स्थिर विद्युतिकी — आवेश, क्षेत्र, विभव व संधारित्र

स्थिर विद्युतिकी CUET भौतिकी प्रश्नपत्र का सबसे बड़ा एकल भाग है और सर्वाधिक सूत्र-आधारित, जो उसे पहले सुरक्षित करने योग्य भाग बनाता है। लगभग प्रत्येक प्रश्न चार आकारों में से एक है: सूत्र से क्षेत्र या बल, गाउस नियम से फ्लक्स, तुल्य धारिता, या परावैद्युत डालने पर क्या होता है। इस स्तर पर इनमें से किसी को दो पंक्तियों से अधिक हल की आवश्यकता नहीं। आवश्यकता उस शर्त की है जो प्रत्येक सूत्र से जुड़ी है — चादर का सूत्र अनंत चादर के लिए है, कोश का परिणाम कोश के भीतर के बिंदुओं के लिए है, परावैद्युत का उत्तर इस पर निर्भर है कि बैटरी जुड़ी है या नहीं — और अंक वहीं हिलते हैं।

बल, क्षेत्र व गाउस का नियम

कूलॉम का नियम F = kq₁q₂/r² है, जिसमें k = 9 × 10⁹ N m²/C² तथा ε₀ = 8.85 × 10⁻¹² C²/N m², और परावैद्युतांक K के माध्यम में बल घटकर F/K हो जाता है। क्षेत्र प्रति एकांक आवेश बल है, E = F/q, अतः बिंदु आवेश E = kq/r² देता है, जो धनावेश से दूर की ओर होता है। इसके बाद गाउस का नियम प्रत्येक सममित वितरण एक पंक्ति में सँभाल लेता है: किसी भी बंद पृष्ठ से फ्लक्स q_परिबद्ध/ε₀ है, इससे स्वतंत्र कि आवेश भीतर कहाँ है और बाहर कोई आवेश है या नहीं।

CUET जो क्षेत्र-परिणाम पूछता है, प्रत्येक की आवश्यक शर्त सहित
वितरणक्षेत्रजाँचने योग्य शर्त
बिंदु आवेशE = kq/r²व्युत्क्रम वर्ग। r दुगुना करने पर E चार से भाग होता है, दो से नहीं।
आवेश की अनंत रेखाE = λ/(2πε₀r)r की प्रथम घात का व्युत्क्रम, और यही इस स्थिति का पूरा प्रयोजन है।
अनंत आवेशित चादरE = σ/(2ε₀)दूरी से स्वतंत्र। चालक के पृष्ठ पर 2 हट जाता है, जहाँ E = σ/ε₀।
आवेशित चालक कोशबाहर: kq/r²। भीतर: शून्य।बाहर वह केंद्र पर रखे बिंदु आवेश जैसा व्यवहार करता है; भीतर कोई क्षेत्र नहीं, कोश का आवेश कुछ भी हो।
विद्युत द्विध्रुव, p = q × 2aअक्ष पर: 2kp/r³। निरक्ष पर: kp/r³, विपरीत दिशा में।व्युत्क्रम घन, और समान r पर अक्षीय क्षेत्र निरक्षीय का दुगुना।
🧠 एकसमान क्षेत्र में द्विध्रुव: बलयुग्म हाँ, बल नहीं
दोनों आवेश समान व विपरीत हैं, अतः एकसमान क्षेत्र में बल निरस्त हो जाते हैं और निवल बल शून्य रहता है जबकि बलयुग्म बचा रहता है: τ = pE sin θ, 90° पर अधिकतम और 0° या 180° पर शून्य। स्थितिज ऊर्जा U = −pE cos θ है, अतः 0° स्थायी संतुलन और 180° अस्थायी। असमान क्षेत्र में बल निरस्त नहीं होते और निवल बल भी होता है — इसीलिए प्रश्न में "एकसमान" शब्द कार्य कर रहा है।

विभव, तथा संधारित्र जैसे प्रश्नपत्र उन्हें रखता है

बिंदु आवेश के लिए विभव V = kq/r है और वह अदिश है, अतः अनेक आवेशों के विभव चिह्न सहित जुड़ते हैं और कोई घटक नहीं — इसीलिए उन्हीं आवेशों वाला विभव-प्रश्न सामान्यतः क्षेत्र-प्रश्न से तेज़ होता है। आवेश को ले जाने में किया गया कार्य W = qΔV है, अतः समविभव पृष्ठ पर चलने में कुछ नहीं लगता, और समविभव पृष्ठ सदैव क्षेत्र-रेखाओं के लंबवत होते हैं। चालक के भीतर क्षेत्र शून्य होता है और पूरा चालक एक ही विभव पर रहता है, तथा उसका सारा आवेश बाहरी पृष्ठ पर।

  • C = Q/V, और समांतर-पट्टिका संधारित्र हेतु C = ε₀A/d — अतः धारिता केवल ज्यामिति पर निर्भर है, उस पर रखे आवेश की मात्रा पर नहीं।
  • श्रेणी में, 1/C = 1/C₁ + 1/C₂ और प्रत्येक पर आवेश समान; समांतर में, C = C₁ + C₂ और प्रत्येक पर वोल्टता समान। यह प्रतिरोधों का उलटा है, और प्रश्नपत्र उसी भ्रम पर भरोसा करता है।
  • ऊर्जा U = ½CV² = ½QV = Q²/2C है। रूपांतरण करने के बजाय वह रूप चुनिए जिसकी दोनों राशियाँ प्रश्न वास्तव में देता है।
  • परावैद्युतांक K का परावैद्युत धारिता को गुणा करता है: C = KC₀। इसके बाद Q बदलता है या V, यह बैटरी पर निर्भर है, और वही अगली टिप्पणी है।
⚠️ परावैद्युत का प्रश्न एक शब्द पर घूमता है: जुड़ी
बैटरी जुड़ी रहने पर V बैटरी से नियत है, अतः C K गुना बढ़ता है, Q = CV K गुना बढ़ता है, और ऊर्जा ½CV² K गुना बढ़ती है। बैटरी हटा देने पर Q पट्टिकाओं पर बंद है, अतः C K गुना बढ़ता है, V = Q/C K गुना घटता है, और ऊर्जा Q²/2C K गुना घटती है। वही पट्ट, विपरीत उत्तर — कुछ भी गणना करने से पहले प्रश्न में "बैटरी से जुड़ा" या "पृथक" पढ़िए।

मुख्य बिंदु

  • क्षेत्र बिंदु आवेश के लिए 1/r², अनंत रेखा के लिए 1/r के रूप में घटता है, और अनंत चादर (σ/2ε₀) के लिए दूरी के साथ घटता ही नहीं। आवेशित चालक कोश के भीतर क्षेत्र ठीक शून्य है।
  • गाउस: बंद पृष्ठ से फ्लक्स q_परिबद्ध/ε₀ है — इससे स्वतंत्र कि आवेश भीतर कहाँ है और बाहर के प्रत्येक आवेश से। द्विध्रुव का क्षेत्र 1/r³ के रूप में चलता है, और समान r पर अक्षीय क्षेत्र निरक्षीय का दुगुना।
  • संधारित्र प्रतिरोधों के उलटे हैं: श्रेणी में व्युत्क्रम जुड़ते हैं और आवेश समान, समांतर में सीधे जुड़ते हैं और वोल्टता समान। ऊर्जा ½CV² = ½QV = Q²/2C।
  • परावैद्युत C को सदैव K गुना करता है। बैटरी जुड़ी हो तो नियत V पर Q व ऊर्जा K गुना बढ़ते हैं; हटा दी हो तो नियत Q पर V व ऊर्जा K गुना घटते हैं।

अभ्यास प्रश्न (8)

उत्तर खोलने से पहले प्रत्येक प्रश्न हल करें। हर व्याख्या सही विकल्प के साथ लुभावना गलत विकल्प भी बताती है, क्योंकि अंक वहीं जाते हैं।

  1. 3 µF व 6 µF के संधारित्र श्रेणी में जोड़े जाते हैं। तुल्य धारिता है:

    1. 9 µF
    2. 2 µF
    3. 4.5 µF
    4. 18 µF
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — 2 µF

    श्रेणी में व्युत्क्रम जुड़ते हैं: 1/C = 1/3 + 1/6 = 1/2, अतः C = 2 µF। ध्यान दें कि परिणाम दोनों संधारित्रों से छोटा है, और श्रेणी संयोजन की यही शीघ्र जाँच है। 9 µF उत्तर देना उन्हें सीधे जोड़ता है, जो समांतर का नियम है और इस प्रकरण की सर्वाधिक सामान्य त्रुटि, क्योंकि वह प्रतिरोध की आदत यहाँ ले आई जाती है। 4.5 µF समांतर माध्य है और किसी नियम से नहीं आता। 18 µF योग के बिना गुणनफल है, अर्थात् गुणनफल-बटा-योग की विधि का आधा।

  2. एकसमान आवेशित चालक गोलीय कोश के भीतर किसी बिंदु पर विद्युत क्षेत्र होता है:

    1. kq/r², जहाँ r केंद्र से मापी गई
    2. शून्य
    3. kq/R², जहाँ R कोश की त्रिज्या
    4. σ/ε₀, बाहर की ओर
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — शून्य

    कोश के भीतर कहीं भी खींचा गया गाउसीय पृष्ठ कोई आवेश परिबद्ध नहीं करता, अतः फ्लक्स और इसलिए क्षेत्र शून्य है — सारा आवेश स्वयं कोश पर रहता है। kq/r² बाहर का क्षेत्र है, जहाँ कोश केंद्र पर रखे बिंदु आवेश जैसा व्यवहार करता है, और वही उत्तर वे अभ्यर्थी देते हैं जो बाहर का सूत्र सर्वत्र लगा देते हैं। kq/R² ठीक पृष्ठ पर का मान है, भीतर का नहीं। और σ/ε₀ चालक के पृष्ठ के तुरंत बाहर का क्षेत्र है, जो फिर भिन्न स्थान है — यह प्रश्न वस्तुतः यही पूछ रहा है कि तीनों क्षेत्र अलग रखे जा रहे हैं या नहीं।

  3. एक बंद पृष्ठ +3q तथा −q आवेश परिबद्ध करता है। एक अन्य आवेश +5q उसके बाहर है। पृष्ठ से कुल विद्युत फ्लक्स है:

    1. 7q/ε₀
    2. 2q/ε₀
    3. 4q/ε₀
    4. शून्य, क्योंकि आवेश विपरीत चिह्न के हैं
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — 2q/ε₀

    गाउस का नियम केवल परिबद्ध आवेश गिनता है, बीजगणितीय रूप से: (+3q) + (−q) = 2q, अतः फ्लक्स 2q/ε₀ है और बाहर का +5q कुछ नहीं देता — उसका क्षेत्र पृष्ठ में एक ओर से प्रवेश करता है और दूसरी ओर से निकल जाता है। 7q/ε₀ बाहर का आवेश सम्मिलित कर लेता है, और यही त्रुटि पकड़ने के लिए यह प्रश्न बना है। 4q/ε₀ परिमाण चिह्न के बिना जोड़ देता है। और शून्य के लिए परिबद्ध आवेशों का योग शून्य होना चाहिए, जो +3q व −q नहीं है।

  4. किसी बिंदु आवेश को समविभव पृष्ठ पर ले जाने में किया गया कार्य है:

    1. qV के बराबर, जहाँ V पृष्ठ का विभव
    2. शून्य
    3. आवेश की गतिज ऊर्जा के परिवर्तन के बराबर
    4. अधिकतम, क्योंकि समविभव के अनुदिश क्षेत्र प्रबलतम होता है
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — शून्य

    कार्य W = qΔV है, और समविभव पृष्ठ पर ΔV परिभाषा से शून्य है, अतः पथ कितना ही लंबा हो, कार्य नहीं होता। qV वाला विकल्प आवेश को अनंत से उस पृष्ठ तक लाने का कार्य निकालता है, जो भिन्न यात्रा है और सर्वाधिक लुभावना ग़लत उत्तर। कार्य को गतिज ऊर्जा के परिवर्तन के बराबर कहना यह मान लेता है कि आवेश स्वतंत्र है और कोई अन्य बल नहीं लगता, जिनमें से कुछ भी प्रश्न नहीं कहता। और अंतिम विकल्प ज्यामिति उलट देता है: क्षेत्र सदैव समविभव के लंबवत होता है, अतः पथ के अनुदिश उसका घटक ही नहीं होता।

  5. 2 µF का संधारित्र 100 V तक आवेशित किया जाता है। उसमें संचित ऊर्जा है:

    1. 0.02 J
    2. 0.01 J
    3. 2 × 10⁻⁴ J
    4. 1 J
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — 0.01 J

    U = ½CV² = ½ × 2 × 10⁻⁶ × (100)² = ½ × 2 × 10⁻⁶ × 10⁴ = 0.01 J। ½ का गुणक छोड़ देने पर 0.02 J मिलता है, जो सर्वाधिक सामान्य चूक है और इसीलिए वह विकल्प पहले रखा गया है। 2 × 10⁻⁴ J, CV है, अर्थात् आवेश, ऊर्जा नहीं, और केवल मात्रक ही उसे बाहर कर देते हैं। और 1 J दो घात-क्रम दूर है, जो सामान्यतः µ उपसर्ग के ग़लत प्रयोग से आता है — 1 µF, 10⁻⁶ F है, अतः माइक्रोफ़ैरड व वोल्ट वाला प्रश्न जूल में नहीं, जूल के सौवें भागों में आता है।

  6. एक समांतर-पट्टिका संधारित्र बैटरी से जुड़ा रहता है जबकि उसकी पट्टिकाओं के बीच परावैद्युतांक K का पट्ट डाला जाता है। कौन-सा कथन सही है?

    1. आवेश वही रहता है और विभवांतर K गुना घटता है
    2. विभवांतर वही रहता है और आवेश K गुना बढ़ता है
    3. आवेश व विभवांतर दोनों K गुना बढ़ते हैं
    4. कोई नहीं बदलता, क्योंकि पट्ट केवल स्थान भरता है
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — विभवांतर वही रहता है और आवेश K गुना बढ़ता है

    जब तक बैटरी जुड़ी है वह V नियत रखती है, अतः C के KC होने पर आवेश Q = CV, K गुना बढ़ता है और संचित ऊर्जा ½CV² भी K गुना, और अतिरिक्त ऊर्जा बैटरी से आती है। पहला विकल्प इस प्रश्न के दूसरे रूप का सही उत्तर है, जहाँ बैटरी हटा दी गई है और Q बंद है — दोनों उत्तर दर्पण-रूप हैं और प्रश्न का "जुड़ा" शब्द ही उनमें से चुनाव करता है। V नियत रखने वाली बैटरी के साथ दोनों का साथ बढ़ना असंभव है। और "कोई नहीं बदलता" इसकी उपेक्षा करता है कि पट्ट ध्रुवित होकर प्रभावी क्षेत्र घटाता है, और धारिता उसी को मापती है।

  7. दो आवेश निर्वात में F बल से आकर्षित करते हैं। यदि दूरी आधी कर दी जाए और उनके बीच का स्थान परावैद्युतांक 2 के माध्यम से भर दिया जाए, तो बल हो जाएगा:

    1. 8F
    2. 2F
    3. 4F
    4. F/2
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — 2F

    बल 1/(K r²) के रूप में चलता है, अतः दोनों परिवर्तन विपरीत दिशाओं में कार्य करते हैं: r आधी करने पर बल 4 गुना होता है, और परावैद्युतांक 2 उसे 2 से भाग देता है, जो 4F/2 = 2F देता है। 8F उत्तर देना 4 से गुणा करके फिर 2 से गुणा कर देता है, भाग नहीं, जो माध्यम को बल बढ़ाने वाला मान लेता है जबकि परावैद्युत सदैव बल घटाता है। 4F केवल दूरी का परिवर्तन लगाता है और माध्यम की उपेक्षा करता है। और F/2 केवल माध्यम लगाता है और दूरी की उपेक्षा — प्रत्येक ग़लत विकल्प दो प्रभावों में से ठीक एक छोड़ देता है।

  8. एक विद्युत द्विध्रुव एकसमान विद्युत क्षेत्र में क्षेत्र से 90° पर रखा जाता है। उस पर निवल बल तथा बलयुग्म क्रमशः हैं:

    1. 2qE तथा शून्य
    2. शून्य तथा pE
    3. शून्य तथा शून्य
    4. qE तथा pE/2
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — शून्य तथा pE

    एकसमान क्षेत्र में दोनों समान व विपरीत आवेशों पर बल ठीक-ठीक निरस्त हो जाते हैं, अतः निवल बल शून्य है, जबकि वे जो बलयुग्म बनाते हैं वह τ = pE sin 90° = pE देता है, जो अधिकतम बलयुग्म है। 2qE वाला विकल्प दोनों बलों को निरस्त करने के बजाय जोड़ देता है, जो केवल असमान क्षेत्र में सही होता जहाँ वे भिन्न होते हैं। शून्य बलयुग्म 0° या 180° का है, जहाँ द्विध्रुव संरेखित होता है। और qE के साथ pE/2 एक आवेश के बल को उस अर्ध-कोण से मिला देता है जो यहाँ किसी सूत्र में नहीं आता।