नियंत्रण तंत्र का मॉडलन: प्रतिपुष्टि, अंतरण फलन तथा अनुक्रिया
1/(1 + sτ) हैं, और इसीलिए यह खंड नेटवर्क व संकेत के साथ सहज बैठता है, उससे पृथक् नहीं। दूसरी यह कि कुछ भी परिकलित करने से पूर्व मानक रूप पहचान लें: ω_n²/(s² + 2ζω_n s + ω_n²) पहचानिए और दो संख्याओं से आठ काल-प्रांत व आवृत्ति-प्रांत परिणाम निकल आते हैं। पेपर 65 प्रश्न, 100 अंक, 180 मिनट का है, जिसमें सामान्य अभिवृत्ति 10 प्रश्न, 15 अंक लेती है; गलत MCQ उस प्रश्न के अंकों का एक तिहाई काटता है, जबकि MSQ व NAT पर ऋणात्मक अंकन नहीं, और चूँकि अधिकांश नियंत्रण प्रश्न संख्यात्मक होते हैं, आपको कोई NAT रिक्त नहीं छोड़ना चाहिए।अवयव, तथा प्रतिपुष्टि वस्तुतः क्या देती है
नियंत्रण पाश के पाँच क्रियात्मक भाग हैं, और आपको मिलने वाली प्रत्येक भौतिक युक्ति उनमें से एक है। संदर्भ अथवा आदेश निवेश बताता है कि क्या चाहिए; त्रुटि संसूचक उसमें से मापन घटाता है; नियंत्रक व प्रवर्धक उस त्रुटि को चालक संकेत में बदलते हैं; प्रवर्तक व संयंत्र चालन को गति, ऊष्मा अथवा वोल्टता में बदलते हैं; और संवेदक अथवा ट्रांसड्यूसर परिणाम मापकर पाश बंद करता है। भाग का नाम जानने से अधिक महत्वपूर्ण है वह अंतरण फलन जानना जो वह योगदान करता है, और EC हेतु मानक फलन थोड़े हैं: पोटेंशियोमीटर शुद्ध लब्धि K_p वोल्ट प्रति रेडियन देता है; टैकोजनित्र K_t वोल्ट प्रति रेडियन प्रति सेकंड देता है, जो प्रच्छन्न रूप में अवकलज मापन है; गियर श्रेणी अनुपात N_1/N_2 देती है और कुछ नहीं; आर्मेचर वोल्टता से चालित DC सर्वोमोटर θ(s)/V(s) = K/[s(1 + sτ_m)] देता है; तथा ऑप-ऐंप समाकलक −1/(RCs) देता है। ध्यान दीजिए कि मोटर पहले से एक निःशुल्क समाकलन रखती है, और इसीलिए इतने पाठ्यपुस्तकीय पाश किसी के जान-बूझकर समाकलक जोड़े बिना ही प्रकार 1 होते हैं।
अब प्रतिपुष्टि सिद्धांत स्वयं, जिसे संख्याओं सहित करना उपयोगी है क्योंकि प्रभाव का परिमाण ही मुख्य बात है। लब्धि G = 100 का विवृत-पाश पथ ठीक 100 देता है, और यदि संयंत्र दस प्रतिशत विचलित हो तो निर्गम दस प्रतिशत विचलित होता है। H = 1 से पाश बंद कीजिए और लब्धि G/(1 + GH) = 100/101 = 0.9901 हो जाती है — लब्धि का ढहना, जो लागत है। अब G को दस प्रतिशत घटाकर 90 कीजिए: संवृत-पाश लब्धि 90/91 = 0.9890 हो जाती है, अर्थात् केवल 0.11 % का परिवर्तन। क्रियाविधि है संवेदिता S = 1/(1 + GH) = 1/101 ≈ 0.0099, अतः संयंत्र में भिन्नात्मक परिवर्तन निर्गम पर लगभग सौ से भाजित होकर प्रकट होता है। प्रतिपुष्टि का सम्पूर्ण सौदा एक पंक्ति में यही है: आप लब्धि छोड़ते हैं, जिसे प्रवर्धक से बदलना सस्ता है, और असंवेदिता खरीदते हैं, जो अन्य किसी प्रकार से खरीदी नहीं जा सकती।
| गुण | विवृत पाश | संवृत पाश | परिवर्तन की दिशा |
|---|---|---|---|
| समग्र लब्धि | 100, कच्ची लब्धि | 0.9901, लगभग इकाई | 1 + GH गुणक से घटी |
| 10 % संयंत्र विचलन का प्रभाव | निर्गम पर 10 % | निर्गम पर 0.11 % | लगभग 1 + GH से भाजित |
| संयंत्र के पश्चात् प्रवेश करता निर्गम विक्षोभ | बिना क्षीणन पार हो जाता है | 1 + GH से क्षीणित | अस्वीकृत, जो सामान्य अभिकल्पन कारण है |
| बैंडविड्थ | संयंत्र के अपने ध्रुव से निर्धारित | चौड़ी, एक ध्रुव हेतु लगभग 1 + GH गुना | तीव्रतर, और अतः अधिक रवयुक्त |
| स्थायित्व | संयंत्र स्थायी हो तो सुनिश्चित | बिल्कुल सुनिश्चित नहीं | एकमात्र वस्तु जिसे प्रतिपुष्टि नष्ट कर सकती है |
अंतरण फलन, ध्रुव तथा मानक द्वितीय कोटि रूप
रैखिक काल-अपरिवर्ती तंत्र हेतु अंतरण फलन निर्गम के लाप्लास रूपांतर व निवेश के लाप्लास रूपांतर का अनुपात है, जहाँ समस्त आरंभिक शर्तें शून्य हों, और वह अंतिम उपवाक्य सजावट नहीं: वही कारण है कि अंतरण फलन प्रणोदित अनुक्रिया का वर्णन करता है और यह सीधे कुछ नहीं बताता कि तंत्र कहाँ से आरंभ हुआ। उसका हर शून्य रखने पर अभिलक्षण समीकरण मिलता है, जिसके मूल ध्रुव हैं, और स्वाभाविक अनुक्रिया का आकार केवल ध्रुव तय करते हैं — −a पर वास्तविक ध्रुव e^(−at) देता है, −σ ± jω पर संकर युग्म e^(−σt) गुणा ω पर ज्यावक्रीय देता है, तथा दक्षिण अर्धतल का ध्रुव बढ़ता चरघातांकी देता है। शून्यक यह नहीं बदलते कि कौन-से चरघातांकी प्रकट होंगे; वे यह बदलते हैं कि प्रत्येक कितना प्रकट होगा, और दक्षिण अर्धतल का शून्यक अनन्यूनतम-कला तंत्र का अभिलाक्षणिक आरंभिक अध:प्रवाह उत्पन्न करता है।
इस खंड का लगभग प्रत्येक परीक्षणीय परिणाम मानक द्वितीय कोटि रूप T(s) = ω_n²/(s² + 2ζω_n s + ω_n²) हेतु कथित है, अतः कुछ भी करने से पूर्व दिए गए हर से ω_n व ζ पढ़ना सीखिए। लीजिए T(s) = 25/(s² + 6s + 25)। अचर पद मिलाने से ω_n² = 25, अतः ω_n = 5 rad/s; s पद मिलाने से 2ζω_n = 6, अतः ζ = 6/10 = 0.6। तब ध्रुव −ζω_n ± jω_n√(1 − ζ²) = −3 ± j4 पर हैं, और अवमंदित प्राकृतिक आवृत्ति ω_d = 4 rad/s काल्पनिक भाग है — एक उपयोगी जाँच, क्योंकि 3² + 4² = 5² का अर्थ है कि ध्रुव ω_n त्रिज्या के वृत्त पर उस कोण पर स्थित हैं जिसकी कोज्या ζ है। वह ज्यामितीय पठन साथ रखने योग्य है: मूल बिंदु से दूरी ω_n है, तथा ऋण वास्तविक अक्ष से कोण की कोज्या ζ है, और अगले अध्याय में मूल-बिंदुपथ आरेख से अवमंदन एक दृष्टि में इसी प्रकार पढ़ा जाता है।
ζ का परिसर | ध्रुव स्थितियाँ | पग अनुक्रिया |
|---|---|---|
अनवमंदित, ζ = 0 | ± jω_n पर काल्पनिक अक्ष पर युग्म | अनवमंदित, ω_n पर सदैव दोलन करती है |
अल्पावमंदित, 0 < ζ < 1 | −ζω_n ± jω_n√(1 − ζ²) पर संकर युग्म | अल्पावमंदित: अतिप्रवाह, तत्पश्चात् घंटी की तरह शांत |
क्रांतिक अवमंदित, ζ = 1 | −ω_n पर दो संपाती वास्तविक ध्रुव | क्रांतिक अवमंदित: बिना अतिप्रवाह सर्वाधिक तीव्र |
अत्यवमंदित, ζ > 1 | दो पृथक् वास्तविक ध्रुव, एक प्रभावी | अत्यवमंदित: कोई अतिप्रवाह नहीं, और मंद |
−1 ± j2 पर हो और तीसरा ध्रुव −20 पर, तो युग्म प्रभावी है और द्वितीय कोटि सूत्र कुछ प्रतिशत की त्रुटि सहित लागू होते हैं। प्रायः उद्धृत देहली वास्तविक भाग में पाँच या अधिक का गुणक है। वही तर्क लगभग परस्पर कटने वाले ध्रुव व शून्यक को सँभालता है: (s + 3.1)/(s + 3.0) लगभग कुछ योगदान नहीं करता और काटा जा सकता है। जिस हेतु यह सन्निकटन कभी प्रयोग नहीं करना चाहिए वह स्थायित्व है — दक्षिण अर्धतल का दूरस्थ ध्रुव भी अंततः सब पर प्रभावी हो जाता है, उसका अवशेष कितना ही अल्प हो, अतः अनुक्रिया का सन्निकटन कीजिए, चिह्न का कभी नहीं।ब्लॉक आरेख न्यूनीकरण, कारगर क्रम में
तीन नियम अधिकांश कार्य कर देते हैं। श्रेणीबद्ध ब्लॉक गुणा होते हैं। योग संधि में समांतर आते ब्लॉक जुड़ते हैं। तथा अग्र लब्धि G व प्रतिपुष्टि लब्धि H का ऋणात्मक प्रतिपुष्टि पाश G/(1 + GH) में सिमट जाता है, जहाँ हर का चिह्न योग संधि के चिह्न के विपरीत होता है — धनात्मक प्रतिपुष्टि G/(1 − GH) देती है, और वहीं चिह्न की चूक पूरा प्रश्न ले जाती है। इन्हें लगाने का क्रम अभ्यास योग्य भाग है: सदैव अंतरतम पाश पहले घटाइए, क्योंकि अभी खुला पड़ा अंतर पाश प्रत्येक बाहरी सरलीकरण रोक देता है, और क्योंकि बाहर की ओर घटाने का अर्थ है कि आपको किसी ब्लॉक को कहीं से पार ले जाना ही नहीं पड़ता।
दो-पाश उदाहरण को पूरे मानक रूप तक हल कीजिए। अग्र पथ एक प्रवर्धक-समाकलक G_1 = 10/s है जिसके पश्चात् संयंत्र G_2 = 1/(s + 2) है। केवल G_2 के चारों ओर H_1 = 0.5 वाला गौण ऋणात्मक प्रतिपुष्टि पाश है — मान लीजिए एक टैकोमीटर। सम्पूर्ण के चारों ओर इकाई ऋणात्मक प्रतिपुष्टि है। अंतर पाश पहले घटाइए: G_2/(1 + G_2H_1) = [1/(s + 2)]/[1 + 0.5/(s + 2)] = 1/(s + 2.5), जो वही संयंत्र है जिसका ध्रुव −2 से −2.5 तक बाईं ओर धकेल दिया गया है। गौण-पाश प्रतिपुष्टि भौतिक रूप से यही करती है, और बीजगणित द्वारा दबाए जाने से पूर्व इसे देख लेना उपयोगी है। अग्र पथ अब 10/[s(s + 2.5)] है, और इकाई पाश बंद करने से T(s) = 10/[s(s + 2.5) + 10] = 10/(s² + 2.5s + 10) मिलता है।
उससे मानक रूप तुरंत पढ़िए। ω_n = √10 = 3.162 rad/s तथा 2ζω_n = 2.5, अतः ζ = 2.5/6.325 = 0.395 — अल्पावमंदित, और इतना अधिक कि पग अनुक्रिया का अतिप्रवाह exp(−ζπ/√(1 − ζ²)) = 25.9 % होता है। वही संख्या पूरा कारण है कि गौण पाश वहाँ था: H_1 बढ़ाइए और अंतर ध्रुव और बाईं ओर जाता है, ζ बढ़ता है और अतिप्रवाह घटता है, मंदतर पाश की कीमत पर। कठिन आरेखों हेतु दो न्यूनीकरण नियम ठीक-ठीक कहने योग्य हैं, क्योंकि उनकी असमता एक प्रिय जाल है। किसी ब्लॉक G को योग संधि से पीछे ले जाने हेतु उस संधि में प्रवेश करती दूसरी शाखा को G से भाग देना पड़ता है। किसी निर्गम-बिंदु को ब्लॉक G से पीछे ले जाने हेतु उससे निकलती शाखा को G से गुणा करना पड़ता है। ये दोनों विपरीत दिशा में जाते हैं, और गलत दिशा में पुनर्व्यवस्थित आरेख प्रायः तब भी विश्वसनीय दिखता है।
| चरण | व्यंजक | भौतिक रूप से अर्थ |
|---|---|---|
| अंतर पाश बंद | 1/(s + 2.5) | संयंत्र ध्रुव −2 से −2.5 तक जाता है |
G_1 के साथ श्रेणीबद्ध | 10/[s(s + 2.5)] | प्रकार-1 पाश, अतः कोई स्थायी-अवस्था पग त्रुटि नहीं |
| इकाई पाश बंद | 10/(s² + 2.5s + 10) | द्वितीय कोटि, अतः प्रत्येक मानक सूत्र लागू |
| प्राचल पढ़ें | ω_n = 3.162, ζ = 0.395 | अतिप्रवाह 25.9 %, जिसे घटाने हेतु गौण पाश है |
संकेत प्रवाह ग्राफ तथा मेसन का लब्धि सूत्र
संकेत प्रवाह ग्राफ वही सूचना है जो ब्लॉक आरेख की है, जहाँ ब्लॉक नामांकित तीरों में और योग संधियाँ नोडों में बदल दी गई हों, और उसका प्रयोजन यह है कि तब मेसन का लब्धि सूत्र बिना किसी पुनर्व्यवस्था के उत्तर पढ़ लेता है। सूत्र है T = Σ_k (P_k Δ_k) / Δ, जहाँ P_k, k-वें अग्र पथ की लब्धि है, Δ = 1 − Σ(पाश लब्धियाँ) + Σ(अस्पर्शी पाशों के युग्मों के गुणनफल) − Σ(अस्पर्शी पाशों के त्रिकों के गुणनफल) + …, तथा Δ_k वही Δ है जो पथ k को स्पर्श करने वाला प्रत्येक पाश हटाकर परिकलित हो। दो परिभाषाएँ पूरा जोखिम उठाती हैं: पाश लब्धि में उसकी योग संधि का चिह्न सम्मिलित है, अतः ऋणात्मक प्रतिपुष्टि पाश की पाश-लब्धि ऋणात्मक होती है, तथा अस्पर्शी का अर्थ है कोई नोड साझा न करना, केवल पृष्ठ पर पृथक् दिखना नहीं।
इसे उसी तंत्र पर लगाइए जो ऊपर घटाया गया, दोनों विधियों की जाँच के रूप में। एक अग्र पथ है, P_1 = G_1G_2। दो पाश हैं: गौण पाश L_1 = −G_2H_1 तथा बाहरी पाश L_2 = −G_1G_2। वे G_1 व G_2 के बीच का नोड साझा करते हैं, अतः वे स्पर्श करते हैं, और जोड़ने हेतु कोई अस्पर्शी गुणनफल नहीं। अतः Δ = 1 + G_2H_1 + G_1G_2, Δ_1 = 1, तथा T = G_1G_2/(1 + G_2H_1 + G_1G_2)। G_1 = 10/s, G_2 = 1/(s + 2) तथा H_1 = 0.5 प्रतिस्थापित कीजिए: अंश 10/[s(s + 2)] है, हर [s(s + 2) + 0.5s + 10]/[s(s + 2)] है, और सामान्य गुणनखंड कटकर T = 10/(s² + 2.5s + 10) छोड़ता है — ब्लॉक-आरेख परिणाम के समरूप, और दो बार करने का प्रयोजन यही है।
मेसन अपना मूल्य वहाँ चुकाता है जहाँ पाश परस्पर स्पर्श नहीं करते, क्योंकि ठीक वही स्थिति है जिसे ब्लॉक-आरेख न्यूनीकरण भोंडे ढंग से सँभालता है। निवेश से निर्गम तक श्रृंखला G_1 → G_2 → G_3 → G_4 लीजिए जिसमें G_2 के चारों ओर स्थानीय प्रतिपुष्टि −H_1 तथा G_4 के चारों ओर दूसरी −H_2 है। पाश हैं L_1 = −G_2H_1 तथा L_2 = −G_4H_2, और वे कोई नोड साझा नहीं करते, अतः युग्म गुणनफल धन चिह्न सहित आता है: Δ = 1 + G_2H_1 + G_4H_2 + G_2H_1G_4H_2 = (1 + G_2H_1)(1 + G_4H_2)। एकल अग्र पथ दोनों पाशों को स्पर्श करता है, अतः Δ_1 = 1 तथा T = G_1G_2G_3G_4/[(1 + G_2H_1)(1 + G_4H_2)] — जो केवल दो स्वतंत्र रूप से बंद पाशों का गुणनफल है, ठीक जैसा अंतर्ज्ञान माँगता है। इस पर संख्याएँ रखिए: G_1 = 2, G_2 = 5, G_3 = 3, G_4 = 4, H_1 = 0.2 तथा H_2 = 0.5 के साथ हर 1 + 1 = 2 तथा 1 + 2 = 3 हैं, अतः T = 120/6 = 20।
| पद | प्रतीकात्मक मान | दी गई संख्याओं सहित |
|---|---|---|
अग्र पथ P_1 | G_1G_2G_3G_4 | P_1 = 2 × 5 × 3 × 4 = 120 |
पाश L_1 | −G_2H_1 | L_1 = −1.0 |
पाश L_2 | −G_4H_2 | L_2 = −2.0 |
| अस्पर्शी युग्म गुणनफल | L_1L_2 = G_2H_1G_4H_2 | L_1L_2 = +2.0 |
निर्धारक Δ | 1 − (L_1 + L_2) + L_1L_2 | (1 + G_2H_1)(1 + G_4H_2) = 2 × 3 = 6 |
समग्र लब्धि T | P_1Δ_1/Δ, जहाँ Δ_1 = 1 | T = 120/6 = 20 |
Δ में न आने वाला गुणनफल जोड़ देता है, और ऐसा हर पाता है जिसे कोई ब्लॉक-आरेख न्यूनीकरण पुनरुत्पन्न नहीं कर सकता। इसे ठीक से परखिए, प्रत्येक पाश के नोड सूचीबद्ध कर सूचियों का प्रतिच्छेद लेकर — यदि वे किसी साझा ब्लॉक का निवेश अथवा निर्गम नोड भी साझा करें तो वे स्पर्श करते हैं। वही अनुशासन Δ_k पर लागू है: Δ से वह प्रत्येक पाश हटाइए जो अग्र पथ को स्पर्श करता है, जो अधिकांश एक-पथ समस्याओं में उन सबको हटा देता है और Δ_k = 1 छोड़ता है। जब ग्राफ में दो अग्र पथ हों और एक पाश केवल दूसरे को स्पर्श करे, तब Δ_1 व Δ_2 वास्तव में भिन्न होते हैं, और वही स्थिति धीरे-धीरे हल करने योग्य है।क्षणिक अनुक्रिया: दो संख्याओं से छह संख्याएँ
प्रथम कोटि तंत्र 1/(1 + sτ) हेतु जानने योग्य केवल एक संख्या है: पग अनुक्रिया एक काल-नियतांक में अपने अंतिम मान का 63.2 %, दो में 86.5 %, तीन में 95 % तथा चार में 98.2 % पहुँचती है, अतः दो प्रतिशत तक का स्थिरीकरण समय 4τ है और अतिप्रवाह कभी नहीं होता। मानक द्वितीय कोटि तंत्र हेतु सब कुछ ζ व ω_n से निकलता है, और नीचे के छह परिणाम वही हैं जो प्रश्न माँगते हैं। इन्हें पूर्व-परिचित तंत्र T(s) = 25/(s² + 6s + 25) हेतु परिकलित कीजिए, जहाँ ζ = 0.6, ω_n = 5 rad/s तथा ω_d = ω_n√(1 − ζ²) = 4 rad/s है।
| विशिष्टि | सूत्र | यहाँ मान |
|---|---|---|
विलंब समय t_d | (1 + 0.7ζ)/ω_n, एक सन्निकटन | 1.42/5 = 0.284 s |
उत्थान समय t_r | (π − β)/ω_d, जहाँ β = cos⁻¹ζ | (3.1416 − 0.9273)/4 = 0.554 s |
शिखर समय t_p | π/ω_d | 3.1416/4 = 0.785 s |
शिखर अतिप्रवाह M_p | exp(−ζπ/√(1 − ζ²)) | exp(−2.356) = 0.0948, अर्थात् 9.48 % |
| 2 % तक स्थिरीकरण समय | 4/(ζω_n) | 4/3 = 1.333 s |
| 5 % तक स्थिरीकरण समय | 3/(ζω_n) | 3/3 = 1.0 s |
उस सारणी के दो संरचनात्मक पठन अंकगणित से अधिक महत्व रखते हैं। अतिप्रवाह केवल ζ पर निर्भर है — सूत्र में ω_n कहीं नहीं है — अतः तंत्र को काल में मापित करने से प्रत्येक अवधि बदलती है और अतिप्रवाह अछूता रहता है: ζ = 0.6 हेतु 9.48 %, चाहे तंत्र एक सेकंड में स्थिर हो या एक माइक्रोसेकंड में। तथा स्थिरीकरण समय केवल गुणनफल ζω_n पर निर्भर है, जो ध्रुव युग्म का वास्तविक भाग है, अतः स्थिरीकरण समय की विशिष्टि s-तल में एक ऊर्ध्व रेखा है और अतिप्रवाह की विशिष्टि मूल बिंदु से निकलती किरणों का युग्म। मूल-बिंदुपथ पर अभिकल्पन क्षेत्र ठीक इसी प्रकार खींचा जाता है, और इसी कारण इस खंड के दोनों अध्याय वहीं जुड़ते हैं जहाँ जुड़ते हैं। प्रायः उद्धृत अवमंदन मान वही तर्क अनुसरण करते हैं: ζ = 0.707 लगभग 4.3 % अतिप्रवाह देता है और सामान्य समझौता है, जबकि ζ = 0.5 लगभग 16 % देता है।
ω_n² है, जिससे अंतिम मान एक हो; यदि अंश 10 हो जबकि हर का अचर पद 25, तो अंतिम मान 0.4 है और अतिप्रवाह उसी का प्रतिशत बताना चाहिए, एक का नहीं। तथा वह कोई परिमित शून्यक न होना मानती है, क्योंकि ध्रुव युग्म के निकट का शून्यक अतिप्रवाह को पर्याप्त बढ़ा देता है — −3 ± j4 के ध्रुवों के साथ −1 पर शून्यक वाला तंत्र 9.48 % से बहुत अधिक अतिप्रवाह करेगा, और सूत्र कोई चेतावनी नहीं देता। जब प्रश्न के अंश में s हो, तब रुकिए और वास्तविक प्रतिलोम रूपांतर का प्रयोग कीजिए।स्थायी-अवस्था त्रुटि तथा तंत्र प्रकार
जहाँ क्षणिक विश्लेषण पूछता है कि अनुक्रिया वहाँ कैसे पहुँचती है, वहाँ स्थायी-अवस्था विश्लेषण पूछता है कि वह कहाँ पहुँचकर रुकती है, और इकाई-प्रतिपुष्टि पाश हेतु उत्तर को केवल एक सीमा चाहिए। त्रुटि E(s) = R(s)/[1 + G(s)] है, और अंतिम मान प्रमेय देता है e_ss = lim_(s→0) sR(s)/[1 + G(s)]। तीन मानक निवेशों हेतु उसका मान निकालने पर तीन त्रुटि नियतांक मिलते हैं: पग हेतु K_p = lim G(s), प्रवणता हेतु K_v = lim sG(s), तथा परवलय हेतु K_a = lim s²G(s)। तंत्र प्रकार केवल मूल बिंदु पर G(s) के ध्रुवों की संख्या है, और वही तय करता है कि कौन-से नियतांक परिमित हैं: प्रकार 0 में K_p परिमित, प्रकार 1 में K_p अपरिमित व K_v परिमित, प्रकार 2 में K_v अपरिमित व K_a परिमित।
दो हल किए प्रकरण प्रतिरूप स्थिर कर देते हैं। लीजिए इकाई प्रतिपुष्टि सहित प्रकार-1 पाश G(s) = 20/[s(s + 2)(s + 5)]। तब K_p = lim G(s) = ∞, अतः पग त्रुटि 1/(1 + K_p) = 0 है — प्रकार-1 तंत्र पग का अनुसरण अंततः यथार्थ रूप से करता है। तत्पश्चात् K_v = lim sG(s) = 20/(2 × 5) = 2, अतः इकाई-प्रवणता निवेश 1/K_v = 0.5 की अचर त्रुटि छोड़ता है: निर्गम प्रवणता के समांतर, आधी इकाई पीछे, सदैव चलता रहता है। तथा K_a = lim s²G(s) = 0, अतः परवलयिक निवेश ऐसी त्रुटि छोड़ता है जो असीम बढ़ती है। अब मूल बिंदु का ध्रुव हटाकर प्रकार-0 पाश G(s) = 20/[(s + 2)(s + 5)] बनाइए। अब K_p = 20/10 = 2, अतः पग त्रुटि 1/(1 + 2) = 0.333 है — आदेश का एक तिहाई कभी नहीं पहुँचता — और प्रवणता त्रुटि अपरिमित है।
| तंत्र प्रकार | इकाई पग | इकाई प्रवणता | इकाई परवलय |
|---|---|---|---|
प्रकार 0, जैसे 20/[(s+2)(s+5)] | 1/(1 + K_p) = 0.333 | अपरिमित त्रुटि | अपरिमित त्रुटि |
प्रकार 1, जैसे 20/[s(s+2)(s+5)] | शून्य त्रुटि | 1/K_v = 0.5 | अपरिमित त्रुटि |
| प्रकार 2 | शून्य त्रुटि | शून्य त्रुटि | 1/K_a, परिमित त्रुटि |
1 हो और जिसमें E(s) = R(s) − C(s) हो। यदि प्रश्न का प्रतिपुष्टि पथ H(s) = 0.5 हो, तो पाश का अपना त्रुटि संकेत आदेश तथा निर्गम के आधे का अंतर है, अतः शून्य त्रुटि संकेत का अर्थ है कि निर्गम आदेश के दुगुने पर स्थिर हो गया — ऐसा तंत्र जो गलत वस्तु के विषय में पूर्णतः यथार्थ है। उस स्थिति में या तो संवृत-पाश अंतरण फलन से सीधे सच्ची त्रुटि R − C पुनः परिकलित कीजिए, या पहले पाश को तुल्य इकाई-प्रतिपुष्टि रूप में बदलकर नियतांकों में G के स्थान पर GH प्रयोग कीजिए। उसी जाल का दूसरा, शांत रूप वह प्रश्न है जो स्थायी-अवस्था त्रुटि घटाने हेतु लब्धि बढ़ाता है: लब्धि बढ़ने पर 1/(1 + K_p) गिरता है, परंतु अवमंदन भी गिरता है, अतः उस कमी की कीमत अतिप्रवाह में और अंततः स्थायित्व में चुकती है — और ठीक इसीलिए अगले अध्याय में मानक उपाय अधिक लब्धि नहीं, समाकल पद है।आवृत्ति अनुक्रिया, तथा वह काल-प्रांत से क्या साझा करती है
LTI तंत्र की आवृत्ति अनुक्रिया T(jω) है, जो s = jω प्रतिस्थापित करके प्राप्त होती है, और वह प्रत्येक आवृत्ति पर ज्यावक्रीय द्वारा देखी गई स्थायी-अवस्था लब्धि व कला है। तीन संख्याएँ संवृत-पाश अनुक्रिया का वर्णन करती हैं और तीनों ζ व ω_n से परिकलनीय हैं। अनुनाद शिखर M_r = 1/[2ζ√(1 − ζ²)] परिमाण का उच्चिष्ठ है, जो अनुनाद आवृत्ति ω_r = ω_n√(1 − 2ζ²) पर होता है। बैंडविड्थ ω_B वह स्थान है जहाँ परिमाण अपने निम्न-आवृत्ति मान का 1/√2 हो जाता है, अर्थात् 3 dB गिर जाता है, और मानक द्वितीय कोटि तंत्र हेतु वह ω_B = ω_n√[1 − 2ζ² + √(4ζ⁴ − 4ζ² + 2)] है। ζ = 0.6 तथा ω_n = 5 वाले चालू उदाहरण हेतु: ω_r = 5√0.28 = 2.646 rad/s, M_r = 1/(2 × 0.6 × 0.8) = 1.042, जो 0.35 dB है, तथा ω_B = 5√1.3185 = 5.74 rad/s।
उन सूत्रों के तीन परिणाम स्वयं में परीक्षणीय हैं। प्रथम, ω_r वास्तविक केवल तब है जब 1 − 2ζ² > 0 हो, अर्थात् जब ζ < 1/√2 = 0.707, अतः 0.707 अथवा अधिक पर अवमंदित तंत्र में अनुनाद शिखर होता ही नहीं और उसका परिमाण एकदिष्ट रूप से गिरता है — और यही आवृत्ति-प्रांत में वह कथन है कि ζ = 0.707 मानक समझौता क्यों है। द्वितीय, ω_r सदैव ω_d से नीचे है, और दोनों ω_n से नीचे, अतः इन तीन आवृत्तियों को कभी परस्पर बदलकर प्रयोग नहीं करना चाहिए: यहाँ वे 2.646, 4 तथा 5 rad/s हैं। तृतीय, बैंडविड्थ व गति एक ही वस्तु को दो ओर से मापती हैं — नियत अवमंदन पर ω_B लगभग ω_n के समानुपाती है, अतः तीव्रतर उत्थान समय व चौड़ी बैंडविड्थ वही एक आवश्यकता है, और तीव्र अनुक्रिया तथा संकीर्ण रव-बैंडविड्थ दोनों की माँग सौदा करने की माँग है, संतुष्ट करने की नहीं।
| आवृत्ति | परिभाषा | मान |
|---|---|---|
अनवमंदित प्राकृतिक, ω_n | मूल बिंदु से ध्रुवों की दूरी | 5 rad/s |
अवमंदित प्राकृतिक, ω_d | ω_n√(1 − ζ²), काल में घंटी-आवृत्ति | 4 rad/s |
अनुनाद, ω_r | ω_n√(1 − 2ζ²), जहाँ परिमाण शिखर पर है | 2.646 rad/s |
बैंडविड्थ, ω_B | जहाँ परिमाण 3 dB नीचे है | 5.74 rad/s |
ζ = 0.6 हेतु यथार्थ संबंध हल करने पर कला उपांत 59.2° मिलता है, और इसीलिए कार्य-नियम ζ ≈ PM/100 इतनी बार उद्धृत होता है: लगभग 60° का कला उपांत ζ ≈ 0.6 तथा दस प्रतिशत के निकट अतिप्रवाह से मेल खाता है, और 30° का कला उपांत ζ ≈ 0.3 तथा पैंतीस के निकट अतिप्रवाह से। वही संगति आवृत्ति-प्रांत अभिकल्पन को करने योग्य बनाती है — विवृत-पाश बोडे आरेख खींचना सरल है और प्रतिपूरक से बदलना सरल है, और उससे पढ़ा गया उपांत उस संवृत-पाश क्षणिक व्यवहार की भविष्यवाणी करता है जिसकी आपको वस्तुतः चिंता है। यह यथार्थ केवल मानक द्वितीय कोटि तंत्र हेतु है, अतः इसे अभिकल्पन मार्गदर्शक मानिए, संख्यात्मक उत्तर में उद्धृत करने योग्य सूत्र नहीं।मुख्य बिंदु
- प्रतिपुष्टि लब्धि देकर असंवेदिता लेती है:
G = 100वH = 1पर संवृत-पाश लब्धि 0.9901 है, और 10 % संयंत्र विचलन 0.11 % दिखता है क्योंकि संवेदिता1/(1 + GH)है। - कुछ भी करने से पूर्व हर से
ω_nवζपढ़िए:25/(s² + 6s + 25)देता हैω_n = 5,ζ = 0.6तथा−3 ± j4पर ध्रुव। - अंतरतम पाश पहले घटाइए: दो-पाश उदाहरण
10/(s² + 2.5s + 10)में सिमटता है, अर्थात्ζ = 0.395व 25.9 % अतिप्रवाह, और मेसन का सूत्र वही परिणाम देता है। - मेसन के सूत्र में पाश लब्धि अपना चिह्न धारण करती है, और अस्पर्शी का अर्थ कोई नोड साझा न करना है — दो-पाश श्रृंखला ने
Δ = 6तथाT = 20दिया। - अतिप्रवाह केवल
ζपर तथा स्थिरीकरण समय केवलζω_nपर निर्भर है: चालू उदाहरण हेतु 9.48 %,t_p = 0.785 sतथाt_s = 1.333 s। - तंत्र प्रकार मूल बिंदु पर ध्रुवों की गणना है:
20/[s(s+2)(s+5)]काK_v = 2है, अतः पग त्रुटि शून्य तथा प्रवणता त्रुटि 0.5, जबकि मूल-बिंदु ध्रुव के बिना वही पाश 0.333 की पग त्रुटि छोड़ता है। - अनुनाद शिखर केवल
ζ < 0.707पर होता है; उदाहरण मेंω_r = 2.646तथाω_d = 4,ω_n = 5से नीचे बैठते हैं जबकिω_B = 5.74 rad/sउससे ऊपर, अतः ये चारों कभी अदल-बदल योग्य नहीं।
अभ्यास प्रश्न (8)
उत्तर खोलने से पहले प्रत्येक प्रश्न हल करें। हर व्याख्या सही विकल्प के साथ लुभावना गलत विकल्प भी बताती है, क्योंकि अंक वहीं जाते हैं।
एक बंद-लूप स्थानांतरण फलन T(s) = 64/(s^2 + 12.8 s + 64) है। इसका अवमंदन अनुपात क्या है?
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उत्तर: D — 0.8
हर की तुलना मानक रूप s^2 + 2 z w_n s + w_n^2 से कीजिए। अचर पद से w_n^2 = 64, अतः w_n = 8 rad/s, और s के गुणांक से 2 z w_n = 12.8, अतः z = 12.8/16 = 0.8, जो अल्प-अवमंदित है। आकर्षक 1.6 वस्तुतः 12.8/8 है, जो s गुणांक को w_n से भाग देने और मानक रूप में निहित दो के गुणक को भूलने से आता है; 6.4 s गुणांक का आधा है, जो गुणनफल z w_n है न कि अकेला z, और 0.4 सही उत्तर को एक बार और आधा कर देता है। जाँच: ध्रुव युग्म -6.4 +/- j4.8 पर है, जिसकी मूल से दूरी 8 है।एक इकाई-पुनर्भरण लूप का अग्र स्थानांतरण फलन G(s) = 36/[s(s + 4.8)] है और उसे एक इकाई पग से चलाया जाता है। उसके निर्गम को अपने अंतिम मान के दो प्रतिशत के भीतर स्थिर होने में कितना समय लगता है?
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उत्तर: A — 1.67 s
पहले लूप बंद कीजिए: T(s) = G/(1 + G) = 36/(s^2 + 4.8 s + 36). उस हर से मानक रूप पढ़ने पर w_n^2 = 36, अतः w_n = 6 rad/s, और 2 z w_n = 4.8, अतः z = 0.4. दो प्रतिशत तक स्थिरीकरण काल केवल ध्रुव युग्म के वास्तविक भाग z w_n = 2.4 पर निर्भर है, और 4/(z w_n) = 4/2.4 = 1.67 s है। आकर्षक 0.833 s वस्तुतः 4/4.8 है, जो चार को s के पूरे गुणांक से भाग देने पर आता है, अतः ठीक दो के गुणक से छोटा है। मान 1.25 s पाँच प्रतिशत की कसौटी 3/(z w_n) लगाता है, और 0.667 s z w_n के बजाय w_n से भाग देता है।एक इकाई-पुनर्भरण तंत्र का खुला-लूप स्थानांतरण फलन G(s) = 50/[s(s + 2)(s + 5)] है। एक ढाल आदेश r(t) = t लगाया जाता है। निर्गम अंततः आदेश से कितनी अचर त्रुटि पीछे स्थिर होता है?
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उत्तर: C — 0.2
ढाल के लिए संगत त्रुटि अचर वेग अचर K_v है, जो s G(s) की s शून्य की ओर जाने पर सीमा है, अर्थात 50/(2 x 5) = 5, और स्थायी त्रुटि 1/K_v = 0.2 है। अतः निर्गम ढाल के समांतर चलता है, स्थायी रूप से एक इकाई के पाँचवें भाग जितना पीछे। आकर्षक 0.167 वस्तुतः 1/(1 + K_v) है, जो पग निवेश का सूत्र है, ढाल का नहीं; दोनों को मिला देना यहाँ सबसे सामान्य भूल है। मान 5.0 त्रुटि अचर स्वयं उद्धृत करता है, और 0 इसी लूप की पग-त्रुटि है, जो मूल पर एक ध्रुव होने के कारण शून्य है।एक मानक द्वितीय-कोटि बंद-लूप तंत्र का अवमंदन अनुपात 0.5 तथा अनवमंदित प्राकृतिक आवृत्ति 10 rad/s है। किस आवृत्ति पर उसका बंद-लूप परिमाण अनुक्रिया अधिकतम होता है?
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उत्तर: B — 7.07 rad/s
मानक द्वितीय-कोटि तंत्र की अनुनाद आवृत्ति w_r = w_n root(1 - 2 z^2) = 10 root(1 - 0.5) = 10 x 0.7071 = 7.07 rad/s है। आकर्षक 8.66 rad/s अवमंदित प्राकृतिक आवृत्ति w_d = w_n root(1 - z^2) = 10 x 0.866 है, जो काल-अनुक्रिया में दिखने वाली दोलन आवृत्ति है और परिमाण शिखर की आवृत्ति से सदैव बड़ी है। यह प्रश्न इसी क्रम पर बना है: w_r, w_d से नीचे है और w_d, w_n से नीचे। शिखर तभी है जब z 0.707 से कम हो; 0.707 पर वर्गमूल लुप्त हो जाता है।एक बंद-लूप तंत्र का सम्मिश्र ध्रुव युग्म -2 +/- j4 पर तथा तीसरा वास्तविक ध्रुव -30 पर है, d.c. लब्धि इकाई है और कोई परिमित शून्य नहीं है। प्रभावी-ध्रुव सन्निकटन का प्रयोग करते हुए, उसकी इकाई-पग अनुक्रिया कितना शिखर अतिक्रमण दिखाती है?
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उत्तर: D — 20.8 %
-30 पर तीसरा ध्रुव युग्म के वास्तविक भाग से पंद्रह गुना अधिक बाईं ओर है, अतः युग्म प्रभावी है और द्वितीय-कोटि सूत्र लागू होते हैं। मूल से युग्म की दूरी से w_n = root(2^2 + 4^2) = root(20) = 4.472 rad/s, और अवमंदन अनुपात वास्तविक भाग बटा वही, z = 2/4.472 = 0.4472. तब z/root(1 - z^2) = 2/4 = 0.5 ठीक-ठीक, अतः अतिक्रमण exp(-0.5 pi) = 0.208, अर्थात 20.8 प्रतिशत। आकर्षक 16.3 प्रतिशत काल्पनिक भाग 4 को w_n मानने से आता है, जिससे z = 0.5 बनता है; काल्पनिक भाग w_d है, w_n नहीं। मान 24.5 प्रतिशत घातांक के हर से root(1 - z^2) हटा देता है, और 9.5 प्रतिशत z = 0.6 का स्मरण किया गया आँकड़ा है।एक ब्लॉक आरेख में स्थानांतरण फलन G वाले एक ब्लॉक को संकेत प्रवाह की दिशा के विरुद्ध, पीछे की ओर, एक योग संधि के पार ले जाना है, और समग्र निवेश-निर्गम संबंध अपरिवर्तित रहना चाहिए। उस संधि में प्रवेश करने वाले दूसरे संकेत के साथ क्या करना होगा?
उत्तर देखें
उत्तर: B — उसे G से भाग देना होगा।
स्थानांतरण के बाद G केवल एक के बजाय दोनों शाखाओं के योग को गुणा करता है, अतः जो शाखा पहले G से नहीं गुजरती थी वह अब G से बढ़ जाती। उस शाखा को G से भाग देने पर अतिरिक्त गुणक ठीक-ठीक कट जाता है और निर्गम अपरिवर्तित रहता है। आकर्षक G-से-गुणा उत्तर पूर्णतः दूसरी पुनर्व्यवस्था का नियम है: निकास बिंदु को ब्लॉक G के पार पीछे ले जाने पर उससे निकलने वाली शाखा को G से गुणा करना पड़ता है, क्योंकि वह शाखा अब ऐसा संकेत लेती है जो अभी ब्लॉक से गुजरा नहीं। दोनों नियम विपरीत दिशाओं में चलते हैं।एक इकाई-पुनर्भरण तंत्र का अग्र पथ G(s) = 12/[s^2 (s + 6)] है, और उस पर तीन मानक आकारों के आदेश क्रमशः लगाए जाते हैं: एक पग, एक ढाल, तथा परवलय r(t) = t^2/2. निम्नलिखित में से कौन से बताते हैं कि निर्गम अंततः क्या करता है?
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उत्तर: A — इकाई-ढाल आदेश के लिए उसकी स्थायी-अवस्था त्रुटि शून्य है।; B — उसका त्वरण त्रुटि अचर 2 है, अतः परवलयिक आदेश r(t) = t^2/2 के लिए उसकी त्रुटि 0.5 पर स्थिर होती है।
तंत्र का प्रकार मूल पर खुले-लूप ध्रुवों की संख्या है, और इस लूप में दो हैं, अतः यह प्रकार 2 है। तब वेग अचर K_v = s G(s) की सीमा अनंत है, अतः ढाल त्रुटि 1/K_v शून्य है। त्वरण अचर K_a = s^2 G(s) की सीमा = 12/6 = 2, अतः परवलयिक त्रुटि 1/K_a = 0.5. स्थिति अचर K_p = G(s) की सीमा शून्य से ऊपर के हर प्रकार के लिए अनंत है, अतः पग त्रुटि शून्य है, 0.333 नहीं; यहाँ परिमित K_p उद्धृत करना ही जाल है, क्योंकि वह मूल पर दो में से एक ही ध्रुव गिनकर लूप को चुपचाप प्रकार 0 बना देता है। लूप को प्रकार 1 कहना वही गलत गणना दूसरी दिशा में करता है।400 लब्धि वाला एक प्रवर्धक ऋणात्मक पुनर्भरण लूप में रखा गया है जिसके पुनर्भरण पथ की अचर लब्धि 0.05 है। प्रवर्धक की अपनी लब्धि में एक छोटा भिन्नात्मक परिवर्तन होता है। उस परिवर्तन का कितना अंश बंद-लूप लब्धि के भिन्नात्मक परिवर्तन के रूप में प्रकट होता है?
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उत्तर: C — 0.0476
अग्र लब्धि के प्रति बंद-लूप लब्धि की संवेदनशीलता S = 1/(1 + G H) है, और G = 400 तथा H = 0.05 से लूप लब्धि G H = 20 है, अतः S = 1/21 = 0.0476. अतः प्रवर्धक में दस प्रतिशत का विचलन निर्गम पर लगभग आधा प्रतिशत दिखता है, जो लूप बंद करने का पूरा प्रयोजन है और जिसका मूल्य लब्धि का 400 से 400/21 तक गिरना है। आकर्षक 21.0 गुणक 1 + G H है, जिससे लब्धि और विचलन दोनों भाग होते हैं, पर वह भिन्न नहीं है। मान 0.0500 केवल पुनर्भरण गुणक H है, और 0.952 वस्तुतः 1 - S है, अर्थात विचलन का वह अंश जिसे लूप हटा देता है।