असंपीड्य वायुगतिकी: तरल आधार, श्यान प्रवाह, विभव प्रवाह, वायुपर्ण व पंख
1. तरल शुद्धगतिकी व संरक्षण नियम
प्रवाह का वर्णन कणों का अनुसरण करके (लैग्रांजीय) या स्थिर बिंदुओं को देखकर (ऑयलरी) किया जा सकता है; दोनों को द्रव्य अवकलज D/Dt = ∂/∂t + V·∇ जोड़ता है। तीन प्रकार की रेखाएँ खींची जाती हैं: धारारेखा (streamline) एक क्षण पर हर जगह वेग की स्पर्शरेखा है; पथरेखा (pathline) समय के साथ एक कण का मार्ग है; लकीर-रेखा (streakline) उन सभी कणों को जोड़ती है जो एक बिंदु से गुज़र चुके हैं, जो रंजक या धुएँ की धारा दिखाती है। स्थिर प्रवाह में तीनों संपाती होती हैं; अस्थिर प्रवाह में सामान्यतः भिन्न। भ्रमिलता ω = ∇ × V स्थानीय घूर्णन मापती है, और हर जगह ω = 0 वाला प्रवाह अघूर्णी (irrotational) है।
संरक्षण नियम नियंत्रण आयतन हेतु (समाकल रूप) या एक बिंदु पर (अवकल रूप) लिखे जाते हैं। द्रव्यमान: ∂/∂t∫ρ dV + ∮ρV·dA = 0, अथवा ∂ρ/∂t + ∇·(ρV) = 0। संवेग: आयतन में संवेग का परिवर्तन-दर व उसका शुद्ध बहिर्प्रवाह दाब, पिंड व श्यान बलों के बराबर है — एक बिंदु पर ρDV/Dt = −∇p + ρf + श्यान पद, जो न्यूटनी तरल हेतु नेवियर-स्टोक्स समीकरण हैं और श्यानता के बिना ऑयलर समीकरण। ऊर्जा: प्रवाहित तरल हेतु प्रथम नियम, जो कार्य-रहित स्थिर रुद्धोष्म प्रवाह में स्थिर ठहराव एन्थैल्पी h + V²/2 बन जाता है। न्यूटनी तरल वह है जिसका अपरूपण प्रतिबल विकृति-दर में रैखिक हो, सरल अपरूपण में τ = μ du/dy, जहाँ μ विकृति-दर से स्वतंत्र है; वायु व जल न्यूटनी हैं।
2. विमीय विश्लेषण व गतिक समरूपता
बकिंघम का π प्रमेय कहता है कि k स्वतंत्र विमाओं वाले n चरों के बीच संबंध n − k विमाहीन समूहों के बीच लिखा जा सकता है। किसी पिंड पर बल हेतु F = f(ρ, V, l, μ, a) में छह चर व तीन विमाएँ हैं, अतः C_F = F/(½ρV²l²) केवल दो समूहों पर निर्भर है: रेनॉल्ड्स संख्या Re = ρVl/μ और मैक संख्या M = V/a (तथा आकार व आक्रमण कोण)। दो प्रवाह गतिक रूप से समरूप हैं जब वे ज्यामितीय रूप से समरूप हों और हर प्रासंगिक π समूह बराबर हो; तब सभी बल व दाब गुणांक भी बराबर होते हैं। इसीलिए पवन-सुरंग प्रतिरूप का परिणाम उड़ान तक मापित किया जा सकता है — और इसीलिए यह कठिन है: समान ताप पर वायु में 1/10 पैमाने के प्रतिरूप को Re मिलाने हेतु दस गुनी चाल चाहिए, जो मैक मेल नष्ट कर देती है। दाबित या क्रायोजेनिक सुरंगें इसके स्थान पर घनत्व बढ़ाकर या श्यानता घटाकर Re बढ़ाती हैं।
3. कूएट प्रवाह, हेगन-पॉइज़ुई प्रवाह व सीमा-परत
नेवियर-स्टोक्स समीकरणों के दो यथार्थ हल श्यानता को कार्यरत दिखाते हैं। समतल कूएट प्रवाह में h गहराई का तरल एक स्थिर पट्टिका व U से चलती पट्टिका के बीच है, दाब-प्रवणता रहित; वेग रैखिक है, u = Uy/h, और अपरूपण प्रतिबल हर जगह समान है, τ = μU/h। हेगन-पॉइज़ुई प्रवाह में दाब-प्रवणता R त्रिज्या के पाइप में पूर्णतः विकसित स्तरीय (laminar) प्रवाह चलाती है: प्रोफ़ाइल परवलयज u = (−dp/dx)(R² − r²)/(4μ) है, केंद्र-रेखा चाल माध्य की दोगुनी है, आयतन प्रवाह Q = πR⁴Δp/(8μL) है, और डार्सी घर्षण गुणांक f = 64/Re। समांतर पट्टिकाओं के बीच यही विश्लेषण एक परवलय देता है जिसका अधिकतम माध्य का 1.5 गुना है।
उच्च रेनॉल्ड्स संख्या पर श्यानता केवल सतह से सटी पतली सीमा-परत में महत्त्वपूर्ण है, जहाँ वेग शून्य (नो-स्लिप) से बाहरी अश्यान मान तक बढ़ता है। उसकी मोटाई δ परंपरा से वहाँ है जहाँ u = 0.99U। दो समाकल मोटाइयाँ अधिक उपयोगी हैं: विस्थापन मोटाई δ* = ∫(1 − u/U)dy, वह दूरी जितनी बाहरी प्रवाह बाहर धकेला जाता है, और संवेग मोटाई θ = ∫(u/U)(1 − u/U)dy, त्वचा-घर्षण में खोए संवेग का माप। स्तरीय समतल पट्टिका (ब्लासियस) हेतु δ ≈ 5.0x/√Re_x, δ* = 1.72x/√Re_x, θ = 0.664x/√Re_x और स्थानीय त्वचा-घर्षण गुणांक c_f = 0.664/√Re_x, अतः δ, √x के अनुसार बढ़ता है। विक्षुब्ध परत तेज़ बढ़ती है, लगभग δ ≈ 0.37x/Re_x^(1/5)। चिकनी समतल पट्टिका पर संक्रमण सामान्यतः Re_x ≈ 5 × 10⁵ के निकट माना जाता है। प्रतिकूल दाब-प्रवणता (अनुप्रवाह दाब बढ़ना) दीवार के निकट तरल को धीमा करती है जब तक दीवार अपरूपण शून्य न हो जाए और परत पृथक न हो जाए।
4. द्वि-विमीय विभव प्रवाह व बर्नूली समीकरण
अघूर्णी प्रवाह में वेग एक विभव की प्रवणता है, V = ∇φ, और असंपीड्य प्रवाह में सांतत्य φ से लाप्लास समीकरण ∇²φ = 0 का पालन कराता है; द्वि-विमा में धारा फलन ψ (u = ∂ψ/∂y, v = −∂ψ/∂x) भी इसका पालन करता है, और स्थिर ψ की रेखाएँ धारारेखाएँ हैं। लाप्लास समीकरण रैखिक होने से प्रारंभिक हल जोड़े जा सकते हैं। बर्नूली समीकरण p + ½ρV² = स्थिरांक स्थिर, अश्यान, असंपीड्य प्रवाह में धारारेखा के अनुदिश सत्य है, और जब प्रवाह अघूर्णी भी हो तो पूरे प्रवाह-क्षेत्र में — यही विभव-प्रवाह वेग क्षेत्र को दाब वितरण में बदलता है।
| प्रवाह | वेग | φ | ψ |
|---|---|---|---|
| एकसमान धारा | u = V∞ | V∞x | V∞y |
| स्रोत (Λ > 0) या अभिगम (Λ < 0) | V_r = Λ/(2πr) | (Λ/2π) ln r | (Λ/2π)θ |
| κ सामर्थ्य का द्विक (doublet) | सीमा में स्रोत-अभिगम युग्म से | (κ/2π) cos θ/r | −(κ/2π) sin θ/r |
| Γ सामर्थ्य का बिंदु भ्रमिल (दक्षिणावर्त धनात्मक) | V_θ = −Γ/(2πr) | −(Γ/2π)θ | (Γ/2π) ln r |
- एकसमान धारा + स्रोत = रैंकिन अर्ध-पिंड। ठहराव बिंदु स्रोत से Λ/(2πV∞) प्रतिप्रवाह पर है, और बहुत अनुप्रवाह पर पिंड की मोटाई Λ/V∞ है।
- एकसमान धारा + स्रोत + समान अभिगम = रैंकिन अंडाकार, एक बंद पिंड।
- एकसमान धारा + द्विक = अनुत्थापी वृत्ताकार बेलन, त्रिज्या R = √(κ/(2πV∞))। सतह चाल 2V∞ sin θ है, अतः C_p = 1 − 4 sin²θ: ठहराव बिंदुओं पर +1, कंधों पर −3, और सममित दाब शून्य कर्षण देता है — डी’एलंबर्ट विरोधाभास।
- भ्रमिल जोड़ें = उत्थापी बेलन। प्रति इकाई विस्तृति उत्थापन ρ∞V∞Γ है। Γ बढ़ने पर दोनों ठहराव बिंदु बेलन के तल की ओर साथ खिसकते हैं, Γ = 4πV∞R पर वहाँ मिलते हैं, और उससे ऊपर सतह छोड़ देते हैं।
5. वायुपर्ण — नामावली, कुट्टा-जुकोव्स्की, कुट्टा शर्त व पतला-वायुपर्ण सिद्धांत
वायुपर्ण को उसकी जीवा रेखा (अग्र से पश्च कोर तक, लंबाई c), उसकी माध्य वक्रता रेखा (ऊपरी व निचली सतहों के बीचोंबीच), अधिकतम वक्रता व उसकी स्थिति, मोटाई वितरण व अधिकतम मोटाई, तथा अग्र-कोर त्रिज्या से परिभाषित करते हैं। NACA चार-अंकीय श्रेणी में NACA 2412 की अधिकतम वक्रता जीवा की 2% है जो 40% जीवा पर स्थित है और अधिकतम मोटाई जीवा की 12% है; NACA 0012 सममित व 12% मोटा है। खंड गुणांक c_l = L′/(q∞c), c_d = D′/(q∞c) व c_m = M′/(q∞c²) हैं, डैश प्रति इकाई विस्तृति दर्शाते हैं। दाब केंद्र वह बिंदु है जहाँ परिणामी कार्य करता है, और वह आपतन के साथ खिसकता है; वायुगतिक केंद्र वह बिंदु है जिसके परितः c_m, α के साथ नहीं बदलता, और वही अधिक उपयोगी संदर्भ है।
कुट्टा-जुकोव्स्की प्रमेय कहता है कि स्थिर, अश्यान, असंपीड्य प्रवाह में किसी भी द्वि-विमीय पिंड हेतु प्रति इकाई विस्तृति उत्थापन L′ = ρ∞V∞Γ है, जहाँ Γ पिंड के चारों ओर परिसंचरण है, और कर्षण शून्य है। वायुपर्ण हेतु Γ को कुट्टा शर्त तय करती है: प्रवाह तीक्ष्ण पश्च कोर को सहजता से, वहाँ परिमित वेग के साथ, छोड़ता है — भ्रमिल-पटल की भाषा में γ(TE) = 0। वास्तविकता में इसे श्यानता लागू करती है। केल्विन का परिसंचरण प्रमेय (अश्यान, दाब-घनत्व-आश्रित प्रवाह में बंद तरल वक्र के चारों ओर परिसंचरण स्थिर है) तब बताता है कि परिसंचरण कैसे आता है: वायुपर्ण के चलना आरंभ करते ही −Γ सामर्थ्य का आरंभिक भ्रमिल पश्च कोर से छूटकर पीछे रह जाता है, जिससे तरल का कुल परिसंचरण शून्य रहता है जबकि वायुपर्ण +Γ का बद्ध भ्रमिल (bound vortex) वहन करता है।
पतला-वायुपर्ण सिद्धांत वायुपर्ण को उसकी वक्रता रेखा पर भ्रमिल-पटल से बदलकर प्रवाह-स्पर्शिता व कुट्टा शर्त लागू करता है। सममित वायुपर्ण हेतु यह c_l = 2πα (α रेडियन में), चौथाई जीवा के परितः c_m शून्य, दाब केंद्र व वायुगतिक केंद्र दोनों c/4 पर, तथा c_m,LE = −c_l/4 देता है। वक्रित वायुपर्ण हेतु c_l = 2π(α − α_L0), धनात्मक वक्रता हेतु α_L0 ऋणात्मक, और c_m,c/4 = स्थिरांक (धनात्मक वक्रता हेतु ऋणात्मक) — अतः वायुगतिक केंद्र अब भी चौथाई जीवा पर है, पर दाब केंद्र अब c_l घटने पर पीछे खिसकता है। याद रखने योग्य परिणाम 2π प्रति रेडियन (लगभग 0.11 प्रति डिग्री) उत्थापन ढाल है।
6. परिमित पंख — प्रेरित कर्षण व प्रांटल का उत्थापक-रेखा सिद्धांत
परिमित पंख पर नीचे का उच्च दाब सिरों के चारों ओर छलकता है, और अनुगामी भ्रमिल-पटल को दो सिरा-भ्रमिलों (tip vortices) में लपेट देता है। हेल्महोल्ट्ज़ प्रमेयों के अनुसार भ्रमिल तंतु तरल में समाप्त नहीं हो सकता, अतः बद्ध भ्रमिल सिरों पर मुड़कर अनुप्रवाह चला जाता है — नाल-भ्रमिल (horseshoe vortex) प्रतिरूप। अनुगामी भ्रमिल पंख पर अधोप्रवाह w प्रेरित करते हैं, जो स्थानीय सापेक्ष पवन को प्रेरित कोण α_i ≈ w/V∞ से नीचे झुका देता है। अतः पंख-खंड छोटा प्रभावी कोण α_eff = α − α_i देखता है, और झुके पवन के लंबवत स्थानीय उत्थापन का एक पश्चमुखी घटक होता है: प्रेरित कर्षण, उत्थापन के कारण कर्षण जो अश्यान प्रवाह में भी होता है।
प्रांटल का उत्थापक-रेखा सिद्धांत पंख को विस्तृति के अनुदिश परिवर्ती सामर्थ्य Γ(y) के बद्ध भ्रमिल के रूप में प्रतिरूपित करता है, जो अनुगामी भ्रमिलता dΓ/dy छोड़ता है; प्रत्येक स्थान पर अधोप्रवाह बायो-सावर्ट नियम से आता है और मूल समीकरण उसे खंड उत्थापन से मिलाता है। इसका केंद्रीय परिणाम दीर्घवृत्तीय उत्थापन वितरण है, Γ(y) = Γ0√(1 − (2y/b)²): अधोप्रवाह विस्तृति के अनुदिश स्थिर है, α_i = C_L/(πAR), और C_D,i = C_L²/(πAR), दिए उत्थापन व विस्तृति हेतु न्यूनतम संभव प्रेरित कर्षण। कोई अन्य भारण C_D,i = C_L²/(πeAR) देता है, विस्तृति दक्षता e < 1 के साथ। परिमित पंख की उत्थापन ढाल खंड मान a0 से कम होती है: a = a0/(1 + a0/(πeAR)), अतः a0 = 2π के साथ पक्षानुपात 6 के पंख का a = 4.71 प्रति रेडियन है। यहाँ AR = b²/S; अपतलित, अमरोड़ित दीर्घवृत्तीय आकृति दीर्घवृत्तीय भारण देती है।
7. दाब मापन — U-नली दाबांतरमापी व पिटो प्रोब
U-नली दाबांतरमापी द्रव स्तंभ की ऊँचाई से दाब-अंतर मापता है: ρ घनत्व के तरल के नीचे ρ_m घनत्व के दाबांतरमापी द्रव के साथ p1 − p2 = (ρ_m − ρ)gh, और जल या पारे के ऊपर वायु हेतु ρ पद प्रायः नगण्य है। नली को क्षैतिज से θ कोण पर झुकाना उसी ऊर्ध्वाधर ऊँचाई को L = h/sin θ लंबाई पर फैलाता है, जिससे संवेदनशीलता बढ़ती है। प्रवाह की ओर मुख वाली पिटो नली अपने मुख पर तरल को विराम में लाती है और ठहराव (कुल) दाब p0 संवेदित करती है; बगल का स्थैतिक छिद्र स्थैतिक दाब p संवेदित करता है; पिटो-स्थैतिक नली दोनों को जोड़ती है। असंपीड्य प्रवाह में बर्नूली V = √(2(p0 − p)/ρ) देता है। अवध्वनिक संपीड्य प्रवाह में इसके स्थान पर समएन्ट्रॉपिक संबंध p0/p = (1 + (γ − 1)M²/2)^(γ/(γ−1)) प्रयोग करना पड़ता है; पराध्वनिक प्रवाह में प्रोब के आगे वक्र प्रघात (bow shock) खड़ा होता है, और रैले पिटो सूत्र प्रघात के पीछे मापे गए कुल दाब को मुक्त-धारा मैक संख्या से जोड़ता है।
मुख्य बिंदु
- स्थिर प्रवाह में धारारेखा, पथरेखा व लकीर-रेखा संपाती होती हैं; असंपीड्य का अर्थ Dρ/Dt = 0 ⇔ ∇·V = 0, M ≈ 0.3 से नीचे अच्छा प्रतिरूप; न्यूटनी तरल में τ = μ du/dy।
- कूएट: रैखिक प्रोफ़ाइल, τ = μU/h। हेगन-पॉइज़ुई: परवलयिक, u_max = 2ū, Q = πR⁴Δp/(8μL), f = 64/Re। ब्लासियस: δ = 5.0x/√Re_x, δ* = 1.72x/√Re_x, θ = 0.664x/√Re_x।
- स्रोत, अभिगम, द्विक व भ्रमिल अध्यारोपित होते हैं: एकसमान + द्विक = C_p = 1 − 4 sin²θ वाला बेलन; भ्रमिल जोड़ने पर L′ = ρ∞V∞Γ (कुट्टा-जुकोव्स्की)।
- पतला वायुपर्ण: c_l = 2π(α − α_L0), वायुगतिक केंद्र c/4 पर; सममित: c_m,c/4 = 0, c_m,LE = −c_l/4। कुट्टा शर्त Γ तय करती है; आरंभिक भ्रमिल उसे संतुलित करता है (केल्विन)।
- उत्थापक रेखा: दीर्घवृत्तीय भारण ⇒ स्थिर अधोप्रवाह, C_D,i = C_L²/(πAR), न्यूनतम प्रेरित कर्षण; सामान्यतः C_D,i = C_L²/(πeAR) तथा a = a0/(1 + a0/(πeAR))।
- दाबांतरमापी: Δp = (ρ_m − ρ)gh; पिटो-स्थैतिक: असंपीड्य प्रवाह में V = √(2(p0 − p)/ρ), संपीड्य में समएन्ट्रॉपिक संबंध, पराध्वनिक में रैले पिटो सूत्र।
अभ्यास प्रश्न (16)
उत्तर खोलने से पहले प्रत्येक प्रश्न हल करें। हर व्याख्या सही विकल्प के साथ लुभावना गलत विकल्प भी बताती है, क्योंकि अंक वहीं जाते हैं।
निम्न में से कौन-से कथन सही हैं?
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उत्तर: A — स्थिर प्रवाह में धारारेखा, पथरेखा व लकीर-रेखा संपाती होती हैं; B — एक बिंदु से लगातार छोड़ी गई रंजक धारा लकीर-रेखा अंकित करती है; C — असंपीड्य प्रवाह हेतु वेग क्षेत्र का अपसरण शून्य है
समय में न बदलने वाले वेग क्षेत्र में कण तात्क्षणिक धारारेखाओं का अनुसरण करते हैं, अतः तीनों रेखाएँ संपाती होती हैं; एक बिंदु से रंजक धारा परिभाषा से लकीर-रेखा है; और सांतत्य सहित Dρ/Dt = 0 से ∇·V = 0 मिलता है। असंपीड्यता भ्रमिलता के विषय में कुछ नहीं कहती: कूएट व पॉइज़ुई प्रवाह असंपीड्य व घूर्णी हैं।एक पंख का 1/10 पैमाने का प्रतिरूप पूर्ण-आकार उड़ान स्थिति के समान ताप व दाब की वायु में परखा जाता है। रेनॉल्ड्स संख्या मिलाने हेतु सुरंग चाल होनी चाहिए:
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उत्तर: B — उड़ान चाल की दस गुनी, जिससे मैक संख्याएँ असमान हो जाती हैं
Re = ρVl/μ, ρ व μ अपरिवर्तित, अतः l घटने के अनुपात में V बढ़ना चाहिए: दस गुना। ध्वनि-चाल अपरिवर्तित है, अतः प्रतिरूप मैक संख्या उड़ान मान की दस गुनी हो जाती है — इस प्रकार Re व M दोनों नहीं मिलाए जा सकते, इसीलिए दाबित व क्रायोजेनिक सुरंगें हैं।0.1 Pa·s श्यानता का तेल एक स्थिर पट्टिका व 2 m/s से चलती पट्टिका के बीच 5 mm अंतराल भरता है, दाब-प्रवणता रहित। पट्टिकाओं पर अपरूपण प्रतिबल कितना है, Pa में?
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
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उत्तर: 40
समतल कूएट प्रवाह का प्रोफ़ाइल रैखिक है, अतः हर जगह du/dy = U/h और τ = μU/h = 0.1 × 2/0.005 = 40 Pa। अंतराल को मिलीमीटर में छोड़ने पर 0.04 Pa आता है, हज़ार गुना छोटा।वृत्ताकार पाइप में पूर्णतः विकसित स्तरीय (हेगन-पॉइज़ुई) प्रवाह में केंद्र-रेखा वेग व माध्य वेग का अनुपात है:
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उत्तर: B — 2
प्रोफ़ाइल u = u_max(1 − r²/R²) का वृत्ताकार क्षेत्र पर औसत u_max/2 है, अतः u_max/ū = 2। मान 1.5 समांतर पट्टिकाओं के बीच स्तरीय प्रवाह का है, जहाँ परवलय का औसत वृत्त के बजाय रेखा पर लिया जाता है।वायु (शुद्धगतिक श्यानता 1.5 × 10⁻⁵ m²/s) एक समतल पट्टिका पर 10 m/s से बहती है। ब्लासियस परिणाम δ = 5.0x/√Re_x से अग्र-कोर से 0.5 m पर सीमा-परत मोटाई कितनी है, mm में (दो दशमलव स्थानों तक)?
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
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उत्तर: 4.33
Re_x = Vx/ν = 10 × 0.5/1.5 × 10⁻⁵ = 3.33 × 10⁵ (स्तरीय, 5 × 10⁵ से नीचे), √Re_x = 577.4, और δ = 5.0 × 0.5/577.4 = 4.33 × 10⁻³ m = 4.33 mm। 0.664 लेने पर संवेग मोटाई लगभग 0.58 mm आती, δ नहीं।अनुत्थापी वृत्ताकार बेलन के पार अश्यान प्रवाह में बेलन के शीर्ष पर (अग्र ठहराव बिंदु से θ = 90°) दाब गुणांक कितना है?
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
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उत्तर: -3
सतह चाल 2V∞ sin θ है, अतः θ = 90° पर C_p = 1 − (V/V∞)² = 1 − 4 sin²θ = 1 − 4 = −3। गुणक 2 का वर्ग भूलने पर −1 आता है। दाब आगे-पीछे सममित है, अतः कर्षण शून्य है — डी’एलंबर्ट विरोधाभास।एक एकसमान धारा को एक द्विक पर अध्यारोपित किया जाता है। परिणामी प्रवाह निरूपित करता है:
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उत्तर: B — अनुत्थापी वृत्ताकार बेलन के पार प्रवाह
एकसमान धारा + द्विक बंद धारारेखा r = R = √(κ/(2πV∞)), एक वृत्त, देते हैं, बिना परिसंचरण के और अतः बिना उत्थापन के। अर्ध-पिंड को स्रोत चाहिए, अंडाकार को पृथक स्रोत व अभिगम, और उत्थापी बेलन को साथ में भ्रमिल भी।1.2 kg/m³ घनत्व व 50 m/s चाल की धारा में एक वायुपर्ण खंड 20 m²/s परिसंचरण वहन करता है। कुट्टा-जुकोव्स्की प्रमेय से उसका प्रति इकाई विस्तृति उत्थापन कितना है, N/m में?
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
उत्तर देखें
उत्तर: 1200
L′ = ρ∞V∞Γ = 1.2 × 50 × 20 = 1200 N/m। कोई ½ गुणक नहीं: वह c_l की परिभाषा में गतिक दाब का है, और यहाँ जोड़ने पर 600 N/m आता है।पतला-वायुपर्ण सिद्धांत से 4° आक्रमण कोण पर सममित वायुपर्ण का उत्थापन गुणांक कितना है (दो दशमलव स्थानों तक)?
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
उत्तर देखें
उत्तर: 0.44
c_l = 2πα, α रेडियन में: 4° = 0.0698 rad, अतः c_l = 2π × 0.0698 = 0.4386 ≈ 0.44। 2π × 4 लेना डिग्री को रेडियन मानना है और 25.1 देता है, असंभव उत्थापन गुणांक।अश्यान असंपीड्य प्रवाह में पतले सममित वायुपर्ण हेतु कौन-से कथन सही हैं?
उत्तर देखें
उत्तर: A — वायुगतिक केंद्र चौथाई-जीवा बिंदु पर है; B — हर आक्रमण कोण पर दाब केंद्र चौथाई-जीवा बिंदु पर है; C — अग्र कोर के परितः आघूर्ण गुणांक −c_l/4 है
वक्रता न होने से c_m,c/4 = 0, अतः चौथाई जीवा वायुगतिक केंद्र व दाब केंद्र दोनों है, और c/4 पर कार्यरत उत्थापन L′ को अग्र कोर पर स्थानांतरित करने से c_m,LE = −c_l/4 मिलता है। सममित खंड शून्य आपतन पर शून्य उत्थापन देता है; केवल धनात्मक वक्रता α_L0 को ऋणात्मक बनाती है।NACA चार-अंकीय पदनाम 2412 में अंक "4" व "12" क्रमशः दर्शाते हैं:
उत्तर देखें
उत्तर: B — अधिकतम वक्रता की स्थिति 40% जीवा पर व अधिकतम मोटाई 12% जीवा
पहला अंक: जीवा के प्रतिशत में अधिकतम वक्रता (2%); दूसरा: जीवा के दसवें भागों में उसकी स्थिति (0.4c); अंतिम दो: जीवा के प्रतिशत में अधिकतम मोटाई (12%)। अभिकल्प उत्थापन गुणांक केवल पाँच- व छह-अंकीय श्रेणियों में अंकित होता है।जब कोई वायुपर्ण विराम से चलकर बद्ध परिसंचरण Γ प्राप्त करता है, तो उसके पश्च कोर से छूटे आरंभिक भ्रमिल की सामर्थ्य है:
उत्तर देखें
उत्तर: C — बद्ध भ्रमिल के विपरीत दिशा में Γ
केल्विन का प्रमेय वायुपर्ण व अनुधारा दोनों को घेरने वाले बड़े तरल परिरेखा के चारों ओर परिसंचरण को उसके प्रारंभिक मान, शून्य, पर रखता है। अतः छूटे आरंभिक भ्रमिल को −Γ वहन करना होगा, बद्ध भ्रमिल के बराबर व विपरीत। तीक्ष्ण पश्च कोर पर श्यानता यह युग्म बनाती है, पर संतुलन स्वयं अश्यान लेखा-जोखा है।दीर्घवृत्तीय उत्थापन वितरण व पक्षानुपात 8 वाला पंख C_L = 0.8 पर कार्य करता है। उसका प्रेरित कर्षण गुणांक कितना है (चार दशमलव स्थानों तक)?
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
उत्तर देखें
उत्तर: 0.0255
दीर्घवृत्तीय भारण हेतु e = 1 और C_D,i = C_L²/(πAR) = 0.64/(π × 8) = 0.64/25.13 = 0.0255। π छोड़ने पर 0.08, और C_L² के स्थान पर C_L लेने पर 0.0318 आता है।पक्षानुपात 6 व दीर्घवृत्तीय उत्थापन वितरण वाला अमरोड़ित पंख ऐसे वायुपर्ण खंड प्रयोग करता है जिनकी उत्थापन ढाल 2π प्रति रेडियन है। उत्थापक-रेखा सिद्धांत से पंख की उत्थापन-वक्र ढाल कितनी है, प्रति रेडियन में (दो दशमलव स्थानों तक)?
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
उत्तर देखें
उत्तर: 4.71
a = a0/(1 + a0/(πAR)) = 2π/(1 + 2π/(6π)) = 2π/(1 + 1/3) = 0.75 × 2π = 4.71 प्रति rad। प्रेरित कोण C_L/(πAR) प्रभावी आपतन घटाता है, अतः ढाल 2π से नीचे आती है; इसे भूलने पर 6.28 रह जाता है।प्रांटल के उत्थापक-रेखा सिद्धांत के अनुसार दीर्घवृत्तीय विस्तृति-वार उत्थापन वितरण वाले परिमित पंख हेतु कौन-से कथन सही हैं?
उत्तर देखें
उत्तर: A — अधोप्रवाह विस्तृति के अनुदिश स्थिर है; B — दिए उत्थापन व विस्तृति हेतु प्रेरित कर्षण न्यूनतम संभव है; C — विस्तृति दक्षता गुणांक e, 1 के बराबर है
दीर्घवृत्तीय Γ(y) हर स्थान पर w = Γ0/(2b) देता है, अतः α_i = C_L/(πAR) एकसमान है और C_D,i = C_L²/(πAR), न्यूनतम, e = 1 के साथ। प्रेरित कर्षण उत्थापन के कारण कर्षण है और C_L² के अनुसार बढ़ता है, अतः चौथा कथन असत्य है।एक वायु धारा (घनत्व 1.225 kg/m³) में पिटो-स्थैतिक नली U-नली जल दाबांतरमापी (जल घनत्व 1000 kg/m³) से जुड़ी है जो 100 mm विक्षेपण दिखाता है। g = 9.81 m/s² लेकर वायु चाल कितनी है, m/s में (निकटतम पूर्णांक)?
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
उत्तर देखें
उत्तर: 40
Δp = (ρ_w − ρ_air)gh = (1000 − 1.225) × 9.81 × 0.1 = 979.8 Pa, और V = √(2Δp/ρ_air) = √(2 × 979.8/1.225) = √1599.7 = 40.0 m/s (वायु स्तंभ नगण्य मानने पर 40.02, निकटतम पूर्णांक तक वही)। वर्गमूल में जल घनत्व रखने पर लगभग 1.4 m/s आता है।