पारिस्थितिकी में गणित व सांख्यिकी II: अध्ययन अभिकल्प, परिकल्पना परीक्षण, t व काई-वर्ग परीक्षण, सहसंबंध, समाश्रयण व ANOVA

GATE पारिस्थितिकी व विकास पेपर का खंड 3, दूसरा भाग: "अध्ययन अभिकल्प व सांख्यिकीय विधियाँ"। कोई साझा गणित अध्याय इसमें से कुछ नहीं पढ़ाता, अतः यह अध्याय पारिस्थितिक आँकड़ों सहित यह सब पढ़ाता है: ऐसा अध्ययन कैसे अभिकल्पित करें जो अपने प्रश्न का उत्तर दे सके (प्रतिकृति, यादृच्छिकीकरण, नियंत्रण और छद्म-प्रतिकृति का जाल); परिकल्पना परीक्षण, p-मान, प्रकार I व प्रकार II त्रुटियाँ व सामर्थ्य; एक-प्रतिदर्श, द्वि-प्रतिदर्श व युग्मित t-परीक्षण; आसंजन-सुष्ठुता हेतु काई-वर्ग परीक्षण, हार्डी–वाइनबर्ग परीक्षण सहित, तथा आसंग सारणियों हेतु; सहसंबंध व न्यूनतम-वर्ग रैखिक समाश्रयण; तथा एकमार्गी प्रसरण विश्लेषण। जहाँ भी गणना को क्रांतिक मान चाहिए, वह दिया गया है।

1. अध्ययन अभिकल्प: प्रतिकृति, यादृच्छिकीकरण, नियंत्रण व छद्म-प्रतिकृति

प्रेक्षणात्मक अध्ययन चरों को जैसे वे घटित होते हैं मापता है और साहचर्य दिखा सकता है; हस्तक्षेपी प्रयोग इकाइयों पर उपचार लागू करता है और यादृच्छिकीकरण सहित कारण दिखा सकता है। तीन सिद्धांत प्रयोग को व्याख्येय बनाते हैं। प्रतिकृति — प्रति उपचार अनेक स्वतंत्र प्रायोगिक इकाइयाँ — उस प्राकृतिक भिन्नता का आकलन करती है जिसके विरुद्ध उपचार प्रभाव आँका जाता है। इकाइयों को उपचारों का यादृच्छिकीकरण व्यवस्थित अंतरों (खेत का आर्द्रतर कोना, प्रेक्षक का चयन) को उपचार के साथ भ्रमित होने से रोकता है। नियंत्रण दिखाते हैं कि उपचार के बिना क्या होता है, प्रक्रियात्मक नियंत्रणों सहित (एक पिंजरा जो कुछ भी बाहर नहीं रखता, स्वयं पिंजरे के प्रभाव की परीक्षा हेतु)।

छद्म-प्रतिकृति (हर्लबर्ट, 1984) अस्वतंत्र मापों को स्वतंत्र प्रतिकृतियाँ मानना है: एक उर्वरित भूखंड से 20 मृदा कोर व एक अनुर्वरित भूखंड से 20 लेना प्रति उपचार n = 1 देता है, 20 नहीं, क्योंकि भूखंडों के बीच कोई भी अंतर — केवल उर्वरक नहीं — परिणाम की व्याख्या कर सकता है। यही जाल उन्हीं जंतुओं के बार-बार मापों, एक टंकी में अनेक मछलियों, या एक जले व एक अनजले वन में अनेक चतुर्भुजों के साथ उत्पन्न होता है। जहाँ एकल प्रभाव स्थल की प्रतिकृति नहीं हो सकती, वहाँ BACI अभिकल्प (पहले–बाद, नियंत्रण–प्रभाव) उसी अवधि में प्रभाव स्थल पर परिवर्तन की तुलना नियंत्रण स्थलों पर परिवर्तन से करता है। प्रतिदर्श आकार पहले से सामर्थ्य विश्लेषण द्वारा चुना जाता है, पता लगाने योग्य प्रभाव आकार, अपेक्षित प्रसरण, α व वांछित सामर्थ्य से।

2. परिकल्पना परीक्षण, p-मान, त्रुटियाँ व सामर्थ्य

परीक्षण एक शून्य परिकल्पना H₀ (कोई प्रभाव नहीं, कोई अंतर नहीं) को वैकल्पिक H₁ के विरुद्ध रखता है, आँकड़ों से परीक्षण सांख्यिकी परिकलित करता है, और पूछता है कि यदि H₀ सत्य होती तो यह कितना आश्चर्यजनक होता। p-मान वह प्रायिकता है, H₀ को सत्य मानते हुए, कि प्रेक्षित जितनी या उससे अधिक चरम परीक्षण सांख्यिकी प्राप्त हो। यदि p ≤ α, चुना गया सार्थकता स्तर (परंपरागत रूप से 0.05), तो H₀ अस्वीकार होती है। द्वि-पुच्छीय परीक्षण दोनों दिशाओं में चरम गिनता है; एक-पुच्छीय परीक्षण तभी उचित है जब दूसरी दिशा में अंतर को ठीक कोई अंतर न होने जैसा माना जाए।

त्रुटि के दो प्रकार
निर्णयH₀ सत्यH₀ असत्य
H₀ अस्वीकारप्रकार I त्रुटि — प्रायिकता αसही — प्रायिकता 1 − β, सामर्थ्य
H₀ अस्वीकार नहींसही — प्रायिकता 1 − αप्रकार II त्रुटि — प्रायिकता β

मिथ्या धनात्मक से बचने हेतु α घटाना नियत प्रतिदर्श हेतु β बढ़ाता है; दोनों को घटाने का तरीका बड़ा प्रतिदर्श या कम परिवर्ती माप है। सामर्थ्य (1 − β) प्रभाव आकार, प्रतिदर्श आकार व α के साथ बढ़ता है, और प्रसरण के साथ घटता है; 0.8 सामान्य लक्ष्य है। बहु-परीक्षण प्रकार I त्रुटि बढ़ाता है: α = 0.05 पर k स्वतंत्र परीक्षणों सहित कम से कम एक मिथ्या धनात्मक की संभावना 1 − 0.95^k है, जो k = 5 हेतु 0.226 है। बॉनफ़ेरोनी संशोधन प्रत्येक को α/k पर परखता है (दस परीक्षणों हेतु 0.005)।

⚠️ p-मान क्या नहीं है
p = 0.03, H₀ के सत्य होने की प्रायिकता नहीं है, न परिणाम के संयोग से होने की प्रायिकता, न इसका माप कि प्रभाव कितना बड़ा या महत्त्वपूर्ण है। विशाल प्रतिदर्श में सूक्ष्म, जैविक रूप से नगण्य अंतर अति छोटा p दे सकता है, और छोटे प्रतिदर्श में बड़ा प्रभाव p > 0.05 दे सकता है। "सार्थक नहीं" का अर्थ है आँकड़े H₀ को ख़ारिज नहीं करते — यह नहीं कि H₀ सत्य सिद्ध हुई है।

3. t-परीक्षण

t-परीक्षण के तीन रूप
परीक्षणसांख्यिकीस्वातंत्र्य कोटियाँउपयोग
एक-प्रतिदर्शt = (x̄ − μ₀)/(s/√n)n − 1क्या माध्य किसी कथित मान से भिन्न है?
द्वि-प्रतिदर्श (संयुक्त)t = (x̄₁ − x̄₂)/[s_p √(1/n₁ + 1/n₂)]n₁ + n₂ − 2क्या दो स्वतंत्र समूह भिन्न हैं?
युग्मितt = d̄/(s_d/√n)n − 1 (n युग्म)वही इकाइयाँ दो बार मापी गईं, या मेलित युग्म

संयुक्त मानक विचलन s_p = √{[(n₁ − 1)s₁² + (n₂ − 1)s₂²]/(n₁ + n₂ − 2)} है। हल किया उदाहरण: 12 g व 10 g माध्य द्रव्यमानों तथा s_p = 2 g वाले 10 छिपकलियों के दो समूह t = 2/(2 × √0.2) = 2/0.894 = 2.24 देते हैं, 18 स्वातंत्र्य कोटियों पर; द्वि-पुच्छीय 5 % क्रांतिक मान 2.101 है, अतः अंतर सार्थक है। t-परीक्षण लगभग प्रसामान्य आँकड़े (या बड़े प्रतिदर्श) व स्वतंत्र प्रेक्षण मानते हैं; संयुक्त परीक्षण समान प्रसरण भी मानता है, और वेल्च परीक्षण वह मान्यता हटाता है। युग्मित अभिकल्प इकाइयों के बीच भिन्नता हटाता है: यदि 9 वृक्ष उपचार से पहले व बाद मापे जाएँ, माध्य अंतर 1.5 व s_d = 3 सहित, तो t = 1.5/(3/3) = 1.5।

4. काई-वर्ग परीक्षण: आसंजन-सुष्ठुता व आसंग सारणियाँ

काई-वर्ग सांख्यिकी प्रेक्षित गणनाओं O की अपेक्षित गणनाओं E से तुलना करती है: χ² = Σ(O − E)²/E, सदा गणनाओं पर, प्रतिशतों पर कभी नहीं। आसंजन-सुष्ठुता परीक्षण में अपेक्षित गणनाएँ एक परिकल्पना से आती हैं। 3:1 देने की अपेक्षा वाला एकसंकर संकरण जो 290 प्रभावी व 110 अप्रभावी संतति देता है (E = 300 व 100), χ² = 10²/300 + 10²/100 = 0.33 + 1.00 = 1.33 देता है, 1 स्वातंत्र्य कोटि पर; 5 % क्रांतिक मान 3.84 है, अतः 3:1 अनुपात अस्वीकार नहीं होता। स्वातंत्र्य कोटियाँ श्रेणियों की संख्या घटा 1, और आँकड़ों से आकलित प्रत्येक प्राचल हेतु एक और घटा, होती हैं।

हार्डी–वाइनबर्ग परीक्षण एक आकलित प्राचल सहित आसंजन-सुष्ठुता परीक्षण है। 50 AA, 30 Aa व 20 aa हेतु: p = (100 + 30)/200 = 0.65 व q = 0.35, अतः अपेक्षित गणनाएँ 42.25, 45.5 व 12.25 हैं। χ² = 7.75²/42.25 + 15.5²/45.5 + 7.75²/12.25 = 1.42 + 5.28 + 4.90 = 11.60, 3 − 1 − 1 = 1 स्वातंत्र्य कोटि सहित, 3.84 से कहीं ऊपर: समष्टि हार्डी–वाइनबर्ग अनुपातों से विचलित है, विषमयुग्मजियों की न्यूनता सहित। आसंग परीक्षण पूछता है कि क्या दो श्रेणीगत चर स्वतंत्र हैं — जैसे आवास प्रकार व किसी जाति की उपस्थिति। अपेक्षित गणनाएँ (पंक्ति योग × स्तंभ योग)/कुल योग हैं, और स्वातंत्र्य कोटियाँ (r − 1)(c − 1); 3 × 4 सारणी की 6 हैं। अपेक्षित गणनाएँ छोटी होने पर परीक्षण अविश्वसनीय है (सामान्य नियम है कि कोई 5 से नीचे न हो)।

5. सहसंबंध व रैखिक समाश्रयण

पियर्सन सहसंबंध गुणांक r = S_xy/√(S_xx S_yy), जहाँ S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), S_xx = Σ(x − x̄)² व S_yy = Σ(y − ȳ)², −1 से +1 के पैमाने पर रैखिक साहचर्य की शक्ति मापता है, चरों के बीच भेद किए बिना। न्यूनतम-वर्ग रैखिक समाश्रयण ऊर्ध्वाधर अवशिष्टों के वर्गों का योग न्यूनतम करके y = a + bx आसंजित करता है, जिससे b = S_xy/S_xx व a = ȳ − b x̄ मिलते हैं; यह x को त्रुटि रहित मापा गया भविष्यवक्ता और y को अनुक्रिया मानता है। निर्धारण गुणांक r² रेखा द्वारा व्याख्यायित y के प्रसरण का भाग है, और b = r × s_y/s_x दोनों को जोड़ता है।

हल किया समाश्रयण: x = 1, 2, 3, 4, 5 व y = 2, 4, 5, 4, 5
राशिगणनामान
माध्यx̄ = 15/5, ȳ = 20/53 व 4
S_xy(−2)(−2) + (−1)(0) + (0)(1) + (1)(0) + (2)(1)6
S_xx व S_yy4 + 1 + 0 + 1 + 4; 4 + 0 + 1 + 0 + 110 व 6
ढाल व अंतःखंडb = 6/10; a = 4 − 0.6 × 30.6 व 2.2
r व r²6/√(10 × 6) = 6/7.7460.775 व 0.6
⚠️ सहसंबंध कारणता नहीं है, और समाश्रयण सममित नहीं है
नीड़ परभक्षण नीड़ की ऊँचाई से सहसंबद्ध हो सकता है क्योंकि दोनों वनस्पति घनत्व पर निर्भर हैं — एक भ्रामक चर — इसलिए नहीं कि ऊँचाई परभक्षण का कारण है। और x पर y का समाश्रयण y पर x के समाश्रयण का व्युत्क्रम नहीं है: दोनों ढाल b_yx = S_xy/S_xx व b_xy = S_xy/S_yy हैं, और उनका गुणनफल r² है, जो केवल पूर्ण आसंजन हेतु 1 के बराबर है। दुर्बल r किसी प्रबल अरैखिक संबंध, जैसे कूबड़, को भी छिपा सकता है।

6. एकमार्गी प्रसरण विश्लेषण

ANOVA परखता है कि क्या k समूहों के सभी माध्य समान हैं, समूहों के बीच भिन्नता की उनके भीतर भिन्नता से तुलना करके। कुल वर्ग-योग ठीक-ठीक बँटता है: SS_total = SS_between + SS_within, स्वातंत्र्य कोटियों N − 1 = (k − 1) + (N − k) सहित। माध्य वर्ग MS_between = SS_between/(k − 1) व MS_within = SS_within/(N − k) हैं, और F = MS_between/MS_within। यदि H₀ सत्य है तो दोनों समान त्रुटि प्रसरण का आकलन करते हैं और F ≈ 1; बड़े F का अर्थ है समूह माध्य भिन्न हैं। 5-5 के k = 3 समूहों (N = 15), SS_between = 40 व SS_within = 60 सहित: MS_between = 20, MS_within = 5 और (2, 12) स्वातंत्र्य कोटियों पर F = 4.0, 5 % क्रांतिक मान 3.89 से ऊपर।

  • सार्थक F कहता है कि कम से कम एक माध्य भिन्न है, कौन-सा नहीं; पश्च (post hoc) तुलनाएँ (उदाहरणार्थ ट्यूकी परीक्षण) समग्र प्रकार I त्रुटि नियंत्रित करते हुए पता लगाती हैं कि कौन-से युग्म भिन्न हैं।
  • इसके स्थान पर सभी युग्मवार t-परीक्षण चलाना प्रकार I त्रुटि बढ़ाता है; तीन समूहों के साथ यह तीन परीक्षण हैं।
  • दो समूहों हेतु एकमार्गी ANOVA व संयुक्त द्वि-प्रतिदर्श t-परीक्षण तुल्य हैं: F = t²।
  • ANOVA स्वतंत्र प्रेक्षण, लगभग प्रसामान्य अवशिष्ट व समूहों में समान प्रसरण मानता है; अप्राचलिक विकल्प (क्रुस्कल–वालिस) प्रसामान्यता की शर्त शिथिल करते हैं।

मुख्य बिंदु

  • प्रायोगिक इकाई की प्रतिकृति करें, उपचारों का यादृच्छिकीकरण करें व नियंत्रण रखें; प्रति उपचार एक भूखंड से अनेक प्रतिदर्श छद्म-प्रतिकृतियाँ हैं, n = 1।
  • p-मान P(इतने चरम आँकड़े | H₀) है; प्रकार I त्रुटि की प्रायिकता α, प्रकार II की β, सामर्थ्य 1 − β; k परीक्षण 1 − (1 − α)^k मिथ्या-धनात्मक जोखिम देते हैं, और बॉनफ़ेरोनी α/k प्रयोग करता है।
  • द्वि-प्रतिदर्श t = (x̄₁ − x̄₂)/[s_p√(1/n₁ + 1/n₂)], n₁ + n₂ − 2 df पर; युग्मित t = d̄/(s_d/√n), n − 1 पर।
  • गणनाओं पर χ² = Σ(O − E)²/E; df = श्रेणियाँ − 1 − आकलित प्राचल (हार्डी–वाइनबर्ग परीक्षण हेतु 1) या आसंग सारणी हेतु (r − 1)(c − 1)।
  • b = S_xy/S_xx, a = ȳ − bx̄, r² व्याख्यायित प्रसरण है; ANOVA का F = MS_between/MS_within, (k − 1, N − k) df पर, और दो समूहों हेतु F = t²।

अभ्यास प्रश्न (15)

उत्तर खोलने से पहले प्रत्येक प्रश्न हल करें। हर व्याख्या सही विकल्प के साथ लुभावना गलत विकल्प भी बताती है, क्योंकि अंक वहीं जाते हैं।

  1. मृदा सूक्ष्मजीवों पर उर्वरक के प्रभाव की परीक्षा हेतु एक शोधकर्ता एक खेत को उर्वरित करता है, पड़ोसी खेत को अनुर्वरित छोड़ता है, और प्रत्येक से 30 मृदा कोर लेता है। मुख्य दोष है

    1. छद्म-प्रतिकृति: प्रति उपचार केवल एक प्रायोगिक इकाई है
    2. माध्य के आकलन हेतु बहुत कम मृदा कोर
    3. प्रकार II त्रुटि का अभाव
    4. एक-पुच्छीय के बजाय द्वि-पुच्छीय परीक्षण का प्रयोग
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — छद्म-प्रतिकृति: प्रति उपचार केवल एक प्रायोगिक इकाई है

    उपचार खेतों पर लागू किया गया, अतः खेत प्रायोगिक इकाई है और प्रति उपचार n = 1। 30 कोर उप-प्रतिदर्श हैं; दोनों खेतों के बीच कोई भी पूर्व-विद्यमान अंतर उर्वरक से भ्रमित है। अधिक कोर इसे ठीक नहीं करते; यादृच्छिक रूप से निर्दिष्ट अधिक खेत करते हैं।

  2. प्रकार I व प्रकार II त्रुटियों के विषय में कौन-से कथन सही हैं?

    1. प्रकार I त्रुटि सत्य शून्य परिकल्पना को अस्वीकार करना है
    2. प्रकार II त्रुटि की प्रायिकता β है, और सामर्थ्य 1 − β
    3. नियत प्रतिदर्श आकार हेतु α घटाना β बढ़ाने की प्रवृत्ति रखता है
    4. 0.03 के p-मान का अर्थ है शून्य परिकल्पना के सत्य होने की 3 % संभावना है
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — प्रकार I त्रुटि सत्य शून्य परिकल्पना को अस्वीकार करना है; B — प्रकार II त्रुटि की प्रायिकता β है, और सामर्थ्य 1 − β; C — नियत प्रतिदर्श आकार हेतु α घटाना β बढ़ाने की प्रवृत्ति रखता है

    प्रकार I मिथ्या अस्वीकृति है (प्रायिकता α), प्रकार II असत्य H₀ को अस्वीकार करने में विफलता (प्रायिकता β), और सामर्थ्य 1 − β। प्रतिदर्श नियत रहते, अस्वीकृति हेतु प्रबल साक्ष्य माँगना (छोटा α) चूक की संभावना बढ़ाता है। p-मान H₀ को सत्य मानकर परिकलित होता है, अतः यह H₀ के सत्य होने की प्रायिकता नहीं हो सकता।

  3. पाँच स्वतंत्र परीक्षण किए जाते हैं, प्रत्येक α = 0.05 पर, और प्रत्येक शून्य परिकल्पना सत्य है। कम से कम एक मिथ्या धनात्मक की प्रायिकता, तीन दशमलव स्थानों तक, ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

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    उत्तर: 0.226

    P(कोई मिथ्या धनात्मक नहीं) = 0.95⁵ = 0.774, अतः P(कम से कम एक) = 1 − 0.774 = 0.226। 5 × 0.05 = 0.25 जोड़ना इसे थोड़ा अधिक बताता है क्योंकि घटनाएँ अतिव्याप्त हो सकती हैं; पाँच परीक्षणों हेतु बॉनफ़ेरोनी स्तर 0.01 होता।

  4. एक अध्ययन 10 स्वतंत्र तुलनाएँ करता है और 0.05 की समग्र प्रकार I त्रुटि दर चाहता है। बॉनफ़ेरोनी संशोधन में प्रत्येक तुलना की परीक्षा किस सार्थकता स्तर पर होनी चाहिए, ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

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    उत्तर: 0.005

    बॉनफ़ेरोनी α को परीक्षणों की संख्या से भाग देता है: 0.05/10 = 0.005। गुणा करना, 0.5, मिथ्या धनात्मक को कम के बजाय कहीं अधिक संभाव्य बनाता।

  5. 10 छिपकलियों के दो स्वतंत्र समूहों के माध्य द्रव्यमान 12 g व 10 g हैं, और संयुक्त मानक विचलन 2 g है। द्वि-प्रतिदर्श t सांख्यिकी, दो दशमलव स्थानों तक, ____ है।

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    उत्तर: 2.24

    t = (12 − 10)/[2 × √(1/10 + 1/10)] = 2/(2 × 0.4472) = 2/0.894 = 2.24, 18 df पर। √(1/n₁ + 1/n₂) पद छोड़ना 1.0 देता है, और केवल √(1/10) प्रयोग करना 3.16।

  6. नौ वृक्ष एक उपचार से पहले व बाद मापे जाते हैं। नौ अंतरों का माध्य 1.5 व उनका मानक विचलन 3 है। युग्मित t सांख्यिकी, एक दशमलव स्थान तक, ____ है।

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    उत्तर: 1.5

    t = d̄/(s_d/√n) = 1.5/(3/√9) = 1.5/1 = 1.5, 8 df पर। केवल s_d से भाग देना 0.5 देता है, जो भूलता है कि माध्य अंतर की मानक त्रुटि √n के साथ घटती है।

  7. 3:1 अनुपात देने की अपेक्षा वाला संकरण 290 प्रभावी व 110 अप्रभावी संतति उत्पन्न करता है। आसंजन-सुष्ठुता हेतु काई-वर्ग सांख्यिकी, दो दशमलव स्थानों तक, ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

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    उत्तर: 1.33

    अपेक्षित 300 व 100; χ² = (290 − 300)²/300 + (110 − 100)²/100 = 0.333 + 1.000 = 1.33, 1-df क्रांतिक मान 3.84 से नीचे। अपेक्षित के बजाय प्रेक्षित गणनाओं से भाग देना 0.345 + 0.909 = 1.25 देता है।

  8. 100 व्यष्टियों के प्रतिदर्श में 50 AA, 30 Aa व 20 aa हैं। हार्डी–वाइनबर्ग अनुपातों से विचलन हेतु काई-वर्ग सांख्यिकी (प्रतिदर्श युग्मविकल्पी आवृत्ति से अपेक्षित गणनाएँ), एक दशमलव स्थान तक, ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

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    उत्तर: 11.6

    p = 130/200 = 0.65, q = 0.35; अपेक्षित 42.25, 45.5 व 12.25। χ² = 7.75²/42.25 + 15.5²/45.5 + 7.75²/12.25 = 1.42 + 5.28 + 4.90 = 11.6, 3 − 1 − 1 = 1 df पर — अत्यधिक सार्थक विषमयुग्मजी न्यूनता। p का आकलन करने के बजाय p = 0.5 मानना भिन्न अपेक्षित गणनाएँ व भिन्न मान देता है।

  9. एक आसंग सारणी स्थलों को तीन आवास प्रकारों व चार प्रचुरता वर्गों द्वारा अनुप्रस्थ-वर्गीकृत करती है। स्वतंत्रता के काई-वर्ग परीक्षण हेतु स्वातंत्र्य कोटियों की संख्या ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

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    उत्तर: 6

    df = (r − 1)(c − 1) = (3 − 1)(4 − 1) = 2 × 3 = 6। कुल कोष्ठों की संख्या घटा एक, 11, गलत प्रकार के परीक्षण पर लागू आसंजन-सुष्ठुता नियम है।

  10. दो-युग्मविकल्पी विस्थल पर तीन जीनप्ररूपों की गणनाओं पर हार्डी–वाइनबर्ग काई-वर्ग परीक्षण किया जाता है, उन्हीं आँकड़ों से आकलित युग्मविकल्पी आवृत्ति सहित। स्वातंत्र्य कोटियाँ हैं

    1. 1
    2. 2
    3. 3
    4. 0
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — 1

    तीन जीनप्ररूप वर्ग 3 − 1 = 2 देते हैं, और आँकड़ों से p का आकलन एक और हटाता है: 3 − 1 − 1 = 1। 2 उत्तर देना इस प्रश्न की सबसे सामान्य त्रुटि है; यह केवल तब सही होता जब p आकलित होने के बजाय पहले से निर्दिष्ट होता।

  11. आँकड़ों x = 1, 2, 3, 4, 5 व y = 2, 4, 5, 4, 5 हेतु x पर y का न्यूनतम-वर्ग ढाल, एक दशमलव स्थान तक, ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

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    उत्तर: 0.6

    x̄ = 3, ȳ = 4, S_xy = 4 + 0 + 0 + 0 + 2 = 6 व S_xx = 10, अतः b = 6/10 = 0.6 और अंतःखंड a = 4 − 1.8 = 2.2। S_yy = 6 से भाग देना 1.0 देता है, y पर x का ढाल उलटा।

  12. उन्हीं आँकड़ों (x = 1, 2, 3, 4, 5; y = 2, 4, 5, 4, 5) हेतु निर्धारण गुणांक r², एक दशमलव स्थान तक, ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

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    उत्तर: 0.6

    r² = S_xy²/(S_xx S_yy) = 36/(10 × 6) = 0.6, अतः रेखा y के प्रसरण का 60 % व्याख्यायित करती है; r = 0.775। r² के स्थान पर r बताना 0.8 देता है, और इन आँकड़ों का संयोग है कि r² ढाल के बराबर है।

  13. सहसंबंध व समाश्रयण के विषय में कौन-से कथन सही हैं?

    1. r², x पर रैखिक समाश्रयण द्वारा व्याख्यायित y के प्रसरण का अनुपात है
    2. x पर y का ढाल r × s_y/s_x के बराबर है
    3. प्रबल कूबड़-आकार संबंध के साथ शून्य के निकट सहसंबंध हो सकता है
    4. y पर x का समाश्रयण सदा x पर y के समाश्रयण का व्युत्क्रम है
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — r², x पर रैखिक समाश्रयण द्वारा व्याख्यायित y के प्रसरण का अनुपात है; B — x पर y का ढाल r × s_y/s_x के बराबर है; C — प्रबल कूबड़-आकार संबंध के साथ शून्य के निकट सहसंबंध हो सकता है

    r² व्याख्यायित भाग है और b = r s_y/s_x। पियर्सन r केवल रैखिक साहचर्य मापता है, अतः सममित कूबड़ r ≈ 0 दे सकता है। दोनों समाश्रयण ढालों का गुणनफल r² है, अतः वे केवल r² = 1 पर व्युत्क्रम हैं।

  14. एक एकमार्गी ANOVA 5-5 प्रेक्षणों के 3 समूहों की तुलना करता है। समूहों के बीच वर्ग-योग 40 व समूहों के भीतर वर्ग-योग 60 है। F सांख्यिकी, एक दशमलव स्थान तक, ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

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    उत्तर: 4.0

    MS_between = 40/(3 − 1) = 20 व MS_within = 60/(15 − 3) = 5, अतः (2, 12) df पर F = 20/5 = 4.0। वर्ग-योगों को सीधे भाग देना, 40/60 = 0.67, स्वातंत्र्य कोटियों की उपेक्षा करता है।

  15. एक पारिस्थितिकविद् पाँच स्थलों के बीच माध्य पर्ण नाइट्रोजन की तुलना करता है। प्रत्येक युग्मवार t-परीक्षण चलाने की तुलना में एकमार्गी ANOVA क्यों वरीय है?

    1. दस पृथक t-परीक्षण समग्र प्रकार I त्रुटि दर बढ़ा देंगे
    2. ANOVA को प्रेक्षणों के स्वतंत्र होने की आवश्यकता नहीं
    3. ANOVA सीधे बताता है कि स्थलों के कौन-से युग्म भिन्न हैं
    4. 20 से अधिक प्रेक्षणों के साथ t-परीक्षण प्रयुक्त नहीं हो सकते
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — दस पृथक t-परीक्षण समग्र प्रकार I त्रुटि दर बढ़ा देंगे

    पाँच स्थल ⁵C₂ = 10 युग्मवार परीक्षण देते हैं, और प्रत्येक α = 0.05 पर कम से कम एक मिथ्या धनात्मक की संभावना 5 % से कहीं ऊपर है। ANOVA सभी माध्यों को एक साथ α पर परखता है। यह फिर भी स्वतंत्रता मानता है, और यह नहीं बताता कि कौन-से युग्म भिन्न हैं — उसके लिए पश्च परीक्षण चाहिए।