दृढ़-पिंड संवेग संतुलन व अंतरिक्ष गतिकी
1. दृढ़ पिंडों हेतु रैखिक व कोणीय संवेग संतुलन
किसी भी पिंड हेतु परिणामी बाह्य बल रैखिक संवेग के परिवर्तन-दर के बराबर है, जो घूर्णन कैसा भी हो, द्रव्यमान केंद्र G हेतु F = m·a_G बन जाता है। G के परितः (या किसी स्थिर बिंदु के परितः) परिणामी बाह्य आघूर्ण कोणीय संवेग के परिवर्तन-दर के बराबर है, M_G = dH_G/dt, जहाँ H_G = [I]·ω। चूँकि जड़त्व प्रदिश केवल पिंड से जुड़े अक्षों में स्थिर होता है, अवकलज घूर्णी ढाँचे में लिया जाता है: dH/dt = (dH/dt)_body + ω × H। मुख्य अक्षों में इससे ऑयलर समीकरण मिलते हैं, M_x = I_x ω̇_x − (I_y − I_z) ω_y ω_z और उसके चक्रीय साथी — वही समीकरण जो वायुयान गति-समीकरणों का आघूर्ण वाला आधा भाग हैं।
बाह्य आघूर्ण न होने पर कोणीय संवेग जड़त्वीय आकाश में संरक्षित रहता है। तब किसी मुख्य अक्ष के परितः घूमता पिंड स्थायी है यदि वह अक्ष अधिकतम या न्यूनतम जड़त्व-आघूर्ण का हो, और मध्यवर्ती अक्ष के परितः अस्थायी है। ऊर्जा क्षय इसे बदल देता है: स्थिर कोणीय संवेग पर गतिज ऊर्जा खोने वाला पिंड न्यूनतम-ऊर्जा अवस्था की ओर खिसकता है, जो अधिकतम जड़त्व-आघूर्ण अक्ष के परितः घूर्णन है, अतः लचीले भागों या हिलते ईंधन वाले अंतरिक्षयान हेतु केवल मुख्य-अक्ष (major-axis) घूर्णन स्थायी है। घूर्णन परिवर्तन पर भी यही संरक्षण लागू है: जड़त्व-आघूर्ण आधा करें तो घूर्णन-दर दोगुनी होती है, और घूर्णी गतिज ऊर्जा (H²/2I) भी दोगुनी होती है, अतिरिक्त ऊर्जा द्रव्यमान को भीतर खींचने में किए कार्य से आती है।
2. केंद्रीय-बल गति व कक्षा समीकरण
द्वि-पिंड समस्या में, जब केंद्रीय पिंड बहुत भारी हो, सापेक्ष गति r̈ = −(μ/r³)·r का पालन करती है, जहाँ μ = GM (पृथ्वी हेतु μ = 3.986 × 10¹⁴ m³/s²)। केंद्रीय बल आकर्षक केंद्र के परितः कोई आघूर्ण नहीं लगाता, अतः विशिष्ट कोणीय संवेग h = r × v स्थिर है: गति एक तल में रहती है, और h = r²θ̇। चूँकि क्षेत्रीय वेग dA/dt = ½r²θ̇ = h/2, समान समय में समान क्षेत्रफल बुहारे जाते हैं — केप्लर का दूसरा नियम बस कोणीय संवेग का संरक्षण है। विशिष्ट यांत्रिक ऊर्जा ε = v²/2 − μ/r भी स्थिर है। गति-समीकरण हल करने पर शांकव r = (h²/μ)/(1 + e cos ν) मिलता है, जहाँ ν उपसौर-बिंदु (periapsis) से मापी गई सत्य विसंगति (true anomaly) और e उत्केंद्रता है।
| कक्षा | उत्केंद्रता | विशिष्ट ऊर्जा ε | स्थानीय पलायन चाल से चाल की तुलना |
|---|---|---|---|
| वृत्त | e = 0 | −μ/(2r) < 0 | v = v_esc/√2 |
| दीर्घवृत्त | 0 < e < 1 | −μ/(2a) < 0 | v < v_esc |
| परवलय | e = 1 | 0 | v = v_esc |
| अतिपरवलय | e > 1 | +μ/(2|a|) > 0 | v > v_esc |
3. केप्लर कक्षाएँ व केप्लर के तीन नियम
केप्लर के नियम, माने नहीं बल्कि व्युत्पन्न: (1) बद्ध कक्षा दीर्घवृत्त है जिसकी एक नाभि पर आकर्षक पिंड है; (2) त्रिज्या-सदिश समान समय में समान क्षेत्रफल बुहारता है; (3) आवर्तकाल का वर्ग अर्ध-दीर्घ अक्ष के घन के अनुपाती है, T = 2π√(a³/μ)। दीर्घवृत्त हेतु उपसौर व अपसौर (periapsis व apoapsis) त्रिज्याएँ r_p = a(1 − e) व r_a = a(1 + e) हैं, अतः a = (r_p + r_a)/2 और e = (r_a − r_p)/(r_a + r_p)। ऊर्जा केवल a पर निर्भर करती है, ε = −μ/(2a), और इसे ε = v²/2 − μ/r से मिलाने पर विस-वाइवा समीकरण v² = μ(2/r − 1/a) मिलता है, जो किसी भी कक्षा पर कहीं भी चाल देता है। शीर्ष-बिंदुओं पर वेग त्रिज्या के लंबवत होता है, अतः h का संरक्षण v_p r_p = v_a r_a देता है।
वृत्ताकार कक्षा r = a की स्थिति है: v_c = √(μ/r) और T = 2πr/v_c = 2π√(r³/μ)। r = 7000 km पर v_c = √(3.986 × 10¹⁴/7 × 10⁶) = 7.55 km/s और T = 5829 s, लगभग 97 मिनट। भू-स्थिर कक्षा वह वृत्ताकार विषुवतीय कक्षा है जिसका आवर्तकाल एक नाक्षत्र दिवस (86 164 s) के बराबर है, जो उसे लगभग 42 164 km त्रिज्या पर रखता है।
4. पलायन वेग
पिंड अनंत तक पलायन करता है जब उसकी विशिष्ट ऊर्जा शून्य या धनात्मक हो: v²/2 − μ/r ≥ 0, अतः त्रिज्या r पर पलायन वेग v_esc = √(2μ/r) = √2·v_c। यह दिशा से स्वतंत्र है (ऊर्जा में केवल चाल आती है) और पिंड के द्रव्यमान से भी। पृथ्वी की सतह पर, R_E = 6378 km लेकर, v_esc = √(2 × 3.986 × 10¹⁴/6.378 × 10⁶) ≈ 11.2 km/s, जबकि वृत्ताकार चाल लगभग 7.9 km/s है। v_esc से तेज़ प्रक्षेपित पिंड अतिपरवलय पर निकल जाता है, जिसकी अतिपरवलयिक अतिरिक्त चाल v_∞ का मान v_∞² = v² − v_esc² से मिलता है।
5. वृत्ताकार कक्षाओं के बीच होमान स्थानांतरण
होमान स्थानांतरण अंतरिक्षयान को त्रिज्याओं r1 < r2 वाली दो समतलीय वृत्ताकार कक्षाओं के बीच दो स्पर्शरेखीय आवेगों से ले जाता है। स्थानांतरण कक्षा वह दीर्घवृत्त है जिसका उपसौर r1 व अपसौर r2 है, अतः a_t = (r1 + r2)/2। पहला दहन चाल को √(μ/r1) से स्थानांतरण-कक्षा की उपसौर चाल तक बढ़ाता है; दूसरा, अपसौर पर, इसे स्थानांतरण अपसौर चाल से √(μ/r2) तक: Δv1 = √(μ/r1)[√(2r2/(r1 + r2)) − 1] तथा Δv2 = √(μ/r2)[1 − √(2r1/(r1 + r2))]। स्थानांतरण में स्थानांतरण दीर्घवृत्त का आधा आवर्तकाल लगता है, t = π√(a_t³/μ)। यह समतलीय वृत्तों के बीच न्यूनतम-Δv द्वि-आवेग स्थानांतरण है; केवल बहुत बड़े त्रिज्या अनुपातों (लगभग 11.94 से ऊपर) पर त्रि-आवेग द्वि-दीर्घवृत्तीय (bi-elliptic) स्थानांतरण कम खर्चीला हो सकता है।
| राशि | मान |
|---|---|
| r1 पर वृत्ताकार चाल | 7.726 km/s |
| स्थानांतरण उपसौर चाल | 10.152 km/s |
| Δv1 | 2.426 km/s |
| स्थानांतरण अपसौर चाल | 1.608 km/s |
| r2 पर वृत्ताकार चाल | 3.075 km/s |
| Δv2 | 1.467 km/s |
| कुल Δv | 3.893 km/s |
| स्थानांतरण समय (आधा दीर्घवृत्त) | लगभग 5.28 h |
मुख्य बिंदु
- F = m·a_G तथा M_G = dH_G/dt; पिंड-अक्षों में dH/dt = (dH/dt)_body + ω × H ऑयलर समीकरण देता है। बल-आघूर्ण-मुक्त घूर्णन मुख्य व लघु अक्षों के परितः स्थायी है, और ऊर्जा क्षय होने पर केवल मुख्य अक्ष के परितः।
- केंद्रीय बल ⇒ h = r²θ̇ स्थिर ⇒ समतलीय गति व समान समय में समान क्षेत्रफल। कक्षा: r = (h²/μ)/(1 + e cos ν)।
- ε = −μ/(2a); विस-वाइवा v² = μ(2/r − 1/a); r_p = a(1 − e), r_a = a(1 + e); v_p r_p = v_a r_a; T = 2π√(a³/μ)।
- v_c = √(μ/r), v_esc = √(2μ/r) = √2·v_c, दिशा से स्वतंत्र; पृथ्वी की सतह पर लगभग 7.9 व 11.2 km/s।
- होमान: a_t = (r1 + r2)/2, दो अग्रगामी स्पर्शरेखीय दहन, समय = आधा स्थानांतरण आवर्तकाल; 300 km कक्षा से भू-स्थिर त्रिज्या तक लगभग 3.89 km/s।
अभ्यास प्रश्न (12)
उत्तर खोलने से पहले प्रत्येक प्रश्न हल करें। हर व्याख्या सही विकल्प के साथ लुभावना गलत विकल्प भी बताती है, क्योंकि अंक वहीं जाते हैं।
एक उपग्रह बिना बाह्य बल-आघूर्ण के मुक्त रूप से घूमता है। वह दो बूम भीतर खींचता है जिससे घूर्णन-अक्ष के परितः उसका जड़त्व-आघूर्ण आधा हो जाता है। उसकी घूर्णन-दर व घूर्णी गतिज ऊर्जा क्रमशः हो जाती हैं:
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उत्तर: B — दोगुनी तथा दोगुनी
बल-आघूर्ण न होने पर H = Iω संरक्षित है, अतः I आधा होने पर ω दोगुना होता है। गतिज ऊर्जा H²/(2I) है, जो I आधा होने पर दोगुनी होती है; यह भीतर खींचने की युक्ति द्वारा किए कार्य से आती है। √2 वाला उत्तर गतिज ऊर्जा को ग़लती से स्थिर मानने से आता है।एक दृढ़ पिंड के तीन भिन्न मुख्य जड़त्व-आघूर्ण हैं। मुख्य अक्ष के परितः बल-आघूर्ण-मुक्त घूर्णन के विषय में कौन-से कथन सही हैं?
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उत्तर: A — अधिकतम जड़त्व-आघूर्ण वाले अक्ष के परितः घूर्णन स्थायी है; B — यदि पिंड पूर्णतः दृढ़ हो तो न्यूनतम जड़त्व-आघूर्ण वाले अक्ष के परितः घूर्णन स्थायी है; D — आंतरिक ऊर्जा क्षय के साथ न्यूनतम अक्ष के परितः घूर्णन अस्थायी हो जाता है
ऑयलर समीकरण दिखाते हैं कि छोटे विक्षोभ अधिकतम व न्यूनतम अक्षों के परितः दोलन करते हैं और मध्यवर्ती अक्ष के परितः बढ़ते हैं। ऊर्जा क्षय स्थिर H पर गतिज ऊर्जा घटाता है, पिंड को अधिकतम-जड़त्व अक्ष की ओर ले जाता है, अतः लचीले भागों वाला न्यूनतम-अक्ष घूर्णक अंततः चपटे घूर्णन में लुढ़क जाता है। मध्यवर्ती अक्ष हर स्थिति में अस्थायी है।पृथ्वी के परितः 7000 km त्रिज्या की वृत्ताकार कक्षा में उपग्रह की चाल कितनी है, km/s में (दो दशमलव स्थानों तक)? μ = 3.986 × 10¹⁴ m³/s² लें।
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
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उत्तर: 7.55
v_c = √(μ/r) = √(3.986 × 10¹⁴/7.0 × 10⁶) = √(5.694 × 10⁷) = 7546 m/s = 7.55 km/s। √(2μ/r) लेने पर पलायन चाल 10.67 km/s आती है, जो कक्षा ही छोड़ देती।पृथ्वी के परितः 7000 km त्रिज्या की वृत्ताकार कक्षा का आवर्तकाल कितना है, मिनट में (एक दशमलव स्थान तक)? μ = 3.986 × 10¹⁴ m³/s² लें।
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
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उत्तर: 97.1
T = 2π√(r³/μ) = 2π√((7 × 10⁶)³/3.986 × 10¹⁴) = 2π × 927.6 = 5828.5 s = 97.1 min। यही 2πr/v_c = 2π × 7 × 10⁶/7546 से आता है। घन भूलना (r³ के स्थान पर r) सेकंड का अर्थहीन अंश देता है।एक पृथ्वी कक्षा की उपसौर त्रिज्या 7000 km व अपसौर त्रिज्या 21 000 km है। उसकी उत्केंद्रता कितनी है?
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
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उत्तर: 0.5
e = (r_a − r_p)/(r_a + r_p) = (21 000 − 7000)/(21 000 + 7000) = 14 000/28 000 = 0.5, और a = 14 000 km। अंतर को केवल r_a से भाग देने पर 0.667 और केवल r_p से भाग देने पर 2 आता है — कोई भी दीर्घवृत्त की उत्केंद्रता नहीं।7000 km उपसौर त्रिज्या व 21 000 km अपसौर त्रिज्या वाली कक्षा हेतु उपसौर पर चाल व अपसौर पर चाल का अनुपात कितना है?
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
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उत्तर: 3
शीर्ष-बिंदुओं पर वेग त्रिज्या के लंबवत है, अतः h = v_p r_p = v_a r_a और v_p/v_a = r_a/r_p = 21 000/7000 = 3। वर्गमूल सहित ऊर्जा लेना (√3) इसे दोनों त्रिज्याओं पर वृत्ताकार चालों के अनुपात से भ्रमित करना है।यदि किसी उपग्रह की कक्षा का अर्ध-दीर्घ अक्ष चार गुना कर दिया जाए, तो उसका कक्षीय आवर्तकाल हो जाता है:
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उत्तर: B — 8 गुना
केप्लर का तीसरा नियम: T ∝ a^(3/2), अतः T, 4^(3/2) = 8 गुना हो जाता है। 16 उत्तर देना अनुपात का वर्ग लेना है, और 2 उत्तर देना उसका वर्गमूल; केवल 3/2 घात T = 2π√(a³/μ) से निकलती है।व्युत्क्रम-वर्ग केंद्रीय बल के अधीन कक्षाओं के विषय में निम्न में से कौन-से कथन सही हैं?
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उत्तर: A — केप्लर का दूसरा नियम कोणीय संवेग के संरक्षण से निकलता है; B — दीर्घवृत्तीय कक्षा की विशिष्ट ऊर्जा केवल उसके अर्ध-दीर्घ अक्ष पर निर्भर है; C — परवलयिक पथ की विशिष्ट ऊर्जा शून्य है
dA/dt = h/2 स्थिर है क्योंकि केंद्रीय बल कोई आघूर्ण नहीं लगाता; उस a वाले किसी भी दीर्घवृत्त हेतु ε = −μ/(2a), e कुछ भी हो; और e = 1 बद्ध व अबद्ध के बीच शून्य-ऊर्जा सीमा है। पलायन को ½v² ≥ μ/r चाहिए, एक अदिश शर्त, अतः दिशा नहीं आती।ग्रह के केंद्र से समान त्रिज्या पर पलायन वेग व वृत्ताकार-कक्षा वेग का अनुपात है:
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उत्तर: B — √2
v_esc = √(2μ/r) और v_c = √(μ/r), अतः अनुपात हर त्रिज्या पर √2 ≈ 1.414 है। अनुपात 2 ऊर्जाओं की तुलना है, चालों की नहीं: पलायन पथ में उस त्रिज्या पर वृत्ताकार कक्षा की दोगुनी गतिज ऊर्जा होती है।एक अंतरिक्षयान 6678 km त्रिज्या की वृत्ताकार कक्षा से 42 164 km त्रिज्या की समतलीय वृत्ताकार कक्षा तक होमान स्थानांतरण करता है। μ = 3.986 × 10¹⁴ m³/s² के साथ कुल Δv कितना है, km/s में (दो दशमलव स्थानों तक)?
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
उत्तर देखें
उत्तर: 3.89
Δv1 = √(μ/r1)[√(2r2/(r1 + r2)) − 1] = 7.726 × (1.3140 − 1) = 2.426 km/s; Δv2 = √(μ/r2)[1 − √(2r1/(r1 + r2))] = 3.075 × (1 − 0.5229) = 1.467 km/s; कुल 3.89 km/s। विस-वाइवा यही देता है: स्थानांतरण चालें 10.152 व 1.608 km/s, वृत्ताकार 7.726 व 3.075 km/s के सामने। वृत्ताकार चालें घटाना (7.726 − 3.075 = 4.65) कोई स्थानांतरण ही नहीं है।6678 km से 42 164 km त्रिज्या तक होमान स्थानांतरण (μ = 3.986 × 10¹⁴ m³/s²) हेतु स्थानांतरण समय कितना है, घंटों में (दो दशमलव स्थानों तक)?
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
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उत्तर: 5.28
a_t = (6678 + 42 164)/2 = 24 421 km। स्थानांतरण आधा दीर्घवृत्त है: t = π√(a_t³/μ) = π√((2.4421 × 10⁷)³/3.986 × 10¹⁴) = 18 990 s = 5.28 h। पूरा आवर्तकाल 2π√(a_t³/μ) लेने पर 10.55 h आता है, वास्तविक समय का दोगुना।10 000 km अर्ध-दीर्घ अक्ष वाली पृथ्वी कक्षा की विशिष्ट यांत्रिक ऊर्जा कितनी है, MJ/kg में (दो दशमलव स्थानों तक, चिह्न सहित)? μ = 3.986 × 10¹⁴ m³/s² लें।
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
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उत्तर: -19.93
ε = −μ/(2a) = −3.986 × 10¹⁴/(2 × 10⁷) = −1.993 × 10⁷ J/kg = −19.93 MJ/kg, उत्केंद्रता कुछ भी हो। ऊर्जा ऋणात्मक है क्योंकि कक्षा बद्ध है; −μ/a (−39.86) गुणक 2 भूल जाता है।