पारिस्थितिकी में गणित व सांख्यिकी I: फलन व दरें, क्षेत्र आँकड़ों हेतु प्रायिकता मॉडल, तथा वर्णनात्मक सांख्यिकी
1. पारिस्थितिक मॉडल के रूप में सरल फलन
| फलन | रूप | पारिस्थितिक उपयोग | रैखिक कैसे करें |
|---|---|---|---|
| रैखिक | y = a + bx | लॉजिस्टिक मॉडल में घनत्व के सापेक्ष प्रति-व्यष्टि वृद्धि दर; b ढाल है | पहले से रैखिक |
| द्विघात | y = a + bx + cx² | कूबड़-आकार अनुक्रियाएँ: N के सापेक्ष समष्टि वृद्धि दर, प्रवणता के साथ जाति प्रदर्शन | शीर्ष x = −b/(2c) पर |
| चरघातांकी | N = N₀ert | अप्रतिबंधित वृद्धि, रेडियोधर्मी क्षय, प्रथम-कोटि अपघटन | ln N = ln N₀ + rt: ढाल r वाला अर्ध-लघुगणकीय आलेख |
| लघुगणकीय | y = a + b ln x | ह्रासमान प्रतिफल; प्रतिचयन प्रयास के सापेक्ष समृद्धि | ln x के सापेक्ष y आलेखित करें |
| घात | y = ax^b | जाति–क्षेत्रफल S = cA^z; अपमितिवृद्धि, जैसे चयापचय दर ∝ M3/4 | log y = log a + b log x: ढाल b वाला log–log आलेख |
| संतृप्त | f = aN/(1 + ahN) | हॉलिंग प्रकार II प्रकार्यात्मक अनुक्रिया; माइकेलिस–मेंटेन अवशोषण | 1/N के सापेक्ष 1/f (लाइनवीवर–बर्क रूप) |
किसी राशि का लघुगणक गुणन को योग में बदलता है, इसी कारण पारिस्थितिक आँकड़े प्रायः लघुगणकीय अक्षों पर आलेखित होते हैं। अर्ध-लघुगणकीय आलेख (t के सापेक्ष ln N) पर चरघातांकी वृद्धि सरल रेखा है जिसका ढाल r है: जिस समष्टि का ln N 6 वर्षों में 4.0 से 5.2 तक बढ़ता है उसका r = 1.2/6 = 0.2 प्रति वर्ष है। log–log आलेख पर घात नियम सरल रेखा है जिसका ढाल घातांक है। अपमितिवृद्धि में क्लाइबर नियम आधारी चयापचय दर को लगभग ∝ M0.75 देता है, अतः 16 गुना भारी जंतु 160.75 = 8 गुना ऊर्जा प्रयोग करता है, पर प्रति ग्राम केवल आधी — इसी कारण छोटे स्तनधारियों को अपने आकार की तुलना में इतना अधिक खाना पड़ता है।
हॉलिंग प्रकार II अनुक्रिया f = aN/(1 + ahN) में खोज दक्षता (आक्रमण दर) a व हस्तन काल h है। निम्न शिकार घनत्व पर f ≈ aN, रैखिक रूप से बढ़ते हुए; उच्च घनत्व पर f, 1/h की ओर जाता है, क्योंकि परभक्षी प्रति h एक से अधिक शिकार का हस्तन नहीं कर सकता। a = 0.5, h = 0.1 व N = 20 सहित: f = 0.5 × 20/(1 + 0.5 × 0.1 × 20) = 10/2 = 5 शिकार प्रति परभक्षी प्रति इकाई समय, 10 की अधिकतम सीमा का आधा — वह घनत्व जिस पर f अपने अधिकतम का आधा होता है N = 1/(ah) = 20 है।
2. दर के रूप में अवकलज: पारिस्थितिक वक्रों के ढाल
अवकलज dy/dx वक्र की स्पर्श रेखा का ढाल है, x के साथ y के परिवर्तन की तात्क्षणिक दर; अवकलन के नियम साझा अवकलज अध्याय में हैं। पारिस्थितिकी में अवकलज प्रायः एक दर है: dN/dt समष्टि वृद्धि दर है, और (1/N)dN/dt प्रति-व्यष्टि दर। लॉजिस्टिक मॉडल हेतु dN/dt = rN − rN²/K, N में द्विघात है; N के सापेक्ष उसका अवकलज r − 2rN/K, N = K/2 पर शून्य है, जहाँ वृद्धि दर अपने अधिकतम rK/4 पर है — K/2 से नीचे धनात्मक ढाल, ऊपर ऋणात्मक। किसी भी सहज वक्र का उच्चिष्ठ या निम्निष्ठ इसी तरह निकाला जाता है: प्रथम अवकलज को शून्य रखें, फिर द्वितीय अवकलज का चिह्न जाँचें (उच्चिष्ठ हेतु ऋणात्मक)।
3. क्षेत्र प्रतिचयन में गणना व प्रायिकता
| स्थिति | गणना | क्षेत्र उदाहरण |
|---|---|---|
| सभी n भिन्न वस्तुओं को क्रमित करना | n! | 4 अनुप्रस्थ पथ 4! = 24 क्रमों में चले जा सकते हैं |
| n में से r को क्रमित करना (क्रमचय) | ⁿPᵣ = n!/(n − r)! | 10 में से भ्रमण हेतु पहला, दूसरा व तीसरा स्थल: ¹⁰P₃ = 720 |
| n में से r चुनना, क्रम अप्रासंगिक (संचय) | ⁿCᵣ = n!/[r!(n − r)!] | 10 में से प्रतिचयन हेतु 3 तालाब: ¹⁰C₃ = 120 |
क्रमचय में क्रम मायने रखता है और संचय में नहीं, अतः ⁿPᵣ = r! × ⁿCᵣ: तीन तालाबों के 120 संभव समुच्चयों में से प्रत्येक का 3! = 6 क्रमों में भ्रमण हो सकता है, जिससे 720 मिलते हैं। "k स्थलों का यादृच्छिक प्रतिदर्श" का अर्थ है कि ⁿCₖ संभव समुच्चयों में से प्रत्येक समान संभाव्य है। योग, गुणन व सप्रतिबंध-प्रायिकता नियम साझा प्रायिकता अध्याय में हैं। उनका सबसे अधिक प्रयुक्त पारिस्थितिक अनुप्रयोग अपूर्ण संसूचन है। यदि किसी स्थल पर उपस्थित जाति किसी एक भ्रमण पर p प्रायिकता से, स्वतंत्र रूप से, संसूचित होती है, तो k भ्रमणों के बाद उसके कम से कम एक बार संसूचित होने की प्रायिकता 1 − (1 − p)^k है: p = 0.3 व चार भ्रमणों सहित 1 − 0.7⁴ = 1 − 0.2401 = 0.76। जिस स्थल पर जाति कभी नहीं दिखी वह फिर भी अधिवासित हो सकता है, और बेज़ प्रमेय इसकी प्रायिकता देता है।
हल किया बेज़ उदाहरण: मान लें 40 % स्थल अधिवासित हैं (पूर्व प्रायिकता ψ = 0.4) और अधिवासित स्थल पर चारों भ्रमणों में जाति 0.7⁴ = 0.2401 प्रायिकता से छूट जाती है। P(संसूचित नहीं) = 0.4 × 0.2401 + 0.6 × 1 = 0.696, और P(अधिवासित | संसूचित नहीं) = 0.0960/0.696 = 0.138। अतः 14 % "रिक्त" स्थल वास्तव में अधिवासित हैं, और संसूचनों की सरल गणना अधिवास को कम आँकती है। यही अधिवास मॉडलन का तर्क है।
4. पारिस्थितिक आँकड़ों हेतु प्रायिकता बंटन
द्विपद बंटन n स्वतंत्र परीक्षणों, प्रत्येक p प्रायिकता सहित, में k "सफलताओं" की प्रायिकता देता है: P(k) = ⁿCₖ p^k (1 − p)n−k, माध्य np व प्रसरण np(1 − p) सहित। यदि चार पौधों में से प्रत्येक 0.5 प्रायिकता से जीवित रहता है, तो ठीक दो के जीवित रहने की संभावना ⁴C₂ × 0.5⁴ = 6/16 = 0.375 है। प्वासों बंटन प्रति इकाई स्वतंत्र, यादृच्छिक रूप से स्थित घटनाओं की गणनाएँ बताता है — यादृच्छिक स्थानिक प्रतिरूप में प्रति चतुर्भुज व्यष्टि: P(k) = e−m m^k/k!, माध्य = प्रसरण = m सहित। रिक्त चतुर्भुजों का अनुपात e−m है; प्रति चतुर्भुज 1.5 व्यष्टियों के माध्य सहित, प्रतिरूप यादृच्छिक होने पर e−1.5 = 0.223 चतुर्भुज रिक्त होने चाहिए। प्रसामान्य बंटन देह आकार जैसे सतत मापों का वर्णन करता है: लगभग 68 % मान माध्य के एक मानक विचलन के भीतर, 95 % 1.96 SD के भीतर और 99.7 % 3 SD के भीतर होते हैं।
| परिक्षेपण सूचकांक I = s²/x̄ | प्रतिरूप | सामान्य कारण |
|---|---|---|
| I ≈ 1 | यादृच्छिक (प्वासों) | व्यष्टि एकसमान आवास में स्वतंत्र रूप से बसते हैं |
| I > 1 | गुच्छित (समूहित) | खंडित संसाधन, सामाजिक समूहन, सीमित बीज परिक्षेपण |
| I < 1 | एकसमान (नियमित) | क्षेत्रीयता, पड़ोसियों के बीच प्रतिस्पर्धा, परजीवी-रसायन (allelopathy) |
5. वर्णनात्मक सांख्यिकी, मानक त्रुटि व विश्वास्यता अंतराल
प्रतिदर्श x₁, …, xₙ हेतु: माध्य x̄ = Σxᵢ/n; माध्यिका मध्य मान है, बहिर्वर्तियों के प्रति दृढ़; प्रतिदर्श प्रसरण s² = Σ(xᵢ − x̄)²/(n − 1), n − 1 से भाग देते हुए क्योंकि माध्य के आकलन में एक स्वातंत्र्य कोटि प्रयुक्त होती है; और मानक विचलन s = √s²। 2, 4, 4, 5, 5 हेतु: x̄ = 4, वर्गित विचलन 4, 0, 0, 1, 1, उनका योग 6 और s² = 6/4 = 1.5। विचरण गुणांक CV = s/x̄ × 100 % भिन्न माध्यों या इकाइयों वाले चरों के बीच परिवर्तनशीलता की तुलना करता है: 25 g के माध्य देह द्रव्यमान व s = 5 g सहित CV = 20 %। समय के साथ समष्टि आकारों की परिवर्तनशीलता की तुलना का भी CV मानक तरीका है।
माध्य की मानक त्रुटि SE = s/√n मापती है कि x̄ समष्टि माध्य μ का कितनी परिशुद्धता से आकलन करता है; यह √n के अनुसार घटती है, अतः प्रतिदर्श चौगुना करना इसे आधा करता है। 95 % विश्वास्यता अंतराल x̄ ± t(0.025, n − 1) × SE है, जहाँ t, n − 1 स्वातंत्र्य कोटियों वाले t बंटन से है (बड़े n हेतु प्रसामान्य से 1.96)। n = 16, x̄ = 50 व s = 8 सहित: SE = 8/4 = 2, t(0.025, 15) = 2.131, और अंतराल 50 ± 4.26, 45.74 से 54.26 तक है। इसका अर्थ प्रक्रिया के विषय में है: बार-बार प्रतिदर्शों से इस तरह बने 95 % अंतराल μ को समाहित करेंगे; यह इस विशेष अंतराल में μ के होने की 95 % प्रायिकता नहीं है।
मुख्य बिंदु
- चरघातांकी वृद्धि ढाल r वाले अर्ध-लघुगणकीय आलेख पर सरल रेखा है; घात नियम log–log आलेख पर अपने घातांक के बराबर ढाल वाली सरल रेखा है।
- अवकलज एक दर है; N = K/2 पर लॉजिस्टिक अधिकतम पाने हेतु उसे शून्य रखें, और वक्र के ढाल से इष्टतम पढ़ें।
- k भ्रमणों के बाद संसूचन 1 − (1 − p)^k है; बेज़ प्रमेय असंसूचित स्थल के अधिवासित होने की संभावना देता है।
- प्वासों गणनाओं का प्रसरण माध्य के बराबर है; s²/x̄ ≈ 1 यादृच्छिक, > 1 गुच्छित, < 1 एकसमान; रिक्त भाग e−m है।
- s² को n − 1 से भाग; CV = s/x̄; SE = s/√n; 95 % CI x̄ ± t(0.025, n − 1) × SE है और प्रक्रिया का वर्णन करता है, इस एक अंतराल का नहीं।
अभ्यास प्रश्न (16)
उत्तर खोलने से पहले प्रत्येक प्रश्न हल करें। हर व्याख्या सही विकल्प के साथ लुभावना गलत विकल्प भी बताती है, क्योंकि अंक वहीं जाते हैं।
एक समष्टि का प्राकृतिक लघुगणक, ln N, 6 वर्षों में 4.0 से 5.2 तक रैखिक रूप से बढ़ता है। उसकी अंतर्निहित वृद्धि दर r, प्रति वर्ष, एक दशमलव स्थान तक, ____ है।
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
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उत्तर: 0.2
अर्ध-लघुगणकीय आलेख पर चरघातांकी वृद्धि का ढाल r है: (5.2 − 4.0)/6 = 1.2/6 = 0.2 प्रति वर्ष। 5.2 को 4.0 से और फिर 6 से भाग देना लघुगणक मानों को स्वयं समष्टि आकार मानना है।आधारी चयापचय दर देह द्रव्यमान की 0.75 घात के अनुसार बदलती है। दूसरे से 16 गुना भारी जंतु की आधारी चयापचय दर ____ गुना अधिक है।
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
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उत्तर: 8
160.75 = (2⁴)3/4 = 2³ = 8। भारी जंतु 8 गुना ऊर्जा प्रयोग करता है पर प्रति ग्राम केवल 8/16 = आधी। 12 उत्तर देना 16 को उस घात तक उठाने के बजाय 0.75 से गुणा करना है।एक परभक्षी की हॉलिंग प्रकार II प्रकार्यात्मक अनुक्रिया f = aN/(1 + ahN) है, आक्रमण दर a = 0.5 व हस्तन काल h = 0.1 सहित। शिकार घनत्व N = 20 पर प्रति परभक्षी प्रति इकाई समय खाए गए शिकार की संख्या ____ है।
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
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उत्तर: 5
f = 0.5 × 20/(1 + 0.5 × 0.1 × 20) = 10/2 = 5। हस्तन की उपेक्षा प्रकार I मान aN = 10 देती है, जो अधिकतम सीमा 1/h भी है जिस तक वक्र केवल उच्च घनत्व पर पहुँचता है।द्वीप क्षेत्रफल A व जाति संख्या S के आँकड़े log A के सापेक्ष log S आलेखित करने पर 0.27 ढाल वाली सरल रेखा देते हैं। इसका अर्थ है कि
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उत्तर: A — S = cA^{0.27}, घातांक 0.27 वाला घात नियम
log–log अक्षों पर सरल रेखा घात फलन है, और उसका ढाल घातांक है: log S = log c + 0.27 log A से S = cA0.27। प्रति km² स्थिर वृद्धि अंकगणितीय अक्षों पर रैखिक होती, और चरघातांकी A के सापेक्ष log S के अर्ध-लघुगणकीय आलेख पर रैखिक होता।लॉजिस्टिक मॉडल हेतु dN/dt = rN − rN²/K। N के सापेक्ष dN/dt का अवकलज कहाँ शून्य है?
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उत्तर: A — N = K/2
d/dN (rN − rN²/K) = r − 2rN/K = 0 से N = K/2, सर्वाधिक तेज़ वृद्धि का घनत्व। N = K व N = 0 वे हैं जहाँ स्वयं dN/dt शून्य है, और rK/4 वृद्धि दर का अधिकतम मान है, घनत्व नहीं।एक सर्वेक्षण दल को प्रतिचयन हेतु 10 में से 3 तालाब चुनने हैं, और उनके भ्रमण का क्रम मायने नहीं रखता। वह तालाबों के कितने भिन्न समुच्चय चुन सकता है, ____ है।
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
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उत्तर: 120
क्रम अप्रासंगिक है, अतः यह संचय है: ¹⁰C₃ = 10 × 9 × 8/(3 × 2 × 1) = 120। क्रमचय ¹⁰P₃ = 720 प्रत्येक समुच्चय को छह बार गिनता है, उसके भ्रमण के प्रत्येक क्रम हेतु एक बार।एक तालाब पर उपस्थित मेंढक जाति किसी एक सर्वेक्षण में 0.3 प्रायिकता से संसूचित होती है, सर्वेक्षणों के बीच स्वतंत्र रूप से। चार सर्वेक्षणों में उसके कम से कम एक बार संसूचित होने की प्रायिकता, दो दशमलव स्थानों तक, ____ है।
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
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उत्तर: 0.76
P(कभी संसूचित नहीं) = 0.7⁴ = 0.2401, अतः P(कम से कम एक बार) = 1 − 0.2401 = 0.76। 4 × 0.3 = 1.2 जोड़ना असंभव प्रायिकता देता है, क्योंकि घटनाएँ "सर्वेक्षण i पर संसूचित" परस्पर अपवर्जी नहीं हैं।एक क्षेत्र के चालीस प्रतिशत तालाब एक मेंढक द्वारा अधिवासित हैं। अधिवासित तालाब पर मेंढक चारों सर्वेक्षणों में 0.24 प्रायिकता से छूट जाता है; अनधिवासित तालाब पर वह कभी संसूचित नहीं होता। जिस तालाब पर चार सर्वेक्षणों में मेंढक संसूचित नहीं हुआ, वह किस प्रायिकता से अधिवासित है, दो दशमलव स्थानों तक, ____ है।
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
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उत्तर: 0.14
P(संसूचित नहीं) = 0.4 × 0.24 + 0.6 × 1 = 0.096 + 0.6 = 0.696। P(अधिवासित | संसूचित नहीं) = 0.096/0.696 = 0.14। 0.24 उत्तर देना P(संसूचित नहीं | अधिवासित), उलटी सप्रतिबंध प्रायिकता देता है; 0.4 सर्वेक्षण साक्ष्य की पूर्णतः उपेक्षा करता है।चार चिह्नित पौधों में से प्रत्येक शुष्क ऋतु में 0.5 प्रायिकता से, स्वतंत्र रूप से, जीवित रहता है। ठीक दो के जीवित रहने की प्रायिकता, तीन दशमलव स्थानों तक, ____ है।
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
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उत्तर: 0.375
द्विपद: ⁴C₂ × 0.5² × 0.5² = 6 × 0.0625 = 0.375। ⁴C₂ = 6 व्यवस्थाएँ भूलना 0.0625 देता है, एक विशेष युग्म के जीवित रहने व अन्य दो के मरने की प्रायिकता।एक झाड़ी के व्यष्टि यादृच्छिक रूप से वितरित हैं, प्रति चतुर्भुज 1.5 के माध्य सहित। रिक्त चतुर्भुजों का अपेक्षित अनुपात, तीन दशमलव स्थानों तक, ____ है।
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
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उत्तर: 0.223
यादृच्छिक प्रतिरूप प्वासों गणनाएँ देता है, और P(0) = e−m = e−1.5 = 0.223। 1/1.5 = 0.667 या 1 − e−1.5 = 0.777 (अधिवासित अनुपात) प्रयोग करना सामान्य चूकें हैं।50 चतुर्भुजों में एक भृंग की गणनाओं का माध्य 4 व प्रसरण 12 है। स्थानिक प्रतिरूप का सर्वोत्तम वर्णन है
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उत्तर: A — गुच्छित, क्योंकि प्रसरण-माध्य अनुपात 3 है
s²/x̄ = 12/4 = 3, 1 से काफ़ी ऊपर, अतः भृंग समूहित हैं। प्वासों (यादृच्छिक) प्रतिरूप का प्रसरण माध्य के बराबर होता, और एकसमान प्रतिरूप का प्रसरण माध्य से कम, अतः माध्य से अधिक प्रसरण गुच्छन की ओर संकेत करता है, एकसमानता की ओर नहीं।छिपकलियों के एक प्रतिदर्श के देह द्रव्यमानों का माध्य 25 g व मानक विचलन 5 g है। विचरण गुणांक, प्रतिशत में, ____ है।
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
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उत्तर: 20
CV = s/x̄ × 100 = 5/25 × 100 = 20 %। यह इकाई-रहित है, अतः द्रव्यमानों की परिवर्तनशीलता की तुलना लंबाइयों से कर सकता है; 500 उलटा अनुपात गुणा 100 है।पाँच नीड़ों में अंडों की संख्याएँ 2, 4, 4, 5 व 5 हैं। प्रतिदर्श प्रसरण (n − 1 से भाग देकर), एक दशमलव स्थान तक, ____ है।
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
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उत्तर: 1.5
x̄ = 20/5 = 4; वर्गित विचलन 4, 0, 0, 1, 1 का योग 6; s² = 6/(5 − 1) = 1.5। n से भाग देना 1.2 देता है, अभिनत समष्टि-प्रसरण सूत्र, और वर्गमूल लेना मानक विचलन 1.22 देता है।16 मछलियों के प्रतिदर्श की माध्य लंबाई 50 cm व मानक विचलन 8 cm है। t(0.025, 15) = 2.131 प्रयोग करके माध्य हेतु 95 % विश्वास्यता अंतराल की ऊपरी सीमा, cm में दो दशमलव स्थानों तक, ____ है।
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
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उत्तर: 54.26
SE = 8/√16 = 2; अर्ध-चौड़ाई = 2.131 × 2 = 4.262; ऊपरी सीमा = 50 + 4.262 = 54.26। SE के स्थान पर SD प्रयोग करना 67.05 देता है, और t के स्थान पर 1.96 प्रयोग करना 53.92, जो n = 16 हेतु बहुत संकीर्ण है।मानक विचलन (SD) व माध्य की मानक त्रुटि (SE) के विषय में कौन-से कथन सही हैं?
उत्तर देखें
उत्तर: A — SE = SD/√n; B — प्रतिदर्श आकार चौगुना करना SE को लगभग आधा करता है; C — SD व्यक्तिगत प्रेक्षणों का फैलाव बताता है
SE = SD/√n, अतः चौगुना बड़ा प्रतिदर्श उसे आधा करता है, और यह माध्य की परिशुद्धता मापता है। SD व्यष्टियों के बीच फैलाव मापता है, समष्टि का गुण जिसे बड़ा प्रतिदर्श बेहतर आकलित करता है पर घटाता नहीं।माध्य बीज द्रव्यमान हेतु 95 % विश्वास्यता अंतराल 12.1 से 14.3 mg परिकलित होता है। कौन-सी व्याख्या सही है?
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उत्तर: A — यदि प्रतिचयन अनेक बार दोहराया जाए, तो इस तरह बने लगभग 95 % अंतराल वास्तविक माध्य समाहित करेंगे
विश्वास्यता स्तर प्रक्रिया का है: बार-बार प्रतिदर्शों में ऐसे 95 % अंतराल μ को आवृत करते हैं। परिकलित होने के बाद निश्चित अंतराल या तो μ समाहित करता है या नहीं, अतः दूसरा विकल्प सामान्य भ्रांत पठन है। अंतराल माध्य के विषय में है, व्यक्तिगत बीजों के नहीं, और प्रतिदर्श माध्य सदा उसके केंद्र में होता है।