स्थायित्व व अभिकल्पन: राउथ, निक्विस्ट, बोडे, मूल-बिंदुपथ, प्रतिपूरक तथा अवस्था मॉडल

LTI तंत्र स्थायी है जब उसके संवृत-पाश अंतरण फलन का प्रत्येक ध्रुव कड़ाई से वाम अर्धतल में हो, सीमांत स्थायी जब बाहर के एकमात्र ध्रुव ठीक काल्पनिक अक्ष पर अनावृत्त हों, और अन्यथा अस्थायी — जिसमें अक्ष पर आवृत्त युग्म की स्थिति भी सम्मिलित है, जो स्थिर दोलन के बजाय t·sin ωt की तरह बढ़ती है। चूँकि ध्रुव अभिलक्षण समीकरण के मूल हैं, स्थायित्व मूल-स्थितियों का प्रश्न है, और राउथ-हरविट्ज़ कसौटी एक भी मूल निकाले बिना उसका उत्तर देती है। दो प्रारंभिक जाँचें निःशुल्क मिलती हैं: यदि अभिलक्षण बहुपद का कोई गुणांक अनुपस्थित हो अथवा शेष से भिन्न चिह्न रखता हो, तो तंत्र पहले से स्थायी नहीं है, और किसी सरणी की आवश्यकता नहीं। वे आवश्यक शर्तें आश्चर्यजनक रूप से अनेक परीक्षा-बहुपदों को एक दृष्टि में पकड़ लेती हैं।

सरणी स्वयं अपने प्रथम स्तंभ में चिह्न-परिवर्तन गिनती है, और चिह्न-परिवर्तनों की संख्या दक्षिण अर्धतल के मूलों की संख्या के बराबर होती है। इसे अध्याय के चालू तंत्र हेतु बनाइए। G(s) = K/[s(s + 1)(s + 4)] तथा इकाई प्रतिपुष्टि के साथ अभिलक्षण समीकरण s(s + 1)(s + 4) + K = 0 है, अर्थात् s³ + 5s² + 4s + K = 0। s³ पंक्ति एकांतर गुणांक 1 व 4 है; s² पंक्ति शेष, 5 व K। s¹ प्रविष्टि (5 × 4 − 1 × K)/5 = (20 − K)/5 है, तथा s⁰ प्रविष्टि K। कोई चिह्न-परिवर्तन न हो, इस हेतु प्रथम स्तंभ सर्वत्र धनात्मक रहना चाहिए, जिसके लिए K > 0 तथा 20 − K > 0 चाहिए: पाश 0 < K < 20 हेतु स्थायी है। सीमा K = 20 पर s¹ पंक्ति लुप्त हो जाती है, और ऊपर की पंक्ति से बना सहायक बहुपद 5s² + 20 = 0, s = ±j2 देता है — अतः तंत्र K = 20 पर केवल अस्थायी नहीं होता, वह 2 rad/s पर दोलन करता है, और वह आवृत्ति उत्तर का उतना ही अंश है जितनी लब्धि।

दो बातें सरणी को रोक सकती हैं, और प्रत्येक की नियत प्रक्रिया व भौतिक अर्थ है। यदि प्रथम स्तंभ की एकल प्रविष्टि शून्य हो जबकि उसकी शेष पंक्ति नहीं, तो शून्य को लघु धनात्मक ε से बदलिए, आगे चलिए, और तत्पश्चात् ε → 0 पर चिह्नों की जाँच कीजिए। यदि पूरी पंक्ति शून्य हो जाए, तो बहुपद में मूल बिंदु के परितः सममित मूलों का समुच्चय है — या काल्पनिक अक्ष पर एक युग्म, या वास्तविक युग्म ±a, या एक चतुष्क। वहाँ प्रक्रिया यह है कि लुप्त पंक्ति के ऊपर वाली पंक्ति से सहायक बहुपद बनाइए, उसका s के सापेक्ष अवकलन कीजिए, और उन गुणांकों को प्रतिस्थापी पंक्ति के रूप में प्रयोग कीजिए।

शून्य-पंक्ति की स्थिति हल कीजिए, क्योंकि वही सीमांत स्थायी निर्णय देती है और अभ्यर्थी प्रायः उसे स्थायी अथवा अस्थायी बता देते हैं। लीजिए s⁴ + s³ + 3s² + 2s + 2 = 0। s⁴ पंक्ति 1, 3, 2 है और s³ पंक्ति 1, 2। तब s² पंक्ति (1 × 3 − 1 × 2)/1 = 1 तथा (1 × 2 − 1 × 0)/1 = 2 है। s¹ पंक्ति (1 × 2 − 1 × 2)/1 = 0 होगी — पूरी पंक्ति लुप्त। अतः s² पंक्ति से सहायक बहुपद बनाइए: s² + 2 = 0, जिसके मूल s = ±j1.414 हैं। अवकलन 2s देता है, अतः प्रतिस्थापी s¹ पंक्ति 2, 0 है, और s⁰ पंक्ति 2। प्रथम स्तंभ 1, 1, 1, 2, 2 पढ़ता है — कोई चिह्न-परिवर्तन नहीं, अतः दक्षिण अर्धतल में कोई मूल नहीं — परंतु दो मूल ठीक काल्पनिक अक्ष पर बैठे हैं, अतः निर्णय सीमांत स्थायी है, स्थायी नहीं।

इसे स्वतंत्र रूप से जाँचिए, क्योंकि जब सरणी कुछ असामान्य करे तब राउथ निर्णय की पुष्टि करना उपयोगी है। बहुपद (s² + 2)(s² + s + 1) के रूप में गुणनखंडित होता है, जिसका विस्तार s⁴ + s³ + s² + 2s² + 2s + 2 = s⁴ + s³ + 3s² + 2s + 2 है — मूल बहुपद। अतः चार मूल हैं: प्रथम गुणनखंड से ±j1.414 तथा द्वितीय से −0.5 ± j0.866: दो अक्ष पर और दो आराम से वाम अर्धतल में, ठीक जैसा सरणी ने कहा। भौतिक पठन यह है कि यह तंत्र 1.414 rad/s पर चालित होने पर बिना बढ़े या क्षीण हुए सदैव गूँजता रहेगा, जो वास्तविक व्यवहार है, कोई परिकलनीय कृत्रिमता नहीं — एक अनवमंदित मोड जिसका वर्णन न पिछले अध्याय के क्षणिक सूत्र कर सकते हैं न कोई स्थिरीकरण-समय विशिष्टि।

मूल-बिंदुपथ वह मार्ग है जो संवृत-पाश ध्रुव तब खींचते हैं जब एक प्राचल, प्रायः लब्धि K, 0 से अपरिमित तक चलता है। उसकी परिभाषक शर्त कोण शर्त है: बिंदु s बिंदुपथ पर है जब विवृत-पाश शून्यकों से s तक के कोणों का योग, विवृत-पाश ध्रुवों से s तक के कोणों के योग में से घटाकर, 180° का विषम गुणज हो। शेष सब उसका परिणाम है, और छह रचना नियम प्रत्येक परीक्षणीय आरेख को आवृत कर लेते हैं। बिंदुपथ की शाखाएँ उतनी ही हैं जितने विवृत-पाश ध्रुव, वह K = 0 पर ध्रुवों से आरंभ होता है, और K → ∞ पर शून्यकों अथवा अपरिमित पर समाप्त होता है। वह वास्तविक अक्ष के परितः सममित है, क्योंकि संकर ध्रुव संयुग्मी युग्मों में आते हैं। वास्तविक अक्ष का बिंदु बिंदुपथ पर है जब उसके दाईं ओर के वास्तविक ध्रुवों व शून्यकों की संख्या विषम हो। अपरिमित की ओर जाती n − m शाखाएँ (2q + 1)180°/(n − m) कोणों पर स्पर्शरेखाओं के साथ निकलती हैं, जो सभी केंद्रक σ_a = [Σ(ध्रुव) − Σ(शून्यक)]/(n − m) से विकिरित होती हैं।

G(s) = K/[s(s + 1)(s + 4)] हेतु आरेख बनाइए, जिसके तीन विवृत-पाश ध्रुव 0, −1 व −4 पर हैं और जिसका कोई परिमित शून्यक नहीं। तीन शाखाएँ हैं और n − m = 3, अतः स्पर्शरेखाएँ 60°, 180° व 300° पर हैं, जो σ_a = (0 − 1 − 4)/3 = −1.667 से विकिरित होती हैं। वास्तविक अक्ष खंड −1 ≤ s ≤ 0 तथा s ≤ −4 हैं, क्योंकि उन्हीं बिंदुओं के दाईं ओर विषम गणना है। 0 व −1 के बीच के खंड की दोनों शाखाएँ परस्पर निकट आती हैं और अक्ष छोड़ना ही पड़ता है, और विच्छेद बिंदु K = −s(s + 1)(s + 4) = −(s³ + 5s² + 4s) लिखकर dK/ds = 0 रखने से मिलता है, जो 3s² + 10s + 4 = 0 तथा s = −0.465 या s = −2.869 देता है। इनमें केवल पहला बिंदुपथ पर है, अतः शाखाएँ s = −0.465 पर विच्छिन्न होती हैं, जहाँ लब्धि K = 0.879 है। K और बढ़ने पर युग्म बाहर की ओर झूलता है और K = 20 पर s = ±j2 पर काल्पनिक अक्ष पार करता है, जहाँ राउथ सरणी ने उसे रखा था।

बोडे आरेख डेसिबल में विवृत-पाश परिमाण तथा डिग्री में कला है, दोनों log ω के सामने, और उसका मूल्य यह है कि श्रेणीबद्ध ब्लॉक गुणा होने के बजाय जुड़ते हैं। रेखाचित्र से पूर्व पाश-लब्धि काल-नियतांक रूप में लिखिए। K = 8 हेतु चालू तंत्र G(s) = 8/[s(s + 1)(s + 4)] = 2/[s(1 + s)(1 + s/4)] बनता है, अतः बोडे लब्धि 2 है, मूल बिंदु पर एक ध्रुव है और कोने की आवृत्तियाँ 1 व 4 rad/s पर हैं। अतः परिमाण स्पर्शरेखा −20 dB/दशक से आरंभ होती है, ω = 1 पर −40 और ω = 4 पर −60 तक तीव्र होती है, जबकि कला −90° से आरंभ होकर −270° की ओर गिरती है। प्रत्येक प्रथम कोटि ध्रुव अपने कोने पर −45° तथा उससे पर्याप्त ऊपर −90° देता है, जो एक भी प्रतिस्पर्शज्या परिकलित किए बिना कला का रेखाचित्र बनाने हेतु पर्याप्त है।

तत्पश्चात् दो आवृत्तियाँ पूरा स्थायित्व प्रश्न उठाती हैं। लब्धि प्रतिच्छेद ω_gc वहाँ है जहाँ परिमाण 0 dB पार करता है, और कला उपांत 180° जोड़ वहाँ की कला है। कला प्रतिच्छेद ω_pc वहाँ है जहाँ कला −180° पार करती है, और लब्धि उपांत वहाँ के परिमाण का व्युत्क्रम है, dB में उद्धृत। K = 8 हेतु दोनों यथार्थ परिकलित कीजिए। कला −180° तब पहुँचती है जब tan⁻¹ω + tan⁻¹(ω/4) = 90°, जो ω_pc = 2 rad/s पर होता है — वही 2 rad/s जो राउथ सरणी व मूल-बिंदुपथ ने दिया। वहाँ परिमाण 8/(2 × √5 × √20) = 8/20 = 0.4 है, अतः लब्धि उपांत 1/0.4 = 2.5, अर्थात् 7.96 dB है। लब्धि प्रतिच्छेद हेतु ω²(ω² + 1)(ω² + 16) = 64 हल कीजिए, जिससे ω_gc = 1.216 rad/s मिलता है, जहाँ कला −90° − 50.6° − 16.9° = −157.5° है, अतः कला उपांत 22.5° है। दोनों उपांत धनात्मक हैं, अतः पाश स्थायी है — और लब्धि उपांत 2.5 ठीक 20/8 है, अर्थात् क्रांतिक लब्धि व प्रयुक्त लब्धि का अनुपात, और जब केवल K परिवर्तित हो रहा हो तब लब्धि उपांत का अर्थ यही है।

बोडे के उपांत यह मान लेते हैं कि धनात्मक उपांत का अर्थ स्थायित्व है, जो सामान्य पाशों हेतु सत्य है परंतु सार्वत्रिक नहीं। निक्विस्ट कसौटी सामान्य कथन है, और वह सम्पूर्ण दक्षिण अर्धतल को घेरने वाले संवृत परिपथ को G(s)H(s) द्वारा प्रतिचित्रित कर यह गिनने से आती है कि प्रतिबिंब बिंदु −1 को कैसे लपेटता है। स्मरण रखने योग्य रूप में, Z = P − N, जहाँ P दक्षिण अर्धतल में विवृत-पाश ध्रुवों की संख्या है, N पूर्ण निक्विस्ट आरेख द्वारा −1 के वामावर्त परिवेष्टनों की संख्या है, तथा Z दक्षिण अर्धतल में संवृत-पाश ध्रुवों की संख्या। स्थायित्व का अर्थ Z = 0 है। दो यांत्रिक विवरण प्रश्नों में अधिकांश हानि करते हैं: आरेख में ऋणात्मक ω हेतु दर्पण प्रतिबिंब सम्मिलित होना चाहिए, तथा ठीक मूल बिंदु पर के ध्रुव को दक्षिण अर्धतल में लघु अर्धवृत्तीय चक्कर से बचाया जाता है, जो एक बड़े चाप में प्रतिचित्रित होता है जिसे खींचना ही पड़ता है अन्यथा परिवेष्टन गणना गलत हो जाएगी।

K = 8 सहित चालू पाश हेतु आरेख का वर्णन कीजिए, क्योंकि देखने योग्य कोई चित्र नहीं है। अत्यंत निम्न आवृत्ति पर परिमाण विशाल है और कला −90° की ओर जाती है, अतः आरेख तृतीय चतुर्थांश में गहरे, अपरिमित से भीतर आता है, तथा ऊर्ध्व रेखा Re = −K_b(T_1 + T_2) = −2(1 + 0.25) = −2.5 का अनुगामी रहता है, जहाँ K_b = 2 बोडे लब्धि है। ω बढ़ने पर कला 1.216 rad/s पर −157.5° से नीचे जाती है, जहाँ परिमाण ठीक 1 है, और 2 rad/s पर −180° पहुँचती है, जहाँ आरेख ऋण वास्तविक अक्ष को −0.4 पर काटता है। उससे आगे परिमाण गिरता रहता है और कला −270° की ओर बढ़ती है, अतः वक्र धन काल्पनिक अक्ष की दिशा से मूल बिंदु में समा जाता है। ऋणात्मक ω हेतु दर्पण प्रतिबिंब परिपथ पूरा करता है, और मूल बिंदु के ध्रुव के चारों ओर का चक्कर दोनों अपरिमित छोरों को एक बड़े दक्षिणावर्त चाप से जोड़ता है। बिंदु −1 इस वक्र के बाहर है — −0.4 का प्रतिच्छेदन उसके दाईं ओर है — अतः N = 0, और चूँकि 0, −1 व −4 पर के विवृत-पाश ध्रुवों में कोई खुले दक्षिण अर्धतल में नहीं, अतः P = 0। अतः Z = 0 − 0 = 0 और पाश स्थायी है, जो अन्य तीनों विधियों से सहमत है।

अब लब्धि बढ़ाइए और कसौटी को वह कार्य करते देखिए जिसे बोडे उपांत इतने स्वच्छ रूप से नहीं कह सकता। वास्तविक-अक्ष प्रतिच्छेदन −K/20 पर बैठता है, क्योंकि 2 rad/s पर परिमाण K/20 है। K = 20 पर प्रतिच्छेदन ठीक −1 पर है और आरेख क्रांतिक बिंदु से गुजरता है, जो सीमांत स्थिति है। K = 40 पर प्रतिच्छेदन −2 पर है, बिंदु −1 अब घिरा हुआ है, और आरेख उसे दो बार दक्षिणावर्त परिवेष्टित करता है, अतः N = −2 तथा Z = 0 − (−2) = 2: दक्षिण अर्धतल में दो संवृत-पाश ध्रुव, जो ठीक वही संकर युग्म है जिसे मूल-बिंदुपथ अक्ष के पार ले गया था। परिवेष्टन गणना का प्रतिफल यही है — वह केवल अस्थायी नहीं कहती, वह कितने अस्थायी ध्रुव हैं यह कहती है, जो कोई लब्धि उपांत आपको नहीं बता सकता।

जब केवल लब्धि विशिष्टि पूरी न कर सके — और प्रायः नहीं कर सकती, क्योंकि K बढ़ाना स्थायी-अवस्था त्रुटि सुधारता है और उसी समय कला उपांत नष्ट करता है — तब आप ऐसा जाल जोड़ते हैं जो पाश को पुनः आकार देता है। अग्र प्रतिपूरक G_c(s) = (1 + aTs)/(1 + Ts), जहाँ a > 1, अपना शून्यक −1/(aT) पर अपने ध्रुव −1/T की तुलना में मूल बिंदु के निकट रखता है, और एक पट्टी पर धनात्मक कला देता है। उसकी अधिकतम अग्र कला sin φ_m = (a − 1)/(a + 1) संतुष्ट करती है और दोनों कोने-आवृत्तियों के गुणोत्तर माध्य ω_m = 1/(T√a) पर होती है, जहाँ उसका परिमाण √a है। पश्च प्रतिपूरक वही रूप है जिसमें ध्रुव मूल बिंदु के निकट होता है: वह ऋणात्मक कला देता है, जो व्यर्थ लगता है, परंतु उसका वास्तविक कार्य 20 log b डेसिबल का उच्च-आवृत्ति क्षीणन है, जो लब्धि प्रतिच्छेद को उस आवृत्ति तक नीचे खींच लाता है जहाँ संयंत्र की अपनी कला अभी स्वस्थ है।

एक अभिकल्पित कीजिए, क्योंकि बीजगणित संक्षिप्त है और संख्याएँ ही उत्तर हैं। K = 8 पर चालू पाश का कला उपांत 22.5° था, और मानिए विशिष्टि लगभग 50° की है। कमी लगभग 28° है, और अग्र जाल को कमी से कुछ अधिक देना चाहिए क्योंकि उसे जोड़ने से प्रतिच्छेद उच्चतर आवृत्ति पर चला जाता है जहाँ संयंत्र की कला अधिक बुरी है — अतः 30° हेतु अभिकल्पन कीजिए। तब sin 30° = 0.5 = (a − 1)/(a + 1) से a = 3 मिलता है। ω_m को वहाँ रखिए जहाँ नया प्रतिच्छेद होगा, मानिए 2 rad/s: T = 1/(ω_m√a) = 1/(2 × 1.732) = 0.2887 s, अतः aT = 0.866 तथा G_c(s) = (1 + 0.866s)/(1 + 0.2887s)। उसका शून्यक −1.155 पर और ध्रुव −3.464 पर है, और ω_m पर वह √3 = 1.732, अर्थात् 4.77 dB लब्धि जोड़ता है — और इसीलिए प्रतिच्छेद हिलता है और इसीलिए जोड़ने के पश्चात् अभिकल्पन मान लेने के बजाय जाँचना पड़ता है।

PID नियंत्रक G_c(s) = K_p + K_i/s + K_d s है, और तीनों पद तीन भिन्न शिकायतों का उत्तर देते हैं। समानुपाती क्रिया मूल चालन देती है, और K_p बढ़ाना स्थायी-अवस्था त्रुटि घटाता व अनुक्रिया तीव्र करता है जबकि अवमंदन घटाता है। समाकल क्रिया मूल बिंदु पर ध्रुव जोड़ती है, जो तंत्र प्रकार एक से बढ़ाती है और अतः संबंधित स्थायी-अवस्था त्रुटि को ठीक शून्य कर देती है — यही एकमात्र पद है जो ऐसा कर सकता है — निम्न आवृत्ति पर −90° कला की कीमत पर, जो सीधे उपांत खा जाती है। अवकलज क्रिया शून्यक जोड़ती है, जो धनात्मक कला व अवमंदन देती है, और इसीलिए वह अतिप्रवाह व स्थिरीकरण समय घटाती है; वह किसी स्थायी-अवस्था त्रुटि को नहीं बदलती, क्योंकि अचर का अवकलज शून्य है।

दो संक्षिप्त अभिकल्पन बीजगणित को मूर्त कर देते हैं। प्रथम, संयंत्र G(s) = 1/[s(s + 2)] पर इकाई प्रतिपुष्टि व G_c(s) = K_p + K_d s सहित PD अभिकल्पन। संवृत-पाश अभिलक्षण समीकरण s² + (2 + K_d)s + K_p = 0 है। ω_n = 6 rad/s तथा ζ = 0.7 माँगिए: अचर पद मिलाने से K_p = ω_n² = 36, तथा मध्य पद मिलाने से 2 + K_d = 2ζω_n = 8.4, अतः K_d = 6.4। ध्यान दीजिए कि यह कितना सीधा था — अवकलज लब्धि पूर्णतः अवमंदन पद में उतरती है और समानुपाती लब्धि पूर्णतः ω_n में, और इसीलिए द्वितीय कोटि संयंत्र पर PD अभिकल्पन दो पंक्तियों का परिकलन है। द्वितीय, प्रथम कोटि संयंत्र G(s) = 5/(s + 5) पर PI अभिकल्पन। K_p = 4 पर समानुपाती नियंत्रण के साथ संवृत पाश 20/(s + 25) है, जिसकी DC लब्धि 20/25 = 0.8 है, जो 0.2 की पग त्रुटि छोड़ती है — जो संयंत्र की अपनी DC लब्धि 1 के साथ 1/(1 + K_p × 1) है। समाकल पद जोड़िए और पाश प्रकार 1 बन जाता है, अतः पग त्रुटि ठीक शून्य हो जाती है, K_i कितना ही अल्प हो; K_i यह नियंत्रित करता है कि वहाँ पहुँचने में कितना समय लगे और कितना उपांत बचे।

अवस्था मॉडल एक उच्च कोटि अवकल समीकरण के स्थान पर प्रथम कोटि सदिश समीकरण ẋ = Ax + Bu तथा y = Cx + Du रखता है, और उसका लाभ यह है कि वह उन आंतरिक चरों को साथ रखता है जिन्हें अंतरण फलन फेंक चुका है। अंतरण फलन से मॉडल तक पहुँचना नियंत्रणीय सहचर रूप में यांत्रिक है: Y/U = 1/(s² + 3s + 2) हेतु x_1 = y तथा x_2 = ẏ लीजिए, और अवकल समीकरण ÿ + 3ẏ + 2y = u बन जाता है A = [[0, 1], [−2, −3]], B = [0; 1], C = [1, 0] तथा D = 0। A का प्रतिरूप देखिए: निचली पंक्ति अभिलक्षण गुणांकों का उलटे क्रम में ऋण है, और शेष विस्थापित तत्समक है, अतः आव्यूह हर से देखकर ही लिखा जा सकता है।

दूसरी दिशा में जाने हेतु एक सूत्र चाहिए, Y/U = C(sI − A)^(−1)B + D। यहाँ sI − A = [[s, −1], [2, s + 3]] है, जिसका निर्धारक s(s + 3) + 2 = s² + 3s + 2 है — पहले से अभिलक्षण बहुपद, और यही स्मरण रखने योग्य सामान्य तथ्य है: तंत्र के ध्रुव A के आइगेन मान हैं, अतः स्थायित्व केवल A का प्रश्न है और उसे किसी अंतरण फलन की आवश्यकता ही नहीं। प्रतिलोम (1/Δ)[[s + 3, 1], [−2, s]] है जहाँ Δ = s² + 3s + 2, और C(sI − A)^(−1)B ऊपर-दाईं प्रविष्टि को Δ से भाजित चुन लेता है, जो 1/(s² + 3s + 2) देकर मूल अंतरण फलन पुनः प्राप्त कर देता है। आइगेन मान −1 व −2 हैं, दोनों वाम अर्धतल में, अतः तंत्र स्थायी है।

अवस्था समीकरण के हल के दो भाग हैं, x(t) = e^(At)x(0) + ∫₀^t e^(A(t − τ))Bu(τ) dτ, और आव्यूह चरघातांकी तक का व्यावहारिक मार्ग e^(At) = L^(−1){(sI − A)^(−1)} है, जो ऊपर पहले ही परिकलित है। प्रत्येक प्रविष्टि का प्रतिलोम लेने पर e^(At) = [[2e^(−t) − e^(−2t), e^(−t) − e^(−2t)], [−2e^(−t) + 2e^(−2t), −e^(−t) + 2e^(−2t)]]। दो जाँचें इसे विश्वसनीय बनाती हैं: t = 0 पर प्रत्येक प्रविष्टि तत्समक आव्यूह में सिमट जाती है, जैसा होना ही चाहिए, तथा चूँकि इस सहचर रूप में x_2 = ẋ_1 है, दूसरी पंक्ति पहली का अवकलज होनी चाहिए, और वह है। x(0) = [1; 0] तथा निवेश के अभाव में मुक्त अनुक्रिया x_1(t) = 2e^(−t) − e^(−2t) है, जो 1 से आरंभ होकर 0 तक क्षीण होती है। इसके बजाय इकाई पग निवेश जोड़िए, तो प्रणोदित निर्गम 1/[s(s + 1)(s + 2)] का प्रतिलोम रूपांतर है, जो y(t) = 0.5 − e^(−t) + 0.5e^(−2t) है — t = 0 पर शून्य और 0.5 पर स्थिर, जो अंतरण फलन की DC लब्धि 1/2 से मेल खाता है।