संपीड्य वायुगतिकी: समएन्ट्रॉपिक प्रवाह, प्रघात, प्रसार, तुंड व वाहिनी प्रवाह
1. संपीड्यता, ध्वनि-चाल व ठहराव स्थितियाँ
छोटे दाब विक्षोभ ध्वनि-चाल a = √(γRT) से चलते हैं — समुद्र-तल ISA पर 340.3 m/s और 216.65 K पर 295.1 m/s — और मैक संख्या M = V/a मापती है कि प्रवाह आगे के तरल को "चेतावनी" दे सकने से कितना दूर है। स्थिर रुद्धोष्म प्रवाह हेतु ऊर्जा समीकरण c_pT + V²/2 = c_pT0 है, जिससे ठहराव संबंध मिलते हैं: T0/T = 1 + ((γ − 1)/2)M²; समएन्ट्रॉपिक मंदन हेतु p0/p = (T0/T)^(γ/(γ−1)) और ρ0/ρ = (T0/T)^(1/(γ−1))। M = 1 पर ये ध्वनिक (तारांकित) अनुपात T/T0 = 2/(γ + 1) = 0.8333, p/p0 = 0.5283 व ρ*/ρ0 = 0.6339 देते हैं। ठहराव ताप किसी भी रुद्धोष्म प्रवाह में, प्रघात सहित, संरक्षित है; ठहराव दाब केवल तभी संरक्षित है जब प्रवाह उत्क्रमणीय भी हो।
2. परिवर्ती-क्षेत्रफल वाहिनियों में समएन्ट्रॉपिक प्रवाह — तुंड व विसारक
सांतत्य, संवेग व ध्वनि-चाल को मिलाने पर क्षेत्रफल-वेग संबंध dA/A = (M² − 1)dV/V मिलता है। अवध्वनिक प्रवाह (M < 1) में अभिसारी वाहिनी प्रवाह को त्वरित करती है; पराध्वनिक प्रवाह (M > 1) में अपसारी वाहिनी; और M = 1 केवल कंठ (throat) पर हो सकता है, जहाँ dA = 0। अतः प्रवाह को विराम से पराध्वनिक चाल तक केवल अभिसारी-अपसारी (डी लावाल) तुंड ही त्वरित करता है, कंठ पर ध्वनिक प्रवाह के साथ। समएन्ट्रॉपिक क्षेत्रफल अनुपात A/A* = (1/M)[(2/(γ + 1))(1 + ((γ − 1)/2)M²)]^((γ+1)/(2(γ−1))) है, जो M = 1 पर 1, दोनों ओर बड़ा, और M = 2 पर 1.6875 है। कंठ ध्वनिक होते ही द्रव्यमान प्रवाह भंडार से तय हो जाता है: वायु हेतु SI इकाइयों में ṁ = (p0A/√T0)·√(γ/R)·(2/(γ + 1))^((γ+1)/(2(γ−1))) = 0.0404 p0A/√T0 — तुंड अवरुद्ध (choked) है, और पश्च दाब और घटाने से अधिक प्रवाह नहीं खींचा जा सकता।
- पश्च दाब p0 से थोड़ा कम: हर जगह अवध्वनिक, एक वेंचुरी; p_b घटने पर द्रव्यमान प्रवाह बढ़ता है।
- प्रथम क्रांतिक पश्च दाब: कंठ ठीक M = 1 तक पहुँचता है और अपसारी भाग प्रवाह को अवध्वनिक रूप से मंदित करता है — तुंड अब अवरुद्ध है।
- और नीचे: कंठ के बाद का पराध्वनिक प्रवाह अपसारी खंड के भीतर अभिलंब प्रघात पर समाप्त होता है, जो p_b घटने पर निकास की ओर खिसकता है।
- अति-प्रसारित (over-expanded): निकास तक प्रवाह पराध्वनिक है पर p_e < p_b, अतः दाब बढ़ाने हेतु बाहर तिर्यक प्रघात बनते हैं।
- अभिकल्प स्थिति: p_e = p_b, एक स्वच्छ पराध्वनिक जेट।
- अल्प-प्रसारित (under-expanded): p_e > p_b, और होंठ के बाहर प्रसार पंखे प्रसार पूरा करते हैं।
विसारक विपरीत काम करता है, प्रवाह को मंदित कर दाब पुनः प्राप्त करता है। अवध्वनिक विसारक बस इतना धीरे अपसारित होता है कि पृथक्करण न हो। आदर्श पराध्वनिक विसारक एक अभिसारी-अपसारी मार्ग होता जो प्रवाह को समएन्ट्रॉपिक रूप से अपने कंठ पर M = 1 तक और फिर अवध्वनिक रूप से धीमा करता, पर उसे आरंभ (start) नहीं किया जा सकता: प्रवाह स्थापित होते समय उसके आगे एक अभिलंब प्रघात खड़ा होता है, और उस प्रघात को निगलने हेतु समएन्ट्रॉपिक से बड़ा कंठ चाहिए (या अति-चाल, या परिवर्ती ज्यामिति)। अतः वास्तविक पराध्वनिक विसारक व अंतर्ग्रहण तिर्यक प्रघातों की एक प्रणाली और उसके बाद एक दुर्बल अभिलंब प्रघात प्रयोग करते हैं।
3. अभिलंब प्रघात, तिर्यक प्रघात व प्रांटल-मायर प्रसार
अभिलंब प्रघात पराध्वनिक से अवध्वनिक प्रवाह तक एक पतली, अनुत्क्रमणीय छलाँग है। इसके पार द्रव्यमान, संवेग व ऊर्जा, प्रतिप्रवाह मैक संख्या M1 हेतु देते हैं: M2² = (1 + ((γ − 1)/2)M1²)/(γM1² − (γ − 1)/2); p2/p1 = 1 + (2γ/(γ + 1))(M1² − 1); ρ2/ρ1 = V1/V2 = (γ + 1)M1²/(2 + (γ − 1)M1²); तथा T2/T1 = (p2/p1)/(ρ2/ρ1)। ठहराव ताप अपरिवर्तित रहता है, एन्ट्रॉपी बढ़ती है और ठहराव दाब घटता है, s2 − s1 = −R ln(p02/p01)। प्रांटल संबंध V1V2 = a*² एक संक्षिप्त जाँच है। M1 = 2 पर: M2 = 0.5774, p2/p1 = 4.5, ρ2/ρ1 = 2.667, T2/T1 = 1.6875 व p02/p01 = 0.7209।
जब पराध्वनिक प्रवाह को θ कोण की कील या ढलान द्वारा अपनी ओर मोड़ा जाता है, तो तरंग कोण β पर तिर्यक प्रघात बनता है। स्पर्शरेखीय वेग अपरिवर्तित रहता है, और अभिलंब घटक M1n = M1 sin β अभिलंब-प्रघात संबंधों का पालन करता है, M2 = M2n/sin(β − θ)। θ-β-M संबंध tan θ = 2 cot β (M1² sin²β − 1)/(M1²(γ + cos 2β) + 2) के, अधिकतम θ_max से नीचे प्रत्येक θ हेतु, दो हल हैं: दुर्बल प्रघात, जो सामान्यतः होता है और प्रायः प्रवाह को पराध्वनिक छोड़ता है, तथा प्रबल प्रघात, जो उसे अवध्वनिक छोड़ता है। θ_max से आगे कोई संलग्न हल नहीं, और पिंड के आगे पृथक वक्र प्रघात खड़ा होता है। विक्षेपण शून्य की ओर जाने पर तिर्यक प्रघात दुर्बल होकर मैक कोण μ = sin⁻¹(1/M) पर मैक तरंग बन जाता है।
जब पराध्वनिक प्रवाह उत्तल कोने के चारों ओर अपने से दूर मुड़ता है तो वह मैक तरंगों के पंखे से होकर प्रसारित होता है — केंद्रित प्रांटल-मायर प्रसार। प्रक्रम समएन्ट्रॉपिक है, अतः p0 व T0 स्थिर हैं, मैक संख्या बढ़ती है और दाब घटता है। प्रांटल-मायर फलन ν(M) = √((γ + 1)/(γ − 1)) tan⁻¹√((γ − 1)(M² − 1)/(γ + 1)) − tan⁻¹√(M² − 1), M = 1 पर शून्य, M = 2 पर 26.38°, और M → ∞ पर 130.45° की ओर जाता है; θ का मोड़ प्रवाह को ν(M1) से ν(M2) = ν(M1) + θ तक ले जाता है। तिर्यक प्रघात व प्रसार पंखे मिलकर पराध्वनिक वायुपर्णों हेतु प्रघात-प्रसार सिद्धांत देते हैं; छोटे α पर पतली समतल पट्टिका हेतु रैखिक सिद्धांत c_l = 4α/√(M∞² − 1) देता है।
| राशि | अभिलंब या तिर्यक प्रघात | प्रांटल-मायर प्रसार |
|---|---|---|
| मैक संख्या | घटती है | बढ़ती है |
| स्थैतिक दाब, घनत्व, ताप | बढ़ते हैं | घटते हैं |
| ठहराव ताप | स्थिर | स्थिर |
| ठहराव दाब | घटता है | स्थिर |
| एन्ट्रॉपी | बढ़ती है | स्थिर |
4. क्रांतिक व कर्षण-अपसरण मैक संख्याएँ
वायुपर्ण की ऊपरी सतह पर प्रवाह मुक्त धारा से तेज़ होता है, अतः स्थानीय मैक संख्या मुक्त धारा से पहले कहीं 1 तक पहुँच जाती है। क्रांतिक मैक संख्या M_cr वह मुक्त-धारा मैक संख्या है जिस पर सतह पर पहली बार ध्वनिक प्रवाह प्रकट होता है। इसे दो वक्रों के प्रतिच्छेदन से पाते हैं: संपीड्यता हेतु संशोधित न्यूनतम दाब गुणांक, जो प्रांटल-ग्लॉर्ट नियम से C_p = C_p0/√(1 − M∞²) है, और वह दाब गुणांक जिस पर स्थानीय प्रवाह ध्वनिक हो, C_p,cr = (2/(γM∞²))[((2 + (γ − 1)M∞²)/(γ + 1))^(γ/(γ−1)) − 1]। M_cr से थोड़ा ऊपर प्रघात पर समाप्त होने वाला पराध्वनिक प्रवाह का क्षेत्र बनता है; उसके प्रबल होने पर प्रघात सीमा-परत को मोटा करता है और पृथक कर सकता है, और कर्षण-अपसरण मैक संख्या पर कर्षण गुणांक तीव्रता से बढ़ता है।
5. फ़ैनो प्रवाह व रैले प्रवाह
दो स्थिर-क्षेत्रफल वाहिनी प्रवाह दिखाते हैं कि घर्षण व तापन संपीड्य धारा का क्या करते हैं। फ़ैनो प्रवाह दीवार-घर्षण सहित रुद्धोष्म प्रवाह है: ठहराव ताप स्थिर है, वाहिनी के अनुदिश एन्ट्रॉपी बढ़ती है, और घर्षण सदा मैक संख्या को 1 की ओर ले जाता है — अवध्वनिक धारा त्वरित होती है और पराध्वनिक मंदित। निकास पर अवरुद्ध होने से पहले सहन की जा सकने वाली अधिकतम लंबाई 4f̄L/D = (1 − M²)/(γM²) + ((γ + 1)/(2γ)) ln[(γ + 1)M²/(2 + (γ − 1)M²)] से मिलती है। यदि वाहिनी L से लंबी हो, तो अवध्वनिक प्रवाह अपना द्रव्यमान प्रवाह घटाता है और पराध्वनिक प्रवाह वाहिनी के भीतर प्रघात बनाता है।
रैले प्रवाह ऊष्मा योग या निष्कासन सहित घर्षण-रहित प्रवाह है; p + ρV² स्थिर है। तापन ठहराव ताप बढ़ाता है और मैक संख्या को किसी भी ओर से 1 की ओर ले जाता है, ठीक जैसे घर्षण: अवध्वनिक प्रवाह त्वरित होता है और उसका स्थैतिक दाब घटता है, पराध्वनिक प्रवाह मंदित होता है और उसका दाब बढ़ता है। शीतलन विपरीत करता है। अधिकतम ठहराव ताप M = 1 पर होता है, अतः दी गई प्रवेश अवस्था द्वारा स्वीकार्य ऊष्मा की एक सीमा है — तापीय अवरोध (thermal choking)। रोचक रूप से, अवध्वनिक तापन में स्थैतिक ताप M = 1/√γ ≈ 0.845 पर शिखर पर पहुँचता है और फिर घटता है यद्यपि ऊष्मा अब भी जोड़ी जा रही है, अतिरिक्त ऊर्जा गतिज ऊर्जा में जाती है।
मुख्य बिंदु
- a = √(γRT); T0/T = 1 + 0.2M²; p0/p = (T0/T)^3.5; ध्वनिक अनुपात T/T0 = 0.8333, p/p0 = 0.5283। T0 किसी भी रुद्धोष्म प्रवाह में संरक्षित है, p0 केवल समएन्ट्रॉपिक में।
- dA/A = (M² − 1)dV/V: ध्वनिक केवल कंठ पर; M = 2 पर A/A* = 1.6875; अवरुद्ध ṁ = 0.0404 p0A*/√T0; अभिसारी तुंड p0/p_b = 1.893 पर अवरुद्ध होता है।
- M1 = 2 पर अभिलंब प्रघात: M2 = 0.577, p2/p1 = 4.5, ρ2/ρ1 = 2.667, p02/p01 = 0.721; T0 स्थिर, एन्ट्रॉपी बढ़ी।
- तिर्यक प्रघात: अभिलंब-प्रघात संबंधों में M1 sin β प्रयोग करें; सामान्यतः दुर्बल हल होता है; θ_max से आगे प्रघात पृथक हो जाता है। प्रांटल-मायर प्रसार समएन्ट्रॉपिक है, ν(2) = 26.38°, ν_max = 130.45°।
- M_cr, C_p0/√(1 − M²) के C_p,cr से मिलने पर; पतलापन, अतिक्रांतिक खंड व स्वीप (M cos Λ) M_cr व M_dd बढ़ाते हैं।
- फ़ैनो (घर्षण) व रैले (तापन) दोनों M को 1 की ओर ले जाते हैं और M = 1 पर अवरुद्ध होते हैं; फ़ैनो T0 स्थिर रखता है, रैले उसे बदलता है।
अभ्यास प्रश्न (14)
उत्तर खोलने से पहले प्रत्येक प्रश्न हल करें। हर व्याख्या सही विकल्प के साथ लुभावना गलत विकल्प भी बताती है, क्योंकि अंक वहीं जाते हैं।
216.65 K पर वायु में ध्वनि-चाल कितनी है, m/s में (एक दशमलव स्थान तक)? γ = 1.4 व R = 287 J/(kg·K) लें।
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
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उत्तर: 295
a = √(γRT) = √(1.4 × 287 × 216.65) = √87 052 = 295.04 ≈ 295 m/s। समुद्र-तल ताप लेने पर 340 m/s आता है; आदर्श गैस हेतु ध्वनि-चाल केवल ताप पर निर्भर है, दाब पर नहीं।वायु 250 K स्थैतिक ताप के साथ मैक 2 पर बहती है। उसका ठहराव ताप कितना है, K में?
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
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उत्तर: 450
T0 = T(1 + ((γ − 1)/2)M²) = 250 × (1 + 0.2 × 4) = 250 × 1.8 = 450 K। M का वर्ग भूलने पर 350 K आता है।मैक 2 पर वायु (γ = 1.4) हेतु समएन्ट्रॉपिक क्षेत्रफल अनुपात A/A* कितना है (तीन दशमलव स्थानों तक)?
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
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उत्तर: 1.688
A/A* = (1/M)[(2/(γ + 1))(1 + 0.2M²)]^3 = (1/2)[(1/1.2) × 1.8]^3 = 0.5 × 1.5³ = 0.5 × 3.375 = 1.6875। घातांक (γ + 1)/(2(γ − 1)), γ = 1.4 हेतु ठीक 3 है, जो इसे स्वच्छ संख्या बनाता है; 3.5 (दाब घातांक) लेने पर लगभग 2.07 आता है।एक तुंड को 500 kPa ठहराव दाब व 300 K ठहराव ताप पर वायु दी जाती है, और उसका 10 cm² क्षेत्रफल वाला कंठ अवरुद्ध है। γ = 1.4 व R = 287 J/(kg·K) लेकर द्रव्यमान प्रवाह दर कितनी है, kg/s में (दो दशमलव स्थानों तक)?
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
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उत्तर: 1.17
ṁ = 0.04042 p0A/√T0 = 0.04042 × 5 × 10⁵ × 10⁻³/√300 = 20.21/17.32 = 1.167 kg/s। कंठ पर जाँच: T = 250 K, p* = 264.1 kPa, ρ* = 3.681 kg/m³, a* = 316.9 m/s, अतः ρaA* = 1.167 kg/s। ध्वनिक मानों के स्थान पर ठहराव घनत्व व चाल लेना इसे बढ़ा-चढ़ाकर देता है।वाहिनी में पराध्वनिक प्रवाह त्वरित होता है:
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उत्तर: B — अपसारी खंड द्वारा
dA/A = (M² − 1)dV/V: M > 1 पर कोष्ठक धनात्मक है, अतः dV > 0 हेतु dA > 0 चाहिए — अपसारी खंड। घर्षण (फ़ैनो) व तापन (रैले) दोनों पराध्वनिक प्रवाह को M = 1 की ओर ले जाते हैं, अर्थात् उसे मंदित करते हैं।वायु (γ = 1.4) में एक अभिलंब प्रघात खड़ा है जिसकी प्रतिप्रवाह मैक संख्या 2 है। उसके पार स्थैतिक दाब अनुपात p2/p1 कितना है?
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
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उत्तर: 4.5
p2/p1 = 1 + (2γ/(γ + 1))(M1² − 1) = 1 + (2.8/2.4) × 3 = 1 + 3.5 = 4.5। उसी प्रघात के पार ठहराव-दाब अनुपात 0.721 है, एक हानि; दोनों को मिलाने से 1 से कम उत्तर आते हैं।उसी अभिलंब प्रघात (M1 = 2, γ = 1.4) हेतु अनुप्रवाह मैक संख्या M2 कितनी है (तीन दशमलव स्थानों तक)?
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
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उत्तर: 0.577
M2² = (1 + 0.2M1²)/(1.4M1² − 0.2) = 1.8/5.4 = 0.3333, अतः M2 = 0.577। ρ2/ρ1 = 2.667 व T2/T1 = 1.6875 से जाँच: M2 = M1(V2/V1)√(T1/T2) = 2 × 0.375 × 0.7698 = 0.577।आदर्श गैस में स्थिर अभिलंब प्रघात के पार निम्न में से क्या सत्य है?
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उत्तर: A — ठहराव ताप अपरिवर्तित रहता है; B — ठहराव दाब घटता है; C — एन्ट्रॉपी बढ़ती है
प्रघात रुद्धोष्म है, अतः h0 और अतः T0 स्थिर हैं; वह अनुत्क्रमणीय है, अतः एन्ट्रॉपी बढ़ती है और p0 घटता है (s2 − s1 = −R ln(p02/p01))। अभिलंब प्रघात के पीछे प्रवाह सदा अवध्वनिक है; केवल तिर्यक प्रघात उसे पराध्वनिक छोड़ सकता है।मुक्त-धारा मैक संख्या हेतु अधिकतम विक्षेपण कोण θ_max से बड़े अर्ध-कोण वाली कील द्वारा विक्षेपित पराध्वनिक प्रवाह हेतु:
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उत्तर: B — कील के आगे एक पृथक वक्र प्रघात बनता है
θ > θ_max हेतु θ-β-M संबंध का कोई हल नहीं, अतः कोई सीधा संलग्न प्रघात प्रवाह को नहीं मोड़ सकता; एक पृथक वक्र प्रघात नाक से हटकर खड़ा होता है, केंद्र-रेखा पर अभिलंब (व प्रबल) और बाहर की ओर दुर्बल होता हुआ। संपीडक मोड़ कभी प्रसार पंखा नहीं देता।मैक 2 पर प्रवाह हेतु मैक कोण कितना है, डिग्री में?
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
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उत्तर: 30
μ = sin⁻¹(1/M) = sin⁻¹(0.5) = 30°। 1/M का tan⁻¹ या cos⁻¹ लेने पर 26.6° या 60° आता है, और 26.4° पूर्णतः भिन्न राशि है, मैक 2 पर प्रांटल-मायर कोण।मैक 2 (प्रांटल-मायर कोण 26.38°) पर पराध्वनिक धारा एक उत्तल कोने के चारों ओर प्रसारित होती है जो उसे 10° मोड़ता है। मोड़ के बाद प्रवाह का प्रांटल-मायर कोण कितना है, डिग्री में (दो दशमलव स्थानों तक)?
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
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उत्तर: 36.38
प्रसार हेतु मोड़ कोण प्रांटल-मायर फलन में जुड़ता है: ν2 = ν1 + θ = 26.38 + 10 = 36.38°, जो M2 ≈ 2.38 के संगत है। घटाना (16.38°) संपीडक मोड़ का नियम है, जो यहाँ वास्तव में प्रांटल-मायर संपीडन के बजाय प्रघात देता है।कम चाल पर एक वायुपर्ण पर न्यूनतम दाब गुणांक −0.3 है। प्रांटल-ग्लॉर्ट नियम से 0.6 मुक्त-धारा मैक संख्या पर यह कितना है (तीन दशमलव स्थानों तक, चिह्न सहित)?
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
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उत्तर: -0.375
C_p = C_p0/√(1 − M∞²) = −0.3/√(1 − 0.36) = −0.3/0.8 = −0.375। संपीड्यता दाब गुणांक को बढ़ाती है, इसीलिए चूषण शिखर क्रांतिक मैक संख्या पर ध्वनिक स्थिति तक पहुँचता है; 0.8 से गुणा करने पर −0.24 आता है।35° अग्र-कोर स्वीप वाला पंख 0.85 मुक्त-धारा मैक संख्या पर उड़ता है। सरल स्वीप सिद्धांत से उसके खंडों पर संपीड्यता प्रभावों के आरंभ को नियंत्रित करने वाला मैक संख्या घटक निकटतम है:
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उत्तर: B — 0.70
खंड अग्र कोर के लंबवत घटक पर प्रतिक्रिया करते हैं: M_n = M∞ cos Λ = 0.85 × cos 35° = 0.85 × 0.819 = 0.70। sin 35° लेने पर 0.49, और cos Λ से भाग देने पर 1.04 आता है — स्वीप प्रभावी मैक संख्या घटाता है, कभी बढ़ाता नहीं।स्थिर-क्षेत्रफल वाहिनी प्रवाहों के विषय में निम्न में से कौन-से कथन सही हैं?
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उत्तर: A — फ़ैनो प्रवाह में ठहराव ताप स्थिर रहता है; B — घर्षण अवध्वनिक प्रवाह को मैक 1 की ओर त्वरित करता है; D — रैले प्रवाह में अधिकतम ठहराव ताप मैक 1 पर होता है
फ़ैनो प्रवाह रुद्धोष्म है, अतः T0 स्थिर है, और घर्षण M को किसी भी ओर से 1 की ओर ले जाता है — अवध्वनिक धारा तेज़ होती है। रैले प्रवाह में तापन भी M को 1 की ओर ले जाता है, अतः वह पराध्वनिक धारा को मंदित करता है; तीसरे कथन में दिशा ग़लत है। T0, M = 1 पर शिखर पर होता है, तापीय-अवरोध सीमा।