प्रकाशिकी — दर्पण, लेंस, व्यतिकरण व विद्युतचुंबकीय स्पेक्ट्रम

प्रकाशिकी वह भाग है जहाँ चिह्न परिपाटी अंक तय करती है। एक परिपाटी, बिना अपवाद लगाई गई, किरण प्रकाशिकी का अधिकांश उत्तर दे देती है: दूरियाँ ध्रुव या प्रकाशिक केंद्र से मापी जाती हैं, आपाती प्रकाश के अनुदिश धनात्मक, उसके विरुद्ध ऋणात्मक, अतः वास्तविक वस्तु की दूरी ऋणात्मक होती है, अवतल दर्पण की फोकस दूरी ऋणात्मक और उत्तल लेंस की धनात्मक। यह तय होने पर लेंसों हेतु 1/v − 1/u = 1/f तथा दर्पणों हेतु 1/v + 1/u = 1/f दो पहेलियाँ नहीं, दो प्रतिस्थापन हैं। इसके बाद तरंग प्रकाशिकी एक विचार जोड़ती है — पथांतर — जिससे द्वि-झिरी की फ्रिंज चौड़ाई, अदीप्त पट्टी की शर्त तथा विवर्तन उच्चिष्ठ की चौड़ाई सब निकलते हैं। विद्युतचुंबकीय स्पेक्ट्रम अध्याय समाप्त करता है, और वह क्रम के रूप में पूछा जाता है।

दर्पण, लेंस व पूर्ण आंतरिक परावर्तन

CUET जिन किरण-प्रकाशिकी संबंधों में प्रतिस्थापन करता है
संबंधरूपध्यान देने योग्य
दर्पण सूत्र1/v + 1/u = 1/f, आवर्धन m = −v/uअवतल दर्पण हेतु f ऋणात्मक, उत्तल हेतु धनात्मक। ऋणात्मक m का अर्थ वास्तविक, उल्टा प्रतिबिंब।
लेंस सूत्र1/v − 1/u = 1/f, आवर्धन m = v/uउस ऋण चिह्न पर ध्यान दें, जो दर्पण सूत्र में नहीं है। f उत्तल हेतु धनात्मक, अवतल हेतु ऋणात्मक।
लेंस की क्षमतामीटर में f सहित P = 1/f, डाइऑप्टर मेंसंपर्क में लेंस क्षमताएँ जोड़ते हैं: P = P₁ + P₂। 20 cm का उत्तल लेंस +5 D है, +0.05 D नहीं।
अपवर्तनn₁ sin i = n₂ sin r, तथा n = c/vअपवर्तन पर आवृत्ति कभी नहीं बदलती; घने माध्यम में तरंगदैर्घ्य व चाल दोनों घटते हैं।
पूर्ण आंतरिक परावर्तनsin C = 1/nकेवल घने से विरल की ओर, और केवल क्रांतिक कोण से आगे। दोनों शर्तें, प्रत्येक बार।
🧠 दो शर्तें, तथा मरीचिका का प्रश्न
पूर्ण आंतरिक परावर्तन के लिए प्रकाश का घने माध्यम से विरल की ओर जाना तथा आपतन कोण का क्रांतिक कोण C = sin⁻¹(1/n) से बड़ा होना आवश्यक है। जो विकल्प दोनों में से केवल एक देता है वह अपूर्ण और इसलिए ग़लत है। मानक अनुप्रयोग तैयार रखने योग्य हैं: हीरे की चमक (n ≈ 2.42, अतः C ≈ 24°, और प्रवेश करते प्रकाश को निकलना कठिन लगता है), प्रकाशिक तंतु, काँच में दरार की चमक, तथा मरीचिका — जहाँ सड़क के निकट गर्म वायु प्रकाशिक रूप से विरल होती है, अतः आकाश से आता प्रकाश अभिलंब से दूर मुड़ता जाता है जब तक पूर्णतः परावर्तित न हो जाए।

तरंग प्रकाशिकी: एक विचार, तीन परिणाम

यहाँ सब कुछ पथांतर है। दो कला-संबद्ध स्रोत वहाँ संपोषित करते हैं जहाँ पथांतर तरंगदैर्घ्य का पूर्ण गुणज हो और वहाँ निरस्त करते हैं जहाँ वह अर्ध-तरंगदैर्घ्य का विषम गुणज हो, और यंग के प्रयोग में वह β = λD/d चौड़ाई की फ्रिंजें देता है — अतः अधिक तरंगदैर्घ्य या अधिक परदा-दूरी पर फ्रिंजें चौड़ी होती हैं, और झिरियाँ दूर करने पर सँकरी। प्रश्नपत्र तीन परिणाम पूछता है: उपकरण जल में डुबाने पर फ्रिंज चौड़ाई घटती है, क्योंकि λ घटता है; श्वेत प्रकाश श्वेत केंद्रीय फ्रिंज और रंगीन किनारे देता है, क्योंकि केंद्र पर प्रत्येक तरंगदैर्घ्य का पथांतर शून्य होता है; और एकल-झिरी विवर्तन 2λ/a कोणीय चौड़ाई का केंद्रीय उच्चिष्ठ देता है, जो सँकरी झिरी के लिए अधिक चौड़ा होता है।

  • व्यतिकरण को कला-संबद्धता चाहिए। दो स्वतंत्र बल्ब कितने ही समरूप हों, फ्रिंजें नहीं देते, इसीलिए एक झिरी को दो में बाँटा जाता है — और इसीलिए लेज़र प्रयोग को सरल बना देता है।
  • ध्रुवण सिद्ध करता है कि प्रकाश अनुप्रस्थ है, और पाठ्यक्रम में कुछ और यह नहीं करता। ध्वनि ध्रुवित नहीं की जा सकती, और वही विरोध प्रश्न है।
  • ब्रूस्टर: ध्रुवण कोण tan θ_p = n पर परावर्तित प्रकाश पूर्णतः ध्रुवित होता है, और तब परावर्तित व अपवर्तित किरणें लंबवत होती हैं।
  • नीला आकाश रैले प्रकीर्णन है, जो 1/λ⁴ के रूप में चलता है — अतः नीला लाल से बहुत अधिक प्रकीर्णित होता है, और डूबता सूर्य लाल दिखता है क्योंकि लंबे पथ से नीला प्रकीर्णित होकर निकल गया।
⚠️ विवर्तन व व्यतिकरण उलटी दिशाओं में चलते हैं
दो झिरियों के बीच का अंतर बढ़ाइए और व्यतिकरण फ्रिंजें सँकरी हो जाती हैं (β = λD/d)। एकल झिरी चौड़ी कीजिए और विवर्तन उच्चिष्ठ भी सँकरा हो जाता है (2λ/a)। पर एकल झिरी सँकरी कीजिए और प्रतिरूप फैल जाता है — यही प्रति-सहज दिशा है और वही CUET रखता है। यदि प्रश्न पूछे कि दोनों प्रतिरूप कैसे अलग पहचाने जाएँ, तो भेदक तथ्य यह है: व्यतिकरण फ्रिंजें समान चौड़ाई व समान तीव्रता की होती हैं, जबकि विवर्तन प्रतिरूप में एक दीप्त केंद्रीय उच्चिष्ठ होता है और दोनों ओर शीघ्रता से मंद होते उच्चिष्ठ।

विद्युतचुंबकीय तरंगें, उन दो प्रश्नों में जो उन्हें मिलते हैं

विद्युतचुंबकीय तरंग E व B को एक-दूसरे के लंबवत तथा दोनों को गति की दिशा के लंबवत ले चलती है, समान कला में, जहाँ E₀/B₀ = c तथा c = 1/√(μ₀ε₀)। उसे कोई माध्यम नहीं चाहिए। ऐंपियर के नियम में मैक्सवेल का जोड़ विस्थापन धारा ε₀ dφ_E/dt था, जो आवेशित होते संधारित्र के अंतराल से "होकर" बहती है और कुल धारा को सतत बनाती है। बढ़ती आवृत्ति के क्रम में — अर्थात् घटते तरंगदैर्घ्य के क्रम में — स्पेक्ट्रम है रेडियो, माइक्रोवेव, अवरक्त, दृश्य, पराबैंगनी, X-किरण, गामा, और दृश्य पट्टी लगभग 400 nm (बैंगनी) से 700 nm (लाल) तक चलती है।

मुख्य बिंदु

  • एक चिह्न परिपाटी किरण प्रकाशिकी का अधिकांश उत्तर देती है: आपाती प्रकाश के अनुदिश धनात्मक। दर्पण 1/v + 1/u = 1/f लेते हैं, m = −v/u सहित; लेंस 1/v − 1/u = 1/f, m = v/u सहित। क्षमता मीटर में 1/f है, और संपर्क में लेंस क्षमताएँ जोड़ते हैं।
  • पूर्ण आंतरिक परावर्तन के लिए दोनों आवश्यक हैं: घने से विरल की ओर गति तथा C = sin⁻¹(1/n) से बड़ा कोण। अपवर्तन पर आवृत्ति कभी नहीं बदलती, जबकि घने माध्यम में चाल व तरंगदैर्घ्य दोनों घटते हैं।
  • फ्रिंज चौड़ाई β = λD/d है, अतः वह तरंगदैर्घ्य व परदा-दूरी के साथ बढ़ती है और झिरियों के दूर होने या उपकरण डुबाने पर घटती है। एकल झिरी का केंद्रीय उच्चिष्ठ 2λ/a चौड़ा है — सँकरी झिरी के लिए अधिक चौड़ा।
  • ध्रुवण ही प्रमाण है कि प्रकाश अनुप्रस्थ है; रैले प्रकीर्णन 1/λ⁴ के रूप में चलता है, इसीलिए आकाश नीला और डूबता सूर्य लाल है। बढ़ती आवृत्ति के क्रम में स्पेक्ट्रम है रेडियो, माइक्रोवेव, अवरक्त, दृश्य, पराबैंगनी, X-किरण, गामा।

अभ्यास प्रश्न (8)

उत्तर खोलने से पहले प्रत्येक प्रश्न हल करें। हर व्याख्या सही विकल्प के साथ लुभावना गलत विकल्प भी बताती है, क्योंकि अंक वहीं जाते हैं।

  1. 20 cm फोकस दूरी वाले उत्तल लेंस की क्षमता है:

    1. +0.05 D
    2. +5 D
    3. −5 D
    4. +20 D
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — +5 D

    क्षमता 1/f है, जहाँ f मीटर में, अतः f = 0.20 m से P = 1/0.20 = +5 D मिलता है, धनात्मक क्योंकि लेंस उत्तल व अभिसारी है। +0.05 D वाला विकल्प f सेंटीमीटर में लेता है, जो इस प्रश्न की सर्वाधिक सामान्य त्रुटि है — डाइऑप्टर प्रति मीटर परिभाषित है, और कुछ नहीं। −5 D का परिमाण सही है और चिह्न अवतल लेंस का। और +20 D केवल फोकस दूरी को सेंटीमीटर में डाइऑप्टर लगाकर बता देता है, जो किसी सूत्र से नहीं बनता।

  2. यंग के द्वि-झिरी प्रयोग में फ्रिंज चौड़ाई घटेगी यदि:

    1. परदा झिरियों से दूर हटाया जाए
    2. झिरियों के बीच का अंतर बढ़ाया जाए
    3. नीले प्रकाश के स्थान पर लाल प्रकाश लिया जाए
    4. स्रोत की तीव्रता बढ़ाई जाए
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — झिरियों के बीच का अंतर बढ़ाया जाए

    β = λD/d है, अतः d हर में है और झिरी-अंतर बढ़ाने पर फ्रिंजें सँकरी होती हैं। परदा दूर हटाने से D बढ़ता है और इसलिए वे चौड़ी होती हैं। नीले के स्थान पर लाल लेने से λ बढ़ता है और वे भी चौड़ी होती हैं, इसीलिए इस परिवार के रंगीन-प्रकाश वाले विकल्प पहचानने के बजाय दिशा देखकर पढ़ने चाहिए। और तीव्रता सूत्र में कहीं नहीं आती: अधिक दीप्त स्रोत ठीक उसी अंतराल पर अधिक दीप्त फ्रिंजें देता है, और वही भ्रामक विकल्प सूत्र प्रयोग करने वालों को "अधिक प्रकाश" पर शिथिल तर्क करने वालों से अलग करता है।

  3. प्रकाश काँच (n = 1.5) से वायु में जाता है। पूर्ण आंतरिक परावर्तन हो सकता है:

    1. प्रत्येक आपतन कोण पर, क्योंकि काँच वायु से घना है
    2. केवल जब काँच में आपतन कोण sin⁻¹(1/1.5) से अधिक हो
    3. केवल अभिलंबवत आपतन पर
    4. कभी नहीं, क्योंकि वायु प्रकाश परावर्तित नहीं कर सकती
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — केवल जब काँच में आपतन कोण sin⁻¹(1/1.5) से अधिक हो

    दोनों शर्तें पूरी होनी चाहिए, और यहाँ पहली पहले से पूरी है — प्रकाश घने से विरल की ओर जा रहा है — अतः शेष कोण है: उसे क्रांतिक कोण sin⁻¹(1/n) = sin⁻¹(0.667), लगभग 42°, से अधिक होना चाहिए। "प्रत्येक कोण पर" माध्यम की शर्त रखता है और कोण भूल जाता है, और यह प्रश्न उसी अपूर्ण उत्तर पर बना है। अभिलंबवत आपतन वह स्थिति है जहाँ प्रकाश बिना किसी विचलन के सीधा निकल जाता है, जो इस परिस्थिति का उलटा है। और अंतिम विकल्प भौतिकी का ग़लत वर्णन करता है: पूर्ण आंतरिक परावर्तन में प्रकाश वायु में प्रवेश ही नहीं करता, और परावर्तन सीमा पर काँच की ओर से होता है।

  4. जब प्रकाश वायु से जल में जाता है, तो कौन-सी राशि अपरिवर्तित रहती है?

    1. चाल
    2. आवृत्ति
    3. तरंगदैर्घ्य
    4. आयाम
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — आवृत्ति

    आवृत्ति स्रोत से तय होती है और सीमा पर बदल नहीं सकती, अतः वही अपरिवर्ती है; चाल c/n हो जाती है और तरंगदैर्घ्य उसी अनुपात में घटता है, इसीलिए v = fλ फिर भी संतुलित रहता है। अतः चाल व तरंगदैर्घ्य दोनों ग़लत हैं, और तरंगदैर्घ्य सर्वाधिक चुना जाने वाला ग़लत उत्तर है क्योंकि प्रकाश का रंग अपरिवर्तित लगता है — रंग आवृत्ति के साथ चलता है, माध्यम में तरंगदैर्घ्य के साथ नहीं। आयाम भी बदलता है, क्योंकि प्रकाश का कुछ भाग पृष्ठ पर परावर्तित हो जाता है और पारगमित तरंग कम ऊर्जा ले जाती है।

  5. बढ़ती आवृत्ति के क्रम में विद्युतचुंबकीय स्पेक्ट्रम है:

    1. गामा, X-किरण, पराबैंगनी, दृश्य, अवरक्त, माइक्रोवेव, रेडियो
    2. रेडियो, माइक्रोवेव, अवरक्त, दृश्य, पराबैंगनी, X-किरण, गामा
    3. रेडियो, अवरक्त, माइक्रोवेव, दृश्य, X-किरण, पराबैंगनी, गामा
    4. माइक्रोवेव, रेडियो, दृश्य, अवरक्त, पराबैंगनी, गामा, X-किरण
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — रेडियो, माइक्रोवेव, अवरक्त, दृश्य, पराबैंगनी, X-किरण, गामा

    रेडियो की आवृत्ति न्यूनतम और गामा की अधिकतम है, अवरक्त दृश्य पट्टी से ठीक नीचे और पराबैंगनी ठीक ऊपर। उलटी सूची वही क्रम बढ़ते तरंगदैर्घ्य के अनुसार है, और वही उत्तर वे अभ्यर्थी देते हैं जिन्हें क्रम ज्ञात है पर यह नहीं कि प्रश्न किस सिरे से पूछ रहा है — "बढ़ती" शब्द को सही राशि के सामने पढ़ना ही पूरा कार्य है। तीसरा विकल्प अवरक्त को माइक्रोवेव से और X-किरण को पराबैंगनी से बदल देता है। चौथा दोनों सिरों पर अक्रमित है।

  6. वह परिघटना जो प्रकाश को अनुप्रस्थ तरंग सिद्ध करती है:

    1. व्यतिकरण
    2. ध्रुवण
    3. विवर्तन
    4. अपवर्तन
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — ध्रुवण

    केवल अनुप्रस्थ तरंग ध्रुवित की जा सकती है, क्योंकि ध्रुवण कंपन को गति की दिशा के लंबवत एक ही तल तक सीमित करना है — और ध्वनि, अनुदैर्घ्य होने के कारण, ध्रुवित ही नहीं की जा सकती। व्यतिकरण व विवर्तन दोनों सिद्ध करते हैं कि प्रकाश तरंग है, जो दुर्बल दावा है, और वही विकल्प वह अभ्यर्थी चुनता है जिसे "तरंग प्रकृति" स्मरण है पर अनुप्रस्थ वाला अंश नहीं। अपवर्तन तरंग व कण दोनों चित्रों से भली-भाँति समझाया जाता है और किसी के विषय में कुछ तय नहीं करता।

  7. यंग का द्वि-झिरी उपकरण जल में डुबाया जाता है। वायु की तुलना में फ्रिंज चौड़ाई:

    1. बढ़ती है, क्योंकि जल प्रकाश की चाल घटाता है
    2. घटती है, क्योंकि जल में तरंगदैर्घ्य अपवर्तनांक के अनुपात में छोटा होता है
    3. वही रहती है, क्योंकि आवृत्ति नहीं बदलती
    4. घटती है, क्योंकि जल में झिरी-अंतर सिकुड़ जाता है
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — घटती है, क्योंकि जल में तरंगदैर्घ्य अपवर्तनांक के अनुपात में छोटा होता है

    β = λD/d माध्यम में तरंगदैर्घ्य पर निर्भर है, और λ_जल = λ_वायु/n, अतः फ्रिंज चौड़ाई उसी गुणक n से घटती है — जल के लिए वायु के लगभग तीन-चौथाई तक। प्रकाश की चाल घटना छोटे तरंगदैर्घ्य का कारण है, पर अकेले कहा जाए तो वह ग़लत दिशा दिखाता है और वही जाल है। "आवृत्ति नहीं बदलती इसलिए वही रहती है" सत्य पूर्वधारणा से असत्य निष्कर्ष है: फ्रिंज प्रतिरूप तरंगदैर्घ्य व पथांतर से तय होता है, आवृत्ति से नहीं। और अंतिम विकल्प गढ़ी हुई क्रियाविधि से सही दिशा पा लेता है — उपकरण सिकुड़ता नहीं, और यह महत्व रखता है क्योंकि ग़लत कारण से मिला सही उत्तर प्रश्न के अगले रूप में नहीं टिकेगा।

  8. 20 cm फोकस दूरी वाले अवतल दर्पण के सामने 30 cm पर एक वस्तु रखी जाती है। प्रतिबिंब है:

    1. आभासी, सीधा तथा दर्पण से 60 cm पीछे
    2. वास्तविक, उल्टा तथा दर्पण के सामने 60 cm पर, दो गुना आवर्धित
    3. वास्तविक, उल्टा तथा दर्पण के सामने 12 cm पर
    4. अनंत पर, क्योंकि वस्तु फोकस से परे है
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — वास्तविक, उल्टा तथा दर्पण के सामने 60 cm पर, दो गुना आवर्धित

    इस परिपाटी से कि आपाती प्रकाश के विरुद्ध दूरियाँ ऋणात्मक होती हैं, u = −30 तथा f = −20, अतः 1/v = 1/f − 1/u = −1/20 + 1/30 = −1/60 और v = −60 cm: दर्पण के सामने 60 cm, इसलिए वास्तविक। आवर्धन m = −v/u = −(−60)/(−30) = −2, अतः प्रतिबिंब उल्टा और दुगुने आकार का है — और f तथा 2f के बीच रखी वस्तु का यही मानक परिणाम है। आभासी वाला विकल्प v का चिह्न अनदेखा करता है। 12 cm व्युत्क्रमों को घटाने के बजाय जोड़ने से आता है। और प्रतिबिंब अनंत पर केवल तब होता है जब वस्तु ठीक फोकस पर हो, जो 30 cm नहीं है।