यादृच्छिक प्रक्रम व एनालॉग संचार: शोर, AM, FM तथा सुपरहेटरोडाइन
R_X(τ) बताता है कि अब का प्रतिदर्श आपको τ सेकंड पश्चात् के प्रतिदर्श के विषय में कितना बताता है, और उसका फूरिये रूपांतर शक्ति स्पेक्ट्रमी घनत्व S_X(f) है, जो बताता है कि शक्ति आवृत्ति में कहाँ बैठी है। इन दोनों के बीच, R_X(0) कुल औसत शक्ति है और S_X(f) वही है जो फ़िल्टर देखता है — अतः किसी यादृच्छिक संकेत को LTI तंत्र से छानना एक पंक्ति है, S_Y(f) = |H(f)|² S_X(f), और उस अव्यवस्थित काल-तरंगरूप के विषय में कुछ भी लिखने की आवश्यकता कभी नहीं पड़ती। श्वेत शोर तब केवल वह प्रक्रम है जिसका PSD सपाट है, जो यह कहने के समान ही कथन है कि उसके कोई भी दो भिन्न प्रतिदर्श असहसंबद्ध हैं। द्वितीय अर्धांश एनालॉग संचार है, और उसमें से गुजरता सूत्र शक्ति के विषय में एक प्रश्न है: 100 प्रतिशत मॉडुलन पर AM प्रेषित्र अपनी दो-तिहाई शक्ति उस वाहक में डालता है जो कोई सूचना नहीं वहन करता, जबकि β = 3 पर FM प्रेषित्र अपने वाहक में 7 प्रतिशत से भी कम डालता है — और वही एक विरोध स्पष्ट करता है कि AM प्रसारण ग्रहण करने में सस्ता व प्रेषित करने में महँगा क्यों है, जबकि FM उल्टा। अध्याय सुपरहेटरोडाइन अभिग्राही पर समाप्त होता है, जो कोई परिपथ-चतुराई नहीं बल्कि एक अंकगणितीय समस्या का उत्तर है: तुन्य वरणात्मक फ़िल्टर कठिन है, नियत वरणात्मक फ़िल्टर सरल है, अतः प्रत्येक स्टेशन को उसी एक नियत मध्यवर्ती आवृत्ति पर खिसकाएँ और वहीं छानें। उस खिसकाव का मूल्य प्रतिबिंब आवृत्ति है, और यह जानना कि वह f_s + 2·IF पर पड़ती है, इस पेपर में अभिग्राहियों के विषय में किसी अन्य एकल तथ्य से अधिक अंक देता है।स्वसहसंबंध व शक्ति स्पेक्ट्रमी घनत्व: एक ही वस्तु के दो दृश्य
यादृच्छिक प्रक्रम X(t) तरंगरूपों का कुल है, प्रयोग के प्रत्येक परिणाम हेतु एक, और समय t पर उसका मान पूछना अर्थहीन है — आप केवल उसकी सांख्यिकी पूछ सकते हैं। पाठ्यक्रम उनमें से दो माँगता है। माध्य m_X(t) = E[X(t)] तथा स्वसहसंबंध R_X(t₁, t₂) = E[X(t₁)X(t₂)]। प्रक्रम व्यापक अर्थ में स्थैतिक (WSS) तब होता है जब माध्य अचर हो और स्वसहसंबंध केवल अंतराल τ = t₁ − t₂ पर निर्भर करे, इस पर नहीं कि आप काल में कहाँ हैं। जिन संचार-शोरों से आपका सामना होता है वे लगभग सभी WSS माने जाते हैं, और लाभ यह है कि तब R_X(τ) दो के बजाय एक चर का फलन है। R_X(τ) के चार गुणधर्म कंठस्थ रखने योग्य हैं, क्योंकि प्रश्न व्युत्पत्तियों से नहीं, इन्हीं से बने होते हैं: वह सम है, R_X(−τ) = R_X(τ); उसका शिखर मूल-बिंदु पर है, |R_X(τ)| ≤ R_X(0); R_X(0) = E[X²] कुल औसत शक्ति है; और R_X(∞) माध्य का वर्ग है, अतः शून्य-माध्य प्रक्रम का स्वसहसंबंध शून्य तक क्षय होता है।
शक्ति स्पेक्ट्रमी घनत्व स्वसहसंबंध का फूरिये रूपांतर है — वीनर–खिंचिन संबंध, S_X(f) = ∫ R_X(τ) e^(−j2πfτ) dτ, तथा वापस R_X(τ) = ∫ S_X(f) e^(j2πfτ) df। युग्म की भाँति पढ़ें तो ये दोनों वही एक बात दो बार कहते हैं: जिस प्रक्रम के प्रतिदर्श शीघ्र असहसंबद्ध हो जाएँ उसका स्पेक्ट्रम चौड़ा है, और जो प्रक्रम दीर्घ काल तक सहसंबद्ध रहे उसका सँकरा। चूँकि R_X(τ) वास्तविक व सम है, S_X(f) वास्तविक, सम तथा — यह प्रमेय है, अभिसमय नहीं — प्रत्येक f हेतु अनृणात्मक है। प्रतिलोम रूपांतर में τ = 0 रखें और आपको वह तत्समक मिलता है जिसे प्रत्येक संख्यात्मक प्रश्न प्रयोग करता है: R_X(0) = ∫_(−∞)^(∞) S_X(f) df = कुल औसत शक्ति। सीमाओं पर ध्यान दें। इस अध्याय भर PSD द्वि-पार्श्व लिखे गए हैं, जो धनात्मक व ऋणात्मक दोनों आवृत्तियों हेतु परिभाषित हैं, और कुल शक्ति सम्पूर्ण अक्ष पर समाकल है। एक-पार्श्व PSD, जो उपकरणन में सामान्य है, ऋणात्मक अर्धांश को धनात्मक पर मोड़ देता है और अतः प्रत्येक धनात्मक आवृत्ति पर दोगुना बड़ा है; किसी शोर-उत्तर में दो का गुणनखंड लगभग सदा यही अभिसमय होता है, कोई अंकगणितीय चूक नहीं।
R_X(τ) = 4 e^(−2|τ|) वाट में लें, जो निम्न-पारक शोर का मानक प्रथम-कोटि प्रतिरूप है। कुछ भी रूपांतरित करने से पूर्व गुणधर्म उससे पढ़ लें। वह सम है ✓। उसका शिखर R_X(0) = 4 है, अतः कुल औसत शक्ति 4 W है और, चूँकि बड़े τ पर शून्य तक क्षय कहता है कि माध्य शून्य है, प्रसरण भी 4 W है और rms मान 2 V। अब रूपांतरित करें। मानक युग्म e^(−a|τ|) ⟷ 2a/(a² + ω²) है, अतः a = 2 सहित S_X(ω) = 4 × 4/(4 + ω²) = 16/(ω² + 4) W प्रति rad/s, द्वि-पार्श्व लिखा। शक्ति पर लौटकर रूपांतर की जाँच करें, वही आदत है जो प्रत्येक बीजगणितीय चूक पकड़ती है: (1/2π)∫_(−∞)^(∞) 16/(ω² + 4) dω = (1/2π)(16)(π/2) = 4 W ✓, ∫ dω/(a² + ω²) = π/a प्रयोग करते हुए। जाँच R_X(0) से सहमत है, अतः रूपांतर सही है। यह उदाहरण अंकगणित से आगे दो बातें सिखाता है। प्रथम, स्पेक्ट्रम का 3 dB बिंदु ω = 2 rad/s पर है, जो ठीक घातांक में पड़े सहसंबंध-काल का व्युत्क्रम है — जो प्रक्रम 0.5 s में असहसंबद्ध हो जाए उसकी शक्ति लगभग 2 rad/s पर फैली है, और दोनों संख्याएँ वही एक संख्या हैं। द्वितीय, यह स्पेक्ट्रम सपाट नहीं है, अतः यह रंगीन शोर है, और श्वेत शोर के वास्तविक परिपथ से गुजरने के पश्चात् वस्तुतः आपको यही मिलता है। अगला खंड दिखाता है कि यही ठीक R_X(τ) वह है जो RC फ़िल्टर श्वेत शोर से गढ़ता है, और इसीलिए इसे सूत्र के बजाय एक हल किए आकार की भाँति रखना उचित है।R(τ) = τ e^(−|τ|) विफल होता है क्योंकि वह विषम है, और स्वसहसंबंध को सम होना ही चाहिए — यह ध्यान देने योग्य है कि यह फलन τ < 0 हेतु ऋणात्मक व τ > 0 हेतु धनात्मक भी है, किंतु अकेली विषमता ही उसे मार देती है। R(τ) = e^(−|τ|) − 1.5 e^(−2|τ|) शिखर परीक्षा पर विफल होता है: τ = 0 पर वह −0.5 है, किंतु R(0) माध्य-वर्ग मान है और ऋणात्मक नहीं हो सकता। अधिक सूक्ष्म है R(τ) = 1/(1 + τ²) + 0.5 cos(10τ), जो सम है और जिसका R(0) = 1.5 उसका बृहत्तम मान है, फिर भी उसके रूपांतर में एक चिह्न के आवेग और दूसरे चिह्न का लोरेंट्ज़ीय है, और यदि आवेग-सामर्थ्य S(f) को कहीं भी ऋणात्मक बना दें तो वह अयोग्य है — क्योंकि सभी f हेतु S_X(f) ≥ 0 अपेक्षा है, बोनस नहीं। वही अंतिम परीक्षा है जिसे अभ्यर्थी छोड़ देते हैं, और वही एकमात्र है जो उन फलनों को पकड़ती है जो तीनों काल-प्रांत जाँचें पार कर जाते हैं। जो कार्य-क्रम कभी समय नहीं गँवाता: समता जाँचें, जाँचें कि R(0) अधिकतम व अनृणात्मक है, और उसके पश्चात् ही रूपांतर करें।| प्रक्रम | R_X(τ) | S_X(f), द्वि-पार्श्व | कुल शक्ति R_X(0) |
|---|---|---|---|
मान A का DC स्तर | A², सभी τ हेतु | A² δ(f) | A² |
ज्यावक्रीय, यादृच्छिक कला, आयाम A | (A²/2) cos 2πf₀τ | (A²/4)[δ(f−f₀) + δ(f+f₀)] | A²/2 |
| प्रथम-कोटि निम्न-पारक शोर | 4 e^(−2|τ|) | 16/(ω² + 4) W/(rad/s) | 4 W |
| श्वेत शोर | (N₀/2) δ(τ) | N₀/2, सभी f हेतु सपाट | अनंत — गणितीय कल्पना |
श्वेत शोर तथा किसी यादृच्छिक संकेत को LTI तंत्र से छानना
श्वेत शोर की परिभाषा यही है कि उसका स्पेक्ट्रम सपाट हो: प्रत्येक f हेतु S_n(f) = N₀/2, द्वि-पार्श्व, जहाँ N₀ वाट प्रति हर्ट्ज़ में है। उसका रूपांतर करें और स्वसहसंबंध R_n(τ) = (N₀/2) δ(τ) है, मूल-बिंदु पर एक आवेग और अन्य सर्वत्र ठीक शून्य। वे दोनों कथन वही एक कथन हैं, और उन्हें साथ पढ़ना ही इस विचार का सर्वस्व है: श्वेत शोर के कोई भी दो भिन्न प्रतिदर्श असहसंबद्ध हैं, आप उन्हें काल में कितना ही निकट लें। इसीलिए श्वेत शोर भौतिकतः विद्यमान नहीं हो सकता — कुल शक्ति ∫ S_n(f) df अपसरित होती है — और इसीलिए कोई इसकी चिंता नहीं करता। अभिग्राही शोर को सदा किसी परिमित बैंडविड्थ के फ़िल्टर से ही देखता है, अतः सपाट प्रतिरूप वह सुविधा है जो महत्वपूर्ण बैंड पर यथार्थ है और केवल वहाँ गलत है जहाँ कुछ मापा ही नहीं जाता। जब प्रतिदर्श अतिरिक्ततः गाउसीय हों और प्रक्रम चैनल-प्रतिरूप की भाँति प्रयुक्त हो, तो मानक नाम AWGN है: योज्य श्वेत गाउसीय शोर। गाउसीय भाग श्वेतता से पृथक् अभिधारणा है — श्वेतता प्रतिदर्शों के बीच सहसंबंध के विषय में है, गाउसीयता एक प्रतिदर्श के बंटन के विषय में — और जो परीक्षक केवल श्वेत कहे उसने आपको बंटन के विषय में कुछ नहीं बताया।
अब किसी WSS प्रक्रम को स्थानांतरण फलन H(f) वाले LTI तंत्र से गुजारें। निर्गम एक अन्य WSS प्रक्रम है, और उसकी सांख्यिकी दो परिणामों से निकलती है, तरंगरूपों के किसी समाकलन से नहीं। माध्य DC लब्धि से मापित होता है, m_Y = m_X H(0)। स्पेक्ट्रम परिमाण के वर्ग से मापित होता है, S_Y(f) = |H(f)|² S_X(f) — ध्यान दें कि H(f) की कला पूर्णतः लुप्त हो जाती है, क्योंकि कला-विस्थापन तरंगरूप को काल में खिसकाता है और शक्ति-स्पेक्ट्रम काल के विषय में कुछ नहीं जानता। शेष सब परिणाम है। निर्गम शक्ति E[Y²] = ∫ |H(f)|² S_X(f) df है। निर्गम स्वसहसंबंध S_Y(f) का प्रतिलोम रूपांतर है, जो काल-प्रांत में द्वि-संकलन R_Y(τ) = R_X(τ) * h(τ) * h(−τ) है — सही, कभी-कभी शीघ्रतर, और परीक्षा में लगभग कभी लेने योग्य मार्ग नहीं। प्रति-स्पेक्ट्रम S_(XY)(f) = H(f) S_X(f) वह एकमात्र स्थान है जहाँ कला बच जाती है, और तंत्र-अभिनिर्धारण का प्रश्न वस्तुतः उसी के विषय में पूछ रहा होता है।
N₀/2 = 10⁻⁹ W/Hz का श्वेत शोर R = 1 kΩ व C = 1 µF वाले RC निम्न-पारक फ़िल्टर में डालें, अतः RC = 1 ms तथा H(f) = 1/(1 + j2πfRC)। निर्गम शक्ति P = (N₀/2)∫_(−∞)^(∞) df/(1 + (2πfRC)²) है, और समाकल 1/(2RC) निकलता है — x = 2πfRC प्रतिस्थापित करें, समाकल (1/2πRC)∫dx/(1+x²) = π/(2πRC) बन जाता है। अतः P = N₀/(4RC) = 2×10⁻⁹/(4×10⁻³) = 5×10⁻⁷ W, अर्थात् 0.5 µW, और rms शोर-वोल्टता √(5×10⁻⁷) = 0.707 mV। अब उत्तर को बैंडविड्थ की भाँति पढ़ें। P = (N₀/2)(2 B_N) लिखें, जहाँ B_N शोर-तुल्य बैंडविड्थ है — उस ईंट-दीवार फ़िल्टर की चौड़ाई जो वही शोर-शक्ति निकलने देती — और आपको B_N = 1/(4RC) = 250 Hz मिलता है। किंतु फ़िल्टर की 3 dB बैंडविड्थ f₃ = 1/(2πRC) = 159.15 Hz है, और अनुपात B_N/f₃ = π/2 = 1.571 है, ठीक-ठीक। एक-ध्रुव फ़िल्टर अपनी 3 dB बैंडविड्थ के सुझाव से 57 प्रतिशत अधिक शोर भीतर आने देता है, और जो भी अभ्यर्थी शोर-गणना में 3 dB का आँकड़ा रखता है वह अभिग्राही के विषय में 1.96 dB आशावादी है। कारण आकार में दिखता है: 20 dB/दशक का एक-ध्रुव अवरोहण मंद है, अतः कोने के ऊपर से बहुत शोर रिस आता है, और फ़िल्टर की कोटि बढ़ने पर अंतर घटता जाता है — अत्यंत तीक्ष्ण फ़िल्टर का B_N ≈ f₃ होता है। यह उदाहरण एक बात और चुपचाप देता है। निर्गम स्वसहसंबंध |H|²N₀/2 का प्रतिलोम रूपांतर है, जो द्वि-पार्श्व चरघातांकी है: R_Y(τ) = (N₀/4RC) e^(−|τ|/RC)। संख्याएँ रखें और वह 5×10⁻⁷ e^(−1000|τ|) है — पिछले खंड के 4 e^(−2|τ|) जैसा ही आकार, और इसी से वह आकार जानने योग्य बनता है: चरघातांकी स्वसहसंबंध उस श्वेत शोर की अंगुलि-छाप है जो एक ध्रुव से गुजर चुका है।वास्तविक अभिग्राही में N₀ कहाँ से आता है? ताप से। सुमेलित अभिग्राही के निवेश पर उपलब्ध शोर शक्ति स्पेक्ट्रमी घनत्व एक-पार्श्व अभिसमय में N₀ = kT है, k = 1.38 × 10⁻²³ J/K सहित, अतः 290 K के संदर्भ ताप पर N₀ = 4.00 × 10⁻²¹ W/Hz। जिन इकाइयों को RF जगत् वस्तुतः प्रयोग करता है उनमें 10 log₁₀(4.00 × 10⁻²¹/10⁻³) = −174 dBm/Hz, और वही एक संख्या अब तक बने प्रत्येक रेडियो के नीचे का फ़र्श है। शक्ति पाने हेतु बैंडविड्थ से गुणा करें: 1 MHz में ऊष्मीय शोर-फ़र्श −174 + 60 = −114 dBm है, जो 4.0 × 10⁻¹⁵ W है। तत्पश्चात् अभिग्राही का अपना योगदान उस फ़र्श से dB ऊपर शोर-अंक के रूप में उद्धृत होता है, अतः 6 dB शोर-अंक वाले 1 MHz अभिग्राही के निवेश पर प्रभावी शोर-शक्ति −108 dBm है, और इस अध्याय का कोई भी विमॉडुलक अपना कार्य कर सके इससे पूर्व संकेत को उसे अपेक्षित SNR से हराना ही होगा।
आयाम मॉडुलन: स्पेक्ट्रम, सूचकांक, तथा शक्ति कहाँ जाती है
पूर्ण आयाम मॉडुलन प्रेषित संकेत को s(t) = A_c[1 + µ m(t)] cos 2πf_c t लिखता है, जहाँ m(t) इस प्रकार सामान्यीकृत है कि |m(t)| ≤ 1 और µ मॉडुलन सूचकांक है। एकल स्वर m(t) = cos 2πf_m t हेतु गुणनफल का प्रसार तीन पद देता है, अधिक नहीं: f_c पर A_c आयाम का वाहक, तथा f_c ± f_m पर दो पार्श्व-पट्टियाँ, प्रत्येक µA_c/2 आयाम की। वही एक पंक्ति में AM का स्पेक्ट्रम है, और उससे तुरंत दो परिणाम निकलते हैं। बैंडविड्थ 2W है, उच्चतम संदेश-आवृत्ति का दोगुना, µ से निरपेक्ष — 5 kHz का श्रव्य संकेत 10 kHz स्पेक्ट्रम घेरता है, चाहे वह 10 प्रतिशत पर मॉडुलित हो या 90 पर। और मॉडुलन सूचकांक सीधे आवरण से पढ़ा जा सकता है, क्योंकि आवरण A_c(1+µ) तथा A_c(1−µ) के बीच झूलता है, अतः µ = (A_max − A_min)/(A_max + A_min)। µ ≤ 1 रखना दक्षता की रुचि नहीं बल्कि कठोर अपेक्षा है: µ > 1 पर पद 1 + µ m(t) ऋणात्मक हो जाता है, आवरण संदेश का अनुसरण छोड़ देता है, और आवरण-संसूचक उसका विकृत, दिष्टकृत रूप प्राप्त करता है। उस विफलता का नाम है — अति-मॉडुलन — और अभिग्राही पर वह अनुत्क्रमणीय है।
1 Ω पर A_c = 10 V तथा 5 V आयाम का एकल स्वर लें, अतः µ = 0.5। वाहक-शक्ति A_c²/2 = 50 W है। प्रत्येक पार्श्व-पट्टी का आयाम µA_c/2 = 2.5 V और अतः शक्ति (2.5)²/2 = 3.125 W, जिससे दोनों पार्श्व-पट्टियों में मिलाकर 6.25 W तथा कुल प्रेषित शक्ति 50(1 + µ²/2) = 50 × 1.125 = 56.25 W। आवरण-मार्ग जाँचें: A_max = 15, A_min = 5, अतः µ = 10/20 = 0.5 ✓। प्रेषण दक्षता, अर्थात् प्रेषित शक्ति का वह अंश जो सूचना वहन करता है, η = µ²/(2 + µ²) = 0.25/2.25 = 11.1 प्रतिशत है। अब सूचकांक को उसकी वैध छत µ = 1 तक धकेलें। कुल शक्ति 50 × 1.5 = 75 W, पार्श्व-पट्टियाँ 25 W, तथा η = 1/3। अर्थात् पूर्ण-AM किसी स्वर के साथ सर्वोत्तम यही कर सकता है कि अपनी एक-तिहाई शक्ति संदेश में डाले और दो-तिहाई उस वाहक में जो कुछ नहीं पहुँचाता। वह अभिकल्प-दोष नहीं, सुविचारित अदला-बदली है, और उससे जो खरीदा गया वह अगले खंड में है: वाहक ही वह है जो अभिग्राही को एक डायोड, एक प्रतिरोधक व एक संधारित्र होने देता है। परीक्षक को प्रिय दो विस्तार। कई स्वरों हेतु सूचकांक वर्ग-योग में जुड़ते हैं — µ₁ = 0.4 तथा µ₂ = 0.3 ठीक µ_t = √(0.16 + 0.09) = 0.5 वाले एकल स्वर की भाँति व्यवहार करते हैं, अतः वह प्रेषित्र भी 56.25 W पर चलता है, जो एक संतोषजनक जाँच है कि द्वि-स्वर व एक-स्वर उत्तर सहमत हैं। और DSB-SC, जो वाहक दबा देता है, रचना से ही η = 100 प्रतिशत रखता है और वही 2W बैंडविड्थ, जबकि SSB केवल एक पार्श्व-पट्टी प्रेषित करता है, बैंडविड्थ को आधा करके W करता है और µ = 0.5 की स्थिति में प्रेषित शक्ति 3.125 W तक गिरा देता है — प्रेषित्र पर 12.6 dB की बचत, ऐसे अभिग्राही के लिए जिसे अब सुसंगत स्थानीय दोलक चाहिए।| योजना | बैंडविड्थ | प्रेषित शक्ति (1 Ω) | अपेक्षित अभिग्राही |
|---|---|---|---|
पूर्ण AM, µ = 0.5 | 2W = 10 kHz | 56.25 W, जिसमें 6.25 W संदेश है | आवरण संसूचक — एक डायोड व एक RC |
पूर्ण AM, µ = 1 | 2W = 10 kHz | 75 W, जिसमें 25 W संदेश है (η = 1/3) | आवरण संसूचक |
| DSB-SC | 2W = 10 kHz | 6.25 W, सम्पूर्ण संदेश | सुसंगत — f_c तथा उसकी कला चाहिए |
| SSB | W = 5 kHz | 3.125 W, सम्पूर्ण संदेश | सुसंगत, तथा आवृत्ति-त्रुटि के प्रति संवेदी |
AM का विमॉडुलन: आवरण संसूचक तथा उसके दो काल-नियतांक
आवरण संसूचक एक डायोड है जो समांतर RC में जाता है। डायोड प्रत्येक वाहक-शिखर पर संधारित्र को आवेशित करता है, और शिखरों के बीच संधारित्र R से विसर्जित होता है, अतः निर्गम आवरण का अनुसरण करता है। सम्पूर्ण अभिकल्प दो सिरों वाली एक असमिका है: 1/f_c ≪ RC ≪ 1/W। निचली परिसीमा कहती है कि वाहक-शिखरों के बीच संधारित्र को उल्लेखनीय रूप से विसर्जित नहीं होना चाहिए, अन्यथा निर्गम वाहक-तरंगिका वहन करता है। ऊपरी परिसीमा कहती है कि उसे संदेश के साथ नीचे उतरने योग्य तेज़ी से विसर्जित होना चाहिए, अन्यथा निर्गम अवरोही किनारों पर कोने काट देता है — इस दोष का वर्णनात्मक नाम विकर्ण कर्तन है। किसी स्वर हेतु यथार्थ ऊपरी परिसीमा RC ≤ √(1 − µ²)/(µ ω_m) है, जिसे कंठस्थ करने के बजाय पढ़ना उचित है: मॉडुलन जितना गहरा, आवरण उतनी ही तेज़ी से गिर सकता है, और अतः RC की छत उतनी ही कसी। µ → 1 पर अनुमत RC शून्य की ओर जाता है, और यही विश्लेषणात्मक कथन है कि 100 प्रतिशत मॉडुलन वैध होने पर भी सरल संसूचक के लिए कठिन क्यों है।
f_c = 1 MHz पर मध्यम-तरंग संकेत लें जो µ = 0.5 पर f_m = 5 kHz स्वर वहन कर रहा है। वाहक-आवर्त 1/f_c = 1 µs है, अतः RC को उससे सुखपूर्वक बड़ा होना चाहिए। छत RC ≤ √(1 − 0.25)/(0.5 × 2π × 5000) = 0.8660/15708 = 5.51 × 10⁻⁵ s है, अर्थात् 55.1 µs। अतः अभिकल्प-खिड़की लगभग 1 µs से 55 µs तक है, लगभग 55 से 1 का परिसर, और RC = 10 µs का चयन उसके भीतर सुखपूर्वक बैठता है — दस वाहक-आवर्त लंबा, अतः तरंगिका लघु, और छत से पाँच गुना छोटा, अतः आवरण का अनुसरण होता है। अब खिड़की बंद होते देखें। सूचकांक µ = 0.9 तक बढ़ाएँ और छत √(1 − 0.81)/(0.9 × 31416) = 0.4359/28274 = 15.4 µs तक गिर जाती है। उसी µ = 0.5 पर hi-fi हेतु श्रव्य बैंडविड्थ 15 kHz तक बढ़ाएँ और छत 18.4 µs तक गिरती है। दोनों एक साथ करें और वह 5.1 µs है, केवल पाँच वाहक-आवर्त, और अब संसूचक तरंगिका व कर्तन के बीच ऐसे दबा है कि बैठने को लगभग कहीं जगह नहीं। वही दबाव, शक्ति-दक्षता नहीं, AM प्रसारण के सँकरे श्रव्य तक सीमित रहने का कारण है। ले जाने योग्य आदत यह है कि RC चुनने से पूर्व असमिका के दोनों सिरे गणित कर लें, क्योंकि जो मान विफल होता है वह थोड़ा-सा बुरा नहीं होता — वह एक विशिष्ट, नाम-योग्य विकृति उत्पन्न करता है, और प्रश्न पूछते हैं कि कौन-सी।सुसंगत (तुल्यकालिक) संसूचन विकल्प है, और DSB-SC व SSB हेतु एकमात्र उपाय, क्योंकि उनका कोई आवरण नहीं जिसका अनुसरण हो। प्राप्त संकेत को स्थानीय रूप से उत्पन्न cos(2πf_c t + θ) से गुणा करें और गुणनफल को निम्न-पारक करें। DSB-SC हेतु प्राप्त निर्गम m(t) cos θ के समानुपाती है, अतः कला-त्रुटि θ का मूल्य cos θ से आयाम है — θ = 60° पर आप आधा संकेत रखते हैं, और θ = 90° पर कुछ भी नहीं। वही अंतिम स्थिति कोणीय निरसन है, और वही विफलता तथा उसके उपयोगी सहोदर, दोनों के पीछे की क्रियाविधि है: दो स्वतंत्र संदेश एक वाहक को कोणीय रूप में साझा कर सकते हैं, और वही अगले अध्याय का QAM है। स्थानीय दोलक में आवृत्ति-त्रुटि Δf कला-त्रुटि से बुरी है क्योंकि वह θ को काल में ढाल बना देती है, अतः निर्गम Δf पर घटता-बढ़ता है। SSB हेतु वही आवृत्ति-त्रुटि गुणात्मक रूप से भिन्न कार्य करती है — वह प्रत्येक संदेश-घटक को मापित करने के बजाय उसी निरपेक्ष Δf से खिसका देती है, अतः आश्चर्यजनक रूप से लघु त्रुटियों पर वाणी अबोधगम्य हो जाती है, और इसीलिए SSB वाक्-कड़ियाँ दहाई हर्ट्ज़ तक विशिष्ट की जाती हैं।
कोण मॉडुलन: तात्क्षणिक आवृत्ति, बेसेल स्पेक्ट्रम तथा कार्सन का नियम
कोण मॉडुलन में आयाम अचर रहता है और संदेश कोसाइन के कोणांक में सवार होता है: s(t) = A_c cos[2πf_c t + φ(t)]। φ(t) के दो चयन दो योजनाएँ देते हैं। कला मॉडुलन φ(t) = k_p m(t) रखता है, अतः कला संदेश का अनुसरण करती है। आवृत्ति मॉडुलन तात्क्षणिक आवृत्ति f_i(t) = f_c + k_f m(t) रखता है, जिसका अर्थ है φ(t) = 2πk_f ∫ m(t) dt — कला समाकल का अनुसरण करती है। वही एक अंतर उनके बीच का सम्पूर्ण संबंध है: FM समाकलित संदेश का PM है, और PM अवकलित संदेश का FM है। स्वर m(t) = cos 2πf_m t हेतु FM देता है s(t) = A_c cos(2πf_c t + β sin 2πf_m t), जहाँ β = Δf/f_m मॉडुलन सूचकांक है और Δf = k_f A_m शिखर आवृत्ति-विचलन। ध्यान दें कि प्रत्येक योजना में β किस पर निर्भर है, क्योंकि अंक यहीं हैं। FM में Δf केवल संदेश के आयाम से नियत है, अतः अचर आयाम पर f_m दोगुना करना β को आधा कर देता है। PM में β_p = k_p A_m में f_m बिल्कुल नहीं आता, अतः तुल्य विचलन Δf = β_p f_m, f_m दोगुना होने पर दोगुना हो जाता है। बैंडविड्थ हेतु परिणाम दोनों स्थितियों में विपरीत है और वह एक मानक प्रश्न है।
FM का स्पेक्ट्रम तीन रेखाएँ नहीं है। cos(2πf_c t + β sin 2πf_m t) का बेसेल फलनों में प्रसार f_c ± n f_m, n = 0, 1, 2, … पर घटकों का अनंत समुच्चय देता है, जिनके आयाम A_c J_n(β) हैं। उससे तीन संरचनात्मक तथ्य निकलते हैं। स्पेक्ट्रम सिद्धांततः अनंत चौड़ा है, अतः कोई भी FM बैंडविड्थ एक कटान है और आपको कसौटी बताई जानी चाहिए। कुल शक्ति A_c²/2 है, β चाहे जो हो, क्योंकि Σ J_n²(β) = 1 — कोण मॉडुलन शक्ति को पार्श्व-पट्टियों में पुनर्वितरित करता है किंतु कुल कभी नहीं बदलता, और इसीलिए FM प्रेषित्र अपना निर्गम-चरण संतृप्ति में चलाता है और AM प्रेषित्र नहीं चला सकता। और वाहक-घटक A_c J_0(β), J_0 के प्रथम शून्य β = 2.405 पर पूर्णतः लुप्त हो जाता है, जो एक वास्तविक व तनिक चौंकाने वाला तथ्य है: उचित रूप से नियत FM प्रेषित्र में अपनी ही नाममात्र वाहक-आवृत्ति पर कोई ऊर्जा नहीं हो सकती। कार्सन का नियम मानक कटान है: B ≈ 2(Δf + f_m) = 2(β + 1) f_m, और उसकी दो सीमाएँ नाम लेने योग्य हैं। β ≪ 1 हेतु, सँकरा-बैंड FM, यह 2f_m देता है — AM जितनी ही बैंडविड्थ, और NBFM के विद्यमान होने का सम्पूर्ण कारण यही है। β ≫ 1 हेतु, चौड़ा-बैंड FM, यह 2Δf देता है — बैंडविड्थ विचलन से नियत, संदेश से लगभग बिल्कुल नहीं।
Δf = 15 kHz तथा f_m = 5 kHz वाला FM लें, अतः β = 3। कार्सन का नियम B = 2(15 + 5) = 40 kHz देता है, जो प्रत्येक ओर β + 1 = 4 पार्श्व-पट्टियाँ गिनता है। किंतु β = 3 पर वास्तविक बेसेल आयाम देखें: J_0 = −0.2601, J_1 = 0.3391, J_2 = 0.4861, J_3 = 0.3091, J_4 = 0.1320, J_5 = 0.0430, J_6 = 0.0114, J_7 = 0.0025। प्रत्येक उस पार्श्व-पट्टी को रखने की व्यापक प्रयुक्त कसौटी के अंतर्गत जिसका आयाम अमॉडुलित वाहक के एक प्रतिशत से अधिक हो, रखने योग्य अंतिम n = 6 है 0.0114 पर, और बैंडविड्थ 2 × 6 × 5 = 60 kHz। यहाँ कार्सन का नियम एक-प्रतिशत नियम से 50 प्रतिशत सँकरा है, और कोई भी गलत नहीं — वे भिन्न प्रश्नों के उत्तर देते हैं। कार्सन लगभग 98 प्रतिशत शक्ति समेटता है और अन्यथा कहे जाने तक स्पेक्ट्रम-नियामक व परीक्षक उसी को प्रयोग करते हैं; एक-प्रतिशत नियम उन पार्श्व-पट्टियों को समेटता है जो सन्निकट-चैनल व्यतिकरण के रूप में सुनाई देतीं। आदत यह है कि आप बताएँ कि कौन-सी कसौटी प्रयुक्त की। उसी सारणी से दो और पाठ। वाहक अब केवल J_0² = 0.0676 रखता है, अतः β = 3 पर FM संकेत की 93 प्रतिशत शक्ति उसकी पार्श्व-पट्टियों में है — पूर्ण AM के सर्वकालिक श्रेष्ठ 33 प्रतिशत के सम्मुख रखें तो वही उस दावे का संख्यात्मक रूप है कि FM अपनी शक्ति सूचना पर व्यय करता है। और n = 1…7 पर J_0² + 2ΣJ_n² का योग चार दशमलव तक 1.0000 देता है, जो वही जाँच है कि बेसेल मान सही उतारे गए और शक्ति का लेखा बंद होता है।| योजना व नियति | f_m = 5 kHz पर | f_m = 10 kHz पर | 10 kHz पर कार्सन बैंडविड्थ |
|---|---|---|---|
AM, µ = 0.5 | B = 10 kHz | µ अपरिवर्तित | 20 kHz — कठोरतः 2f_m |
FM, नियत Δf = 15 kHz | β = 3, B = 40 kHz | β आधा होकर 1.5 | 50 kHz — केवल f_m पद से बढ़ती है |
PM, नियत β_p = 3 rad | Δf = 15 kHz, B = 40 kHz | Δf दोगुना होकर 30 kHz | 80 kHz — f_m के साथ दोगुनी |
NBFM, β = 0.2 | Δf = 1 kHz, B ≈ 12 kHz | β गिरकर 0.1 | 22 kHz — मूलतः 2f_m, AM जैसी |
कोण मॉडुलन का विमॉडुलन, तथा FM बैंडविड्थ के बदले शोर क्यों खरीदता है
FM का विमॉडुलन करने हेतु आपको आवृत्ति को आयाम में बदलना ही होगा, और उसके तीन मानक मार्ग हैं। प्रवणता संसूचक संकेत को किसी तुन्य परिपथ की अनुक्रिया के रैखिक पार्श्व पर रखता है, अतः आवृत्ति-झूला आयाम-झूला बन जाता है जिसे साधारण आवरण संसूचक पढ़ सकता है; सरल, और केंद्र से दूर अरैखिक। संतुलित विभेदक f_c के दोनों ओर अपतुन्य ऐसे दो परिपथ प्रयोग करके घटाता है, जो वक्रता निरसित कर देता है और प्रवणता दोगुनी। कला-अवरुद्ध लूप आधुनिक उत्तर है: लूप किसी VCO को आती तात्क्षणिक आवृत्ति का अनुसरण करने हेतु बाध्य करता है, और VCO को चलाती नियंत्रण-वोल्टता ही विमॉडुलित संदेश है। PLL इसलिए जीतता है कि वह उन निम्न संकेत-स्तरों तक चलता है जहाँ विभेदक पहले ही ढह चुका होता है। जो भी प्रयुक्त हो, अग्र-सिरे से पूर्व एक सीमक होना ही चाहिए, क्योंकि कोण मॉडुलन की सम्पूर्ण मान्यता यही है कि आयाम कोई सूचना नहीं वहन करता — अतः आयाम-परिवर्तन परिभाषा से शोर हैं, और उन्हें कतर देने का मूल्य कुछ नहीं और लाभ बहुत। यही वह गुणधर्म है जो FM को फ़ेडिंग व आवेगी व्यतिकरण से उस प्रकार अभेद्य बनाता है जैसा AM कभी नहीं हो सकता।
Δf ठीक वही नियत करता है। दिए आकार की शोर-वोल्टता प्राप्त वाहक की कला को नियत कोण से विक्षुब्ध करती है, और विमॉडुलक उस कला-डोलन को आभासी आवृत्ति-त्रुटि में बदल देता है। किंतु वांछित संकेत ±Δf पर तान दिया गया है, अतः Δf बढ़ने पर वांछित झूले तथा शोर-जनित झूले का अनुपात सुधरता है, और मूल्य वह बैंडविड्थ है जिसकी बड़ा Δf माँग करता है। एक वाक्य में वही अदला-बदली है: कोण मॉडुलन बैंडविड्थ से संकेत-शोर अनुपात खरीदता है, और β के साथ विनिमय-दर सुधरती है। इसी से यह भी स्पष्ट है कि उस अदला-बदली का अंत क्यों है। किसी निश्चित निवेश वाहक-शोर अनुपात के नीचे लूप अथवा विभेदक अनुसरण पूर्णतः खो देता है और निर्गम चटकों में ढह जाता है — FM देहली — और उस बिंदु के आगे अतिरिक्त बैंडविड्थ स्थिति बिगाड़ती है, सुधारती नहीं, क्योंकि चौड़ा IF ऐसे संकेत हेतु अधिक शोर भीतर आने देता है जिसका अनुसरण अब हो ही नहीं सकता। जो अभिकल्प-नियम निकलता है वही प्रत्येक FM कड़ी प्रयोग करती है: β उतना बड़ा चुनें जितना चैनल-आवंटन अनुमति दे, और उससे बड़ा नहीं जितना कड़ी-बजट देहली के ऊपर रख सके।FM व्यवहार का एक और मानक अंश अभी वर्णित शोर-क्रियाविधि से निकलता है। चूँकि विभेदक अवकलन करता है, उसका निर्गम शोर स्पेक्ट्रमी घनत्व f² के रूप में चढ़ता है — प्राप्त शोर सपाट नहीं बल्कि झुका है, अतः उच्चतम श्रव्य आवृत्तियाँ सर्वाधिक बिगड़ती हैं। उपचार पूर्व-बलन तथा अपबलन है: मॉडुलन से पूर्व उच्च श्रव्य आवृत्तियाँ बढ़ाएँ और विमॉडुलन के पश्चात् ठीक पूरक मात्रा से घटाएँ। संदेश अपरिवर्तित पुनर्स्थापित हो जाता है, चैनल में उठाया शोर पहले बढ़ाए जाने के बिना घट जाता है, और शिखर विचलन में तनिक वृद्धि के अतिरिक्त सुधार निःशुल्क है। प्रसारण FM इसके लिए 75 µs का काल-नियतांक प्रयोग करता है, जो 1/(2π × 75 × 10⁻⁶) = 2.12 kHz पर कोने से मेल खाता है, और इसीलिए FM अभिग्राही की श्रव्य श्रृंखला में एक नियत, मानकीकृत अवरोहण अंतर्निर्मित होता है।
सुपरहेटरोडाइन अभिग्राही: नियत IF तथा प्रतिबिंब आवृत्ति
अभिग्राही को दो ऐसे कार्य करने होते हैं जो परस्पर लड़ते हैं: किसी बैंड पर तुन होना, और उसमें से एक चैनल तीक्ष्णता से चुनना। ऐसा फ़िल्टर बनाना जो तुन्य व तीक्ष्ण दोनों हो, कठिन है, क्योंकि उसकी बैंडविड्थ अचर रहनी पड़ेगी जबकि उसकी केंद्र-आवृत्ति दो-से-एक परिसर पर चलती रहे। सुपरहेटरोडाइन यह प्रयास ही न करके इसे हल करता है। स्थानीय दोलक आते संकेत को मिश्रित करके एक नियत मध्यवर्ती आवृत्ति तक नीचे ले आता है, और सारी वरणात्मकता उस नियत IF फ़िल्टर में रहती है जिसे कभी हिलना ही नहीं पड़ता। तुन केवल स्थानीय दोलक होता है, और दोलक तुन करना सरल है। अतः श्रृंखला यह है: चौड़े तुनन वाला RF प्रवर्धक, मिश्रक, LO, वास्तविक वरणात्मकता व अधिकांश लब्धि वाला नियत IF प्रवर्धक, संसूचक, श्रव्य। मिश्रक f_LO − f_s व f_LO + f_s दोनों उत्पन्न करता है; IF फ़िल्टर एक चुन लेता है। f_LO को संकेत से ऊपर चुनना — उच्च-पार्श्व अंतःक्षेपण — मानक है, और कारण किसी रुचि के बजाय एक परिसर-गणना है।
540 से 1600 kHz तक चलता है और मानक AM मध्यवर्ती आवृत्ति 455 kHz है। उच्च-पार्श्व अंतःक्षेपण सहित f_LO = f_s + 455, अतः दोलक को 995 से 2055 kHz आवृत करना होगा — तुनन अनुपात 2055/995 = 2.07। निम्न-पार्श्व अंतःक्षेपण सहित f_LO = f_s − 455, जो 85 से 1145 kHz तथा 1145/85 = 13.5 का अनुपात देता है। परिवर्ती संधारित्र का आवृत्ति-अनुपात उसके धारिता-अनुपात के वर्गमूल के रूप में चलता है, अतः 2.07 के अनुपात को 4.3 से 1 का संधारित्र चाहिए, जो साधारण अवयव है, जबकि 13.5 के अनुपात को 182 से 1 चाहिए, जो अवयव ही नहीं है। वही एक अंकगणितीय तुलना पृथ्वी के प्रत्येक AM अभिग्राही द्वारा उच्च-पार्श्व अंतःक्षेपण प्रयोग करने का सम्पूर्ण कारण है, और वह 'अभिसमय से' की तुलना में बहुत उत्तम उत्तर है। वही तर्क स्वयं IF को भी नियत करता है। IF अत्यधिक निम्न रखें और प्रतिबिंब आवृत्ति वांछित संकेत के इतने निकट बैठती है जहाँ चौड़ा RF चरण उसे निरस्त नहीं कर सकता। अत्यधिक उच्च रखें और नियत IF फ़िल्टर को 9 kHz दूर सन्निकट चैनल पृथक् करने हेतु अव्यावहारिक रूप से उच्च Q चाहिए। AM हेतु 455 kHz तथा FM प्रसारण हेतु 10.7 MHz वे स्थिर हो चुके समझौते हैं, प्रत्येक बैंड के चैनल-अंतराल हेतु एक।प्रतिबिंब आवृत्ति मिश्रण का मूल्य है। IF फ़िल्टर मिश्रक से IF पर जो भी निकले उसे पारित कर देता है, और दो निवेश-आवृत्तियाँ ऐसा करती हैं: वांछित f_s = f_LO − IF तथा अवांछित f_img = f_LO + IF। घटाएँ और आपको साथ ले जाने योग्य संबंध मिलता है: f_img = f_s + 2 × IF। IF फ़िल्टर इसके विषय में कुछ नहीं कर सकता, क्योंकि जब तक प्रतिबिंब IF फ़िल्टर तक पहुँचता है वह IF पर ही होता है और संकेत से अभेद्य। एकमात्र बचाव मिश्रक से पूर्व है, तुन्य RF चरण में, और इसी कारण प्रसारण अभिग्राही में RF वरणात्मकता की अपेक्षा होती ही है। उस बचाव की गुणवत्ता प्रतिबिंब निरसन अनुपात के रूप में उद्धृत होती है, और गुणता-कारक Q वाले एकल तुन्य परिपथ हेतु वह IRR = √(1 + Q²ρ²) है, जहाँ ρ = f_img/f_s − f_s/f_img।
IF = 455 kHz वाले AM अभिग्राही को f_s = 600 kHz के स्टेशन पर तुन करें। दोलक f_LO = 1055 kHz पर बैठता है, और प्रतिबिंब f_img = 600 + 910 = 1510 kHz पर। दूसरी दिशा से जाँचें: |1510 − 1055| = 455 kHz ✓ — प्रतिबिंब वस्तुतः IF पर ही उतरता है। अब देखें कि 1510 kHz कहाँ है: मध्यम-तरंग बैंड के भीतर, अतः वह कोई सैद्धांतिक आवृत्ति नहीं बल्कि वास्तविक स्टेशन है जिस पर श्रोता जानबूझकर तुन कर सकता है। Q = 50 वाले एकल तुन्य RF परिपथ सहित ρ = 1510/600 − 600/1510 = 2.5167 − 0.3974 = 2.1193, अतः IRR = √(1 + 2500 × 4.4915) = √11230 = 106, अर्थात् 40.5 dB। चालीस डेसिबल पर्याप्त लगते हैं, जब तक आपको स्मरण न आए कि किसी बैंड पर प्रसारण संकेत-सामर्थ्य नियमित रूप से उससे अधिक भिन्न होते हैं, अतः प्रतिबिंब आवृत्ति पर बैठा प्रबल स्थानीय स्टेशन किसी दुर्बल दूरस्थ स्टेशन के नीचे सुनाई देगा। दो विरोध चित्र पूरा करते हैं। उसी अभिग्राही को बैंड के शिखर 1600 kHz पर तुन करें: प्रतिबिंब 2510 kHz पर है, बैंड से भली-भाँति बाहर और सापेक्ष रूप में बहुत अधिक दूर, अतः निरसन सरल है — किसी भी बैंड के निम्न सिरे पर प्रतिबिंब निरसन सर्वाधिक बुरा होता है, और वहीं अभिग्राही की विशिष्टि लिखी जाती है। और IF = 10.7 MHz वाले FM प्रसारण में 98.0 MHz के स्टेशन का प्रतिबिंब 98.0 + 21.4 = 119.4 MHz पर है, 88–108 MHz बैंड से पूर्णतः सुखपूर्वक बाहर। वह संयोग नहीं है: FM का IF बैंड की चौड़ाई के आधे से अधिक पर ठीक इसीलिए चुना गया कि कोई प्रतिबिंब बैंड-भीतरी स्टेशन न हो सके।- पहले LO गणित करें, प्रतिबिंब नहीं। उच्च-पार्श्व अंतःक्षेपण हेतु
f_LO = f_s + IF; प्रश्न की प्रत्येक अन्य राशि उसी से निकलती है, और उसे लिख लेना सर्वाधिक सामान्य चूक रोकता है, जो यह है कि IF दो बार के बजाय एक बार जोड़ दिया जाए। - प्रतिबिंब संकेत से
2 × IFदूर है, LO के दूसरी ओर। अतः उच्च-पार्श्व अंतःक्षेपण हेतु वह संकेत से ऊपर है और निम्न-पार्श्व हेतु नीचे, और प्रश्न अंतःक्षेपण-पार्श्व बदलते ही हैं। - सारी वरणात्मकता IF में है; सारा प्रतिबिंब निरसन RF में। इन्हें भ्रमित करना ही वह वैचारिक त्रुटि है जिस पर प्रश्न बना है: कितना भी IF छानन प्रतिबिंब नहीं हटाता, और कितना भी RF छानन सन्निकट चैनल पृथक् नहीं करता।
- दूसरा मिश्रण-चरण औद्योगिक उत्तर है। द्वि-परिवर्तन अभिग्राही प्रतिबिंब को बैंड से बाहर धकेलने हेतु उच्च प्रथम IF तथा वरणात्मकता पाने हेतु निम्न द्वितीय IF प्रयोग करता है, एक और दोलक के मूल्य पर दोनों लाभ लेते हुए।
परीक्षा-कौशल: ये विषय वस्तुतः कैसे पूछे जाते हैं
EC पेपर 180 मिनट में 100 अंकों हेतु 65 प्रश्न है, जिनमें सामान्य अभिवृत्ति 10 प्रश्न 15 अंकों हेतु है, और शेष तकनीकी विषय वहन करता है। अंकन की असममिति को यह आकार देना चाहिए कि आप इस सामग्री पर कैसे आक्रमण करें: गलत MCQ का मूल्य प्रश्न के मान का एक-तिहाई है, अतः दो विश्वसनीय विकल्पों तक सिमटा एक-अंकीय MCQ उत्तर देने योग्य है और चार में से अंधा अनुमान औसतन ठीक शून्य मूल्य का, जबकि MSQ तथा NAT प्रश्नों पर ऋणात्मक अंकन बिल्कुल नहीं — जिसका अर्थ है कि इस खंड का प्रत्येक संख्यात्मक-उत्तर प्रश्न प्रयास किया जाना चाहिए, स्थूल आकलन पर भी, क्योंकि हानि कोई नहीं। यहाँ यह अधिकांश खंडों से अधिक महत्व रखता है, क्योंकि इस अध्याय के इतने परिणाम एकल संख्याएँ हैं जिन्हें आप शीघ्र परिबद्ध कर सकते हैं: पूर्ण AM हेतु मॉडुलन-दक्षता एक-तिहाई से अधिक नहीं हो सकती, AM हेतु बैंडविड्थ 2W से कम नहीं हो सकती, प्रतिबिंब सदा 2 × IF दूर होता है, और एक ध्रुव हेतु शोर-तुल्य बैंडविड्थ सदा 3 dB आँकड़े का π/2 गुना।
| राशि | एक अभिसमय | दूसरा | कैसे बताएँ कि कौन-सा अभिप्रेत है |
|---|---|---|---|
| शोर PSD | द्वि-पार्श्व N₀/2, सभी f पर समाकलित | एक-पार्श्व N₀, f ≥ 0 पर समाकलित | यदि संकेत N₀/2 हो तो द्वि-पार्श्व; दोनों वही शक्ति देते हैं |
| FM बैंडविड्थ | कार्सन: 2(Δf + f_m) = β = 3 पर 40 kHz | एक-प्रतिशत नियम: β = 3 पर 60 kHz | पार्श्व-पट्टी सारणी दी जाने तक कार्सन मानें |
| शक्ति-सूत्र में संकेत आयाम | शिखर: शक्ति A²/2 | RMS: शक्ति A² | वाहक हेतु बताया गया वोल्ट-आँकड़ा सामान्यतः शिखर होता है |
| बहु-स्वर AM का मॉडुलन सूचकांक | वर्ग-योग √(µ₁² + µ₂²) = 0.5 | अंकगणितीय योग µ₁ + µ₂ = 0.7 — शक्ति हेतु गलत | शक्ति हेतु वर्ग-योग, शिखर आवरण हेतु ही अंकगणितीय |
−174 dBm/Hz, जिससे 10 log B जोड़कर कोई भी बैंडविड्थ निकल आती है। एकल ध्रुव हेतु B_N/f₃dB = π/2 = 1.571, और अतः भोले आकलन से 1.96 dB अतिरिक्त शोर। अधिकतम पूर्ण-AM दक्षता 1/3, जो प्रत्येक AM शक्ति-प्रश्न को ऊपर से परिबद्ध करती है। J₀(β) = 0 प्रथम बार β = 2.405 पर, वह विचलन जिस पर FM वाहक लुप्त हो जाता है। तथा f_img = f_s + 2 × IF, AM प्रसारण हेतु IF = 455 kHz और FM हेतु 10.7 MHz। अध्याय का शेष सब — चरघातांकी-से-लोरेंट्ज़ीय रूपांतर युग्म, µ²/(2 + µ²) दक्षता, कार्सन का नियम, आवरण-संसूचक असमिका, LO तुनन अनुपात — विचार से पुनर्निर्मित करना सूची से स्मरण करने से शीघ्रतर है, और जब प्रश्न कोई एक शर्त बदल दे तब वही पुनर्निर्माण आपकी रक्षा भी करता है।मुख्य बिंदु
- यादृच्छिक संकेत दो फलनों से पूर्णतः सँभल जाता है।
R_X(τ)सहसंबंध देता है औरτ = 0पर कुल शक्ति; उसका फूरिये रूपांतरS_X(f)देता है कि वह शक्ति कहाँ बैठी है। किसी भी संभावित स्वसहसंबंध को सम होना, मूल-बिंदु पर शिखर रखना, तथाS_X(f) ≥ 0में रूपांतरित होना चाहिए — वही अंतिम परीक्षा कठिन विकल्प पकड़ती है। - यादृच्छिक संकेत का छानन एक पंक्ति है:
S_Y(f) = |H(f)|² S_X(f), औरH(f)की कला निकल जाती है। द्वि-पार्श्व PSD10⁻⁹ W/Hzका श्वेत शोरRC = 1 msनिम्न-पारक में0.5 µWदेता है, अर्थात्159 Hzकी 3 dB बैंडविड्थ के सम्मुख250 Hzकी शोर-तुल्य बैंडविड्थ — एकल ध्रुव काπ/2दंड। - पूर्ण AM अपनी अधिकांश शक्ति व्यर्थ व्यय करता है।
µ = 0.5पर 10 V वाहक56.25 Wप्रेषित करता है जिसमें केवल6.25 Wसंदेश है —11.1प्रतिशत — और वैध छतµ = 1पर भी दक्षताµ²/(2 + µ²)केवल1/3तक पहुँचती है। उससे जो खरीदा जाता है वह ऐसा अभिग्राही है जो एक डायोड व एक RC है। - कोण मॉडुलन बैंडविड्थ से SNR खरीदता है, और उसका शक्ति-योग कभी नहीं हिलता।
Σ J_n²(β) = 1, अतःβ = 3पर वाहक केवलJ₀² = 6.8प्रतिशत रखता है और93प्रतिशत पार्श्व-पट्टियों में है। कार्सन2(Δf + f_m) = 40 kHzदेता है; एक-प्रतिशत पार्श्व-पट्टी नियम60 kHz; बताएँ कि आपने कौन-सी कसौटी प्रयुक्त की। - FM व PM में अंतर इसमें है कि
βको क्या नियत करता है, और वही तय करता है कि बैंडविड्थ कैसे चलती है। FM काΔfकेवल संदेश-आयाम पर निर्भर है, अतःf_mदोगुना करनाβआधा करता है; PM काβ_pनियत है, अतःf_mदोगुना करनाΔfदोगुना करता है।Δf = 15 kHzपर औरf_mके 5 से 10 kHz जाने पर कार्सन FM हेतु40 → 50 kHzजाता है किंतु PM हेतु40 → 80 kHz। - सुपरहेटरोडाइन वरणात्मकता को नियत IF पर ले जाता है और उसका मूल्य
f_s + 2 × IFपर एक प्रतिबिंब से चुकाता है।IF = 455 kHzसहितf_s = 600 kHzपर प्रतिबिंब1510 kHzहै, उसी बैंड के भीतर वास्तविक स्टेशन, औरQ = 50का RF चरण उसे केवल40.5 dBसे निरस्त करता है। IF छानन सहायता नहीं कर सकता — प्रतिबिंब पहले ही IF पर है। - आवरण संसूचन
1/f_c ≪ RC ≪ √(1−µ²)/(µ ω_m)के भीतर जीवित रहता है।f_c = 1 MHz,f_m = 5 kHz,µ = 0.5पर खिड़की1 µsसे55 µsहै;µको 0.9 वf_mको 15 kHz करें और वह लगभग5 µsतक सिकुड़ जाती है। निचली परिसीमा पर विफलता वाहक-तरंगिका देती है, ऊपरी पर विकर्ण कर्तन।
अभ्यास प्रश्न (8)
उत्तर खोलने से पहले प्रत्येक प्रश्न हल करें। हर व्याख्या सही विकल्प के साथ लुभावना गलत विकल्प भी बताती है, क्योंकि अंक वहीं जाते हैं।
पश्चता चर tau के चार संभावित फलन दिए गए हैं। इनमें से कौन सा किसी व्यापक-अर्थ स्थिर यादृच्छिक प्रक्रम का स्वसहसंबंध फलन कभी नहीं हो सकता?
उत्तर देखें
उत्तर: C — R(tau) = tau e^(-|tau|)
वास्तविक व्यापक-अर्थ स्थिर प्रक्रम का स्वसहसंबंध पश्चता का सम फलन होना चाहिए, मूल पर शिखर होना चाहिए जहाँ R(0) माध्य-वर्ग मान है और इसलिए अऋणात्मक है, और उसका रूपांतर हर आवृत्ति पर अऋणात्मक शक्ति स्पेक्ट्रल घनत्व देना चाहिए। फलन tau e^(-|tau|) विषम है, ऋणात्मक पश्चता के लिए ऋणात्मक और धनात्मक के लिए धनात्मक, अतः वह समता की कसौटी में सीधे विफल है और उसका R(0) = 0 भी है जबकि अन्यत्र मान बड़े हैं। 4 e^(-3|tau|) मानक प्रथम-कोटि निम्न-पारक प्रतिरूप है; 9 cos(20 tau) यादृच्छिक-कला ज्या का स्वसहसंबंध है; और 5/(1 + tau^2) आवृत्ति में धनात्मक द्विपक्षीय चरघातांक देता है।एक अभिग्राही का शोर गुणांक 6 dB तथा शोर बैंडचौड़ाई 20 MHz है। उसके संदर्भ ताप पर उसके निवेश पर उपलब्ध ऊष्मीय शोर शक्ति स्पेक्ट्रल घनत्व -174 dBm/Hz है। निवेश के सापेक्ष अभिग्राही कितनी कुल शोर शक्ति प्रस्तुत करता है?
उत्तर देखें
उत्तर: A — -95.0 dBm
सर्वत्र decibel में काम कीजिए, क्योंकि तब प्रत्येक योगदान जुड़ता है। बैंडचौड़ाई पद 10 log(20 x 10^6) = 73.0 dB-Hz है, अतः उस बैंडचौड़ाई में ऊष्मीय तल -174 + 73.0 = -101.0 dBm है। अभिग्राही का अपना योगदान उसका शोर गुणांक है, उस तल से 6 dB ऊपर, जिससे -101.0 + 6 = -95.0 dBm मिलता है। आकर्षक -101.0 dBm ठीक वही ऊष्मीय तल है जिसमें शोर गुणांक छूट गया है, अर्थात वह संख्या जो एक पूर्णतः निःशोर अभिग्राही दिखाता। मान -107.0 dBm शोर गुणांक जोड़ने के बजाय घटाता है, और -168.0 dBm बैंडचौड़ाई पद ही भूल जाता है।एक पूर्ण आयाम-मॉडुलित प्रेषित्र को एक ही स्वर से 80 प्रतिशत मॉडुलन गहराई तक चलाया जाता है। कुल प्रेषित शक्ति का कितना अंश पार्श्वबैंडों द्वारा वहन किया जाता है, जो संदेश वहन करने वाला एकमात्र भाग है?
उत्तर देखें
उत्तर: B — 24.2 %
स्वर-मॉडुलित पूर्ण AM संकेत की कुल प्रेषित शक्ति P_c (1 + mu^2/2) है, जिसमें वाहक P_c लेता है और दोनों पार्श्वबैंड मिलकर P_c mu^2/2 लेते हैं। अतः दक्षता mu^2/(2 + mu^2) = 0.64/2.64 = 0.242, अर्थात 24.2 प्रतिशत है। आकर्षक 39.0 प्रतिशत वस्तुतः mu^2/(1 + mu^2) है, जो दो का वह गुणक छोड़ देता है जो वाहक और पार्श्वबैंडों की एक ही शक्ति आधार पर तुलना से आता है। मान 33.3 प्रतिशत केवल mu = 1 पर पहुँचने वाली अधिकतम सीमा है, और 11.1 प्रतिशत mu = 0.5 की दक्षता है।एक प्रेषित्र को या तो आवृत्ति मॉडुलक के रूप में चलाया जा सकता है जिसका आवृत्ति-विचलन अचर 6 kHz प्रति volt है, या कला मॉडुलक के रूप में जिसका कला-विचलन अचर 3 radian प्रति volt है। दोनों ही दशाओं में उसे संदेश 4 cos(2 pi x 3000 t) volt से चलाया जाता है। प्रत्येक दशा में Carson नियम लगाने पर, कला-मॉडुलित बैंडचौड़ाई आवृत्ति-मॉडुलित से कितनी अधिक है?
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उत्तर: D — 24 kHz
आवृत्ति मॉडुलन में विचलन केवल संदेश आयाम से तय होता है: 6 kHz प्रति volt गुणा 4 V = 24 kHz, और 3 kHz संदेश आवृत्ति के साथ Carson नियम 2(24 + 3) = 54 kHz देता है। कला मॉडुलन में सूचकांक आयाम से तय होता है, 3 radian प्रति volt गुणा 4 V = 12 radian, और तब विचलन संदेश आवृत्ति से 12 x 3 = 36 kHz निकलता है, अतः Carson 2(36 + 3) = 78 kHz देता है। अधिकता 78 - 54 = 24 kHz है। आकर्षक 12 kHz दोनों कोष्ठक योगों का अंतर है जिसमें Carson नियम का दो का गुणक छूट गया है। मान 132 kHz दोनों बैंडचौड़ाइयाँ जोड़ देता है, और 30 kHz कला सूचकांक को 3 radian मानकर 4 V आयाम की उपेक्षा करने से आता है।एक द्वि-पार्श्वबैंड दमित-वाहक संकेत को ठीक सही आवृत्ति वाले पर 60 अंश की स्थिर कला त्रुटि वाले स्थानीय वाहक से गुणा करके विमॉडुलित किया जाता है, और फिर गुणनफल को निम्न-पारक छानित किया जाता है। सही ढंग से संसूचित निर्गम आयाम का कितना अंश बचता है?
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उत्तर: A — 0.500
प्राप्त संकेत को cos(2 pi f_c t + theta) से गुणा करके निम्न-पारक छानने पर m(t) cos(theta) के समानुपाती निर्गम बचता है, अतः स्थिर कला त्रुटि आयाम को उस त्रुटि की कोज्या से घटाती है। theta = 60 अंश पर बचा अंश cos 60 = 0.500 है। आकर्षक 0.866 वस्तुतः cos 30 है, जो तब आता है जब कला त्रुटि समकला अक्ष के बजाय समकोणिक अक्ष से नापी जाए; यह गलत संदर्भ है, गलत अंकगणित नहीं। मान 0.250 वस्तुतः cos वर्ग 60 है और शक्ति का उत्तर देता है, और 0 चरम दशा theta = 90 अंश का है, अर्थात समकोणिक शून्यक।एक superheterodyne अभिग्राही को 10.7 MHz की मध्यवर्ती आवृत्ति का प्रयोग करते हुए 88 MHz से 108 MHz तक का बैंड आवृत करना है, जिसमें स्थानीय दोलित्र सर्वत्र वांछित संकेत से ऊपर रखा गया है। उसे जो दोलित्र आवृत्तियाँ बनानी हैं उनमें उच्चतम और निम्नतम का अनुपात क्या है?
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उत्तर: B — 1.203
उच्च-पक्ष अंतःक्षेपण में दोलित्र संकेत आवृत्ति जमा मध्यवर्ती आवृत्ति पर रहता है, अतः उसे 88 + 10.7 = 98.7 MHz से 108 + 10.7 = 118.7 MHz तक चलना है, और अनुपात 118.7/98.7 = 1.203 है। इस अंकगणित का मर्म यह है कि बैंड के दोनों सिरों में एक स्थिर योग जोड़ने से अनुपात सदैव सिकुड़ता है, यही कारण है कि हर प्रसारण अभिग्राही दोलित्र को बैंड से ऊपर रखता है। आकर्षक 1.227 वस्तुतः 108/88 है, अर्थात स्वयं संकेत बैंड का अनुपात, जो यह भूलने से आता है कि तुनन दोलित्र का करना है। मान 1.259 निम्न-पक्ष अंतःक्षेपण, 97.3/77.3, की माँग है, और 1.349 मध्यवर्ती आवृत्ति केवल ऊपरी सिरे पर जोड़ता है।जिसका द्विपक्षीय शक्ति स्पेक्ट्रल घनत्व 2 x 10^(-9) W/Hz है ऐसा श्वेत शोर इकाई d.c. लब्धि वाले एक-ध्रुव RC निम्न-पारक छन्नक को चलाता है जिसकी 3 dB बैंडचौड़ाई 5 kHz है, और निर्गम 1 ohm पर विकसित होता है। इस व्यवस्था के विषय में निम्नलिखित में से कौन से सत्य हैं?
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उत्तर: A — छन्नक की शोर-तुल्य बैंडचौड़ाई 7.854 kHz है।; B — निर्गम पर माध्य-वर्ग शोर वोल्टता 3.14 x 10^(-5) V^2 है।
एक ध्रुव के लिए शोर-तुल्य बैंडचौड़ाई 3 dB बैंडचौड़ाई से ठीक pi/2 गुना अधिक होती है, क्योंकि धीरे ढलती पूँछ कटाव के बहुत आगे तक शोर पारित करती रहती है, अतः B_N = 1.5708 x 5 = 7.854 kHz. तब निर्गम शक्ति एकपक्षीय घनत्व गुणा वह बैंडचौड़ाई है, 4 x 10^(-9) x 7854 = 3.14 x 10^(-5) W, जो 1 ohm पर volt वर्ग में वही आँकड़ा है। प्रतिरोध दुगुना करने से कालांक दुगुना और बैंडचौड़ाई आधी होती है, अतः निर्गम शोर शक्ति दुगुनी नहीं आधी होती, और उसी 3 dB कटाव वाले ईंट-दीवार छन्नक की शोर-तुल्य बैंडचौड़ाई केवल 5 kHz है अतः वह कम शोर पारित करता है। वह pi/2 गुणक 1.96 dB का शोर है।आवृत्ति-मॉडुलन विविक्तकर के निर्गम पर शोर शक्ति स्पेक्ट्रल घनत्व श्रव्य आवृत्ति के वर्ग के अनुपात में बढ़ता है, अतः उच्चतम श्रव्य आवृत्तियाँ सबसे बुरी निकलती हैं। मॉडुलन से पूर्व पूर्व-आग्रह तथा विमॉडुलन के पश्चात पूरक अपआग्रह इसलिए प्रयुक्त होते हैं क्योंकि:
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उत्तर: C — मॉडुलन से पूर्व उच्च श्रव्य आवृत्तियाँ बढ़ाने से विमॉडुलन के पश्चात का पूरक कटाव संदेश को क्षीण किए बिना चैनल शोर को क्षीण कर देता है
वाहक को मॉडुलित करने से पूर्व संदेश की उच्च श्रव्य आवृत्तियाँ बढ़ाई जाती हैं और विविक्तकर के बाद ठीक उतनी ही मात्रा में घटाई जाती हैं, अतः संदेश स्वयं अपरिवर्तित लौटता है। शोर, किंतु, चैनल में मिलता है और इसलिए केवल कटाव से गुजरता है, बढ़ाव से कभी नहीं, यही कारण है कि बढ़ता शोर घनत्व वहीं क्षीण होता है जहाँ वह सबसे बुरा है जबकि वांछित संकेत नहीं। सुधार लगभग निःशुल्क है, केवल शिखर विचलन में थोड़ी वृद्धि की कीमत पर। आकर्षक बैंडचौड़ाई वाला स्पष्टीकरण इसे उस पृथक तथ्य से मिला देता है कि कोण मॉडुलन बैंडचौड़ाई देकर संकेत-से-शोर अनुपात खरीदता है।