असमिकाएँ, उच्चिष्ठ–निम्निष्ठ व ठोसों की क्षेत्रमिति

असमिकाएँ व उच्चिष्ठ–निम्निष्ठ बाईस QA प्रश्नों में से दो से तीन देते हैं, और ठोसों की क्षेत्रमिति एक-दो और, अतः यह अध्याय खंड के लगभग दसवें भाग के बराबर है। असमिका-प्रश्न प्रायः वेश बदले गिनती-प्रश्न होते हैं — "x के कितने पूर्णांक मान संतुष्ट करते हैं…" — और उनमें से अनेक TITA के रूप में आते हैं, जहाँ गलत गिनती का कोई दंड नहीं पर सही गिनती 3 अंक देती है, अतः उन्हें सदा प्रयास करना चाहिए। उच्चिष्ठ–निम्निष्ठ प्रश्नों में कलन की आवश्यकता विरले ही होती है: समता-शर्त सहित AM ≥ GM, या पूर्ण वर्ग बनाना, लगभग सभी का उत्तर देता है। CAT गहराई पर ठोस क्षेत्रमिति का अर्थ सूत्र में मान रखना नहीं, बल्कि गलाना, पुनः ढालना, विमाएँ बढ़ाना और रँगे घन की गिनती है। प्रत्येक हल उदाहरण को उसकी समता-शर्त या क्रांतिक बिंदुओं के लिए पढ़ें, क्योंकि अंक वहीं तय होता है।

रैखिक व द्विघात असमिकाएँ

रैखिक असमिका समीकरण की तरह हल होती है, एक अपवाद के साथ: ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर चिह्न उलट जाता है। CAT जिस परिणाम का लाभ उठाता है वह यह कि आप कभी उस अज्ञात से भाग नहीं दे सकते जिसका चिह्न आप नहीं जानते। द्विघात हेतु गुणनखंड करें और मूलों से चिह्न पढ़ें: धनात्मक अग्रगुणांक के साथ ax² + bx + c मूलों के ठीक बीच ऋणात्मक और उनके बाहर धनात्मक है। ऋणात्मक अग्रगुणांक के साथ क्षेत्र अदल-बदल जाते हैं।

a > 0 पर ax² + bx + c का चिह्न (D = b² − 4ac)
विविक्तकरकहाँ ऋणात्मककहाँ धनात्मक
D > 0, मूल α < βα < x < βx < α या x > β
D = 0, द्वि-मूल αकहीं नहीं; केवल x = α पर शून्यप्रत्येक x ≠ α
D < 0, कोई वास्तविक मूल नहींकहीं नहींप्रत्येक वास्तविक x — न्यूनतम मान (4ac − b²)/4a
  • हल उदाहरण (बीच या बाहर)। x² − 5x + 6 < 0 का गुणनखंड (x − 2)(x − 3) < 0। मूल 2 व 3, धनात्मक अग्रगुणांक, कठोर असमिका: हल 2 < x < 3। उलटा प्रश्न x² − 5x + 6 > 0 का हल x < 2 या x > 3। संदेह हो तो एक बिंदु जाँचें: x = 2.5 पर 6.25 − 12.5 + 6 = −0.25 < 0 ✓
  • हल उदाहरण (पूर्णांक गिनना)। कितने पूर्णांक x² − 5x − 14 ≤ 0 को संतुष्ट करते हैं? गुणनखंड: (x − 7)(x + 2) ≤ 0, अतः −2 ≤ x ≤ 7, और असमिका अकठोर है अतः दोनों सिरे गिने जाते हैं। −2 से 7 तक के पूर्णांक: 7 − (−2) + 1 = 10। "+ 1" भूलने पर 9 मिलता है; असमिका को कठोर मानने पर 8।
  • पूर्ण वर्ग बनाना चरम मान और उसका स्थान दोनों देता है। x² − 6x + 13 = (x − 3)² + 4, और वर्ग कभी ऋणात्मक नहीं होता, अतः व्यंजक कम से कम 4 है, समता x = 3 पर। ऋणात्मक अग्रगुणांक के साथ वर्ग उच्चिष्ठ देता है: −2x² + 8x + 1 = −2(x − 2)² + 9 अधिकतम 9 है, x = 2 पर। द्विघातों हेतु उच्चिष्ठ–निम्निष्ठ बस यही है; कलन की आवश्यकता नहीं।
⚠️ x से कभी भाग न दें
2/x < 1 हल करें। दोनों पक्षों को x से गुणा करने पर 2 < x मिलता है, जो आधा उत्तर खो देता है: प्रत्येक ऋणात्मक x भी काम करता है, क्योंकि तब 2/x ऋणात्मक है और निश्चित ही 1 से कम। सुरक्षित मार्ग सब कुछ एक पक्ष में लाना है: 2/x − 1 < 0, अतः (2 − x)/x < 0, और अगले अनुभाग की चिह्न-योजना x < 0 या x > 2 देती है। "x > 2" पढ़ने वाला विकल्प उस हर व्यक्ति की प्रतीक्षा में होगा जिसने गुणा कर दिया।

तरंग-वक्र विधि व मापांक असमिकाएँ

परिमेय असमिका हेतु सब कुछ एक पक्ष में लाएँ ताकि वह P(x)/Q(x) ≤ 0 (या <, >, ≥) पढ़े, जहाँ P व Q दोनों धनात्मक अग्रगुणांक वाले रैखिक गुणनखंडों में हों। P व Q के प्रत्येक मूल को संख्या-रेखा पर अंकित करें — ये क्रांतिक बिंदु हैं। व्यंजक सबसे बड़े क्रांतिक बिंदु के दाएँ धनात्मक है, और विषम बहुलता के प्रत्येक क्रांतिक बिंदु को पार करते ही उसका चिह्न एकांतर होता है; (x − 1)² जैसे सम बहुलता के मूल पर वह नहीं बदलता। अंत में, असमिका अकठोर हो तो P के मूल शामिल करें, और Q के मूल सदा बाहर रखें, क्योंकि वहाँ व्यंजक अपरिभाषित है।

  • हल उदाहरण (मूल तरंग-वक्र)। (x − 1)(x − 4)/(x − 2) ≤ 0 हल करें। क्रांतिक बिंदु 1, 2, 4। x > 4 पर तीनों गुणनखंड धनात्मक: चिह्न +। 4 पार करते ही: (2, 4) पर −। 2 पार करते ही: (1, 2) पर +। 1 पार करते ही: (−∞, 1) पर −। हमें ≤ 0 चाहिए, अतः ऋणात्मक क्षेत्र लें और अंश के मूल जोड़ें: x ≤ 1 या 2 < x ≤ 4। बिंदु 2 बाहर है क्योंकि वहाँ हर शून्य है; 1 व 4 शामिल हैं क्योंकि अंश शून्य है और असमिका समता की अनुमति देती है।
  • हल उदाहरण (सम घात)। (x − 1)²(x − 3)/(x + 2) > 0 हल करें। क्रांतिक बिंदु −2, 1, 3। x > 3 पर: +। 3 पार करते ही: (1, 3) पर −। 1 पार करते ही, सम घात: (−2, 1) पर अब भी −। −2 पार करते ही: (−∞, −2) पर +। कठोर असमिका, अतः कोई क्रांतिक बिंदु शामिल नहीं, और विशेषतः x = 1 पर 0 मिलता है जो > 0 नहीं। हल: x < −2 या x > 3। (x − 1)² को साधारण गुणनखंड मानने से अंतराल (−2, 1) गलत रूप से जुड़ जाता।
  • दूरी के रूप में मापांक। |x − a| संख्या-रेखा पर x की a से दूरी है। अतः |x − a| < r का अर्थ a − r < x < a + r, और |x − a| > r का अर्थ x < a − r या x > a + r। उदाहरण: |x − 3| < 5 से −2 < x < 8, जिसमें 9 पूर्णांक −1, 0, …, 7 हैं। और |2x − 1| ≥ 3 विभाजित होता है 2x − 1 ≥ 3 या 2x − 1 ≤ −3 में, जिससे x ≥ 2 या x ≤ −1।
  • दो मापांक — दूरियों का योग। |x − 1| + |x − 3|, x से बिंदुओं 1 व 3 की कुल दूरी है। उनके बीच कहीं भी यह योग ठीक 2 है, और बाहर बढ़ता है, अतः न्यूनतम 2 है, [1, 3] के प्रत्येक x पर प्राप्त, किसी एक बिंदु पर नहीं। इसी प्रकार |x − 3| + |x − 7| ≤ 6: 3 व 7 के बीच योग 4 है (ठीक); x < 3 हेतु 10 − 2x ≤ 6, अतः x ≥ 2; x > 7 हेतु 2x − 10 ≤ 6, अतः x ≤ 8। हल 2 ≤ x ≤ 8, जिसमें 7 पूर्णांक हैं।
  • दाएँ पक्ष में चर सहित मापांक। |x − 2| < x का x ≤ 0 हेतु कोई हल नहीं (मापांक कभी अधनात्मक संख्या से कम नहीं होता)। x > 0 हेतु दोनों पक्षों का वर्ग सुरक्षित है: (x − 2)² < x², अतः −4x + 4 < 0, x > 1। हल x > 1।
🧠 बीजगणित नहीं, संख्या-रेखा पढ़ें
x घटा अचरों के मापांकों से बनी किसी भी असमिका हेतु अचरों को रेखा पर खींचें और पूछें "x प्रत्येक से कितनी दूर है"। |x − 3| + |x − 7| ≤ 6 का उत्तर बिना बीजगणित दिखता है: दोनों बिंदु 4 दूर हैं, अतः कुल दूरी 6, x को प्रत्येक सिरे से 1 इकाई बाहर भटकने देती है, जिससे [2, 8]।

AM ≥ GM ≥ HM व उच्चिष्ठ–निम्निष्ठ

धनात्मक संख्याओं हेतु समांतर माध्य, गुणोत्तर माध्य से कम नहीं, जो हरात्मक माध्य से कम नहीं: दो संख्याओं हेतु (a + b)/2 ≥ √(ab) ≥ 2ab/(a + b), समता ठीक तब जब a = b। 4 व 16 हेतु तीनों माध्य 10, 8 व 6.4 हैं। यह असमिका कलन के बिना चरम मान निकालने का CAT-उपकरण है, और समता-शर्त बताती है कि चरम कहाँ होता है — जो सामान्यतः वास्तविक प्रश्न होता है।

मानक परिणाम
दिया हैपरिणामसमता कब
नियत योग a + b = Sगुणनफल ab अधिकतम S²/4a = b = S/2
नियत गुणनफल ab = Pयोग a + b कम से कम 2√Pa = b = √P
x > 0x + 1/x ≥ 2 तथा x + k/x ≥ 2√kx = 1, या x = √k
कोई भी वास्तविक a, ba² + b² ≥ 2aba = b
धनात्मक a, b(a + b)(1/a + 1/b) ≥ 4a = b
कॉशी–श्वार्ज़(a² + b²)(c² + d²) ≥ (ac + bd)²a/c = b/d
  • हल उदाहरण (भारित योग नियत)। धनात्मक x व y, 2x + 3y = 12 संतुष्ट करते हैं। xy का अधिकतम ज्ञात करें। दो पदों 2x व 3y पर AM ≥ GM लगाएँ: (2x + 3y)/2 ≥ √(2x · 3y), अतः 6 ≥ √(6xy), 36 ≥ 6xy और xy ≤ 6। समता हेतु 2x = 3y = 6, अर्थात x = 3, y = 2, और वास्तव में 3 × 2 = 6 ✓। चूक है योग-नियत नियम को सीधे x व y पर लगाना, जो 36 देता है, पर यहाँ x + y नियत नहीं है।
  • हल उदाहरण (नियत गुणनफल)। x > 0 हेतु x + 4/x का न्यूनतम करें। दोनों पदों का गुणनफल x × 4/x = 4, नियत, अतः योग कम से कम 2√4 = 4, समता जब x = 4/x, अर्थात x = 2। जाँच x = 2: 2 + 2 = 4 ✓; x = 1: 1 + 4 = 5 > 4 ✓
  • हल उदाहरण (कॉशी–श्वार्ज़)। x² + y² = 25 के अधीन 3x + 4y का अधिकतम करें। कॉशी–श्वार्ज़ से (3x + 4y)² ≤ (3² + 4²)(x² + y²) = 25 × 25 = 625, अतः 3x + 4y ≤ 25, समता जब x/3 = y/4, जिससे बिंदु (3, 4)। ज्यामितीय रूप से यह वह अधिकतम दूरी है जहाँ तक रेखा 3x + 4y = c को त्रिज्या 5 के वृत्त को स्पर्श करते हुए धकेला जा सकता है।
  • पूर्णांक हलों की गिनती। x + y + z = 10 के धनात्मक पूर्णांक हलों की संख्या C(10 − 1, 3 − 1) = C(9, 2) = 36; अऋणात्मक हलों की C(10 + 2, 2) = C(12, 2) = 66। निचली सीमा प्रतिस्थापन से समाहित होती है: x ≥ 3 वाले धनात्मक हलों हेतु x = x′ + 2 रखें जहाँ x′ ≥ 1, अतः x′ + y + z = 8 और गिनती C(7, 2) = 21। x ≤ 4 जैसी ऊपरी सीमा पूरक गिनकर निपटती है: कुल घटा वे हल जिनमें x ≥ 5।
🎯 समता-शर्त ही उत्तर क्यों है
AM ≥ GM केवल एक सीमा देता है; वह उच्चिष्ठ या निम्निष्ठ तभी बनती है जब सीमा वास्तव में प्राप्त हो, और वह ठीक तब प्राप्त होती है जब औसत लिए गए पद बराबर हों। जब भी असमिका लगाएँ, समता-शर्त लिखें और जाँचें कि वह प्रतिबंध के अनुकूल है। यदि पद बराबर न किए जा सकें — मान लें क्योंकि x पूर्णांक होना चाहिए — तो वास्तविक चरम निकटतम संभव बिंदु पर है, सीमा पर नहीं।

ठोसों की क्षेत्रमिति — सूत्र-समुच्चय

आयतन व पृष्ठीय क्षेत्रफल (CSA = वक्र या पार्श्व पृष्ठ, TSA = कुल)
ठोसआयतनपृष्ठ
घन, कोर aa³TSA 6a²; विकर्ण a√3
घनाभ l × b × hlbhTSA 2(lb + bh + hl); विकर्ण √(l² + b² + h²)
बेलन, त्रिज्या r, ऊँचाई hπr²hCSA 2πrh; TSA 2πr(r + h)
शंकु, त्रिज्या r, ऊँचाई h, तिर्यक l = √(r² + h²)⅓πr²hCSA πrl; TSA πr(l + r)
गोला, त्रिज्या r(4/3)πr³4πr²
अर्धगोला, त्रिज्या r(2/3)πr³CSA 2πr²; TSA 3πr²
शंकु का छिन्नक, त्रिज्याएँ R व r, ऊँचाई h, तिर्यक l = √(h² + (R − r)²)⅓πh(R² + Rr + r²)CSA π(R + r)l; TSA में πR² + πr² जोड़ें
प्रिज़्म (कोई आधार), ऊँचाई hआधार क्षेत्रफल × hपार्श्व क्षेत्रफल = आधार परिमाप × h
पिरामिड (कोई आधार), ऊँचाई h⅓ × आधार क्षेत्रफल × hपार्श्व क्षेत्रफल = ½ × आधार परिमाप × तिर्यक ऊँचाई
  • हल उदाहरण (शंकु)। एक शंकु की आधार-त्रिज्या 6 सेमी व ऊँचाई 8 सेमी है। तिर्यक ऊँचाई √(36 + 64) = √100 = 10 सेमी — 3-4-5 त्रिक का दोगुना। CSA = π × 6 × 10 = 60π सेमी²; TSA = π × 6 × (10 + 6) = 96π सेमी²; आयतन = ⅓ × π × 36 × 8 = 96π सेमी³। यहाँ आयतन व TSA संख्यात्मक रूप से मेल खाते हैं, जो इन विमाओं का संयोग है, नियम नहीं। आम गलती CSA = πrh = 48π है, तिर्यक ऊँचाई के बजाय ऊँचाई लेकर।
  • हल उदाहरण (छिन्नक)। एक बाल्टी त्रिज्याओं 6 सेमी व 3 सेमी और ऊँचाई 4 सेमी का छिन्नक है। तिर्यक ऊँचाई l = √(4² + (6 − 3)²) = √(16 + 9) = 5 सेमी। CSA = π(6 + 3) × 5 = 45π सेमी²। आयतन = ⅓ × π × 4 × (36 + 18 + 9) = ⅓ × π × 4 × 63 = 84π सेमी³। मध्य पद Rr छोड़ने पर ⅓ × π × 4 × 45 = 60π मिलता है, छिन्नक की सबसे आम गलती।
  • हल उदाहरण (कमरे में सबसे लंबी छड़)। 12 मी × 9 मी × 8 मी के कमरे में समाने वाली सबसे लंबी सीधी छड़ घनाभ का विकर्ण है, √(144 + 81 + 64) = √289 = 17 मी। फ़र्श पर सबसे लंबी छड़ केवल फ़र्श का विकर्ण √(144 + 81) = 15 मी है — पढ़ें कि प्रश्न कौन-सी चाहता है।
  • हल उदाहरण (वर्ग पिरामिड)। एक पिरामिड का आधार भुजा 6 का वर्ग व ऊँचाई 4 है। आधार-कोर के मध्य बिंदु तक तिर्यक ऊँचाई √(4² + 3²) = 5, अतः पार्श्व क्षेत्रफल 4 × (½ × 6 × 5) = 60, और आयतन ⅓ × 36 × 4 = 48। पार्श्व क्षेत्रफल में तिर्यक ऊँचाई 5 के स्थान पर ऊँचाई 4 लेने पर 48 मिलता है — एक गलत क्षेत्रफल जो संयोग से सही आयतन के बराबर है, अतः विकल्प वास्तव में भ्रामक हो सकते हैं।
ℹ️ तिर्यक ऊँचाई एक समकोण त्रिभुज है
इस तालिका की प्रत्येक तिर्यक ऊँचाई उस समकोण त्रिभुज का कर्ण है जिसकी भुजाएँ आप पहले से जानते हैं: शंकु हेतु r व h, छिन्नक हेतु (R − r) व h, वर्ग पिरामिड हेतु आधी आधार-कोर व h। प्रश्नकर्ता भुजाएँ 3-4-5, 5-12-13 या 8-15-17 त्रिक बनाने हेतु चुनते हैं, अतः जो तिर्यक ऊँचाई पूर्णांक न हो वह पुनः जाँच का संकेत है।

विमा-परिवर्तन, गलाना व पुनः ढालना, रँगे घन

जब ठोस की प्रत्येक रैखिक विमा को k से गुणा किया जाए, तो प्रत्येक क्षेत्रफल k² से और आयतन k³ से गुणित होता है। गोले की त्रिज्या दुगुनी करने पर उसका पृष्ठ 4 गुना और आयतन 8 गुना हो जाता है। गलाना व पुनः ढालना आयतन संरक्षित रखता है और पृष्ठीय क्षेत्रफल बदलता है, और CAT का प्रिय प्रश्न है कितना। कुंजी दोनों का अनुपात है: गोले हेतु पृष्ठ/आयतन = 4πr²/(4πr³/3) = 3/r, अतः छोटे टुकड़ों में प्रति इकाई आयतन अधिक पृष्ठ होता है।

  • हल उदाहरण (गोला छोटे गोलों में)। 6 सेमी त्रिज्या का ठोस गोला गलाकर 2 सेमी त्रिज्या के गोले बनाए जाते हैं। गोलों की संख्या = (6/2)³ = 27। पहले पृष्ठीय क्षेत्रफल: 4π × 36 = 144π। बाद में: 27 × 4π × 4 = 432π। कुल पृष्ठ 3 गुना हो गया — ठीक त्रिज्याओं का अनुपात 6/2, जैसा 3/r तर्क बताता है। मान 27 "कितने" का उत्तर है, "कितना अधिक पृष्ठ" का नहीं।
  • हल उदाहरण (शंकु गोले में)। 6 सेमी त्रिज्या व 24 सेमी ऊँचाई का ठोस शंकु गलाकर एक गोला बनाया जाता है। आयतन = ⅓ × π × 36 × 24 = 288π। (4/3)πR³ = 288π रखें, अतः R³ = 216 और R = 6 सेमी। ध्यान दें कि गोले की त्रिज्या शंकु की त्रिज्या के बराबर केवल इसलिए है कि h = 4r; सामान्यतः R³ = r²h/4।
  • हल उदाहरण (जल-स्तर में वृद्धि)। 3 सेमी त्रिज्या का गोला 6 सेमी त्रिज्या के जल-भरे बेलनाकार पात्र में डाला जाता है। विस्थापित आयतन (4/3)π × 27 = 36π, आधार क्षेत्रफल π × 36 = 36π पर फैला, अतः जल 36π/36π = 1 सेमी ऊपर उठता है। वृद्धि केवल आयतन व आधार क्षेत्रफल के अनुपात पर निर्भर है, इस पर कभी नहीं कि कितना जल था।
  • एक ठोस के भीतर सबसे बड़ा ठोस। कोर a के घन में सबसे बड़े गोले का व्यास a, आयतन (π/6)a³, घन का लगभग 52%। त्रिज्या r के गोले के भीतर सबसे बड़े घन का विकर्ण 2r, अतः कोर 2r/√3। कोर a के घन में सबसे बड़े बेलन की त्रिज्या a/2 व ऊँचाई a, आयतन (π/4)a³।
कोर n का रँगा घन n³ इकाई घनों में काटा गया
रँगे फलकसूत्रn = 4n = 5
ठीक 3 (कोने)888
ठीक 2 (कोरें)12(n − 2)2436
ठीक 1 (फलक)6(n − 2)²2454
कोई नहीं (भीतरी)(n − 2)³827
कुल जाँचn³64125
⚠️ n − 2, न कि n − 1
बड़े घन की प्रत्येक कोर पर n छोटे घन हैं, जिनमें दोनों सिरों के दो कोने हैं, अतः n − 2 कोर-घन हैं। प्रत्येक फलक n × n जाल है जिसकी सीमा एक से अधिक ओर रँगी है, जिससे (n − 2) × (n − 2) भीतरी भाग बचता है जिसका ठीक एक फलक रँगा है। कहीं भी n − 1 लिखना कुल को बिगाड़ देता है, अतः सदा पुष्टि करें कि चारों गिनतियाँ n³ तक जुड़ती हैं। "कम से कम एक फलक रँगा" n³ − (n − 2)³ है, जो n = 5 हेतु 125 − 27 = 98।

मुख्य बिंदु

  • धनात्मक अग्रगुणांक वाला द्विघात अपने मूलों के ठीक बीच ऋणात्मक और बाहर धनात्मक है; पूर्ण वर्ग बनाना उसका चरम मान और वह x देता है जहाँ वह होता है।
  • परिमेय असमिका हेतु गुणनखंड करें, क्रांतिक बिंदु अंकित करें, दूर दाएँ धनात्मक से शुरू करें और प्रत्येक विषम-बहुलता मूल पर एकांतर करें; हर के शून्य को कभी शामिल न करें, और अज्ञात से कभी गुणा न करें।
  • |x − a| a से दूरी है: |x − a| < r खुला अंतराल (a − r, a + r) है, और दो मापांकों का योग दोनों बिंदुओं के बीच हर जगह न्यूनतम होता है।
  • AM ≥ GM ≥ HM, समता केवल पदों के बराबर होने पर: नियत योग गुणनफल को और नियत गुणनफल योग को समान बँटवारे पर चरम बनाता है, और समता-शर्त बताती है कहाँ।
  • प्रत्येक लंबाई को k से बढ़ाना क्षेत्रफल को k² से और आयतन को k³ से बढ़ाता है; गलाना आयतन संरक्षित रखता है, अतः छोटे टुकड़ों में ढालना कुल पृष्ठ को त्रिज्याओं के अनुपात से बढ़ाता है, और कोर n के रँगे घन में 3, 2, 1 व 0 रँगे फलकों वाले घन क्रमशः 8, 12(n − 2), 6(n − 2)² व (n − 2)³ हैं।

अभ्यास प्रश्न (8)

उत्तर खोलने से पहले प्रत्येक प्रश्न हल करें। हर व्याख्या सही विकल्प के साथ लुभावना गलत विकल्प भी बताती है, क्योंकि अंक वहीं जाते हैं।

  1. असमिका x² − 5x + 6 < 0 का पूर्ण हल-समुच्चय है:

    1. x < 2 या x > 3
    2. −3 < x < −2
    3. केवल x > 3
    4. 2 < x < 3
    उत्तर देखें

    उत्तर: D — 2 < x < 3

    गुणनखंड: x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3)। अग्रगुणांक धनात्मक है, अतः द्विघात अपने मूलों के ठीक बीच ऋणात्मक और बाहर धनात्मक है; < 0 का हल 2 < x < 3। x = 2.5 जाँचें: 6.25 − 12.5 + 6 = −0.25 < 0 ✓। "x < 2 या x > 3" से वर्णित समुच्चय वहाँ है जहाँ व्यंजक धनात्मक है, उलटी असमिका का उत्तर; −3 से −2 का अंतराल मूलों को गलत चिह्न से पढ़ने से आता है, मानो गुणनखंड (x + 2)(x + 3) हों; और "केवल x > 3" दो सीमा-शर्तों में से केवल एक रखता है।

  2. (x − 1)(x − 4)/(x − 2) ≤ 0 का हल-समुच्चय है:

    1. 1 ≤ x ≤ 4, x ≠ 2
    2. x ≤ 1 या 2 ≤ x ≤ 4
    3. x ≤ 1 या 2 < x ≤ 4
    4. 1 ≤ x < 2 या x ≥ 4
    उत्तर देखें

    उत्तर: C — x ≤ 1 या 2 < x ≤ 4

    क्रांतिक बिंदु 1, 2 व 4 हैं। x > 4 पर तीनों गुणनखंड धनात्मक, अतः चिह्न +; वह प्रत्येक बिंदु पर एकांतर होता है: (2, 4) पर −, (1, 2) पर +, (−∞, 1) पर −। हमें ≤ 0 चाहिए, अतः ऋणात्मक क्षेत्र लें और अंश के शून्य 1 व 4 शामिल करें, पर 2 बाहर रखें जहाँ हर शून्य है: x ≤ 1 या 2 < x ≤ 4। समुच्चय "1 ≤ x ≤ 4, x ≠ 2" वह है जो (x − 2) से उसके चिह्न की परवाह किए बिना गुणा करने पर मिलता है; "x ≤ 1 या 2 ≤ x ≤ 4" गलत रूप से x = 2 शामिल करता है, जहाँ व्यंजक अपरिभाषित है; और "1 ≤ x < 2 या x ≥ 4" वह समुच्चय है जहाँ व्यंजक धनात्मक या शून्य है, उलटी असमिका।

  3. यदि x व y धनात्मक वास्तविक संख्याएँ हैं जहाँ 2x + 3y = 12, तो xy का अधिकतम संभव मान है:

    1. 36
    2. 6
    3. 9
    4. 12
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — 6

    जिन दो पदों का योग नियत है, 2x व 3y, उन पर AM ≥ GM लगाएँ: (2x + 3y)/2 ≥ √(2x · 3y), अतः 6 ≥ √(6xy), 36 ≥ 6xy और xy ≤ 6। समता तब जब 2x = 3y = 6, अर्थात x = 3 व y = 2, जो वास्तव में xy = 6 देता है ✓। मान 36 नियम "गुणनफल ≤ (योग/2)²" को स्वयं x व y पर लगाता है, पर x + y नियत नहीं है; मान 9, 12/2 = 6 को x व y का नियत योग मानकर (6/2)² लेता है; और 12 बस दिया गया अचर है।

  4. |x − 3| + |x − 7| ≤ 6 को संतुष्ट करने वाले x के पूर्णांक मानों की संख्या है:

    1. 5
    2. 6
    3. 13
    4. 7
    उत्तर देखें

    उत्तर: D — 7

    बायाँ पक्ष x से बिंदुओं 3 व 7 की कुल दूरी है। 3 ≤ x ≤ 7 हेतु वह योग ठीक 4 है, अतः ऐसा प्रत्येक x काम करता है। x < 3 हेतु योग (3 − x) + (7 − x) = 10 − 2x ≤ 6, जिससे x ≥ 2; x > 7 हेतु 2x − 10 ≤ 6, जिससे x ≤ 8। हल 2 ≤ x ≤ 8, जिसमें 7 पूर्णांक 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 हैं। मान 5 केवल 3 से 7 तक के पूर्णांक गिनता है, प्रत्येक ओर अनुमत दो अतिरिक्त इकाइयाँ छोड़कर; मान 6 अंतराल की लंबाई 8 − 2 है, सिरों हेतु एक जोड़ना भूलकर; और 13 अकेले |x − 3| ≤ 6 की गिनती है, दूसरे मापांक की उपेक्षा करके।

  5. एक लंब वृत्तीय शंकु की आधार-त्रिज्या 6 सेमी व ऊँचाई 8 सेमी है। उसका वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल है:

    1. 60π सेमी²
    2. 48π सेमी²
    3. 96π सेमी²
    4. 36π सेमी²
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — 60π सेमी²

    शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल πrl है, जहाँ l तिर्यक ऊँचाई है, ऊर्ध्वाधर ऊँचाई नहीं। यहाँ l = √(6² + 8²) = √100 = 10 सेमी, अतः CSA = π × 6 × 10 = 60π सेमी²। मान 48π, πrh है, तिर्यक ऊँचाई 10 के स्थान पर ऊँचाई 8 लेकर — शंकु की सबसे आम गलती; 96π कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल πr(l + r) = π × 6 × 16 है, जो आधार जोड़ता है (और इस स्थिति में संयोग से आयतन ⅓π × 36 × 8 के भी बराबर है); और 36π केवल आधार क्षेत्रफल πr² है।

  6. 6 सेमी त्रिज्या का ठोस धातु का गोला गलाकर 2 सेमी त्रिज्या के ठोस गोलों में ढाला जाता है, बिना धातु की बर्बादी। मूल गोले की तुलना में सभी छोटे गोलों का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल है:

    1. अपरिवर्तित
    2. 3 गुना
    3. 9 गुना
    4. 27 गुना
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — 3 गुना

    आयतन संरक्षित है, अतः छोटे गोलों की संख्या (6/2)³ = 27। मूल पृष्ठ: 4π × 6² = 144π। बाद में कुल पृष्ठ: 27 × 4π × 2² = 27 × 16π = 432π, जो मूल का 432/144 = 3 गुना है — ठीक त्रिज्याओं का अनुपात, क्योंकि गोले का प्रति इकाई आयतन पृष्ठ 3/r है। उत्तर "27 गुना" गोलों की गिनती को पृष्ठ-अनुपात से भ्रमित करता है; "9 गुना" त्रिज्या-अनुपात का वर्ग है, जो एक बड़े गोले के पृष्ठ का एक छोटे गोले के पृष्ठ से अनुपात होगा, कुल नहीं; और "अपरिवर्तित" आयतन के लिए सत्य है, पृष्ठ के लिए नहीं।

  7. एक शंकु के छिन्नक के वृत्तीय सिरों की त्रिज्याएँ 6 सेमी व 3 सेमी और ऊँचाई 4 सेमी है। उसका आयतन है:

    1. 84π सेमी³
    2. 60π सेमी³
    3. 252π सेमी³
    4. 45π सेमी³
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — 84π सेमी³

    छिन्नक का आयतन ⅓πh(R² + Rr + r²) = ⅓ × π × 4 × (36 + 18 + 9) = ⅓ × π × 4 × 63 = 84π सेमी³। घटाव से जाँच: पूर्ण शंकु की ऊँचाई 8 है (समरूप त्रिभुज, क्योंकि त्रिज्या 4 सेमी में आधी होती है), आयतन ⅓π × 36 × 8 = 96π, घटा हटाया गया शीर्ष शंकु ⅓π × 9 × 4 = 12π, शेष 84π ✓। मान 60π मध्य पद Rr छोड़कर केवल R² + r² = 45 लेता है; 252π गुणक ⅓ भूल जाता है; और 45π वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल π(R + r)l है, तिर्यक ऊँचाई l = √(16 + 9) = 5 के साथ, एक बिल्कुल भिन्न राशि।

  8. 5 सेमी कोर का ठोस घन सभी छह फलकों पर रँगा जाता है और फिर 125 इकाई घनों में काटा जाता है। ठीक एक फलक रँगे इकाई घनों की संख्या है:

    1. 27
    2. 36
    3. 54
    4. 98
    उत्तर देखें

    उत्तर: C — 54

    5 × 5 × 5 घन के प्रत्येक फलक पर ठीक एक रँगे फलक वाले इकाई घन भीतरी (5 − 2) × (5 − 2) = 3 × 3 = 9 का वर्ग बनाते हैं, क्योंकि सीमा के घन किसी कोर या कोने को छूते हैं और दो या तीन रँगे फलक रखते हैं। छह फलक 6 × 9 = 54 देते हैं। पूरी गिनती की जाँच: 8 कोने (3 फलक) + 12 × 3 = 36 कोर-घन (2 फलक) + 54 (1 फलक) + 3³ = 27 भीतरी (0 फलक) = 125 ✓। मान 27 बिना रँगे भीतरी घनों की संख्या है; 36 ठीक दो रँगे फलकों वाले घनों की; और 98 = 125 − 27 कम से कम एक रँगे फलक वाले घनों की संख्या है, ठीक एक नहीं।