मैक्सवेल समीकरण व समतल तरंगें: सीमा-प्रतिबंध, पॉयंटिंग, त्वचा-गहराई तथा ध्रुवण

इलेक्ट्रॉनिक्स एवं संचार अभियांत्रिकी पेपर का खंड 8 वही एक खंड है जिस पर प्रतिरूप-मिलान से आक्रमण नहीं किया जा सकता, क्योंकि वह चार ऐसे समीकरणों पर टिका है जो अपने द्वारा वर्णित परिघटनाओं से वस्तुतः अधिक संहत हैं। अवकल रूप में मैक्सवेल समीकरण इस विषय में स्थानीय कथन हैं कि क्षेत्र किसी बिंदु पर क्या करता है; समाकल रूप में वे किसी पृष्ठ अथवा पाश के विषय में वैश्विक कथन हैं, और दोनों वही एक भौतिकी हैं, जिन्हें अपसरण व स्टोक्स प्रमेय जोड़ते हैं। दोनों रूप सीखना पुनरुक्ति नहीं है — जो प्रश्न आपको बंद पृष्ठ दे वह समाकल रूप चाहता है, और जो प्रश्न क्षेत्र-व्यंजक दे वह अवकल। दोनों कर्ल समीकरण मिलाएँ और आपको तरंग समीकरण मिलता है, जिसका मुक्त आकाश में हल एक समतल तरंग है जिसमें E व H परस्पर तथा गमन-दिशा के लंबवत् हैं, नियत अनुपात η₀ = 376.73 Ω में। उन्हें गुणा करें और आपको पॉयंटिंग सदिश मिलता है, जो कहता है कि शक्ति वहाँ बहती है जहाँ E × H संकेत करे — ऐसा कथन जो अन्य बातों के साथ इस प्रश्न का भी निपटारा करता है कि संचरण लाइन में ऊर्जा वस्तुतः कहाँ चलती है। तत्पश्चात् सीमा-प्रतिबंध, जो लुप्त होती डिबिया व लुप्त होते पाश पर लगाए गए मैक्सवेल समीकरण ही हैं, और जो परावर्तन व अपवर्तन के परिणामों का स्रोत हैं: स्पर्शीय E तथा अभिलंब B सदा संतत हैं, और शेष दो घटक वहाँ बैठे पृष्ठ-आवेश अथवा पृष्ठ-धारा जितना छलाँगते हैं। उनसे समतल-तरंग व्यवहार का सर्वस्व निकलता है — परावर्तन गुणांक, ब्रूस्टर व क्रांतिक कोण, ध्रुवण व उसकी दक्षिणावर्तता, कला व समूह वेग का अंतर, तथा त्वचा-गहराई, जो खंड की एकमात्र सर्वाधिक उपयोगी संख्या है क्योंकि वह एक ही आघात में स्पष्ट कर देती है कि माइक्रोवेव चालक ठोस के बजाय लेपित क्यों होता है और शक्ति-बसबार खोखला क्यों।

दोनों रूपों में मैक्सवेल समीकरण, तथा प्रत्येक क्या कहता है

चारों समीकरण, साथ-साथ, प्रत्येक द्वारा किए गए भौतिक कथन सहित
नियमअवकल रूपसमाकल रूपवह वस्तुतः क्या दावा करता है
गॉस, विद्युत्∇ · D = ρ∮ D · dS = Q_encविद्युत् फ्लक्स रेखाएँ आवेश पर आरंभ व समाप्त होती हैं, अतः D के स्रोत हैं।
गॉस, चुंबकीय∇ · B = 0∮ B · dS = 0चुंबकीय आवेश नहीं है, अतः प्रत्येक B रेखा स्वयं पर बंद होती है।
फैराडे∇ × E = −∂B/∂t∮ E · dL = −dΦ/dtबदलता B परिचालित E चलाता है; ऋण चिह्न लेंज़ का नियम है।
मैक्सवेल के संशोधन सहित ऐम्पियर∇ × H = J + ∂D/∂t∮ H · dL = I_enc + dΨ/dtचालन-धारा तथा बदलता D, दोनों परिचालित H चलाते हैं।

अंतिम पंक्ति का पद ∂D/∂t मैक्सवेल की विस्थापन धारा है, और वह चारों योगदानों में एकमात्र है जो प्रायोगिक के बजाय सैद्धांतिक आधार पर जोड़ा गया। ऐम्पियर का मूल नियम आवेश-संरक्षण से असंगत है: ∇ × H = J का अपसरण लें और वाम पक्ष तत्समकतः शून्य है, जो ∇ · J = 0 हेतु बाध्य करता है, जो कहीं भी आवेश संचित होते समय असत्य है — उदाहरणतः आवेशित हो रहा संधारित्र। विस्थापन पद जोड़ें और अपसरण 0 = ∇ · J + ∂ρ/∂t देता है, जो ठीक सांतत्य समीकरण है। अतः विस्थापन धारा कोई पैबंद नहीं, वह वही है जो समुच्चय को स्व-संगत बनाती है, और उसका भौतिक प्रतिफल इस खंड का सर्वस्व है: बदलता E एक H बनाता है, बदलता H एक E बनाता है, और अतः युग्म रिक्त आकाश में परस्पर एक-दूसरे को बनाए रख सकता है, कहीं कोई आवेश व कोई धारा न होने पर भी। वही रेडियो तरंग है, और वह एक ही पद के कारण विद्यमान है।

🎯 चालक अथवा परावैद्युत् पदार्थ का गुणधर्म नहीं है — वह आवृत्ति का गुणधर्म है
किसी पदार्थ में चालन तथा विस्थापन धारा का अनुपात हानि-स्पर्शज्या σ/(ωε) है, और वही राशि तय करती है कि आप कौन-सा सन्निकटन प्रयोग कर सकते हैं। 1 GHz पर ताँबा: σ = 5.8 × 10⁷ S/m, ε ≈ ε₀ = 8.854 × 10⁻¹² F/m, अतः σ/(ωε) = 5.8 × 10⁷/(2π × 10⁹ × 8.854 × 10⁻¹²) = 5.8 × 10⁷/0.0556 = 1.04 × 10⁹। परिमाण की नौ कोटियाँ, अतः ताँबा माइक्रोवेव आवृत्तियों पर भी सुचालक है, और उसमें विस्थापन धारा पूर्णतः उपेक्षित की जा सकती है। अब σ = 10⁻³ S/m व ε_r = 5 वाली शुष्क मृदा लें। 1 MHz पर: σ/(ωε) = 10⁻³/(2π × 10⁶ × 5 × 8.854 × 10⁻¹²) = 10⁻³/2.78 × 10⁻⁴ = 3.60। दोनों धाराएँ तुलनीय हैं, अतः यह हानियुक्त परावैद्युत् है और कोई सीमांत सूत्र लागू नहीं — आपको पूर्ण संमिश्र संचरण-नियतांक प्रयोग करना ही होगा। आवृत्ति 1 GHz तक बढ़ाएँ और वही मृदा 3.60 × 10⁻³ देती है, सुखपूर्वक सुपरावैद्युत्। एक पदार्थ, तीन शासन, पूर्णतः आवृत्ति से तय। अभियांत्रिक परिणाम तत्काल व परीक्षणीय हैं: निम्न-आवृत्ति प्रसारण संकेत भूमि-हानियों से उस प्रकार क्षीण होता है जिस प्रकार उसी मृदा पर माइक्रोवेव कड़ी नहीं होती, और रेडार का भूमि-कोलाहल परावैद्युत् से परावर्तन की भाँति व्यवहार करता है जबकि दीर्घ-तरंग संकेत आंशिकतः पृथ्वी में विसरित हो जाता है। कार्य-देहलियाँ सुचालक हेतु σ/(ωε) > 100, सुपरावैद्युत् हेतु < 0.01 हैं, और उनके बीच सब कुछ सामान्य हल माँगता है — और बनाने योग्य आदत यह है कि अनुपात सूत्र चुनने से पूर्व गणित करें, पश्चात् नहीं।

सीमा-प्रतिबंध: दो सदा संतत, दो जो छलाँगते हैं

समाकल रूपों को उन आकृतियों पर लगाएँ जो अंतरापृष्ठ पर सिकुड़ जाती हैं और सीमा-प्रतिबंध निकल आते हैं। पृष्ठ के आर-पार एक डिबिया सिकोड़ें: गॉस का विद्युत् नियम D_(1n) − D_(2n) = ρ_s देता है, और चुंबकीय B_(1n) = B_(2n) देता है, बिना किसी अपवाद, क्योंकि चुंबकीय पृष्ठ-आवेश नहीं है। पृष्ठ पर फैला एक पाश सिकोड़ें: फैराडे E_(1t) = E_(2t) देता है, क्योंकि परिबद्ध फ्लक्स क्षेत्रफल के साथ शून्य हो जाता है, और ऐम्पियर H_(1t) − H_(2t) = J_s देता है। अतः प्रतिरूप चार सूत्रों के बजाय दो वाक्यों के रूप में कहने योग्य है। स्पर्शीय विद्युत् क्षेत्र तथा अभिलंब चुंबकीय फ्लक्स घनत्व सदा संतत हैं, प्रत्येक अंतरापृष्ठ पर, सभी परिस्थितियों में। अभिलंब D तथा स्पर्शीय H, ठीक उतना छलाँगते हैं जितना पृष्ठ-आवेश व पृष्ठ-धारा वहाँ उपस्थित हो, और दो साधारण परावैद्युतों के अंतरापृष्ठ पर कोई नहीं है, अतः वे भी संतत हैं। पूर्ण विद्युत् चालक पर भीतर के क्षेत्र लुप्त हो जाते हैं और प्रतिबंध वही बन जाते हैं जिन्हें प्रत्येक तरंग-निर्देशिका व ऐंटेना समस्या प्रयोग करती है: पृष्ठ पर E_t = 0, H_t = J_s, B_n = 0, D_n = ρ_s। उनमें प्रथम को उसी अभिकल्प-नियम की भाँति पढ़ें जो वह है — पूर्ण चालक स्पर्शीय विद्युत् क्षेत्र सँभाल नहीं सकता, और इसीलिए तरंग-निर्देशिका की भित्तियाँ जो विधाएँ बाध्य करती हैं वही बाध्य करती हैं।

🧠 एक क्षेत्र, एक अंतरापृष्ठ पार करता हुआ, ऐसी जाँच सहित जो बंद होती है
क्षेत्र 1 को z < 0, ε_(r1) = 2 सहित और क्षेत्र 2 को z > 0, ε_(r2) = 5 सहित लें, समतल z = 0 पर कोई पृष्ठ-आवेश नहीं। अंतरापृष्ठ से ठीक नीचे क्षेत्र E₁ = 5 x̂ + 10 ŷ + 3 ẑ V/m है। कुछ भी करने से पूर्व उसे विभाजित करें: स्पर्शीय भाग 5 x̂ + 10 ŷ है, जो अंतरापृष्ठ-समतल में पड़ा है, और अभिलंब भाग 3 ẑ है। स्पर्शीय E संतत है, अतः E_(2t) = 5 x̂ + 10 ŷ, अपरिवर्तित। अभिलंब D संतत है क्योंकि ρ_s = 0, अतः ε₁E_(1z) = ε₂E_(2z), जो 2 × 3 = 5 × E_(2z) तथा E_(2z) = 1.2 V/m देता है। अतः E₂ = 5 x̂ + 10 ŷ + 1.2 ẑ V/m। दो जाँचें करने योग्य हैं क्योंकि वे सेकंड लेती हैं और चिह्न-त्रुटियाँ पकड़ती हैं। प्रथम, दोनों ओर D_n गणित करें: D_(1n) = 2 × 8.854 × 10⁻¹² × 3 = 5.312 × 10⁻¹¹ C/m² तथा D_(2n) = 5 × 8.854 × 10⁻¹² × 1.2 = 5.312 × 10⁻¹¹ C/m² ✓, अपेक्षानुसार अभिन्न। द्वितीय, क्षेत्र-रेखाओं हेतु अपवर्तन नियम प्रयोग करें, tan θ₂/tan θ₁ = ε₂/ε₁, जहाँ θ अभिलंब से मापा गया है। यहाँ |E_t| = √(25 + 100) = 11.180, अतः tan θ₁ = 11.180/3 = 3.7268 जो θ₁ = 74.98° देता है, और tan θ₂ = 11.180/1.2 = 9.3169 जो θ₂ = 83.87° देता है। अनुपात 9.3169/3.7268 = 2.5 = ε₂/ε₁ ✓। भौतिक रूप से उसका अर्थ पढ़ें: घने परावैद्युत् में जाते हुए क्षेत्र-रेखाएँ अभिलंब से दूर मुड़ती हैं, क्योंकि अभिलंब घटक दब जाता है जबकि स्पर्शीय अछूता रहता है। वही एक असममिति — एक घटक नियत रखा और दूसरा मापित — इस अध्याय के शेष के प्रत्येक परिणाम के पीछे की क्रियाविधि है, परावर्तन गुणांक से ब्रूस्टर कोण तक, और उसे केवल सूत्र के भीतर के बजाय ऐसे क्षेत्र पर एक बार देख लेना उचित है जिसे आप हाथ में पकड़ सकें।

तरंग समीकरण, नैज प्रतिबाधा तथा पॉयंटिंग सदिश

फैराडे के नियम का कर्ल लें, ऐम्पियर का प्रतिस्थापित करें, और स्रोत-मुक्त क्षेत्र में परिणाम ∇²E = µε ∂²E/∂t² है, तरंग समीकरण, जिसके हल v = 1/√(µε) पर चलते हैं। मुक्त आकाश में वह c = 1/√(µ₀ε₀) = 3 × 10⁸ m/s है, और यह तथ्य कि यह दो स्थिरवैद्युत् व स्थिरचुंबकीय नियतांकों से निकलता है, जिसकी व्युत्पत्ति में कहीं यांत्रिकी नहीं, वही कारण है कि मैक्सवेल का सिद्धांत परीक्षित होने से पूर्व विश्वसनीय हुआ। परावैद्युत् में वही व्यंजक v = c/√(ε_r µ_r) देता है, और अचुंबकीय पदार्थ हेतु v = c/√(ε_r), जहाँ √(ε_r) अपवर्तनांक है। एकसमान समतल तरंग हल के तीन गुणधर्म हैं जो एक पुलिंदे की भाँति कहे जाने चाहिए: E व H दोनों संचरण-दिशा के अनुप्रस्थ हैं; वे परस्पर लंबवत् हैं; और उनका अनुपात नैज प्रतिबाधा η = √(µ/ε) है, जो मुक्त आकाश में η₀ = √(µ₀/ε₀) = 376.73 Ω है, सार्वत्रिक रूप से 377 Ω तक पूर्णांकित और बारंबार 120π के रूप में उद्धृत। ध्यान दें कि η की विमाएँ प्रतिरोध की हैं किंतु वह कुछ भी क्षय नहीं करती — वह क्षेत्र-परिमाणों का अनुपात है, कोई अवयव नहीं।

पॉयंटिंग सदिश S = E × H की इकाइयाँ वाट प्रति वर्ग मीटर हैं और वह उस दिशा में संकेत करता है जिसमें शक्ति बहती है। उसका समाकल रूप पॉयंटिंग प्रमेय है, −∮ S · dA = d/dt ∫(w_e + w_m) dV + ∫ σ|E|² dV, जो ऊर्जा-संतुलन की भाँति पढ़ा जाता है: बंद पृष्ठ से भीतर बहती शक्ति या तो भीतर संचित विद्युत् व चुंबकीय ऊर्जा बढ़ाती है, अथवा ऊष्मा के रूप में क्षयित होती है, और कोई तीसरा गंतव्य नहीं। काल-हरात्मक समतल तरंग हेतु उपयोगी राशि काल-औसत पॉयंटिंग सदिश है, S_av = ½ Re{E × H*}, और हानि-रहित माध्यम में समतल तरंग हेतु वह S_av = E₀²/(2η) तक घट जाता है, जहाँ E₀ शिखर आयाम है। वह अभिसमय बताएँ, क्योंकि दो का गुणनखंड वहीं रहता है: E₀ को RMS मान के रूप में दिया जाए तो वही शक्ति E_rms²/η है, और दोनों ठीक दो के गुणनखंड से भिन्न हैं।

🧠 10 V/m की तरंग प्रति वर्ग मीटर 133 mW वहन करती है, और जाँच एक पंक्ति है
मुक्त आकाश में एकसमान समतल तरंग का शिखर विद्युत् क्षेत्र E₀ = 10 V/m है। तब H₀ = E₀/η₀ = 10/376.73 = 0.02654 A/m, अर्थात् 26.54 mA/m — और ध्यान दें कि SI संख्याओं में चुंबकीय क्षेत्र कितना लघु है, जो η₀ के 377 होने का परिणाम है, तरंग के दुर्बल होने का नहीं। काल-औसत शक्ति-घनत्व S_av = E₀²/(2η₀) = 100/753.46 = 0.1327 W/m² है, अर्थात् 133 mW/m²। दूसरी दिशा से, क्षेत्रों के गुणनफल से जाँचें: ½ E₀ H₀ = 0.5 × 10 × 0.02654 = 0.1327 W/m² ✓, और सहमति प्रतिबाधा तथा दो के गुणनखंड दोनों की पुष्टि करती है। अब उसे किसी पहचानने योग्य वस्तु तक मापित करें। वायुमंडल के शीर्ष पर सौर विकिरण लगभग 1360 W/m² है, अतः यह तरंग सूर्यप्रकाश से लगभग दस हज़ार गुना दुर्बल है — और फिर भी रेडियो मानकों से 10 V/m प्रबल क्षेत्र है, अभिग्राही की आवश्यकता से कहीं ऊपर। 1 µV/m पर किसी अभिग्राही हेतु वही अंकगणित उल्टा चलाएँ: S_av = 10⁻¹²/753.46 = 1.33 × 10⁻¹⁵ W/m², जो प्रति वर्ग मीटर फ़ेम्टोवाट है और फिर भी पूर्णतः प्रयोग्य, क्योंकि संचार अध्यायों में गणित किया शोर-फ़र्श उससे भी नीचे है। शिक्षा यह है कि क्षेत्र-सामर्थ्य व शक्ति-घनत्व किसी तरंग के विषय में दो स्वतंत्र तथ्य नहीं हैं; कोई एक η के माध्यम से दूसरे को नियत कर देता है, और जो प्रश्न आपको एक देकर दूसरा पूछे वह जाँच रहा है कि आप जानते हैं क्या कि उसका आयाम किस अभिसमय में उद्धृत था।

हानियुक्त माध्यमों में संचरण, तथा त्वचा गहराई

चालक माध्यम में संचरण-नियतांक संमिश्र हो जाता है, γ = α + jβ, अतः तरंग दोलन व क्षय दोनों करती है: E = E₀ e^(−αz) cos(ωt − βz)। सुचालक सीमा σ ≫ ωε में दोनों भाग वही मान लेते हैं, α = β = √(πfµσ), और उसका व्युत्क्रम वही राशि है जिसके पदों में सब कुछ उद्धृत होता है। त्वचा गहराई δ = 1/α = 1/√(πfµσ) वह गहराई है जिस पर क्षेत्र-आयाम अपने पृष्ठ-मान के 1/e, लगभग 37 प्रतिशत, तक गिर चुका होता है। तीन गुणधर्म कंठस्थ रखने योग्य हैं क्योंकि वे सारी अभियांत्रिकी वहन करते हैं। वह 1/√f के रूप में चलती है, अतः आवृत्ति में सौ गुनी वृद्धि उसे दस गुना सिकोड़ देती है। वह 1/√σ के रूप में चलती है, अतः उत्तम चालक धारा को अधिक परिसीमित करता है — जो अधिकांश लोगों के प्रथम अनुमान का उल्टा है। और सुचालक सीमा में α = β ठीक-ठीक, जिसका अर्थ है कि तरंग धातु के भीतर एक ही तरंगदैर्घ्य में अपने आयाम का e^(−2π) खो देती है — 535 का गुणनखंड — अतः चालक में सार्थक संचरण बिल्कुल नहीं है, केवल क्षीणन।

🎯 50 Hz से 1 GHz तक ताँबा: 9.3 mm से 2.1 µm तक
ताँबे का σ = 5.8 × 10⁷ S/m तथा µ = µ₀ = 4π × 10⁻⁷ H/m है। 1 MHz पर πfµσ = π × 10⁶ × 1.2566 × 10⁻⁶ × 5.8 × 10⁷ = 2.290 × 10⁸, अतः α = 1.513 × 10⁴ तथा δ = 66.1 µm। अब 1/√f से मापित करें और अन्य कुछ आवश्यक नहीं। 1 GHz पर, हज़ार गुना उच्चतर, δ = 66.1/√1000 = 2.09 µm। 50 Hz पर, बीस हज़ार गुना निम्नतर, δ = 66.1 × √20000 = 9.35 mm। उन तीन संख्याओं से परिणाम पढ़ें। 50 Hz पर 9.35 mm किसी पर्याप्त बसबार की त्रिज्या से तुलनीय है, और इसीलिए बड़े शक्ति-चालक खोखले अथवा वेष्टित बनाए जाते हैं — केंद्र की धातु लगभग कोई धारा नहीं वहन करती और केवल भार में अपना मूल्य चुका रही है। 1 GHz पर 2.09 µm घरेलू पन्नी की मोटाई का लगभग चालीसवाँ भाग है, अतः माइक्रोवेव अवयव का विद्युत् व्यवहार पूर्णतः दर्पण-सदृश पतली पृष्ठ-परत का गुणधर्म है; ठीक इसीलिए तरंग-निर्देशिकाएँ व संयोजक पीतल पर चाँदी-लेपित होते हैं, और इसीलिए माइक्रोन के पैमाने की पृष्ठ-खुरदराहट हानि-क्रियाविधि बन जाती है। उस पृष्ठ-परत का प्रतिरोध भी है, पृष्ठ प्रतिरोध R_s = 1/(σδ), जो 1 GHz पर 1/(5.8 × 10⁷ × 2.09 × 10⁻⁶) = 8.25 mΩ प्रति वर्ग है — उस आवृत्ति पर ताँबे हेतु मानक आँकड़ा, और वही संख्या जहाँ से प्रत्येक माइक्रोवेव हानि-बजट आरंभ होता है। ध्यान दें कि R_s, √f के रूप में बढ़ता है, चूँकि δ, 1/√f के रूप में सिकुड़ती है, अतः किसी भी माइक्रोवेव संरचना में चालक-हानि आवृत्ति के वर्गमूल से चढ़ती है, कभी रैखिकतः नहीं। और परिरक्षण हेतु एक अंगूठा-नियम अपनी व्युत्पत्ति के योग्य है: 5δ मोटाई पर क्षेत्र e⁻⁵ से नीचे है, जो 20 log₁₀(e⁻⁵) = −43.4 dB है, अतः पाँच त्वचा-गहराइयाँ लगभग 43 dB का परिरक्षण हैं — जिसका 1 GHz पर ताँबे में अर्थ है कि 10.5 µm का लेप पहले ही अच्छा परदा है, जबकि 50 Hz पर उसे 47 mm ठोस ताँबा लगेगा, और इसीलिए निम्न-आवृत्ति चुंबकीय परिरक्षण मोटे ताँबे के बजाय उच्च-पारगम्यता इस्पात प्रयोग करता है।

परावर्तन व अपवर्तन: गुणांक, तथा शक्ति का लेखा

नैज प्रतिबाधाओं η₁ व η₂ वाले दो माध्यमों के बीच समतल सीमा पर अभिलंब आपतन पर अंतरापृष्ठ पर स्पर्शीय E व H सुमेलित करने से दोनों गुणांक सीधे मिलते हैं: परावर्तन गुणांक Γ = (η₂ − η₁)/(η₂ + η₁) तथा पारेषण गुणांक τ = 2η₂/(η₂ + η₁), तत्समक 1 + Γ = τ सदा लागू रहने सहित। सीमाएँ चिह्न नियत करती हैं। पूर्ण चालक पर η₂ = 0, Γ = −1 देता है: कला-प्रत्यावर्तन सहित पूर्ण परावर्तन, अतः पृष्ठ पर E शून्य होने हेतु बाध्य है और अपना प्रथम विद्युत्-क्षेत्र अधिकतम एक चौथाई तरंगदैर्घ्य बाहर रखते हुए अप्रगामी तरंग बनती है। 3 GHz पर, जहाँ λ = 100 mm, वह अधिकतम भित्ति से 25 mm पर बैठता है, और यह जानना खाँचेदार लाइन में प्रत्येक क्षेत्र-प्रवेशिका का स्थान बता देता है। घने परावैद्युत् पर η₂ < η₁ ऋणात्मक Γ देता है, पुनः कला-प्रत्यावर्तन किंतु केवल आंशिक परावर्तन। विरल पर Γ धनात्मक है और कोई कला-प्रत्यावर्तन नहीं। माध्यम 1 में अप्रगामी-तरंग अनुपात SWR = (1 + |Γ|)/(1 − |Γ|) है, और यह ध्यान देने योग्य है कि SWR, Γ = +1/3 को Γ = −1/3 से पृथक् नहीं कर सकता क्योंकि वह कला त्याग देता है।

⚠️ परावर्तित शक्ति 11 प्रतिशत व पारेषित 89 है, किंतु τ² 44 है — तत्समक 1 − Γ² = τ² नहीं है
मुक्त आकाश में चलती तरंग ε_r = 4 वाले हानि-रहित परावैद्युत् पर अभिलंब आपतन पर टकराती है। तब η₁ = 376.73 Ω तथा η₂ = 376.73/√4 = 188.37 Ω, अतः Γ = (188.37 − 376.73)/(188.37 + 376.73) = −188.37/565.10 = −1/3 ठीक-ठीक, और τ = 2(188.37)/565.10 = 2/3। तत्समक जाँचें: 1 + Γ = 1 − 1/3 = 2/3 = τ ✓। अब शक्ति। परावर्तित शक्ति-अंश |Γ|² = 1/9 = 11.11 प्रतिशत है, और संरक्षण से पारेषित अंश 8/9 = 88.89 प्रतिशत होना ही चाहिए। किंतु |τ|² = 4/9 = 44.44 प्रतिशत है, जो इनमें कोई नहीं, और जो अभ्यर्थी 1 − |Γ|² = |τ|² लिखता है उसे 0.889 = 0.444 मिलता है और उसे चुनना पड़ता है कि दो सही-दिखती संख्याओं में कौन-सी दे। तत्समक 1 − |Γ|² = |τ|² परावैद्युत् अंतरापृष्ठ पर असत्य है, और कारण यह है कि τ क्षेत्र-आयामों का अनुपात है जबकि शक्ति क्षेत्र व प्रतिबाधा दोनों पर निर्भर है। सही लेखा प्रतिबाधा-अनुपात वहन करता है: पारेषित शक्ति-अंश = |τ|² × η₁/η₂ = (4/9)(376.73/188.37) = (4/9)(2) = 8/9 = 88.89 प्रतिशत ✓, और अब 11.11 + 88.89 = 100 ✓। वही क्षेत्र, आधी प्रतिबाधा के माध्यम में जाते हुए, दिए आयाम हेतु दोगुनी शक्ति वहन करता है — और ठीक वही लुप्त गुणनखंड है। जहाँ भोला तत्समक लागू होता ही है वह विशेष स्थिति ऐसी संचरण लाइन है जिसके पिंडित विच्छिन्नता के दोनों ओर वही Z₀ हो, और वहीं अधिकांश लोग उससे प्रथम बार मिलते हैं, और इसीलिए वह त्रुटि बची रहती है। यहाँ माध्यम 1 में अप्रगामी-तरंग अनुपात SWR = (1 + 1/3)/(1 − 1/3) = 2 है, और यदि आप तरंग दूसरी दिशा में भेजें, परावैद्युत् से वायु में, तो Γ का मान +1/3 होता, कला-प्रत्यावर्तन लुप्त हो जाता, और SWR फिर भी 2 पढ़ता — वही असुमेल, विपरीत कला।

तिर्यक् आपतन पर दो नई परिघटनाएँ प्रकट होती हैं, और दोनों ऐसे कोण हैं जो ठीक-ठीक गणित किए जा सकते हैं। स्नेल का नियम n₁ sin θ₁ = n₂ sin θ₂ दिशा शासित करता है, और जब तरंग घने से विरल की ओर चले तो एक क्रांतिक कोण है जिसके परे कोई पारेषित दिशा विद्यमान नहीं: θ_c = arcsin(n₂/n₁)। ε_r = 4 से, अतः n₁ = 2, वायु में, θ_c = arcsin(0.5) = 30°, और उस कोण के परे परावर्तन पूर्ण है। वही पूर्ण आंतरिक परावर्तन है और वही अगले अध्याय के प्रकाशिक तंतु की क्रियाविधि है। पृथक् रूप से, समांतर ध्रुवण हेतु — विद्युत् क्षेत्र आपतन-तल में — एक ऐसा कोण है जिस पर परावर्तन गुणांक ठीक शून्य है, ब्रूस्टर कोण tan θ_B = n₂/n₁। वायु से ε_r = 4 में, θ_B = arctan 2 = 63.435°, और उस आपतन पर अपवर्तित किरण arcsin(sin 63.435°/2) = 26.565° पर निकलती है, अतः θ_B + θ_t = 90° ठीक-ठीक — परावर्तित व अपवर्तित दिशाएँ लंबवत् हैं, जो उसी तथ्य का ज्यामितीय कथन है। लंबवत् ध्रुवण हेतु कोई ब्रूस्टर कोण नहीं है, और वही असममिति ठीक इसका कारण है कि मंद कोण पर जल से परावर्तित प्रकाश प्रबलतः ध्रुवित होता है, और ध्रुवक धूप-चश्मे क्यों चलते हैं।

ध्रुवण, तथा समूह वेग के सम्मुख कला वेग

ध्रुवण उस पथ का वर्णन करता है जिसे किसी नियत बिंदु पर समय बीतने के साथ विद्युत् क्षेत्र सदिश का सिरा अंकित करता है। +z में चलती तरंग का क्षेत्र दो अनुप्रस्थ घटकों के योग के रूप में लिखें और सब कुछ उनके सापेक्ष आयाम व सापेक्ष कला से निकलता है। यदि दोनों घटक समकला हों, तो योग नियत रेखा पर रहता है और तरंग रैखिकतः ध्रुवित है — E = x̂ 3 cos(ωt − βz) + ŷ 4 cos(ωt − βz), x अक्ष से arctan(4/3) = 53.13° पर रैखिक है। यदि आयाम समान हों और कलाएँ 90° से भिन्न हों, तो सिरा वृत्त अंकित करता है और तरंग वृत्तीय ध्रुवित है। अन्य कुछ भी दीर्घवृत्त अंकित करता है। दीर्घवृत्तीय तरंग का अक्षीय अनुपात दीर्घ व लघु अक्ष का अनुपात है: E = x̂ 3 cos(ωt − βz) + ŷ 4 sin(ωt − βz), 4 व 3 अर्ध-अक्षों वाला दीर्घवृत्त अंकित करता है, अतः अक्षीय अनुपात 4/3 = 1.333 है, अर्थात् 20 log₁₀(4/3) = 2.50 dB। पूर्णतः वृत्तीय तरंग का अक्षीय अनुपात 0 dB है और रैखिक का अनंत, अतः डेसिबल में अक्षीय अनुपात यह उद्धृत करने का मानक ढंग है कि किसी वास्तविक ऐंटेना का निर्गम कितना वृत्ताकार है।

ℹ️ दक्षिणावर्तता, उस अभिसमय द्वारा बताई गई जो उसे तय करता है
साहित्य में दक्षिणावर्तता के दो प्रतिद्वंद्वी अभिसमय हैं, अतः उसके विषय में प्रश्न का उत्तर तभी दिया जा सकता है जब आप बताएँ कि आप कौन-सा प्रयोग कर रहे हैं। यह अध्याय IEEE अभिसमय प्रयोग करता है, जिसका अनुसरण अभियांत्रिकी व ऐंटेना व्यवहार करता है: उपयुक्त हाथ का अँगूठा संचरण-दिशा के अनुदिश रखें, और यदि अंगुलियाँ उसी भाव में मुड़ें जिसमें क्षेत्र बढ़ते समय के साथ घूमता है, तो वही दक्षिणावर्तता है। उसे E = x̂ E₀ cos(ωt − βz) + ŷ E₀ sin(ωt − βz) पर लगाएँ, जो +z में संचरित है। z = 0 व t = 0 पर क्षेत्र +x के अनुदिश संकेत करता है; एक चौथाई आवर्त पश्चात्, ωt = 90° पर, वह +y के अनुदिश संकेत करता है। अतः घूर्णन x → y → −x → −y है। अब दायाँ अँगूठा +z के अनुदिश रखें: दाहिने हाथ की अंगुलियाँ ठीक उसी ढंग से मुड़ती हैं, अतः यह दक्षिण-हस्त वृत्तीय ध्रुवण है, और उसका फेज़र रूप मानक E₀(x̂ − j ŷ)e^(−jβz) है। ŷ पद का चिह्न उलटें, E = x̂ E₀ cos(ωt − βz) − ŷ E₀ sin(ωt − βz), और आपके पास LHCP है। प्रकाशिकी अभिसमय किरण के अनुदिश के बजाय उस पर पीछे देखता है और अतः उसी तरंग को वाम-हस्त कहता है, और इसीलिए बिना अभिसमय बताए नंगा 'दक्षिण-हस्त वृत्तीय' वस्तुतः द्वयर्थक है। दो परिणाम दक्षिणावर्तता को सही करने योग्य बनाते हैं। एक दक्षिणावर्तता का अभिग्राही ऐंटेना सिद्धांततः दूसरी की तरंग से पूर्णतः अंधा है, जो ध्रुवण-विविधता कड़ियों का तथा इस तथ्य का आधार है कि समतल चालक से परावर्तित वृत्तीय ध्रुवित संकेत अपनी दक्षिणावर्तता उलटी लेकर लौटता है और अतः निरस्त हो जाता है। और वृत्तीय तरंग ग्रहण करता रैखिक ऐंटेना ठीक आधी शक्ति उठाता है, नियत 3 dB ध्रुवण-हानि, रैखिक अवयव किसी भी दिशा में अभिविन्यस्त हो — और ठीक इसीलिए उपग्रह-नौवहन व प्रसारण कड़ियाँ वृत्तीय ध्रुवण प्रयोग करती हैं: वह अभिग्राही के अभिविन्यास को कड़ी-बजट से एक ज्ञात, अचर मूल्य पर हटा देता है।

कला वेग v_p = ω/β वह चाल है जिस पर अचर कला का बिंदु चलता है, और समूह वेग v_g = dω/dβ वह चाल जिस पर तरंग-पुलिंदा, और अतः सूचना, चलती है। अप्रकीर्णी माध्यम में β, ω का समानुपाती है और दोनों बराबर हैं। प्रकीर्णी माध्यम में वे बराबर नहीं, और अंतर लेखा-कृत्रिमता के बजाय वास्तविक व मापनीय प्रभाव है: v_p किसी भौतिक सिद्धांत के उल्लंघन के बिना c से अधिक हो सकता है, क्योंकि कोई ऊर्जा व कोई संकेत v_p पर नहीं चलता। जो कभी c से अधिक नहीं हो सकता वह v_g है। पाठ्यक्रम का स्वच्छतम यथातथ उदाहरण आयनित माध्यम से संचरण है, जैसे आयनमंडल, जहाँ सापेक्ष विद्युत्शीलता ε_r = 1 − (f_p/f)² है, जहाँ f_p प्लाज़्मा आवृत्ति है। f_p से नीचे विद्युत्शीलता ऋणात्मक है, β काल्पनिक है, और तरंग संचरित ही नहीं होती — वह परावर्तित हो जाती है, और ठीक इसी प्रकार दीर्घ-दूरी लघु-तरंग प्रसारण चलता है और इसीलिए प्रयोग्य बैंड दिन व रात के बीच खिसकता है।

🎯 1.25c का कला वेग, 0.8c का समूह वेग, तथा ठीक c² निकलता गुणनफल
f_p = 9 MHz प्लाज़्मा आवृत्ति वाली आयनित परत लें और उससे f = 15 MHz पर संकेत भेजें। तब ε_r = 1 − (9/15)² = 1 − 0.36 = 0.64, अतः अपवर्तनांक n = √0.64 = 0.8। कला वेग: v_p = c/n = 3 × 10⁸/0.8 = 3.75 × 10⁸ m/s, जो प्रकाश की चाल का 1.25 गुना है, और कुछ भी गलत नहीं। समूह वेग: उसे उद्धृत करने के बजाय व्युत्पन्न करें। β = (ω/c)√(1 − ω_p²/ω²) से आपको ω² = ω_p² + c²β² मिलता है, और अवकलन करने पर 2ω dω = 2c²β dβ, अतः v_g = dω/dβ = c²β/ω = c²/v_p। संख्यात्मक रूप से v_g = 9 × 10¹⁶/3.75 × 10⁸ = 2.4 × 10⁸ m/s = 0.8c, और ध्यान दें कि यह cn के बराबर है, अतः इस माध्यम में v_p = c/n तथा v_g = cn — c के दोनों ओर व्युत्क्रम गुणनखंड। गुणा करें: 3.75 × 10⁸ × 2.4 × 10⁸ = 9.0 × 10¹⁶ = c² ✓, ठीक-ठीक। संबंध v_p v_g = c² इस उदाहरण का संयोग नहीं बल्कि किसी भी ऐसे माध्यम का गुणधर्म है जिसका प्रकीर्णन ω² = ω₀² + c²β² रूप का हो, और वह अगले अध्याय की खोखली तरंग-निर्देशिका में अभिन्न रूप से पुनः आता है, जहाँ कटऑफ़ आवृत्ति f_p की भूमिका निभाती है। दो पाठ साथ ले जाने योग्य हैं। चूँकि यहाँ v_g < c सदा है, सूचना विलंबित है, शीघ्र नहीं — इस परत को पार करता 15 MHz संकेत मुक्त आकाश के सापेक्ष 1/0.8 = 1.25 के गुणनखंड से विलंबित होता है, और वह विलंब मापनीय है और आयनमंडलीय ध्वनन उसी प्रकार चलता है। और चूँकि v_g आवृत्ति पर निर्भर है, चौड़ा संकेत फैल जाता है: भिन्न आवृत्तियों के घटक भिन्न समयों पर पहुँचते हैं, वही प्रकीर्णन है, और वही परिघटना अगले अध्याय में प्रकाशिक तंतु की बिट-दर सीमित करती है। f को f_p = 9 MHz की ओर नीचे धकेलें और n → 0, अतः v_g → 0 और समूह पूर्णतः रुक जाता है — तरंग वापस मोड़ दी जाती है, और वही परावर्तन लघु-तरंग संचरण को संभव बनाता है।

परीक्षा-कौशल: समतल-तरंग प्रश्न हेतु संक्रियाओं का क्रम

EC पेपर 180 मिनट में 100 अंकों हेतु 65 प्रश्न वहन करता है, सामान्य अभिवृत्ति 10 प्रश्न 15 अंकों हेतु लेते हुए। इस खंड में समय का दबाव एक विशिष्ट ढंग से काटता है: लगभग प्रत्येक प्रश्न तीन-चार प्रतिस्थापनों की श्रृंखला है, और श्रृंखला में कहीं भी चूक स्पष्टतः निरर्थक के बजाय विश्वसनीय गलत संख्या देती है। अतः अंकन-नीति को आपकी आदतें आकार देनी चाहिए। गलत MCQ का मूल्य प्रश्न के मान का एक-तिहाई है, अतः वह विद्युत्-चुंबकत्व MCQ जिसे आप दो विकल्पों तक सीमित कर सकें उत्तर देने योग्य है जबकि अंधा चार-तरफ़ा अनुमान नहीं; MSQ व NAT पर ऋणात्मक अंकन नहीं, अतः प्रत्येक संख्यात्मक उत्तर आंशिक गणना से भी देने योग्य है। एकमात्र सर्वाधिक उपयोगी आदत मध्यवर्ती राशियाँ नियत क्रम में गणित करना और आगे बढ़ते हुए प्रत्येक को जाँचना है, चूँकि इस अध्याय के लगभग प्रत्येक परिणाम की एक स्वाभाविक प्रति-जाँच है जो कुछ सेकंड लेती है।

  1. पहले माध्यम का वर्गीकरण करें, σ/(ωε) से। 100 से ऊपर सुचालक सूत्र तथा δ = 1/√(πfµσ) प्रयोग करें; 0.01 से नीचे हानि-रहित; बीच में कोई लागू नहीं और आपको सामान्य γ चाहिए। अनुपात से पूर्व सूत्र चुनना आत्मविश्वास से गलत उत्तर तक का सर्वाधिक सामान्य मार्ग है।
  2. Γ को छूने से पूर्व दोनों माध्यमों हेतु η लिखें। η = √(µ/ε), अतः अचुंबकीय परावैद्युत् हेतु η = η₀/√ε_r। η₁ व η₂ लिख जाने पर Γ, τ, SWR तथा दोनों शक्ति-अंश यांत्रिक रूप से निकल आते हैं।
  3. 1 + Γ = τ जाँचें, तत्पश्चात् |τ|² η₁/η₂ प्रयोग करके जाँचें कि शक्तियों का योग एक है। दोनों जाँचें सेकंड लेती हैं। यदि |Γ|² + |τ|², 1 के अतिरिक्त कुछ निकले तो वह त्रुटि नहीं — प्रतिबाधा-गुणनखंड लुप्त है।
  4. कोई शक्ति लिखने से पूर्व बताएँ कि आप किस आयाम-अभिसमय में हैं। शिखर E₀ हेतु S_av = E₀²/2η, RMS हेतु E_rms²/η। दोनों ठीक दो से भिन्न हैं, जो 3 dB है, और इस खंड के अधिकांश गलत उत्तरों का आकार वही है।
  5. दक्षिणावर्तता तथा समूह वेग हेतु उत्तर में अभिसमय नाम लें। IEEE दक्षिणावर्तता संचरण-दिशा के अनुदिश देखती है; प्रकाशिकी अभिसमय उस पर पीछे देखता है और प्रत्येक लेबल उलट देता है। और v_p > c कभी संशोधित करने योग्य त्रुटि नहीं — बल्कि v_g जाँचें, तथा जहाँ प्रकीर्णन अनुमति दे वहाँ v_p v_g = c²।

मुख्य बिंदु

  • विस्थापन धारा ही मैक्सवेल के समुच्चय को स्व-संगत बनाती है, और वही रेडियो को संभव बनाती है। उसके बिना ऐम्पियर के नियम का अपसरण लें और आप ∇ · J = 0 में बाध्य हैं, जो आवेशित हो रहे संधारित्र का खंडन करता है; उसके साथ आप सांतत्य समीकरण ठीक-ठीक पुनः पाते हैं, और तत्पश्चात् बदलते E व H रिक्त आकाश में परस्पर एक-दूसरे को बनाए रख सकते हैं।
  • चालक अथवा परावैद्युत् आवृत्ति के विषय में कथन है, पदार्थ के विषय में नहीं। 1 GHz पर ताँबे हेतु σ/(ωε) का मान 1.04 × 10⁹ है; शुष्क मृदा हेतु वह 1 MHz पर 3.60 और 1 GHz पर 3.60 × 10⁻³ है — वही मृदा मध्यम तरंग पर हानियुक्त माध्यम है और माइक्रोवेव पर सुपरावैद्युत्। सूत्र चुनने से पूर्व अनुपात गणित करें।
  • दो सीमा-घटक सदा संतत हैं और दो छलाँगते हैं। स्पर्शीय E व अभिलंब B कभी नहीं छलाँगते; अभिलंब D व स्पर्शीय H, ρ_s व J_s जितना छलाँगते हैं। अतः ε_(r1) = 2 से ε_(r2) = 5 में E₁ = 5x̂ + 10ŷ + 3ẑ, 5x̂ + 10ŷ + 1.2ẑ बन जाता है, और tan θ₂/tan θ₁ = 9.317/3.727 = 2.5 = ε₂/ε₁ ✓।
  • η₀ = 376.73 Ω क्षेत्र-सामर्थ्य को शक्ति-घनत्व से बाँधता है, अतः कोई एक दूसरे को नियत कर देता है। मुक्त आकाश में शिखर E₀ = 10 V/m का H₀ = 26.54 mA/m है और वह E₀²/2η₀ = 133 mW/m² वहन करता है, ½E₀H₀ से पुष्ट। बताएँ कि आपका आयाम शिखर है या RMS — दोनों ठीक 3 dB से भिन्न हैं।
  • त्वचा गहराई 1/√(fσ) के रूप में चलती है, और वही तय करती है कि धातु कैसे प्रयुक्त हो। ताँबा 50 Hz पर 9.35 mm, 1 MHz पर 66.1 µm तथा 1 GHz पर 2.09 µm देता है, 1 GHz पर R_s = 1/(σδ) = 8.25 mΩ प्रति वर्ग सहित। पाँच त्वचा-गहराइयाँ लगभग 43 dB का परिरक्षण हैं, और इसीलिए माइक्रोवेव पुरजे लेपित होते हैं और शक्ति-बसबार खोखले।
  • परावैद्युत् अंतरापृष्ठ पर 1 − |Γ|² = |τ|² असत्य है। मुक्त आकाश से ε_r = 4 पर Γ = −1/3 तथा τ = 2/3 मिलता है, अतः |Γ|² = 11.11 प्रतिशत परावर्तित किंतु |τ|² = 44.44 प्रतिशत — पारेषित शक्ति |τ|² η₁/η₂ = 88.89 प्रतिशत है, और तभी लेखा बंद होता है।
  • क्रांतिक व ब्रूस्टर कोण यथातथ हैं और सरलता से भ्रमित होते हैं। n = 2 से वायु में θ_c = arcsin(0.5) = 30°; वायु से n = 2 में θ_B = arctan 2 = 63.435°, जिस पर अपवर्तित किरण 26.565° पर निकलती है ताकि θ_B + θ_t = 90°। ब्रूस्टर केवल समांतर ध्रुवण हेतु विद्यमान है।
  • v_p > c त्रुटि नहीं है, और जहाँ प्रकीर्णन अनुमति दे वहाँ v_p v_g = c²। f_p = 9 MHz वाले प्लाज़्मा में f = 15 MHz पर n = 0.8, अतः v_p = 3.75 × 10⁸ तथा v_g = 2.4 × 10⁸ m/s, गुणनफल ठीक 9 × 10¹⁶। सूचना v_g पर चलती है, जो कभी c से अधिक नहीं।

अभ्यास प्रश्न (8)

उत्तर खोलने से पहले प्रत्येक प्रश्न हल करें। हर व्याख्या सही विकल्प के साथ लुभावना गलत विकल्प भी बताती है, क्योंकि अंक वहीं जाते हैं।

  1. Maxwell ने Ampere के परिपथीय नियम के दाएँ पक्ष में विस्थापन धारा पद, अर्थात D का परिवर्तन दर, जोड़ा। संशोधित नियम का अपसरण लेने पर वह किस कथन के तुल्य सिद्ध होता है?

    1. J का अपसरण जमा आवेश घनत्व का परिवर्तन दर शून्य है, जो सांतत्य समीकरण है।
    2. J का अपसरण सर्वथा शून्य है, अतः आवेश कहीं भी संचित नहीं हो सकता।
    3. B का अपसरण शून्य है, अतः कोई पृथक चुंबकीय आवेश नहीं है।
    4. E का कर्ल B के परिवर्तन दर का ऋण है, जो Faraday का नियम है।
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — J का अपसरण जमा आवेश घनत्व का परिवर्तन दर शून्य है, जो सांतत्य समीकरण है।

    किसी भी कर्ल का अपसरण सर्वथा शून्य होता है, अतः संशोधित नियम का अपसरण लेने पर शून्य बराबर J का अपसरण जमा D के अपसरण का परिवर्तन दर मिलता है, और Gauss का नियम दूसरे पद को आवेश घनत्व के परिवर्तन दर से बदल देता है। यही ठीक सांतत्य समीकरण है, अतः विस्थापन पद वही है जो समुच्चय को आवेश संरक्षण के अनुरूप बनाता है। यह आकर्षक उत्तर कि J का अपसरण शून्य है, ठीक वही है जो असंशोधित नियम बाध्य करता है, और जब भी आवेश संचित होता है, जैसे आवेशित होते संधारित्र की प्लेटों पर, तब वह असत्य है। चुंबकीय Gauss नियम तथा Faraday नियम समुच्चय के पृथक समीकरण हैं।

  2. एक मिट्टी की चालकता 2 x 10^(-3) S/m तथा आपेक्षिक विद्युतशीलता 10 है, और मुक्त आकाश की विद्युतशीलता 8.854 x 10^(-12) F/m ली गई है। किस आवृत्ति से ऊपर उसका हानि स्पर्शज्या 0.01 से नीचे चला जाता है, जो वह देहली है जिस पर उसे अच्छा परावैद्युत माना जा सकता है?

    1. 36.0 MHz
    2. 359.5 MHz
    3. 2.26 GHz
    4. 3.60 GHz
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — 359.5 MHz

    हानि स्पर्शज्या चालन और विस्थापन धारा का अनुपात है, sigma बटा omega गुणा epsilon. पहले निरपेक्ष विद्युतशीलता बनाइए, 10 x 8.854 x 10^(-12) = 8.854 x 10^(-11) F/m. अनुपात 0.01 रखने पर omega = sigma/(0.01 epsilon) = 2 x 10^(-3)/(8.854 x 10^(-13)) = 2.259 x 10^9 rad/s, और आवृत्ति उसे 2 pi से भाग देने पर 3.595 x 10^8 Hz, अर्थात 359.5 MHz है। आकर्षक 2.26 GHz कोणीय आवृत्ति को आवृत्ति मानकर उद्धृत करता है, अतः वह ठीक 2 pi गुना बड़ा है और यही इस अंकगणित की सबसे सामान्य चूक है। मान 3.60 GHz 0.01 के बजाय 0.001 की देहली लेता है, और 36.0 MHz दूसरी दिशा में एक दशक खिसक जाता है।

  3. 1.5 GHz पर वायु में एक एकसमान समतल तरंग एक बड़ी पूर्णतः चालक चादर पर लंब आपतन से टकराती है, और c को 3 x 10^8 m/s लिया गया है। चादर के सामने कुल विद्युत क्षेत्र का पहला अधिकतम कितनी दूरी पर होता है?

    1. 25 mm
    2. 200 mm
    3. 50 mm
    4. 100 mm
    उत्तर देखें

    उत्तर: C — 50 mm

    पूर्ण चालक की नैज प्रतिबाधा शून्य है, अतः परावर्तन गुणांक ठीक ऋण एक है: परावर्तन पूर्ण है और कला उलटाव लाता है, जो सतह पर कुल स्पर्शीय विद्युत क्षेत्र को लुप्त कर देता है। तब आपतित और परावर्तित तरंगें एक अप्रगामी प्रतिरूप बनाती हैं जिसके शून्यक सतह पर और उससे हर आधी तरंगदैर्घ्य पर हैं, और अधिकतम ठीक बीच में, अतः पहला अधिकतम एक चौथाई तरंगदैर्घ्य दूर है। 1.5 GHz पर मुक्त-आकाश तरंगदैर्घ्य 3 x 10^8/1.5 x 10^9 = 200 mm है, अतः उत्तर 50 mm है। आकर्षक 100 mm आधी तरंगदैर्घ्य है, जो लगातार अधिकतमों के बीच की दूरी है, पहले अधिकतम की स्थिति नहीं।

  4. तल z = 0 पर कोई मुक्त पृष्ठ आवेश नहीं है और वह z < 0 को भरने वाले आपेक्षिक विद्युतशीलता 2 के परावैद्युत को z > 0 को भरने वाले आपेक्षिक विद्युतशीलता 8 के परावैद्युत से अलग करता है। पहले क्षेत्र में विद्युत क्षेत्र अंतरापृष्ठ के अभिलंब से 30 अंश का कोण बनाता है। दूसरे क्षेत्र में वह कितना कोण बनाता है?

    1. 49.1 अंश
    2. 8.2 अंश
    3. 60.0 अंश
    4. 66.6 अंश
    उत्तर देखें

    उत्तर: D — 66.6 अंश

    स्पर्शीय E अंतरापृष्ठ के आर-पार संतत है और पृष्ठ आवेश न होने पर अभिलंब D भी संतत है, जिसका अर्थ है कि E का अभिलंब घटक विद्युतशीलता अनुपात से घट जाता है। अभिलंब से कोण की स्पर्शज्या को स्पर्शीय घटक बटा अभिलंब घटक लेने पर दोनों शर्तें मिलकर tan(theta_2)/tan(theta_1) = epsilon_2/epsilon_1 = 4 देती हैं। अतः tan(theta_2) = 4 x tan(30) = 4 x 0.5774 = 2.309 और theta_2 = 66.6 अंश, जो सघन परावैद्युत में प्रवेश पर अभिलंब से दूर मुड़ा है। आकर्षक 49.1 अंश विद्युतशीलता अनुपात का वर्गमूल लेता है, जो Snell नियम की अपवर्तनांक मापनी उधार लेता है। मान 8.2 अंश अनुपात उल्टा लगाता है, और 60.0 अंश दिए गए कोण का पूरक है।

  5. ताँबे की चालकता 5.8 x 10^7 S/m तथा पारगम्यता मुक्त आकाश की 4 pi x 10^(-7) H/m है। 30 micrometre मोटी ताँबे की चादर 4 MHz पर परिरक्षक के रूप में प्रयुक्त होती है। चादर से गुजरने में क्षेत्र आयाम कितने decibel क्षीण होता है?

    1. 7.89 dB
    2. 3.94 dB
    3. 8.69 dB
    4. 0.91 dB
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — 7.89 dB

    इन आवृत्तियों पर ताँबा अच्छा चालक है, अतः त्वचा गहराई pi f mu sigma के वर्गमूल का व्युत्क्रम है। वह गुणनफल pi x 4 x 10^6 x 1.2566 x 10^(-6) x 5.8 x 10^7 = 9.159 x 10^8 है, जिसका वर्गमूल 3.026 x 10^4 है, अतः त्वचा गहराई 33.0 micrometre है। अतः चादर 30/33.0 = 0.908 त्वचा गहराई मोटी है, और आयाम उतने ही neper गिरता है। परिवर्तित करने पर 0.908 neper x 8.686 dB प्रति neper = 7.89 dB. आकर्षक 3.94 dB आयाम अनुपात पर 10 log लगाता है। मान 8.69 dB ठीक एक त्वचा गहराई का क्षय है, और 0.91 dB neper गणना को ही decibel मान लेता है।

  6. एक एकसमान समतल तरंग मुक्त आकाश में चलती है और 5 W/m^2 का काल-औसत शक्ति घनत्व वहन करती है, और मुक्त आकाश की नैज प्रतिबाधा 376.73 ohm ली गई है। उसके चुंबकीय क्षेत्र का शिखर आयाम क्या है?

    1. 0.0133 A/m
    2. 0.163 A/m
    3. 0.115 A/m
    4. 61.4 A/m
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — 0.163 A/m

    हानिरहित माध्यम में समतल तरंग का काल-औसत Poynting परिमाण शिखर विद्युत क्षेत्र गुणा शिखर चुंबकीय क्षेत्र का आधा है, और चूँकि दोनों नैज प्रतिबाधा से संबंधित हैं, इसे पूर्णतः H में eta गुणा H_0 वर्ग बटा दो लिखा जा सकता है। हल करने पर H_0 = (2 x 5/376.73) का वर्गमूल = 0.02654 का वर्गमूल = 0.163 A/m. आकर्षक 0.115 A/m वर्ग-माध्य-मूल मान है, जो शिखर बटा root दो है, और यही इस खंड की प्रसिद्ध तीन-decibel भूल है। मान 61.4 A/m संख्यात्मक रूप से volt प्रति metre में शिखर विद्युत क्षेत्र है, जो भाग के स्थान पर गुणा करने से आता है, और 0.0133 A/m बिना कोई वर्गमूल लिए शक्ति घनत्व को प्रतिबाधा से भाग देता है।

  7. मुक्त आकाश में चलती एक एकसमान समतल तरंग, जहाँ नैज प्रतिबाधा 376.73 ohm है, आपेक्षिक विद्युतशीलता 9 वाले एक हानिरहित अचुंबकीय परावैद्युत के समतल फलक पर लंब आपतन से टकराती है। इस अंतरापृष्ठ के विषय में निम्नलिखित में से कौन से कथन सही हैं?

    1. परावर्तन गुणांक -0.5 है, अतः आपतित शक्ति का एक चौथाई परावर्तित होता है।
    2. आपतित शक्ति का तीन चौथाई संचरित होता है, यद्यपि संचरण गुणांक का वर्ग केवल 0.25 है।
    3. संचरण गुणांक 1.5 है, क्योंकि यहाँ 2 eta_2/(eta_2 + eta_1) एक से अधिक है।
    4. चूँकि एक घटा परावर्तन गुणांक का वर्ग संचरण गुणांक के वर्ग के बराबर होना चाहिए, आपतित शक्ति का केवल एक चौथाई ही दूसरे माध्यम तक पहुँचता है।
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — परावर्तन गुणांक -0.5 है, अतः आपतित शक्ति का एक चौथाई परावर्तित होता है।; B — आपतित शक्ति का तीन चौथाई संचरित होता है, यद्यपि संचरण गुणांक का वर्ग केवल 0.25 है।

    दूसरा माध्यम अचुंबकीय है, अतः उसकी नैज प्रतिबाधा 376.73 बटा 9 का वर्गमूल, अर्थात 125.58 ohm है। तब परावर्तन गुणांक (125.58 - 376.73)/(125.58 + 376.73) = ठीक -0.5 है, और संचरण गुणांक उसमें 1 जोड़ने पर 0.5 है, जो यहाँ एक से कम है क्योंकि तरंग कम प्रतिबाधा वाले माध्यम में प्रवेश कर रही है। परावर्तित शक्ति अंश वर्ग परिमाण 0.25 है, अतः संरक्षण से तीन चौथाई संचरित होता है। यह सर्वसमिका कि एक घटा परावर्तन गुणांक का वर्ग संचरण गुणांक के वर्ग के बराबर है, परावैद्युत अंतरापृष्ठ पर असत्य है और यही जाल है: संचरित शक्ति संचरण गुणांक का वर्ग गुणा प्रतिबाधा अनुपात eta_1/eta_2 है, जो 0.25 x 3 = 0.75 है।

  8. धन z दिशा में चलती एक तरंग के विद्युत क्षेत्र का x घटक 8 V/m आयाम का तथा y घटक 6 V/m आयाम का है, और दोनों घटक ठीक समकला हैं। तरंग रैखिक ध्रुवित है; क्षेत्र सदिश x अक्ष से कितने कोण पर है?

    1. 53.13 अंश
    2. 45.00 अंश
    3. 26.57 अंश
    4. 36.87 अंश
    उत्तर देखें

    उत्तर: D — 36.87 अंश

    जब दो अनुप्रस्थ घटक ठीक समकला हों तब उनका योग सदा एक स्थिर रेखा पर रहता है, अतः तरंग रैखिक है और रेखा की दिशा केवल आयामों के अनुपात से तय होती है। x अक्ष से नापने पर वह कोण y आयाम बटा x आयाम का प्रतिस्पर्शज्या है, arctan(6/8) = arctan(0.75) = 36.87 अंश। आकर्षक 53.13 अंश वस्तुतः arctan(8/6) है, अर्थात y अक्ष से नापा गया कोण, और दोनों एक-दूसरे के पूरक हैं अतः जब तक प्रश्न में नामित संदर्भ अक्ष जाँचा न जाए दोनों प्रशंसनीय लगते हैं। मान 45.00 अंश के लिए समान आयाम चाहिए, और 26.57 अंश वस्तुतः arctan(0.5) है। इन असमान आयामों के साथ नब्बे अंश की कला भिन्नता दीर्घवृत्त देती।