विद्युत धारा — प्रतिरोध, सेल, परिपथ व सेतु

विद्युत धारा इस प्रश्नपत्र का सर्वाधिक विश्वसनीय अंक देने वाला भाग है क्योंकि उसके प्रश्न लगभग सभी प्रतिस्थापन हैं। चार बार-बार आते हैं: श्रेणी-समांतर परिपथ को सरल कीजिए, V = IR या P = V²/R एक बार प्रयोग कीजिए, आंतरिक प्रतिरोध से टर्मिनल वोल्टता निकालिए, या व्हीटस्टोन सेतु अथवा विभवमापी की संतुलन शर्त लगाइए। CUET जो नहीं करता वह है ऐसा परिपथ रखना जिसमें तीन युगपत समीकरण चाहिए — वह JEE का स्तर है, और इस कोर्स का JEE अध्याय ही उसका स्थान है। यह अध्याय उन प्रतिस्थापनों के लिए लिखा है, शर्तों सहित: प्रतिरोधकता पदार्थ का गुण है और प्रतिरोध उस टुकड़े का, तथा अपवाह वेग अत्यल्प है जबकि संकेत नहीं।

प्रतिरोध, प्रतिरोधकता, और क्या किसके साथ बदलता है

R = ρL/A, और प्रश्नपत्र जो भेद परखता है वह यह है कि ρ पदार्थ का है जबकि R उस टुकड़े का: तार खींचिए और ρ अपरिवर्तित रहता है, पर L बढ़ता है व A घटता है, अतः R बढ़ता है। अपवाह वेग v_d = I/(nAe) है और वह प्रति सेकंड मिलीमीटर की कोटि का होता है — मानक प्रश्न पूछता है कि यदि इलेक्ट्रॉन इतने धीमे चलते हैं तो बल्ब तत्क्षण क्यों जलता है, और उत्तर यह है कि विद्युत क्षेत्र परिपथ भर में लगभग प्रकाश की चाल से स्थापित हो जाता है जबकि इलेक्ट्रॉन स्वयं धीरे अपवाहित होते हैं। चालक की प्रतिरोधकता ताप के साथ बढ़ती है; अर्धचालक की घटती है, और यही एक-पंक्ति विरोध CUET को पसंद है।

प्रश्नपत्र वास्तव में जो प्रतिस्थापन माँगता है
जैसे पूछा जाता हैप्रयोगध्यान देने योग्य
श्रेणी संयोजनR = R₁ + R₂ + …; धारा समानकुल सबसे बड़े प्रतिरोध से बड़ा होता है। वोल्टता प्रतिरोधों के अनुपात में बँटती है।
समांतर संयोजन1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …; वोल्टता समानकुल सबसे छोटे प्रतिरोध से छोटा होता है। समांतर में दो समान प्रतिरोध एक का आधा देते हैं।
प्रतिरोध में शक्तिP = VI = I²R = V²/Rनियत V पर V²/R लीजिए, अतः छोटा प्रतिरोध अधिक व्यय करता है; नियत I पर I²R, अतः बड़ा। पढ़िए कि कौन नियत है।
आंतरिक प्रतिरोध वाला सेलI = ε/(R + r), टर्मिनल V = ε − Irटर्मिनल वोल्टता emf के बराबर केवल खुले परिपथ में होती है, और उससे अधिक केवल सेल के आवेशित होते समय।
व्हीटस्टोन सेतुसंतुलित जब P/Q = R/Sसंतुलन पर धारामापी शून्य पढ़ता है और उसका अपना प्रतिरोध महत्वहीन हो जाता है — इसीलिए यह विधि परिशुद्ध है।
🧠 तार खींचना: n² का नियम
तार को उसकी लंबाई का n गुना खींचिए और उसका आयतन अपरिवर्तित रहता है, अतः क्षेत्रफल A/n हो जाता है। तब R = ρL/A बनता है ρ(nL)/(A/n) = n²R — दुगुनी लंबाई तक खींचने पर प्रतिरोध चार गुना, तिगुनी पर नौ गुना। वही तर्क उलटा चलाकर आधी लंबाई तक खींचा तार सँभल जाता है: R चौथाई हो जाता है। जो अभ्यर्थी केवल L बदलते हैं उन्हें 2R व 3R मिलते हैं, और वही विकल्प उनकी प्रतीक्षा में होते हैं।

सेलों का संयोजन, तथा दो सेतु-उपकरण

  • श्रेणी में सेल: emf जुड़ते हैं और आंतरिक प्रतिरोध जुड़ते हैं, अतः I = nε/(R + nr) — बाह्य प्रतिरोध बड़ा होने पर उपयोगी।
  • समांतर में सेल: emf ε ही रहता है जबकि आंतरिक प्रतिरोध r/n हो जाता है, अतः I = ε/(R + r/n) — बाह्य प्रतिरोध छोटा होने पर उपयोगी।
  • मीटर सेतु एकसमान तार वाला व्हीटस्टोन सेतु है: संतुलन पर R/S = l/(100 − l), जहाँ l एक सिरे से सेंटीमीटर में, और अज्ञात संतुलन-लंबाई से पढ़ा जाता है।
  • विभवमापी दो emf की तुलना ε₁/ε₂ = l₁/l₂ के रूप में करता है, और वह परिशुद्ध उपकरण ठीक इसलिए है कि संतुलन पर वह मापे जा रहे सेल से कोई धारा नहीं लेता — इसीलिए वह emf मापता है जबकि वोल्टमीटर टर्मिनल वोल्टता।
⚠️ विभवमापी वोल्टमीटर से क्यों बेहतर है
वोल्टमीटर, कितना ही अच्छा हो, कुछ धारा लेता है, अतः जिस सेल को वह मापता है उसमें भीतर Ir की हानि होती है और पाठ्यांक emf नहीं, टर्मिनल वोल्टता होता है। संतुलन पर विभवमापी शून्य धारा लेता है, अतः सेल के भीतर कुछ नहीं खोता और पाठ्यांक स्वयं emf होता है। जब प्रश्न पूछे कि विभवमापी क्यों वरीय है, तो अंकित उत्तर शून्य-धारा शर्त का नाम लेता है — "क्योंकि वह अधिक सुग्राही है" नहीं और "क्योंकि उसका प्रतिरोध अधिक है" नहीं, जो अधिक से अधिक परिणाम हैं।

मुख्य बिंदु

  • R = ρL/A, और ρ पदार्थ का है जबकि R उस टुकड़े का। तार को n गुना लंबाई तक खींचने पर R, n² गुना होता है, क्योंकि क्षेत्रफल उसी गुणक से घटता है जिससे लंबाई बढ़ती है।
  • श्रेणी प्रतिरोध जोड़ती है, धारा समान, और सबसे बड़े से अधिक देती है; समांतर व्युत्क्रम जोड़ता है, वोल्टता समान, और सबसे छोटे से कम देता है। नियत V पर छोटा प्रतिरोध अधिक शक्ति व्यय करता है, नियत I पर बड़ा।
  • आंतरिक प्रतिरोध सहित I = ε/(R + r) तथा टर्मिनल V = ε − Ir, अतः टर्मिनल वोल्टता emf के बराबर केवल खुले परिपथ में होती है। श्रेणी में सेल emf व r जोड़ते हैं; समांतर में emf वही रहता है और r, r/n हो जाता है।
  • व्हीटस्टोन सेतु P/Q = R/S पर संतुलित है, और संतुलन पर धारामापी का अपना प्रतिरोध महत्वहीन हो जाता है। विभवमापी टर्मिनल वोल्टता नहीं, emf मापता है क्योंकि संतुलन पर वह कोई धारा नहीं लेता।

अभ्यास प्रश्न (8)

उत्तर खोलने से पहले प्रत्येक प्रश्न हल करें। हर व्याख्या सही विकल्प के साथ लुभावना गलत विकल्प भी बताती है, क्योंकि अंक वहीं जाते हैं।

  1. R प्रतिरोध का तार एकसमान रूप से अपनी मूल लंबाई का दुगुना खींचा जाता है। उसका नया प्रतिरोध है:

    1. 2R
    2. 4R
    3. R/2
    4. R, क्योंकि पदार्थ नहीं बदला
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — 4R

    खींचने से आयतन अपरिवर्तित रहता है, अतः लंबाई दुगुनी होने पर अनुप्रस्थ काट आधी हो जाती है, और R = ρL/A बनता है ρ(2L)/(A/2) = 4R। 2R उत्तर देना लंबाई बदलता है और क्षेत्रफल भूल जाता है, जो इस प्रकरण की सर्वाधिक सामान्य त्रुटि है और इसीलिए वह पहले रखा गया है। R/2 क्षेत्रफल को ग़लत दिशा में बदलता है। और "R, क्योंकि पदार्थ नहीं बदला" प्रतिरोधकता को प्रतिरोध से मिला देता है: ρ वास्तव में नहीं बदलता, पर R तार के आयामों पर भी निर्भर है, और ठीक यही भेद इस प्रश्न का आधार है।

  2. 6 Ω के तीन प्रतिरोध समांतर में जोड़े जाते हैं। तुल्य प्रतिरोध है:

    1. 18 Ω
    2. 2 Ω
    3. 3 Ω
    4. 6 Ω
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — 2 Ω

    समांतर में n समान प्रतिरोधों का तुल्य R/n होता है, अतः 6/3 = 2 Ω। जाँच यह है कि समांतर तुल्य सबसे छोटी शाखा से छोटा होना चाहिए, जो 18 Ω (श्रेणी का उत्तर) व 6 Ω को तुरंत बाहर कर देता है। 3 Ω तीन के बजाय दो ऐसे प्रतिरोधों का उत्तर होता, और वह उस अभ्यर्थी की निकट-चूक है जो R/n में ग़लत n लगाता है। पूरा व्युत्क्रम सूत्र लगाना भी चलता है — 1/R = 1/6 + 1/6 + 1/6 = 1/2 — पर घड़ी R/n की विधि को पुरस्कृत करती है।

  3. 2 V emf तथा 0.5 Ω आंतरिक प्रतिरोध का सेल 1.5 Ω के प्रतिरोध से जोड़ा जाता है। टर्मिनल वोल्टता है:

    1. 2 V
    2. 1.5 V
    3. 1 V
    4. 0.5 V
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — 1.5 V

    धारा I = ε/(R + r) = 2/(1.5 + 0.5) = 1 A है, अतः टर्मिनल वोल्टता V = ε − Ir = 2 − 1 × 0.5 = 1.5 V है, जो IR = 1 × 1.5 भी है। 2 V उत्तर देना emf बता देता है और आंतरिक पात की उपेक्षा करता है, जो केवल खुले परिपथ में सही है जब कोई धारा नहीं बहती। 1 V ऐंपियर में धारा को वोल्टता के रूप में पढ़ लेना है, और यहाँ का गणित उस मात्रक-चूक को आमंत्रित करता है। और 0.5 V स्वयं आंतरिक पात Ir है, जिसे बताना नहीं, घटाना होता है।

  4. समान मेन वोल्टता के लिए अंकित 100 W व 60 W के दो बल्ब उसी आपूर्ति से समांतर में जोड़े जाते हैं। कौन अधिक चमकता है, और क्यों?

    1. 60 W का बल्ब, क्योंकि उसका प्रतिरोध अधिक है
    2. 100 W का बल्ब, क्योंकि समान वोल्टता पर P = V²/R और उसका प्रतिरोध कम है
    3. दोनों समान रूप से, क्योंकि उन पर वोल्टता समान है
    4. 60 W का बल्ब, क्योंकि वह अधिक धारा लेता है
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — 100 W का बल्ब, क्योंकि समान वोल्टता पर P = V²/R और उसका प्रतिरोध कम है

    समांतर में दोनों बल्बों को पूरी मेन वोल्टता मिलती है, अतः V नियत रखते हुए P = V²/R लागू होता है और कम प्रतिरोध वाला बल्ब अधिक व्यय करता है — 100 W का बल्ब, और उस वोल्टता पर उसका अंकन ठीक यही वचन देता है। 60 W के बल्ब का प्रतिरोध वास्तव में अधिक है, पर नियत वोल्टता पर वह उसे मंद बनाता है, अधिक चमकीला नहीं; विकल्प सत्य तथ्य कहता है और उससे ग़लत निष्कर्ष निकालता है। "दोनों समान" समान वोल्टता को समान शक्ति से मिला देता है। और 60 W का बल्ब कम धारा लेता है, क्योंकि I = V/R। श्रेणी में उत्तर पलट जाता है, जहाँ धारा समान होती है और P = I²R के कारण 60 W का बल्ब अधिक चमकता है — यही रूप इसके साथ स्मरण रखने योग्य है।

  5. भुजाओं P, Q, R व S वाले संतुलित व्हीटस्टोन सेतु में संतुष्ट शर्त है:

    1. P + Q = R + S
    2. P/Q = R/S
    3. PQ = RS
    4. P/R = S/Q
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — P/Q = R/S

    संतुलन का अर्थ है धारामापी से कोई धारा न बहना, जो तब होता है जब दोनों भुजा-अनुपात समान हों: P/Q = R/S। शर्त में योग का कोई स्थान नहीं, अतः पहला विकल्प केवल रूप देखकर हटाया जा सकता है। PQ = RS गुणनफल शर्त है जो अनुपात शर्त से नहीं निकलती — वह केवल उस विशेष स्थिति में सत्य है जहाँ भुजाएँ युग्मों में समान हों। P/R = S/Q सही संबंध को ग़लत ढंग से पुनर्व्यवस्थित करता है: सही शर्त का वज्र-गुणन PS = QR देता है, अतः तुल्य अनुपात-रूप P/R = Q/S है, S/Q नहीं, और वही बदलाव यहाँ जाल है।

  6. ताप बढ़ने पर धात्विक चालक तथा अर्धचालक की प्रतिरोधकता क्रमशः:

    1. घटती है और घटती है
    2. बढ़ती है और घटती है
    3. बढ़ती है और बढ़ती है
    4. घटती है और बढ़ती है
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — बढ़ती है और घटती है

    धातु में मुक्त इलेक्ट्रॉनों की संख्या लगभग नियत रहती है, अतः गर्म करने से केवल वे टकराव बढ़ते हैं जो उन्हें बाधित करते हैं और प्रतिरोधकता बढ़ती है। अर्धचालक में गर्म करने से अंतराल के आर-पार बहुत अधिक आवेश-वाहक मुक्त होते हैं, और वह वृद्धि अतिरिक्त प्रकीर्णन से भारी पड़ती है, अतः प्रतिरोधकता घटती है — इसीलिए अर्धचालक का ताप-गुणांक ऋणात्मक होता है। "घटती है और बढ़ती है" यही उत्तर ठीक उलटा है और वही ध्यान देने योग्य विकल्प, क्योंकि उसे वे अभ्यर्थी चुनते हैं जिन्हें स्मरण है कि दोनों विपरीत व्यवहार करते हैं पर यह नहीं कि किस ओर।

  7. सेल का emf मापने के लिए विभवमापी वोल्टमीटर से वरीय है क्योंकि:

    1. उसका प्रतिरोध वोल्टमीटर से कम होता है
    2. संतुलन पर वह सेल से कोई धारा नहीं लेता, अतः कोई आंतरिक पात नहीं होता
    3. वह प्रत्यावर्ती तथा दिष्ट वोल्टता दोनों माप सकता है
    4. उसका पैमाना लंबा होता है, अतः पाठ्यांक देखना सरल है
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — संतुलन पर वह सेल से कोई धारा नहीं लेता, अतः कोई आंतरिक पात नहीं होता

    वोल्टमीटर को विक्षेप के लिए कुछ धारा लेनी पड़ती है, अतः सेल में भीतर Ir की हानि होती है और जो पढ़ा जाता है वह टर्मिनल वोल्टता है, सदैव emf से कुछ कम। संतुलन पर विभवमापी शून्य धारा लेता है, सेल के भीतर कुछ नहीं खोता, और पाठ्यांक स्वयं emf होता है — विक्षेप विधि नहीं, शून्य विधि। कम प्रतिरोध जो सहायक होता उसका उलटा है और यहाँ सर्वथा असत्य। प्रत्यावर्ती वोल्टता का दावा मूल विभवमापी का गुण नहीं है। और लंबा पैमाना पाठ्यांक की परिशुद्धता सुधारता है, व्यवस्थित त्रुटि को छूता नहीं, और परखी जा रही पूरी बात वही है।

  8. स्विच बंद करने पर बल्ब लगभग तत्क्षण क्यों जल जाता है, जबकि इलेक्ट्रॉनों का अपवाह वेग केवल लगभग एक मिलीमीटर प्रति सेकंड होता है?

    1. क्योंकि तंतु के इलेक्ट्रॉन प्रकाश की चाल से चलते हैं
    2. क्योंकि विद्युत क्षेत्र पूरे परिपथ में लगभग प्रकाश की चाल से स्थापित हो जाता है, और प्रत्येक इलेक्ट्रॉन एक ही साथ अपवाहित होने लगता है
    3. क्योंकि तंतु में धारा अत्यधिक होती है
    4. क्योंकि स्विच बंद होने से पहले ही तंतु में इलेक्ट्रॉन संचित रहते हैं
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — क्योंकि विद्युत क्षेत्र पूरे परिपथ में लगभग प्रकाश की चाल से स्थापित हो जाता है, और प्रत्येक इलेक्ट्रॉन एक ही साथ अपवाहित होने लगता है

    स्विच बंद करने से विद्युत क्षेत्र पूरे चालक में लगभग प्रकाश की चाल से स्थापित हो जाता है, और वही क्षेत्र तार के प्रत्येक इलेक्ट्रॉन को एक ही साथ अपवाहित करने लगता है — उनको भी जो तंतु में पहले से हैं। अतः प्रकाश तत्क्षण दिखता है, यद्यपि कोई एक इलेक्ट्रॉन स्विच से बल्ब तक जाने में घंटों लेगा। इलेक्ट्रॉनों का प्रकाश की चाल से चलना प्रश्न की ही पूर्वधारणा का खंडन करता है और द्रव्यमान वाले कण के लिए असंभव है। बड़ी धारा न आवश्यक है न क्रियाविधि। और तंतु में मुक्त इलेक्ट्रॉन पहले से होते ही हैं, जो सत्य है पर स्वयं कुछ नहीं समझाता: वे अपवाहित होना तभी आरंभ करते हैं जब क्षेत्र पहुँचता है, और क्षेत्र का पहुँचना ही उत्तर है।