वायुमंडलीय उड़ान: निष्पादन, स्थायित्व व नियंत्रण

GATE वांतरिक्ष अभियांत्रिकी (AE) पेपर का खंड 2, उड़ान यांत्रिकी व अंतरिक्ष गतिकी, वास्तव में दो विषय है जिनमें केवल न्यूटन के नियम साझा हैं: वायुमंडल में वायुयान की उड़ान, और केवल गुरुत्व के अधीन अंतरिक्षयान की गति। इसलिए इस खंड को दो अध्याय दिए गए हैं, और यह पहला है — वायुमंडल के भीतर होने वाला सब कुछ। यह मानक वायुमंडल व चार वायुवेगों से आरंभ होता है, फिर उन्हें पढ़ने वाले उपकरण तथा स्थिर-पंख वायुयान के भाग व नियंत्रण; फिर वायुयान निष्पादन — कर्षण ध्रुवी (drag polar), आरोहण व विसर्पण (glide), सीमा-ऊँचाइयाँ, उड़ान-आरंभ व अवतरण, ब्रेगे परास व उड़ान-अवधि, पवन, मोड़ उड़ान व V-n आरेख; फिर स्थैतिक स्थायित्व व नियंत्रण — अनुदैर्ध्य स्टिक-स्थिर व स्टिक-मुक्त स्थायित्व, पुच्छ का आकार, कब्ज़ा आघूर्ण (hinge moment) व स्टिक बल, दैशिक व पार्श्व स्थायित्व; और अंत में विशेष विषय: गति के समीकरण, ऑयलर कोण, वियुग्मन व गतिक विधाएँ (modes)। दूसरा अध्याय दृढ़-पिंड संवेग संतुलन व अंतरिक्ष गतिकी लेता है।

1. मानक वायुमंडल, ऊँचाइयाँ व चार वायुवेग

अंतरराष्ट्रीय मानक वायुमंडल (ISA) एक संदर्भ है, पूर्वानुमान नहीं: एक शुष्क, स्थिर, आदर्श गैस (R = 287 J/(kg·K), γ = 1.4) जो द्रवस्थैतिक समीकरण dp = −ρ g dh का पालन करती है और जिसका ताप-प्रोफ़ाइल पहले से निर्धारित है। समुद्र-तल पर T0 = 288.15 K, p0 = 101 325 Pa तथा ρ0 = 1.225 kg/m³। क्षोभमंडल (troposphere) में ताप 6.5 K प्रति km की दर से रैखिक रूप से घटता है, अतः T = 288.15 − 0.0065 h, और 11 km पर 216.65 K हो जाता है; 11 km से 20 km तक ताप 216.65 K पर स्थिर रहता है। द्रवस्थैतिक समीकरण को p = ρRT से मिलाने पर दो कार्यकारी नियम मिलते हैं: प्रवणता-परत में p/p1 = (T/T1)^(−g0/(aR)), जहाँ a = −0.0065 K/m हेतु −g0/(aR) = 5.256, तथा ρ/ρ1 = (T/T1)^4.256; समतापी परत में p/p1 = ρ/ρ1 = exp[−g0(h − h1)/(RT)]।

ऊँचाई के कई अर्थ हैं। ज्यामितीय ऊँचाई फीते से नापी गई ऊँचाई है; भू-विभव (geopotential) ऊँचाई वह ऊँचाई है जो g को g0 पर स्थिर रखकर समान स्थितिज ऊर्जा देती, और ISA तालिकाएँ इसी में लिखी जाती हैं। दाब-ऊँचाई (pressure altitude) वह ISA ऊँचाई है जिस पर मानक दाब उस दाब के बराबर हो जिसमें वायुयान वास्तव में है, और घनत्व-ऊँचाई घनत्व हेतु यही विचार है — गर्म दिन घनत्व-ऊँचाई बढ़ाता है और उड़ान-आरंभ की दौड़ लंबी करता है। घनत्व अनुपात σ = ρ/ρ0 वायुवेगों को जोड़ता है: सूचित वायुवेग (IAS) वह है जो वायुवेग सूचक दिखाता है; अंशांकित वायुवेग (CAS) उपकरण व स्थिति (स्थापन) त्रुटियों हेतु संशोधित IAS है; तुल्य वायुवेग (EAS) संपीड्यता हेतु संशोधित CAS है; और वास्तविक वायुवेग (TAS) वायु में वास्तविक चाल है, जहाँ EAS = TAS·√σ। EAS वह चाल है जो समुद्र-तल घनत्व पर वास्तविक गतिक दाब देती है: q = ½ρV_TAS² = ½ρ0V_EAS²।

चार वायुवेग, उस क्रम में जिसमें संशोधन लगाए जाते हैं
वायुवेगकिससे प्राप्तकिस काम का
IASवायुवेग सूचक का पाठ्यांकपायलट इसी से उड़ाता है; IAS में स्टॉल चाल लगभग ऊँचाई-निरपेक्ष है
CASउपकरण व स्थिति त्रुटियों हेतु संशोधित IASमानक वायुमंडल में समुद्र-तल पर EAS के बराबर
EASसंपीड्यता हेतु संशोधित CAS (ऊँचाई पर EAS ≤ CAS)गतिक दाब तय करता है, अतः संरचनात्मक भार व V-n आरेख
TASEAS/√σदिक्चालन, परास, पवन-संशोधन के बाद भू-चाल
⚠️ ऊँचाई पर TAS, EAS से बड़ा होता है, कभी छोटा नहीं
क्योंकि समुद्र-तल से ऊपर σ < 1, V_TAS = V_EAS/√σ, V_EAS से अधिक होता है। स्थिर सूचित चाल पर मंडराता वायुयान चढ़ने के साथ (स्थिर वायु में) भूमि के ऊपर और तेज़ चलता है, इसीलिए जेट ऊँचाई पर मंडराते हैं। जिस उत्तर में TAS, EAS से कम आए उसने वहाँ √σ से गुणा किया है जहाँ भाग देना था।

2. वायुयान, उसके उपकरण, बल व नियंत्रण

वायुयानों का वर्गीकरण पहले वायु से हल्के (गुब्बारे व वायुपोत, उत्प्लावन से टिके) अथवा वायु से भारी (वायुगतिक बल से टिके) में होता है; दूसरे प्रकार के स्थिर-पंख (वायुयान व ग्लाइडर), घूर्णी-पंख (हेलीकॉप्टर व ऑटोजायरो) अथवा फड़फड़ाते-पंख वाले होते हैं। स्थिर-पंख वायुयान में भार व चालक दल ले जाने वाला धड़ (fuselage); उत्थापक बल देने वाला पंख, जिस पर एलेरॉन, फ्लैप और प्रायः स्लैट व स्पॉइलर लगे होते हैं; पुच्छ-समूह (empennage) — एलिवेटर सहित क्षैतिज स्थायीकारी और पतवार (rudder) सहित ऊर्ध्वाधर पख (fin); अवतरण गियर, त्रिचक्रीय अथवा पुच्छ-चक्र वाला; तथा शक्ति-संयंत्र होता है। परिणामी वायुगतिक बल को उत्थापक बल (मुक्त धारा के लंबवत), कर्षण (उसके अनुदिश) व पार्श्व बल में, तथा परिणामी आघूर्ण को लोटन (अनुदैर्ध्य x-अक्ष के परितः), दोलन/पिच (पार्श्व y-अक्ष के परितः) व विचलन/यॉ (अभिलंब z-अक्ष के परितः) आघूर्णों में विभाजित करते हैं। आक्रमण कोण α सममिति-तल में सापेक्ष पवन व पिंड x-अक्ष (या जीवा) के बीच का कोण है; पार्श्व-सर्पण (sideslip) कोण β सापेक्ष पवन व उस तल के बीच का कोण है, β = sin⁻¹(v/V)।

  • ऊँचाई-मापी (altimeter) — एक निर्द्रव (aneroid) कैप्सूल स्थैतिक दाब संवेदित करता है और डायल ISA ऊँचाई में अंकित होता है; उप-पैमाना 1013.25 hPa पर रखने पर यह दाब-ऊँचाई पढ़ता है।
  • वायुवेग सूचक — पिटो (कुल) दाब घटा स्थैतिक दाब मापता है और समुद्र-तल ISA घनत्व से अंशांकित होता है, अतः IAS पढ़ता है; केवल मानक वायुमंडल में समुद्र-तल पर ही आदर्श उपकरण वास्तविक वायुवेग पढ़ता है।
  • ऊर्ध्वाधर चाल सूचक — स्थैतिक दाब सीधे एक कैप्सूल में और एक अंशांकित रिसाव से होकर केस में जाता है; वायुयान के चढ़ते या उतरते समय दोनों दाबों का अंतर स्थैतिक दाब के परिवर्तन-दर, अर्थात् आरोहण-दर, के अनुपात में होता है। अचानक परिवर्तन पर यह पिछड़ता है।
  • मोड़-व-झुकाव (turn-and-slip) सूचक — एक दर-घूर्णाक्षस्थापी (rate gyroscope) जिसका पुरस्सरण मोड़ की दर दिखाता है, साथ में वक्र नली में एक गोली (झुकाव-मापी) जो बताती है कि मोड़ संतुलित है या वायुयान फिसल (slip) या रपट (skid) रहा है।

उच्च-उत्थापन युक्तियाँ C_L,max बढ़ाती हैं ताकि वायुयान उड़ान-आरंभ व अवतरण हेतु धीमे उड़ सके। पश्च-कोर फ्लैप — सादा, विभक्त (split), खाँचेदार (slotted) व फाउलर (जो जीवा और अतः क्षेत्रफल भी बढ़ाता है) — प्रभावी वक्रता (camber) बढ़ाते हैं: C_L-α वक्र ऊपर व बाईं ओर खिसकता है, α_L0 अधिक ऋणात्मक होता है और स्टॉल थोड़े कम α पर आता है। अग्र-कोर युक्तियाँ — स्लैट, खाँचे, क्रूगर फ्लैप व झुकाव (droop) — अग्र-कोर पर पृथक्करण टालती हैं, अतः वक्र बस अधिक स्टॉल कोण तक बढ़ जाता है। प्राथमिक नियंत्रण एलिवेटर (पिच), एलेरॉन (लोटन) व पतवार (यॉ) हैं। एलेरॉन विक्षेपण प्रतिकूल यॉ (adverse yaw) उत्पन्न करता है: नीचे जाते एलेरॉन वाला पंख अधिक उत्थापन और अतः अधिक प्रेरित कर्षण देता है, जिससे नाक इच्छित मोड़ से दूर घूमती है — यही अवकली व फ्राइज़ एलेरॉन तथा समन्वित पतवार का कारण है।

3. कर्षण ध्रुवी, समतल उड़ान, आरोहण, विसर्पण, सीमा-ऊँचाइयाँ, उड़ान-आरंभ व अवतरण

स्टॉल से नीचे उत्थापन वक्र रैखिक होता है, C_L = a(α − α_L0)। कर्षण ध्रुवी कुल कर्षण को परजीवी व उत्थापन-आश्रित कर्षण के योग के रूप में लिखती है: C_D = C_D0 + K·C_L², जहाँ K = 1/(π e AR), AR पक्षानुपात (aspect ratio) और e ऑस्वाल्ड दक्षता है। स्थिर समतल उड़ान में L = W और T = D, अतः आवश्यक प्रणोद T_R = W/(L/D) है और वह वहाँ न्यूनतम है जहाँ L/D अधिकतम है। C_L/C_D का अवकलन वे तीन शर्तें देता है जिन पर पूरा निष्पादन टिका है।

परवलयिक कर्षण ध्रुवी के तीन इष्टतम उत्थापन गुणांक
अधिकतम करेंC_Lकर्षण विभाजनकिस हेतु
C_L/C_D√(C_D0/K)प्रेरित = परजीवी; C_D = 2C_D0न्यूनतम प्रणोद (कर्षण); न्यूनतम विसर्पण कोण; प्रोपेलर परास; जेट उड़ान-अवधि
C_L^(3/2)/C_D√(3C_D0/K)प्रेरित = 3 × परजीवीन्यूनतम शक्ति; न्यूनतम अवतरण-दर; प्रोपेलर उड़ान-अवधि
C_L^(1/2)/C_D√(C_D0/(3K))प्रेरित = परजीवी/3स्थिर ऊँचाई पर जेट परास

अधिकतम उत्थापन-कर्षण अनुपात (L/D)max = 1/(2√(K·C_D0)) है। उड़ान-पथ कोण γ पर स्थिर आरोहण में T − D − W sin γ = 0, अतः आरोहण-दर R/C = V sin γ = (TV − DV)/W — प्रति इकाई भार अतिरिक्त शक्ति। शक्ति-रहित विसर्पण में tan γ = D/L, अतः सबसे चपटा विसर्पण (L/D)max पर है और ऊँचाई h से विसर्पण परास h·(L/D) है; न्यूनतम अवतरण-दर न्यूनतम-शक्ति स्थिति पर है, जो एक भिन्न, धीमी चाल है। ऊँचाई बढ़ने के साथ अतिरिक्त शक्ति घटती है: निरपेक्ष सीमा-ऊँचाई (absolute ceiling) वह है जहाँ अधिकतम आरोहण-दर शून्य हो जाए, सेवा सीमा-ऊँचाई (service ceiling) वह जहाँ यह 100 ft/min (0.5 m/s) हो जाए। स्टॉल चाल V_s = √(2W/(ρ S C_L,max)) है। उड़ान-आरंभ में भूमि छोड़ना लगभग 1.2 V_s पर माना जाता है और भू-दौड़ लगभग s_LO ≈ 1.44 W²/(g ρ S C_L,max T) है — यह भार के वर्ग के साथ बढ़ती और घनत्व के साथ घटती है, इसीलिए गर्म, ऊँचा हवाई-अड्डा सबसे कठिन स्थिति है। अवतरण उपागम लगभग 1.3 V_s पर होता है।

🧠 पवन भू-चाल बदलते हैं, वायुवेग नहीं
वायुयान वायु-राशि के सापेक्ष उड़ता है, अतः स्थिर पवन उत्थापन, कर्षण, स्टॉल चाल व उड़ान-अवधि को अपरिवर्तित छोड़ता है और केवल भू-चाल बदलता है: सम्मुख पवन (head wind) में V_ground = V − V_w और पृष्ठ पवन (tail wind) में V + V_w। सम्मुख पवन में भूमि पर परास घटता है, और सर्वोत्तम-परास वायुवेग क्षतिपूर्ति हेतु बढ़ जाता है। उड़ान-आरंभ व अवतरण पवन की ओर मुँह करके किए जाते हैं क्योंकि आवश्यक वायुवेग कम भू-चाल पर प्राप्त हो जाता है, जिससे भू-दौड़ छोटी होती है। अनुप्रस्थ पवन (crosswind) घटक का प्रतिकार तिरछा उड़कर (crabbing) या पंख-नीचे पार्श्व-सर्पण से करना पड़ता है, अन्यथा वायुयान बह जाता है।

4. परास व उड़ान-अवधि — ब्रेगे समीकरण

परास व उड़ान-अवधि, भार के W0 (उड़ान-आरंभ) से W1 (रिक्त टंकियाँ) तक घटने पर ईंधन-दहन के समाकलन से आते हैं। जेट हेतु प्रणोद-विशिष्ट ईंधन खपत c_t प्रति इकाई प्रणोद प्रति इकाई समय जला ईंधन-भार है, अतः dW/dt = −c_t T = −c_t W/(L/D)। तब उड़ान-अवधि E = (1/c_t)(L/D) ln(W0/W1), जो (L/D)max पर सबसे अधिक है। स्थिर V व L/D (क्रूज़-आरोहण) पर उड़ते हुए परास R = (V/c_t)(L/D) ln(W0/W1) है; स्थिर ऊँचाई पर, जहाँ W घटने के साथ V भी घटाना पड़ता है, इष्टतम अधिकतम C_L^(1/2)/C_D पर है। प्रोपेलर वायुयान में इंजन प्रति इकाई शक्ति ईंधन लेता है, अतः विशिष्ट ईंधन खपत c (प्रति इकाई शक्ति प्रति इकाई समय ईंधन-भार) और प्रोपेलर दक्षता η_p के साथ R = (η_p/c)(L/D) ln(W0/W1) — (L/D)max पर सर्वोत्तम, चाल से स्वतंत्र — जबकि उड़ान-अवधि अधिकतम C_L^(3/2)/C_D, अर्थात् न्यूनतम शक्ति, पर सर्वोत्तम है।

⚠️ c_t को प्रति-सेकंड इकाई में रखें
TSFC प्रायः प्रति घंटा बताई जाती है (उदाहरणतः 0.6 h⁻¹, अर्थात् प्रति N प्रणोद प्रति घंटा 0.6 N ईंधन)। V को m/s में रखने पर ब्रेगे परास मीटर में तभी आता है जब c_t को s⁻¹ में बदला जाए — 3600 से भाग दें। रूपांतरण भूलने से परास 3600 गुना छोटा आता है, और लघुगणक प्राकृतिक है, दस-आधारी नहीं।

5. भार गुणांक, मोड़ उड़ान व V-n आरेख

भार गुणांक n = L/W है। झुकाव कोण φ पर समतल, समन्वित मोड़ में उत्थापन का ऊर्ध्वाधर घटक भार को सँभालता है, L cos φ = W, अतः n = 1/cos φ — 60° झुकाव पर 2। क्षैतिज घटक अभिकेंद्र बल देता है, जिससे मोड़ त्रिज्या R = V²/(g√(n² − 1)) = V²/(g tan φ) और मोड़ दर ω = V/R = g√(n² − 1)/V मिलती है। अतः तीक्ष्ण, तेज़ मोड़ को उच्च भार गुणांक चाहिए, और मोड़ में स्टॉल चाल बढ़कर V_s√n हो जाती है। समतल उड़ान से ऊपर खींचने (pull-up) में n = 1 + V²/(gR)।

V-n (युक्ति-चालन) आरेख वह उड़ान-आवरण (envelope) है जिसके लिए संरचना अभिकल्पित होती है, तुल्य वायुवेग के विरुद्ध आलेखित। बाईं ओर यह स्टॉल वक्रों n = ½ρ0V_E²S C_L,max/W से घिरा है, जो परवलय हैं और धनात्मक व ऋणात्मक सीमा भार गुणांकों तक पहुँचते हैं; धनात्मक वक्र सीमा भार गुणांक से कोने या युक्ति-चालन चाल V_A = V_s√n_max पर मिलता है, जो वह न्यूनतम चाल है जिस पर सीमा भार खींचा जा सकता है और जिस पर न्यूनतम त्रिज्या व अधिकतम मोड़-दर मिलती है। ऊपरी व निचली सीमाएँ सीमा भार गुणांक हैं, दाहिना किनारा अभिकल्पित गोता (dive) चाल है। इस पर झोंका-रेखाएँ (gust lines) आरोपित होती हैं: तीक्ष्ण-किनारे वाला ऊर्ध्वाधर झोंका आक्रमण कोण और अतः भार गुणांक बढ़ाता है, यह वृद्धि चाल व उत्थापन-वक्र ढाल के साथ बढ़ती और पंख-भारण W/S के साथ घटती है।

🎯 भारी वायुयान झोंकों को बेहतर क्यों सहता है
ऊर्ध्वाधर चाल U का झोंका आक्रमण कोण को लगभग U/V से बदलता है, और उत्थापन ΔL = ½ρV²S·a·(U/V) = ½ρVSaU जोड़ता है। W से भाग देने पर Δn = ρVaU/(2W/S): वही झोंका उच्च पंख-भारण वाले वायुयान पर छोटी भार-गुणांक वृद्धि देता है। इसीलिए हल्के भारित ग्लाइडर को विक्षोभ इतना तीव्र लगता है।

6. अनुदैर्ध्य स्थैतिक स्थायित्व — स्टिक-स्थिर व स्टिक-मुक्त

स्थैतिक स्थायित्व केवल यह पूछता है कि विक्षोभ के बाद पहला आघूर्ण किस ओर कार्य करता है। अनुदैर्ध्य रूप से, गुरुत्व-केंद्र के परितः पिच-आघूर्ण गुणांक C_m = C_m0 + C_mα·α है। वायुयान स्थैतिक रूप से स्थायी है यदि नाक-ऊपर विक्षोभ नाक-नीचे आघूर्ण दे, C_mα < 0, और उसे धनात्मक आक्रमण कोण पर संतुलित (C_m = 0) तभी किया जा सकता है जब साथ में C_m0 > 0 भी हो। गुरुत्व-केंद्र h पर और पंख के वायुगतिक केंद्र h_ac पर (दोनों माध्य जीवा के अंश, अग्र-कोर से पीछे मापे गए) होने पर पंख का योगदान C_L,w(h − h_ac) है — जब गुरुत्व-केंद्र वायुगतिक केंद्र के पीछे हो तो अस्थायीकारी — और पुच्छ का योगदान −η V_H C_L,t, जहाँ V_H = l_t S_t/(S c̄) क्षैतिज पुच्छ आयतन अनुपात है। पुच्छ उत्थापन ढाल a_t, पंख-धड़ ढाल a और अधोप्रवाह (downwash) प्रवणता dε/dα के साथ C_mα = a(h − h_ac) − η V_H a_t (1 − dε/dα)।

उदासीन बिंदु (neutral point) h_n वह गुरुत्व-केंद्र स्थिति है जो C_mα को शून्य करती है: h_n = h_ac + η V_H (a_t/a)(1 − dε/dα)। स्थैतिक मार्जिन h_n − h है, और C_mα = −a(h_n − h), अतः गुरुत्व-केंद्र उदासीन बिंदु से आगे होना चाहिए। बड़ा पुच्छ, लंबी पुच्छ भुजा या छोटी अधोप्रवाह प्रवणता h_n को पीछे ले जाती है और स्वीकार्य गुरुत्व-केंद्र परास चौड़ा करती है; क्षैतिज पुच्छ की स्थिति व आकार का पूरा तर्क यही है। यदि पायलट स्टिक छोड़ दे, तो मुक्त एलिवेटर स्थानीय प्रवाह के साथ तैरता है और पुच्छ अपनी पुनःस्थापक शक्ति का कुछ भाग खो देता है। कब्ज़ा-आघूर्ण गुणांक C_h = b0 + b1 α_t + b2 δ_e (+ b3 δ_tab) को शून्य रखने पर तैरता कोण δ_float = −(b1/b2)α_t है, और पुच्छ उत्थापन ढाल (1 − τ b1/b2) से गुणित हो जाती है, जहाँ τ = dα_t/dδ_e एलिवेटर प्रभावशीलता है। चूँकि b1/b2 सामान्यतः धनात्मक है, स्टिक-मुक्त उदासीन बिंदु स्टिक-स्थिर वाले से आगे होता है और स्टिक-मुक्त स्थैतिक मार्जिन छोटा होता है।

कब्ज़ा आघूर्ण H = C_h q S_e c_e वह है जो पायलट को थामना पड़ता है, और नियंत्रण गियरन G के माध्यम से स्टिक बल F = G·H है। चुनी हुई चाल पर कब्ज़ा आघूर्ण और अतः स्टिक बल को शून्य करने हेतु ट्रिम टैब (b3 पद) प्रयुक्त होता है; ट्रिम से दूर स्टिक-बल प्रवणता dF/dV स्टिक-मुक्त स्थैतिक मार्जिन के अनुपाती है, जो पायलट को चाल का अनुभव देती है। वायुगतिक संतुलन — पीछे खिसका कब्ज़ा, शृंग संतुलन (horn balance) या आंतरिक सील — b1 व b2 घटाकर बल घटाता है, पर अति-संतुलन उन्हें उलट देता है। एलिवेटर की नियंत्रण शक्ति C_mδe = −η V_H a_t τ है।

⚠️ गुरुत्व-केंद्र उदासीन बिंदु से आगे होना चाहिए, वायुगतिक केंद्र से नहीं
पारंपरिक वायुयान पंख के वायुगतिक केंद्र के पीछे गुरुत्व-केंद्र के साथ भी स्थायी उड़ सकता है; कमी पुच्छ पूरी करता है। सीमा पूरे वायुयान का उदासीन बिंदु है, जिसे पुच्छ पंख के वायुगतिक केंद्र से पीछे धकेलता है। स्थायित्व की शर्त के रूप में "गुरुत्व-केंद्र पंख के वायुगतिक केंद्र से आगे" चुनना पुच्छ को पूरी तरह अनदेखा करना है।

7. दैशिक व पार्श्व स्थैतिक स्थायित्व

दैशिक (पवन-सूचक) स्थायित्व हेतु आवश्यक है कि पार्श्व-सर्पण ऐसा यॉ आघूर्ण दे जो नाक को वापस सापेक्ष पवन में मोड़े: सामान्य चिह्न परिपाटी में C_nβ > 0। गुरुत्व-केंद्र से आगे का धड़ अस्थायीकारी है; ऊर्ध्वाधर पुच्छ पुनःस्थापक आघूर्ण देता है, और उसका योगदान C_nβ,v ≈ η_v V_v a_v (धड़ व पंख द्वारा प्रेरित पार्श्व-प्रवाह, sidewash, हेतु संशोधित) ऊर्ध्वाधर पुच्छ आयतन अनुपात V_v = l_v S_v/(S b) के साथ बढ़ता है — अतः पख (fin) का आकार उसके क्षेत्रफल व गुरुत्व-केंद्र के पीछे आघूर्ण-भुजा से तय होता है। पतवार की नियंत्रण शक्ति C_nδr इतनी होनी चाहिए कि एक इंजन बंद होने पर और अनुप्रस्थ-पवन अवतरण में वायुयान को सीधा रख सके।

पार्श्व स्थायित्व (द्वितल प्रभाव, dihedral effect) हेतु आवश्यक है कि पार्श्व-सर्पण ऐसा लोटन आघूर्ण दे जो आगे वाले, पवन-सम्मुख पंख को सर्पण से दूर ऊपर उठाए: C_lβ < 0। ज्यामितीय द्वितल कोण Γ आगे वाले पंख का आक्रमण कोण बढ़ाता है और स्थायीकारी है; पश्च-स्वीप (sweepback) आगे वाले पंख को प्रवाह के अधिक लंबवत करता है, और इसका प्रभाव C_L के साथ बढ़ता है; धड़ पर ऊँचा पंख स्थायीकारी और नीचा पंख अस्थायीकारी है, धड़ के चारों ओर अनुप्रस्थ प्रवाह के कारण; और गुरुत्व-केंद्र से ऊपर का ऊर्ध्वाधर पुच्छ स्थायीकारी लोटन आघूर्ण जोड़ता है। बहुत अधिक द्वितल प्रभाव उतना ही बुरा है जितना बहुत कम, इसीलिए कई ऊँचे-पंख वाले स्वीप्ट परिवहन वायुयानों में ऋणात्मक द्वितल (anhedral) होता है। एलेरॉन की नियंत्रण शक्ति C_lδa है।

स्थायी वायुयान हेतु स्थैतिक स्थायित्व अवकलजों के चिह्न
स्थायित्वअवकलजस्थायी चिह्नमुख्य योगदाता
अनुदैर्ध्यC_mαऋणात्मकक्षैतिज पुच्छ; उदासीन बिंदु से आगे गुरुत्व-केंद्र
दैशिकC_nβधनात्मकऊर्ध्वाधर पुच्छ (धड़ विरोध करता है)
पार्श्वC_lβऋणात्मकद्वितल, पश्च-स्वीप, ऊँचा पंख, गुरुत्व-केंद्र से ऊपर पख

8. गति के समीकरण, ऑयलर कोण व गतिक विधाएँ

गतिक स्थायित्व पूछता है कि समय के साथ गति क्या करती है। वायुयान छह स्वातंत्र्य-कोटि (degrees of freedom) वाला दृढ़ पिंड है; पिंड-अक्षों में बल-समीकरण X − mg sin θ = m(u̇ + qw − rv) व उसके दो साथी हैं, और आघूर्ण-समीकरण वे ऑयलर समीकरण हैं जिनमें सममिति-तल द्वारा छोड़ा गया केवल जड़त्व-गुणनफल I_xz बचता है। अभिवृत्ति (attitude) 3-2-1 क्रम के ऑयलर कोणों से वर्णित होती है — यॉ ψ, फिर पिच θ, फिर लोटन φ — जिनकी दरें पिंड-दरें नहीं हैं: φ̇ = p + (q sin φ + r cos φ) tan θ, θ̇ = q cos φ − r sin φ, ψ̇ = (q sin φ + r cos φ) sec θ। tan θ व sec θ पद θ = ±90° पर अनंत हो जाते हैं, जो इस वर्णन की विचित्रता (gimbal lock) है।

स्थिर, पंख-समतल, सममित उड़ान के परितः रैखिकीकरण समीकरणों को दो भागों में बाँट देता है। चूँकि वायुयान अपने xz-तल के परितः सममित है, छोटे सममित विक्षोभ (u, w या α, q, θ) प्रथम कोटि तक कोई असममित बल नहीं देते और विलोमतः भी, अतः अनुदैर्ध्य समुच्चय पार्श्व-दैशिक समुच्चय (v या β, p, r, φ, ψ) से वियुग्मित हो जाता है। प्रत्येक समुच्चय के अभिलाक्षणिक मूल होते हैं जिनका प्रतिरूप विभिन्न वायुयानों में उल्लेखनीय रूप से एक-सा रहता है।

  • लघु-आवर्त (short period, अनुदैर्ध्य) — लगभग स्थिर चाल पर α व पिच-दर में तीव्र, भारी अवमंदित दोलन; आवर्तकाल कुछ सेकंड।
  • फ़्यूगॉइड (अनुदैर्ध्य) — गतिज व स्थितिज ऊर्जा का धीमा, हल्का अवमंदित विनिमय, लगभग स्थिर α पर चाल व ऊँचाई का दोलन। लैंचेस्टर सन्निकटन ω_n ≈ √2·g/U0, आवर्तकाल T ≈ π√2·U0/g, तथा अवमंदन अनुपात ζ ≈ 1/(√2·L/D) देता है।
  • लोटन-अवशमन (roll subsidence, पार्श्व) — लोटन-दर का तीव्र, अदोलनी, भारी अवमंदित अभिसरण, लोटन-अवमंदन अवकलज द्वारा निर्धारित।
  • सर्पिल (spiral, पार्श्व) — बहुत धीमी, अदोलनी विधा जो अभिसारी या अपसारी हो सकती है; दुर्बल द्वितल प्रभाव के साथ प्रबल दैशिक स्थायित्व इसे अपसारी बनाने की प्रवृत्ति रखता है।
  • डच रोल (पार्श्व-दैशिक) — यॉ व लोटन को युग्मित करता हल्का अवमंदित दोलन; दुर्बल दैशिक स्थायित्व के साथ प्रबल द्वितल प्रभाव इसे बिगाड़ता है, और यॉ-अवमंदक (yaw damper) सामान्य उपचार है।
🎯 सर्पिल व डच रोल अभिकल्पक को विपरीत दिशाओं में क्यों खींचते हैं
दोनों C_lβ व C_nβ के अनुपात पर निर्भर करते हैं। थोड़े द्वितल के साथ बड़ा पख (बड़ा C_nβ) वायुयान को सर्पण में आसानी से मुड़ने देता है बिना लोटन से बाहर आए, अतः झुकाव बढ़ता जाता है — सर्पिल अपसरण। छोटे पख के साथ बड़ा द्वितल हर पार्श्व-सर्पण से बड़ा लोटन देता है जो आगे निकलकर उलटता है — सजीव डच रोल। समझौता प्रायः हल्के अपसारी सर्पिल को स्वीकार करता है, जिसे पायलट बिना ध्यान दिए सुधार लेता है।

मुख्य बिंदु

  • ISA: समुद्र-तल पर 288.15 K, 101 325 Pa, 1.225 kg/m³; 11 km तक −6.5 K/km, फिर 20 km तक 216.65 K स्थिर। EAS = TAS·√σ, और संशोधन का क्रम IAS → CAS → EAS → TAS है।
  • C_D = C_D0 + K C_L² के साथ: (L/D)max = 1/(2√(K C_D0)), C_L = √(C_D0/K) पर; न्यूनतम शक्ति √(3C_D0/K) पर; जेट परास √(C_D0/(3K)) पर।
  • ब्रेगे: जेट परास (V/c_t)(L/D) ln(W0/W1), उड़ान-अवधि (1/c_t)(L/D) ln(W0/W1); प्रोपेलर परास (η_p/c)(L/D) ln(W0/W1)। TSFC को प्रति सेकंड में बदलें।
  • समतल मोड़: n = 1/cos φ, R = V²/(g√(n² − 1)); युक्ति-चालन चाल V_A = V_s√n_max; R/C = अतिरिक्त शक्ति/W; सीमा-ऊँचाइयाँ R/C = 0 (निरपेक्ष) व 0.5 m/s (सेवा) पर।
  • स्थायी चिह्न: C_mα < 0 (गुरुत्व-केंद्र h_n = h_ac + ηV_H(a_t/a)(1 − dε/dα) से आगे), C_nβ > 0, C_lβ < 0; स्टिक-मुक्त उदासीन बिंदु स्टिक-स्थिर से आगे होता है।
  • अनुदैर्ध्य विधाएँ: लघु-आवर्त (तीव्र, अवमंदित) व फ़्यूगॉइड (धीमी, चाल–ऊँचाई विनिमय, T ≈ π√2·U0/g); पार्श्व: लोटन-अवशमन, सर्पिल, डच रोल।

अभ्यास प्रश्न (16)

उत्तर खोलने से पहले प्रत्येक प्रश्न हल करें। हर व्याख्या सही विकल्प के साथ लुभावना गलत विकल्प भी बताती है, क्योंकि अंक वहीं जाते हैं।

  1. अंतरराष्ट्रीय मानक वायुमंडल में 5 km भू-विभव ऊँचाई पर ताप कितना है, K में (दो दशमलव स्थानों तक)?

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 255.65

    क्षोभमंडल ह्रास-दर 288.15 K से 6.5 K/km है, अतः T = 288.15 − 6.5 × 5 = 288.15 − 32.5 = 255.65 K। समुद्र-तल हेतु 288 K लेना, या समतापी मान 216.65 K लेना जो केवल 11 km से ऊपर लागू है, सामान्य भूल है।

  2. एक वायुयान ऐसी ऊँचाई पर 200 m/s वास्तविक वायुवेग से उड़ता है जहाँ घनत्व अनुपात σ = ρ/ρ0 = 0.25 है। उसका तुल्य वायुवेग कितना है, m/s में?

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 100

    समान गतिक दाब: ½ρV_TAS² = ½ρ0V_EAS², अतः V_EAS = V_TAS·√σ = 200 × 0.5 = 100 m/s। √σ से भाग देने पर 400 m/s आता है, जो ऊँचाई पर तुल्य वायुवेग को वास्तविक से बड़ा बना देता — असंभव।

  3. उप-पैमाना मानक समुद्र-तल दाब 1013.25 hPa पर रखने पर ऊँचाई-मापी पढ़ता है:

    1. माध्य समुद्र-तल से ज्यामितीय ऊँचाई
    2. दाब-ऊँचाई
    3. घनत्व-ऊँचाई
    4. हवाई-अड्डे से ऊँचाई
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — दाब-ऊँचाई

    ऊँचाई-मापी ISA ऊँचाई में अंकित निर्द्रव दाबमापी है, अतः मानक सेटिंग पर वह उस ISA ऊँचाई की सूचना देता है जिसका दाब मापे गए स्थैतिक दाब के बराबर है — दाब-ऊँचाई। ज्यामितीय ऊँचाई वह तभी पढ़ता है जब वास्तविक वायुमंडल संयोग से ISA जैसा हो, और घनत्व-ऊँचाई हेतु ताप भी चाहिए।

  4. उच्च-उत्थापन युक्तियों के विषय में निम्न में से कौन-से कथन सही हैं?

    1. पश्च-कोर फ्लैप प्रभावी वक्रता बढ़ाता है और शून्य-उत्थापन कोण को अधिक ऋणात्मक करता है
    2. अग्र-कोर स्लैट मुख्यतः उत्थापन वक्र को अधिक स्टॉल कोण तक बढ़ाता है
    3. फाउलर फ्लैप वक्रता व पंख क्षेत्रफल दोनों बढ़ाता है
    4. पश्च-कोर फ्लैप खोलने से स्टॉल आक्रमण कोण बढ़ता है
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — पश्च-कोर फ्लैप प्रभावी वक्रता बढ़ाता है और शून्य-उत्थापन कोण को अधिक ऋणात्मक करता है; B — अग्र-कोर स्लैट मुख्यतः उत्थापन वक्र को अधिक स्टॉल कोण तक बढ़ाता है; C — फाउलर फ्लैप वक्रता व पंख क्षेत्रफल दोनों बढ़ाता है

    पश्च-कोर फ्लैप वक्रता जोड़ते हैं (C_L-α रेखा ऊपर व बाईं ओर खिसकती है, α_L0 अधिक ऋणात्मक), फाउलर फ्लैप पीछे खिसककर क्षेत्रफल भी जोड़ते हैं, और स्लैट अग्र-कोर पृथक्करण टालते हैं जिससे वक्र अधिक α तक चलता है। चौथा असत्य है: पश्च-कोर फ्लैप के साथ स्टॉल प्रायः थोड़े कम आक्रमण कोण पर आता है, यद्यपि C_L,max अधिक होता है।

  5. एक वायुयान की कर्षण ध्रुवी C_D = 0.02 + 0.045 C_L² है। उसका अधिकतम उत्थापन-कर्षण अनुपात कितना है (दो दशमलव स्थानों तक)?

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

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    उत्तर: 16.67

    (L/D)max = 1/(2√(K C_D0)) = 1/(2√(0.045 × 0.02)) = 1/(2 × 0.03) = 16.67। जाँच: C_L* = √(0.02/0.045) = 0.667 पर C_D = 0.02 + 0.045 × 0.444 = 0.04 = 2C_D0, और 0.667/0.04 = 16.67। गुणक 2 भूलने पर 33.3 आता है।

  6. 50 kN भार का वायुयान 60 m/s पर 10 kN प्रणोद व 5 kN कर्षण के साथ उड़ता है। उसकी स्थिर आरोहण-दर कितनी है, m/s में?

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

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    उत्तर: 6

    R/C = (T − D)V/W = (10 − 5) × 60/50 = 300/50 = 6 m/s — अतिरिक्त शक्ति 300 kW भाग भार 50 kN। केवल प्रणोद लेना (10 × 60/50 = 12 m/s) कर्षण के विरुद्ध पहले ही व्यय हुई शक्ति को अनदेखा करता है।

  7. 20 अधिकतम उत्थापन-कर्षण अनुपात वाला ग्लाइडर स्थिर वायु में 2 km ऊँचाई से विसर्पण आरंभ करता है। वह अधिकतम कितनी क्षैतिज दूरी तय कर सकता है, km में?

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

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    उत्तर: 40

    स्थिर विसर्पण में tan γ = D/L, अतः सबसे चपटा विसर्पण (L/D)max पर है और परास h × (L/D)max = 2 × 20 = 40 km। न्यूनतम-अवतरण चाल ग्लाइडर को सबसे अधिक देर ऊपर रखती है पर कम दूरी तय करती है।

  8. एक जेट वायुयान स्थिर 250 m/s व स्थिर L/D = 16 पर क्रूज़-आरोहण करता है। उसकी TSFC 0.6 प्रति घंटा है और प्रारंभिक से अंतिम भार का अनुपात 1.25 है। ब्रेगे समीकरण से उसका परास km में कितना है (निकटतम पूर्णांक)?

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

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    उत्तर: 5355

    c_t = 0.6/3600 = 1.667 × 10⁻⁴ s⁻¹। R = (V/c_t)(L/D) ln(W0/W1) = (250/1.667 × 10⁻⁴) × 16 × ln 1.25 = 1.5 × 10⁶ × 16 × 0.22314 = 5.355 × 10⁶ m ≈ 5355 km। c_t को प्रति घंटा छोड़ने पर लगभग 1.5 km, और ln के स्थान पर log10 लेने पर लगभग 2326 km आता है।

  9. परवलयिक कर्षण ध्रुवी वाले प्रोपेलर-चालित वायुयान हेतु अधिकतम परास व अधिकतम उड़ान-अवधि क्रमशः किसके अधिकतम पर मिलते हैं:

    1. C_L/C_D तथा C_L^(3/2)/C_D
    2. C_L^(1/2)/C_D तथा C_L/C_D
    3. C_L^(3/2)/C_D तथा C_L/C_D
    4. दोनों हेतु C_L/C_D
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — C_L/C_D तथा C_L^(3/2)/C_D

    पिस्टन-प्रोपेलर इंजन प्रति इकाई शक्ति ईंधन जलाता है, अतः परास R = (η_p/c)(L/D) ln(W0/W1), (L/D)max पर सर्वोत्तम है, और उड़ान-अवधि, जिसे न्यूनतम शक्ति चाहिए, अधिकतम C_L^(3/2)/C_D पर सर्वोत्तम है। दूसरा विकल्प जेट का युग्म है (परास C_L^(1/2)/C_D पर, उड़ान-अवधि C_L/C_D पर) — पारंपरिक अदला-बदली।

  10. एक वायुयान 100 m/s पर 60° झुकाव कोण के साथ समतल, समन्वित मोड़ लेता है। g = 9.81 m/s² लेकर मोड़ त्रिज्या कितनी है, m में (निकटतम पूर्णांक)?

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

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    उत्तर: 589

    n = 1/cos 60° = 2, अतः R = V²/(g√(n² − 1)) = 10 000/(9.81 × √3) = 10 000/16.99 = 588.5 m। यही R = V²/(g tan φ) से tan 60° = 1.732 लेकर आता है। √(n² − 1) के स्थान पर n लेने पर 510 m आता है।

  11. 1-g स्टॉल चाल V_s वाला वायुयान धनात्मक सीमा भार गुणांक n_max हेतु अभिकल्पित है। उसकी युक्ति-चालन (कोना) चाल है:

    1. V_s·n_max
    2. V_s·√n_max
    3. V_s/√n_max
    4. V_s·n_max²
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — V_s·√n_max

    स्टॉल सीमा पर n = (V/V_s)², क्योंकि C_L,max पर उत्थापन V² के साथ बढ़ता है। n = n_max रखने पर V_A = V_s√n_max। V_A से नीचे पंख सीमा भार पहुँचने से पहले स्टॉल हो जाता है; उससे ऊपर पायलट संरचना पर अति-प्रतिबल डाल सकता है।

  12. एक वायुयान में पंख का वायुगतिक केंद्र 0.25c̄ पर है, क्षैतिज पुच्छ आयतन अनुपात 0.6 है, पुच्छ दक्षता 1 है, पंख-धड़ व पुच्छ उत्थापन ढाल 5 व 4 प्रति rad हैं, तथा dε/dα = 0.4। गुरुत्व-केंद्र 0.30c̄ पर होने पर स्टिक-स्थिर स्थैतिक मार्जिन c̄ के अंश के रूप में कितना है (तीन दशमलव स्थानों तक)?

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 0.238

    h_n = h_ac + ηV_H(a_t/a)(1 − dε/dα) = 0.25 + 0.6 × (4/5) × 0.6 = 0.25 + 0.288 = 0.538। स्थैतिक मार्जिन = h_n − h = 0.538 − 0.30 = 0.238। (1 − dε/dα) गुणक छोड़ने पर h_n 0.73 पर आता है और मार्जिन बढ़ा-चढ़ाकर आता है।

  13. स्टिक-स्थिर उदासीन बिंदु की तुलना में, पारंपरिक वायुयान (b1/b2 > 0 सहित) का स्टिक-मुक्त उदासीन बिंदु है:

    1. पीछे, अतः स्टिक-मुक्त स्थैतिक मार्जिन बड़ा
    2. आगे, अतः स्टिक-मुक्त स्थैतिक मार्जिन छोटा
    3. उसी बिंदु पर, क्योंकि एलिवेटर कोई भार नहीं लेता
    4. पंख के वायुगतिक केंद्र पर
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — आगे, अतः स्टिक-मुक्त स्थैतिक मार्जिन छोटा

    मुक्त एलिवेटर δ = −(b1/b2)α_t पर तैरता है, उस दिशा में जो पुच्छ का भार घटाती है, अतः पुच्छ उत्थापन ढाल (1 − τb1/b2) गुणक से घटती है। कम प्रभावी पुच्छ उदासीन बिंदु को और आगे रखता है, और स्टिक-मुक्त मार्जिन छोटा होता है — इसीलिए स्टिक-मुक्त स्थायित्व अधिक कठोर आवश्यकता है।

  14. निम्न में से कौन-से लोटन-आघूर्ण अवकलज C_lβ को अधिक ऋणात्मक बनाते हैं, अर्थात् पार्श्व स्थैतिक स्थायित्व बढ़ाते हैं?

    1. धनात्मक ज्यामितीय द्वितल
    2. पंख पश्च-स्वीप
    3. धड़ पर ऊँचे पंख की स्थिति
    4. धड़ पर नीचे पंख की स्थिति
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — धनात्मक ज्यामितीय द्वितल; B — पंख पश्च-स्वीप; C — धड़ पर ऊँचे पंख की स्थिति

    द्वितल सर्पण में आगे वाले पंख का आक्रमण कोण बढ़ाता है, पश्च-स्वीप आगे वाले पंख को प्रवाह के अधिक लंबवत करता है, और ऊँचा पंख धड़ के चारों ओर अनुप्रस्थ प्रवाह से लाभ लेता है — तीनों वायुयान को सर्पण से दूर लुढ़काते हैं, अतः C_lβ अधिक ऋणात्मक होता है। नीचा पंख विपरीत करता है और अस्थायीकारी है, इसीलिए नीचे-पंख वाले वायुयानों में अधिक ज्यामितीय द्वितल होता है।

  15. पारंपरिक वायुयान की अनुदैर्ध्य गतिक विधाओं के विषय में निम्न में से कौन-से कथन सही हैं?

    1. लघु-आवर्त विधा लगभग स्थिर चाल पर तीव्र, भारी अवमंदित दोलन है
    2. फ़्यूगॉइड लगभग स्थिर आक्रमण कोण पर गतिज व स्थितिज ऊर्जा का धीमा विनिमय है
    3. लैंचेस्टर सन्निकटन से फ़्यूगॉइड आवर्तकाल उड़ान चाल के अनुपाती है
    4. डच रोल अनुदैर्ध्य विधाओं में से एक है
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — लघु-आवर्त विधा लगभग स्थिर चाल पर तीव्र, भारी अवमंदित दोलन है; B — फ़्यूगॉइड लगभग स्थिर आक्रमण कोण पर गतिज व स्थितिज ऊर्जा का धीमा विनिमय है; C — लैंचेस्टर सन्निकटन से फ़्यूगॉइड आवर्तकाल उड़ान चाल के अनुपाती है

    लघु-आवर्त: α व q कुछ सेकंडों में प्रबल अवमंदन के साथ दोलन करते हैं जबकि चाल लगभग नहीं बदलती। फ़्यूगॉइड: लगभग स्थिर α पर चाल व ऊँचाई का विनिमय, T ≈ π√2·U0/g — U0 के सीधे अनुपाती (100 m/s पर लगभग 45 s)। डच रोल यॉ व लोटन को युग्मित करता है और पार्श्व-दैशिक समुच्चय का है, जो अनुदैर्ध्य से वियुग्मित रहता है।

  16. वायुयान अभिवृत्ति के 3-2-1 ऑयलर कोण वर्णन में, ऑयलर-कोण दरों को पिंड-दरों से जोड़ने वाले शुद्धगतिक समीकरण विचित्र (singular) हो जाते हैं जब:

    1. झुकाव कोण φ = ±90°
    2. पिच कोण θ = ±90°
    3. दिशा ψ = 180°
    4. पार्श्व-सर्पण कोण शून्य हो
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — पिच कोण θ = ±90°

    φ̇ व ψ̇ में tan θ व sec θ हैं, जो θ = ±90° पर अनंत हैं: यॉ व लोटन अक्ष एक रेखा में आ जाते हैं और वर्णन एक स्वातंत्र्य-कोटि खो देता है (gimbal lock)। इस क्रम में 90° झुकाव सामान्य अभिवृत्ति है, क्योंकि φ केवल sin φ व cos φ के रूप में आता है।