श्रेणी व टेलर प्रसार, क्षेत्रफल व आयतन, अरैखिक प्रथम-कोटि ODE, तथा आंकिक सन्निकटन
1. अनंत श्रेणी व अभिसरण परीक्षण
अनंत श्रेणी Σaₙ तब अभिसारी है जब उसके आंशिक योग Sₙ = a₁ + a₂ + … + aₙ किसी परिमित सीमा की ओर जाते हैं। सबसे पहले सदा n-वें पद का परीक्षण लगाएँ: यदि aₙ शून्य की ओर नहीं जाता, तो श्रेणी अपसारी है और आगे कुछ जाँचना नहीं पड़ता। इसका विलोम असत्य है — प्रसंवादी श्रेणी Σ1/n के पद शून्य की ओर जाते हैं फिर भी वह अपसारी है, क्योंकि उसके आंशिक योग ln n की भाँति बढ़ते हैं। दो मानक परिवार अधिकांश तुलनाएँ तय करते हैं: गुणोत्तर श्रेणी Σarⁿ ठीक तब अभिसारी है, a/(1 − r) तक, जब |r| < 1, और p-श्रेणी Σ1/nᵖ ठीक तब अभिसारी है जब p > 1।
| परीक्षण | कथन | कब लगाएँ |
|---|---|---|
| तुलना व सीमा तुलना | धनात्मक पदों हेतु: अभिसारी श्रेणी से छोटी अभिसारी; अपसारी से बड़ी अपसारी। यदि aₙ/bₙ → परिमित अशून्य सीमा, तो दोनों एक-सा व्यवहार करती हैं | बड़े n पर पद p-श्रेणी जैसा दिखे, जैसे (n + 1)/(n³ + 2) |
| अनुपात (डी’एलम्बर्ट) | L = lim |aₙ₊₁/aₙ|: L < 1 पर अभिसारी, L > 1 पर अपसारी, L = 1 पर अनिर्णीत | क्रमगुणित या घात जैसे n!, 2ⁿ, nⁿ हों |
| मूल (कौशी) | L = lim |aₙ|^(1/n), अनुपात परीक्षण जैसे निर्णय | पूरा पद घात n पर हो |
| समाकल | Σf(n) व ∫₁^∞ f(x)dx साथ अभिसारी या अपसारी, f धनात्मक व ह्रासमान | पद आसानी से समाकलित हो, जैसे 1/(n ln n) |
| लाइबनिट्ज़ (एकांतर) | Σ(−1)ⁿ⁺¹bₙ अभिसारी है यदि bₙ क्रमशः घटते हुए शून्य तक जाए | चिह्न एकांतर हों |
2. एक चर के फलन की टेलर व मैक्लॉरिन श्रेणी
यदि x = a पर f के सभी कोटियों के अवकलज हों, तो a के परितः उसकी टेलर श्रेणी f(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n! + … है। a = 0 के परितः यह मैक्लॉरिन श्रेणी कहलाती है। (x − a)ⁿ का गुणांक सदा f⁽ⁿ⁾(a)/n! होता है, और इसी से किसी एक गुणांक को पूछने वाला GATE प्रश्न पूरी श्रेणी लिखे बिना हल होता है। n-वें पद के बाद काटने पर शेषफल Rₙ = f⁽ⁿ⁺¹⁾(ξ)(x − a)ⁿ⁺¹/(n + 1)! बचता है, a व x के बीच किसी ξ हेतु — वही खंडन त्रुटि जो आंकिक विधियाँ विरासत में पाती हैं।
| फलन | श्रेणी | वैध परिसर |
|---|---|---|
| eˣ | 1 + x + x²/2! + x³/3! + … | सभी x |
| sin x | x − x³/3! + x⁵/5! − … | सभी x |
| cos x | 1 − x²/2! + x⁴/4! − … | सभी x |
| ln(1 + x) | x − x²/2 + x³/3 − … | −1 < x ≤ 1 |
| (1 + x)ⁿ | 1 + nx + n(n − 1)x²/2! + … | |x| < 1 जब n धन पूर्णांक न हो |
| 1/(1 − x) | 1 + x + x² + x³ + … | |x| < 1 |
3. क्षेत्रफल व आयतन में निश्चित समाकल का अनुप्रयोग
ऊपर y = f(x) व नीचे y = g(x) दो वक्रों के बीच x = a से x = b तक क्षेत्रफल A = ∫ₐᵇ [f(x) − g(x)] dx है; पहले प्रतिच्छेद बिंदु खोजें, क्योंकि प्रायः वही सीमाएँ होती हैं और वहीं ऊपरी व निचला वक्र अदला-बदली करते हैं। y = x व y = x² हेतु वक्र 0 व 1 पर मिलते हैं, उनके बीच x, x² से ऊपर है, और A = ∫₀¹ (x − x²) dx = 1/2 − 1/3 = 1/6। निश्चित समाकल x-अक्ष के नीचे के क्षेत्रफल को ऋणात्मक गिनता है, अतः अक्ष पार करने वाले क्षेत्रफल को प्रतिच्छेद पर बाँटकर भागों को निरपेक्ष मानों के रूप में जोड़ना होता है।
परिक्रमण ठोस तब बनता है जब कोई क्षेत्र किसी अक्ष के परितः घूमता है। x-अक्ष के परितः चक्रिका विधि V = π∫ₐᵇ [f(x)]² dx देती है; यदि क्षेत्र दो वक्रों के बीच हो तो यह वलय (washer) विधि V = π∫ₐᵇ ([f(x)]² − [g(x)]²) dx बन जाती है। y-अक्ष के परितः कोश (shell) विधि V = 2π∫ₐᵇ x f(x) dx देती है। अधिक व्यापक रूप में, जिस ठोस का x पर अनुप्रस्थ-काट क्षेत्रफल A(x) हो उसका आयतन ∫ A(x) dx है — इसी से जलाशय का आयतन उसकी समोच्च रेखाओं से घिरे क्षेत्रफलों से निकाला जाता है, और ढलवाँ भुजाओं वाले भराव-स्थल का आकार तय होता है।
4. अरैखिक प्रथम-कोटि समीकरण: यथातथ व बर्नूली
साझा प्रथम-कोटि अध्याय पृथक्करणीय, समघातीय व रैखिक रूप पढ़ाता है। दो अरैखिक रूप शेष हैं। समीकरण M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 यथातथ है जब ∂M/∂y = ∂N/∂x; तब एक फलन F है जिसके लिए ∂F/∂x = M व ∂F/∂y = N, और हल F(x, y) = C है। F पाने हेतु M का x के सापेक्ष समाकलन करें, अज्ञात h(y) जोड़ें, और ∂F/∂y को N से मिलाकर h तय करें। (2xy + 3)dx + (x² + 4y)dy = 0 हेतु ∂M/∂y = 2x = ∂N/∂x; M का समाकलन x²y + 3x + h(y) देता है, और मिलान h′(y) = 4y देता है, अतः हल x²y + 3x + 2y² = C है। जब परीक्षण विफल हो, तो कभी-कभी समाकलन गुणक यथातथता लौटा देता है: यदि (M_y − N_x)/N केवल x पर निर्भर हो, तो e^(∫ उसका dx) एक ऐसा गुणक है।
बर्नूली समीकरण dy/dx + P(x)y = Q(x)yⁿ, n ≠ 0, 1, प्रतिस्थापन v = y^(1 − n) से रैखिक बन जाता है: yⁿ से भाग देकर व dv/dx = (1 − n)y^(−n) dy/dx प्रयोग करके dv/dx + (1 − n)P v = (1 − n)Q मिलता है, जिसे रैखिक-समीकरण विधि हल करती है। पर्यावरण विज्ञान में दो बर्नूली समीकरण बार-बार आते हैं। द्वितीय-कोटि क्षय, dC/dt = −kC², सीधे पृथक्कृत होकर 1/C = 1/C₀ + kt देता है। लॉजिस्टिक वृद्धि, dN/dt = rN(1 − N/K), n = 2 वाला बर्नूली है और N = K/(1 + [(K − N₀)/N₀]e^(−rt)) पर हल होता है — लॉजिस्टिक जनसंख्या पूर्वानुमान और संतृप्त होने वाली सूक्ष्मजीवी वृद्धि के पीछे का वक्र।
5. सन्निकटन, त्रुटियाँ, यथार्थता व परिशुद्धता
यदि x वास्तविक मान व x* सन्निकटन हो, तो निरपेक्ष त्रुटि |x − x*|, सापेक्ष त्रुटि |x − x*|/|x|, और प्रतिशत त्रुटि उसका 100 गुना है। पूर्णांकन त्रुटि सीमित अंक रखने से आती है; खंडन त्रुटि किसी अनंत प्रक्रिया को रोकने से — n पदों पर काटी गई टेलर श्रेणी, अंतर से प्रतिस्थापित अवकलज, योग से प्रतिस्थापित समाकल। पद h घटने पर खंडन त्रुटि घटती है, जबकि पूर्णांकन त्रुटि बढ़ती है (क्योंकि लगभग बराबर संख्याएँ घटाई जाती हैं), अतः प्रत्येक आंकिक विधि का एक इष्टतम पद होता है, "जितना छोटा उतना अच्छा" नहीं। त्रुटियाँ संचरित होती हैं: योग या अंतर में निरपेक्ष त्रुटियाँ जुड़ती हैं; गुणनफल या भागफल में सापेक्ष त्रुटियाँ जुड़ती हैं, अतः दो मापित गुणकों में प्रत्येक की 1% सापेक्ष त्रुटि उनके गुणनफल में 2% तक त्रुटि देती है।
| पद | क्या पूछता है | किससे बिगड़ता है |
|---|---|---|
| यथार्थता | परिणाम वास्तविक मान के कितना निकट है? | क्रमबद्ध त्रुटि (अभिनति) — बिना अंशांकन का DO मीटर जो हर बार 0.5 mg/L अधिक पढ़े |
| परिशुद्धता | दोहराए गए परिणाम परस्पर कितने निकट हैं? | यादृच्छिक त्रुटि — पुनरावृत्त अनुमापनों के बीच बिखराव |
| सार्थक अंक | कितने अंक सूचना वहन करते हैं? | विधि जितना विभेदित करे उससे अधिक अंक लिखना |
6. अंतर्वेशन, न्यूनतम-वर्ग वक्र आसंजन व आंकिक अवकलन
अंतर्वेशन सारणीबद्ध बिंदुओं से ठीक-ठीक गुज़रने वाला बहुपद बनाता है। पद h वाले समान अंतराल के x हेतु न्यूटन का अग्र-अंतर सूत्र y(x₀ + ph) = y₀ + pΔy₀ + p(p − 1)Δ²y₀/2! + p(p − 1)(p − 2)Δ³y₀/3! + … है, जहाँ Δy₀ = y₁ − y₀ व Δ²y₀ = Δy₁ − Δy₀; सारणी के अंत में ∇ पर बना पश्च रूप अंतिम प्रविष्टि के पास प्रयुक्त होता है। x = 0, 1, 2 व y = 1, 3, 7 से Δy₀ = 2 व Δ²y₀ = 2, अतः y(0.5) = 1 + 0.5 × 2 + 0.5(−0.5)/2 × 2 = 1.75। असमान अंतराल हेतु लग्रांज रूप y(x) = Σ yᵢ Lᵢ(x) लें, जहाँ Lᵢ(x) = Π_(j≠i) (x − xⱼ)/(xᵢ − xⱼ); n + 1 बिंदु सदा अधिकतम n घात का एक अद्वितीय बहुपद तय करते हैं, अतः दोनों विधियाँ एक ही बहुपद देती हैं।
वक्र आसंजन आँकड़ों से होकर नहीं गुज़रता; यह वह वक्र खोजता है जो ऊर्ध्वाधर विचलनों के वर्गों का योग न्यूनतम करे। n बिंदुओं हेतु सरल रेखा y = a + bx के प्रसामान्य समीकरण Σy = na + bΣx व Σxy = aΣx + bΣx² हैं, जो b = (nΣxy − ΣxΣy)/(nΣx² − (Σx)²) व a = ȳ − bx̄ देते हैं, अतः आसंजित रेखा सदा (x̄, ȳ) से गुज़रती है। जो वक्र रूपांतरण के बाद रैखिक हों वे इसी प्रकार आसंजित होते हैं: y = ae^(bx) बनता है ln y = ln a + bx, और y = axᵇ बनता है log y = log a + b log x — इसी से प्रथम-कोटि दर स्थिरांक ln C बनाम t की ढाल से पढ़ा जाता है।
| सूत्र | व्यंजक | खंडन त्रुटि |
|---|---|---|
| अग्र अंतर | f′(x) ≈ [f(x + h) − f(x)]/h | O(h) |
| पश्च अंतर | f′(x) ≈ [f(x) − f(x − h)]/h | O(h) |
| केंद्रीय अंतर | f′(x) ≈ [f(x + h) − f(x − h)]/(2h) | O(h²) |
| द्वितीय अवकलज, केंद्रीय | f″(x) ≈ [f(x + h) − 2f(x) + f(x − h)]/h² | O(h²) |
मुख्य बिंदु
- पहले n-वाँ पद जाँचें; यदि वह शून्य की ओर न जाए तो श्रेणी अपसारी है। n की घातों हेतु p-श्रेणी से तुलना करें (केवल p > 1 पर अभिसारी); क्रमगुणित व घातांकीय हेतु अनुपात परीक्षण लें।
- टेलर श्रेणी में (x − a)ⁿ का गुणांक f⁽ⁿ⁾(a)/n! है, और श्रेणी रोकने पर पहले छोड़े गए पद की कोटि की खंडन त्रुटि बचती है।
- क्षेत्रफल प्रतिच्छेदों पर बाँटा गया ∫(ऊपरी − निचला)dx है; परिक्रमण आयतन चक्रिकाओं से π∫r²dx या कोशों से 2π∫x f(x)dx है — त्रिज्या का वर्ग लें।
- M dx + N dy = 0 यथातथ है जब M_y = N_x; बर्नूली समीकरण v = y^(1 − n) से रैखिक बनता है। द्वितीय-कोटि क्षय 1/C = 1/C₀ + kt व 1/(kC₀) अर्ध-आयु देता है।
- अंतर्वेशन बिंदुओं से गुज़रता है (समान पदों हेतु न्यूटन, असमान हेतु लग्रांज); न्यूनतम वर्ग वर्गित विचलन न्यूनतम करता है और उसकी रेखा (x̄, ȳ) से गुज़रती है; केंद्रीय अंतर O(h²) है, एकपक्षीय अंतर O(h)।
अभ्यास प्रश्न (16)
उत्तर खोलने से पहले प्रत्येक प्रश्न हल करें। हर व्याख्या सही विकल्प के साथ लुभावना गलत विकल्प भी बताती है, क्योंकि अंक वहीं जाते हैं।
निम्न में से कौन-सी श्रेणी अभिसारी है?
उत्तर देखें
उत्तर: C — Σ 1/n^1.1
p-श्रेणी Σ1/nᵖ ठीक तब अभिसारी है जब p > 1, और 1.1 > 1, अतः Σ1/n^1.1 अभिसारी है, भले धीरे-धीरे। Σ1/√n (p = 0.5) व प्रसंवादी श्रेणी (p = 1) अपसारी हैं, और n/(n + 1) शून्य के बजाय 1 की ओर जाता है, अतः अंतिम श्रेणी n-वें पद के परीक्षण में ही विफल है।निम्न में से कौन-सी श्रेणियाँ अभिसारी हैं?
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उत्तर: A — Σ (−1)ⁿ⁺¹/n; C — Σ n/2ⁿ
(a) लाइबनिट्ज़ परीक्षण से अभिसारी है (1/n घटते हुए शून्य तक), यद्यपि केवल सप्रतिबंध। (c) अनुपात परीक्षण से अभिसारी है: aₙ₊₁/aₙ = (n + 1)/(2n) → 1/2 < 1। (b) n-वें पद के परीक्षण में विफल है, क्योंकि (1 + 1/n)ⁿ → e, 0 नहीं। (d) समाकल परीक्षण से अपसारी है: ∫dx/(x ln x) = ln(ln x), जो असीम बढ़ता है।e^(2x) की मैक्लॉरिन श्रेणी में x³ का गुणांक क्या है? उत्तर दो दशमलव स्थानों तक दें।
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
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उत्तर: 1.33
गुणांक f‴(0)/3! है। e^(2x) का प्रत्येक अवकलज गुणक 2 लाता है, अतः f‴(0) = 8 व गुणांक 8/6 = 1.33 है। समतुल्य रूप से eˣ में 2x रखें: (2x)³/3! = 8x³/6। क्रमगुणित भूलने पर 8 आता है।eˣ की मैक्लॉरिन श्रेणी को x² पद सहित तक लेकर e^0.1 का सन्निकट मान क्या है? उत्तर तीन दशमलव स्थानों तक दें।
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
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उत्तर: 1.105
e^0.1 ≈ 1 + 0.1 + 0.1²/2 = 1 + 0.1 + 0.005 = 1.105। वास्तविक मान 1.10517 है, अतः खंडन त्रुटि लगभग 0.00017 है, जो पहले छोड़े गए पद 0.1³/6 = 0.000167 के निकट है।वक्रों y = x व y = x² के बीच घिरा क्षेत्रफल क्या है? उत्तर तीन दशमलव स्थानों तक दें।
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
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उत्तर: 0.167
वक्र वहाँ मिलते हैं जहाँ x = x², अर्थात x = 0 व x = 1, और उनके बीच x ≥ x²। A = ∫₀¹ (x − x²)dx = 1/2 − 1/3 = 1/6 = 0.167। इसके स्थान पर x² − x का समाकलन −1/6 देता है: चिह्न बताता है कि वक्र ग़लत क्रम में लिए गए।x = 0 से x = 4 तक y = √x के नीचे का क्षेत्र x-अक्ष के परितः घुमाया जाता है। उत्पन्न ठोस का आयतन क्या है? उत्तर दो दशमलव स्थानों तक दें।
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
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उत्तर: 25.13
चक्रिकाओं से V = π∫₀⁴ (√x)² dx = π∫₀⁴ x dx = π × 16/2 = 8π = 25.13। त्रिज्या का वर्ग भूलने पर π∫√x dx = 16π/3 = 16.76 आता है, जो प्रचलित भूल है।अवकल समीकरण (2xy + 3)dx + (x² + 4y)dy = 0 है:
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उत्तर: B — यथातथ, हल x²y + 3x + 2y² = C
M = 2xy + 3 व N = x² + 4y, अतः ∂M/∂y = 2x = ∂N/∂x और समीकरण यथातथ है। ∫M dx = x²y + 3x + h(y); ∂/∂y लेने पर x² + h′(y) = x² + 4y, अतः h = 2y²। विकल्प C भूल जाता है कि ∫4y dy = 2y²।समीकरण dy/dx + y = xy³ किस प्रतिस्थापन से रैखिक समीकरण में बदलता है?
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उत्तर: B — v = y⁻²
यह n = 3 वाला बर्नूली समीकरण है, और प्रतिस्थापन v = y^(1 − n) = y⁻² है। तब dv/dx = −2y⁻³ dy/dx, और समीकरण को y³ से भाग देने पर dv/dx − 2v = −2x बनता है, जो रैखिक है। v = y/x समघातीय समीकरण का प्रतिस्थापन है, जो भिन्न रूप है।कोई प्रदूषक द्वितीय-कोटि बलगतिकी dC/dt = −kC² से क्षयित होता है, k = 0.02 L/(mg·d)। यदि उसकी प्रारंभिक सांद्रता 10 mg/L है, तो 5 दिन बाद उसकी सांद्रता, mg/L में, क्या है?
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
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उत्तर: 5
पृथक्करण से 1/C = 1/C₀ + kt = 1/10 + 0.02 × 5 = 0.1 + 0.1 = 0.2, अतः C = 5 mg/L। इसे प्रथम कोटि मानकर C = 10e^(−0.1) = 9.05 लेना ग़लत नियम है; और यहाँ 5 दिन संयोग से ठीक अर्ध-आयु 1/(kC₀) = 1/(0.02 × 10) है।वास्तविक सांद्रता 2.50 mg/L का मानक विलयन 2.45 mg/L मापा जाता है। मापन की प्रतिशत त्रुटि क्या है?
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
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उत्तर: 2
प्रतिशत त्रुटि = |वास्तविक − मापित|/वास्तविक × 100 = 0.05/2.50 × 100 = 2 प्रतिशत। मापित मान से भाग देने पर 2.04 आता है, जो ग़लत संदर्भ के सापेक्ष सापेक्ष त्रुटि है।एक नमूने के पुनरावृत्त अनुमापन परस्पर निकटता से मेल खाते हैं परंतु सभी प्रमाणित मान से काफ़ी ऊपर हैं। परिणाम हैं:
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उत्तर: C — परिशुद्ध परंतु अयथार्थ
पुनरावृत्तियों के बीच निकट मेल परिशुद्धता है; वास्तविक मान से निकटता यथार्थता है। एकसमान विचलन क्रमबद्ध त्रुटि है, जो परिणामों को बिखेरे बिना यथार्थता घटाती है, अतः वे परिशुद्ध परंतु अयथार्थ हैं। विकल्प D बड़ा बिखराव बताता है, जो देखे गए के विपरीत है।कोई राशि x = 0, 1 व 2 पर y = 1, 3 व 7 सारणीबद्ध है। न्यूटन के अग्र-अंतर अंतर्वेशन से x = 0.5 पर y क्या है? उत्तर दो दशमलव स्थानों तक दें।
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
उत्तर देखें
उत्तर: 1.75
Δy₀ = 3 − 1 = 2, Δy₁ = 7 − 3 = 4, Δ²y₀ = 2। p = 0.5 के साथ: y = 1 + 0.5 × 2 + 0.5 × (0.5 − 1)/2 × 2 = 1 + 1 − 0.25 = 1.75। जाँच: अंतर्वेशी बहुपद x² + x + 1 है, और 0.5 पर वह 0.25 + 0.5 + 1 = 1.75 देता है। पहले दो बिंदुओं के बीच रैखिक अंतर्वेशन 2 देता है, वक्रता की उपेक्षा करते हुए।फलन मान f(1) = 2, f(2) = 5 व f(4) = 17 ज्ञात हैं। इन तीन बिंदुओं से लग्रांज अंतर्वेशन द्वारा f(3) क्या है?
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
उत्तर देखें
उत्तर: 10
L₀(3) = (3 − 2)(3 − 4)/[(1 − 2)(1 − 4)] = −1/3, L₁(3) = (3 − 1)(3 − 4)/[(2 − 1)(2 − 4)] = 1, L₂(3) = (3 − 1)(3 − 2)/[(4 − 1)(4 − 2)] = 1/3। f(3) = 2(−1/3) + 5(1) + 17(1/3) = 10। आँकड़े x² + 1 हैं, और उसके तीन बिंदुओं से गुज़रने वाला द्विघात स्वयं x² + 1 है, अतः 3² + 1 = 10 इसकी पुष्टि करता है।बिंदुओं (1, 2), (2, 3), (3, 5) व (4, 6) पर न्यूनतम वर्ग से सरल रेखा y = a + bx आसंजित की जाती है। ढाल b क्या है?
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
उत्तर देखें
उत्तर: 1.4
n = 4, Σx = 10, Σy = 16, Σxy = 2 + 6 + 15 + 24 = 47, Σx² = 30। b = (4 × 47 − 10 × 16)/(4 × 30 − 10²) = (188 − 160)/(120 − 100) = 28/20 = 1.4, और a = (16 − 1.4 × 10)/4 = 0.5। केवल अंत्य बिंदुओं को जोड़ने पर (6 − 2)/3 = 1.33 आता है, जो न्यूनतम-वर्ग ढाल नहीं है।h = 0.1 के साथ केंद्रीय-अंतर सूत्र से x = 2 पर f(x) = x³ के अवकलज का आकलन करें। उत्तर दो दशमलव स्थानों तक दें।
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
उत्तर देखें
उत्तर: 12.01
f′(2) ≈ [f(2.1) − f(1.9)]/(2 × 0.1) = (9.261 − 6.859)/0.2 = 2.402/0.2 = 12.01। सटीक मान 3 × 2² = 12 है, और त्रुटि 0.01, h²f‴/6 = 0.01 × 6/6 के बराबर है, जैसा O(h²) त्रुटि पद बताता है।अवकलज के अग्र-अंतर आकलन में पद h आधा करने पर खंडन त्रुटि लगभग:
उत्तर देखें
उत्तर: A — आधी होती है, जबकि पूर्णांकन त्रुटि बढ़ने लगती है
अग्र अंतर की खंडन त्रुटि hf″/2 + … है, जो O(h) है, अतः h आधा करने पर वह आधी होती है। साथ ही f(x + h) व f(x) निकट आते हैं, उनका अंतर सार्थक अंक खोता है, और ε/h कोटि की पूर्णांकन त्रुटि बढ़ती है। विकल्प B केंद्रीय अंतर का वर्णन है, जो O(h²) है।