ भिन्न होती हैं जब तक बिंदु ठीक एक रेखा पर न हों। निर्धारण गुणांक R² = r², y के प्रसरण का वह अंश है जिसे रेखा समझाती है।

इस पूरे अध्याय में प्रयुक्त हल किया गया आँकड़ा-समुच्चय
xyx − x̄y − ȳगुणनफल
12−2−24
24−100
35010
44100
55212

यहाँ x̄ = 3, ȳ = 4, Sxx = 10, Syy = 6 तथा Sxy = 6। अतः b = 6/10 = 0.6, a = 4 − 0.6 × 3 = 2.2, और रेखा y = 2.2 + 0.6x है; x के y पर समाश्रयण का b′ = 6/6 = 1.0 है। अवशिष्ट मानक त्रुटि, √(Σe²/(n − 2)), n − 2 लेती है क्योंकि दो प्राचल आँके गए।

⚠️ एक समाश्रयण रेखा उलटकर दूसरी नहीं मिलती
y = 2.2 + 0.6x को x हेतु हल करने पर ढलान 1/0.6 = 1.67 आता है, x के y पर समाश्रयण का 1.0 नहीं। x से y का अनुमान पहली रेखा से और y से x का दूसरी से लगाएँ।

2. सहसंबंध गुणांक

पियर्सन सहसंबंध गुणांक r = Sxy/√(Sxx·Syy) = cov(x, y)/(σₓσ_y) रैखिक संबंध की दृढ़ता मापता है, −1 ≤ r ≤ 1। ऊपर के आँकड़ों हेतु r = 6/√(10 × 6) = 6/√60 = 0.775। तीन सर्वसमिकाएँ प्रायः परखी जाती हैं: r² = b·b′ (दोनों समाश्रयण ढलानों का गुणनफल: 0.6 × 1.0 = 0.6, अतः r = 0.775); r का चिह्न दोनों ढलानों वाला है, जिनका चिह्न सदा एक होता है; और किसी भी चर के मूल या मापनी (धनात्मक गुणक) बदलने से r अपरिवर्तित रहता है, अतः DN या विकिरणता से सहसंबंध निकालने पर वही r आता है।

  • r = 0 का अर्थ कोई रैखिक संबंध नहीं; सममित परास पर y = x² का r = 0 है और संबंध पूर्ण है।
  • सहसंबंध कार्य-कारण नहीं है: दो बैंड इसलिए सहसंबद्ध हो सकते हैं कि दोनों प्रदीप्ति पर प्रतिक्रिया देते हैं।
  • स्पीयरमैन कोटि सहसंबंध rₛ = 1 − 6Σd²/(n(n² − 1)) कोटियों का प्रयोग करता है, एकदिष्ट पर अरैखिक संबंधों हेतु।
ℹ️ भू-सूचना में यह कहाँ मिलता है
किसी प्रतिबिंब का अंतर-बैंड सहसंबंध आव्यूह (भाग B2) ठीक यही r है जो बैंडों के प्रत्येक युग्म हेतु निकाला जाता है; दृश्य बैंडों के बीच 1 के निकट मान ही कारण हैं कि मुख्य घटक बहुस्पेक्ट्रमी आँकड़ों को इतनी अच्छी तरह संपीडित करते हैं।

3. सांख्यिकीय सार्थकता: स्तर, क्रांतिक मान व दो त्रुटियाँ

सार्थकता परीक्षण एक शून्य परिकल्पना H₀ (कोई अंतर नहीं, कोई सहसंबंध नहीं, मॉडल ठीक बैठता है) कहता है, एक परीक्षण प्रतिदर्शज निकालता है जिसका H₀ के अधीन बंटन ज्ञात है, और यदि प्रतिदर्शज चुने गए सार्थकता स्तर α (प्रायः 5 % या 1 %) पर क्रांतिक मान से परे जाए तो H₀ अस्वीकार करता है। p-मान H₀ के अधीन उतने या अधिक चरम प्रतिदर्शज की प्रायिकता है; p < α होने पर अस्वीकार करें। सत्य H₀ को अस्वीकार करना प्रकार I त्रुटि (प्रायिकता α) है; असत्य H₀ को स्वीकार करना प्रकार II त्रुटि (प्रायिकता β; परीक्षण की शक्ति 1 − β)।

मानक प्रसामान्य क्रांतिक मान (जब तक अन्यथा न कहा जाए, द्वि-पुच्छीय)
विश्वासzप्रयोग
50 %0.6745प्रायिक त्रुटि
95 %1.96सामान्य 5 % परीक्षण
99 %2.5761 % परीक्षण
99.73 %3सर्वेक्षक की भूल-अस्वीकृति सीमा

सहसंबंध का परीक्षण। H₀: ρ = 0 के अधीन t = r√(n − 2)/√(1 − r²) स्टूडेंट t का n − 2 स्वातंत्र्य-कोटियों से अनुसरण करता है। n = 12 युग्मों से r = 0.6 हेतु t = 0.6 × √10/√0.64 = 0.6 × 3.162/0.8 = 2.37, जो 10 स्वातंत्र्य-कोटियों वाले t के द्वि-पुच्छीय 5 % मान (2.228) से अधिक है, अतः सहसंबंध सार्थक है। ज्ञात σ के विरुद्ध माध्य का परीक्षण: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n); आँके गए s व छोटे n पर n − 1 स्वातंत्र्य-कोटियों वाला t लें।

⚠️ सार्थक का अर्थ बड़ा नहीं
पर्याप्त युग्मों पर छोटा r भी सार्थक हो जाता है, और कम युग्मों पर बड़ा r भी सार्थक न हो। सार्थकता कहती है कि संबंध संयोग होना असंभाव्य है; r² कहता है वह कितना समझाता है। दोनों भिन्न प्रश्नों के उत्तर हैं।

4. काई-वर्ग परीक्षण

काई-वर्ग प्रतिदर्शज χ² = Σ(O − E)²/E प्रेक्षित आवृत्तियों O की H₀ के अधीन अपेक्षित आवृत्तियों E से तुलना करता है। यह सदा ≥ 0 है और असहमति के साथ बढ़ता है; जब χ² सही स्वातंत्र्य-कोटियों के क्रांतिक मान से अधिक हो तो H₀ अस्वीकार होता है। सन्निकटन टिके, इस हेतु प्रत्येक अपेक्षित गणना लगभग 5 से कम न हो। ऊपरी 5 % क्रांतिक मान: 3.841 (1 स्वातंत्र्य-कोटि), 5.991 (2), 7.815 (3), 9.488 (4)।

तीन प्रयोग, स्वातंत्र्य-कोटियाँ गिनने के तीन ढंग
प्रयोगप्रतिदर्शजस्वातंत्र्य-कोटियाँ
k वर्गों वाले बंटन से समंजन-सुष्ठुताΣ(O − E)²/Ek − 1 − (आँकड़ों से आँके गए प्राचलों की संख्या)
r × c आसंग सारणी में स्वतंत्रताΣ(O − E)²/E, जहाँ E = पंक्ति-योग × स्तंभ-योग/N(r − 1)(c − 1)
समायोजन के प्रसरण गुणक का समग्र परीक्षणvᵀWv/σ₀² (पूर्व-प्रायिक σ₀²)अतिरेक r = n − u; द्वि-पुच्छीय

हल: 200 जाँचे गए पिक्सेल चार भू-आवरण वर्गों में समान रूप से (प्रत्येक में 50) अपेक्षित हैं पर 60, 45, 40 व 55 प्रेक्षित होते हैं। χ² = (10² + 5² + 10² + 5²)/50 = 250/50 = 5.0, 4 − 1 = 3 स्वातंत्र्य-कोटियों के साथ। चूँकि 5.0 < 7.815, समान अंशों से विचलन 5 % पर सार्थक नहीं है।

🎯 समायोजन को दोनों सिरों पर क्यों परखा जाता है
1 से बहुत बड़ा प्रसरण गुणक बताता है कि अवशेष भारों के वचन से बड़े हैं — कोई भूल या आशावादी भार। 1 से बहुत छोटा बताता है कि प्रेक्षण भारों की मान्यता से बेहतर थे। दोनों मॉडल-त्रुटियाँ हैं, अतः समायोजन का काई-वर्ग परीक्षण द्वि-पुच्छीय है।

मुख्य बिंदु

  • y का x पर समाश्रयण: b = Sxy/Sxx, a = ȳ − b x̄; रेखा माध्यों से गुज़रती है, और x का y पर समाश्रयण भिन्न रेखा है।
  • r = Sxy/√(SxxSyy), r² = b·b′, और धनात्मक गुणक वाले रैखिक पुनर्मापन से r अपरिवर्तित रहता है।
  • परीक्षण α स्तर पर क्रांतिक मान से परे H₀ अस्वीकार करता है; प्रकार I त्रुटि की प्रायिकता α, प्रकार II की β।
  • r की सार्थकता t = r√(n − 2)/√(1 − r²) से, n − 2 स्वातंत्र्य-कोटियों के साथ।
  • χ² = Σ(O − E)²/E, k − 1 (आँके गए प्राचल घटाकर) या (r − 1)(c − 1) स्वातंत्र्य-कोटियों के साथ; समायोजन में vᵀWv/σ₀², n − u के साथ।

अभ्यास प्रश्न (14)

उत्तर खोलने से पहले प्रत्येक प्रश्न हल करें। हर व्याख्या सही विकल्प के साथ लुभावना गलत विकल्प भी बताती है, क्योंकि अंक वहीं जाते हैं।

  1. आँकड़ों (x, y) = (1, 2), (2, 4), (3, 5), (4, 4), (5, 5) हेतु y के x पर न्यूनतम-वर्ग समाश्रयण रेखा का ढलान b ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 0.6

    x̄ = 3, ȳ = 4। Sxy = (−2)(−2) + (−1)(0) + 0(1) + 1(0) + 2(1) = 6; Sxx = 4 + 1 + 0 + 1 + 4 = 10। b = Sxy/Sxx = 6/10 = 0.6। भाजक Syy (= 6) लेने पर 1.0 आता है, जो x के y पर समाश्रयण का ढलान है।

  2. उन्हीं आँकड़ों (1, 2), (2, 4), (3, 5), (4, 4), (5, 5) हेतु समाश्रयण रेखा y = a + bx का अंतःखंड a ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 2.2

    समाश्रयण रेखा (x̄, ȳ) = (3, 4) से गुज़रती है। b = 0.6 के साथ a = ȳ − b x̄ = 4 − 0.6 × 3 = 2.2। x = 5 पर जाँच: 2.2 + 3.0 = 5.2, प्रेक्षित 5 के निकट।

  3. आँकड़ों (1, 2), (2, 4), (3, 5), (4, 4), (5, 5) हेतु पियर्सन सहसंबंध गुणांक r (तीन दशमलव तक) ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 0.775

    Sxy = 6, Sxx = 10, Syy = (−2)² + 0² + 1² + 0² + 1² = 6। r = 6/√(10 × 6) = 6/7.746 = 0.775। ढलानों से जाँच: b = 0.6, b′ = 1.0, r² = 0.6, r = √0.6 = 0.775। r² = 0.6 को r बताना सामान्य भूल है।

  4. y का x पर समाश्रयण गुणांक 0.8 और x का y पर 0.45 है। x व y के बीच सहसंबंध गुणांक है

    1. 0.6
    2. 0.36
    3. 0.625
    4. 1.25
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — 0.6

    r² = b·b′ = 0.8 × 0.45 = 0.36, अतः r = +0.6, धनात्मक क्योंकि दोनों गुणांक धनात्मक हैं। 0.36 स्वयं r² है; 1.25 सहसंबंध हो ही नहीं सकता।

  5. x का प्रत्येक प्रेक्षण मीटर से फ़ुट में बदला जाता है और y के प्रत्येक मान में 100 जोड़ा जाता है। x व y के बीच सहसंबंध गुणांक

    1. अपरिवर्तित रहता है
    2. 3.28 से गुणित होता है
    3. 100 बढ़ जाता है
    4. चिह्न बदल लेता है
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — अपरिवर्तित रहता है

    r सहप्रसरण और मानक विचलनों के गुणनफल का अनुपात है; धनात्मक मापनी-गुणक अंश व हर दोनों को समान रूप से गुणा करता है, और मूल का स्थानांतरण किसी को नहीं बदलता। अतः r अपरिवर्ती है — इसीलिए कच्चे DN या अंशांकित विकिरणता से सहसंबंध वही आता है।

  6. 12 युग्मों का एक प्रतिदर्श सहसंबंध गुणांक r = 0.6 देता है। H₀: ρ = 0 के परीक्षण हेतु t प्रतिदर्शज (दो दशमलव तक) ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 2.37

    t = r√(n − 2)/√(1 − r²) = 0.6 × √10/√(1 − 0.36) = 0.6 × 3.1623/0.8 = 2.37, 10 स्वातंत्र्य-कोटियों के साथ। यह द्वि-पुच्छीय 5 % क्रांतिक मान 2.228 से अधिक है, अतः सहसंबंध सार्थक है। √(n − 2) के स्थान पर √n लेने पर 2.60 आता है।

  7. वास्तव में सत्य शून्य परिकल्पना को अस्वीकार करना कहलाता है

    1. प्रकार I त्रुटि
    2. प्रकार II त्रुटि
    3. परीक्षण की शक्ति
    4. स्थूल त्रुटि
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — प्रकार I त्रुटि

    प्रकार I त्रुटि मिथ्या अस्वीकृति है और उसकी प्रायिकता सार्थकता स्तर α है। प्रकार II त्रुटि असत्य H₀ को अस्वीकार न कर पाना है (प्रायिकता β), और शक्ति 1 − β है। स्थूल त्रुटि सर्वेक्षण की भूल है, भिन्न अवधारणा।

  8. प्रेक्षणों के एक बड़े समुच्चय के अवशेष मानक विचलन σ से प्रसामान्य बंटित हैं। सर्वेक्षक कोई भी प्रेक्षण अस्वीकार करता है जिसका अवशेष 3σ से अधिक हो। किसी अच्छे प्रेक्षण के गलत अस्वीकृत होने की प्रायिकता लगभग है

    1. 0.27 %
    2. 4.55 %
    3. 31.7 %
    4. 5 %
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — 0.27 %

    ±3σ प्रसामान्य समष्टि का 99.73 % रखता है, अतः अच्छे प्रेक्षणों का 100 − 99.73 = 0.27 % उसके बाहर पड़ता है। 4.55 % ±2σ के बाहर की पूँछ है और 31.7 % ±1σ के बाहर की।

  9. चार भू-आवरण वर्गों में समान संख्या में अपेक्षित 200 जाँच-पिक्सेलों में से 60, 45, 40 व 55 प्रेक्षित हैं। समंजन-सुष्ठुता हेतु काई-वर्ग प्रतिदर्शज ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 5

    प्रत्येक वर्ग में E = 200/4 = 50। χ² = (60 − 50)²/50 + (45 − 50)²/50 + (40 − 50)²/50 + (55 − 50)²/50 = (100 + 25 + 100 + 25)/50 = 5.0। 3 स्वातंत्र्य-कोटियों पर 5 % क्रांतिक मान 7.815 है, अतः समान अंश अस्वीकार नहीं होते।

  10. 4 भू-आवरण वर्ग × 3 मृदा-प्रकार की आसंग सारणी पर स्वतंत्रता का काई-वर्ग परीक्षण लगाया जाता है। स्वातंत्र्य-कोटियों की संख्या है

    1. 6
    2. 12
    3. 11
    4. 5
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — 6

    r × c सारणी हेतु स्वातंत्र्य-कोटियाँ = (r − 1)(c − 1) = 3 × 2 = 6, क्योंकि पंक्ति व स्तंभ योग आँकड़ों से नियत हैं। 11, 12 कोष्ठों हेतु समंजन-सुष्ठुता की गणना है, जो इन प्रतिबंधों की उपेक्षा करती है।

  11. एक समतलन जाल समायोजन में 15 प्रेक्षण और 6 अज्ञात ऊँचाइयाँ हैं। उसके अवशेषों के भारित वर्गों का योग vᵀWv = 27.0 है, पूर्व-प्रायिक σ₀² = 1 के साथ। उत्तर-प्रायिक प्रसरण गुणक σ̂₀² ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 3

    अतिरेक r = n − u = 15 − 6 = 9, और σ̂₀² = vᵀWv/r = 27.0/9 = 3.0। 9 स्वातंत्र्य-कोटियों पर काई-वर्ग प्रतिदर्शज vᵀWv/σ₀² = 27.0 अपेक्षा से बहुत ऊपर है (उसका माध्य 9 है), जो किसी भूल या अति-आशावादी भारों की ओर संकेत करता है। 15 से भाग देने पर 1.8 आता है।

  12. न्यूनतम-वर्ग समाश्रयण व सहसंबंध के विषय में निम्न में से कौन-से कथन सही हैं?

    1. दोनों समाश्रयण रेखाएँ बिंदु (x̄, ȳ) से गुज़रती हैं
    2. दोनों समाश्रयण गुणांकों का चिह्न सदा एक होता है
    3. r = 0 सिद्ध करता है कि x व y असंबद्ध हैं
    4. सरल-रेखा समंजन हेतु निर्धारण गुणांक r के वर्ग के बराबर है
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — दोनों समाश्रयण रेखाएँ बिंदु (x̄, ȳ) से गुज़रती हैं; B — दोनों समाश्रयण गुणांकों का चिह्न सदा एक होता है; D — सरल-रेखा समंजन हेतु निर्धारण गुणांक r के वर्ग के बराबर है

    प्रत्येक रेखा का अंतःखंड माध्यों से नियत है, अतः दोनों (x̄, ȳ) से गुज़रती हैं; दोनों ढलान Sxy को धनात्मक वर्ग-योग से भाग देकर मिलते हैं, अतः Sxy का चिह्न साझा करते हैं; और सरल रेखा हेतु R² = r²। r = 0 केवल रैखिक संबंध को नकारता है: सममित परास पर y = x² का r = 0 है और संबंध पूर्ण है।

  13. काई-वर्ग परीक्षण के विषय में निम्न में से क्या सत्य है?

    1. प्रतिदर्शज Σ(O − E)²/E कभी ऋणात्मक नहीं हो सकता
    2. बैठाए गए बंटन का कोई प्राचल आँकड़ों से आँकने पर स्वातंत्र्य-कोटियाँ एक घटती हैं
    3. जब अपेक्षित गणनाएँ लगभग 5 से नीचे हों, तब सन्निकटन संदिग्ध है
    4. बड़ा काई-वर्ग मान बेहतर समंजन दर्शाता है
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — प्रतिदर्शज Σ(O − E)²/E कभी ऋणात्मक नहीं हो सकता; B — बैठाए गए बंटन का कोई प्राचल आँकड़ों से आँकने पर स्वातंत्र्य-कोटियाँ एक घटती हैं; C — जब अपेक्षित गणनाएँ लगभग 5 से नीचे हों, तब सन्निकटन संदिग्ध है

    प्रत्येक पद धनात्मक अपेक्षित गणना पर एक वर्ग है, अतः χ² ≥ 0; प्रत्येक आँका गया प्राचल एक स्वातंत्र्य-कोटि हटाता है (k − 1 − p); और छोटी अपेक्षित गणनाएँ काई-वर्ग सन्निकटन को अविश्वसनीय बनाती हैं, अतः वर्ग मिलाए जाते हैं। बड़ा χ² बदतर सहमति दर्शाता है, बेहतर नहीं।

  14. एक परीक्षण 5 % सार्थकता स्तर पर किया जाता है। निम्न में से कौन-से सही हैं?

    1. प्रकार I त्रुटि की प्रायिकता 0.05 है
    2. p-मान 0.05 से कम होने पर H₀ अस्वीकार होता है
    3. द्वि-पुच्छीय z परीक्षण हेतु क्रांतिक मान ±1.96 हैं
    4. H₀ को अस्वीकार न कर पाना सिद्ध करता है कि H₀ सत्य है
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — प्रकार I त्रुटि की प्रायिकता 0.05 है; B — p-मान 0.05 से कम होने पर H₀ अस्वीकार होता है; C — द्वि-पुच्छीय z परीक्षण हेतु क्रांतिक मान ±1.96 हैं

    α = 0.05 परिभाषा से प्रकार I त्रुटि की प्रायिकता है; निर्णय-नियम p < α है; और मानक प्रसामान्य की प्रत्येक पूँछ में 2.5 % ±1.96 से परे है। H₀ को अस्वीकार न करने का अर्थ केवल इतना है कि आँकड़े उससे संगत हैं — परीक्षण में शक्ति की कमी हो सकती है।