वास्तु व अभियांत्रिक आलेखन: रेखांकन, मापनी, वक्र, प्रक्षेपण, परिप्रेक्ष्य व छाया
2. मापनियाँ: प्रतिनिधि भिन्न, सरल व विकर्ण मापनी
प्रतिनिधि भिन्न (RF) चित्र पर किसी वस्तु की लंबाई को उसकी वास्तविक लंबाई से भाग देने पर मिलता है, दोनों एक ही इकाई में। मापनी 1 : 100 का RF = 1/100 है: कागज़ पर 1 mm स्थल पर 100 mm (0.1 m) को निरूपित करता है। 1 : 1 पूर्ण आकार है, n > 1 हेतु 1 : n लघुकरण और n : 1 वर्धन; 1 : 50, 1 : 100 से बड़ी मापनी है क्योंकि उसकी भिन्न बड़ी है। खींची जाने वाली मापनी की लंबाई = RF × मापी जाने वाली सबसे लंबी लंबाई। लंबाइयाँ RF से, क्षेत्रफल RF² से व आयतन RF³ से मापित होते हैं।
- 1 : 50 पर 6.4 m की दीवार कागज़ पर 6400/50 = 128 mm लंबी होती है।
- 1 : 500 के चित्र पर मापा गया 24 cm² प्लान-क्षेत्रफल स्थल पर 24 × 500² = 6,000,000 cm² = 600 m² है। RF का वर्ग लें; 500 से केवल एक बार गुणा न करें।
| मापनी | यह क्या पढ़ती है | अल्पतमांक व टिप्पणी |
|---|---|---|
| सरल मापनी (प्लेन स्केल) | दो इकाइयाँ, जैसे मीटर व डेसीमीटर: मुख्य विभाग तथा एक उपविभाजित विभाग | एक उपविभाग, जैसे 1 dm |
| विकर्ण मापनी (डायगोनल स्केल) | तीन इकाइयाँ, जैसे m, dm व cm: दस क्षैतिज सोपानों के आर-पार विकर्ण समरूप त्रिभुजों से उपविभाग को बाँटता है | उपविभाग ÷ 10, जैसे 1 cm |
| आलेखीय (पट्टी) मापनी | भू-इकाइयों में अंकित खींची हुई पट्टी | शीट को बड़ा या छोटा करने पर भी सही रहती है; लिखा हुआ RF नहीं |
विकर्ण मापनी की रचना: RF 1 : 50, 6 m तक मीटर, डेसीमीटर व सेंटीमीटर पढ़ने हेतु। लंबाई = 6000/50 = 120 mm; 1 m = 20 mm का मुख्य विभाग; 1 dm = 2 mm; 1 cm = 0.2 mm। पहले 20 mm विभाग को दस 2 mm भागों में बाँटा जाता है, मापनी के ऊपर दस क्षैतिज रेखाएँ खींची जाती हैं, और पट्टी के आर-पार विकर्ण हर रेखा पर एक और दशमांश, 0.2 mm, जोड़ता है, जो 1 cm को निरूपित करता है।
3. अभियांत्रिक वक्र I: शंकु-परिच्छेद
शंकु-परिच्छेद उस बिंदु का बिंदुपथ है जो इस प्रकार गति करता है कि उसकी एक स्थिर बिंदु (नाभि) से दूरी और एक स्थिर सरल रेखा (नियता) से दूरी का अनुपात अचर रहे। यह अनुपात उत्केंद्रता e है। e < 1 हो तो वक्र दीर्घवृत्त, e = 1 हो तो परवलय और e > 1 हो तो अतिपरवलय है। लंब-वृत्तीय शंकु को समतल से काटने पर यही कुल मिलता है, इसीलिए इन्हें शंकु-परिच्छेद कहते हैं।
| वक्र | e | कटिंग-तल (α = जनक का आधार से कोण) | तथ्य |
|---|---|---|---|
| वृत्त | 0 | आधार के समांतर | सभी बिंदु केंद्र से समदूर |
| दीर्घवृत्त | < 1 | आधार से α से कम झुका, अतः प्रत्येक जनक को काटता है | दोनों नाभियों से दूरियों का योग = दीर्घ अक्ष; नाभियाँ केंद्र से ± ae पर |
| परवलय | = 1 | एक जनक के समांतर (ठीक α पर झुका) | y² = 4ax, नाभि शीर्ष से a पर; मेहराब व परावर्तक की रूपरेखाएँ |
| अतिपरवलय | > 1 | α से अधिक झुका, अक्ष के समांतर तक | आयताकार अतिपरवलय xy = c का e = √2 व लंबवत अनंतस्पर्शी; PV = अचर |
पहचानने योग्य रचना-विधियाँ: दीर्घवृत्त हेतु संकेंद्री-वृत्त व नाभि (चाप) विधियाँ, परवलय हेतु आयत (स्पर्शी) विधि, और अतिपरवलय हेतु अनंतस्पर्शी विधि (xy = c)। सम-मितीय वृत्त दीर्घवृत्त के चार-केंद्र सन्निकटन से खींचा जाता है। हल: 100 mm दीर्घ अक्ष व 60 mm लघु अक्ष वाले दीर्घवृत्त में a = 50 व b = 30 हैं, अतः नाभियाँ केंद्र के दोनों ओर c = √(a² − b²) = 40 mm पर हैं (80 mm अंतर पर), e = c/a = 0.8, और प्रत्येक बिंदु की नाभीय दूरियों का योग 100 mm है। नाभियाँ लघु अक्ष के सिरे से त्रिज्या a = 50 mm का चाप घुमाकर मिलती हैं।
4. अभियांत्रिक वक्र II: चक्रज, अंतर्वलित वक्र, हेलिक्स व सर्पिल
शेष अभियांत्रिक वक्र लुढ़कने, खुलने या किसी पथ पर आगे बढ़ने से बनते हैं। परीक्षा में यह पूछा जाता है कि प्रत्येक कैसे बनता है और उसकी एक-दो परिभाषक संख्याएँ क्या हैं।
| वक्र | उत्पत्ति | मुख्य तथ्य |
|---|---|---|
| चक्रज (साइक्लॉइड) | सरल रेखा पर बिना फिसले लुढ़कते वृत्त की परिधि का एक बिंदु | एक चाप का आधार 2πr व ऊँचाई 2r (लुढ़कते वृत्त का व्यास) होती है, नुकीले सिरे (कस्प) रेखा पर; वृत्त के बाहर लुढ़कने पर बाह्य-चक्रज (एपिसाइक्लॉइड), भीतर लुढ़कने पर अंतः-चक्रज (हाइपोसाइक्लॉइड), तथा परिधि से बाहर-भीतर का बिंदु ट्रोकॉइड देता है |
| अंतर्वलित वक्र (इनवॉल्यूट) | किसी वृत्त या बहुभुज से खोली जाती तनी डोरी का मुक्त सिरा | डोरी सदा वृत्त की स्पर्शी रहती है और खुली लंबाई खुले चाप के बराबर होती है; किसी भी बिंदु पर अभिलंब आधार-वृत्त की स्पर्शी होता है, अतः वक्रता-त्रिज्या मुक्त डोरी की लंबाई है; दंतचक्र के दाँतों की रूपरेखा |
| हेलिक्स (पेचदार वक्र) | बेलन या शंकु पर एकसमान कोणीय व अक्षीय चाल से घूमते-बढ़ते बिंदु | पिच = एक चक्कर में अक्ष के अनुदिश बढ़त; प्लान वृत्त, एलिवेशन साइन वक्र; खोलने पर एक चक्कर सरल रेखा है, आधार 2πr व ऊँचाई = पिच वाले त्रिभुज का कर्ण, अतः tan λ = पिच/2πr; पेचदार सीढ़ियाँ, रैंप व पेच |
| आर्किमिडीज़ सर्पिल | ध्रुव से एकसमान चाल से दूर जाता बिंदु, जबकि त्रिज्य-सदिश एकसमान घूमता है | r = aθ: समान कोणों पर त्रिज्या में समान वृद्धि, अतः प्रति चक्कर वृद्धि अचर (2πa); कैम व चपटी कुंडलियाँ |
| लघुगणकीय सर्पिल | वह बिंदु जिसका त्रिज्य-सदिश समान कोणों पर गुणोत्तर श्रेढ़ी में बढ़ता है | r = a e^(bθ): त्रिज्य-सदिश व स्पर्शी के बीच कोण अचर (समकोणिक) और आकृति स्व-समरूप; स्वर्णिम सर्पिल हर चौथाई चक्कर पर φ गुना बढ़ता है |
- 60 mm व्यास के लुढ़कते वृत्त से चक्रज: एक चाप का आधार = π × 60 = 188.5 mm, ऊँचाई 60 mm।
- 20 mm त्रिज्या के वृत्त का एक पूरे चक्कर तक खोला गया अंतर्वलित वक्र: मुक्त डोरी = 2π × 20 = 125.7 mm।
- 1.0 m माध्य त्रिज्या की पेचदार सीढ़ी जो एक चक्कर में 3.0 m ऊपर उठती है: रेलिंग का एक चक्कर = √((2π × 1.0)² + 3.0²) = √48.48 = 6.96 m, तथा हेलिक्स कोण = tan⁻¹(3.0/6.283) = 25.5°।
- प्रति चक्कर 24 mm त्रिज्या बढ़ाने वाला आर्किमिडीज़ सर्पिल: 120° के बाद त्रिज्या 24 × 120/360 = 8 mm है; 2.5 चक्करों के बाद 60 mm।
5. लंबकोणीय प्रक्षेपण: दृश्य, यथार्थ लंबाई व यथार्थ आकार
लंबकोणीय प्रक्षेपण में प्रक्षेपक रेखाएँ प्रक्षेपण-तल पर लंब होती हैं। मुख्य तल क्षैतिज तल (HP: प्लान, ऊपरी दृश्य), ऊर्ध्वाधर तल (VP: एलिवेशन, सम्मुख दृश्य) व पार्श्व-तल (पार्श्व दृश्य) हैं; HP व VP अंतरिक्ष को चार चतुर्थांशों में बाँटते हैं। भारतीय (BIS) पद्धति प्रथम-कोण प्रक्षेपण प्रयोग करती है, जिसमें वस्तु प्रेक्षक व तल के बीच रहती है। अमेरिका व कनाडा तृतीय-कोण प्रयोग करते हैं, जिसमें पारदर्शी तल प्रेक्षक व वस्तु के बीच रहता है।
| विशेषता | प्रथम कोण | तृतीय कोण |
|---|---|---|
| वस्तु स्थित है | प्रथम चतुर्थांश में, प्रेक्षक व तल के बीच | तृतीय चतुर्थांश में, पारदर्शी तल के पीछे |
| प्लान खींचा जाता है | एलिवेशन के नीचे | एलिवेशन के ऊपर |
| बाएँ पार्श्व का दृश्य दिखता है | एलिवेशन के दाएँ | एलिवेशन के बाएँ |
| प्रयुक्त | भारत व यूरोप के अधिकांश देश | अमेरिका व कनाडा |
यथार्थ लंबाई L की रेखा, जो HP से θ व VP से φ पर झुकी है: ऊपरी दृश्य की लंबाई L cos θ और सम्मुख दृश्य की L cos φ होती है; सिरों की ऊँचाई में अंतर L sin θ (सम्मुख दृश्य में दिखता) व गहराई में अंतर L sin φ (प्लान में दिखता) है। रेखा अपनी यथार्थ लंबाई केवल उसी तल पर दिखाती है जिसके वह समांतर है, उसके आभासी झुकाव यथार्थ झुकावों से कभी कम नहीं होते, और θ + φ, 90° से अधिक नहीं हो सकता। क्षेत्रफल A की समतल आकृति, जो प्रक्षेपण-तल से β झुकी है, का प्रक्षेपित क्षेत्रफल A cos β होता है और उसका यथार्थ आकार केवल समांतर तल पर दिखता है, इसीलिए झुके फलक हेतु सहायक दृश्य (ऑक्ज़िलियरी व्यू) खींचा जाता है।
- L = 100 mm, θ = 30°, φ = 45°: ऊपरी दृश्य = 100 cos 30° = 86.6 mm; सम्मुख दृश्य = 100 cos 45° = 70.7 mm; सिरों की ऊँचाई में अंतर 100 sin 30° = 50 mm। जाँच: θ + φ = 75°, जो 90° से कम है।
- 2400 mm² की आयताकार पट्टी, HP से 60° झुकी, का ऊपरी दृश्य क्षेत्रफल 2400 cos 60° = 1200 mm² है; उसका यथार्थ क्षेत्रफल केवल पट्टी के अभिलंबवत दृश्य में दिखता है।
6. सम-मितीय प्रक्षेपण व सम-मितीय चित्र
एक्सोनोमेट्रिक (अक्षमितीय) प्रक्षेपण में वस्तु को इस प्रकार झुकाया जाता है कि उसकी तीनों मुख्य दिशाएँ प्रक्षेपण-तल से झुकी हों। सम-मितीय प्रक्षेपण में वे बराबर झुकी होती हैं, प्रत्येक कोर तल से 35°16′ बनाती है, अतः तीनों अक्ष बराबर लघुकृत होते हैं और 120° के अंतर पर दिखते हैं: एक ऊर्ध्वाधर व दो क्षैतिज से 30° ऊपर उठती हुई। लघुकरण-गुणक cos 35°16′ = √(2/3) = 0.816 है। सम-मितीय चित्र (दृश्य) इसे उपेक्षित कर अक्षों के अनुदिश यथार्थ लंबाइयाँ लेता है। आकृति वही रहती है, पर 1/0.816 = 1.225 गुना बड़ी, और सामान्यतः यही खींचा जाता है।
- माप केवल सम-मितीय रेखाओं के अनुदिश लें, यानी तीनों अक्षों के समांतर रेखाओं के। झुकी या तिर्यक रेखा उसके अंत-बिंदुओं को घेरने वाले बक्से की सहायता से खींची जाती है।
- कोण यथार्थ नहीं रहते: फलक का समकोण 120° या 60° दिखता है।
- छिपी रेखाएँ सामान्यतः छोड़ दी जाती हैं, और तीनों फलकों में से किसी पर वृत्त दीर्घवृत्त बन जाता है।
| मद | सम-मितीय प्रक्षेपण (मापनी 0.816) | सम-मितीय चित्र (यथार्थ लंबाइयाँ) |
|---|---|---|
| यथार्थ लंबाई a की घन-कोर | 0.816 a | a |
| सम-मितीय फलक पर व्यास d का वृत्त | दीर्घवृत्त: दीर्घ अक्ष d, लघु अक्ष 0.577 d | दीर्घवृत्त: दीर्घ अक्ष 1.225 d, लघु अक्ष 0.707 d |
| व्यास D का गोला | व्यास D का वृत्त | व्यास 1.225 D का वृत्त |
हल: 150 mm कोरों वाला बक्सा, सम-मितीय प्रक्षेपण के रूप में खींचने पर, 150 × 0.8165 = 122.5 mm लंबी कोरें रखता है; सम-मितीय चित्र के रूप में वे 150 mm होती हैं। वृत्त के दीर्घवृत्त में लघु : दीर्घ सदा 1 : √3 = 0.577 रहता है, क्योंकि फलक प्रक्षेपण-तल से 54°44′ झुका है और cos 54°44′ = 0.577। उसका दीर्घ अक्ष उस सम-मितीय अक्ष पर लंब होता है जो फलक का अभिलंब है, अतः ऊपरी फलक हेतु वह क्षैतिज होता है।
7. पृष्ठों का विकास
विकास (डेवलपमेंट) किसी सतह को एक तल पर खोलकर बिछाना है, यथार्थ आकार में, बिना खिंचाव या अध्यारोपण के। यह शीट-धातु की नलिकाओं, छत की चादरों, आवरण-पटलों, हॉपरों व कागज़ी मॉडलों के साँचे देता है। केवल समतल-फलकी व एक-वक्र सतहों का (प्रिज़्म, पिरामिड, बेलन, शंकु व उनके छिन्नक) ठीक-ठीक विकास हो सकता है। गोला, गुंबद या टोरस जैसी द्वि-वक्र सतहों का नहीं: उन्हें गोर (फाँकों) या मेखलाओं (ज़ोन) से सन्निकृत किया जाता है, जो भूगोलक को मानचित्र में चपटा करने जैसी ही कठिनाई है। तीन विधियाँ हैं: समांतर-रेखा (प्रिज़्म, बेलन), अरीय-रेखा (पिरामिड, शंकु) तथा त्रिभुजन (संक्रमण-खंड व तिर्यक सतहें)।
| ठोस | विकास | पार्श्व क्षेत्रफल |
|---|---|---|
| लंब प्रिज़्म | आयतों की पट्टी: लंबाई = आधार-परिमाप, ऊँचाई = h | परिमाप × h |
| लंब बेलन | एक आयत 2πr × h | 2πrh |
| लंब पिरामिड | शीर्ष पर मिलते त्रिभुज | ½ × परिमाप × तिर्यक ऊँचाई |
| लंब शंकु | त्रिज्या l = √(r² + h²) व चाप 2πr वाला त्रिज्यखंड, कोण 360° × r/l | πrl |
| शंकु का छिन्नक | त्रिज्यखंड का भाग, वलयाकार त्रिज्यखंड | π(r₁ + r₂) l |
- 6 m व्यास के ड्रम पर 4 m ऊँची शंक्वाकार छत: l = √(3² + 4²) = 5 m; त्रिज्यखंड-कोण = 360° × 3/5 = 216°; छत की चादर = π × 3 × 5 = 47.1 m² (जोड़ों से पहले)।
- 40 व 16 mm अंत-त्रिज्याओं और 7 mm ऊँचाई वाला छिन्नक: तिर्यक ऊँचाई l = √(24² + 7²) = 25 mm; पार्श्व क्षेत्रफल = π × (40 + 16) × 25 = 1400π = 4398 mm²।
- षट्भुजी प्रिज़्म, आधार-भुजा 20 mm, ऊँचाई 50 mm: विकास-पट्टी 6 × 20 = 120 mm लंबी व 50 mm ऊँची, पार्श्व क्षेत्रफल 6000 mm²।
8. एक-बिंदु व दो-बिंदु परिप्रेक्ष्य
परिप्रेक्ष्य (पर्सपेक्टिव) वस्तु को चित्र-तल (PP) पर सीधी दृष्टि-किरणों से प्रक्षेपित करता है, जो एक दृष्टि-बिंदु (SP), यानी आँख, पर अभिसरित होती हैं। इसके अंग हैं भू-तल (GP), भू-रेखा (GL) जहाँ PP, GP से मिलता है, आँख के स्तर पर क्षितिज-रेखा (HL), दृष्टि-केंद्र (CV), यानी HL का वह बिंदु जो आँख के ठीक सामने है, तथा लोपबिंदु (VP)। नियम: क्षैतिज समांतर रेखाओं का समूह HL पर एक ही VP पर अभिसरित होता है; PP के समांतर रेखाएँ प्रतिबिंब में समांतर रहती हैं; ऊर्ध्वाधर PP हो तो ऊर्ध्वाधर रेखाएँ ऊर्ध्वाधर रहती हैं; दूरी के साथ प्रतिबिंब का आकार घटता है; और PP में स्थित कोर यथार्थ आकार में खिंचती है।
| प्रकार | व्यवस्था | लोपबिंदु | विशिष्ट उपयोग |
|---|---|---|---|
| एक-बिंदु (समांतर) | वस्तु का एक फलक PP के समांतर; PP पर लंब रेखाएँ अभिसरित होती हैं | एक, CV पर | अंतःभाग, गलियारे, सड़कें, आँगन; PP के समांतर फलक अपना यथार्थ आकार रखता है |
| दो-बिंदु (कोणीय) | वस्तु इस प्रकार घुमाई गई कि कोई फलक PP के समांतर नहीं; ऊर्ध्वाधर कोरें PP के समांतर | दो, HL पर | भवनों के बाह्य व कोने के दृश्य; कोई फलक अपना आकार नहीं रखता |
| तीन-बिंदु | PP झुका हुआ, अतः ऊर्ध्वाधर रेखाएँ भी अभिसरित | तीन | ऊपर या नीचे से देखे गए अति ऊँचे भवन (पक्षी-दृष्टि, कीट-दृष्टि) |
माना SP से PP की दूरी D है। PP से कोण α बनाती क्षैतिज रेखा HL पर CV से D cot α दूरी पर लोप होती है (α = 90° पर स्वयं CV, α → 0 पर अनंत)। α व 90° − α पर दो लंबवत समूहों के VP, CV से विपरीत ओर D cot α व D tan α दूरी पर होते हैं, और SP से उन तक की रेखाएँ समकोण पर होती हैं। अतः प्रचलित 30°/60° व्यवस्था में VP 1.73 D व 0.58 D पर, एक-दूसरे से 2.31 D दूर, पड़ते हैं। PP के d पीछे स्थित h ऊँचाई की ऊर्ध्वाधर कोर PP पर h × D/(D + d) ऊँचाई की दिखती है। दृष्टि-शंकु विकृति से बचने हेतु लगभग 30° रखा जाता है (लगभग 60° से कभी अधिक नहीं); ऊँची HL पक्षी-दृष्टि और नीची HL कीट-दृष्टि देती है।
- SP, PP से 5 m दूर, कोरें PP से 30° पर: VP, CV से 5 cot 30° = 8.66 m पर; 60° वाले लंबवत समूह का VP दूसरी ओर 5 cot 60° = 2.89 m पर।
- 3 m की ऊर्ध्वाधर कोर PP के 2 m पीछे खड़ी है और SP उसके 6 m सामने है: प्रतिबिंब की ऊँचाई = 3 × 6/(6 + 2) = 2.25 m (चित्र-मापनी पर)।
9. प्रकाश, छाया (शेड) व परछाईं (शैडो)
छाया (शेड) वस्तु का स्वयं का अप्रकाशित भाग है, जबकि परछाईं (शैडो) वह अंधकारमय क्षेत्र है जो वह किसी अन्य सतह पर डालती है। प्रकाशित व अप्रकाशित फलकों को अलग करने वाली रेखा शेड-रेखा है, और उसकी परछाईं पड़ी हुई परछाईं की रूपरेखा बनाती है। वास्तु-आलेखन परंपरागत प्रकाश प्रयोग करता है: घन के विकर्ण के अनुदिश समांतर किरणें, ताकि किरण प्लान व एलिवेशन दोनों में 45° पर दिखे, ऊपर-बाएँ-सामने से आती हुई। भूमि से उसका यथार्थ झुकाव 35°16′ (tan⁻¹ 1/√2) है, क्योंकि वह तीनों मुख्य तलों से बराबर कोण बनाती है। तब हर परछाईं समान क्षैतिज व ऊर्ध्वाधर माप के विस्थापनों से खींची जा सकती है।
- किसी बिंदु की किसी तल पर परछाईं वहाँ है जहाँ बिंदु से गुज़रती किरण उस तल से मिलती है।
- रेखा की उसके समांतर तल पर परछाईं रेखा के समांतर व बराबर होती है।
- ऊर्ध्वाधर रेखा ऊर्ध्वाधर दीवार पर ऊर्ध्वाधर परछाईं डालती है, और भूमि पर किरण के प्लान के अनुदिश, प्लान में 45° पर, परछाईं।
- एलिवेशन में, किसी अवयव की पीछे की सतह पर परछाईं उस सतह से अवयव के निकले भाग (प्रोजेक्शन) जितनी आड़ी व नीचे की ओर विस्थापित होती है: 600 mm का छज्जा अपने किनारे के नीचे दीवार पर 600 mm गहरी पट्टी डालता है, और 300 mm निकला ऊर्ध्वाधर फिन अपने बगल की दीवार पर 300 mm की परछाईं।
- प्राप्तकर्ता तल के समांतर वृत्त समान वृत्त की परछाईं डालता है, अन्यथा दीर्घवृत्त की। धँसे भाग (रिसेस) में प्रकाश के निकटतम पक्षों (ऊपर व बाएँ) पर छाया रहती है, निकला भाग अपनी परछाईं प्रकाश से दूर के पक्षों (नीचे व दाएँ) पर डालता है।
वास्तविक सूर्य-प्रकाश में समतल भूमि पर h ऊँचाई की ऊर्ध्वाधर वस्तु की परछाईं की लंबाई h / tan(सौर उन्नतांश) होती है: 30° उन्नतांश पर 9 m का खंभा 9/tan 30° = 15.6 m परछाईं डालता है, और 45° पर परछाईं ऊँचाई के बराबर होती है। परंपरागत प्रकाश में h ऊँचाई का ऊर्ध्वाधर खंभा भूमि पर यथार्थ लंबाई h√2 की परछाईं डालता है, जो एलिवेशन में h और प्लान में 45° पर h√2 दिखती है। रेंडरिंग में परछाइयाँ गहराई जोड़ती हैं और निकले व धँसे भागों को पठनीय बनाती हैं, तथा पड़ी हुई परछाईं वस्तु की अपनी छाया से अधिक गहरी रखी जाती है।
मुख्य बिंदु
- RF = चित्र-लंबाई ÷ वास्तविक लंबाई; लंबाइयाँ RF से, क्षेत्रफल RF² से, आयतन RF³ से मापित होते हैं; सरल मापनी दो इकाइयाँ पढ़ती है, विकर्ण मापनी तीन, और पट्टी-मापनी बड़ा-छोटा करने पर भी सही रहती है।
- शंकु-परिच्छेद: e < 1 दीर्घवृत्त, e = 1 परवलय, e > 1 अतिपरवलय; जनक के समांतर समतल परवलय देता है और अक्ष के समांतर अतिपरवलय; अर्ध-अक्ष a व b वाले दीर्घवृत्त की नाभियाँ ± √(a² − b²) पर होती हैं।
- चक्रज: आधार 2πr, ऊँचाई 2r। अंतर्वलित वक्र: वक्रता-त्रिज्या = मुक्त डोरी। हेलिक्स: खुलकर सरल रेखा, tan λ = पिच/2πr। आर्किमिडीज़ सर्पिल: प्रति कोण समान त्रिज्या-वृद्धि; लघुगणकीय सर्पिल: समान अनुपात।
- प्रथम-कोण (भारत): प्लान एलिवेशन के नीचे। L लंबाई की रेखा ऊपरी दृश्य में L cos θ और सम्मुख दृश्य में L cos φ दिखाती है, आभासी कोण यथार्थ से कभी कम नहीं होते, और प्रक्षेपित क्षेत्रफल A cos β होता है।
- सम-मितीय: अक्ष 120° के अंतर पर, प्रक्षेपण में गुणक 0.816 और चित्र में 1.0 (1.225 गुना बड़ा); वृत्त लघु : दीर्घ 0.577 वाला दीर्घवृत्त बनता है। शंकु-विकास: त्रिज्यखंड-कोण 360° × r/l, क्षेत्रफल πrl, l तिर्यक ऊँचाई।
- परिप्रेक्ष्य: क्षितिज-रेखा आँख का स्तर है; एक-बिंदु में CV पर एक VP और PP के समांतर यथार्थ-आकार वाला फलक होता है; दो-बिंदु के VP, CV से D cot α व D tan α पर होते हैं; परंपरागत प्रकाश आभासी 45°, यथार्थ 35°16′ है; सूर्य की परछाईं = h / tan(उन्नतांश)।
अभ्यास प्रश्न (18)
उत्तर खोलने से पहले प्रत्येक प्रश्न हल करें। हर व्याख्या सही विकल्प के साथ लुभावना गलत विकल्प भी बताती है, क्योंकि अंक वहीं जाते हैं।
फ़र्श-प्लान में सबसे भारी रेखा-मोटाई सामान्यतः किसके लिए प्रयुक्त होती है
उत्तर देखें
उत्तर: B — क्षैतिज कटिंग-तल से कटी दीवारों व स्तंभों के लिए
प्लान में कटे अवयव सबसे निकट व सबसे महत्त्वपूर्ण सतहें होते हैं, इसलिए उन्हें सबसे भारी रेखा और प्रायः ठोस भराव मिलता है। कटिंग-तल के ऊपर के अवयव खंडित रेखा में, विमा व प्रक्षेपण रेखाएँ पतली, और केंद्र-रेखाएँ पतली डैश-बिंदु रेखाएँ होती हैं। भ्रामक विकल्प, कट के ऊपर की बीमें, भारी नहीं बल्कि खंडित रेखा में खींची जाती हैं।1 : 500 पर खींचे गए साइट-प्लान पर एक भूखंड कागज़ पर 24 cm² मापा गया। उसका वास्तविक क्षेत्रफल, m² में, ____ है।
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
उत्तर देखें
उत्तर: 600
क्षेत्रफल RF के वर्ग से मापित होते हैं: वास्तविक क्षेत्रफल = 24 × 500² = 24 × 250,000 = 6,000,000 cm² = 600 m² (1 m² = 10,000 cm²)। भुजाओं से जाँच: 4 cm × 6 cm का भूखंड 2000 cm × 3000 cm = 20 m × 30 m = 600 m² है। 500 से केवल एक बार गुणा करने पर भूमि केवल 1.2 m² आती है, जो बहुत कम है।सरल व विकर्ण मापनियों के विषय में कौन-सा कथन सही है?
उत्तर देखें
उत्तर: D — विकर्ण मापनी तीन इकाइयाँ पढ़ती है, क्योंकि समरूप त्रिभुज उसके सबसे छोटे विभाग को दस भागों में बाँटते हैं
दस क्षैतिज सोपानों के आर-पार विकर्ण समरूप त्रिभुजों से सबसे छोटे उपविभाग को दशमांशों में बाँटता है, अतः मापनी, उदाहरणतः, मीटर, डेसीमीटर व सेंटीमीटर पढ़ती है। इसलिए अल्पतमांक सबसे छोटे उपविभाग का दसवाँ भाग होता है, स्वयं उपविभाग नहीं, जो सरल मापनी की स्थिति है। कोई भी मापनी कोण नहीं मापती।एक लंब-वृत्तीय शंकु को उसके किसी जनक के समांतर समतल से काटा जाता है। परिच्छेद है
उत्तर देखें
उत्तर: A — परवलय, जिसकी उत्केंद्रता एक के बराबर है
ठीक जनक के कोण पर झुका समतल, यानी जनक के समांतर, शंकु को परवलय (e = 1) में काटता है। इससे अधिक तीखे समतल, अक्ष के समांतर तक, अतिपरवलय देते हैं, जो भ्रामक गलत उत्तर है; अधिक चपटे समतल दीर्घवृत्त देते हैं, और आधार के समांतर समतल वृत्त।एक दीर्घवृत्त का दीर्घ अक्ष 100 mm व लघु अक्ष 60 mm है। उसकी उत्केंद्रता है
उत्तर देखें
उत्तर: B — 0.80
अर्ध-अक्ष a = 50 व b = 30 हैं, अतः केंद्र से नाभीय दूरी c = √(2500 − 900) = 40 mm और e = c/a = 40/50 = 0.80। मान 0.60, b/a है, 0.75, b/c है और 0.64, e² है; प्रत्येक एक चरण की चूक है।एक पेचदार सीढ़ी की माध्य त्रिज्या 1.0 m है और वह एक पूरे चक्कर में 3.0 m ऊपर उठती है। माध्य त्रिज्या के अनुदिश मापी गई एक चक्कर की रेलिंग की लंबाई, m में दो दशमलव तक, ____ है।
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उत्तर: 6.96
खोलने पर एक चक्कर समकोण त्रिभुज का कर्ण है, जिसका आधार 2πr = 6.283 m और ऊँचाई पिच के बराबर, 3.0 m है। लंबाई = √(6.283² + 3.0²) = √(39.478 + 9) = √48.478 = 6.96 m। दोनों भुजाएँ जोड़ने से 9.28 m, या केवल प्लान की परिधि 6.28 m लेने से, चढ़ाई की उपेक्षा होती है।किसी वृत्त से तनी डोरी खोलकर अंतर्वलित वक्र बनाया जाता है। वक्र के बिंदु P पर वक्रता-त्रिज्या बराबर होती है
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उत्तर: A — मुक्त डोरी की लंबाई के, वृत्त पर उसके स्पर्श-बिंदु से P तक
डोरी वृत्त की स्पर्शी है, और हर क्षण वक्र स्पर्श-बिंदु के परितः मुड़ता है, अतः वक्रता-त्रिज्या मुक्त डोरी की लंबाई है। P से केंद्र तक की दूरी √(r² + l²) बड़ी होती है, और आधार-त्रिज्या तथा पूरी परिधि 2πr अचर हैं, जबकि डोरी खुलने पर वक्रता-त्रिज्या शून्य से बढ़ती है।भारतीय आलेखन-पद्धति में अपनाए जाने वाले प्रथम-कोण प्रक्षेपण में प्लान रखा जाता है
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उत्तर: D — एलिवेशन के नीचे, उसी ऊर्ध्वाधर प्रक्षेपक रेखा पर
वस्तु प्रेक्षक व तलों के बीच रहती है, अतः HP पर प्रक्षेपित दृश्य नीचे घुमाकर VP के तल में आता है और एलिवेशन के नीचे पड़ता है। प्लान को एलिवेशन के ऊपर रखना तृतीय-कोण पद्धति है, जो भ्रामक विकल्प है। प्लान सदा एलिवेशन से गुज़रती ऊर्ध्वाधर प्रक्षेपक रेखा पर रहता है, उसके बगल में कभी नहीं।100 mm लंबी एक सरल रेखा HP से 30° व VP से 45° पर झुकी है। उसके सम्मुख दृश्य की लंबाई है
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उत्तर: C — 70.7 mm
सम्मुख दृश्य VP पर प्रक्षेपण है, अतः उसकी लंबाई L cos φ है, φ VP से झुकाव है: 100 cos 45° = 70.7 mm। मान 86.6 mm ऊपरी दृश्य की लंबाई, 100 cos 30°, है, जो HP से झुकाव प्रयोग करती है, और 50 mm सिरों की ऊँचाई का अंतर, 100 sin 30°, है।150 mm कोर के घन को सम-मितीय मापनी प्रयोग करते हुए यथार्थ सम-मितीय प्रक्षेपण के रूप में खींचा गया है। चित्र पर प्रत्येक कोर की लंबाई, mm में एक दशमलव तक, ____ है।
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उत्तर: 122.5
यथार्थ सम-मितीय प्रक्षेपण में अक्ष के अनुदिश प्रत्येक कोर cos 35°16′ = √(2/3) = 0.8165 से लघुकृत होती है। कोर = 150 × 0.8165 = 122.47, जो एक दशमलव तक 122.5 mm है। सम-मितीय चित्र, जो यथार्थ लंबाइयाँ लेता है, 150 mm दिखाता।व्यास D के गोले को सम-मितीय चित्र में दिखाया गया है, जिसमें अक्षों के अनुदिश यथार्थ लंबाइयाँ ली गई हैं। वह दिखता है
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उत्तर: C — व्यास 1.225 D के वृत्त के रूप में
गोले का कोई भी लंबकोणीय प्रक्षेपण वृत्त होता है, दीर्घवृत्त कभी नहीं। यथार्थ सम-मितीय प्रक्षेपण में उसका व्यास D है। सम-मितीय चित्र सब कुछ 1/0.816 = 1.225 गुना बढ़ाता है, अतः वृत्त का व्यास 1.225 D है। व्यास D का वृत्त प्रक्षेपण वाला उत्तर है, जो भ्रामक है।एक शंक्वाकार छत का आधार-व्यास 6 m और ऊर्ध्वाधर उठान 4 m है। उसकी चादर का विकास त्रिज्यखंड के रूप में किया जाता है। त्रिज्यखंड का कोण, अंशों में, ____ है।
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उत्तर: 216
आधार-त्रिज्या r = 3 m व ऊर्ध्वाधर ऊँचाई h = 4 m हैं, अतः तिर्यक ऊँचाई l = √(9 + 16) = 5 m है। त्रिज्यखंड का चाप आधार की परिधि 2π × 3 है, त्रिज्या 5 के वृत्त पर, अतः कोण = 360° × 3/5 = 216°। l की जगह h लेने पर 270° आता है, जो सामान्य भूल है।लंबे आयताकार कमरे का अंतःभाग-दृश्य, जो सीधे अंतिम दीवार की ओर देखता है, सबसे सरलता से खींचा जाता है
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उत्तर: B — एक-बिंदु परिप्रेक्ष्य में, जिसमें कमरे की लंबाई के अनुदिश रेखाएँ दृष्टि-केंद्र पर अभिसरित होती हैं
अंतिम दीवार चित्र-तल के समांतर है, अतः वह अपना यथार्थ आकार रखती है और चित्र-तल पर लंब हर रेखा, यानी फ़र्श, छत व पार्श्व-दीवारों की कोरें, दृष्टि-केंद्र पर एकमात्र लोपबिंदु पर अभिसरित होती है। यही एक-बिंदु व्यवस्था है। दो-बिंदु परिप्रेक्ष्य कमरे को इस प्रकार घुमाता है कि कोई दीवार चित्र-तल के समांतर न रहे, जो यहाँ अनावश्यक है।3 m ऊँची एक ऊर्ध्वाधर कोर चित्र-तल के 2 m पीछे खड़ी है, और दृष्टि-बिंदु चित्र-तल के 6 m सामने है। पूर्ण मापनी पर खींचे परिप्रेक्ष्य में चित्र-तल पर कोर की ऊँचाई, m में दो दशमलव तक, ____ है।
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उत्तर: 2.25
आँख से दृष्टि-किरणें चित्र-तल को कोर तक की अपनी लंबाई के भिन्न D/(D + d) पर पार करती हैं, जहाँ D = 6 m आँख से तल की दूरी और d = 2 m उसके पीछे की दूरी है। प्रतिबिंब की ऊँचाई = 3 × 6/(6 + 2) = 2.25 m। 2 m के पीछे हटाव की उपेक्षा करने पर पूरा 3.00 m आता, जो केवल चित्र-तल में स्थित कोर के लिए सही है।परंपरागत 45° प्रकाश में, एक क्षैतिज छज्जा सपाट दीवार से 600 mm बाहर निकला है। एलिवेशन में, छज्जे के निचले किनारे के नीचे दीवार पर उसकी परछाईं की गहराई है
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उत्तर: D — 600 mm
किरण दीवार पर लंब ऊर्ध्वाधर तल में 45° पर दिखती है, अतः परछाईं ठीक निकले भाग जितनी, 600 mm, नीचे गिरती है। मान 849 mm, 600√2 है, जो उसी पार्श्व दृश्य में छज्जे के किनारे व दीवार के बीच किरण की दिखती लंबाई है, दीवार पर परछाईं की गहराई नहीं।परंपरागत प्रकाश व परछाइयों के विषय में निम्न में से कौन-से कथन सही हैं?
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उत्तर: A — परंपरागत किरण प्लान व एलिवेशन दोनों में 45° पर दिखती है, पर भूमि से उसका यथार्थ झुकाव लगभग 35°16′ है; B — रेखा की उसके समांतर तल पर परछाईं रेखा के समांतर व लंबाई में बराबर होती है
किरण घन का विकर्ण है: प्लान व एलिवेशन में 45°, पर यथार्थ 35°16′, अतः ऊर्ध्वाधर खंभे की यथार्थ भू-परछाईं h√2 है, h नहीं। किसी तल के समांतर रेखा उस पर समांतर व बराबर परछाईं डालती है। छाया वस्तु की स्वयं की अप्रकाशित ओर है, जबकि परछाईं किसी अन्य सतह पर पड़ती है।दो-बिंदु (कोणीय) परिप्रेक्ष्य के विषय में निम्न में से कौन-से कथन सही हैं?
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उत्तर: A — दोनों लोपबिंदु क्षितिज-रेखा पर स्थित होते हैं; B — चित्र-तल ऊर्ध्वाधर हो तो ऊर्ध्वाधर कोरें ऊर्ध्वाधर रहती हैं
क्षैतिज रेखाओं के दोनों समूह क्षितिज पर लोप होते हैं, और ऊर्ध्वाधर चित्र-तल ऊर्ध्वाधर रेखाओं को ऊर्ध्वाधर रखता है। कोई फलक चित्र-तल के समांतर नहीं होता, अतः किसी का यथार्थ आकार नहीं रहता। लोपबिंदु दृष्टि-केंद्र से बराबर दूरी पर तभी होते हैं जब दोनों समूह 45° पर घुमे हों; 30° व 60° पर वे D cot 30° व D cot 60° दूर होते हैं।निम्न में से किन सतहों का बिना खिंचाव या फटाव के ठीक-ठीक विकास हो सकता है?
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उत्तर: A — लंब-वृत्तीय शंकु; B — षट्भुजी प्रिज़्म; C — वर्ग-आधार पिरामिड
शंकु एक-वक्र है और त्रिज्यखंड में खुल जाता है, तथा प्रिज़्म व पिरामिड समतल फलकों के बने हैं जो आयतों या त्रिभुजों में खुलते हैं। गोला द्वि-वक्र है: उसे ढकने के लिए किसी भी चपटी चादर को खींचना या गोरों में काटना पड़ता है, अतः उसका केवल सन्निकटन हो सकता है।