पर्यावरणीय आँकड़ों हेतु सांख्यिकी: आकार, जोखिम व विश्वसनीयता, सहसंबंध, समाश्रयण व परिकल्पना परीक्षण

GATE पर्यावरण विज्ञान एवं अभियांत्रिकी (ES) पेपर के गणित आधार खंड हेतु लिखा गया दूसरा अध्याय। इसका प्रायिकता व सांख्यिकी शीर्षक किसी भी अभियांत्रिकी पेपर से लंबा है: वर्णनात्मक सांख्यिकी, केंद्रीय प्रवृत्ति, प्रकीर्णन, प्रायिकता, सप्रतिबंध प्रायिकता, बेज़ प्रमेय व बंटनों के बाद — जिन्हें साझा प्रायिकता व सांख्यिकी अध्याय पढ़ाता है — यह विषमता व ककुदता, जोखिम व विश्वसनीयता, सहसंबंध, एकल व बहु समाश्रयण प्रतिरूप, तथा t-परीक्षण, F-परीक्षण व काई-वर्ग परीक्षण द्वारा परिकल्पना परीक्षण नामित करता है। वे यहाँ एकत्र हैं, प्रत्येक के पर्यावरणीय अर्थ सहित: कोलिफ़ॉर्म गणनाओं का विषम समुच्चय, अभिकल्प-आयु के भीतर 100-वर्षीय बाढ़ आने का जोखिम, दोहरे पंपों की विश्वसनीयता, COD पर BOD का समाश्रयण, और यह परीक्षण कि किसी बहिःस्राव का माध्य वास्तव में अपनी सीमा से अधिक है या नहीं।

1. प्रकीर्णन, विषमता व ककुदता

माध्य, माध्यिका, बहुलक व मानक विचलन के आगे पर्यावरणीय आँकड़ों में तीन वर्णनात्मक माप बार-बार आते हैं। विचरण गुणांक CV = σ/x̄ × 100 भिन्न माध्यों वाले समुच्चयों की परिवर्तिता की तुलना करता है — जिस उपचार संयंत्र के बहिःस्राव BOD का CV 15% है वह 40% वाले से अधिक स्थिर है, उनके औसत जो भी हों। गुणोत्तर माध्य (x₁x₂…xₙ)^(1/n) उन आँकड़ों का स्वाभाविक औसत है जो कई परिमाण-कोटियों में फैले हों, इसीलिए जीवाणु गणनाएँ व अनेक जल-गुणता मानदंड गुणोत्तर माध्य के रूप में बताए जाते हैं: 10, 100 व 1000 की गणनाओं का गुणोत्तर माध्य 100 व समांतर माध्य 370 है, जिस पर एक ख़राब नमूना हावी हो जाता है। अंतःचतुर्थक परिसर Q₃ − Q₁ चरम मानों से प्रभावित हुए बिना फैलाव मापता है।

विषमता असममिति मापती है। कार्ल पियर्सन का प्रथम गुणांक Sk = (माध्य − बहुलक)/σ है; उनका द्वितीय, जो बहुलक अस्पष्ट होने पर प्रयुक्त होता है, Sk = 3(माध्य − माध्यिका)/σ है; आघूर्ण गुणांक γ₁ = μ₃/σ³ है, जहाँ μ₃ तृतीय केंद्रीय आघूर्ण है। धनात्मक विषम (दाईं पूँछ वाले) बंटन हेतु माध्य > माध्यिका > बहुलक — प्रदूषक सांद्रताओं का सामान्य आकार, जो शून्य से नीचे नहीं गिर सकतीं परंतु विशिष्ट मान से बहुत ऊपर उछल सकती हैं। ककुदता शिखर के सापेक्ष पूँछों का भार मापती है: β₂ = μ₄/μ₂², प्रसामान्य बंटन हेतु 3 (मध्यककुदी); β₂ > 3 तुंगककुदी (नुकीला शिखर, भारी पूँछें) व β₂ < 3 चिपिटककुदी है। अतिरिक्त ककुदता β₂ − 3 प्रसामान्य वक्र हेतु शून्य है।

🧠 माध्य, माध्यिका व बहुलक का क्रम पढ़ें
दाएँ-विषम: बहुलक < माध्यिका < माध्य, और माध्य लंबी पूँछ की ओर खिंचता है। बाएँ-विषम: क्रम उलट जाता है। सममित: तीनों संपाती। अनुभवजन्य संबंध माध्य − बहुलक ≈ 3(माध्य − माध्यिका) मध्यम विषम समुच्चयों पर लागू होता है, इसी से पियर्सन के दोनों गुणांक मेल खाते हैं।

2. जोखिम व विश्वसनीयता

विश्वसनीयता R(t) वह प्रायिकता है कि कोई घटक समय t तक बिना विफल हुए कार्य करे। स्थिर विफलता दर λ के साथ विफलता तक का समय चरघातांकी है, R(t) = e^(−λt), और विफलता तक माध्य समय MTTF = 1/λ है; चरघातांकी का स्मृतिहीन गुण बताता है कि 1000 घंटे चल चुका पंप अगले 100 घंटों हेतु नए जितना ही विश्वसनीय है। तंत्र स्वतंत्र घटनाओं के नियमों से जुड़ते हैं। श्रेणी में सभी घटकों को कार्य करना होता है, अतः R_s = R₁R₂…Rₙ, जो सदा सबसे दुर्बल घटक से कम है। समांतर (अतिरेक) घटक तभी विफल होते हैं जब सब विफल हों, अतः R_p = 1 − (1 − R₁)(1 − R₂)…(1 − Rₙ)। प्रत्येक 0.9 विश्वसनीयता वाले दो आरक्षित पंप 1 − 0.1² = 0.99 देते हैं।

जल-विज्ञान व पर्यावरणीय अभिकल्प में जोखिम वह प्रायिकता है कि अभिकल्प-आयु के दौरान अभिकल्प घटना पार हो जाए। T पुनरावृत्ति काल की घटना की वार्षिक अतिक्रमण प्रायिकता p = 1/T है, अतः n वर्षों में उसके कम से कम एक बार होने की प्रायिकता R = 1 − (1 − 1/T)ⁿ है, और अभिकल्प की विश्वसनीयता 1 − R है। 100-वर्षीय बाढ़ के 25-वर्ष की अभिकल्प-आयु में आने की संभावना 22% है, इसीलिए जब विफलता महँगी हो तो अभिकल्प-आयु से बहुत लंबा पुनरावृत्ति काल चुना जाता है। स्वास्थ्य व संकट आकलन में जोखिम को प्रायिकता × परिणाम भी लिखा जाता है, और पर्यावरण-प्रबंधन अध्याय मानव-स्वास्थ्य जोखिम इसी आधार पर बनाता है।

⚠️ T वर्षों में T-वर्षीय घटना की संभावना 1 नहीं
n = T रखें: R = 1 − (1 − 1/T)^T, जो बड़े T हेतु 1 − 1/e ≈ 0.63 की ओर जाता है। 50-वर्षीय तूफ़ान के अगले 50 वर्षों में आने की संभावना लगभग 64% है, निश्चितता नहीं — और बिल्कुल न आने की 36%।

3. सहसंबंध

x व y का सहप्रसरण cov(x, y) = Σ(x − x̄)(y − ȳ)/n है, और कार्ल पियर्सन का सहसंबंध गुणांक इसे प्रसामान्यीकृत करता है: r = cov(x, y)/(σₓσᵧ) = [nΣxy − ΣxΣy]/√{[nΣx² − (Σx)²][nΣy² − (Σy)²]}। यह −1 व +1 के बीच होता है, किसी भी चर के मूल या पैमाने के परिवर्तन से अपरिवर्तित रहता है (ऋणात्मक पैमाना-गुणक पर चिह्न छोड़कर), और केवल रैखिक संबद्धता मापता है: शून्य के परितः सममित परिसर पर y = x² का r = 0 है, भले संबंध पूर्ण हो। सहसंबंध कारण के विषय में भी कुछ नहीं कहता — ग्रीष्म में घुलित ऑक्सीजन व मछलियों की मृत्यु तापमान से सहसंबद्ध होती हैं क्योंकि गर्म जल कम ऑक्सीजन रखता है, इसलिए नहीं कि तापमापी मछलियाँ मारता है।

जब आँकड़े कोटियाँ हों, या एकदिष्ट परंतु अरैखिक संबंध का संदेह हो, तो स्पीयरमैन का कोटि सहसंबंध प्रयुक्त होता है: ρ = 1 − 6Σd²/[n(n² − 1)], जहाँ d प्रत्येक वस्तु की दो कोटियों का अंतर व n वस्तुओं की संख्या है। बराबर मानों को उन कोटियों का औसत मिलता है जो वे घेरते।

4. एकल व बहु समाश्रयण

न्यूनतम वर्ग से आसंजित x पर y की समाश्रयण रेखा y − ȳ = b_yx(x − x̄) है, जहाँ b_yx = r σᵧ/σₓ = cov(x, y)/σₓ²; y पर x की रेखा x − x̄ = b_xy(y − ȳ) है, जहाँ b_xy = r σₓ/σᵧ। तीन परिणाम अधिकांश अंक दिलाते हैं: दोनों रेखाएँ (x̄, ȳ) से गुज़रती हैं, अतः माध्यों पर प्रतिच्छेद करती हैं; r² = b_yx × b_xy, और r दोनों गुणांकों का उभयनिष्ठ चिह्न लेता है; और दोनों रेखाएँ केवल r = ±1 पर संपाती होती हैं, r = 0 पर लंबवत। निर्धारण गुणांक r², समाश्रयण द्वारा व्याख्यायित y के प्रसरण का अंश है — 0.8 का r उसका 64% व्याख्यायित करता है, 80% नहीं।

बहु समाश्रयण एक अनुक्रिया को अनेक पूर्वसूचकों पर प्रतिरूपित करता है: y = b₀ + b₁x₁ + b₂x₂ + … + bₖxₖ + ε — COD व TSS पर BOD, या वायु-वेग, तापमान व यातायात गणना पर किसी प्रदूषक की सांद्रता। गुणांक प्रसामान्य समीकरणों से न्यूनतम वर्ग द्वारा मिलते हैं, जो आव्यूह रूप में (XᵀX)b = Xᵀy हैं, अतः b = (XᵀX)⁻¹Xᵀy। प्रत्येक bᵢ, अन्य पूर्वसूचकों को स्थिर रखते हुए प्रति इकाई xᵢ पर y का परिवर्तन है। कोई पूर्वसूचक जोड़ने पर बहु R² कभी नहीं घटता, भले वह व्यर्थ हो, अतः प्रतिरूपों की तुलना समायोजित R², 1 − (1 − R²)(n − 1)/(n − k − 1), से होती है, जो अतिरिक्त पूर्वसूचकों पर दंड लगाता है। प्रबल सहसंबद्ध पूर्वसूचक (बहुसंरेखता) आसंजन अच्छा होने पर भी व्यक्तिगत गुणांकों को अस्थिर बना देते हैं।

⚠️ 1 से बड़ा समाश्रयण गुणांक चलता है; दोनों नहीं
b_yx व b_xy में से एक का परिमाण 1 से अधिक हो सकता है, परंतु उनका गुणनफल r² ≤ 1 है, अतः दोनों नहीं। b_yx = 1.6 व b_xy = 0.9 देने वाला प्रश्न असंभव आँकड़ा-समुच्चय बताता है, क्योंकि 1.44 > 1।

5. परिकल्पना परीक्षण: t, F व काई-वर्ग

परीक्षण एक शून्य परिकल्पना H₀ (कोई अंतर नहीं, कोई प्रभाव नहीं) को वैकल्पिक H₁ के सामने रखता है, नमूने से एक प्रतिदर्शज निकालता है, और यदि प्रतिदर्शज सार्थकता स्तर α द्वारा तय क्रांतिक क्षेत्र में पड़े तो H₀ अस्वीकार करता है। सत्य H₀ को अस्वीकार करना प्रकार I त्रुटि है, प्रायिकता α; असत्य H₀ को अस्वीकार न करना प्रकार II त्रुटि है, प्रायिकता β, और 1 − β सामर्थ्य है। p-मान वह प्रायिकता है, H₀ सत्य होने पर, कि प्रतिदर्शज कम से कम उतना चरम हो जितना देखा गया; p < α पर H₀ अस्वीकार करें। अस्वीकार न कर पाना H₀ के सत्य होने का प्रमाण नहीं — छोटे नमूने में सामर्थ्य की कमी भर हो सकती है।

पाठ्यक्रम द्वारा नामित तीन परीक्षण
परीक्षणप्रतिदर्शजस्वातंत्र्य कोटि व उपयोग
एक-नमूना tt = (x̄ − μ₀)/(s/√n), s नमूना मानक विचलनn − 1; जब σ अज्ञात व n छोटा हो, क्या माध्य बहिःस्राव BOD सीमा μ₀ से भिन्न है?
द्वि-नमूना t (संयुक्त)t = (x̄₁ − x̄₂)/[s_p√(1/n₁ + 1/n₂)]n₁ + n₂ − 2; ऊर्ध्वप्रवाह बनाम अनुप्रवाह, पहले बनाम बाद; युग्मित आँकड़ों में अंतर प्रयुक्त होते हैं
F-परीक्षणF = s₁²/s₂², बड़ा प्रसरण अंश में(n₁ − 1, n₂ − 1); क्या दो प्रसरण बराबर हैं? ANOVA का आधार भी
काई-वर्गχ² = Σ(O − E)²/E सभी वर्गों परआसंजन-सुष्ठुता हेतु k − 1 − (आकलित प्राचल); r × c आसंग सारणी हेतु (r − 1)(c − 1), जहाँ E = पंक्ति योग × स्तंभ योग/कुल योग
ℹ️ z या t?
जब समष्टि मानक विचलन ज्ञात हो या नमूना बड़ा हो (लगभग n > 30) तो z लें; जब σ छोटे नमूने से आकलित हो तो t लें। t बंटन की पूँछें प्रसामान्य से भारी होती हैं और स्वातंत्र्य कोटि बढ़ने पर यह प्रसामान्य के निकट आता है।

मुख्य बिंदु

  • CV = σ/x̄ भिन्न माध्यों में परिवर्तिता की तुलना करता है; परिमाण-कोटियों में फैली गणनाओं हेतु गुणोत्तर माध्य उचित औसत है।
  • पियर्सन विषमता (माध्य − बहुलक)/σ या 3(माध्य − माध्यिका)/σ है; दाईं विषमता माध्य को माध्यिका से ऊपर रखती है। ककुदता β₂ = μ₄/μ₂² प्रसामान्य वक्र हेतु 3 है।
  • श्रेणी विश्वसनीयता गुणा होती है; समांतर विश्वसनीयता एक में से विफलता प्रायिकताओं का गुणनफल घटाकर है। n वर्षों में T-वर्षीय घटना का जोखिम 1 − (1 − 1/T)ⁿ है।
  • दोनों समाश्रयण रेखाएँ (x̄, ȳ) से गुज़रती हैं; r² = b_yx × b_xy; r² व्याख्यायित प्रसरण का अंश है, और बहु-समाश्रयण प्रतिरूपों की तुलना समायोजित R² से होती है।
  • t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), n − 1 स्वातंत्र्य कोटि; F प्रसरणों का अनुपात है, बड़ा ऊपर; χ² = Σ(O − E)²/E। α प्रकार I त्रुटि की प्रायिकता है, और H₀ अस्वीकार न करना उसे सिद्ध नहीं करता।

अभ्यास प्रश्न (17)

उत्तर खोलने से पहले प्रत्येक प्रश्न हल करें। हर व्याख्या सही विकल्प के साथ लुभावना गलत विकल्प भी बताती है, क्योंकि अंक वहीं जाते हैं।

  1. दैनिक PM₁₀ पाठ्यांकों के एक समुच्चय का माध्य 50 μg/m³, बहुलक 44 μg/m³ व मानक विचलन 12 μg/m³ है। कार्ल पियर्सन का प्रथम विषमता गुणांक क्या है?

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    उत्तर: 0.5

    Sk = (माध्य − बहुलक)/σ = (50 − 44)/12 = 0.5, मध्यम धनात्मक (दाईं) विषमता, उस प्रदूषक का सामान्य आकार जो शून्य से नीचे नहीं जा सकता परंतु उछल सकता है। प्रसरण 144 से भाग देने पर 0.042 आता है, जो σ को σ² समझना है।

  2. बहिःस्राव COD मानों के एक समुच्चय का माध्य 30 mg/L, माध्यिका 27 mg/L व मानक विचलन 6 mg/L है। पियर्सन का द्वितीय विषमता गुणांक क्या है?

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

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    उत्तर: 1.5

    Sk = 3(माध्य − माध्यिका)/σ = 3 × (30 − 27)/6 = 9/6 = 1.5। गुणक 3 छोड़ने पर 0.5 आता है, जो माध्यिका पर लगाया गया प्रथम गुणांक का रूप है।

  3. जिस बंटन का आघूर्ण ककुदता गुणांक β₂ = 4.2 है, वह है:

    1. चिपिटककुदी
    2. मध्यककुदी
    3. तुंगककुदी
    4. ऋणात्मक विषम
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    उत्तर: C — तुंगककुदी

    प्रसामान्य बंटन का β₂ = 3 (मध्यककुदी) है। 3 से अधिक मान नुकीला शिखर व भारी पूँछें बताता है, जो तुंगककुदी है; 3 से कम चिपिटककुदी। ककुदता असममिति के विषय में कुछ नहीं कहती, अतः विकल्प D भिन्न प्रश्न का उत्तर है।

  4. एक स्नान तट के तीन नमूने प्रति 100 mL 10, 100 व 1000 मल-कोलिफ़ॉर्म गणनाएँ देते हैं। उनका गुणोत्तर माध्य, प्रति 100 mL, क्या है?

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    उत्तर: 100

    GM = (10 × 100 × 1000)^(1/3) = (10⁶)^(1/3) = 100। समांतर माध्य 370 पर अकेला उच्चतम नमूना हावी है, इसीलिए जीवाणु-विज्ञानी मानदंड गुणोत्तर माध्य लेते हैं।

  5. एक मात्रण पंक्ति में पंप, प्रवाह नियंत्रक व वाल्व श्रेणी में हैं, विश्वसनीयताएँ 0.90, 0.95 व 0.99। पंक्ति की विश्वसनीयता क्या है? उत्तर तीन दशमलव स्थानों तक दें।

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    उत्तर: 0.846

    श्रेणी में प्रत्येक घटक को कार्य करना होता है: R = 0.90 × 0.95 × 0.99 = 0.8465, अर्थात तीन स्थानों तक 0.846 — सबसे दुर्बल घटक 0.90 से कम। विश्वसनीयताएँ जोड़ना या न्यूनतम लेना इसे बढ़ा-चढ़ाकर बताता है।

  6. दो समरूप पंप, प्रत्येक की विश्वसनीयता 0.9, समांतर लगाए गए हैं ताकि कोई भी माँग पूरी कर सके। युग्म की विश्वसनीयता क्या है?

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    उत्तर: 0.99

    युग्म तभी विफल होता है जब दोनों विफल हों: R = 1 − (1 − 0.9)(1 − 0.9) = 1 − 0.01 = 0.99। 0.9 × 0.9 = 0.81 गुणा करना श्रेणी नियम है और ऐसे तंत्र का वर्णन है जिसे दोनों पंप चाहिए।

  7. एक तटबंध 100-वर्षीय बाढ़ हेतु अभिकल्पित है। 25-वर्ष की अभिकल्प-आयु में यह बाढ़ कम से कम एक बार बराबर या पार होने की प्रायिकता क्या है? उत्तर तीन दशमलव स्थानों तक दें।

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    उत्तर: 0.222

    R = 1 − (1 − 1/T)ⁿ = 1 − 0.99²⁵ = 1 − 0.7778 = 0.222। शॉर्टकट n/T = 0.25 इसे बढ़ा देता है, क्योंकि दो या अधिक बाढ़ों वाले वर्षों को एक से अधिक बार गिनता है।

  8. एक ब्लोअर की स्थिर विफलता दर 0.002 प्रति घंटा है। उसके 100 घंटे बिना विफल हुए चलने की प्रायिकता क्या है? उत्तर तीन दशमलव स्थानों तक दें।

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    उत्तर: 0.819

    स्थिर दर के साथ R(t) = e^(−λt) = e^(−0.002 × 100) = e^(−0.2) = 0.819। रैखिक सन्निकटन 1 − λt = 0.8 टेलर श्रेणी के पहले दो पद हैं और इसे थोड़ा कम आँकते हैं; MTTF = 1/λ = 500 h है।

  9. युग्मित BOD व COD आँकड़ों हेतु x पर y का समाश्रयण गुणांक 0.8 व y पर x का 0.45 है, दोनों धनात्मक। सहसंबंध गुणांक r क्या है?

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    उत्तर: 0.6

    r² = b_yx × b_xy = 0.8 × 0.45 = 0.36, अतः r = +0.6, धनात्मक क्योंकि दोनों गुणांक धनात्मक हैं। उनका समांतर माध्य 0.625 लेना प्रचलित ग़लत शॉर्टकट है: r उनका गुणोत्तर माध्य है।

  10. पाँच निगरानी केंद्रों को दो विश्लेषक कोटि देते हैं, और उनकी कोटियों के अंतरों के वर्गों का योग 4 है। स्पीयरमैन का कोटि सहसंबंध गुणांक क्या है?

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    उत्तर: 0.8

    ρ = 1 − 6Σd²/[n(n² − 1)] = 1 − 6 × 4/(5 × 24) = 1 − 24/120 = 0.8। हर में n(n² − 1) के स्थान पर n² लेने पर 0.04 आता है, जो सहसंबंध हेतु निरर्थक है।

  11. किसी द्विचर आँकड़ा-समुच्चय की दो समाश्रयण रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं:

    1. मूल बिंदु पर
    2. माध्यों के बिंदु (x̄, ȳ) पर
    3. माध्यिकाओं के बिंदु पर
    4. कहीं नहीं, क्योंकि वे समांतर हैं
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    उत्तर: B — माध्यों के बिंदु (x̄, ȳ) पर

    प्रत्येक न्यूनतम-वर्ग रेखा अपने प्रसामान्य समीकरणों को संतुष्ट करती है, जिनमें पहला कहता है कि रेखा (x̄, ȳ) से गुज़रती है; दोनों ऐसा करती हैं, अतः वहीं मिलती हैं। वे कभी समांतर नहीं होतीं, r = ±1 पर संपाती और r = 0 पर लंबवत होती हैं।

  12. COD पर बहिःस्राव BOD के समाश्रयण में दूसरा पूर्वसूचक जोड़ा जाता है। बहु R² 0.700 से 0.702 होता है जबकि समायोजित R² घटता है। सही निष्कर्ष है:

    1. नया पूर्वसूचक प्रसरण का बड़ा भाग व्याख्यायित करता है और रखा जाना चाहिए
    2. गणना ग़लत है, क्योंकि R² व समायोजित R² सदा साथ चलते हैं
    3. नया पूर्वसूचक लगभग कुछ नहीं जोड़ता, और सरल प्रतिरूप वरेण्य है
    4. BOD व COD के बीच सहसंबंध ऋणात्मक हो गया है
    उत्तर देखें

    उत्तर: C — नया पूर्वसूचक लगभग कुछ नहीं जोड़ता, और सरल प्रतिरूप वरेण्य है

    पूर्वसूचक जोड़ने पर R² कभी नहीं घट सकता, अतः शोर से भी छोटी वृद्धि अपेक्षित है। समायोजित R² = 1 − (1 − R²)(n − 1)/(n − k − 1) खोई स्वातंत्र्य कोटि का मूल्य लेता है और तब घटता है जब लाभ उसे चुकाने को बहुत छोटा हो — सरल प्रतिरूप रखने का संकेत। विकल्प B असत्य है क्योंकि दोनों माप अलग चलने हेतु ही बने हैं।

  13. सोलह बहिःस्राव नमूनों का माध्य BOD 52 mg/L व नमूना मानक विचलन 8 mg/L है। माध्य के 48 mg/L की सीमा से अधिक होने के परीक्षण हेतु t प्रतिदर्शज क्या है?

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

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    उत्तर: 2

    t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) = (52 − 48)/(8/√16) = 4/2 = 2, 15 स्वातंत्र्य कोटि सहित। केवल s से भाग देना, 4/8 = 0.5, भूल जाता है कि माध्य की मानक त्रुटि √n के साथ घटती है।

  14. एक सर्वेक्षण गीले, सूखे व घरेलू-परिसंकटमय अपशिष्ट को 25 : 50 : 25 के अनुपात में अपेक्षित करता है और 100 के नमूने में 30, 50 व 20 डिब्बे पाता है। काई-वर्ग प्रतिदर्शज क्या है?

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

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    उत्तर: 2

    E = 25, 50, 25। χ² = (30 − 25)²/25 + (50 − 50)²/50 + (20 − 25)²/25 = 1 + 0 + 1 = 2, 3 − 1 = 2 स्वातंत्र्य कोटि सहित। अपेक्षित के बजाय प्रेक्षित गणनाओं से भाग देना सामान्य चूक है।

  15. दो प्रयोगशालाएँ एक ही संदर्भ नमूने का विश्लेषण करती हैं; उनके नमूना प्रसरण 16 व 9 (mg/L)² हैं। उनके प्रसरणों की समता के परीक्षण हेतु F प्रतिदर्शज क्या है? उत्तर दो दशमलव स्थानों तक दें।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

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    उत्तर: 1.78

    F = बड़ा प्रसरण/छोटा प्रसरण = 16/9 = 1.78, ताकि F ≥ 1 हो और ऊपरी-पूँछ सारणी लागू हो। मानक विचलनों का प्रयोग, 4/3 = 1.33, F प्रतिदर्शज नहीं है।

  16. आय वर्ग व अपशिष्ट पृथक्करण करने या न करने के आधार पर वर्गीकृत 200 परिवारों की आसंग सारणी में एक पंक्ति का योग 60 व एक स्तंभ का योग 40 है। स्वतंत्रता के अंतर्गत जहाँ वे मिलते हैं उस कोष्ठ की अपेक्षित आवृत्ति क्या है?

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 12

    E = पंक्ति योग × स्तंभ योग/कुल योग = 60 × 40/200 = 12। यह वह अपेक्षित गणना है जो दोनों वर्गीकरण स्वतंत्र होने पर होती; फिर χ² प्रत्येक प्रेक्षित कोष्ठ की उसके E से तुलना करता है।

  17. परिकल्पना परीक्षण के विषय में निम्न में से कौन-से कथन सही हैं?

    1. सार्थकता स्तर α सत्य शून्य परिकल्पना को अस्वीकार करने की प्रायिकता है
    2. यदि p-मान α से कम हो, तो शून्य परिकल्पना अस्वीकार की जाती है
    3. स्थिर α हेतु बड़ा नमूना परीक्षण की सामर्थ्य बढ़ाता है
    4. असार्थक परिणाम शून्य परिकल्पना को सत्य सिद्ध करता है
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — सार्थकता स्तर α सत्य शून्य परिकल्पना को अस्वीकार करने की प्रायिकता है; B — यदि p-मान α से कम हो, तो शून्य परिकल्पना अस्वीकार की जाती है; C — स्थिर α हेतु बड़ा नमूना परीक्षण की सामर्थ्य बढ़ाता है

    (a) प्रकार I त्रुटि प्रायिकता की परिभाषा है। (b) p-मान निर्णय नियम है। (c) सत्य है क्योंकि √n बढ़ने पर मानक त्रुटि घटती है, अतः वास्तविक अंतर पकड़े जाने की संभावना बढ़ती है और β घटता है। (d) असत्य है: H₀ अस्वीकार न कर पाने का अर्थ केवल यह हो सकता है कि नमूना वास्तविक प्रभाव पकड़ने को बहुत छोटा था।