सूचना सिद्धांत व अंकीय संचार: एन्ट्रॉपी, क्षमता, PCM, संसूचन तथा कूटन

इलेक्ट्रॉनिक्स एवं संचार अभियांत्रिकी पेपर के खंड 7 का द्वितीय अर्धांश वही भाग है जो तय करता है कि आधुनिक कड़ी कैसे अभिकल्पित हो, और वह एक ही प्रश्न से जुड़ा है जो दो बार पूछा गया है। सूचना सिद्धांत उसे अमूर्त रूप में पूछता है: कोई स्रोत व कोई चैनल दिया हो, तो आप न्यूनतम कितना व्यय कर सकते हैं और अधिकतम कितना भेज सकते हैं? उत्तर हैं एन्ट्रॉपी H, जो किसी भी स्रोत-कूट के नीचे का फ़र्श है, तथा चैनल क्षमता C, जो किसी भी विश्वसनीय दर के ऊपर की छत — और शैनन का योगदान यह सिद्ध करना था कि दोनों प्राप्य हैं और उनसे परे कुछ नहीं। अंकीय संचार वही प्रश्न मूर्त रूप में, एक-एक खंड लेकर पूछता है। PCM तरंगरूप को बिटों में बदलता है और प्रति बिट 6.02 dB का क्वांटीकरण-शोर मूल्य चुकाता है। DPCM यह देखता है कि क्रमागत वाक्-प्रतिदर्श प्रबलतः सहसंबद्ध हैं और वह भेजने से मना कर देता है जिसका अभिग्राही पूर्वानुमान कर सकता था। मॉडुलन योजनाएँ — ASK, PSK, FSK, QAM — केवल इसमें भिन्न हैं कि दी गई ऊर्जा हेतु वे अपने संकेत-बिंदु कितनी दूर रखती हैं, और वह दूरी मिल जाने पर खंड की प्रत्येक बिट-त्रुटि दर एक Q-फलन दूर है। सुमेलित फ़िल्टर वह अभिग्राही है जो शोर की उपस्थिति में उस दूरी को अधिकतम करता है, और MAP तथा ML संसूचन यह निर्णय करने के दो नियम हैं कि क्या भेजा गया था — प्रतीकों के समसंभाव्य होने पर अभिन्न, अन्यथा नहीं। अंतर-प्रतीक व्यतिकरण वह है जो तब होता है जब स्पंद नाइक्विस्ट की अनुमति से अधिक कसकर भरे जाएँ, और हैमिंग कूट व CRC वह हैं जो आप बची त्रुटियों के विषय में करते हैं। पकड़े रखने योग्य सूत्र यह है कि इनमें से प्रत्येक खंड तीन मुद्राओं में से एक व्यय अथवा बचा रहा है — शक्ति, बैंडविड्थ, तथा जटिलता — और इस खंड का प्रत्येक अभिकल्प-प्रश्न पूछ रहा है कि आप कौन-सी व्यय करने को तैयार हैं।

एन्ट्रॉपी व स्रोत कूटन: फ़र्श, तथा आप उसके कितने निकट पहुँचते हैं

संभाव्यता p वाले प्रतीक में सूचना I = log₂(1/p) बिट है — एक परिभाषा, किंतु सुप्रेरित, क्योंकि वही एकमात्र फलन है जो दो स्वतंत्र घटनाओं की सूचना को जोड़ने योग्य बनाता है। एन्ट्रॉपी स्रोत पर उसका औसत है: H = −Σ p_i log₂ p_i बिट प्रति प्रतीक। तीन गुणधर्म उसका अर्थ नियत करते हैं। जब एक प्रतीक की संभाव्यता 1 हो तो वह शून्य है (जो स्रोत सदा वही एक बात कहे वह आपको कुछ नहीं बताता)। जब सभी M प्रतीक समसंभाव्य हों तो वह log₂ M पर अधिकतम है (अनिश्चितता तब सर्वाधिक है जब किसी परिणाम का पक्ष लेने का कोई कारण न हो)। और वह उस स्रोत हेतु किसी भी अद्वितीय रूप से विकूटनीय कूट की औसत लंबाई की निचली परिसीमा है — और यही वह कथन है जो एन्ट्रॉपी को दार्शनिक के बजाय अभियांत्रिक राशि बनाता है। उस परिसीमा के साथ एक मेल खाती रचना भी आती है, अतः स्रोत कूटन के दो अर्धांश ये हैं: एन्ट्रॉपी बताती है क्या संभव है, और हफ़मैन कूटन आपको वहाँ अथवा बहुत निकट पहुँचा देता है।

⚠️ हफ़मैन एन्ट्रॉपी को ठीक-ठीक छूता है — किंतु तभी जब संभाव्यताएँ आधे की घातें हों
{0.5, 0.25, 0.125, 0.125} संभाव्यताओं वाला चार-प्रतीक स्रोत लें। एन्ट्रॉपी 0.5(1) + 0.25(2) + 0.125(3) + 0.125(3) = 1.75 बिट/प्रतीक है। हफ़मैन दो सबसे छोटी को बारंबार मिलाता है और कूटशब्द 0, 10, 110, 111 उत्पन्न करता है, जिनकी औसत लंबाई 0.5(1) + 0.25(2) + 0.125(3) + 0.125(3) = 1.75 बिट। दक्षता ठीक 100 प्रतिशत, अतिरेक ठीक शून्य। उन लंबाइयों पर क्राफ़्ट असमिका जाँचें: 2⁻¹ + 2⁻² + 2⁻³ + 2⁻³ = 1 — समता, जो उस कूट का चिह्न है जिसमें कोई ढील नहीं। अब संभाव्यताएँ {0.4, 0.3, 0.2, 0.1} कर दें, जो तनिक भी कम मैत्रीपूर्ण नहीं लगतीं। एन्ट्रॉपी 1.8464 बिट/प्रतीक है। हफ़मैन 0.1 + 0.2 = 0.3 मिलाता है, तत्पश्चात् दोनों 0.3 को 0.6 में, तत्पश्चात् 0.6 + 0.4, जो लंबाइयाँ {1, 2, 3, 3} तथा औसत 0.4(1) + 0.3(2) + 0.2(3) + 0.1(3) = 1.9 बिट देता है। दक्षता 1.8464/1.9 = 97.2 प्रतिशत, अतिरेक 2.8 प्रतिशत, और हफ़मैन अब प्रमाणतः एन्ट्रॉपी प्राप्त नहीं कर रहा। कारण संरचनात्मक है, कलनविधि का दोष नहीं: कूटशब्द की लंबाई बिटों की पूर्ण संख्या होनी चाहिए, और −log₂ 0.4 = 1.32 नहीं है। हफ़मैन पूर्णांक-लंबाई कूटों में इष्टतम है, जो H तक पहुँचने से भिन्न व दुर्बल दावा है। मानक उपचार प्रतीकों के बजाय खंड कूटित करना है: n-वें विस्तार की एन्ट्रॉपी nH है, अतः प्रति मूल प्रतीक औसत लंबाई H ≤ L_n/n < H + 1/n का पालन करती है, और युग्म कूटित करना ही आधिक्य आधा कर देता है। परीक्षा में जाल वह प्रश्न है जो दक्षता पूछता है और 100 प्रतिशत की अपेक्षा रखता है क्योंकि अभ्यर्थी ने केवल द्वि-आधारी उदाहरण ही देखे हैं; पहचान वह संभाव्यता है जो आधे की घात नहीं।
  • क्राफ़्ट असमिका Σ 2^(−l_i) ≤ 1 किसी लंबाई-समुच्चय के उपसर्ग-मुक्त कूट से साकार होने हेतु आवश्यक व पर्याप्त है। यदि प्रश्न ऐसी लंबाइयाँ दे जिनका योग 1 से अधिक हो, तो संभाव्यताएँ चाहे जो हों, ऐसा कूट विद्यमान नहीं।
  • उपसर्ग-मुक्त होना अद्वितीय विकूटनीयता अंतर्भूत करता है, और हफ़मैन कूट सदा उपसर्ग-मुक्त होते हैं क्योंकि प्रत्येक प्रतीक मिलान-वृक्ष के पर्ण पर उतरता है। ऐसा कूट जो अद्वितीय रूप से विकूटनीय हो किंतु उपसर्ग-मुक्त न हो, विद्यमान है किंतु उसे अग्रदृष्टि चाहिए, और लंबाई में कुछ लाभ नहीं देता।
  • हफ़मैन कूटशब्द अद्वितीय नहीं; उनकी लंबाइयाँ प्रभावतः हैं। किसी भी मिलान पर 0 व 1 लेबल बदलना, अथवा समान संभाव्यताओं के बीच बराबरी दूसरे ढंग से तोड़ना, वही औसत लंबाई वाला भिन्न कूट देता है — अतः जो उत्तर बिट-प्रतिरूपों में मुद्रित उत्तर से भिन्न हो वह L मेल खाने पर भी सही है।
  • शैनन–फ़ानो हफ़मैन नहीं है और सदा इष्टतम नहीं। वह क्रमित सूची को ऊपर से नीचे लगभग-समान अर्धांशों में विभाजित करता है; हफ़मैन नीचे से ऊपर मिलाता है। अनेक स्रोतों पर वे सहमत होते हैं, और जहाँ भिन्न हों वहाँ हफ़मैन की औसत लंबाई कभी दीर्घतर नहीं।

पारस्परिक सूचना तथा चैनल क्षमता प्रमेय

चैनल एक निवेश X लेता है और ऐसा निर्गम Y देता है जो सदा X नहीं होता। जो राशि यह मापती है कि X का कितना बचता है वह पारस्परिक सूचना I(X;Y) = H(X) − H(X|Y) है — निवेश के विषय में अनिश्चितता, घटा वह अनिश्चितता जो निर्गम देख लेने के पश्चात् शेष रहती है। वह सममित है, I(X;Y) = I(Y;X) = H(Y) − H(Y|X), और यह जानना उचित है क्योंकि दोनों रूपों में से एक गणना करने में सदा सरल होता है। जब निवेश व निर्गम स्वतंत्र हों तो वह शून्य है, और जब चैनल शोर-रहित हो तो H(X) के बराबर। तत्पश्चात् चैनल क्षमता सभी निवेश-बंटनों पर I(X;Y) के अधिकतम के रूप में परिभाषित है: C = max_(p(x)) I(X;Y), बिट प्रति चैनल-प्रयोग में। अधिकतमीकरण महत्वपूर्ण है — क्षमता केवल चैनल का गुणधर्म है, और उसे खोजने का अर्थ है उस चैनल को चलाने का सर्वोत्तम संभव ढंग चुनना। चैनल कूटन प्रमेय प्रतिफल है: किसी भी दर R < C हेतु ऐसे कूट विद्यमान हैं जिनकी त्रुटि-संभाव्यता यथेच्छ लघु हो, और R > C हेतु कोई नहीं। ध्यान दें कि वह क्या नहीं कहता। वह कोई रचना नहीं देता, और विलंब अथवा जटिलता के विषय में कुछ नहीं कहता, जो दोनों C के निकट पहुँचने पर बढ़ते हैं।

🎯 जो चैनल सदा झूठ बोले वह उत्तम है; जो चैनल दस में एक बिट पलटे वह आपसे आधा ले लेता है
क्रॉसओवर संभाव्यता p वाले द्विआधारी सममित चैनल हेतु क्षमता C = 1 − H(p) बिट प्रति प्रयोग है, जहाँ H(p) = −p log₂ p − (1−p) log₂(1−p)। p = 0.1 रखें: H(0.1) = 0.1(3.3219) + 0.9(0.15200) = 0.3322 + 0.1368 = 0.4690, अतः C = 0.5310 बिट प्रति प्रयोग। दस प्रतिशत बिट-त्रुटियों ने आपसे चैनल का 47 प्रतिशत ले लिया है। अब सिरे देखें और 1 − H(p) का आकार निहारें। p = 0 पर क्षमता 1 है, जैसा होना ही चाहिए। p = 0.5 पर क्षमता शून्य है — निर्गम सांख्यिकीय रूप से निवेश से स्वतंत्र है, और कोई कूट, कितना ही दीर्घ हो, उससे कुछ नहीं कर सकता। और p = 1 पर क्षमता पुनः 1 है, क्योंकि जो चैनल प्रत्येक बिट उलट दे वह पूर्णतः विश्वसनीय है: निर्गम उलट दें और आपके पास निवेश है। वह अंतिम स्थिति ठहरने योग्य है, क्योंकि वह यह बात स्पष्ट करती है कि क्षमता अप्रत्याशितता मापती है, त्रुटि-दर नहीं। जो चैनल ज्ञात ढंग से गलत हो वह शोरयुक्त चैनल ही नहीं है। उसी नाममात्र गंभीरता की भिन्न क्षति से तुलना करें, द्विआधारी लोप चैनल, जो α संभाव्यता से कोई बिट खो देता है किंतु आपको बता देता है कि कब खोया: C = 1 − α, अतः α = 0.1 पर क्षमता 0.9 है, BSC के 0.531 के सम्मुख। यह जानना कि कौन-से बिट खोए, प्रति प्रयोग 0.37 बिट मूल्य का है — बची क्षमता का लगभग दोगुना — और यही कारण है कि जो तंत्र अपनी विफलताएँ स्वयं चिह्नित कर सके वह न कर सकने वाले से भिन्न अभिकल्पित होता है, तथा नीचे के कूटन खंड में लोप-विकूटन त्रुटि-विकूटन से सस्ता क्यों है।

योज्य श्वेत गाउसीय शोर से सीमित B बैंडविड्थ के संतत चैनल हेतु क्षमता शैनन–हार्टली परिणाम C = B log₂(1 + S/N) बिट/से है। उसके दो पाठ परीक्षणीय हैं। वाम से दक्षिण पढ़ें तो वह बैंडविड्थ का मूल्य शक्ति के सम्मुख आँकता है: 30 dB के SNR पर, अर्थात् S/N = 1000, 3 kHz का दूरभाष चैनल C = 3000 × log₂(1001) = 3000 × 9.967 = 29.9 kbit/s रखता है — और इसीलिए वाक्-बैंड मोडेम उसी आँकड़े से तनिक ऊपर रुक गए और इसीलिए उससे तेज़ किसी भी वस्तु को उत्तम मोडेम के बजाय चौड़ा चैनल चाहिए था। दूसरी दिशा से पढ़ें तो वह दिखाता है कि दोनों परस्पर विनिमेय नहीं। क्षमता बैंडविड्थ के साथ रैखिकतः बढ़ती है किंतु शक्ति के साथ केवल लघुगणकीय रूप से, अतः B दोगुना करना C को मोटे तौर पर दोगुना करता है जबकि S दोगुना करना प्रति हर्ट्ज़ केवल लगभग एक बिट जोड़ता है। और बैंडविड्थ की भी असीम अदला-बदली नहीं हो सकती, क्योंकि नियत प्रेषित शक्ति पर B चौड़ा करना अधिक शोर भीतर आने देता है: जैसे B → ∞, C, 1.44 S/N₀ की ओर जाता है, और प्रति बिट ऊर्जा पर तत्संबंधी सीमा Eb/N₀ ≥ ln 2 = 0.693 है, अर्थात् −1.59 dB। वही संख्या शैनन सीमा है, और वह वह फ़र्श है जिसके नीचे कोई मॉडुलन व कोई कूट कभी नहीं पहुँचेगा।

PCM व DPCM: प्रति बिट 6 dB, तथा जो पूर्वानुमेय हो उसे भेजने से कैसे बचें

स्पंद कूट मॉडुलन क्रम से तीन संक्रियाएँ हैं: f_s ≥ 2W पर प्रतिचयन, प्रत्येक प्रतिदर्श का L = 2ⁿ स्तरों में से एक पर क्वांटीकरण, तथा स्तर का n बिटों में कूटन। बिट-दर R_b = n f_s है, और W = 4 kHz वाली दूरभाष वाणी हेतु f_s = 8 kHz तथा n = 8, अर्थात् परिचित 64 kbit/s। प्रतिचयन यथातथ है — प्रतिचयन प्रमेय पूर्ण पुनर्निर्माण का वचन देता है यदि f_s ≥ 2W हो और संकेत बैंड-सीमित हो — अतः PCM में एकमात्र अनुत्क्रमणीय हानि क्वांटीकरण है। उसे शोर की भाँति प्रतिरूपित करें। पद Δ वाला एकसमान क्वांटीकारक प्रत्येक प्रतिदर्श को ±Δ/2 के भीतर पूर्णांकित करता है, और यदि त्रुटि को उस अंतराल पर एकसमान वितरित माना जाए तो उसका माध्य-वर्ग Δ²/12 है। वही क्वांटीकरण शोर-शक्ति है, और वह पद-आकार पर निर्भर है और किसी अन्य बात पर नहीं — संकेत पर नहीं, प्रतिचयन-दर पर नहीं।

🧠 6.02n + 1.76 कहाँ से आता है, और 1.76 चुपचाप क्या मान रहा है
एक बार व्युत्पन्न करें और आप उसे कभी गलत नहीं कहेंगे। क्वांटीकारक L = 2ⁿ पदों में ±V आवृत करे, अतः Δ = 2V/L तथा शोर-शक्ति Δ²/12 = 4V²/(12L²) = V²/(3L²)। अब संकेत चुनें। V आयाम के पूर्ण-मान ज्यावक्रीय हेतु संकेत-शक्ति V²/2 है, अतः SQNR = (V²/2)/(V²/3L²) = 1.5 L² = 1.5 × 2^(2n)। डेसिबल में 10 log₁₀ 1.5 + 20n log₁₀ 2 = 1.76 + 6.02n dB। n = 8 पर वह 49.9 dB है; n = 9 पर 55.9 dB। 6.02n पद सार्वत्रिक है और 1.76 नहीं — वह पूर्ण-मान ज्यावक्रीय अभिधारणा का चिह्न है, और अभिसमय बताया जाना चाहिए। इसके बजाय पूर्ण परिसर पर एकसमान वितरित संकेत लें: उसकी शक्ति V²/3 है (V²/2 नहीं), और SQNR = L² = 2^(2n), अर्थात् बिना योज्य पद 6.02n dB, अतः n = 8 पर 48.2 dB। वास्तविक वाक्-संकेत, जो अपना अधिकांश समय पूर्ण मान से भली-भाँति नीचे व्यय करता है, उससे भी बुरा करता है, और वह अंतर कंपैंडिंग के विद्यमान होने का कारण है: µ-नियम अथवा A-नियम अभिलक्षण एकसमान क्वांटीकारक से पूर्व बड़े आयाम संपीडित करता है और पश्चात् उनका प्रसार करता है, जो वहाँ सूक्ष्म पद प्रयोग करने के तुल्य है जहाँ संकेत सामान्यतः रहता है और वहाँ स्थूल पद जहाँ वह विरले जाता है। 6.02n का अभियांत्रिक परिणाम स्पष्ट कहने योग्य है: प्रत्येक अतिरिक्त बिट 6 dB खरीदता है और f_s बिट/से लेता है। दूरभाष वाणी पर 8 से 9 बिट जाना 6 dB SQNR खरीदता है और 8 kbit/s लेता है, दर को 64 से 72 kbit/s तक ले जाते हुए — और वही विनिमय-दर, प्रति 8 kbit/s 6 dB, PCM अभिकल्प का सर्वस्व है।

विभेदक PCM उस अतिरेक पर आक्रमण करता है जिसे PCM उपेक्षित छोड़ देता है। वाणी अथवा वीडियो के क्रमागत प्रतिदर्श प्रबलतः सहसंबद्ध हैं, अतः प्रत्येक प्रतिदर्श का बहुत भाग अपने पूर्ववर्तियों से पूर्वानुमेय है — और पूर्वानुमेय राशि भेजना बिटों को व्यर्थ व्यय करना है। DPCM प्रत्येक प्रतिदर्श का पूर्वानुमान विगत पुनर्निर्मित प्रतिदर्शों से करता है (पुनर्निर्मित, मूल नहीं, ताकि कूटक व विकूटक ठीक-ठीक एक-दूसरे का अनुसरण करें और त्रुटियाँ संचित न हों), और केवल पूर्वानुमान-त्रुटि का क्वांटीकरण करता है। चूँकि त्रुटि का प्रसरण संकेत से लघु है, वही क्वांटीकारक-पद उत्तम SQNR देता है — अथवा तुल्य रूप से, कम बिट वही SQNR देते हैं। ρ = 0.9 के सन्निकट-प्रतिदर्श सहसंबंध गुणांक वाले स्रोत पर प्रथम-कोटि पूर्वानुमानक लें। इष्टतम पूर्वानुमानक x̂[n] = ρ x[n−1] है, और अवशेष प्रसरण σ_e² = σ_x²(1 − ρ²) = 0.19 σ_x²। अतः पूर्वानुमान लब्धि 10 log₁₀(1/0.19) = 7.21 dB है, और प्रति बिट 6.02 dB पर वह प्रति प्रतिदर्श 1.20 बिट की बचत है — अतः 8-बिट PCM गुणवत्ता लगभग 6.8 बिट पर प्राप्त होती है, और 64 kbit/s कड़ी उसी अनुभूत गुणवत्ता हेतु लगभग 54 kbit/s बन जाती है। पूर्वानुमानक की कोटि ऊपर धकेलें और लब्धि बढ़ती है; डेल्टा मॉडुलन एक-बिट क्वांटीकारक व अत्यंत उच्च प्रतिचयन-दर वाली सीमांत स्थिति है, जो क्वांटीकरण शोर के बदले दो नए दोष लेती है — ढाल अतिभार जब संकेत Δf_s से तेज़ चढ़े, तथा कणिकीय शोर जब वह लगभग सपाट हो।

ASK, PSK, FSK तथा QAM: निर्देशांकों के रूप में लिखे संकेत-विन्यास

पाठ्यक्रम का प्रत्येक अंकीय मॉडुलन किसी संकेत-आकाश में बिंदुओं का चयन है, और बिंदुओं को निर्देशांकों के रूप में लिख लेने पर शेष ज्यामिति है। आधार एक अथवा दो लांबिकप्रसामान्य वाहक हैं — φ₁(t) = √(2/T) cos 2πf_c t तथा, जहाँ आवश्यक हो, φ₂(t) = √(2/T) sin 2πf_c t — और कोई प्रतीक दो संख्याओं का युग्म है जो बताता है कि प्रत्येक का कितना। उस आकाश में दूरियाँ √(ऊर्जा) में मापी जाती हैं, और जो एकल संख्या त्रुटि-दर नियंत्रित करती है वह किन्हीं दो बिंदुओं के बीच न्यूनतम दूरी d_min है, क्योंकि शोर को इससे कोई सरोकार नहीं कि आप कौन-से दो बिंदु भ्रमित कर रहे हैं। नीचे की सारणी चारों योजनाएँ निर्देशांकों के रूप में देती है, सब कुछ √E_b की इकाइयों में व्यक्त, ताकि उनकी तुलना प्रति बिट समान ऊर्जा पर हो सके — एकमात्र न्यायपूर्ण तुलना, और वही जो प्रत्येक प्रश्न करता है।

निर्देशांकों के रूप में संकेत-विन्यास, सभी √Eb की इकाइयों में, तथा परिणामी बिट-त्रुटि दर
योजना√Eb में संकेत-बिंदु (a₁, a₂)√Eb में d_minसुसंगत BER, तथा Eb/N₀ = 10 dB पर उसका मान
BPSK (2-PSK), 1 बिट/प्रतीक(+1, 0) तथा (−1, 0)2.000Q(√(2Eb/N₀)) = 3.87 × 10⁻⁶
QPSK (4-QAM), 2 बिट/प्रतीक, ग्रे-कूटित(±1, ±1) — चारों चिह्न-संयोजन2.000 — BPSK जितनी हीQ(√(2Eb/N₀)) = 3.87 × 10⁻⁶, दोगुनी बिट-दर पर
सुसंगत BFSK, 1 बिट/प्रतीक, लांबिक(1, 0) तथा (0, 1)1.414 = √2Q(√(Eb/N₀)) = 7.83 × 10⁻⁴ — 3 dB बुरा
सुसंगत ASK / OOK, 1 बिट/प्रतीक(0, 0) तथा (√2, 0) — औसत ऊर्जा Eb है1.414 — BFSK जितनी हीQ(√(Eb/N₀)) = 7.83 × 10⁻⁴
16-QAM, 4 बिट/प्रतीक, ग्रे-कूटित(±0.632, ±0.632), (±0.632, ±1.897), (±1.897, ±0.632), (±1.897, ±1.897)1.2650.75 Q(√(0.8 Eb/N₀)) = 1.75 × 10⁻³
🎯 QPSK निःशुल्क है और 16-QAM नहीं: संकेत-विन्यास का अंकगणित
16-QAM के निर्देशांक निकालें और सम्पूर्ण तुलना बिना किसी चित्र के दिखने लगती है। वर्गाकार 16-QAM संकेत-विन्यास के दोनों निर्देशांक {±a, ±3a} से लिए जाते हैं, कुल सोलह बिंदु। प्रत्येक अक्ष पर वर्गित निर्देशांक का माध्य (a² + a² + 9a² + 9a²)/4 = 5a² है, अतः औसत प्रतीक-ऊर्जा E_s = 10a²। प्रति प्रतीक चार बिट का अर्थ E_s = 4E_b, अतः a² = 0.4 E_b तथा a = 0.632√E_b; बाह्य निर्देशांक 3a = 1.897√E_b है, और सारणी की संख्याएँ वहीं से आती हैं। निकटतम पड़ोसी 2a दूर हैं, अतः d_min = 1.265√E_b। BPSK के d_min = 2√E_b से तुलना करें। वर्गित-दूरी अनुपात (1.265)²/(2)² = 1.6/4 = 0.4 है, 10 log₁₀(1/0.4) = 3.98 dB का दंड — और निश्चय ही मानक BER व्यंजक ठीक उतने से भिन्न हैं: BPSK का Q(√(2Eb/N₀)) और 16-QAM का Q(√(0.8 Eb/N₀)), और 2/0.8 = 2.5 = 3.98 dB। अतः 16-QAM प्रति प्रतीक एक के बजाय चार बिट भेजता है और उसके लिए लगभग 4 dB चुकाता है। अब QPSK हेतु वही अंकगणित करें और कुछ भिन्न होता है। उसके बिंदु √E_b में (±1, ±1) हैं, अतः दो बिट हेतु E_s = 2E_b — और निकटतम पड़ोसी, जो केवल एक निर्देशांक में भिन्न हैं, 2√E_b दूर हैं, BPSK से अभिन्न। अतः QPSK उसी बैंडविड्थ में ठीक वही बिट-त्रुटि दर व प्रति बिट वही ऊर्जा पर दोगुने बिट वहन करता है, जो इस विषय द्वारा प्रस्तुत निःशुल्क भोजन के निकटतम है। क्रियाविधि यह है कि QPSK लांबिक वाहकों पर दो स्वतंत्र BPSK संकेत हैं, और लांबिकता का अर्थ है कि वे व्यतिकरण नहीं करते। शिक्षा सामान्यीकृत होती है: संकेत-विन्यास का आकार दोगुना करना केवल तब तक निःशुल्क है जब तक आप नई लांबिक विमा जोड़ सकें, और जब आप विद्यमान विमाओं में अधिक बिंदु भरने लगें तो प्रति चार-गुने लगभग 4 dB लेता है। प्रश्न एक चेतावनी की परीक्षा लेते हैं: QPSK की प्रतीक-त्रुटि दर बिट-त्रुटि दर की लगभग दोगुनी है, क्योंकि प्रतीक-त्रुटि सामान्यतः अपने दो बिटों में से एक बिगाड़ती है — ग्रे कूटन ही 'सामान्यतः एक' को 'औसतन डेढ़' के बजाय सत्य बनाता है।

दो व्यावहारिक बिंदु इस खंड को बंद करते हैं। प्रथम, असुसंगत संसूचन वाहक-कला संदर्भ की आवश्यकता हटा देता है और तनिक निष्पादन लेता है: असुसंगत BFSK का P_b = ½ e^(−Eb/2N₀) है, जो Eb/N₀ = 10 dB पर सुसंगत 7.83 × 10⁻⁴ के सम्मुख 3.37 × 10⁻³ देता है — त्रुटि-दर में चार का गुणनखंड, अपेक्षित ऊर्जा में लगभग 1 dB, वाहक-पुनर्प्राप्ति लूप पूर्णतः मिटा देने के बदले। द्वितीय, बैंडविड्थ दक्षता ही वह है जिसके लिए QAM खरीदा जाता है। M बिंदुओं वाली योजना प्रति प्रतीक log₂ M बिट वहन करती है, अतः नियत प्रतीक-दर पर बिट-दर log₂ M के रूप में मापित होती है जबकि बैंडविड्थ बिल्कुल नहीं हिलती — बैंडविड्थ प्रतीक-दर से नियत है, और वही अगले खंड का विषय है। अतः सम्पूर्ण कुल एक ही अदला-बदली वक्र पर पड़ता है: BPSK व QPSK शक्ति-दक्ष व बैंडविड्थ-भूखे हैं; 16-QAM तथा उससे ऊपर बैंडविड्थ-दक्ष व शक्ति-भूखे, और कोई तंत्र वक्र के किस सिरे पर बैठे यह इससे तय होता है कि स्पेक्ट्रम अथवा प्रेषित्र-शक्ति में कौन दुर्लभतर संसाधन है।

बैंडविड्थ व अंतर-प्रतीक व्यतिकरण: नाइक्विस्ट कसौटी

परिमित बैंडविड्थ के चैनल से प्रतीक-दर R_s पर भेजे गए स्पंद काल में फैल जाते हैं, अतः प्रत्येक स्पंद के पास उन क्षणों पर भी ऊर्जा रहती है जब उसके पड़ोसियों का प्रतिचयन हो रहा हो। वह रिसाव अंतर-प्रतीक व्यतिकरण है, और वह शोर नहीं है — वह निर्धारक, संकेत-निर्भर त्रुटि है जो तेज़ भेजने पर बिगड़ती है और शक्ति बढ़ाने से हट नहीं सकती। शून्य ISI हेतु नाइक्विस्ट कसौटी निकलने की शर्त बताती है: समग्र स्पंद अपने अतिरिक्त प्रत्येक प्रतिचयन-क्षण पर शून्य होना चाहिए, और वह न्यूनतम बैंडविड्थ जिसमें ऐसा स्पंद विद्यमान हो सके B = R_s/2 है, नाइक्विस्ट बैंडविड्थ। तुल्य रूप से, B बैंडविड्थ का चैनल ISI के बिना अधिकतम R_s = 2B प्रतीक प्रति सेकंड सँभालता है। जो स्पंद उस परिसीमा को ठीक-ठीक प्राप्त करता है वह sinc है, जिसका स्पेक्ट्रम R_s/2 चौड़ाई की ईंट-दीवार है और जिसके शून्य-प्रतिच्छेद ठीक पड़ोसी प्रतिचयन-क्षणों पर पड़ते हैं।

⚠️ आदर्श sinc स्पंद वही एक आकार है जिसे कोई प्रयोग नहीं करता, और कारण कालन है
sinc स्पंद न्यूनतम संभव बैंडविड्थ से नाइक्विस्ट कसौटी पूरी करता है, अतः वह स्पष्ट चयन लगता है, और उसका प्रयोग कभी नहीं होता। दो कारण, और दोनों सिद्धांत के बजाय दृढ़ता के विषय में हैं। उसका स्पेक्ट्रम पूर्ण आयत है, जिसके लिए असाकार्य फ़िल्टर चाहिए — अनंत तीक्ष्ण, अनंत दीर्घ आवेग-अनुक्रिया। और उसकी पूँछें केवल 1/t के रूप में क्षय होती हैं, अतः दूरस्थ प्रतीकों द्वारा दिया ISI अत्यंत मंद गति से गिरता है; एक क्षण विलंब से प्रतिचयन करें और आप शून्य-प्रतिच्छेदों पर नहीं उतरते, और सैकड़ों पड़ोसी प्रतीकों के अवशेष योगदान निरसित होने के बजाय जुड़ जाते हैं। आदर्श स्पंद का ISI ठीक सही क्षण पर शून्य और किसी अन्य पर अपरिबद्ध है, जो उसे कालन-कंपन के प्रति अत्यंत संवेदी बना देता है — वास्तविक अभिग्राही हेतु सर्वाधिक बुरा संभव गुणधर्म। अभियांत्रिक उत्तर उन्नत-कोसाइन स्पंद है, जो अधिक बैंडविड्थ प्रयोग करके दृढ़ता वापस खरीदता है: B = (R_s/2)(1 + α), जहाँ अवरोहण-कारक α, 0 व 1 के बीच है। α = 0 पर वह sinc है; α = 1 पर वह नाइक्विस्ट बैंडविड्थ का दोगुना है, ऐसी पूँछों सहित जो 1/t³ के रूप में क्षय होती हैं और ऐसे स्पेक्ट्रम सहित जिसमें संश्लेषित करने योग्य कोई विच्छिन्नता नहीं। संख्याएँ: R_s = 2 Msym/s तथा α = 0.25 पर बैंडविड्थ 1 × 1.25 = 1.25 MHz है, और प्रति प्रतीक 4 बिट पर 16-QAM वहन करते हुए वह 1.25 MHz में 8 Mbit/s है, 6.4 बिट/से/Hz की स्पेक्ट्रमी दक्षता। उसकी शैनन से विवेक-जाँच करें: 6.4 बिट/से/Hz हेतु S/N ≥ 2^(6.4) − 1 = 83.4 चाहिए, अर्थात् 19.2 dB, अतः ऐसी कड़ी संभव है किंतु उसे अच्छा चैनल चाहिए — और कूटन भी चाहिए, क्योंकि उस SNR पर 16-QAM त्रुटि-मुक्त के कहीं निकट नहीं। नेत्र-प्रतिरूप वही है जिससे व्यवहार में ISI मापा जाता है: प्राप्त तरंगरूप के अनेक प्रतीक-आवर्त एक-दूसरे पर अध्यारोपित करें और प्रतिचयन-क्षण पर ऊर्ध्व खुलाव शोर-सीमांत है, क्षैतिज खुलाव कालन-सीमांत है, और α बढ़ाना स्पेक्ट्रम के मूल्य पर दोनों चौड़े करता है। बंद नेत्र का अर्थ ISI है, शोर नहीं, और कितनी भी अतिरिक्त शक्ति उसे खोलेगी नहीं।

सुमेलित फ़िल्टर, तथा ML के सम्मुख MAP संसूचन

द्वि-पार्श्व PSD N₀/2 के श्वेत शोर में दबा T अवधि का ज्ञात स्पंद s(t) दिया हो, तो कौन-सा रैखिक फ़िल्टर प्रतिचयन-क्षण पर संकेत-शोर अनुपात अधिकतम करता है? उत्तर सुमेलित फ़िल्टर है, जिसकी आवेग-अनुक्रिया काल-प्रतिवर्तित स्पंद h(t) = s(T − t) है, और जिसका t = T पर निर्गम ∫₀ᵀ r(t)s(t) dt है — प्राप्त तरंगरूप का ज्ञात स्पंद से सहसंबंध। परिणाम की दो बातें यथार्थ रूप में कहने योग्य हैं क्योंकि दोनों की परीक्षा होती है। अधिकतम प्राप्य अनुपात SNR_max = 2E/N₀ है, जहाँ E = ∫s²(t)dt स्पंद-ऊर्जा है — ध्यान दें कि वह केवल ऊर्जा पर निर्भर है, स्पंद के आकार पर बिल्कुल नहीं, अतः समान ऊर्जा के आयत, त्रिभुज व उन्नत-कोसाइन सभी अभिन्न निष्पादन करते हैं। और अभिसमय महत्वपूर्ण है: यह 2E/N₀ मानता है कि N₀/2, द्वि-पार्श्व PSD है, और वही भौतिक शोर एक-पार्श्व N₀ के रूप में व्यक्त होने पर वही संख्या देता है। जो फ़िल्टर गलत स्पंद से सुमेलित हो, अथवा गलत क्षण पर प्रतिचयित हो, वह बुरा करता है, और वह कितना बुरा करता है यह गणनीय है।

🧠 सुमेलित फ़िल्टर से 30 dB, उसके आधे से 27 dB — हानि ठीक 3 dB है
A = 1 V आयाम व T = 1 µs अवधि का आयताकार स्पंद लें, अतः 1 Ω पर उसकी ऊर्जा E = A²T = 10⁻⁶ J है, द्वि-पार्श्व PSD N₀/2 = 10⁻⁹ W/Hz के श्वेत शोर में, अर्थात् N₀ = 2 × 10⁻⁹। सूत्र उद्धृत करने के बजाय सहसंबंधक-निर्गम सीधे गणित करें। संकेत-घटक ∫₀ᵀ s²(t)dt = E = 10⁻⁶ है। शोर-घटक (N₀/2)∫₀ᵀ s²(t)dt = (N₀/2)E = 10⁻⁹ × 10⁻⁶ = 10⁻¹⁵ प्रसरण का शून्य-माध्य गाउसीय है। अतः SNR = E²/[(N₀/2)E] = 2E/N₀ = 2 × 10⁻⁶/(2 × 10⁻⁹) = 1000, अर्थात् 30.0 dB ✓, जो सूत्र से सहमत है और, अधिक उपयोगी रूप से, दिखाता है कि सूत्र क्यों वैसा है। अब अभिग्राही को सर्वाधिक शिक्षाप्रद ढंग से बिगाड़ें: केवल स्पंद के प्रथम अर्धांश पर समाकलन करें। संकेत-घटक आधा होकर E/2 हो जाता है, किंतु शोर-प्रसरण भी, (N₀/2)(E/2) तक, अतः SNR = (E/2)²/[(N₀/2)(E/2)] = E/N₀ = 500, अर्थात् 27.0 dB। ठीक 3 dB खोया, ठीक आधी ऊर्जा एकत्र करने पर — और वही स्वच्छ परिणाम प्रमेय का व्यावहारिक कथन है: सुमेलित फ़िल्टर का कार्य सम्पूर्ण संकेत-ऊर्जा एकत्र करना है, और जो ऊर्जा आप एकत्र करने में विफल रहें वह डेसिबल-दर-डेसिबल खो जाती है। दो उपसिद्धांत। गलत क्षण पर प्रतिचयन उसी हानि का आंशिक-अतिव्यापन रूप है। और इसीलिए आयताकार स्पंद हेतु सहसंबंधक तथा समाकलन-व-निष्कासन अभिग्राही वही परिपथ हैं: अंतराल पर s(t) अचर होने से उससे सहसंबंध करना समाकलन करना ही है।

सुमेलित फ़िल्टर प्राप्त तरंगरूप को एक संख्या तक घटा देता है; तत्पश्चात् संसूचक निर्णय करता है कि कौन-सा प्रतीक भेजा गया था। अधिकतम पश्चवर्ती (MAP) संसूचन उस प्रतीक को चुनता है जिसकी पश्चवर्ती संभाव्यता P(s_i | r) सर्वाधिक हो, जिसका बेज़ के नियम से अर्थ है p(r | s_i) P(s_i) अधिकतम करना — पूर्ववर्ती से भारित संभावना। अधिकतम संभावना (ML) संसूचन पूर्ववर्ती छोड़ देता है और अकेले p(r | s_i) अधिकतम करता है। MAP त्रुटि-संभाव्यता न्यूनतम करने के अर्थ में सदा इष्टतम है। ML केवल तब इष्टतम है जब पूर्ववर्ती समान हों, जिस स्थिति में दोनों नियम अभिन्न हैं क्योंकि उभयनिष्ठ गुणनखंड P(s_i) इसे प्रभावित नहीं करता कि कौन-सी संभावना बृहत्तम है। वही तुल्यता ML के व्यवहार में लगभग सर्वत्र प्रयुक्त होने का कारण है — स्रोत कूटन ने प्रतीकों को पहले ही लगभग समसंभाव्य बना दिया है — और इसीलिए जो प्रश्न आपको असमान पूर्ववर्ती दे वह जाँच रहा है कि आपने ध्यान दिया क्या। ज्यामितीय रूप से MAP निर्णय-देहली खिसका देता है: द्विआधारी प्रतिमुख संकेतन हेतु देहली शून्य के बजाय r_th = (σ²/2√E) ln[P(0)/P(1)] पर बैठती है, अधिक संभाव्य प्रतीक की ओर झुकी, ताकि अभिग्राही दुर्लभ प्रतीक घोषित करने से पूर्व अधिक साक्ष्य माँगे।

🎯 असमान पूर्ववर्ती, हल किए गए: MAP त्रुटियाँ एक-चौथाई घटा देता है
−√E व +√E पर बिंदुओं वाला द्विआधारी प्रतिमुख संकेतन लें, E = 1, σ² = N₀/2 = 0.5 प्रसरण के शोर में — अर्थात् Eb/N₀ = 1, या 0 dB, इस प्रकार चुना कि अंकगणित पठनीय रहे। पूर्ववर्ती असमान हों: P(0) = 0.8, P(1) = 0.2। ML अभिग्राही अपनी देहली शून्य पर रखता है और P_e = Q(√(2Eb/N₀)) = Q(√2) = Q(1.4142) = 0.07865 पाता है, प्रतीक चाहे जो भेजा गया हो वही। MAP देहली r_th = (0.5/2) ln(0.8/0.2) = 0.25 × 1.38629 = 0.34657 है, संभाव्य प्रतीक की ओर खिसकी। उसकी त्रुटि-संभाव्यता भारित योग के रूप में गणित करनी पड़ती है, क्योंकि दोनों प्रतीकों की त्रुटि-संभाव्यताएँ अब भिन्न हैं। 0 भेजा गया हो तो माध्य −1 है और त्रुटि हेतु r > 0.34657 चाहिए, जो (0.34657 + 1)/0.70711 = 1.9042 मानक विचलन दूर है, अतः Q(1.9042) = 0.02844। 1 भेजा गया हो तो माध्य +1 है और त्रुटि हेतु r < 0.34657 चाहिए, जो (1 − 0.34657)/0.70711 = 0.9241 मानक विचलन है, अतः Q(0.9241) = 0.17773। भारण: P_e = 0.8(0.02844) + 0.2(0.17773) = 0.02276 + 0.03555 = 0.05829। MAP: 0.0583। ML: 0.0787। त्रुटियों में 26 प्रतिशत की कमी, एक देहली खिसकाने से और कुछ भी अतिरिक्त प्रेषित किए बिना। व्यक्तिगत संख्याएँ पढ़ें और क्रियाविधि स्पष्ट है: दुर्लभ प्रतीक की अपनी त्रुटि-संभाव्यता तीव्रता से ऊपर गई है, 7.9 से 17.8 प्रतिशत, और सामान्य प्रतीक की 7.9 से 2.8 तक नीचे आई है — MAP ने बारंबार आने वाले की रक्षा हेतु दुर्लभ घटना की यथार्थता जानबूझकर बलि दी है, और चूँकि बारंबार आने वाला चार गुना अधिक होता है, औसत जीत जाता है। वही सम्पूर्ण विचार है, और वह यह भी बताता है कि MAP कब कष्ट के योग्य नहीं: जैसे-जैसे पूर्ववर्ती समता के निकट आते हैं, देहली-विस्थापन शून्य की ओर जाता है और लब्धि लुप्त हो जाती है।

त्रुटि संशोधन के मूल तत्त्व: हैमिंग कूट व CRC

खंड-कूट k संदेश-बिट लेता है और n प्रेषित बिट बनाने हेतु अतिरेक जोड़ता है, दर k/n पर। उसकी पहचानने व संशोधन करने की सामर्थ्य एक ही संख्या से शासित है, न्यूनतम हैमिंग दूरी d_min, अर्थात् वे न्यूनतम बिट-स्थान जिनमें कोई दो भिन्न कूटशब्द भिन्न हों। उससे दो गणनाएँ सीधे निकलती हैं: कूट d_min − 1 तक त्रुटियाँ पहचानता है, और ⌊(d_min − 1)/2⌋ तक संशोधन करता है। तर्क स्थानिक है। t त्रुटियाँ पहचानने हेतु किसी कूटशब्द का कोई t-बिट विकार किसी अन्य कूटशब्द पर न उतरे। t त्रुटियाँ संशोधित करने हेतु विकृत शब्द को भेजे गए कूटशब्द के किसी अन्य से अधिक निकट रहना चाहिए, जिसे दोगुना पृथक्करण चाहिए। अतः पहचान सस्ती है और संशोधन महँगा, और कूट किसी भी ढंग से चलाया जा सकता है — d_min = 4 एक त्रुटि संशोधित करता है, अथवा तीन पहचानता है, किंतु दोनों पूर्ण सामर्थ्य से एक साथ नहीं।

🧠 (7,4) हैमिंग सिंड्रोम त्रुटि-स्थान ही है, द्विआधारी में
(7,4) हैमिंग कूटशब्द चिरसम्मत क्रम में रखें, दो-की-घात स्थानों पर परिता बिटों सहित: स्थान 1 = p₁, 2 = p₂, 3 = d₁, 4 = p₃, 5 = d₂, 6 = d₃, 7 = d₄। प्रत्येक परिता बिट उन स्थानों को आवृत करता है जिनके द्विआधारी सूचकांक में उसका अपना बिट हो: p₁, {1,3,5,7} आवृत करता है, p₂, {2,3,6,7}, p₃, {4,5,6,7}। संदेश d = 1011 कूटित करें। तब p₁ = d₁ ⊕ d₂ ⊕ d₄ = 1⊕0⊕1 = 0, p₂ = d₁ ⊕ d₃ ⊕ d₄ = 1⊕1⊕1 = 1, p₃ = d₂ ⊕ d₃ ⊕ d₄ = 0⊕1⊕1 = 0, जो कूटशब्द 0110011 देता है। उस पर तीनों परिताएँ सत्यापित करें: {1,3,5,7} = 0⊕1⊕0⊕1 = 0 ✓, {2,3,6,7} = 1⊕1⊕1⊕1 = 0 ✓, {4,5,6,7} = 0⊕0⊕1⊕1 = 0 ✓। अब स्थान 5 बिगाड़ें, अतः अभिग्राही 0110111 देखता है। तीनों परिता-जाँचें पुनः गणित करें: s₁ = 0⊕1⊕1⊕1 = 1, s₂ = 1⊕1⊕1⊕1 = 0, s₃ = 0⊕1⊕1⊕1 = 1। सिंड्रोम को द्विआधारी संख्या (s₃ s₂ s₁) = 101 = 5 की भाँति पढ़ें — और 5 ठीक वही बिगड़ा स्थान है। वह संयोग नहीं बल्कि सर्वप्रथम परिता बिटों को दो-की-घात स्थानों पर रखने का कारण है, और इसीलिए हैमिंग कूट के विकूटन को कोई सारणी नहीं चाहिए: तीन परिताएँ गणित करें, उन्हें संख्या की भाँति पढ़ें, वह बिट पलट दें। बिट-क्रम स्पष्ट रूप से बताएँ, क्योंकि (s₁ s₂ s₃) दूसरे ढंग से पढ़ने पर 1 देता है और गलत बिट की ओर संकेत करता है — अभिसमय यह है कि जो जाँच उच्चतम-भार सूचकांक आवृत करती है वही सर्वाधिक सार्थक सिंड्रोम बिट है। अब वह भाग जो चेतावनी की भाँति स्मरण रखने योग्य है। दो स्थान, 5 व 6, बिगाड़ें, अतः अभिग्राही 0110101 देखता है। सिंड्रोम s₁ = 1, s₂ = 1, s₃ = 0 निकलता है, अर्थात् 011 = 3 — और विकूटक आत्मविश्वास से स्थान 3 पलट देता है, जो कभी गलत नहीं था। एकल-त्रुटि-संशोधक कूट को दो त्रुटियाँ दें तो वह शालीनता से विफल नहीं होता; वह एक तीसरी गढ़ देता है। (7,4) कूट का d_min = 3 है, अतः दो त्रुटियाँ उसकी सामर्थ्य से परे हैं, और मानक सुधार विस्तारित (8,4) कूट है जिसमें एक समग्र परिता बिट जोड़ा गया हो: d_min बढ़कर 4 हो जाता है, और विकूटक अब एकल त्रुटि (संशोध्य) को द्वि-त्रुटि (चिह्नित, संशोधित नहीं) से बता सकता है। उस संयोजन का नाम है — SEC-DED, एकल त्रुटि संशोधक, द्वि त्रुटि पहचानक — और ठीक इसी कारण स्मृति ECC उसी को प्रयोग करता है।

चक्रीय अतिरेक जाँच केवल त्रुटि पहचान है, और उसकी सम्पूर्ण क्रियाविधि मापांक 2 में बहुपद-विभाजन है। संदेश को बहुपद M(x) के गुणांकों की भाँति मानें, r कोटि का जनक G(x) चुनें, संदेश को r बिट ऊपर खिसकाएँ (जो xʳ से गुणा करना है), व्यवकलन के स्थान पर XOR प्रयोग करते हुए G(x) से भाग दें, और संदेश को r-बिट शेषफल जोड़कर प्रेषित करें। तब प्रेषित फ़्रेम G(x) से ठीक-ठीक विभाज्य है, अतः अभिग्राही केवल पुनः भाग देता है: शून्य शेषफल का अर्थ स्वीकार, अन्य कुछ का अर्थ पहचानी गई त्रुटि। CRC को उसके अंकगणित के योग्य बनाती वह प्रत्याभूति-सूची है जो G(x) के चयन से निकलती है। एक से अधिक पद वाला जनक प्रत्येक एकल-बिट त्रुटि पहचानता है। अशून्य अचर पद वाला जनक r अथवा उससे कम लंबाई का प्रत्येक विस्फोट पहचानता है, जो महत्वपूर्ण है क्योंकि वास्तविक चैनल-त्रुटियाँ स्वतंत्र रूप से नहीं, विस्फोटों में आती हैं। जिस जनक का (x + 1) गुणनखंड हो वह प्रत्येक विषम-भार त्रुटि-प्रतिरूप पहचानता है। और r कोटि का आदिम जनक 2ʳ − 1 बिट के फ़्रेम के भीतर सभी द्वि-बिट त्रुटियाँ पहचानता है।

🧠 एक CRC आदि से अंत तक हल किया गया, और तत्पश्चात् अभिग्राही पर जाँचा गया
संदेश M = 1101011011, जनक G = 10011, जो x⁴ + x + 1 है और अतः r = 4। भाज्य 11010110110000 पाने हेतु चार शून्य जोड़ें और XOR से भाग दें, एक-एक बिट नीचे लाते हुए। प्रथम पाँच बिट 11010 से आरंभ करें; 01001 पाने हेतु 10011 XOR करें। अगला बिट नीचे लाएँ: 10011; 00000 पाने हेतु XOR। 1 नीचे लाएँ: 00001, अग्र शून्य अतः XOR नहीं। तत्पश्चात् 0: 00010। तत्पश्चात् 1: 00101। तत्पश्चात् 1: 01011। तत्पश्चात् 0: 10110; 00101 पाने हेतु 10011 XOR करें। तत्पश्चात् 0: 01010। तत्पश्चात् 0: 10100; 00111 पाने हेतु XOR। तत्पश्चात् अंतिम 0: 01110। शेषफल निचले चार बिट हैं, 1110, अतः प्रेषित फ़्रेम M है, CRC जोड़ा हुआ: 11010110111110। अब अभिग्राही का कार्य करें, जो सम्पूर्ण फ़्रेम पर वही भाग है। उसे चलाने पर शेषफल 0000 मिलता है ✓, और वही शून्य सम्पूर्ण स्वीकार-परीक्षा है। दो बातें निकालने योग्य हैं। जाँच किसी संग्रहीत मान से तुलना नहीं है — फ़्रेम स्वयं अब G(x) का गुणज है, और अभिग्राही को यह जानने की कभी आवश्यकता नहीं कि मूल शेषफल क्या था, और इसीलिए CRC अभिग्राही से एक शिफ़्ट रजिस्टर लेता है, अधिक कुछ नहीं। और ध्यान दें कि इस विशिष्ट G(x) = x⁴ + x + 1 का (x + 1) गुणनखंड नहीं है: x = 1 प्रतिस्थापित करने पर 1 + 1 + 1 = 1 मिलता है, शून्य नहीं। अतः वह सभी एकल त्रुटियाँ, 4 अथवा उससे कम लंबाई के सभी विस्फोट, तथा 15-बिट फ़्रेम के भीतर सभी द्वि-त्रुटियाँ पहचानता है, किंतु प्रत्येक विषम-भार प्रतिरूप की पहचान की प्रत्याभूति नहीं देता — व्यवहार में प्रयुक्त मानक जनक, जैसे CRC-16 व CRC-32, ठीक वही प्रत्याभूति जोड़ने हेतु जानबूझकर (x + 1) गुणनखंड सहित चुने जाते हैं। दिया गया जनक कौन-सी प्रत्याभूतियाँ वहन करता है और कौन-सी नहीं, यह पढ़ना एक प्रिय एक-अंकीय प्रश्न है, और उसका उत्तर G(x) का गुणनखंडन करने से मिलता है, सूची कंठस्थ करने से नहीं।
पहचान बनाम संशोधन: दिया गया d_min क्या खरीदता है, कूटन-मूल्य सहित
कूटदर k/nd_minपहचानता / संशोधित करता है, तथा उसके परे विफलता-प्रकार
एकल परिता बिट, (n, n−1)(n−1)/n — लगभग 121 पहचानता है, 0 संशोधित करता है। प्रत्येक सम-भार त्रुटि से अंधा।
हैमिंग (7,4)4/7 = 0.57131 संशोधित करता है अथवा 2 पहचानता है। दो त्रुटियों पर वह तीसरी बना देता है।
विस्तारित हैमिंग (8,4), SEC-DED4/8 = 0.50041 संशोधित करता है और 2 को असंशोध्य चिह्नित करता है — कोई मौन तीसरी त्रुटि नहीं।
G(x) = x⁴ + x + 1 सहित CRCइस फ़्रेम हेतु 10/14 = 0.714केवल पहचान≤ 4 के सभी विस्फोट, 15 बिट में सभी द्वि-त्रुटियाँ। कुछ संशोधित नहीं करता — पुनःप्रेषण चाहिए।

परीक्षा-कौशल: वे अभिसमय जो संख्या तय करते हैं

खंड 7 के इस अर्धांश में वास्तविक अज्ञान से अधिक अंक अकथित अभिसमयों में जाते हैं, क्योंकि अधिकांश परिणाम अनुपात हैं और अनुपात दो प्रकार से परिभाषित हो सकता है। EC पेपर की संरचना — 65 प्रश्न, 100 अंक, 180 मिनट, सामान्य अभिवृत्ति 10 प्रश्न 15 अंकों हेतु सहित — औसतन प्रति प्रश्न तीन मिनट से कम छोड़ती है, और जिस अभ्यर्थी को यह तर्क करना पड़े कि Eb/N₀ अभिप्रेत था अथवा SNR, उसने वह बजट पहले ही व्यय कर दिया है। अतः अभिसमय पहले से तय कर लें। तत्पश्चात् अंकन की असममिति उन प्रश्नों पर आपकी नीति तय करती है जिन्हें आप तय नहीं कर सकें: गलत MCQ का मूल्य प्रश्न के मान का एक-तिहाई है, अतः दो विकल्पों तक सिमटा MCQ लेने योग्य है और चार-तरफ़ा अनुमान नहीं, जबकि MSQ व NAT पर ऋणात्मक अंकन नहीं, अतः प्रत्येक संख्यात्मक-उत्तर प्रश्न पूर्ण हल के बजाय किसी परिसीमा से भी प्रयास करने योग्य है।

इस अध्याय के छह अभिसमय, जिनमें प्रत्येक कोई मुद्रित उत्तर बदल देता है
राशियहाँ प्रयुक्त अभिसमयदूसरा पाठ, तथा वह संख्या के साथ क्या करता है
शोर घनत्वद्वि-पार्श्व N₀/2; सुमेलित फ़िल्टर SNR = 2E/N₀एक-पार्श्व N₀ वही भौतिक उत्तर देता है; 2 का भटका गुणनखंड सामान्यतः दोनों के मिल जाने का संकेत है
Eb/N₀ vs SNREb/N₀ — प्रति बिट ऊर्जा, अतः सभी योजनाएँ न्यायपूर्वक तुलनीयEs/N₀, log₂M गुना बड़ा है — 16-QAM का Es/N₀ उसके Eb/N₀ से 6 dB ऊपर
PCM SQNR1.76 + 6.02n dB, पूर्ण-मान ज्यावक्रीय मानते हुएपूर्ण-परिसर पर एकसमान वितरित संकेत 6.02n dB देता है — 1.76 dB नीचे
त्रुटि दरबिट त्रुटि दर P_bग्रे कूटन हेतु प्रतीक-त्रुटि दर लगभग log₂M × P_b — QPSK हेतु P_b की दोगुनी
अंकीय कड़ी की बैंडविड्थउन्नत-कोसाइन हेतु B = (R_s/2)(1 + α)कुछ ग्रंथ पासबैंड चौड़ाई हेतु R_s(1 + α) उद्धृत करते हैं — 2 का गुणनखंड
हैमिंग सिंड्रोम बिट-क्रमद्विआधारी स्थान के रूप में (s₃ s₂ s₁) — स्थान 5 की त्रुटि हेतु 5 दिया(s₁ s₂ s₃) पढ़ने पर 1 मिलता है और वह पूर्णतः गलत बिट की ओर संकेत करता है
ℹ️ बिट से डेसिबल तक की श्रृंखला, उसी क्रम में जिसमें प्रश्न उस पर चलता है
इस खंड के इस अर्धांश के अधिकांश बहु-भागीय प्रश्न वही एक श्रृंखला चलते हैं, और उसका क्रम जानना कठिन प्रश्न को पाँच सरल प्रश्नों में बदल देता है। स्रोत से बिट तक: एन्ट्रॉपी H फ़र्श देती है, हफ़मैन प्राप्य L देता है, दक्षता H/L है। तरंगरूप से बिट तक: f_s ≥ 2W तथा n बिट, R_b = n f_s देते हैं, पूर्ण-मान ज्यावक्रीय हेतु SQNR = 1.76 + 6.02n dB सहित। बिट से प्रतीक तक: R_s = R_b/log₂M। प्रतीक से बैंडविड्थ तक: B = (R_s/2)(1 + α), अतः स्पेक्ट्रमी दक्षता R_b/B है। बैंडविड्थ व शक्ति से छत तक: R_b ≤ B log₂(1 + S/N) जाँचें, और यदि अपेक्षित दक्षता को कड़ी की उपलब्ध SNR से अधिक चाहिए, तो कोई मॉडुलन उसे नहीं बचाएगा। ऊर्जा से त्रुटि-दर तक: Eb/N₀ को योजना के Q-फलन में, तत्पश्चात् P_b को कूटन-अपेक्षा में। उस श्रृंखला पर आगे की दिशा में कार्य करना आपको निःशुल्क संगति-जाँचें भी देता है: बताई गई SNR पर शैनन की अनुमति से अधिक स्पेक्ट्रमी दक्षता का अर्थ है कहीं ऊपर अंकगणितीय त्रुटि, और 0.5 से अधिक निकली BER का अर्थ है कोई चिह्न अथवा कोई वर्गमूल उल्टी दिशा में गया।

मुख्य बिंदु

  • एन्ट्रॉपी फ़र्श है और हफ़मैन उस तक कभी-कभी ही पहुँचता है। {0.5, 0.25, 0.125, 0.125} का H = 1.75 है और हफ़मैन ठीक 1.75 देता है — 100 प्रतिशत। {0.4, 0.3, 0.2, 0.1} का H = 1.8464 है और हफ़मैन 1.9 देता है — 97.2 प्रतिशत, क्योंकि कूटशब्द-लंबाइयाँ पूर्ण बिट होनी चाहिए। खंड-कूटन अंतर को 1/n के रूप में बंद करता है।
  • क्षमता अप्रत्याशितता मापती है, त्रुटि-दर नहीं। p = 0.1 पर BSC का C = 0.531 है, p = 0.5 पर C = 0 और p = 1 पर पुनः C = 1। α = 0.1 पर लोप चैनल C = 0.9 रखता है, अतः यह जानना कि कौन-से बिट खोए, न जानने से प्रति प्रयोग 0.37 बिट मूल्य का है।
  • PCM का मूल्य प्रति बिट 6.02 dB है और DPCM उसका कुछ वापस खरीद लेता है। 1.76 + 6.02n dB पूर्ण-मान ज्यावक्रीय मानता है, जो n = 8 पर 49.9 dB तथा 4 kHz वाणी हेतु 64 kbit/s देता है। ρ = 0.9 पर प्रथम-कोटि पूर्वानुमानक 10 log(1/0.19) = 7.21 dB लब्धि देता है, अर्थात् प्रति प्रतिदर्श 1.20 बिट की बचत।
  • संकेत-विन्यास निर्देशांकों के रूप में लिखें और प्रत्येक BER d_min से निकल आती है। √Eb में BPSK (±1, 0) तथा QPSK (±1, ±1), दोनों का d_min = 2 है, अतः दोनों 10 dB पर 3.87 × 10⁻⁶ देते हैं — QPSK दोगुनी दर पर, निःशुल्क। 16-QAM का d_min = 1.265 है, 3.98 dB का दंड, और उसी 10 dB पर 1.75 × 10⁻³।
  • सुमेलित फ़िल्टर का एकमात्र कार्य सम्पूर्ण ऊर्जा एकत्र करना है: SNR_max = 2E/N₀, स्पंद-आकार से निरपेक्ष, N₀/2 द्वि-पार्श्व सहित। N₀/2 = 10⁻⁹ W/Hz में 1 V, 1 µs स्पंद 1000 देता है, अर्थात् 30 dB; केवल आधे स्पंद पर समाकलन करें और 500 मिलता है, ठीक 3 dB कम।
  • MAP, ML को ठीक तब हराता है जब पूर्ववर्ती असमान हों। P(0) = 0.8 सहित Eb/N₀ = 0 dB पर शून्य की ML देहली P_e = 0.0787 देती है; +0.347 की MAP देहली 0.0583 देती है, 26 प्रतिशत की कमी, सामान्य प्रतीक की रक्षा हेतु दुर्लभ प्रतीक की यथार्थता बलि देकर।
  • ISI बैंडविड्थ की समस्या है, शक्ति की नहीं। शून्य-ISI हेतु B ≥ R_s/2 चाहिए; उन्नत-कोसाइन B = (R_s/2)(1 + α) देता है, अतः α = 0.25 पर 2 Msym/s, 1.25 MHz घेरता है और उस पर 16-QAM 6.4 बिट/से/Hz तक पहुँचता है — जिसके लिए शैनन कहता है कि न्यूनतम 19.2 dB SNR चाहिए। बंद नेत्र अधिक शक्ति से कभी नहीं खुलता।
  • हैमिंग का सिंड्रोम त्रुटि-स्थान है; CRC का शून्य शेषफल स्वीकार-परीक्षा है। d = 1011 सहित (7,4) हेतु कूटशब्द 0110011 है, और बिट 5 पर त्रुटि सिंड्रोम 101 = 5 देती है। दो त्रुटियाँ 011 देती हैं और विकूटक तीसरी बना देता है — और इसीलिए SEC-DED विद्यमान है। G = 10011 सहित M = 1101011011, CRC 1110 तथा ठीक-ठीक विभाजित होने वाला फ़्रेम देता है।

अभ्यास प्रश्न (8)

उत्तर खोलने से पहले प्रत्येक प्रश्न हल करें। हर व्याख्या सही विकल्प के साथ लुभावना गलत विकल्प भी बताती है, क्योंकि अंक वहीं जाते हैं।

  1. चार-प्रतीक स्रोत के लिए द्विआधारी कूटशब्द लंबाइयों के चार समुच्चय प्रस्तावित हैं। कौन सा समुच्चय किसी भी उपसर्ग-मुक्त कूट द्वारा साकार नहीं किया जा सकता?

    1. 1, 2, 3, 4
    2. 2, 2, 3, 3
    3. 1, 3, 3, 3
    4. 1, 2, 2, 2
    उत्तर देखें

    उत्तर: D — 1, 2, 2, 2

    Kraft असमिका कहती है कि लंबाइयों का समुच्चय उपसर्ग-मुक्त कूट से तभी साकार होता है जब प्रत्येक लंबाई के ऋण घात पर 2 का योग अधिकतम एक हो। 1, 2, 2, 2 के लिए योग 0.5 + 0.25 + 0.25 + 0.25 = 1.25 है, जो एक से अधिक है, अतः प्रायिकताएँ चाहे जो हों ऐसा कूट है ही नहीं। शेष तीनों उत्तीर्ण हैं: 1, 2, 3, 4 का योग 0.9375, समुच्चय 2, 2, 3, 3 का योग 0.75 तथा समुच्चय 1, 3, 3, 3 का योग 0.875 है। जाल यह है कि अस्वीकृत समुच्चय चारों में सबसे मितव्ययी दिखता है क्योंकि उसका सबसे लंबा कूटशब्द केवल दो bit का है, पर लंबाई 1 का कूटशब्द कूट-समष्टि का आधा पहले ही ले चुका है और लंबाई 2 का प्रत्येक कूटशब्द एक चौथाई लेता है, अतः बचे हुए आधे में तीन नहीं समा सकते।

  2. एक स्मृतिहीन स्रोत चार प्रतीक 0.5, 0.2, 0.2 तथा 0.1 प्रायिकताओं के साथ उत्सर्जित करता है, और उसे दो सबसे कम संभाव्य मदों को बार-बार मिलाकर बने द्विआधारी Huffman कूट से कूटबद्ध किया जाता है। परिणामी कूट कितनी कूटन दक्षता प्राप्त करता है?

    1. 97.8 %
    2. 88.0 %
    3. 100 %
    4. 102.2 %
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — 97.8 %

    एन्ट्रॉपी 0.5 log2(2) + 0.2 log2(5) + 0.2 log2(5) + 0.1 log2(10) = 0.5 + 0.4644 + 0.4644 + 0.3322 = 1.761 bit प्रति प्रतीक है। Huffman वृक्ष बनाने पर 0.1 और एक 0.2 मिलकर 0.3 बनते हैं, वह गाँठ दूसरे 0.2 से मिलकर 0.5 देती है, और दोनों आधे मूल पर मिलते हैं, अतः कूटशब्द लंबाइयाँ 1, 2, 3 तथा 3 हैं और औसत लंबाई 0.5(1) + 0.2(2) + 0.2(3) + 0.1(3) = 1.8 bit है। दक्षता 1.761/1.8 = 97.8 प्रतिशत है। आकर्षक 100 प्रतिशत मानता है कि Huffman सदैव एन्ट्रॉपी तक पहुँचता है, जो केवल तब होता है जब हर प्रायिकता आधे की घात हो। मान 88.0 प्रतिशत एन्ट्रॉपी की तुलना स्थिर-लंबाई दो-bit कूट से करता है, और 102.2 प्रतिशत अनुपात उलट देता है।

  3. एक 10-bit एकसमान क्वांटक अपने निवेश के पूरे परास को आवृत करता है, और उस पर लगाया गया निवेश पूर्ण-पैमाना ज्या के बजाय उसी पूरे परास पर एकसमान वितरित संकेत है। कितना संकेत-से-क्वांटन-शोर अनुपात मिलता है?

    1. 61.96 dB
    2. 58.44 dB
    3. 60.20 dB
    4. 30.10 dB
    उत्तर देखें

    उत्तर: C — 60.20 dB

    मान लीजिए क्वांटक L = 2^n चरणों में धन-ऋण V तक फैला है, अतः चरण 2V/L है और क्वांटन शोर शक्ति (2V/L)^2/12 = V^2/(3 L^2) है। पूरे परास पर एकसमान वितरित संकेत का माध्य-वर्ग मान V^2/3 है, अतः अनुपात ठीक L^2 = 2^(2n) है और decibel में 20 n log(2) = 6.02 n, जो n = 10 के लिए 60.20 dB है। आकर्षक 61.96 dB परिचित 1.76 dB जोड़ देता है, पर वह पद सार्वभौम नहीं है: वह 10 log(1.5) है और पूर्ण-पैमाना ज्या की मान्यता का चिह्न है, जिसका माध्य-वर्ग मान V^2/3 के बजाय V^2/2 है। मान 58.44 dB वही 1.76 dB घटा देता है, और 30.10 dB प्रति bit 3.01 dB लेता है।

  4. एक प्रतिमुख योजना एक अक्ष पर -2 तथा +2 स्थित दो बिंदुओं में से एक भेजती है, और संसूचक तक पहुँचने वाला प्रतिदर्श प्रसरण 2 का जोड़ा गॉसीय शोर वहन करता है। दोनों बिंदु समान बारंबारता से नहीं चुने जाते: -2 वाला दस में से नौ बार भेजा जाता है। यदि गलत निर्णय की संभावना यथासंभव कम रखनी हो तो संसूचक अपनी निर्णय देहली कहाँ रखे?

    1. 0
    2. 1.099
    3. 2.197
    4. 0.549
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — 1.099

    अधिकतम पश्च प्रायिकता नियम पूर्व प्रायिकता से भारित संभाव्यता की तुलना करता है, और ऋण-धन a पर सममित रूप से स्थित समान प्रसरण वाले दो गॉसीय वितरणों के लिए परिणामी देहली (sigma^2 / (2a)) ln(P_0/P_1) है। यहाँ a = 2, sigma^2 = 2 तथा पूर्व अनुपात 9 है, अतः देहली (2/4) x 2.197 = 1.099 है, जो कम संभाव्य बिंदु की ओर खिसकी है ताकि सामान्य प्रतीक का निर्णय क्षेत्र बड़ा हो। आकर्षक 0 अधिकतम संभाव्यता देहली है, जो केवल समान पूर्व प्रायिकताओं पर इष्टतम है। मान 2.197 केवल पूर्व अनुपात का लघुगणक है, जिसमें शोर प्रसरण और संकेत आयाम दोनों छूट गए हैं, और 0.549 सही मान को एक बार और आधा करता है।

  5. एक (7,4) Hamming कूट में समता bit स्थान 1, 2 तथा 4 पर हैं; पहला स्थान 1, 3, 5 तथा 7 की जाँच करता है, दूसरा 2, 3, 6 तथा 7 की, और तीसरा 4, 5, 6 तथा 7 की। एक प्राप्त शब्द पहली और दूसरी समता जाँच में विफल होता है और तीसरी में उत्तीर्ण। कौन सा bit स्थान त्रुटिपूर्ण है?

    1. 3
    2. 6
    3. 2
    4. 5
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — 3

    प्रत्येक समता bit ठीक उन्हीं स्थानों को आवृत करता है जिनके द्विआधारी सूचकांक में उसका अपना भार हो, अतः विफल जाँच संलक्षण के संगत bit को सेट करती है और द्विआधारी संख्या के रूप में पढ़ा गया संलक्षण ही त्रुटिपूर्ण स्थान है। तीसरी जाँच का भार 4, दूसरी का 2 और पहली का 1 है; यहाँ तीसरी उत्तीर्ण है और अन्य दो विफल, अतः संलक्षण 0, 1, 1 अर्थात 3 है। सीधे जाँचिए: स्थान 3 का द्विआधारी सूचकांक 011 है और वह वास्तव में पहली तथा दूसरी जाँच में आता है, तीसरी में नहीं। आकर्षक 6 तीनों संलक्षण bit को उल्टे क्रम में पढ़ने से आता है।

  6. एक द्विआधारी खंड कूट के किन्हीं दो कूटशब्दों के बीच न्यूनतम Hamming दूरी 7 है। यदि उसका प्रयोग केवल संशोधन के लिए हो, तो एक कूटशब्द में अधिकतम कितनी bit त्रुटियाँ वह सदैव संशोधित कर सकता है?

    1. 6
    2. 7
    3. 4
    4. 3
    उत्तर देखें

    उत्तर: D — 3

    t त्रुटियाँ संशोधित करने के लिए विकृत शब्द को भेजे गए कूटशब्द के अधिक निकट रहना चाहिए, जिसके लिए न्यूनतम दूरी का 2t से अधिक होना आवश्यक है, अतः t वस्तुतः (d_min - 1)/2 = 6/2 = 3 का पूर्णांक भाग है। आकर्षक 6 संसूचन क्षमता d_min - 1 है, जो एक भिन्न और कमजोर आवश्यकता है: संसूचन केवल यह माँगता है कि कूटशब्द की t-bit विकृति ठीक किसी अन्य कूटशब्द पर न गिरे, जबकि संशोधन उसकी दुगुनी पृथकता माँगता है। अतः इस दूरी का कूट छह त्रुटियाँ संसूचित कर सकता है या तीन संशोधित, दोनों एक साथ नहीं। मान 7 स्वयं दूरी उद्धृत करता है और 4 (d_min - 1)/2 को ऊपर की ओर पूर्णांकित करता है।

  7. एक कड़ी पहले BPSK से और फिर Gray-कूटित QPSK से चलाई जाती है, समान प्रति-bit ऊर्जा पर तथा उसी उठे-कोज्या स्पंद आकारण और प्रतीक दर के साथ। दोनों की तुलना करने वाले निम्नलिखित कथनों में से कौन से सही हैं?

    1. दोनों तारामंडलों की न्यूनतम दूरी प्रति-bit ऊर्जा के वर्गमूल की इकाइयों में समान है, अतः वे समान bit त्रुटि प्रायिकता देते हैं।
    2. QPSK उसी बैंडचौड़ाई में BPSK से दुगुनी bit दर देता है।
    3. समान bit त्रुटि प्रायिकता के लिए QPSK को BPSK से 3 dB अधिक प्रति-bit ऊर्जा चाहिए।
    4. QPSK की प्रतीक त्रुटि प्रायिकता उसकी bit त्रुटि प्रायिकता की आधी है।
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — दोनों तारामंडलों की न्यूनतम दूरी प्रति-bit ऊर्जा के वर्गमूल की इकाइयों में समान है, अतः वे समान bit त्रुटि प्रायिकता देते हैं।; B — QPSK उसी बैंडचौड़ाई में BPSK से दुगुनी bit दर देता है।

    प्रति-bit ऊर्जा के वर्गमूल की इकाइयों में निर्देशांक के रूप में लिखने पर BPSK एक ही अक्ष पर धन-ऋण एक पर बैठता है और QPSK दो अक्षों पर धन-ऋण एक के चारों चिह्न संयोजनों पर। अतः दोनों की न्यूनतम दूरी 2 है, और चूँकि शोर को इससे कोई मतलब नहीं कि कौन से दो बिंदु भ्रमित हो रहे हैं, दोनों समान bit त्रुटि प्रायिकता देते हैं। QPSK प्रति प्रतीक दो bit वहन करता है जबकि BPSK एक, अतः समान प्रतीक दर और इसलिए समान बैंडचौड़ाई पर वह दुगुनी bit दर देता है। 3 dB दंड का दावा 16-QAM तथा उच्चतर कोटियों को महँगा बनाता है, यहाँ लागू नहीं होता। और Gray कूटन के साथ एक प्रतीक त्रुटि प्रायः दो में से एक ही bit बिगाड़ती है, अतः प्रतीक त्रुटि प्रायिकता bit त्रुटि प्रायिकता की लगभग दुगुनी है, आधी नहीं।

  8. एक अभिकल्पक चाहता है कि कोई कड़ी चैनल बैंडचौड़ाई के प्रत्येक hertz में 6 bit प्रति सेकंड दे। Shannon-Hartley सीमा के अनुसार, योगात्मक श्वेत गॉसीय शोर चैनल पर इसे संभवतः सँभालने वाला न्यूनतम संकेत-से-शोर शक्ति अनुपात क्या है?

    1. 36
    2. 12
    3. 63
    4. 64
    उत्तर देखें

    उत्तर: C — 63

    प्रति इकाई बैंडचौड़ाई धारिता C/B = log2(1 + S/N) है, अतः 6 bit प्रति सेकंड प्रति hertz माँगने पर 1 + S/N = 2^6 = 64 और इसलिए S/N = 63, लगभग 18.0 dB. आकर्षक 64 स्पेक्ट्रल दक्षता पर 2 की घात है जिसमें एक घटाया नहीं गया, और यही सबसे सामान्य चूक है क्योंकि जोड़ा हुआ एक दो की घात के सामने मामूली लगता है। मान 36 दक्षता को घातांक बनाने के बजाय छह से गुणा करता है, और 12 उसे दुगुना करता है। इस संख्या से दिखने वाली अदला-बदली की दिशा भी ध्यान दें: धारिता शक्ति के साथ केवल लघुगणकीय रूप से बढ़ती है।