अभियांत्रिकी गणित I: मापन, त्रुटियाँ, सर्वाधिक प्रायिक मान व न्यूनतम-वर्ग समायोजन
1. मापन, यथार्थता, परिशुद्धता व त्रुटियों के तीन प्रकार
कोई मापन यथार्थ नहीं होता। किसी प्रेक्षण की वास्तविक त्रुटि प्रेक्षित − वास्तविक मान है, और वास्तविक मान कभी ज्ञात नहीं होता; जो निकाला जा सकता है वह अवशेष v है, प्रेक्षण और राशि के सर्वोत्तम आकलन का अंतर। इस अध्याय में v = समायोजित (सर्वाधिक प्रायिक) मान − प्रेक्षित मान, ताकि प्रेक्षण + v = समायोजित मान — यही चिह्न-परिपाटी न्यूनतम वर्ग अपनाते हैं। यथार्थता वास्तविक मान से निकटता है; परिशुद्धता बार-बार के प्रेक्षणों की परस्पर निकटता, अर्थात कम फैलाव। 2 cm छोटा फीता ऐसे पाठ्यांक देता है जो मिलीमीटर तक मिलते हैं — परिशुद्ध पर अयथार्थ। परिशुद्धता प्रायः सापेक्ष परिशुद्धता के रूप में कही जाती है, जैसे 500 m में 0.05 m की त्रुटि 10,000 में 1 है।
| प्रकार | व्यवहार | n मापनों पर वृद्धि | उपचार |
|---|---|---|---|
| स्थूल त्रुटि (भूल) | एक भूल: स्टाफ़ गलत पढ़ना, अंकों की अदला-बदली, गलत स्टेशन | कोई सांख्यिकीय राशि है ही नहीं | स्वतंत्र जाँच; पहचानकर त्यागें (जैसे 3σ से बड़ा अवशेष) |
| व्यवस्थित त्रुटि (संचयी) | हर बार वही चिह्न व परिमाण, किसी नियम से: गलत फीता-लंबाई, तापमान, झोल, संरेखण | n के समानुपाती | अंशांकन कर संशोधन लगाएँ; प्रेक्षण-विधि (दायाँ व बायाँ फलक)। औसत कुछ नहीं करता। |
| यादृच्छिक त्रुटि (आकस्मिक, प्रतिकारी) | छोटी, किसी भी चिह्न की, समान रूप से संभाव्य: अंतिम अंक का आकलन, लक्ष्यन, बुलबुला केंद्रित करना | √n के समानुपाती | पुनरावृत्ति व न्यूनतम-वर्ग समायोजन |
2. परिशुद्धता के माप व त्रुटि-संचरण
n समान रूप से विश्वसनीय प्रेक्षणों xᵢ हेतु, जिनका माध्य x̄ व अवशेष vᵢ = x̄ − xᵢ (अतः Σv = 0): एक प्रेक्षण का मानक विचलन σ = √(Σv²/(n − 1)); माध्य की मानक त्रुटि σₘ = σ/√n; प्रायिक त्रुटि PE = 0.6745σ (आधे प्रेक्षण ±PE के भीतर अपेक्षित हैं, क्योंकि 0.6745 प्रसामान्य बंटन का 50 % बिंदु है), तथा माध्य की PE = 0.6745σ/√n। भाजक n − 1 है, n नहीं, क्योंकि x̄ निकालने में एक स्वातंत्र्य-कोटि व्यय हो चुकी है। प्रसामान्य बंटन के परास ठीक-ठीक याद रखने योग्य हैं: ±1σ में 68.27 %, ±2σ में 95.45 %, ±3σ में 99.73 %, तथा ±1.96σ में 95 %।
- हल: एक दूरी पाँच बार मापी गई, 100.02, 100.04, 99.98, 100.00 व 100.06 m। माध्य 100.02 m; अवशेष 0, −0.02, +0.04, +0.02, −0.04; Σv² = 0.0040 m²। σ = √(0.0040/4) = 0.0316 m; σₘ = 0.0316/√5 = 0.0141 m; माध्य की PE = 0.6745 × 0.0141 = 0.0095 m।
- स्वतंत्र राशियों का योग या अंतर z = x ± y: σ_z² = σₓ² + σ_y²। n समान भागों हेतु σ_कुल = σ√n।
- गुणज z = kx: σ_z = kσₓ। गुणनफल A = xy (आयत का क्षेत्रफल): σ_A² = (yσₓ)² + (xσ_y)²। 50 ± 0.02 m × 30 ± 0.01 m हेतु σ_A = √((30 × 0.02)² + (50 × 0.01)²) = √(0.36 + 0.25) = 0.781 m²।
- सामान्य नियम: स्वतंत्र xᵢ वाले z = f(x₁, …, xₙ) हेतु σ_z² = Σ(∂f/∂xᵢ)² σᵢ²। कोण रेडियन में आते हैं (1″ = 1/206 265 rad)।
3. भार, सर्वाधिक प्रायिक मान व असंवरण का समायोजन
किसी प्रेक्षण का भार उसकी सापेक्ष विश्वसनीयता का माप है: w ∝ 1/σ²। चार समान रूप से अच्छे पाठ्यांकों के माध्य वाले कोण का भार 4 है; समतलन रेखा का भार उसकी लंबाई के व्युत्क्रमानुपाती है, क्योंकि समतलित ऊँचाई-अंतर का प्रसरण दूरी के साथ बढ़ता है। कई बार प्रेक्षित राशि का सर्वाधिक प्रायिक मान (MPV) भारित माध्य x̂ = Σwx/Σw है, और उसका भार Σw है। भार के नियम: kx का भार w/k² है; योग x + y का भार 1/w = 1/wₓ + 1/w_y से मिलता है।
- हल: एक रेखा 250.30 m (भार 2), 250.36 m (भार 3) व 250.33 m (भार 5) मापी गई। MPV = (500.60 + 751.08 + 1251.65)/10 = 250.333 m।
- हल: एक बेंचमार्क तीन मार्गों से, 2, 4 व 1 km, समतलित होकर 100.250, 100.270 व 100.240 m आया। भार ∝ 1/L = 1/2 : 1/4 : 1, अर्थात 2 : 1 : 4। MPV = (200.500 + 100.270 + 400.960)/7 = 100.247 m।
स्टेशन समायोजन एक स्टेशन के कोणों को संगत बनाता है (क्षितिज पूरा करने वाले कोणों का योग 360° होना चाहिए); आकृति समायोजन किसी आकृति को संगत बनाता है (समतल त्रिभुज के तीन कोणों का योग 180°, गोलीय त्रिभुज का 180° जमा उसका गोलीय आधिक्य)। एक ही प्रतिबंध होने पर न्यूनतम वर्ग असंवरण को भारों के व्युत्क्रम अनुपात में बाँटते हैं: कोण i का संशोधन = −e × (1/wᵢ)/Σ(1/w)। समान भारों पर n कोणों में से प्रत्येक को −e/n मिलता है। भार 1, 2 व 3 वाले कोणों का त्रिभुज जो 18″ अधिक बंद होता है, 1 : 1/2 : 1/3 = 6 : 3 : 2 के अनुपात में संशोधन पाता है, अर्थात −9.82″, −4.91″ व −3.27″।
4. न्यूनतम-वर्ग समायोजन: प्रेक्षण समीकरण, प्रतिबंध समीकरण व प्रसामान्य समीकरण
न्यूनतम वर्गों का सिद्धांत: सर्वाधिक प्रायिक मान वे हैं जो अवशेषों के भारित वर्गों का योग Σwv² न्यूनतम करें। प्रसामान्य रूप से बंटित त्रुटियों हेतु यह अधिकतम-संभाविता आकलन है, और सीधे प्रेक्षित एक राशि हेतु यह (भारित) माध्य बन जाता है। जब प्रेक्षण n अज्ञातों u से अधिक हों, तो अतिरेक (स्वातंत्र्य-कोटि) r = n − u है।
| विधि | संरचना | हल |
|---|---|---|
| प्रेक्षण समीकरण (प्राचलिक) | प्रत्येक प्रेक्षण हेतु u अज्ञातों में एक समीकरण: l + v = Ax (आवश्यकता हो तो रैखिकीकृत) | प्रसामान्य समीकरण (AᵀWA)x = AᵀWl — u समीकरण, प्रत्येक अज्ञात हेतु एक; x का सहप्रसरण σ₀²(AᵀWA)⁻¹ |
| प्रतिबंध समीकरण (सहसंबंधी) | प्रत्येक ज्यामितीय प्रतिबंध हेतु एक समीकरण जिसे समायोजित प्रेक्षण पूरा करें: r = n − u प्रतिबंध | लग्रांज गुणक (सहसंबंधी) v देते हैं; एक प्रतिबंध पर असंवरण 1/w के अनुसार बँटता है |
शब्दों में प्रसामान्य-समीकरण नियम: किसी अज्ञात का प्रसामान्य समीकरण बनाने हेतु प्रत्येक प्रेक्षण समीकरण को उसमें उस अज्ञात के गुणांक से और उसके भार से गुणा कर जोड़ें। हल: कोण A = 30°15′20″, B = 45°20′10″ तथा A + B = 75°35′40″ समान भार से प्रेक्षित हैं। भागों से A + B 75°35′30″ है, अतः असंवरण 10″ है। एकमात्र प्रतिबंध इसे समान बाँटता है, प्रत्येक को 10″/3 = 3.33″: A = 30°15′23.33″, B = 45°20′13.33″, A + B = 75°35′36.67″, जो संगत है। यही उत्तर v_A² + v_B² + (v_A + v_B + 10″)² को न्यूनतम करने से मिलता है — यह जाँच कि नियम व सिद्धांत सहमत हैं।
मुख्य बिंदु
- यथार्थता सत्य से निकटता है, परिशुद्धता पुनरावृत्तियों में सहमति; व्यवस्थित त्रुटियाँ n के रूप में बढ़ती हैं और संशोधन से हटती हैं, यादृच्छिक त्रुटियाँ √n के रूप में बढ़ती हैं और पुनरावृत्ति व न्यूनतम वर्गों से घटती हैं।
- एक प्रेक्षण हेतु σ = √(Σv²/(n − 1)), माध्य हेतु σ/√n, तथा प्रायिक त्रुटि हेतु 0.6745σ।
- स्वतंत्र त्रुटियाँ वर्गों में संचरित होती हैं: σ_z² = Σ(∂f/∂xᵢ)²σᵢ²।
- भार ∝ 1/σ² (∝ पुनरावृत्तियों की संख्या, ∝ समतलन रेखा की 1/लंबाई); MPV Σwx/Σw है और उसका भार Σw।
- न्यूनतम वर्ग Σwv² न्यूनतम करते हैं; एक प्रतिबंध पर असंवरण 1/w के अनुपात में बँटता है, और अतिरेक r = n − u प्रतिबंधों की संख्या है।
अभ्यास प्रश्न (14)
उत्तर खोलने से पहले प्रत्येक प्रश्न हल करें। हर व्याख्या सही विकल्प के साथ लुभावना गलत विकल्प भी बताती है, क्योंकि अंक वहीं जाते हैं।
2 cm छोटा एक इस्पात फीता सावधानी से प्रयुक्त होता है, और एक रेखा के दस बार के मापन 1 mm के भीतर मिलते हैं। इन मापनों का सर्वोत्तम वर्णन है
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उत्तर: A — परिशुद्ध पर यथार्थ नहीं
पाठ्यांक परस्पर निकटता से मिलते हैं, जो परिशुद्धता है, पर प्रत्येक में छोटे फीते की वही व्यवस्थित त्रुटि है, अतः सभी वास्तविक लंबाई से दूर हैं। पुनरावृत्ति व्यवस्थित त्रुटि प्रकट नहीं कर सकती; केवल अंशांकन कर सकता है, इसीलिए “1 mm तक मिलता है” का अर्थ यथार्थ नहीं है।एक 30 m फीते में प्रति फीता-लंबाई 5 mm त्रुटि है और 600 m मापने हेतु वह 20 बार बिछाया जाता है। त्रुटि व्यवस्थित हो तो कुल त्रुटि 100 mm है। यदि वह पूर्णतः यादृच्छिक हो, तो अपेक्षित कुल त्रुटि (mm में) है
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उत्तर: A — 22.4
यादृच्छिक त्रुटियाँ घटनाओं की संख्या के वर्गमूल के रूप में संचित होती हैं: 5√20 = 5 × 4.472 = 22.4 mm। 100 mm का मान 5 × 20 है, जो केवल व्यवस्थित त्रुटि हेतु सही है; 44.7 mm यादृच्छिक परिणाम को भूल से दुगुना करता है।एक दूरी पाँच बार मापी गई: 100.02, 100.04, 99.98, 100.00 व 100.06 m। एकल प्रेक्षण का मानक विचलन, मिलीमीटर में (एक दशमलव तक), ____ है।
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
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उत्तर: 31.6
माध्य = 500.10/5 = 100.02 m। अवशेष 0, −0.02, +0.04, +0.02, −0.04 m से Σv² = 0 + 0.0004 + 0.0016 + 0.0004 + 0.0016 = 0.0040 m²। σ = √(0.0040/(5 − 1)) = √0.0010 = 0.0316 m = 31.6 mm। n − 1 के स्थान पर n से भाग देने पर 28.3 mm आता है, सामान्य भूल।पाँच मापनों 100.02, 100.04, 99.98, 100.00 व 100.06 m हेतु माध्य की प्रायिक त्रुटि, मिलीमीटर में (एक दशमलव तक), ____ है।
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
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उत्तर: 9.5
σ = √(0.0040/4) = 0.03162 m। माध्य की मानक त्रुटि σₘ = 0.03162/√5 = 0.01414 m। माध्य की प्रायिक त्रुटि = 0.6745 × 14.14 mm = 9.54 mm, अर्थात 9.5 mm। √5 भूलने पर एक प्रेक्षण की प्रायिक त्रुटि 21.3 mm आती है।एक रेखा 250.30 m भार 2 से, 250.36 m भार 3 से तथा 250.33 m भार 5 से मापी गई। उसका सर्वाधिक प्रायिक मान, मीटर में (तीन दशमलव तक), ____ है।
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
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उत्तर: 250.333
MPV = Σwx/Σw = (2 × 250.30 + 3 × 250.36 + 5 × 250.33)/(2 + 3 + 5) = (500.60 + 751.08 + 1251.65)/10 = 2503.33/10 = 250.333 m। अभारित माध्य, 250.330 m, भार-2 वाले 250.30 m पाठ्यांक को उसकी योग्यता से अधिक प्रभाव देता है।एक बेंचमार्क का समानीत तल 2 km, 4 km व 1 km लंबाई के तीन समतलन मार्गों से लाया जाता है, जो 100.250 m, 100.270 m व 100.240 m देते हैं। सर्वाधिक प्रायिक समानीत तल, मीटर में (तीन दशमलव तक), ____ है।
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
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उत्तर: 100.247
समतलन में भार ∝ 1/मार्ग-लंबाई: 1/2 : 1/4 : 1 = 2 : 1 : 4। MPV = (2 × 100.250 + 1 × 100.270 + 4 × 100.240)/7 = (200.500 + 100.270 + 400.960)/7 = 701.730/7 = 100.247 m। लंबाई के अनुपात में भार देने पर 100.260 m आता है, जो सबसे कम विश्वसनीय मार्ग को वरीयता देता है।एक आयताकार भूखंड की भुजाएँ 50.00 ± 0.02 m व 30.00 ± 0.01 m (मानक त्रुटियाँ, स्वतंत्र) मापी गईं। परिकलित क्षेत्रफल की मानक त्रुटि, m² में (दो दशमलव तक), ____ है।
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
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उत्तर: 0.78
A = xy, अतः ∂A/∂x = y = 30 व ∂A/∂y = x = 50। σ_A = √((30 × 0.02)² + (50 × 0.01)²) = √(0.36 + 0.25) = √0.61 = 0.781 m², अर्थात 0.78। दोनों पदों को रैखिक रूप से जोड़ना (0.6 + 0.5 = 1.1 m²) तभी सही है जब दोनों त्रुटियाँ व्यवस्थित हों।एक समतल त्रिभुज के तीन कोण क्रमशः भार 1, 2 व 3 से प्रेक्षित हैं, और उनका योग 180°00′18″ है। न्यूनतम वर्गों से भार-1 कोण पर लगे संशोधन का परिमाण, सेकंड में (दो दशमलव तक), ____ है।
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
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उत्तर: 9.82
असंवरण e = +18″ हटाना है। संशोधन ∝ 1/w: 1 : 1/2 : 1/3 = 6 : 3 : 2, कुल 11 भाग। भार-1 कोण: 18 × 6/11 = 9.82″ (घटाया गया); शेष को 4.91″ व 3.27″ मिलते हैं, और 9.82 + 4.91 + 3.27 = 18.00″। w के अनुपात में बाँटने पर भार-1 कोण को केवल 3″ मिलते, जो उलटा है।कोण A = 30°15′20″, B = 45°20′10″ तथा (A + B) = 75°35′40″ समान भार से मापे गए। न्यूनतम-वर्ग समायोजन के बाद A के समायोजित मान का सेकंड भाग (दो दशमलव तक) ____ है।
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
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उत्तर: 23.33
भागों से A + B = 75°35′30″, प्रेक्षित से 10″ कम। एकमात्र प्रतिबंध 10″ को तीनों प्रेक्षणों में समान बाँटता है: A व B प्रत्येक 3.33″ बढ़ते हैं और (A + B) 3.33″ घटता है। अतः A = 30°15′23.33″। पूरा 10″ केवल (A + B) को देना इस तथ्य की उपेक्षा है कि A व B भी उतने ही अनिश्चित हैं।12 प्रेक्षणों व 5 अज्ञात प्राचलों वाले न्यूनतम-वर्ग समायोजन में स्वातंत्र्य-कोटियों (अतिरेक) की संख्या है
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उत्तर: A — 7
अतिरेक r = n − u = 12 − 5 = 7, जो स्वतंत्र प्रतिबंध समीकरणों की संख्या भी है। यही σ̂₀² = vᵀWv/r में भाजक है; दोनों संख्याएँ जोड़ना (17) अर्थहीन है।डिज़ाइन आव्यूह A, भार आव्यूह W व प्रेक्षण सदिश l वाली प्रेक्षण-समीकरण विधि में अज्ञातों x के प्रसामान्य समीकरण हैं
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उत्तर: A — (AᵀWA)x = AᵀWl
v = Ax − l सहित vᵀWv न्यूनतम करने पर ∂/∂x = 2AᵀW(Ax − l) = 0, अर्थात (AᵀWA)x = AᵀWl — प्रत्येक अज्ञात हेतु एक समीकरण। अतिरेक होने पर Ax = l का कोई हल नहीं, इसीलिए समायोजन की आवश्यकता है।निम्न में से कौन-सी सर्वेक्षण मापनों की व्यवस्थित त्रुटियाँ हैं?
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उत्तर: A — आधारों के बीच लटके फीते का झोल; B — मानकीकरण ताप से भिन्न ताप पर फीता-मापन
झोल क्षैतिज अंतर को सदा w²L³/(24P²) से घटाता है और ताप-अंतर फीते को सदा αLΔT से बदलता है — प्रत्येक नियत चिह्न वाले नियम का पालन करता है, अतः दोनों व्यवस्थित हैं और सूत्र से संशोधित होते हैं। अंतिम अंक का आकलन यादृच्छिक है; अंकों की अदला-बदली स्थूल त्रुटि है, जो जाँचों से पकड़ी जाती है।भार व सर्वाधिक प्रायिक मान के विषय में निम्न में से कौन-से कथन सही हैं?
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उत्तर: A — किसी प्रेक्षण का भार उसके प्रसरण के व्युत्क्रमानुपाती है; B — यदि किसी राशि का भार w हो, तो उस राशि के 3 गुने का भार w/9 है; C — भारित माध्य का भार व्यक्तिगत भारों के योग के बराबर है
w ∝ 1/σ²; σ(3x) = 3σ अतः उसका भार w/3² = w/9; और Σwx/Σw का भार Σw है। अंतिम कथन उलटा है: संशोधन 1/w के अनुसार जाते हैं, अतः सबसे भारी (सबसे विश्वसनीय) कोण सबसे कम खिसकता है।प्रसामान्य रूप से बंटित प्रेक्षणों के न्यूनतम-वर्ग समायोजन के विषय में निम्न में से क्या सत्य है?
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उत्तर: A — यह अवशेषों के वर्गों का भारित योग Σwv² न्यूनतम करता है; B — कई बार सीधे मापी गई एक राशि हेतु यह भारित समांतर माध्य देता है; C — स्वतंत्र प्रतिबंध समीकरणों की संख्या प्रेक्षणों की संख्या में से अज्ञातों की संख्या घटाने के बराबर है
सिद्धांत min Σwv² है; सीधे प्रेक्षित एक राशि हेतु d/dx Σw(x − xᵢ)² = 0 रखने पर x = Σwxᵢ/Σw; और अतिरेक n − u स्वतंत्र प्रतिबंध गिनता है। न्यूनतम वर्ग त्रुटियों को यादृच्छिक मानते हैं: प्रेक्षणों में छूटी व्यवस्थित त्रुटि हल में फैल जाती है, हटती नहीं — उसे पहले संशोधित करना होता है।