CAT गहराई पर समय, चाल व दूरी तथा समय व कार्य

अंकगणितीय शब्द-समस्याएँ बाईस QA प्रश्नों में से तीन से पाँच देती हैं, और समय–चाल–दूरी तथा समय व कार्य उनका सबसे बड़ा भाग है। MCQ पर +3/−1 और TITA पर कोई ऋणात्मक अंकन न होने के कारण ये वे प्रश्न हैं जहाँ ध्यान से पढ़ने वाला परीक्षार्थी वे अंक कमाता है जो तेज़ पर असावधान परीक्षार्थी खो देता है। एकीकृत विचार एक ही समीकरण है, मात्रा = दर × समय: गति हेतु दूरी = चाल × समय और श्रम हेतु कार्य = कार्यक्षमता × समय। इस अध्याय का प्रत्येक परिणाम — औसत चाल हेतु हरात्मक माध्य, कार्य हेतु LCM विधि, वृत्ताकार पथ पर मिलन-बिंदुओं की गिनती, घड़ी की सुइयों के संपात के बीच 65 5/11 मिनट — वही एक समीकरण एक नियत मात्रा पर लगाया गया है। प्रत्येक हल उदाहरण को उसके अनुपात के लिए पढ़ें, संख्याओं के लिए नहीं, क्योंकि CAT संख्याएँ बदलता है और अनुपात वही रखता है।

समानुपातिकता, इकाइयाँ व औसत चाल

दूरी = चाल × समय में तीन समानुपातिकताएँ हैं। दूरी नियत हो तो चाल व समय व्युत्क्रमानुपाती हैं: चाल का अनुपात 4 : 5 समय का अनुपात 5 : 4 अनिवार्य कर देता है। समय नियत हो तो दूरी चाल के अनुक्रमानुपाती है। चाल नियत हो तो दूरी समय के अनुक्रमानुपाती है। अधिकांश CAT प्रश्न एक नियत मात्रा शब्दों में बताते हैं ("वही मार्ग", "वे एक साथ चले") और अपेक्षा करते हैं कि आप बिना कहे समानुपातिकता पहचान लें।

रूपांतरण और औसत चाल की दो स्थितियाँ
स्थितिनियमजाँच
किमी/घं → मी/से5/18 से गुणा करें72 किमी/घं = 72 × 5/18 = 20 मी/से
मी/से → किमी/घं18/5 से गुणा करें15 मी/से = 15 × 18/5 = 54 किमी/घं
समान दूरियाँ, चाल a व bऔसत = 2ab/(a + b), हरात्मक माध्य60 व 40 → 2 × 60 × 40/100 = 48
समान समय, चाल a व bऔसत = (a + b)/2, समांतर माध्य60 व 40 → 50
तीन समान दूरियाँ, चाल a, b, cऔसत = 3abc/(ab + bc + ca)20, 30, 60 → 3 × 36000/(600 + 1800 + 1200) = 30
  • हल उदाहरण (देर व जल्दी)। 4 किमी/घं चलकर एक छात्रा विद्यालय 10 मिनट देर से पहुँचती है; 5 किमी/घं पर 5 मिनट पहले। विद्यालय कितनी दूर है? समान दूरी d पर दोनों यात्राओं में 15 मिनट = 1/4 घंटे का अंतर है, अतः d/4 − d/5 = 1/4। बायाँ पक्ष d/20 है, अतः d = 20/4 = 5 किमी। जाँच: 5/4 घं = 75 मिनट और 5/5 घं = 60 मिनट, अंतर 15 मिनट ✓
  • हल उदाहरण (हरात्मक माध्य क्यों)। एक कार 120 किमी 60 किमी/घं से जाती है और 40 किमी/घं से लौटती है। जाने का समय = 120/60 = 2 घं; लौटने का = 120/40 = 3 घं; कुल दूरी 240 किमी 5 घंटे में, अतः औसत चाल 240/5 = 48 किमी/घं। सूत्र 2ab/(a + b) = 4800/100 = 48 भी वही देता है। समांतर माध्य 50 गलत है क्योंकि कार धीमी चाल पर अधिक समय बिताती है, जो औसत को नीचे खींचता है।
  • हल उदाहरण (चाल में प्रतिशत परिवर्तन)। यदि चाल 25% बढ़े तो वह मूल की 5/4 हो जाती है, अतः समान दूरी पर समय मूल का 4/5 हो जाता है — 20% की कमी, 25% नहीं। प्रतिशत को सदा भिन्न में बदलें, उसे उलटें, और उलटी भिन्न से नया प्रतिशत पढ़ें।
⚠️ समांतर-माध्य का जाल
जब भी दो चालें समान दूरी तय करें, उनका औसत हरात्मक माध्य 2ab/(a + b) होता है, जो सदा (a + b)/2 से कम है। विकल्पों में समांतर माध्य ठीक इसलिए रखा होता है कि आधा कक्ष उसे चुन लेगा। समांतर माध्य केवल तब लगाएँ जब दोनों चालें समान समय तक रखी गई हों।

सापेक्ष चाल — रेलगाड़ियाँ, नावें व धाराएँ

विपरीत दिशाओं में चलती दो वस्तुएँ अपनी चालों के योग से एक-दूसरे के निकट आती हैं; समान दिशा में तेज़ वस्तु धीमी पर अंतर की दर से आगे बढ़ती है। रेलगाड़ियों, नावों, वृत्ताकार पथों और घड़ी की सुइयों के बारे में सब कुछ यही एक वाक्य है। रेलगाड़ियों हेतु तय की जाने वाली दूरी वह लंबाई है जो एक नियत बिंदु से गुज़रनी है: खंभे को पार करती रेलगाड़ी अपनी लंबाई तय करती है; प्लेटफ़ॉर्म या पुल को पार करते हुए अपनी लंबाई व प्लेटफ़ॉर्म की लंबाई का योग; एक-दूसरे को पार करती दो रेलगाड़ियाँ दोनों लंबाइयों का योग अपनी सापेक्ष चाल से तय करती हैं।

  • हल उदाहरण (खंभा व प्लेटफ़ॉर्म)। 150 मी लंबी रेलगाड़ी 54 किमी/घं = 54 × 5/18 = 15 मी/से से चलती है। वह खंभे को 150/15 = 10 से में पार करती है। 300 मी के प्लेटफ़ॉर्म को (150 + 300)/15 = 450/15 = 30 से में। जो परीक्षार्थी रेलगाड़ी की लंबाई जोड़ना भूल जाए उसे 20 से मिलता है, जो विकल्पों में होगा।
  • हल उदाहरण (दो रेलगाड़ियाँ)। 120 मी व 180 मी की रेलगाड़ियाँ 54 किमी/घं व 90 किमी/घं से चलती हैं। विपरीत दिशाएँ: सापेक्ष चाल 144 किमी/घं = 40 मी/से, दूरी 300 मी, समय 300/40 = 7.5 से। समान दिशा: सापेक्ष चाल 36 किमी/घं = 10 मी/से, समय 300/10 = 30 से। वही लंबाइयाँ, वही चालें, पार करने का समय चार गुना — दिशा का शब्द ही पूरा प्रश्न है।
  • चलते व्यक्ति को पार करती रेलगाड़ी। 200 मी की 60 किमी/घं वाली रेलगाड़ी की दिशा में 6 किमी/घं से चलते व्यक्ति को वह सापेक्ष चाल 54 किमी/घं = 15 मी/से से, 200/15 = 13⅓ से में पार करती है। व्यक्ति की कोई लंबाई नहीं; केवल रेलगाड़ी की गिनी जाती है।
  • नाव व धारा। शांत जल में नाव की चाल b और धारा की चाल s हो तो: अनुकूल चाल D = b + s, प्रतिकूल चाल U = b − s। अतः b = (D + U)/2 और s = (D − U)/2। यदि नाव अनुकूल 12 किमी/घं व प्रतिकूल 8 किमी/घं चले, तो b = 10 और s = 2।
  • हल उदाहरण (आना-जाना)। b = 10 व s = 2 के साथ 24 किमी की आना-जाना यात्रा 24/12 + 24/8 = 2 + 3 = 5 घं लेती है। कुल 48 किमी को शांत-जल चाल से भाग देने पर 4.8 घं मिलता है, जो गलत है: धारा कभी निरस्त नहीं होती, क्योंकि नाव उससे लड़ने में उस पर सवारी करने से अधिक समय बिताती है। आना-जाना की औसत चाल 48/5 = 9.6 किमी/घं = (b² − s²)/b, सदा b से कम।
  • समय-अनुपात चाल-अनुपात देते हैं। यदि समान दूरी पर नाव प्रतिकूल जाने में अनुकूल का दुगुना समय ले, तो U : D = 1 : 2, अतः (b − s) : (b + s) = 1 : 2, जिससे b + s = 2b − 2s और b = 3s। शांत-जल चाल धारा की तिगुनी है — किसी दूरी की आवश्यकता नहीं।
🧠 गणना से पहले रूपांतरण
जब लंबाइयाँ मीटर में और चालें किमी/घं में हों, पहली ही पंक्ति में 5/18 से चाल को मी/से में बदलें। CAT के प्रश्नकर्ता 54, 72, 90 व 144 किमी/घं जैसी चालें ठीक इसलिए चुनते हैं कि वे पूर्णांक 15, 20, 25 व 40 मी/से बन जाती हैं — यदि आपके रूपांतरण से गड़बड़ दशमलव निकले, तो संभवतः आपने कोई संख्या गलत पढ़ी है।

वृत्ताकार पथ, दौड़ें, एस्केलेटर व घड़ियाँ

लंबाई L के वृत्ताकार पथ पर दो धावक पहली बार तब मिलते हैं जब तेज़ धावक धीमे पर ठीक एक चक्कर आगे हो जाए (समान दिशा) या दोनों मिलकर एक चक्कर तय कर लें (विपरीत दिशाएँ)। वे प्रारंभिक बिंदु पर एक साथ तब होते हैं जब प्रत्येक पूर्ण संख्या में चक्कर लगा ले — उनके अलग-अलग चक्कर-समयों का LCM। और भिन्न मिलन-बिंदुओं की संख्या केवल उनकी चालों के न्यूनतम अनुपात a : b पर निर्भर है: समान दिशा में a − b और विपरीत दिशाओं में a + b।

600 मी पथ पर दो धावक: A 5 मी/से, B 3 मी/से, एक साथ प्रारंभ
प्रश्नसमान दिशाविपरीत दिशाएँ
कहीं भी पहला मिलनL/(5 − 3) = 600/2 = 300 सेL/(5 + 3) = 600/8 = 75 से
प्रारंभिक बिंदु पर पहला मिलनLCM(600/5, 600/3) = LCM(120, 200) = 600 सेवही: 600 से — दिशा का प्रभाव नहीं
भिन्न मिलन-बिंदु5 − 3 = 2 (300 मी पर और प्रारंभ पर)5 + 3 = 8, परस्पर 75 मी दूर
प्रारंभ पर एक साथ लौटने से पहले मिलन600/300 = 2600/75 = 8
  • दौड़ें व अग्रिम दूरी। "100 मी की दौड़ में A, B को 10 मी से हराता है" का अर्थ है जब A 100 दौड़े तब B 90 दौड़ता है, अतः चालें 10 : 9। "A, B को 20 मी की शुरुआत देता है और दोनों साथ समाप्त करते हैं" का अर्थ A 100 दौड़ता है जब B 80: चालें 5 : 4। हल उदाहरण। 100 मी में A, B को 10 मी से हराता है; 200 मी में B, C को 20 मी से। 100 मी में A, C को कितने से हराता है? A : B = 100 : 90 = 10 : 9 और B : C = 200 : 180 = 10 : 9, अतः A : C = 100 : 81। जब A 100 मी पूरे करे, C 81 मी दौड़ा है — A 19 मी से जीतता है, 20 नहीं, क्योंकि दो 10% अंतर चक्रवृद्धि होते हैं।
  • एस्केलेटर — सीढ़ियों का मॉडल। मानें एस्केलेटर में N दृश्य सीढ़ियाँ हैं और वह e सीढ़ी प्रति सेकंड चलता है। p सीढ़ी प्रति सेकंड से t सेकंड नीचे उतरने वाला व्यक्ति N = pt + et = (p + e)t सीढ़ियाँ तय करता है यदि एस्केलेटर उसके साथ चले, और N = (p − e)t यदि विरुद्ध चले। हल उदाहरण। नीचे जाते एस्केलेटर पर उतरते हुए एक व्यक्ति 30 सेकंड में 30 सीढ़ियाँ लेता है। तिगुनी तेज़ी से चलने पर वह 60 सीढ़ियाँ लेता है। एस्केलेटर में कितनी सीढ़ियाँ हैं? पहली यात्रा: N = 30 + 30e। दूसरी यात्रा: 3 सीढ़ी/से पर 60 सीढ़ियाँ 20 से लेती हैं, अतः N = 60 + 20e। बराबर करें: 30 + 30e = 60 + 20e, अतः 10e = 30, e = 3 सीढ़ी/से और N = 30 + 90 = 120 सीढ़ियाँ। दूसरी यात्रा से जाँच: 60 + 20 × 3 = 120 ✓
  • घड़ी एक वृत्ताकार पथ है। मिनट की सुई 6° प्रति मिनट और घंटे की सुई 0.5° प्रति मिनट चलती है, अतः मिनट की सुई 5.5° प्रति मिनट आगे बढ़ती है। सुइयाँ हर 360/5.5 = 720/11 = 65 5/11 मिनट में संपाती होती हैं, इसीलिए 12 घंटों में वे केवल 11 बार (दिन में 22 बार) मिलती हैं, 12 नहीं। वे हर 180/11 मिनट में समकोण पर होती हैं — 12 घंटों में 22 बार। हल उदाहरण। 3 और 4 बजे के बीच सुइयाँ कब संपाती होंगी? 3:00 पर घंटे की सुई 90° आगे है; अंतर 5.5°/मिनट से घटता है, अतः समय 90/5.5 = 180/11 = 3 बजकर 16 4/11 मिनट। और 4:20 पर कोण |4 × 30 + 20 × 0.5 − 20 × 6| = |130 − 120| = 10°।
🎯 ये चार विषय एक विषय क्यों हैं
वृत्ताकार पथ, दौड़, एस्केलेटर और घड़ी का डायल सभी एक ही प्रश्न पूछते हैं: एक वस्तु दूसरी पर कितनी तेज़ी से आगे बढ़ती है, और कितना अंतर पाटना है? "अंतर ÷ सापेक्ष चाल" लिख लेने पर समस्या अंकगणित रह जाती है। जो परीक्षार्थी प्रत्येक हेतु अलग सूत्र रटते हैं वे संबंध खो देते हैं और समय-दबाव में सूत्र भी।

समय व कार्य — LCM विधि, मज़दूरी व पाइप

कुल कार्य को अलग-अलग समयों का LCM मानें; तब प्रत्येक कर्मी की कार्यक्षमता प्रति दिन पूर्ण इकाइयाँ होती है, और हर प्रश्न जोड़ बन जाता है। यदि A 12 दिन और B 18 दिन लेता है, तो कार्य 36 इकाई मानें: A प्रति दिन 3 इकाई करता है, B 2। साथ मिलकर वे प्रति दिन 5 करते हैं और 36/5 = 7.2 दिन में समाप्त करते हैं। विकल्प, 1/12 + 1/18 = 5/36 जोड़कर उलटना, वही गणना भिन्नों के साथ है और उसमें फिसलने के अधिक स्थान हैं।

  • हल उदाहरण (एक छोड़ जाता है)। ऊपर के A व B 4 दिन साथ काम करते हैं, फिर A छोड़ जाता है। 4 दिनों में वे 4 × 5 = 20 इकाई पूरी करते हैं; शेष 16 इकाई अकेले B की, 2 प्रति दिन, जिसमें 16/2 = 8 और दिन लगते हैं। कुल 12 दिन।
  • कार्यक्षमता अनुपात। "A, B से दुगुना कार्यकुशल है" का अर्थ है B जब 1 इकाई करे तब A 2 करता है। यदि साथ मिलकर वे 12 दिन में समाप्त करें, तो 3 इकाई/दिन × 12 = 36 इकाई कार्य, अतः अकेला B 36/1 = 36 दिन और अकेला A 36/2 = 18 दिन लेता है। कार्यक्षमता व समय व्युत्क्रमानुपाती हैं: कार्यक्षमता 2 : 1 का अर्थ समय 1 : 2।
  • मज़दूरी किए गए कार्य के अनुसार, उपलब्ध दिनों के अनुसार नहीं। A एक कार्य 10 दिन में और B 15 दिन में कर सकता है; वे साथ मिलकर ₹1500 में करते हैं। कार्य = 30 इकाई; A 3/दिन, B 2/दिन, अतः A : B = 3 : 2 और A को 3/5 × 1500 = ₹900, B को ₹600। दिनों के अनुपात 10 : 15 में बाँटने पर A को ₹600 मिलता है — ठीक उलटा, क्योंकि धीमा कर्मी उसी कार्य के लिए अधिक नहीं कमा सकता।
  • एकांतर दिन — कौन शुरू करता है, यह महत्त्वपूर्ण है। A एक कार्य 10 दिन में, B 20 दिन में करता है; वे एकांतर दिनों पर काम करते हैं। कार्य = 20 इकाई, A = 2/दिन, B = 1/दिन, अतः प्रत्येक दो-दिवसीय चक्र 3 इकाई करता है। छह चक्र (12 दिन) 18 इकाई करते हैं, 2 शेष। यदि A ने शुरू किया, तो 13वाँ दिन A का है और वह 2 इकाई कर देता है: 13 दिन। यदि B ने शुरू किया, तो 13वाँ दिन B का (1 इकाई, 1 शेष) और 14वाँ A का, जिसे अंतिम इकाई हेतु आधा दिन चाहिए: 13.5 दिन।
पाइप व टंकी: भरना धनात्मक, खाली करना ऋणात्मक
पाइपअकेलाइकाई प्रति घंटा (टंकी = 24 इकाई)
A (भरने वाला)6 घं में भरता है+4
B (भरने वाला)8 घं में भरता है+3
C (रिसाव)12 घं में खाली करता है−2
तीनों खुले24/5 = 4.8 घं = 4 घं 48 मिनट4 + 3 − 2 = +5
  • हल उदाहरण (रिसाव ज्ञात करना)। एक पाइप टंकी 8 घं में भरता है, पर रिसाव खुला हो तो 10 घं लगते हैं। रिसाव अकेला भरी टंकी को खाली करने में कितना समय लेगा? टंकी = 40 इकाई; पाइप +5/घं देता है, रिसाव सहित पाइप 40/10 = +4/घं, अतः रिसाव −1/घं है और टंकी को 40 घं में खाली करता है। रिसाव छोटा ठीक इसलिए है कि उसने भरने को केवल 2 घंटे धीमा किया।
  • आंशिक भरी टंकी। यदि ऊपर की टंकी A, B व C खोलते समय पहले से एक-चौथाई भरी हो (24 में से 6 इकाई), तो केवल 18 इकाई शेष हैं, जिसमें 18/5 = 3.6 घं = 3 घं 36 मिनट लगते हैं। भाग देने से पहले जो पहले से भरा है उसे सदा घटाएँ।

श्रमिक-दिन व शृंखला नियम

जब कर्मियों की संख्या, प्रति दिन घंटे और कार्य का आकार सब एक साथ बदलें, तो शृंखला नियम लगाएँ: M₁D₁H₁/W₁ = M₂D₂H₂/W₂, जहाँ M कर्मियों की संख्या, D दिन, H प्रति दिन घंटे और W कार्य। यह और कुछ नहीं, "कार्य = कर्मियों की संख्या × समय × कार्यक्षमता" को समान प्रति-कर्मी कार्यक्षमता वाली दो स्थितियों हेतु लिखा गया है। राशि M × D × H श्रमिक-घंटों में मापी जाती है, और कार्य को उनकी एक नियत संख्या चाहिए, श्रम को आप कैसे भी व्यवस्थित करें।

  • हल उदाहरण (शृंखला नियम)। 12 पुरुष प्रति दिन 8 घंटे काम करके 240 मी दीवार 10 दिन में बनाते हैं। 16 पुरुष प्रति दिन 6 घंटे काम करके 360 मी दीवार बनाने में कितने दिन लेंगे? बायाँ पक्ष: 12 × 8 × 10/240 = 960/240 = 4 श्रमिक-घंटे प्रति मीटर। दायाँ पक्ष: 16 × 6 × D/360 = 96D/360। बराबर करें: 96D/360 = 4, अतः D = 4 × 360/96 = 1440/96 = 15 दिन। अनुपातों से जाँच: अधिक पुरुष (×12/16), लंबी दीवार (×360/240) और कम घंटे (×8/6): 10 × 12/16 × 360/240 × 8/6 = 10 × 0.75 × 1.5 × 4/3 = 15 ✓
  • पुरुष व महिलाएँ — एक इकाई में बदलें। 3 पुरुष या 5 महिलाएँ एक कार्य 12 दिन में कर सकते हैं। 6 पुरुष व 10 महिलाएँ कितना समय लेंगे? उत्पादन में 3 पुरुष = 5 महिलाएँ, अतः 6 पुरुष = 10 महिलाएँ, और 6 पुरुष + 10 महिलाएँ = 20 महिलाएँ = 5 महिलाओं के 4 समूह। ऐसे चार समूह 12/4 = 3 दिन में समाप्त करते हैं।
  • बीच में कर्मी जुड़ना — श्रमिक-दिन गिनें। एक समूह एक कार्य 30 दिन में कर सकता है। 10 दिन बाद 5 और कर्मी जुड़ते हैं और कार्य 15 और दिनों में पूरा हो जाता है। मूल समूह कितना बड़ा था? N कर्मियों के साथ कार्य 30N श्रमिक-दिन है। किया गया: 10N (पहला चरण) + 15(N + 5) (दूसरा चरण) = 25N + 75। अतः 30N = 25N + 75, 5N = 75, N = 15। जाँच: 15 × 30 = 450 श्रमिक-दिन; 10 × 15 + 15 × 20 = 150 + 300 = 450 ✓
ℹ️ किस प्रश्न हेतु कौन-सी विधि
जब नामित व्यक्तियों की दरें भिन्न हों (A, B, पाइप, रिसाव) तो LCM विधि लगाएँ। जब कर्मी एक-समान हों और केवल उनकी संख्या व घंटे बदलें तो श्रमिक-दिन। जब प्रश्न कहे "दुगुना कार्यकुशल" या "20% कम समय लेता है" तो कार्यक्षमता अनुपात। CAT का प्रत्येक समय व कार्य प्रश्न इन तीनों में से एक है, कभी-कभी दो क्रम से।

मुख्य बिंदु

  • समान दूरियों हेतु औसत चाल हरात्मक माध्य 2ab/(a + b) है; समांतर माध्य केवल समान समयों पर लागू होता है। मीटर में लंबाइयाँ छूने से पहले किमी/घं को 5/18 से मी/से में बदलें।
  • सापेक्ष चाल विपरीत दिशाओं में योग और समान दिशा में अंतर है; रेलगाड़ी खंभे के आगे अपनी लंबाई और प्लेटफ़ॉर्म या दूसरी रेलगाड़ी के आगे लंबाइयों का योग तय करती है।
  • वृत्ताकार पथ पर धावक पहली बार L/(सापेक्ष चाल) के बाद मिलते हैं, प्रारंभ पर चक्कर-समयों के LCM के बाद, और चाल-अनुपात a : b हेतु a − b (समान दिशा) या a + b (विपरीत) भिन्न बिंदुओं पर।
  • घड़ी की सुइयाँ 5.5° प्रति मिनट की सापेक्ष चाल की समस्या हैं: वे हर 65 5/11 मिनट में संपाती होती हैं, 12 घंटों में 11 बार।
  • कार्य को समयों का LCM मानें ताकि कार्यक्षमताएँ पूर्णांक हों; मज़दूरी कार्यक्षमताओं के अनुपात में बँटती है, दिनों के नहीं; रिसाव एक ऋणात्मक पाइप है; और जब कर्मी व घंटे दोनों बदलें, M₁D₁H₁/W₁ = M₂D₂H₂/W₂।

अभ्यास प्रश्न (8)

उत्तर खोलने से पहले प्रत्येक प्रश्न हल करें। हर व्याख्या सही विकल्प के साथ लुभावना गलत विकल्प भी बताती है, क्योंकि अंक वहीं जाते हैं।

  1. एक व्यक्ति नगर P से नगर Q तक 60 किमी/घं से जाता है और उसी सड़क से 40 किमी/घं से लौटता है। पूरी यात्रा हेतु उसकी औसत चाल है:

    1. 50 किमी/घं
    2. 45 किमी/घं
    3. 24 किमी/घं
    4. 48 किमी/घं
    उत्तर देखें

    उत्तर: D — 48 किमी/घं

    दोनों चरण समान दूरी तय करते हैं, अतः औसत हरात्मक माध्य 2ab/(a + b) = 2 × 60 × 40/(60 + 40) = 4800/100 = 48 किमी/घं है। ठोस दूरी से जाँच: प्रत्येक ओर 120 किमी जाने में 2 घं और लौटने में 3 घं, अतः 240 किमी 5 घं में = 48 किमी/घं। मान 50 चालों का समांतर माध्य है, जो केवल तब सही होता जब दोनों चालें समान समय तक रखी जातीं; मान 24 एक ओर की दूरी को आना-जाना के समय से भाग देता है (120/5), यह भूलकर कि 5 घंटों में 240 किमी तय हुए।

  2. दो रेलगाड़ियाँ, 120 मी व 180 मी लंबी, समांतर पटरियों पर 54 किमी/घं व 90 किमी/घं से विपरीत दिशाओं में चलती हैं। एक-दूसरे को पूर्णतः पार करने में उन्हें लगने वाला समय है:

    1. 7.5 से
    2. 12 से
    3. 30 से
    4. 3.75 से
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — 7.5 से

    विपरीत दिशाओं का अर्थ सापेक्ष चाल योग है, 54 + 90 = 144 किमी/घं = 144 × 5/18 = 40 मी/से। तय की जाने वाली दूरी दोनों लंबाइयों का योग है, 120 + 180 = 300 मी, अतः समय 300/40 = 7.5 से। मान 30 से चालों का अंतर 36 किमी/घं = 10 मी/से लेता है, जो समान-दिशा की स्थिति है; 12 से 300 मी को केवल तेज़ रेलगाड़ी की चाल 25 मी/से से भाग देता है; और 3.75 से संयुक्त लंबाई का केवल आधा लेता है, मानो केवल एक रेलगाड़ी की लंबाई गुज़रनी हो।

  3. A व B 600 मी लंबे वृत्ताकार पथ पर एक ही बिंदु से एक साथ चलना शुरू करते हैं और क्रमशः 5 मी/से व 3 मी/से से समान दिशा में दौड़ते हैं। पथ पर वे कितने भिन्न बिंदुओं पर मिलेंगे?

    1. 8
    2. 2
    3. 1
    4. 15
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — 2

    न्यूनतम अनुपात a : b = 5 : 3 की चालों से समान दिशा में दौड़ने पर भिन्न मिलन-बिंदुओं की संख्या a − b = 2 है। सत्यापन: वे पहली बार 600/(5 − 3) = 300 से बाद मिलते हैं, जब A 1500 मी = 2.5 चक्कर दौड़ा है, अतः मिलन 300 मी चिह्न पर; 600 से पर दूसरा मिलन A को 3000 मी = 5 चक्कर पर, वापस प्रारंभ पर, पाता है। वहाँ से पैटर्न दोहराता है, अतः केवल दो बिंदु ही प्रयुक्त होते हैं। मान 8, a + b है, विपरीत दिशाओं की गिनती; मान 1 मानता है कि वे केवल प्रारंभिक बिंदु पर मिलते हैं; और 15 चालों का गुणनफल है, जो कुछ नहीं गिनता।

  4. नीचे जाते एस्केलेटर पर उतरते हुए एक व्यक्ति 30 सीढ़ियाँ लेता है और 30 सेकंड में नीचे पहुँचता है। तिगुनी तेज़ी से चलने पर वह नीचे पहुँचने में 60 सीढ़ियाँ लेता है। स्थिर एस्केलेटर पर दृश्य सीढ़ियों की संख्या है:

    1. 60
    2. 90
    3. 120
    4. 150
    उत्तर देखें

    उत्तर: C — 120

    मानें एस्केलेटर e सीढ़ी प्रति सेकंड चलता है और उसमें N सीढ़ियाँ हैं। पहली यात्रा: 30 से तक 1 सीढ़ी/से, अतः N = 30 + 30e। दूसरी यात्रा: 3 सीढ़ी/से पर 60 सीढ़ियाँ 60/3 = 20 से लेती हैं, अतः N = 60 + 20e। बराबर करने पर 30 + 30e = 60 + 20e से e = 3 और N = 30 + 90 = 120। जाँच: 60 + 20 × 3 = 120 ✓। मान 90 दोनों सीढ़ी-गिनतियों को बस जोड़ देता है; 60 बड़ी सीढ़ी-गिनती को कुल मान लेता है, एस्केलेटर के योगदान की उपेक्षा करके; और 150 दूसरी यात्रा हेतु 30 से रखता है (60 + 30 × 3), उन 20 से के बजाय जो तेज़ चाल ने वास्तव में लिए।

  5. A एक कार्य 12 दिन में और B वही कार्य 18 दिन में पूरा कर सकता है। साथ मिलकर काम करते हुए वे उसे पूरा करेंगे:

    1. 7.2 दिन
    2. 15 दिन
    3. 30 दिन
    4. 6 दिन
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — 7.2 दिन

    कार्य को LCM(12, 18) = 36 इकाई मानें। A प्रति दिन 36/12 = 3 इकाई और B प्रति दिन 36/18 = 2 इकाई करता है, अतः साथ मिलकर वे प्रति दिन 5 इकाई करते हैं और 36/5 = 7.2 दिन में समाप्त करते हैं। मान 15 दोनों समयों का औसत है, और 30 उनका योग — दोनों का कोई अर्थ नहीं, क्योंकि दो व्यक्ति मिलकर अकेले तेज़ व्यक्ति से तेज़ समाप्त करेंगे ही, जो 12 से ऊपर के किसी भी उत्तर को खारिज कर देता है। मान 6 A के 12 दिनों को आधा करता है, मानो B ठीक A जितना तेज़ हो — पर B धीमा है, अतः संयुक्त समय 6 से अधिक होना ही चाहिए।

  6. A अकेला एक कार्य 10 दिन में और B अकेला 15 दिन में समाप्त कर सकता है। वे उसे साथ मिलकर समाप्त करते हैं और उन्हें कुल ₹1500 दिए जाते हैं। भुगतान में B का भाग है:

    1. ₹900
    2. ₹750
    3. ₹600
    4. ₹500
    उत्तर देखें

    उत्तर: C — ₹600

    मज़दूरी किए गए कार्य के अनुपात में बँटती है, जो कार्यक्षमताओं का अनुपात है। कार्य को 30 इकाई मानने पर A प्रति दिन 3 इकाई और B 2 करता है, अतः A : B = 3 : 2 और B को 2/5 × 1500 = ₹600 मिलते हैं। मान ₹900 A का भाग है — B के लिए यही मिलता है यदि आप दिनों के अनुपात 10 : 15 = 2 : 3 में बाँटें, जो धीमे कर्मी को पुरस्कृत करता है और ठीक उलटा है। मान ₹750 समान बँटवारा है, और ₹500 एक-तिहाई, 15 : 10 को 2 : 1 मानने से।

  7. पाइप A एक टंकी 6 घंटे में भरता है और पाइप B उसे 8 घंटे में भरता है, जबकि तल का एक रिसाव भरी टंकी को 12 घंटे में खाली कर सकता है। यदि दोनों पाइप व रिसाव एक साथ खुले हों, तो खाली टंकी भरती है:

    1. 3 घं 26 मिनट
    2. 4 घं 48 मिनट
    3. 4 घं 30 मिनट
    4. 8 घं
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — 4 घं 48 मिनट

    टंकी को LCM(6, 8, 12) = 24 इकाई मानें। A प्रति घंटा 4 इकाई जोड़ता है, B 3, और रिसाव 2 निकालता है, अतः शुद्ध दर 4 + 3 − 2 = 5 इकाई प्रति घंटा और टंकी 24/5 = 4.8 घं = 4 घं 48 मिनट में भरती है। मान 3 घं 26 मिनट रिसाव को तीसरा भरने वाला पाइप मानता है, 24/7 ≈ 3.43 घं; मान 8 घं रिसाव के बजाय B को घटाने से आता है, 4 − 3 + 2 = 3 इकाई प्रति घंटा; और 4 घं 30 मिनट 4.8 घं को 0.8 × 60 = 48 मिनट के बजाय 4 घंटे 30 मिनट पढ़ने की चूक है।

  8. 12 पुरुष प्रति दिन 8 घंटे काम करके 240 मी दीवार 10 दिन में बनाते हैं। 16 पुरुष प्रति दिन 6 घंटे काम करके उसी प्रकार की 360 मी दीवार बनाने में जितने दिन लेंगे, वह है:

    1. 10 दिन
    2. 11.25 दिन
    3. 20 दिन
    4. 15 दिन
    उत्तर देखें

    उत्तर: D — 15 दिन

    M₁D₁H₁/W₁ = M₂D₂H₂/W₂ लगाएँ: 12 × 8 × 10/240 = 16 × 6 × D/360। बायाँ पक्ष 960/240 = 4 है, अतः 96D/360 = 4 और D = 1440/96 = 15 दिन। मूल 10 दिनों से अनुपातों द्वारा: अधिक पुरुषों हेतु × 12/16, कम घंटों हेतु × 8/6, लंबी दीवार हेतु × 360/240 से 10 × 0.75 × 4/3 × 1.5 = 15 ✓। मान 10 भूल जाता है कि दीवार लंबी है (960 = 96D से D = 10); 11.25 प्रति दिन घंटों के परिवर्तन की उपेक्षा करता है (12 × 10/240 = 16 × D/360); और 20 दाएँ पक्ष में 16 के बजाय 12 पुरुष रखता है, यह भूलकर कि श्रमबल बढ़ा।