संचरण लाइनें, तरंग-निर्देशिकाएँ, प्रकाशिक तंतु तथा ऐंटेना
Z₀ = √(L/C) तथा एक वेग आते हैं, और उनसे परावर्तन गुणांक तथा वह सब कुछ जो लाइन करती है। सम्पूर्ण खंड का एकमात्र सर्वाधिक उपयोगी तथ्य यह है कि लाइन पर चलना परावर्तन गुणांक का परिमाण नहीं बदलता, केवल उसकी कला — Γ अचर त्रिज्या के वृत्त पर प्रति मीटर 2β रेडियन घूमता है। वही कथन स्मिथ चार्ट है। यह अध्याय चार्ट को उसी ढंग से सिखाता है, आलेखीय रचना के बजाय अंकगणित के रूप में, क्योंकि चार्ट जो चार संक्रियाएँ करता है — सामान्यीकरण, z से Γ, कला का घूर्णन, वापस परिवर्तन — प्रत्येक बीजगणित की एक पंक्ति है, और उन्हें स्पष्ट रूप से करना गणक पर शीघ्रतर भी है और गलत वृत्त पढ़ने से अभेद्य भी। तत्पश्चात् S-प्राचल वही परावर्तन गुणांक हैं जिन्हें ऐसा नाम दिया गया जो बहु-द्वार युक्तियों हेतु चलता है, निवेश-द्वार पर S₁₁ = Γ सहित। तरंग-निर्देशिका वह है जो आप तब प्रयोग करते हैं जब दो-चालक लाइन से काम न चले, और उसका व्यवहार प्रति विधा एक ही संख्या से नियत है, कटऑफ़ आवृत्ति, जिसके नीचे कुछ संचरित नहीं होता और जिसके ऊपर कला वेग c से अधिक हो जाता है जबकि समूह वेग उससे कम रह जाता है, v_p v_g = c² ठीक-ठीक सहित — पिछले अध्याय के आयनमंडलीय प्लाज़्मा जैसा ही संबंध, उसी गणितीय कारण से। प्रकाशिक तंतु पूर्ण आंतरिक परावर्तन से चलाई गई परावैद्युत् तरंग-निर्देशिका है, और उसकी दो शासक संख्याएँ संख्यात्मक द्वारक तथा V प्राचल हैं। और ऐंटेना इस सबका उल्टा है: जानबूझकर अनिर्देशित संरचना, जिसका विकिरण प्रतिरोध, दिशिकता व प्रतिरूप इससे निकलते हैं कि उसकी धारा कैसे वितरित है — और जिसका सरणी व्यवहार कई अवयवों के क्षेत्र सही कलाओं सहित जोड़ने से निकलता है, जो ऐसा अंकगणित निकलता है जिसे आप कुछ भी खींचे बिना कर सकते हैं।लाइन समीकरण, अभिलक्षणिक प्रतिबाधा तथा वेग
संचरण लाइन श्रेणी R व L तथा पार्श्व G व C से प्रतिरूपित की जाती है, सभी प्रति एकांक लंबाई, और तार-लेखी समीकरण dV/dz = −(R + jωL)I तथा dI/dz = −(G + jωC)V एक अतिसूक्ष्म खंड पर किरचॉफ़ के नियम लगाने से निकलते हैं। एक चर लुप्त करने पर संचरण-नियतांक γ = √[(R + jωL)(G + jωC)] = α + jβ वाला तरंग समीकरण मिलता है, और अग्रगामी वोल्टता का अग्रगामी धारा से अनुपात अभिलक्षणिक प्रतिबाधा Z₀ = √[(R + jωL)/(G + jωC)] है। लगभग प्रत्येक परीक्षणीय परिणाम हानि-रहित स्थिति R = G = 0 से आता है, जहाँ वे Z₀ = √(L/C) तक सिमट जाते हैं — वास्तविक, आवृत्ति-निरपेक्ष — तथा β = ω√(LC), अतः v_p = 1/√(LC), वह भी आवृत्ति-निरपेक्ष। ध्यान दें कि Z₀ क्या है और क्या नहीं: वह वह प्रतिबाधा है जो कोई तरंग चलते समय देखती है, न कि ऐसा प्रतिरोध जिसे आप किसी छोटे टुकड़े पर मीटर से माप सकें, और हानि-रहित लाइन पर वह कुछ क्षय नहीं करती। पृथक् रूप से नाम लेने योग्य स्थिति विकृति-रहित लाइन है, जिसमें हानि है किंतु जो R/L = G/C का पालन करती है; तब α = √(RG) आवृत्ति के साथ अचर है और β, ω का समानुपाती, अतः प्रत्येक आवृत्ति समान रूप से क्षीण व समान रूप से विलंबित होती है, और स्पंद छोटा पहुँचता है किंतु धुँधलाया नहीं।
L = 250 nH/m व C = 100 pF/m वाला समाक्ष केबल लें। तब Z₀ = √(250 × 10⁻⁹/100 × 10⁻¹²) = √2500 = 50 Ω ठीक-ठीक, और v_p = 1/√(LC) = 1/√(250 × 10⁻⁹ × 100 × 10⁻¹²) = 1/√(2.5 × 10⁻¹⁷) = 1/(5 × 10⁻⁹) = 2 × 10⁸ m/s। उन दो पंक्तियों से बिना अधिक कार्य तीन परिणाम निकलते हैं। परावैद्युतांक निर्धारित है, क्योंकि v_p = c/√ε_r देता है √ε_r = 3/2 = 1.5 तथा ε_r = 2.25 — वेग-कारक 0.667 है, और केबल का आँकड़ा-पत्रक वही आँकड़ा उद्धृत करता है। प्रति मीटर विलंब 1/v_p = 5 ns/m है, और अंकीय बोर्ड हेतु वही संख्या महत्वपूर्ण है: ऐसी लाइन पर 150 mm की पटरी 0.75 ns का विलंब है, तीव्र तर्क-किनारे से तुलनीय, और इसीलिए कुछ सौ मेगाहर्ट्ज़ के ऊपर संचरण-लाइन के रूप में सोचना अनिवार्य हो जाता है। और ज्यामिति भी नियत है, चूँकि कोऐक्स हेतु Z₀ = (60/√ε_r) ln(b/a); 60/1.5 = 40 सहित हमें ln(b/a) = 50/40 = 1.25 चाहिए, अतः b/a = e^(1.25) = 3.49। अतः इस परावैद्युत् में 50 Ω केबल का बाह्य चालक भीतरी व्यास का लगभग साढ़े तीन गुना है, और वही अनुपात — निरपेक्ष आकार नहीं — प्रतिबाधा नियत करता है। ध्यान दें कि यहाँ Z₀ व v_p एकमात्र दो स्वतंत्र राशियाँ हैं: L व C उनसे L = Z₀/v_p तथा C = 1/(Z₀v_p) के रूप में पुनः प्राप्त हो सकते हैं, अतः जो प्रश्न आपको चारों में से कोई दो दे उसने आपको चारों दे दिए हैं।परावर्तन, VSWR, तथा लाइन प्रतिबाधा का रूपांतरण कैसे करती है
Z₀ प्रतिबाधा की लाइन को भार Z_L में समाप्त करें और असुमेल एक परावर्तित तरंग छोड़ देता है, परावर्तन गुणांक Γ_L = (Z_L − Z₀)/(Z_L + Z₀) सहित। तीन विशेष स्थितियाँ परिसर को स्थिर करती हैं: Z_L = Z₀, Γ = 0 देता है, सुमेलित लाइन जिसमें कोई परावर्तन ही नहीं; खुला परिपथ Γ = +1 देता है; लघुपथ Γ = −1 देता है। अग्रगामी व परावर्तित तरंगों के बीच व्यतिकरण ऐसा अप्रगामी प्रतिरूप उत्पन्न करता है जिसका वोल्टता अप्रगामी तरंग अनुपात VSWR = (1 + |Γ|)/(1 − |Γ|) है, पूर्ण सुमेल हेतु 1 से पूर्ण परावर्तन हेतु अनंत तक चलता हुआ। दो व्युत्पन्न राशियाँ वही हैं जिनसे व्यवहार में असुमेल उद्धृत होता है। प्रतिवापसी हानि = −20 log₁₀|Γ| dB बताती है कि परावर्तित तरंग कितनी नीचे है, और असुमेल हानि = −10 log₁₀(1 − |Γ|²) dB बताती है कि आपाती शक्ति का कितना भाग भार तक पहुँचने में विफल रहा। 50 Ω लाइन पर Z_L = 100 Ω हेतु Γ = 50/150 = 1/3, अतः VSWR = 2, प्रतिवापसी हानि = 9.54 dB तथा असुमेल हानि = 0.51 dB, अर्थात् शक्ति का 88.9 प्रतिशत भीतर पहुँचता है। ध्यान दें कि Z_L = 25 Ω, Γ = −1/3 तथा वही अभिन्न VSWR = 2 देता है: VSWR कला त्याग देता है, अतः वह आपको यह नहीं बता सकता कि भार अत्यधिक उच्च है अथवा अत्यधिक निम्न, और ठीक इसीलिए नेटवर्क विश्लेषक S₁₁ को संमिश्र संख्या के रूप में बताता है, VSWR के रूप में नहीं।
लाइन पर पीछे चलें और आप जो प्रतिबाधा देखते हैं वह बदल जाती है, क्योंकि दोनों गतिशील तरंगें भिन्न सापेक्ष कला सहित पुनः जुड़ती हैं। प्रतिबाधा रूपांतरण सूत्र Z_in = Z₀ (Z_L + jZ₀ tan βl)/(Z₀ + jZ_L tan βl) है, और उसके तीन परिणाम प्रत्येक बार पुनः व्युत्पन्न करने के बजाय तथ्यों की भाँति कंठस्थ करने योग्य हैं। l = λ/2 पर tan βl = 0, अतः Z_in = Z_L: आधी तरंगदैर्घ्य की लाइन अदृश्य है। l = λ/4 पर सूत्र भार को Z₀ के परितः उल्टा कर देता है: Z_in = Z₀²/Z_L, अतः लघुपथ खुला दिखता है और खुला लघुपथ — और इसी प्रकार चतुर्थांश-तरंग स्टब एक अवयव बन जाता है। और किसी भी लंबाई पर लघुपथित लाइन Z_in = jZ₀ tan βl देती है, जो l < λ/4 हेतु प्रेरणिक है और λ/4 व λ/2 के बीच धारितीय, अतः लाइन की एक लंबाई ऐसी प्रतिघातता है जिसे आप उसे काटकर नियत कर सकते हैं। अभिकल्प से प्रतिघाती और सिद्धांततः हानि-रहित, ये स्टब वही हैं जिनसे गीगाहर्ट्ज़ के ऊपर सुमेलन किया जाता है, जहाँ पिंडित प्रेरक प्रेरक की भाँति व्यवहार करना बंद कर चुका है।
स्मिथ चार्ट, अंकगणित की चार पंक्तियों के रूप में सिखाया गया
स्मिथ चार्ट सामान्यतः एक रेखाचित्र के रूप में सिखाया जाता है, और वह प्रस्तुति यह छिपा देती है कि वह कितना थोड़ा करता है। नीचे वह सामान्यीकृत प्रतिबाधा व परावर्तन गुणांक के बीच द्विरैखिक प्रतिचित्रण है, Γ = (z − 1)/(z + 1) तथा वापस z = (1 + Γ)/(1 − Γ), संमिश्र Γ समतल पर आलेखित। चार्ट जो भी संक्रिया करता है वह ठीक चार पदों में से एक है, और प्रत्येक बीजगणित की एक पंक्ति। सामान्यीकरण: z = Z/Z₀ पाने हेतु Z₀ से भाग दें, और इसीलिए चार्ट किसी भी Z₀ हेतु चलता है। परिवर्तन: Γ = (z − 1)/(z + 1)। घूर्णन: जनित्र की ओर l दूरी चलना Γ को e^(−j2βl) से गुणा करता है, अर्थात् वह कला से 2βl घटाता है और परिमाण अछूता छोड़ देता है। वापस परिवर्तन: z = (1 + Γ)/(1 − Γ)। वही सम्पूर्ण चार्ट है। उस पर मुद्रित वृत्त केवल प्रतिचित्रण के अंतर्गत अचर प्रतिरोध व अचर प्रतिघातता के बिंदुपथ हैं, और केंद्र के परितः संकेंद्री वृत्त अचर |Γ| के बिंदुपथ हैं — जो अचर VSWR की ही बात है, चूँकि VSWR केवल |Γ| का फलन है। चार्ट को अंकगणित के रूप में पढ़ने का परीक्षा में एक और लाभ है: वह मुद्रित चार्ट से पढ़े जा सकने वाले दो सार्थक अंकों के बजाय यथातथ संख्याएँ देता है।
50 Ω लाइन Z_L = 100 Ω में समाप्त है। चार्ट के चार पदों से, बिना कुछ खींचे, भार से λ/8 पीछे निवेश प्रतिबाधा खोजें। सामान्यीकरण: z_L = 100/50 = 2 + j0। परिवर्तन: Γ_L = (2 − 1)/(2 + 1) = 1/3, शून्य कला पर, चूँकि z_L वास्तविक व 1 से बड़ा है। घूर्णन: βl = (2π/λ)(λ/8) = π/4 = 45°, अतः कला −2βl = −90° से बदलती है, जो Γ_in = (1/3)∠−90° = −j0.3333 देती है, परिमाण अभी भी ठीक 1/3 सहित। वापस परिवर्तन: z_in = (1 − j0.3333)/(1 + j0.3333)। ऊपर व नीचे को हर के संयुग्मी से गुणा करें: अंश (1 − j0.3333)² = 0.8889 − j0.6667 बन जाता है और हर 1 + 0.1111 = 1.1111, अतः z_in = 0.8 − j0.6 तथा Z_in = 50(0.8 − j0.6) = 40 − j30 Ω। अब उसे दो अन्य ढंगों से जाँचें। tan 45° = 1 सहित रूपांतरण सूत्र Z_in = 50(100 + j50)/(50 + j100) देता है; संयुग्मी (50 − j100) से गुणा करने पर 12500 पर अंश 10000 − j7500 मिलता है, अर्थात् 0.8 − j0.6, अतः Z_in = 40 − j30 Ω ✓। और उस उत्तर से Γ नए सिरे से गणित करें: (40 − j30 − 50)/(40 − j30 + 50) = (−10 − j30)/(90 − j30), और (90 + j30) से गुणा करने पर −j3000/9000 = −j0.3333 ✓ — परिमाण 1/3 संरक्षित, कला ठीक −90° घूमी। चार मार्ग, एक उत्तर, और महत्वपूर्ण जाँच यह है कि |Γ| कभी नहीं हिला। वही अपरिवर्तनीयता चार्ट पर एकमात्र सर्वाधिक उपयोगी वस्तु है: चूँकि हानि-रहित लाइन के अनुदिश सर्वत्र |Γ| = 1/3 है, VSWR प्रत्येक बिंदु पर 2 है, और आप जो प्रतिबाधा मापते हैं वह केवल इस पर निर्भर है कि आप उसे कहाँ मापते हैं। दो तत्काल उपसिद्धांत: λ/2 का विस्थापन पूरा 360° घूर्णन है और आपको Z_L पर लौटा देता है, तथा λ/4 का विस्थापन 180° है, जो z = 2 को z = 0.5 भेजता है, अर्थात् Z₀²/Z_L = 2500/100 = 25 Ω ✓।λ/4 खंड डालें जिसकी प्रतिबाधा गुणोत्तर माध्य हो: Z₀' = √(Z₀ Z_L) = √(50 × 100) = 70.71 Ω। अभिकल्प आवृत्ति पर सुमेल पूर्ण है, क्योंकि चतुर्थांश-तरंग खंड 100 Ω को ठीक Z₀'²/Z_L = 5000/100 = 50 Ω में रूपांतरित करता है। अब आवृत्ति से हटें और उसे विफल होते देखें। अभिकल्प आवृत्ति के आधे पर खंड λ/8 है, अतः θ = βl = 45°, और मानक परिणाम |Γ| = 1/√(1 + [4Z₀Z_L/(Z_L − Z₀)²] sec²θ) देता है 4(50)(100)/(50)² = 8 तथा sec²45° = 2, अतः |Γ| = 1/√17 = 0.2425, अर्थात् VSWR = 1.64 तथा केवल 12.3 dB की प्रतिवापसी हानि। |Γ| ≤ 0.1 का अभिकल्प-लक्ष्य रखकर — अर्थात् VSWR ≤ 1.22 — वही व्यंजक हल करने पर sec²θ = 12.375 मिलता है, अतः cos θ = 0.2843 तथा θ = 73.48°; भिन्नात्मक बैंडविड्थ 2(1 − θ/90°) = 36.7 प्रतिशत है। 2:1 प्रतिबाधा-अनुपात सुमेलित करता एकल चतुर्थांश-तरंग परिणामित्र लगभग एक-तिहाई अष्टक पर अच्छा है, अधिक नहीं — और इसीलिए चौड़ा-बैंड सुमेलन एक खंड के बजाय शुंडाकार प्रतिबाधा-परिच्छेदिका वाले कई श्रेणीबद्ध खंड प्रयोग करता है। एकल-स्टब सुमेल। विकल्प भार से किसी चुनी दूरी पर लघुपथित पार्श्व स्टब रखता है। उसे प्रवेश्यता में करें: y = (1 − Γ)/(1 + Γ), और Re{y} = 1 रखने पर, गुणा खोलने के पश्चात्, वह cos φ = −|Γ_L| = −1/3 तक सिमट जाता है, जहाँ φ = −2βl घूमी कला है। अतः φ = −109.47°, जो βl = 54.74° तथा भार से d = 0.1520λ की दूरी देता है। उस बिंदु पर y = 1 + j0.7071, अतः स्टब को −j0.7071 देना ही होगा; लघुपथित पार्श्व स्टब का y_s = −j cot βl_s है, अतः cot βl_s = 0.7071, tan βl_s = 1.4142, βl_s = 54.74° तथा l_s = 0.1520λ — वही लंबाई, जो इस विशिष्ट भार का संयोग है और एक सुखद जाँच कि दोनों गणनाएँ स्वतंत्र रूप से की गईं। उन्हें जोड़ें: y_total = 1 + j0.7071 − j0.7071 = 1, सुमेलित ✓। वायु-लाइन पर 1 GHz पर λ = 300 mm, अतः d = 45.6 mm तथा l_s = 45.6 mm। φ = +109.47° पर दूसरा हल भी है, जो d = l_s = 0.3480λ देता है, और छोटा युग्म सामान्यतः वरीय है क्योंकि छोटी लाइन उल्टे अर्थ में सँकरे-बैंड की लाइन है — प्रति एकांक आवृत्ति-विस्थापन कम कला-परिवर्तन।| भार से पीछे दूरी | कला घूर्णन −2βl | Γ | Z_in तथा VSWR |
|---|---|---|---|
| 0 (भार पर) | 0° | +0.3333 | 100 Ω, VSWR 2 |
λ/8 | −90° | −j0.3333 | 40 − j30 Ω, VSWR 2 |
λ/4 | −180° | −0.3333 | 25 Ω = Z₀²/Z_L, VSWR 2 |
λ/2 | −360° | +0.3333 — जहाँ से आरंभ हुआ था वहीं | 100 Ω, VSWR 2 — लाइन अदृश्य है |
S-प्राचल: परावर्तन गुणांक, जिसे मैट्रिक्स दिया गया
माइक्रोवेव आवृत्तियों पर आप किसी द्वार पर वोल्टता अथवा धारा किसी यथार्थता से माप नहीं सकते, किंतु आप आपाती व परावर्तित तरंगें माप सकते हैं। अतः नेटवर्क का वर्णन तरंग-आयामों के पदों में ढाला जाता है: b_i = Σ_j S_ij a_j, जहाँ a_j द्वार j में जाती तरंग है और b_i द्वार i से निकलती तरंग, दोनों इस प्रकार सामान्यीकृत कि |a|² शक्ति हो। तत्पश्चात् प्रत्येक प्राचल का सीधा अर्थ है, जो शेष द्वारों को Z₀ में समाप्त करके एक द्वार चलाने से मिलता है: a₂ = 0 सहित S₁₁ = b₁/a₁ निवेश परावर्तन गुणांक है, जो ठीक पिछले खंड का Γ है, अतः S₁₁ = (Z_in − Z₀)/(Z_in + Z₀) और स्मिथ चार्ट S₁₁ का आलेख है। S₂₁ अग्र पारेषण है, जिसका dB में परिमाण अंतर्वेशन लब्धि अथवा हानि है। S₁₂ प्रतिवर्ती पारेषण है, और S₂₂ निर्गम परावर्तन। दो संरचनात्मक गुणधर्मों की परीक्षा किसी गणना से अधिक बार होती है। व्युत्क्रमी नेटवर्क का S_ij = S_ji होता है, अतः उसका मैट्रिक्स सममित है — फ़ेराइट अथवा सक्रिय युक्तियों के बिना किसी भी निष्क्रिय संरचना हेतु सत्य। हानि-रहित नेटवर्क का मैट्रिक्स एकल है, जिसका द्वि-द्वार हेतु सर्वाधिक प्रयुक्त परिणाम |S₁₁|² + |S₂₁|² = 1 है: जो परावर्तित न हो वह पारेषित हो जाता है, क्योंकि कुछ अवशोषित नहीं होता।
|S₁₁| = 0.3 निकले। तब एकलता |S₂₁| = √(1 − 0.09) = √0.91 = 0.9539 हेतु बाध्य करती है, अतः मापी गई अंतर्वेशन हानि −20 log₁₀(0.9539) = 0.41 dB है। ऐसी युक्ति जो ठीक शून्य शक्ति क्षय करती है, नेटवर्क विश्लेषक पर 0.41 dB हानि दिखाती है, और जो अभ्यर्थी यह तर्क करे कि हानि क्षय को अंतर्भूत करती है उसकी भौतिकी उल्टी है। वह 0.41 dB जो मापता है वह ऐसी शक्ति है जो युक्ति में कभी प्रवेश नहीं की: वह असुमेल से निवेश पर परावर्तित हो गई, और −10 log₁₀(1 − |Γ|²) = −10 log₁₀(0.91) = 0.41 dB, असुमेल-हानि मार्ग से ठीक वही संख्या देता है, जो वही जाँच है कि दोनों वर्णन एक हैं। तत्संबंधी प्रतिवापसी हानि −20 log₁₀(0.3) = 10.46 dB है। अब वही पारेषण वाली वस्तुतः हानियुक्त युक्ति से विरोध करें: उचित रूप से सुमेलित आदर्श 3.01 dB क्षयकारी का S₁₁ = S₂₂ = 0 तथा S₂₁ = S₁₂ = 10^(−3.01/20) = 0.7071 है, अतः |S₁₁|² + |S₂₁|² = 0 + 0.5 = 0.5, 1 नहीं — और 0.5 की कमी ठीक शक्ति का वह अंश है जो ऊष्मा में बदला। अतः एकलता का योग एक क्षय-मापक है: यदि |S₁₁|² + |S₂₁|² = 1 हो तो युक्ति कुछ अवशोषित नहीं करती, और वह 1 से जितनी कम पड़े उतना ही वह अवशोषित करती है। वही एक जाँच S-प्राचल प्रश्न की सर्वाधिक सामान्य त्रुटि पकड़ती है, जो यह मान लेना है कि लघु S₂₁ का अर्थ हानियुक्त पुरजा है जबकि उसका अर्थ बुरी तरह सुमेलित पुरजा हो सकता है, और दोनों का उपचार पूर्णतः भिन्न साधनों से है — प्रथम स्थिति में सुमेलन नेटवर्क और द्वितीय में उत्तम पदार्थ।आयताकार व वृत्तीय तरंग-निर्देशिकाएँ: कटऑफ़ सब कुछ तय करती है
खोखली धातु नली में केवल एक चालक है, और TEM तरंग को दो चाहिए, अतः तरंग-निर्देशिका वह विधा नहीं वहन कर सकती जो समाक्ष लाइन वहन करती है। उसके बजाय वह TE विधाएँ वहन करती है, जिनमें अनुदैर्घ्य विद्युत् क्षेत्र नहीं, तथा TM विधाएँ, जिनमें अनुदैर्घ्य चुंबकीय क्षेत्र नहीं, प्रत्येक केवल अपनी कटऑफ़ आवृत्ति के ऊपर विद्यमान। a > b सहित a × b आंतरिक विमाओं की आयताकार निर्देशिका हेतु f_c(mn) = (c/2)√[(m/a)² + (n/b)²], और प्रमुख विधा — निम्नतम कटऑफ़ वाली — f_c = c/(2a) पर TE₁₀ है, केवल चौड़ी विमा से नियत। कटऑफ़ के ऊपर निर्देशिका β = (ω/c)√[1 − (f_c/f)²] सहित संचरण करती है, और उस वर्गमूल से तीन राशियाँ निकलती हैं: निर्देशिका तरंगदैर्घ्य λ_g = λ₀/√[1 − (f_c/f)²] सदा मुक्त आकाश से दीर्घतर है, कला वेग v_p = c/√[1 − (f_c/f)²] सदा c से अधिक है, और समूह वेग v_g = c√[1 − (f_c/f)²] सदा उससे कम रह जाता है, v_p v_g = c² ठीक-ठीक सहित — पिछले अध्याय के प्लाज़्मा जैसा ही तत्समक, और उसी कारण से, चूँकि प्रकीर्णन का वही रूप ω² = ω_c² + c²β² है।
a = 22.86 mm तथा b = 10.16 mm, और c = 3 × 10⁸ m/s सहित पहली चार कटऑफ़ गणित करें। TE₁₀: c/2a = 6.562 GHz। TE₂₀: c/a = 13.123 GHz। TE₀₁: c/2b = 14.764 GHz। TE₁₁: (c/2)√[(1/0.02286)² + (1/0.01016)²] = 1.5 × 10⁸ × √(1913.6 + 9687.5) = 1.5 × 10⁸ × 107.71 = 16.156 GHz। अतः एकल-विधा बैंड 6.562 से 13.123 GHz तक चलता है, पूरा एक अष्टक, और उसकी ऊपरी सीमा TE₂₀ से बँधी है, TE₀₁ से नहीं। वह एक अभिकल्प-चयन है, और इसीलिए b < a/2: b को a के आधे से छोटा बनाना TE₀₁ को TE₂₀ के ऊपर धकेल देता है और एकल-विधा बैंड को उतना चौड़ा होने देता है जितनी 2:1 अनुपात अनुमति दे, जो वह कभी हो सकने वाला अधिकतम है। WR-90 का निर्धारित बैंड 8.2 से 12.4 GHz है, सैद्धांतिक 6.56–13.12 के सुखपूर्वक भीतर, नीचे सीमांत सहित क्योंकि कटऑफ़ के निकट v_g → 0 होता है और ऊपर सीमांत सहित ताकि TE₂₀ से दूर रहा जाए। अब उसे f = 10 GHz पर चलाएँ। वर्गमूल-कारक √[1 − (6.562/10)²] = √(1 − 0.4306) = √0.5694 = 0.7546 है। तब k₀ = 2πf/c = 209.44 rad/m, अतः β = 158.05 rad/m तथा λ_g = 2π/β = 39.76 mm, मुक्त आकाश के λ₀ = 30.0 mm के सम्मुख — निर्देशिका तरंगदैर्घ्य एक-तिहाई दीर्घतर है, और वही संख्या निर्देशिका के भीतर λ/4 सुमेलन-खंड की भौतिक लंबाई नियत करती है और तरंग-निर्देशिका-अवयव प्रश्न में वही सर्वाधिक सामान्य चूक है। वेग: v_p = ω/β = 3.976 × 10⁸ m/s = 1.325c तथा v_g = 0.7546c = 2.264 × 10⁸ m/s, गुणनफल 9.00 × 10¹⁶ = c² सहित ✓। तरंग प्रतिबाधा: Z_TE = η₀/0.7546 = 499.2 Ω, मुक्त आकाश के 376.7 Ω से भली-भाँति ऊपर — और ध्यान दें कि कटऑफ़ पर Z_TE → ∞, जो यह कहने का दूसरा ढंग है कि कटऑफ़ पर विधा ऊर्जा संचित करती है और कुछ भी नहीं ले जाती।वृत्तीय तरंग-निर्देशिका उसी प्रकार चलती है, ज्यावक्रीयों के स्थान पर बेसेल फलनों सहित, अतः प्रत्येक विधा की कटऑफ़ किसी पूर्णांक के बजाय किसी बेसेल फलन के मूल से नियत होती है। A त्रिज्या की निर्देशिका हेतु f_c = p c/(2πA), जहाँ p सुसंगत मूल है: प्रमुख विधा p'₁₁ = 1.8412 सहित TE₁₁ है, और उससे अगली विधा p₀₁ = 2.4049 सहित TM₀₁। A = 10 mm लें, अतः c/(2πA) = 4.7746 GHz। तब f_c(TE₁₁) = 1.8412 × 4.7746 = 8.791 GHz तथा f_c(TM₀₁) = 2.4049 × 4.7746 = 11.484 GHz। अतः एकल-विधा बैंडविड्थ केवल 2.4049/1.8412 = 1.306 का अनुपात है, आयताकार निर्देशिका के 2.0 के सम्मुख — और वही तुलना इसका सम्पूर्ण कारण है कि आयताकार निर्देशिका औद्योगिक चूक-मान है जबकि वृत्तीय निर्देशिका केवल वहाँ प्रयुक्त होती है जहाँ उसके अपने लाभ हावी हों, जैसे घूर्णी संधियाँ, जहाँ अक्षीय सममिति एक खंड को दूसरे के भीतर घूमने देती है, तथा दीर्घ अल्प-हानि खंड, जहाँ TE₀₁ विधा का अत्यंत निम्न क्षीणन शेष सब दबाने के कष्ट के योग्य है।
प्रकाशिक तंतुओं में प्रकाश संचरण: संख्यात्मक द्वारक तथा V संख्या
प्रकाशिक तंतु एक परावैद्युत् तरंग-निर्देशिका है: n₁ अपवर्तनांक का क्रोड, जिसके चारों ओर तनिक निम्नतर अपवर्तनांक n₂ का आच्छादन, अतः जो किरण अंतरापृष्ठ पर क्रांतिक कोण θ_c = arcsin(n₂/n₁) के परे टकराए वह पूर्णतः आंतरिक परावर्तित होकर क्रोड में रह जाती है। उसे दो संख्याएँ शासित करती हैं। संख्यात्मक द्वारक NA = √(n₁² − n₂²) यह नियत करता है कि कोई किरण कितनी तीव्र ढाल से प्रवेश करके भी निर्देशित रह सकती है; वायु में स्वीकृति-शंकु का अर्ध-कोण θ_a = arcsin(NA) है। और सामान्यीकृत आवृत्ति अथवा V संख्या, क्रोड-त्रिज्या a हेतु V = (2πa/λ)NA, यह नियत करती है कि तंतु कितनी विधाएँ सँभालता है: तंतु एकल-विधा है जब V < 2.405, जो बेसेल फलन J₀ का प्रथम शून्य है, और बड़े V हेतु सोपान-अपवर्तनांक तंतु मोटे तौर पर V²/2 विधाएँ वहन करता है। वे दोनों संख्याएँ विपरीत दिशाओं में खींचती हैं, और वही तनाव सम्पूर्ण अभिकल्प-समस्या है: बड़ा NA सस्ते स्रोत से प्रकाश सरलता से एकत्र करता है किंतु अनेक विधाएँ भीतर आने देता है, जबकि छोटा NA एकल-विधा संचालन देता है, ऐसे छोटे क्रोड के मूल्य पर कि संरेखण एक परिशुद्धि-कार्य बन जाता है।
n₁ = 1.48 तथा n₂ = 1.46 लें। तब NA = √(1.48² − 1.46²) = √(2.1904 − 2.1316) = √0.0588 = 0.2425, अतः स्वीकृति अर्ध-कोण arcsin(0.2425) = 14.03° है — 28.07° का पूर्ण स्वीकृति-शंकु, जो LED से युग्मन हेतु पर्याप्त चौड़ा है। भीतर क्रांतिक कोण arcsin(1.46/1.48) = 80.57° है, अतः निर्देशित किरणें अंतरापृष्ठ को समांतर से 9.4° के भीतर छूती हैं। सापेक्ष अपवर्तनांक-अंतर Δ = (n₁ − n₂)/n₁ = 0.0135 है, और मानक सन्निकटन NA ≈ n₁√(2Δ) = 1.48 × 0.1644 = 0.2433, यथातथ 0.2425 से आधे प्रतिशत से भी उत्तम सहमत है, जो दोनों की जाँच है। λ = 850 nm पर 50 µm क्रोड (a = 25 µm) सहित V = (2π × 25/0.85) × 0.2425 = 184.8 × 0.2425 = 44.8, अतः तंतु लगभग V²/2 = 1004 विधाएँ वहन करता है। और उसी में उसकी समस्या है। भिन्न विधाएँ भिन्न पथ-लंबाइयाँ लेती हैं, अतः स्पंद द्रुततम व मंदतम किरण के अंतर से फैल जाता है: Δτ/L ≈ (n₁ − n₂)/c = 0.02/(3 × 10⁸) = प्रति km 66.7 ns। सामान्य कसौटी B ≈ 1/(2Δτ) लेते हुए, एक-किलोमीटर कड़ी लगभग 7.5 Mbit/s तक सीमित है — स्रोत व संसूचक चाहे कितने भी उत्तम हों, क्योंकि यह ज्यामितीय सीमा है, शोर-सीमा नहीं। एकल-विधा तंतु। अब बहुत छोटा अपवर्तनांक-सोपान प्रयोग करें, n₁ = 1.4500 तथा n₂ = 1.4462, जो NA = √(2.10250 − 2.09149) = √0.011006 = 0.1049 देता है। λ = 1310 nm पर a = 4.1 µm सहित V = (2π × 4.1/1.31) × 0.1049 = 19.66 × 0.1049 = 2.06 < 2.405 ✓ — एकल विधा। जिसके नीचे दूसरी विधा प्रकट होती है वह कटऑफ़ तरंगदैर्घ्य λ_c = 2πa·NA/2.405 = 1124 nm है, अतः यह तंतु लगभग 1.12 µm के ऊपर कहीं भी एकल-विधा है और उसके नीचे बहु-विधा, और इसीलिए तंतु किसी तरंगदैर्घ्य सहित विशिष्ट किया जाता है, उसके बिना कभी नहीं। अंतर-विधा प्रकीर्णन अब तत्समकतः शून्य है क्योंकि केवल एक विधा है, और शेष सीमाएँ — वर्णिक प्रकीर्णन व क्षीणन — परिमाण की कोटियों से दुर्बलतर हैं। वही सम्पूर्ण कारण है कि दीर्घ-दूरी दूरसंचार एकल-विधा है और ऊपर के 7.5 Mbit/s गीगाबिट बन गए: उत्तम लेज़र नहीं, बल्कि तरंग-निर्देशिका को उसे सँभालने योग्य से छोटा बनाकर एक सम्पूर्ण प्रकीर्णन-क्रियाविधि का उन्मूलन।द्विध्रुव, एकध्रुव तथा रैखिक ऐंटेना सरणियाँ
ऐंटेना निर्देशित तरंग को विकिरित तरंग में बदलता है, और जो प्राचल बताता है कि कितनी अच्छी तरह वह विकिरण प्रतिरोध R_r है, जो इस प्रकार परिभाषित है कि पोषण-धारा आयाम I₀ हेतु P_rad = ½ I₀² R_r। dl लंबाई के अतिसूक्ष्म अथवा हर्ट्ज़ीय द्विध्रुव हेतु R_r = 80π²(dl/λ)², और (dl/λ)² ही लघु ऐंटेनाओं के कठिन होने की सम्पूर्ण कथा है: dl = λ/50 पर R_r = 80π²/2500 = 0.316 Ω, जो स्वयं तार के ओमीय प्रतिरोध से तुलनीय अथवा उससे छोटा है, अतः अधिकांश निवेश-शक्ति निकलने के बजाय चालक को गर्म करती है। अवयव को अर्ध-तरंग द्विध्रुव तक बढ़ाएँ और ठीक λ/2 पर R_r = 73 Ω होता है, लगभग +j42.5 Ω की प्रतिघातता सहित, अतः मानक व्यवहार उसे तनिक छोटा करके वह प्रतिघातता निरसित करना और वास्तविक 70 Ω के निकट उतरना है — और इसीलिए 75 Ω पोषक विद्यमान है। उसकी दिशिकता 1.64 है, अर्थात् 2.15 dBi। बड़े चालक भूमि-तल पर चतुर्थांश-तरंग एकध्रुव दर्पण में दिखता वही ऐंटेना है: प्रतिबिंब लुप्त अर्धांश देता है, भूमि के ऊपर प्रतिरूप अभिन्न है, किंतु उसी धारा हेतु केवल आधी शक्ति विकिरित होती है, अतः R_r आधा होकर 36.5 Ω और दिशिकता दोगुनी होकर 3.28, अर्थात् 5.15 dBi। दोनों परिवर्तन उसी एक तथ्य से आते हैं और कोई दूसरे से स्वतंत्र नहीं, और उसे एक बार देखना उचित है, क्योंकि जो अभ्यर्थी चारों संख्याएँ पृथक्-पृथक् कंठस्थ करे उसके पास गलत स्मरण के चार अवसर हैं और जो दर्पण समझ ले उसके पास एक भी नहीं।
दो और प्रति-ऐंटेना राशियाँ एकल-अवयव की कथा बंद करती हैं। अभिग्राही ऐंटेना की प्रभावी लंबाई खुले-परिपथ वोल्टता का आपाती क्षेत्र से अनुपात है, और अर्ध-तरंग द्विध्रुव हेतु वह λ/π है, अर्थात् भौतिक लंबाई का 0.6366 — 100 MHz पर जहाँ λ = 3 m, 1.5 m के द्विध्रुव की प्रभावी लंबाई 0.955 m है, और कमी इसलिए है कि धारा एकसमान होने के बजाय सिरों पर शून्य तक शुंडाकार हो जाती है। प्रभावी द्वारक A_e = λ²D/(4π) है, अतः 100 MHz पर वही द्विध्रुव 9 × 1.64/(4π) = 1.17 m² का ग्रहण-क्षेत्रफल प्रस्तुत करता है — तार के भौतिक पदचिह्न से कहीं बड़ा, और वही तथ्य तार-ऐंटेना को चलने ही देता है और इसीलिए ग्रहण के विषय में सोचने का सही ढंग द्वारक है, आकार नहीं।
AF = 2 cos(ψ/2), जहाँ ψ = βd cos θ + α, d अंतराल है, α पोषण कला-अंतर, और θ सरणी-अक्ष से मापा गया। नीचे का सब उस एक व्यंजक पर यथातथ अंकगणित है। पार्श्व-दिशिक, d = λ/2, α = 0। तब βd = π तथा ψ = π cos θ। अधिकतम वहाँ है जहाँ ψ = 0, अर्थात् θ = 90° — अक्ष के लंबवत्, और इसीलिए वह नाम। शून्य वहाँ हैं जहाँ cos(ψ/2) = 0, अर्थात् ψ/2 = ±π/2, अतः cos θ = ±1 तथा θ = 0° व 180°: शून्य सीधे सरणी के अनुदिश संकेत करते हैं। अर्ध-शक्ति बिंदु cos(ψ/2) = 1/√2 का पालन करते हैं, अतः ψ/2 = ±π/4, जो cos θ = ±0.5 तथा θ = 60° व 120° देता है। अतः अर्ध-शक्ति बीम-चौड़ाई ठीक 60° है। अंत-दिशिक, d = λ/2, α = −βd = −π। अब ψ = π cos θ − π, और अधिकतम ψ = 0 पर है, अर्थात् cos θ = 1 तथा θ = 0° — अक्ष के अनुदिश। शून्यों हेतु π cos θ − π = ±π चाहिए, अतः cos θ = 2 (असंभव) अथवा cos θ = 0, जो θ = 90° देता है। अर्ध-शक्ति हेतु π cos θ − π = ±π/2 चाहिए, अतः cos θ = 1.5 (असंभव) अथवा cos θ = 0.5, जो θ = 60° देता है; प्रतिरूप अक्ष के परितः घूर्णनतः सममित है, अतः बीम −60° से +60° तक चलता है और HPBW 120° है। अतः उसी दो अवयवों को पार्श्व-दिशिक से अंत-दिशिक की ओर मोड़ने से हार्डवेयर छुए बिना बीम-चौड़ाई दोगुनी हो गई — ऐसा परिणाम जो उन्हें चौंकाता है जो अंत-दिशिक को तीक्ष्णतर विधा मानते हैं, और जानने योग्य क्योंकि प्रश्न ठीक उसी अंतर्ज्ञान की परीक्षा लेते हैं। अधिक अवयव। d = λ/2 पर N समान अवयवों हेतु पार्श्व-दिशिक में शून्य cos θ = 2n/N पर होते हैं, अतः N = 8 हेतु प्रथम शून्य arccos(0.25) = 75.52° पर है, 2(90 − 75.52) = 28.96° की प्रथम-शून्य बीम-चौड़ाई, और मानक सन्निकटन HPBW ≈ 0.886λ/(Nd) देता है 0.886/4 = 0.2215 rad = 12.69°, संतोषजनक रूप से FNBW के आधे से तनिक कम। दिशिकता लगभग 2Nd/λ = 8 है, अर्थात् 9.03 dBi। साथ ले जाने योग्य एक अभिकल्प-सीमा: d = λ पर दो-अवयव पार्श्व-दिशिक सरणी का ψ = 2π cos θ है, अतः अधिकतम ψ = 0 व ±2π पर प्रकट होते हैं, अर्थात् θ = 90° तथा θ = 0° व 180° पर — अक्ष के अनुदिश अवांछित जालक पालियाँ। d ≤ λ/2 रखना ही उन्हें रोकता है, और यही कारण है कि सरणी-अंतराल सुविधा से चुने जाने के बजाय आधी तरंगदैर्घ्य के आसपास एकत्र होते हैं।| संरचना | विकिरण प्रतिरोध | दिशिकता | प्रतिरूप-विशेषता |
|---|---|---|---|
हर्ट्ज़ीय द्विध्रुव, dl = λ/50 | 80π²(dl/λ)² = 0.316 Ω | 1.5 = 1.76 dBi | sin θ आकार; दक्षता तार-हानि से शासित |
| अर्ध-तरंग द्विध्रुव | 73 Ω (ठीक λ/2 पर +j42.5 Ω सहित) | 1.64 = 2.15 dBi | प्रभावी लंबाई λ/π = 100 MHz पर 0.955 m |
| भूमि-तल पर चतुर्थांश-तरंग एकध्रुव | 36.5 Ω — ठीक द्विध्रुव का आधा | 3.28 = 5.15 dBi — ठीक दोगुनी | केवल ऊपरी अर्ध-आकाश; प्रतिबिंब शेष देता है |
दो अवयव, d = λ/2, पार्श्व-दिशिक | प्रति अवयव उपरिवत् | एकल अवयव का लगभग 2× | 90° पर अधिकतम, 0°/180° पर शून्य, HPBW 60° |
दो अवयव, d = λ/2, अंत-दिशिक | प्रति अवयव उपरिवत् | समान कुल, भिन्न रूप से वितरित | 0° पर अधिकतम, 90° पर शून्य, HPBW 120° — चौड़ी |
आठ अवयव, d = λ/2, पार्श्व-दिशिक | पोषण नेटवर्क से नियत, एक अवयव से नहीं | लगभग 2Nd/λ = 8 = 9.03 dBi | प्रथम शून्य 75.52°, FNBW 28.96°, HPBW 12.69° |
परीक्षा-कौशल: प्रत्येक निर्देशित-तरंग प्रश्न हेतु एक कार्य-क्रम
EC पेपर 180 मिनट में 100 अंकों हेतु 65 प्रश्न है, सामान्य अभिवृत्ति 10 प्रश्न व 15 अंक रखते हुए। गलत MCQ का मूल्य प्रश्न के मान का एक-तिहाई है, अतः उत्तर देने से पूर्व सीमित करें; MSQ व NAT पर ऋणात्मक अंकन नहीं, अतः संचरण-लाइन अथवा तरंग-निर्देशिका का संख्यात्मक प्रश्न सदा देने योग्य है। इस अध्याय की सामग्री नियत कार्य-क्रम को पेपर के किसी अन्य भाग से अधिक पुरस्कृत करती है, क्योंकि लगभग प्रत्येक प्रश्न प्रतिस्थापन-श्रृंखला है और मध्यवर्ती राशियाँ प्रश्न-प्रकारों में साझा हैं। पहले तरंगदैर्घ्य अथवा कटऑफ़ स्थापित करें, और शेष अधिकांश एक सूत्र दूर है।
- लाइन पर सबसे पहले
Z₀वv_pनिकालें।Z₀ = √(L/C)तथाv_p = 1/√(LC); उनसेλ = v_p/f, और प्रश्न की प्रत्येक लंबाईλका अंश बन जाती है।L,C,Z₀,v_pमें से कोई दो चारों निर्धारित कर देते हैं। - स्मिथ चार्ट को चार पंक्तियों के रूप में करें, रेखाचित्र के रूप में नहीं। सामान्यीकरण,
Γ = (z−1)/(z+1), कला को−2βlसे घुमाएँ, तत्पश्चात्z = (1+Γ)/(1−Γ)। जाँच यह है कि हानि-रहित लाइन पर|Γ|अपरिवर्तित है, अतः एक बिंदु पर आपकी गणित VSWR प्रत्येक बिंदु पर लागू होनी चाहिए। - स्मरण रखें कि
λ/2आपको भार पर लौटा देता है औरλ/4,Z₀के परितः उल्टा कर देता है। ये दोनों अनेक बहु-पदीय समस्याएँ एक पंक्ति में बदल देते हैं, और वे त्रुटियाँ भी पकड़ते हैं:λ/2का उत्तर जोZ_Lसे भिन्न हो, बिगड़ा अंकगणित है, कोई सूक्ष्मता नहीं। - तरंग-निर्देशिका में
f_cतथा तत्पश्चात् कारक√[1 − (f_c/f)²]एक बार गणित करें। प्रत्येक अन्य राशि वही कारक है जो किसी वस्तु को गुणा अथवा भाग दे रहा है:λ_g = λ₀/कारक,v_g = c × कारक,v_p = c/कारक,Z_TE = η₀/कारक। निर्देशिका के भीतर भौतिक लंबाइयों हेतुλ_gप्रयोग करें,λ₀कभी नहीं। - तंतु में पहले
NAऔर तत्पश्चात्V।NA = √(n₁² − n₂²)स्वीकृति-कोण सीधे देता है;V = (2πa/λ)NA,2.405के सम्मुख एकल-विधा बनाम बहु-विधा तय करता है, और उसके पश्चात् ही विधा-गणना अथवा प्रकीर्णन-आँकड़ा अर्थपूर्ण है। जिस तंतु-प्रश्न में तरंगदैर्घ्य न बताई हो वह अपूर्ण है। - सरणी में
ψ = βd cos θ + αलिखें और उसे 0, तत्पश्चात्±π, तत्पश्चात्±π/2रखें। वे तीन क्रमशः अधिकतम, शून्य तथा अर्ध-शक्ति बिंदु देते हैं, और सरणी-प्रतिरूप का प्रश्न कभी इन तीन के अतिरिक्त कुछ नहीं पूछता।
c सर्वत्र 3 × 10⁸ m/s लिया गया है, अतः WR-90 की TE₁₀ कटऑफ़ 6.562 GHz निकलती है; 2.998 × 10⁸ प्रयोग करने पर 6.557 GHz मिलता है, और तीन दशमलव माँगता प्रश्न कोई एक अपेक्षित करेगा, अतः पढ़ें कि वह आपको क्या देता है। स्मिथ चार्ट पर घूर्णन-दिशा: जनित्र की ओर चलना Γ की कला से घटाता है, जो मानक चार्ट पर दक्षिणावर्त है, और भार की ओर चलना वामावर्त; इसे उल्टा करने पर सही परिमाण व प्रतिघातता का गलत चिह्न वाला उत्तर मिलता है। ऐंटेना लब्धि की इकाइयाँ: अर्ध-तरंग द्विध्रुव हेतु 2.15 dBi समदैशिक विकिरक के संदर्भ में है, जबकि dBd में उद्धृत लब्धि स्वयं द्विध्रुव के संदर्भ में है और अतः उसी ऐंटेना हेतु 2.15 dB निम्नतर। सरणी कोण-संदर्भ: यहाँ θ सरणी-अक्ष से मापा गया है, अतः पार्श्व-दिशिक θ = 90° है; कुछ ग्रंथ इसके बजाय पार्श्व-दिशिक से मापते हैं, जो सरणी कारक में प्रत्येक sin व cos बदल देता है और सही विधि को गलत उत्तर बना देता है। प्रत्येक स्थिति में उपचार वही है और एक पंक्ति लेता है: कुछ भी प्रतिस्थापित करने से पूर्व सूत्र के पास अभिसमय लिख दें।मुख्य बिंदु
- हानि-रहित लाइन दो संख्याएँ है, और चार में से कोई दो चारों दे देते हैं।
C = 100 pF/mसहितL = 250 nH/m,Z₀ = 50 Ω,v_p = 2 × 10⁸ m/sदेता है, अतःε_r = 2.25,5 ns/mका विलंब, तथा कोऐक्स हेतुb/a = e^(1.25) = 3.49। - स्मिथ चार्ट बीजगणित की चार पंक्तियाँ है, और
|Γ|कभी नहीं हिलता।50 ΩपरZ_L = 100 Ω,Γ = 1/3देता है;λ/8की यात्रा कला को−90°घुमाकर−j0.333करती है औरZ_in = 40 − j30 Ωदेती है, VSWR अभी भी ठीक 2 सहित।λ/4,Z₀²/Z_L = 25 Ωदेता है औरλ/2,100 Ωलौटा देता है। - सुमेलन एक आवृत्ति पर सरल है और किसी बैंड पर कठिन।
70.71 Ωका चतुर्थांश-तरंग परिणामित्र अभिकल्प पर100 Ωको50 Ωसे पूर्णतः सुमेलित करता है, किंतु उस आवृत्ति के आधे पर|Γ| = 1/√17 = 0.243और VSWR1.64है;|Γ| ≤ 0.1की बैंडविड्थ केवल36.7प्रतिशत है। लघुपथित पार्श्व स्टब उसेd = l_s = 0.152λसे करता है, अर्थात् वायु में 1 GHz पर प्रत्येक45.6 mm। S₁₁वहीΓहै, और एकलता का योग एक क्षय-मापक है।|S₁₁| = 0.3वाले हानि-रहित द्वि-द्वार का|S₂₁| = 0.954होना ही चाहिए, जो कुछ भी क्षय न करते हुए0.41 dBअंतर्वेशन हानि दिखाता है — वही आँकड़ा जो असुमेल-हानि सूत्र देता है। आदर्श3.01 dBक्षयकारी का|S₁₁|² + |S₂₁|² = 0.5है, और लुप्त आधा ऊष्मा है।- तरंग-निर्देशिका एक कटऑफ़ व एक वर्गमूल है। WR-90 (
22.86 × 10.16 mm) कीTE₁₀,6.562 GHzपर औरTE₂₀,13.123 GHzपर है, पूरे अष्टक का एकल-विधा बैंड क्योंकिb < a/2। 10 GHz पर कारक0.7546है, अतःλ₀ = 30 mmके सम्मुखλ_g = 39.76 mm,v_p = 1.325c,v_g = 0.755c,v_p v_g = c², तथाZ_TE = 499 Ω। - वृत्तीय निर्देशिका का एकल-विधा बैंड आयताकार से बहुत सँकरा है।
1.8412c/2πAपरTE₁₁तथा2.4049c/2πAपरTM₀₁, आयताकार के2.0के सम्मुख केवल1.306का अनुपात देते हैं —A = 10 mmहेतु8.791से11.484 GHz। इसीलिए आयताकार चूक-मान है और वृत्तीय घूर्णी संधियों व अल्प-हानि खंडों हेतु आरक्षित। - तंतु
NAवVहै, औरV < 2.405ही सम्पूर्ण अंतर है।n₁ = 1.48,n₂ = 1.46,NA = 0.2425देता है, स्वीकृति अर्ध-कोण14.03°, औरa = 25 µm,λ = 850 nmपरV = 44.8, लगभग 1004 विधाओं तथा66.7 ns/kmके विधा-प्रसार सहित — 1 km पर लगभग7.5 Mbit/s।NA = 0.105वa = 4.1 µmतक गिरें औरV = 2.06: एकल विधा, और वह प्रकीर्णन-क्रियाविधि पूर्णतः समाप्त। - एकध्रुव के दोनों परिवर्तन एक ही दर्पण से आते हैं। अर्ध-तरंग द्विध्रुव का
R_r = 73 ΩतथाD = 1.64 = 2.15 dBiहै; भूमि पर चतुर्थांश-तरंग एकध्रुव प्रतिरोध आधा करके36.5 Ωऔर दिशिकता दोगुनी करके3.28 = 5.15 dBiकर देता है, दोनों इसलिए कि केवल आधे आकाश में विकिरण होता है।λ/50पर हर्ट्ज़ीय अवयव का केवल0.316 Ωहै, और इसीलिए लघु ऐंटेना अदक्ष हैं। - सरणी एक व्यंजक है,
ψ = βd cos θ + α, जो तीन मानों पर रखा जाता है।d = λ/2पर पार्श्व-दिशिक दो अवयव90°पर अधिकतम,0°/180°पर शून्य तथा HPBW 60° देते हैं; वही युग्म अंत-दिशिक में0°पर अधिकतम और HPBW 120° देता है — चौड़ी, तीक्ष्णतर नहीं। आठ अवयव पार्श्व-दिशिक में HPBW12.69°तथा लगभग9.03 dBiदेते हैं, औरd > λ/2जालक पालियाँ आमंत्रित करता है।
अभ्यास प्रश्न (8)
उत्तर खोलने से पहले प्रत्येक प्रश्न हल करें। हर व्याख्या सही विकल्प के साथ लुभावना गलत विकल्प भी बताती है, क्योंकि अंक वहीं जाते हैं।
75 ohm अभिलाक्षणिक प्रतिबाधा वाली एक हानिरहित संचरण रेखा प्रचालन आवृत्ति पर 0.1 तरंगदैर्घ्य लंबी है और उसका दूरस्थ सिरा खुला छोड़ दिया गया है। वह कितनी निवेश प्रतिबाधा प्रस्तुत करती है?
उत्तर देखें
उत्तर: A — -j103.2 ohm
खुले परिपथ को प्रतिबाधा रूपांतरण सूत्र में रखने पर भार प्रतिबाधा अंश और हर दोनों पर हावी हो जाती है, और निवेश प्रतिबाधा ऋण j गुणा अभिलाक्षणिक प्रतिबाधा गुणा वैद्युत लंबाई की कोस्पर्शज्या बचती है। यहाँ वैद्युत लंबाई 2 pi x 0.1 radian, अर्थात 36 अंश है, अतः कोस्पर्शज्या 1/0.7265 = 1.3764 है और उत्तर -j75 x 1.3764 = -j103.2 ohm है, जो धारितीय है जैसा एक चौथाई तरंगदैर्घ्य से छोटी हर खुली रेखा को होना चाहिए। आकर्षक -j54.5 ohm वस्तुतः 75 गुणा 36 अंश की स्पर्शज्या है, जो उसी लंबाई की लघुपथित रेखा का परिमाण है; स्पर्शज्या और कोस्पर्शज्या विपरीत सिरों की हैं। मान -j127.6 ohm स्पर्शज्या के बजाय ज्या से भाग देता है।एक हानिरहित पोषक पर बेमेल भार 2.5 का वोल्टता अप्रगामी तरंग अनुपात उत्पन्न करता है। आपतित शक्ति का कितना अंश वास्तव में भार तक पहुँचता है?
उत्तर देखें
उत्तर: B — 81.6 %
पहले अप्रगामी तरंग अनुपात उलटिए: परावर्तन गुणांक का परिमाण (VSWR - 1)/(VSWR + 1) = 1.5/3.5 = 0.4286 है। शक्ति उस आयाम अनुपात के वर्ग के अनुसार चलती है, अतः परावर्तित अंश 0.4286 का वर्ग = 0.1837 है और पहुँचा अंश 1 - 0.1837 = 0.816, अर्थात 81.6 प्रतिशत, जो 0.88 dB की बेमेल हानि के तुल्य है। आकर्षक 57.1 प्रतिशत परावर्तन गुणांक के वर्ग के बजाय स्वयं गुणांक को घटाता है, और आयाम अनुपात को शक्ति अनुपात मान लेता है। मान 18.4 प्रतिशत परावर्तित अंश है, और 42.9 प्रतिशत परावर्तन गुणांक को प्रतिशत में लिखता है।वायु-भरित आयताकार तरंगपथ की चौड़ी आंतरिक दीवार 2.5 cm है और उसे 9 GHz पर न्यूनतम कटाव वाली विधा में चलाया जाता है, और c को 3 x 10^8 m/s तथा मुक्त आकाश की नैज प्रतिबाधा को 376.73 ohm लिया गया है। तरंगपथ के भीतर उस विधा की तरंग प्रतिबाधा क्या है?
उत्तर देखें
उत्तर: C — 505 ohm
आयताकार तरंगपथ में न्यूनतम कटाव वाली विधा वह अनुप्रस्थ विद्युत विधा है जो केवल चौड़ी दीवार से तय होती है, जिसका कटाव c/(2a) = 3 x 10^8/0.05 = 6 GHz है। वह गुणक बनाइए जिस पर तरंगपथ की हर राशि निर्भर है, अर्थात एक घटा कटाव बटा प्रचालन आवृत्ति का वर्ग, का वर्गमूल: 1 - (6/9) का वर्ग = 1 - 0.4444 = 0.5556, जिसका वर्गमूल 0.7454 है। अनुप्रस्थ विद्युत विधा के लिए तरंग प्रतिबाधा मुक्त-आकाश प्रतिबाधा बटा वह गुणक है, 376.73/0.7454 = 505 ohm. आकर्षक 281 ohm भाग के बजाय गुणा करता है, जो अनुप्रस्थ चुंबकीय विधा का नियम है। मान 251 ohm बिना वर्गमूल लिए अनुपात 6/9 से गुणा करता है।एक पग-अपवर्तनांक प्रकाशीय तंतु का क्रोड त्रिज्या 3.5 micrometre तथा संख्यात्मक द्वारक 0.12 है, और वह तब एकल-विधा है जब उसकी सामान्यीकृत आवृत्ति 2.405 से कम हो। किस तरंगदैर्घ्य से ऊपर वह केवल एक विधा वहन करता है?
उत्तर देखें
उत्तर: D — 1097 nm
सामान्यीकृत आवृत्ति 2 pi a गुणा संख्यात्मक द्वारक बटा तरंगदैर्घ्य है, और वह तरंगदैर्घ्य बढ़ने पर घटती है, अतः एकल-विधा शर्त तरंगदैर्घ्य पर निचली सीमा लगाती है। सामान्यीकृत आवृत्ति 2.405 रखने पर कटाव तरंगदैर्घ्य 2 pi x 3.5 x 10^(-6) x 0.12/2.405 = 2.639 x 10^(-6)/2.405 = 1.097 x 10^(-6) m, अर्थात 1097 nm मिलता है; उससे ऊपर तंतु एक विधा वहन करता है और नीचे दूसरी प्रकट होती है। आकर्षक 2195 nm वहाँ क्रोड व्यास लेता है जहाँ सूत्र त्रिज्या माँगता है, जिससे उत्तर दुगुना हो जाता है। मान 549 nm 2 pi a के बजाय pi a लिखकर उत्तर आधा करता है, और 1310 nm स्मरण से उद्धृत मानक दूरसंचार तरंगदैर्घ्य है।दो समान-आयाम समदैशिक विकिरक समकला पोषित हैं और एक अक्ष पर पूरी एक तरंगदैर्घ्य की दूरी पर रखे हैं, तथा ध्रुवीय कोण उसी अक्ष से नापा जाता है। 90 अंश पर पार्श्वदिश दिशा के अतिरिक्त, ऐरे गुणक कहाँ अधिकतम पहुँचता है?
उत्तर देखें
उत्तर: A — 0 अंश तथा 180 अंश पर, अर्थात ठीक ऐरे अक्ष के अनुदिश
दो समान अवयवों के लिए ऐरे गुणक psi के आधे की कोज्या का दुगुना है, जहाँ psi radian में दूरी गुणा ध्रुवीय कोण की कोज्या जमा पोषण कला अंतर है। समकला पोषण और एक तरंगदैर्घ्य की दूरी पर psi = 2 pi cos(theta) है, और गुणक तब अधिकतम है जब psi शून्य हो या धन-ऋण 2 pi. शून्य से cos(theta) = 0 और इसलिए 90 अंश पर पार्श्वदिश मिलता है, जबकि धन-ऋण 2 pi से cos(theta) = धन-ऋण 1 और इसलिए 0 तथा 180 अंश पर अधिकतम मिलते हैं। वे अतिरिक्त अधिकतम ग्रेटिंग पालि हैं और वांछित पुंज जितनी ही प्रबलता से विकिरित करते हैं। यह आकर्षक उत्तर कि पार्श्वदिश ही एकमात्र अधिकतम है, केवल तभी सही है जब दूरी आधी तरंगदैर्घ्य या उससे कम रहे।एक network analyser पर एक व्युत्क्रमणीय सूक्ष्मतरंग अवयव, जो कोई शक्ति क्षय नहीं करता, 0.8 का अग्र संचरण परिमाण दिखाता है, और उसके दोनों द्वार संदर्भ प्रतिबाधा पर समाप्त हैं। उसके निवेश पर कितनी प्रत्यावर्तन हानि प्रकट होती है?
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उत्तर: B — 4.44 dB
हानिरहित द्वि-द्वार का प्रकीर्णन आव्यूह एकात्मक होता है, अतः प्रत्येक स्तंभ में वर्ग परिमाणों का योग एक है: निवेश परावर्तन परिमाण का वर्ग जमा अग्र संचरण परिमाण का वर्ग बराबर एक। संचरण 0.8 होने पर परावर्तन परिमाण 1 - 0.64 = 0.6 का वर्गमूल है। प्रत्यावर्तन हानि उस परावर्तन परिमाण के लघुगणक का ऋण बीस गुना है, जो 4.44 dB है। आकर्षक 1.94 dB वस्तुतः 0.8 का ऋण बीस log है, जो संचरण पद से पढ़ी गई निवेशन हानि है और भिन्न प्रश्न का उत्तर देती है। मान 2.22 dB बीस के स्थान पर दस log लगाता है, और 8.87 dB सही आँकड़ा दुगुना कर देता है।एक वायु-भरित आयताकार तरंगपथ के आंतरिक विमाप 3.2 cm गुणा 1.4 cm हैं और उसे 6 GHz पर चलाया जाता है, तथा c को 3 x 10^8 m/s और मुक्त आकाश की नैज प्रतिबाधा को 376.73 ohm लिया गया है। उसके विषय में निम्नलिखित में से कौन से कथन सही हैं?
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उत्तर: A — तरंगपथ तरंगदैर्घ्य 80.1 mm है, जो 50 mm की मुक्त-आकाश तरंगदैर्घ्य से अधिक लंबी है।; B — 6 GHz पर केवल न्यूनतम कटाव वाली विधा संचरित होती है, अगला कटाव 9.375 GHz पर है।
न्यूनतम कटाव केवल चौड़ी दीवार से तय है, c/(2a) = 3 x 10^8/0.064 = 4.6875 GHz, और हर दूसरी राशि को नियंत्रित करने वाला गुणक 1 - (4.6875/6) के वर्ग का वर्गमूल = 0.6242 है। 6 GHz पर मुक्त-आकाश तरंगदैर्घ्य 50 mm है, अतः तरंगपथ तरंगदैर्घ्य 50/0.6242 = 80.1 mm है, जो सदैव मुक्त आकाश से लंबी होती है क्योंकि तरंग टेढ़ी-मेढ़ी चलती है। अगले कटाव चौड़ी दीवार वाले का दुगुना 9.375 GHz तथा c/(2b) = 10.71 GHz हैं, अतः 6 GHz पर केवल एक विधा संचरित होती है। आँकड़ा 4.81 x 10^8 m/s कला वेग है, c बटा गुणक, और वह वैध रूप से c से अधिक है; समूह वेग c गुणा गुणक, 1.87 x 10^8 m/s है। अनुप्रस्थ विद्युत विधा की तरंग प्रतिबाधा मुक्त-आकाश मान बटा गुणक, 603 ohm है।60 ohm अभिलाक्षणिक प्रतिबाधा वाली एक हानिरहित रेखा प्रचालन आवृत्ति पर ठीक आधी तरंगदैर्घ्य लंबी है और 30 + j40 ohm के भार पर समाप्त है। उसके निवेश पर कौन सी प्रतिबाधा प्रकट होती है?
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उत्तर: D — 30 + j40 ohm
आधी तरंगदैर्घ्य पर वैद्युत लंबाई pi radian है, अतः उसकी स्पर्शज्या शून्य है और प्रतिबाधा रूपांतरण सूत्र स्वयं भार प्रतिबाधा पर सिमट जाता है: हानिरहित रेखा की आधी तरंगदैर्घ्य अदृश्य होती है, भार चाहे जो हो और अभिलाक्षणिक प्रतिबाधा चाहे जो हो। परावर्तन गुणांक पर देखने पर कारण यह है कि आधी तरंगदैर्घ्य कला को पूरे 360 अंश घुमाती है जबकि परिमाण अछूता रखती है। आकर्षक 43.2 - j57.6 ohm एक चौथाई तरंगदैर्घ्य का उत्तर है, अभिलाक्षणिक प्रतिबाधा का वर्ग बटा भार, और वह गलत लंबाई के लिए सही है। मान 0.5 + j0.667 ohm अभिलाक्षणिक प्रतिबाधा से सामान्यीकृत भार है जिसे वापस परिवर्तित नहीं किया गया, और 60 ohm के लिए भार का पहले से ही मेल खाना आवश्यक होता।