चुंबकत्व एवं विद्युतचुंबकीय प्रेरण — क्षेत्र, बल, फ्लक्स व प्रत्यावर्ती धारा

यह भाग चार NCERT अध्याय है और मन की एक आदत: धारा क्षेत्र बनाती है, क्षेत्र धारा को धकेलता है, और बदलता फ्लक्स ऐसा emf बनाता है जो परिवर्तन का विरोध करता है। CUET यहाँ जो भी पूछता है वह इन तीन में से किसी को किसी दिशा में पढ़ना है। प्रश्न व्युत्पत्तियाँ नहीं, मानक परिणाम व दिशाएँ हैं — वृत्तीय पाश के केंद्र पर क्षेत्र, तार पर बल, प्रेरित धारा गति का विरोध क्यों करती है, ट्रांसफ़ॉर्मर क्या संरक्षित रखता है और क्या बदलता है। सूत्रों से पहले दो बातें तय कर लेना उचित है: चुंबकीय बल गतिमान आवेश पर कभी कार्य नहीं करता, क्योंकि वह सदैव वेग के लंबवत होता है, और लेंज़ का नियम ऊर्जा संरक्षण है, रटने योग्य कोई पृथक नियम नहीं।

धाराओं से क्षेत्र, तथा उन पर बल

मानक परिणाम, तथा प्रत्येक कहाँ लागू है
स्थितिपरिणामटिप्पणी
लंबा सीधा तारB = μ₀I/(2πr)μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T m/A। दिशा दक्षिण-हस्त अंगुष्ठ नियम से: अंगूठा I के अनुदिश, अंगुलियाँ B के अनुदिश मुड़ती हैं।
वृत्तीय पाश का केंद्रB = μ₀I/(2R), तथा N फेरों हेतु μ₀NI/(2R)2R पर ध्यान दें, 2πR नहीं — पाश के लिए π कट जाता है और सीधे तार के लिए बचा रहता है।
लंबी परिनालिका के भीतरB = μ₀nI, जहाँ n प्रति एकांक लंबाई फेरेअक्ष के अनुदिश एकसमान और त्रिज्या से स्वतंत्र; दोनों सिरों पर आधा।
क्षेत्र में गतिमान आवेशF = qvB sin θ; त्रिज्या r = mv/(qB)v के B के समांतर होने पर शून्य। बल कोई कार्य नहीं करता, अतः चाल कभी नहीं बदलती — केवल दिशा।
क्षेत्र में धारावाही तारF = BIL sin θतार के B के लंबवत होने पर अधिकतम, उसके अनुदिश होने पर शून्य।
चुंबक के रूप में धारा-पाशआघूर्ण m = NIA; बलयुग्म τ = mB sin θक्षेत्र में विद्युत द्विध्रुव जैसा ही रूप, और यही सादृश्यता साथ ले जाने योग्य है।
⚠️ चुंबकीय बल कण की चाल नहीं बढ़ा सकता
क्योंकि F = qv × B सदैव v के लंबवत होता है, वह शून्य कार्य करता है: गतिज ऊर्जा व चाल नियत रहती हैं, और केवल दिशा बदलती है — इसीलिए एकसमान क्षेत्र में उसके लंबवत प्रवेश करने वाला आवेश mv/qB त्रिज्या का वृत्त बनाता है। जो विकल्प कहे कि क्षेत्र कण की ऊर्जा या चाल बढ़ाता है वह केवल इसी आधार पर ग़लत है। साइक्लोट्रॉन कणों की चाल बढ़ाता है, पर वहाँ कार्य डीज़ के बीच का प्रत्यावर्ती विद्युत क्षेत्र करता है, और चुंबकीय क्षेत्र केवल पथ को अगले धक्के के लिए मोड़कर लाता है।

प्रेरण, तथा जो प्रत्यावर्ती धारा वह देता है

फ़ैराडे: प्रेरित emf ε = −dφ/dt है, जहाँ φ = BA cos θ — अतः फ्लक्स बदलता है यदि B बदले, यदि क्षेत्रफल बदले, या यदि कुंडली घूमे। ऋण चिह्न लेंज़ का नियम है और वह ऊर्जा संरक्षण है: प्रेरित धारा सदैव उस परिवर्तन का विरोध करती है जिसने उसे उत्पन्न किया, इसीलिए ताँबे की नली में गिराया चुंबक धीरे गिरता है और इसीलिए जनित्र को घुमाते रहने के लिए कार्य करना पड़ता है। क्षेत्र के आर-पार v चाल से चलती L लंबाई की छड़ गतिजन्य emf ε = BLv देती है। स्व-प्रेरकत्व ऊर्जा U = ½LI² के रूप में संचित करता है, जो ½CV² का चुंबकीय जोड़ा है।

  • वर्ग-माध्य-मूल मान वही हैं जो मापी पढ़ता है: I_rms = I₀/√2 तथा V_rms = V₀/√2, अतः 220 V मेन का शिखर लगभग 311 V होता है। औसत शक्ति V_rms I_rms cos φ है, और cos φ शक्ति गुणांक।
  • प्रतिघात: प्रेरणिक X_L = 2πfL आवृत्ति के साथ बढ़ता है, धारिता X_C = 1/(2πfC) उसके साथ घटता है। अतः संधारित्र दिष्ट धारा रोकता है और उच्च आवृत्तियाँ पार करने देता है; प्रेरक उलटा करता है।
  • अनुनाद श्रेणी LCR परिपथ में X_L = X_C है, अतः f = 1/(2π√(LC)): तब प्रतिबाधा केवल R रहती है, धारा अधिकतम होती है, और शक्ति गुणांक 1।
  • शुद्ध प्रेरक या शुद्ध संधारित्र औसत शक्ति नहीं खपाता, क्योंकि कलांतर 90° है और cos 90° = 0। केवल प्रतिरोध व्यय करता है।
🧠 ट्रांसफ़ॉर्मर वोल्टता बदलता है, शक्ति नहीं
V_s/V_p = N_s/N_p और आदर्श ट्रांसफ़ॉर्मर के लिए V_p I_p = V_s I_s — अतः वोल्टता बढ़ाने पर धारा उसी अनुपात में घटती है, और शक्ति अपरिवर्तित रहती है। प्रश्नपत्र दो परिणाम पूछता है: ट्रांसफ़ॉर्मर दिष्ट धारा पर काम नहीं कर सकता, क्योंकि स्थिर धारा कोई बदलता फ्लक्स उत्पन्न नहीं करती; और उसकी हानियाँ नामित हैं — कुंडलनों में ताम्र हानि, भँवर धाराएँ (क्रोड को पटलित करके घटाई जाती हैं), शैथिल्य (मृदु लोहा चुनकर घटाया जाता है) तथा फ्लक्स रिसाव।

मुख्य बिंदु

  • लंबे तार के लिए B = μ₀I/2πr, पाश के केंद्र पर μ₀I/2R (2R, 2πR नहीं), और परिनालिका के भीतर μ₀nI। क्षेत्र में आवेश mv/qB त्रिज्या के वृत्त में चलता है।
  • चुंबकीय बल सदैव वेग के लंबवत होता है, अतः वह कोई कार्य नहीं करता: चाल व गतिज ऊर्जा नियत रहती हैं और केवल दिशा बदलती है। साइक्लोट्रॉन में त्वरण विद्युत क्षेत्र करता है।
  • ε = −dφ/dt, जहाँ φ = BA cos θ, और ऋण चिह्न लेंज़ का नियम है — ऊर्जा संरक्षण, कोई पृथक नियम नहीं। क्षेत्र के आर-पार चलती छड़ ε = BLv देती है, और प्रेरक ½LI² संचित करता है।
  • X_L = 2πfL आवृत्ति के साथ बढ़ता है और X_C = 1/2πfC घटता है, अनुनाद f = 1/2π√(LC) पर X_L = X_C है, और शुद्ध L या C औसत शक्ति नहीं खपाता। ट्रांसफ़ॉर्मर वोल्टता व धारा व्युत्क्रमानुपाती बदलता है, शक्ति अपरिवर्तित छोड़ता है, और दिष्ट धारा पर काम नहीं कर सकता।

अभ्यास प्रश्न (8)

उत्तर खोलने से पहले प्रत्येक प्रश्न हल करें। हर व्याख्या सही विकल्प के साथ लुभावना गलत विकल्प भी बताती है, क्योंकि अंक वहीं जाते हैं।

  1. N फेरों, R त्रिज्या तथा I धारा वाली वृत्तीय कुंडली के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र है:

    1. μ₀NI/(2πR)
    2. μ₀NI/(2R)
    3. μ₀NI/R
    4. μ₀NI/(4πR²)
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — μ₀NI/(2R)

    पाश के केंद्र पर बायो-सावर्ट के अंशदान सभी अक्ष के अनुदिश जुड़ते हैं और π कट जाता है, जिससे B = μ₀NI/2R बचता है। 2πR वाला रूप लंबे सीधे तार का सूत्र है जिसमें N लगा दिया गया है, और वही इस प्रकरण का सर्वाधिक सामान्य भ्रम है क्योंकि दोनों काग़ज़ पर एक जैसे दिखते हैं — पाश 2R रखता है और तार 2πr। μ₀NI/R वही पाश-परिणाम है जिसमें 2 का गुणक छूट गया। और अंतिम विकल्प में व्युत्क्रम-वर्ग निर्भरता है, जो इस पाठ्यक्रम में स्थिर धारा के किसी चुंबकीय क्षेत्र की नहीं है।

  2. एक आवेशित कण एकसमान चुंबकीय क्षेत्र में उसके लंबवत प्रवेश करता है। क्षेत्र:

    1. धनात्मक कार्य करता है, कण की चाल बढ़ाता है
    2. कोई कार्य नहीं करता, अतः चाल अपरिवर्तित रहती है और केवल दिशा मुड़ती है
    3. ऋणात्मक कार्य करता है, कण को विराम में ले आता है
    4. चली गई दूरी का qvB गुना कार्य करता है
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — कोई कार्य नहीं करता, अतः चाल अपरिवर्तित रहती है और केवल दिशा मुड़ती है

    चुंबकीय बल qv × B प्रत्येक क्षण वेग के लंबवत होता है, और विस्थापन के लंबवत बल शून्य कार्य करता है — अतः गतिज ऊर्जा व चाल नियत रहती हैं जबकि दिशा निरंतर बदलती है, जो mv/qB त्रिज्या का वृत्तीय पथ देती है। चाल बढ़ाने वाला धनात्मक कार्य वह है जो विद्युत क्षेत्र करता, और उसे यहाँ ले आना ही वह त्रुटि है जिस पर प्रश्न रखा गया है। कण को विराम में लाने के लिए v के विरुद्ध घटक वाला बल चाहिए। और अंतिम विकल्प बल गुणा दूरी निकाल लेता है यह देखे बिना कि उनके बीच का कोण 90° है, और ठीक इसी से गुणनफल लुप्त हो जाता है।

  3. एक छड़ चुंबक अपना उत्तरी ध्रुव नीचे रखते हुए ऊर्ध्वाधर ताँबे की नली से गिराया जाता है। वह गिरता है:

    1. मुक्त पतन से तेज़, क्योंकि ताँबा अचुंबकीय है
    2. मुक्त पतन से धीमे, क्योंकि प्रेरित धाराएँ उसकी गति का विरोध करती हैं
    3. ठीक गुरुत्वीय त्वरण से, क्योंकि ताँबे में स्थायी चुंबकत्व नहीं होता
    4. धीमे केवल तब जब नली लोहे की हो
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — मुक्त पतन से धीमे, क्योंकि प्रेरित धाराएँ उसकी गति का विरोध करती हैं

    गिरता चुंबक नली के प्रत्येक वलय से फ्लक्स बदलता है, जिससे भँवर धाराएँ प्रेरित होती हैं जिनका अपना क्षेत्र, लेंज़ के नियम से, परिवर्तन का विरोध करता है — ऊपर से चुंबक को आकर्षित और नीचे से प्रतिकर्षित करता, जो मंदक बल है। यह दृश्य रूप में ऊर्जा संरक्षण है: खोई गुरुत्वीय ऊर्जा ताँबे में ऊष्मा के रूप में प्रकट होती है। ताँबे का अचुंबकीय होना सत्य है और अप्रासंगिक, क्योंकि महत्व इसका है कि वह चालक है; वही ग़लत चरण "तेज़" व "ठीक g" दोनों विकल्प उत्पन्न करता है। और लोहा आकर्षण जोड़ देगा पर प्रभाव के लिए आवश्यक नहीं — प्रभाव को अच्छा चालक चाहिए।

  4. एक आदर्श ट्रांसफ़ॉर्मर 220 V को 2200 V तक बढ़ाता है। यदि प्राथमिक 5 A लेता है, तो द्वितीयक धारा है:

    1. 50 A
    2. 0.5 A
    3. 5 A
    4. 10 A
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — 0.5 A

    आदर्श ट्रांसफ़ॉर्मर शक्ति संरक्षित रखता है, अतः V_p I_p = V_s I_s: 220 × 5 = 1100 W, और 1100/2200 = 0.5 A। अतः वोल्टता दस गुना बढ़ाने पर धारा दस गुना घटती है — दोनों व्युत्क्रम रूप से चलते हैं, और 50 A वह उत्तर है जो उन्हें साथ चलाकर मिलता है, जो शून्य से शक्ति बना देगा। 5 A मान लेता है कि धारा अपरिवर्तित है, जो न आदर्श न वास्तविक ट्रांसफ़ॉर्मर के लिए सत्य है। और 10 A स्वयं फेरा-अनुपात है, प्रश्न की कोई धारा नहीं।

  5. 220 V (वर्ग-माध्य-मूल) प्रत्यावर्ती आपूर्ति का शिखर मान लगभग है:

    1. 220 V
    2. 311 V
    3. 156 V
    4. 440 V
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — 311 V

    V₀ = √2 × V_rms = 1.414 × 220 ≈ 311 V, अतः शिखर वर्ग-माध्य-मूल मान से अधिक है — और वर्ग-माध्य-मूल परिभाषा का प्रयोजन यही है, क्योंकि मापी अधिकतम नहीं, तुल्य स्थिर मान पढ़ता है। 156 V, 220/√2 है और गुणक उलटी ओर लगा देता है, जो यहाँ की सर्वाधिक सामान्य त्रुटि है। 220 V वह उत्तर होता यदि वर्ग-माध्य-मूल व शिखर समान होते, जो वे केवल स्थिर दिष्ट धारा के लिए हैं। और 440 V वर्ग-माध्य-मूल का दुगुना है, जो शिखर-से-शिखर मान को शिखर से मिला देने से आता है।

  6. श्रेणी LCR परिपथ में अनुनाद पर प्रतिबाधा तथा शक्ति गुणांक क्रमशः हैं:

    1. अधिकतम तथा शून्य
    2. R के बराबर तथा एक
    3. शून्य तथा एक
    4. X_L के बराबर तथा शून्य
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — R के बराबर तथा एक

    अनुनाद X_L = X_C की शर्त है, अतः प्रतिबाधा Z = √(R² + (X_L − X_C)²) में दोनों प्रतिघात निरस्त हो जाते हैं, जिससे Z = R बचता है — उसका न्यूनतम मान — धारा अधिकतम होती है और वोल्टता उसके साथ समान कला में, अतः cos φ = 1। "अधिकतम तथा शून्य" अनुनाद से दूर के श्रेणी परिपथ का वर्णन है और अनुनाद पर समांतर LCR परिपथ का सही वर्णन भी, इसीलिए वह लुभावना विकल्प है। शून्य प्रतिबाधा के लिए स्वयं R का लुप्त होना आवश्यक होता, जो अनुनाद नहीं करता। और Z का X_L के बराबर होना उस निरसन की उपेक्षा करता है जो अनुनाद को परिभाषित करता है।

  7. ट्रांसफ़ॉर्मर दिष्ट धारा आपूर्ति पर काम नहीं करेगा क्योंकि:

    1. दिष्ट धारा प्राथमिक कुंडलन से बह नहीं सकती
    2. स्थिर धारा स्थिर फ्लक्स देती है, और emf केवल बदलता फ्लक्स प्रेरित करता है
    3. लोहे की क्रोड दिष्ट धारा से चुंबकित नहीं हो सकती
    4. दिष्ट धारा का कोई वर्ग-माध्य-मूल मान नहीं होता जिसे बढ़ाया जाए
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — स्थिर धारा स्थिर फ्लक्स देती है, और emf केवल **बदलता** फ्लक्स प्रेरित करता है

    ट्रांसफ़ॉर्मर अन्योन्य प्रेरण से काम करता है, और फ़ैराडे का नियम emf केवल dφ/dt से देता है। स्थिर धारा स्थिर फ्लक्स बनाती है, dφ/dt शून्य है, और द्वितीयक कुछ नहीं पढ़ता — और उससे भी बुरा, प्रति-emf न होने पर प्राथमिक कम प्रतिरोध जैसा व्यवहार करता है और जल सकता है। दिष्ट धारा प्राथमिक से भली-भाँति बहती है, अतः पहला विकल्प तथ्यतः ग़लत है। दिष्ट धारा लोहे को अत्यंत प्रभावी रूप से चुंबकित करती है, और विद्युतचुंबक इसी से चलता है। और दिष्ट धारा का वर्ग-माध्य-मूल मान होता है, स्वयं उसके बराबर; अनुपस्थित सामग्री कोई मान नहीं, परिवर्तन है।

  8. 0.5 m लंबी चालक छड़ 0.2 T क्षेत्र के लंबवत 4 m/s से चलती है। उसके सिरों के बीच प्रेरित emf है:

    1. 0.1 V
    2. 0.4 V
    3. 4 V
    4. 1.6 V
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — 0.4 V

    गतिजन्य emf ε = BLv = 0.2 × 0.5 × 4 = 0.4 V है, और सूत्र इस सरल रूप में तभी टिकता है जब B, L व v परस्पर लंबवत हों, जो प्रश्न बताता है। 0.1 V गुणा करने के बजाय 4 से भाग देता है, और छोटी संख्याएँ उसी गणित-चूक को आमंत्रित करती हैं। 4 V चाल को वोल्टता के रूप में ले आता है, वह मात्रक-त्रुटि जिसे यह पूछकर पकड़ा जा सकता है कि तीनों गुणकों के 4 या उससे कम होने पर उत्तर BLv से बड़ा हो सकता है या नहीं। और 1.6 V, L को v से दो बार गुणा कर देता है, अर्थात् व्यवहार में v² प्रयोग करता है — विमीय जाँच उसे तुरंत बाहर कर देती है।