CAT स्तर का अंकगणित: प्रतिशत, लाभ, ब्याज, अनुपात, मिश्रण व औसत

अंकगणित CAT के QA खंड का सबसे बड़ा एकल भाग है — सामान्यतः बाईस में से आठ से दस प्रश्न, जो MCQ (+3/−1) और बिना ऋणात्मक अंकन वाले TITA प्रश्नों में बँटे होते हैं। कोई अन्य विषय अभ्यास का इतना विश्वसनीय फल नहीं देता, क्योंकि पेपर विचारों के छोटे समुच्चय — प्रतिशत, लाभ-हानि, ब्याज, अनुपात, मिश्रण, औसत — से ही काम लेता है और कुछ नया रचने के बजाय उन्हें दो-तीन चरणों में जोड़ता है। तेज़ CAT अंकगणित हल करने वाले को विद्यालय-स्तर से अलग करने वाली एक आदत है गुणकों में सोचना: 20% वृद्धि ×1.2 है, 25% बट्टा ×0.75 है, 10% चक्रवृद्धि पर दो वर्ष ×1.21 हैं, और परिवर्तनों की पूरी शृंखला एक गुणनफल है। यह अध्याय वही आदत प्रत्येक अंकगणित विषय पर बनाता है, मिश्रण प्रश्नों को अंकगणित बना देने वाली एलिगेशन क्रॉस व प्रतिस्थापन सूत्र दिखाता है, और औसत के उन जालों — बदले गए सदस्य और हरात्मक-माध्य चाल — पर समाप्त होता है जो CAT प्रायः हर वर्ष रखता है।

गुणक के रूप में प्रतिशत

+x% का परिवर्तन (1 + x/100) से गुणा है; −x% का परिवर्तन (1 − x/100) से गुणा। CAT का प्रत्येक प्रतिशत प्रश्न सही गुणक-शृंखला लिखने और प्रायः उससे एक भिन्न पढ़ने तक सिमट जाता है। a% व b% के दो क्रमागत परिवर्तनों से शुद्ध परिवर्तन a + b + ab/100 होता है: +20% फिर −20% = 20 − 20 − 4 = −4%, और दो बार +10% = 10 + 10 + 1 = +21% — ठीक इसी कारण 10% चक्रवृद्धि के दो वर्ष 21% देते हैं। परिवर्तनों का क्रम महत्व नहीं रखता, क्योंकि गुणा क्रमविनिमेय है।

भिन्न–प्रतिशत समतुल्य जो कंठस्थ होने चाहिए
भिन्नप्रतिशतभिन्नप्रतिशत
1/250%1/812.5%
1/333⅓%3/837.5%
2/366⅔%5/862.5%
1/425%1/911.11%
1/520%1/119.09%
1/616⅔%1/128.33%
1/714.28%1/166.25%
  • मूल्य ऊपर, उपभोग नीचे। यदि मूल्य r% बढ़े, तो व्यय स्थिर रखने हेतु उपभोग r/(100 + r) × 100 घटना चाहिए। मूल्य 25% ऊपर → गुणक 5/4 → उपभोग ×4/5 → 20% कमी। मूल्य 20% ऊपर → ×6/5 → उपभोग ×5/6 → 16⅔% कमी। कभी वही प्रतिशत उत्तर न दें।
  • "A, B से 25% अधिक है" का अर्थ "B, A से 25% कम है" नहीं। A = 1.25B, अतः B = A/1.25 = 0.8A: B, A से 20% कम है। सामान्यतः "x% अधिक" का विलोम x/(100 + x) कम, और "x% कम" का विलोम x/(100 − x) अधिक: 20% वेतन-कटौती की भरपाई हेतु 25% वृद्धि चाहिए।
  • प्रतिशत-बिंदु बनाम प्रतिशत। 40% से 50% हुई उत्तीर्ण दर 10 प्रतिशत-बिंदु बढ़ी है परंतु 25 प्रतिशत (10/40) बढ़ी है। CAT दोनों तरह से प्रश्न रखता है; गणना से पहले पढ़ें कि कौन-सा पूछा गया है।
  • विलोम प्रतिशत। यदि 20% वृद्धि के बाद मूल्य ₹ 600 है, तो मूल 600/1.2 = ₹ 500 है, 600 × 0.8 = 480 नहीं। पीछे जाने हेतु सदा गुणक से भाग दें। हल: 30% अंक पाने वाला परीक्षार्थी 20 अंकों से अनुत्तीर्ण और 40% पाने वाला 10 अंकों से उत्तीर्ण। तब कुल का 10% = 30, अतः कुल 300 और उत्तीर्णांक 0.3 × 300 + 20 = 110।
  • चुनाव उदाहरण (दो चरण)। डाले गए मतों का 10% अवैध; विजेता को वैध मतों का 60% मिला और वह 1,800 से जीता। अंतर = 60% − 40% = वैध मतों का 20%, अतः वैध मत = 1,800/0.2 = 9,000, और कुल डाले गए मत = 9,000/0.9 = 10,000। अवैध मत भूलने पर 9,000 पर रुकते हैं; भाग के बजाय 0.9 से गुणा करने पर 8,100 मिलता है।
⚠️ किसका प्रतिशत?
प्रत्येक प्रतिशत का एक आधार होता है, और CAT प्रश्न के बीच में आधार बदल देता है। "20% लाभ" जब तक न कहा जाए क्रय मूल्य पर है; "20% बट्टा" अंकित मूल्य पर; "वैध मतों का 20%" सभी मतों का 20% नहीं। गणना से पहले प्रत्येक प्रतिशत के पास उसका आधार लिखें। इस विषय के अधिकांश गलत विकल्प गलत आधार के सही प्रतिशत होते हैं।

लाभ, हानि व बट्टा — अंकित-मूल्य शृंखला

तीन मूल्य एक पंक्ति में हैं: क्रय मूल्य (CP) → अंकित मूल्य (MP) → विक्रय मूल्य (SP)। मार्क-अप CP पर, बट्टा MP पर, और लाभ या हानि CP के सापेक्ष: SP = CP × (1 + लाभ%) और SP = MP × (1 − बट्टा%)। हल: CP ₹ 800, लागत से 25% ऊपर अंकित, 10% बट्टे पर बेचा। MP = 800 × 1.25 = 1,000; SP = 1,000 × 0.9 = 900; लाभ = 800 पर 100 = 12.5%। गुणकों में: 1.25 × 0.9 = 1.125 — रुपये की राशि निकाले बिना उत्तर, और घड़ी के नीचे यही करना चाहिए।

मार्क-अप m, बट्टा d → लाभ गुणक (1 + m)(1 − d) के रूप में
CP पर मार्क-अपMP पर बट्टागुणकपरिणाम
25%20%1.25 × 0.80 = 1.00न लाभ, न हानि
40%25%1.40 × 0.75 = 1.055% लाभ (15% नहीं)
50%30%1.50 × 0.70 = 1.055% लाभ (20% नहीं)
20%10%1.20 × 0.90 = 1.088% लाभ
100%50%2.00 × 0.50 = 1.00सम-विच्छेद — दुगुने मूल्य पर "50% छूट" कोई छूट नहीं
  • क्रमागत बट्टे। 20% फिर 10% एक ही बट्टे 1 − 0.8 × 0.9 = 1 − 0.72 = 28% के बराबर है, 30% नहीं। दोनों ऋणात्मक लेकर a + b + ab/100 नियम से: −20 − 10 + 2 = −28।
  • खोटे बाट। जो व्यापारी "क्रय मूल्य पर बेचता" है परंतु एक किलोग्राम के बदले 800 g देता है, वह 800 g लागत के माल पर 1,000 g का मूल्य वसूलता है: लाभ = 200/800 = 25%। सूत्र: त्रुटि/(सही भार − त्रुटि) × 100। मूल्य परिवर्तन के साथ संयुक्त: 25% मार्क-अप, 20% बट्टा, और प्रति kg 900 g। ग्राहक एक किलोग्राम के CP का 1.25 × 0.8 = 1.00 गुना देता है उस माल हेतु जिसकी लागत 0.9 × CP है, अतः लाभ = 1.00/0.9 − 1 = 11.11%। भार की उपेक्षा 0% कहती है; प्रतिशत जोड़ना 25 − 20 + 10 = 15% कहता है; दोनों विकल्प CAT सूचीबद्ध करेगा।
  • समान विक्रय मूल्य, x% लाभ व x% हानि। समान SP पर बेची दो वस्तुएँ, एक 10% लाभ पर और एक 10% हानि पर, सदा कुल x²/100 % = 1% हानि देती हैं। कारण: CP क्रमशः SP/1.1 व SP/0.9 हैं, जिनका योग 2·SP से अधिक है। "न लाभ न हानि" की प्रवृत्ति हर बार गलत है।
  • SP पर बनाम CP पर लाभ। "लाभ विक्रय मूल्य का 20% है" का अर्थ SP − CP = 0.2 SP, अतः CP = 0.8 SP और CP पर लाभ = 0.2/0.8 = 25%। ₹ 105 की बिक्री पर ₹ 5 का लाभ SP का 4.76% है परंतु CP का 5%।
  • सम-विच्छेद। स्थिर लागत F, विक्रय मूल्य s व प्रति इकाई परिवर्ती लागत v पर सम-विच्छेद F/(s − v) इकाइयों पर है। स्थिर लागत ₹ 60,000, s = ₹ 50, v = ₹ 30 → 60,000/20 = 3,000 इकाइयाँ; उसके आगे प्रत्येक इकाई ₹ 20 लाभ जोड़ती है, अतः 4,500 इकाइयाँ ₹ 30,000 कमाती हैं।

साधारण व चक्रवृद्धि ब्याज — गुणक रूप में वृद्धि

साधारण ब्याज रैखिक बढ़ता है: SI = P·r·t/100, प्रत्येक वर्ष वही रुपया राशि। चक्रवृद्धि ब्याज गुणोत्तर बढ़ता है: मिश्रधन A = P(1 + r/100)ⁿ, अतः प्रत्येक वर्ष का ब्याज बड़े आधार का r% है। अर्धवार्षिक चक्रवृद्धि पर दर r/2 व 2n अवधि लें; तिमाही पर r/4 व 4n। जनसंख्या वृद्धि, मुद्रास्फीति, अवमूल्यन (गुणक 1 − r/100) व जीवाणु वृद्धि — सब दूसरे नाम से चक्रवृद्धि ब्याज हैं, और CAT उन्हें उसी सूत्र से रखता है।

₹ 10,000 पर 10% वार्षिक — SI बनाम CI
वर्षसाधारण ब्याजचक्रवृद्धि ब्याजCI − SI
11,0001,0000
22,0002,100 (×1.21)100 = P(r/100)²
33,0003,310 (×1.331)310 = P(r/100)²(3 + r/100)
2½ (वार्षिक चक्रवृद्धि)2,5002,705 (×1.21 × 1.05)205
  • अंतर सूत्र। दो वर्ष हेतु CI − SI = P(r/100)²; तीन वर्ष हेतु CI − SI = P(r/100)²(3 + r/100)। अतः "2 वर्ष में 10% पर CI व SI का अंतर ₹ 50 है" से P × 0.01 = 50, P = ₹ 5,000 एक पंक्ति में।
  • भिन्नात्मक अवधि। वार्षिक चक्रवृद्धि में पूरे वर्ष चक्रवृद्धि होते हैं और भिन्न भाग संचित राशि पर साधारण ब्याज कमाता है: ₹ 8,000 पर 1½ वर्ष 10% → 8,000 × 1.1 × 1.05 = ₹ 9,240। यदि प्रश्न अर्धवार्षिक चक्रवृद्धि कहे, तो 8,000 × 1.05³ = 9,261। चुनने से पहले चक्रवृद्धि अवधि पढ़ें।
  • किस्तें (EMI तर्क)। ऋण समान किस्तों X से तब चुकता होता है जब किस्तों के वर्तमान मानों का योग ऋण के बराबर हो: P = X/(1 + r) + X/(1 + r)² + … हल: ₹ 3,310 का ऋण 10% चक्रवृद्धि पर, तीन समान वार्षिक किस्तों में। तब X/1.1 + X/1.21 + X/1.331 = 3,310। पूरे को 1.331 से गुणा करें: X(1.21 + 1.1 + 1) = 3,310 × 1.331, अतः 3.31 X = 4,405.61 और X = ₹ 1,331। वर्तमान मानों से जाँच: 1,331/1.1 = 1,210; 1,331/1.21 = 1,100; 1,331/1.331 = 1,000; कुल 3,310 ✓। वही ऋण दो वर्ष में 2,100 हो तो किस्तें 1,210।
  • वृद्धि व अवमूल्यन। 5% वार्षिक बढ़ते 8,000 के नगर में दो वर्ष बाद 8,000 × 1.05² = 8,820 लोग; 10% वार्षिक घटती ₹ 20,000 की मशीन दो वर्ष बाद 20,000 × 0.9² = ₹ 16,200 की। 10% चक्रवृद्धि पर धन 7 वर्ष से थोड़े अधिक में दुगुना होता है (1.1⁷ ≈ 1.95, 1.1⁸ ≈ 2.14) — "72 का नियम" अनुमान 72/10 = 7.2 विकल्प काटने हेतु पर्याप्त है।
🧠 सूत्र नहीं, घातें कंठस्थ करें
1.05² = 1.1025; 1.1² = 1.21, 1.1³ = 1.331, 1.1⁴ = 1.4641; 1.2² = 1.44, 1.2³ = 1.728; 1.25² = 1.5625; 1.5² = 2.25। इनके साथ "10% पर दो वर्ष बाद ₹ 12,100" तुरंत P = 12,100/1.21 = ₹ 10,000 है, और "20% पर तीन वर्ष बाद ₹ 1,728" P = ₹ 1,000। CAT जो संख्याएँ चुनता है वे लगभग सदा इसी सूची से बनी होती हैं।

अनुपात, समानुपात, विचरण व साझेदारी

अनुपात जोड़ने हेतु साझा पद मिलाएँ: a : b = 2 : 3 और b : c = 4 : 5 से a : b : c = 8 : 12 : 15 (पहले को 4 से और दूसरे को 3 से बढ़ाएँ जिससे दोनों में b = 12)। यदि a/b = c/d तो योगांतरानुपात (componendo–dividendo) से (a + b)/(a − b) = (c + d)/(c − d), जो समीकरण को एक चरण में अनुपात बना देता है। हल: (3x + 4y)/(3x − 4y) = 7/3। योगांतरानुपात उल्टा लगाएँ: 3x/4y = (7 + 3)/(7 − 3) = 10/4 = 5/2, अतः x/y = (5/2) × (4/3) = 10/3। x = 10, y = 3 से जाँच: (30 + 12)/(30 − 12) = 42/18 = 7/3 ✓।

  • समानुपात शब्दावली। a : b :: c : d में अंत्य पदों का गुणनफल मध्य पदों के गुणनफल के बराबर, ad = bc। a व b का मध्यानुपाती √(ab) है (4 व 9 के बीच 6); a व b का तृतीयानुपाती b²/a है (4 व 6 का 9)। a : b का द्विक अनुपात a² : b²; उप-द्विक √a : √b।
  • आयु, मानक अनुपात प्रश्न। वर्तमान आयु 3 : 5 के अनुपात में; 8 वर्ष बाद अनुपात 5 : 7 होगा। आयु 3x व 5x मानें: (3x + 8)/(5x + 8) = 5/7 → 21x + 56 = 25x + 40 → 4x = 16 → x = 4। आयु 12 व 20 (जाँच: 20 : 28 = 5 : 7 ✓)। जाल है 8 को आयु के बजाय अनुपात-पदों में जोड़ना।
  • साझेदारी: लाभ पूँजी × समय के अनुसार। A ₹ 5,000 12 माह हेतु और B ₹ 6,000 8 माह हेतु लगाता है। उनके भाग 5,000 × 12 : 6,000 × 8 = 60,000 : 48,000 = 5 : 4, अतः ₹ 18,000 का लाभ ₹ 10,000 व ₹ 8,000 में बँटता है। यदि साझेदार वर्ष के बीच पूँजी बदले, तो प्रत्येक अवधि के गुणनफल अलग जोड़ें: 6 माह ₹ 4,000 फिर 6 माह ₹ 8,000 = 24,000 + 48,000 = 72,000 गिना जाता है।
  • विचरण। प्रत्यक्ष: y = kx (x दुगुना, y दुगुना)। प्रतिलोम: y = k/x (x दुगुना, y आधा)। संयुक्त: y = k·x²/z, जिसमें x व z दोनों दुगुने करने पर y, 4/2 = 2 गुना होता है। हल: हीरे का मूल्य उसके भार के वर्ग के अनुसार बदलता है। 6-कैरेट का पत्थर 1 : 2 : 3 के अनुपात में, अर्थात 1, 2 व 3 कैरेट के टुकड़ों में टूटता है। पहले मूल्य: k × 36; बाद में: k(1 + 4 + 9) = 14k। हानि = 22k/36k = 61.1% — और जब भी घातांक 1 से अधिक हो, मूल्य में गिरावट अनिवार्य है।
🎯 वास्तविक मान नहीं, अनुपात क्यों
CAT प्रायः केवल अनुपात देता है और अनुपात या प्रतिशत पूछता है, अतः वास्तविक संख्याएँ कभी होती ही नहीं। सबसे सुविधाजनक छोटे मान लें (पूँजी 100 मानें, चाल दी गई संख्याओं का ल.स., कुल मत 100) और उनसे गणना करें। जो उत्तर स्वयं अनुपात या प्रतिशत है वह इस चुनाव से नहीं बदलता, और अंकगणित सरल हो जाता है।

मिश्रण, एलिगेशन, प्रतिस्थापन व औसत

एलिगेशन क्रॉस: जब "सामर्थ्य" c₁ व c₂ (मूल्य, सांद्रता या औसत) के दो घटक मिलाकर उनके बीच का माध्य m बनाया जाए, तो मात्राएँ (c₂ − m) : (m − c₁) के अनुपात में होती हैं — प्रत्येक घटक का भाग दूसरे घटक की माध्य से दूरी है। ₹ 20/kg व ₹ 30/kg का चावल मिलाकर ₹ 24/kg पर बेचना: सस्ता : महँगा = (30 − 24) : (24 − 20) = 6 : 4 = 3 : 2। जाँच: (3 × 20 + 2 × 30)/5 = 120/5 = 24 ✓। वही क्रॉस दो समूहों से कक्षा-औसत, समान समय के दो चरणों से औसत चाल, और दो खेपों से लाभ-प्रतिशत भी निकालता है।

  • लक्ष्य सांद्रता हेतु दो विलयन। 30% व 60% ऐल्कोहॉल मिलाकर 50% बनाना: अनुपात = (60 − 50) : (50 − 30) = 10 : 20 = 1 : 2 — कमज़ोर का एक भाग, तीव्र के दो। जाँच: (30 + 2 × 60)/3 = 150/3 = 50 ✓। निश्चित मात्रा के साथ: 40% विलयन के 60 L को 60% तक लाने हेतु कितना 90% विलयन चाहिए? अनुपात 40% : 90% = (90 − 60) : (60 − 40) = 30 : 20 = 3 : 2, अतः कमज़ोर के 60 L के साथ तीव्र के 40 L।
  • जल मिलाना (सांद्रता 0)। 25% अम्ल के 20 L में 5 L अम्ल है; 20% तक तनु करने हेतु 5/(20 + x) = 0.2, अतः 20 + x = 25 और x = 5 L। प्रतिशत के बजाय उस मात्रा का पीछा करें जो नहीं बदलती — यहाँ अम्ल।
  • बार-बार प्रतिस्थापन। V लीटर शुद्ध द्रव वाले पात्र से x लीटर निकालकर जल भरा जाता है, n बार। शेष शुद्ध द्रव = V(1 − x/V)ⁿ। 50 L दूध से 10 L तीन बार बदला: 50 × (0.8)³ = 50 × 0.512 = 25.6 L दूध, अतः 24.4 L जल। रैखिक सोच 30 L जल कहती है — गलत, क्योंकि बाद का प्रत्येक निकास कुछ जल भी निकालता है। 40 L से 8 L तीन बार: 40 × 0.8³ = 20.48 L दूध।
  • भारित औसत। 30 विद्यार्थियों का औसत 40 और 20 का 60: कुल (30 × 40 + 20 × 60)/50 = 2,400/50 = 48, 50 नहीं। एलिगेशन से: माध्य 40 व 60 को 20 : 30 = 2 : 3 में बाँटता है, अतः वह 40 से 8 ऊपर है।
  • सदस्य बदलना। यदि n व्यक्तियों का औसत एक व्यक्ति बदलने पर d बढ़े, तो नया व्यक्ति जाने वाले से n × d भारी है। दस व्यक्ति, औसत 2 kg ऊपर, जाने वाला 50 kg → नया = 50 + 10 × 2 = 70 kg। आठ व्यक्ति, औसत 2.5 kg ऊपर, जाने वाला 65 kg → 65 + 20 = 85 kg। d को एक बार जोड़ना (52 या 67.5) मानक चूक है।
  • औसत चाल। समान दूरियाँ u व v पर: औसत चाल हरात्मक माध्य 2uv/(u + v): 40 व 60 से 4,800/100 = 48, 50 नहीं। समान समय हेतु सादा माध्य (u + v)/2 = 50। असमान चरणों हेतु सदा कुल दूरी ÷ कुल समय: यात्रा का चौथाई 30 km/h पर और शेष 60 km/h पर D/120 + 3D/240 = 5D/240 घंटे लेता है, अतः औसत 240/5 = 48 km/h।
⚠️ औसत चाल कभी चालों का औसत नहीं
जब तक समय समान न हों, (u + v)/2 गलत है — और यह सदा चार विकल्पों में से एक होता है। समान दूरियाँ → हरात्मक माध्य, जो सदा समांतर माध्य से नीचे रहता है। यदि समान दूरियों की दो-चाल यात्रा हेतु परीक्षार्थी का उत्तर सादे औसत के बराबर या ऊपर है, तो वह जाँच से पहले ही गलत है।

मुख्य बिंदु

  • प्रत्येक प्रतिशत परिवर्तन एक गुणक है — ×(1 ± x/100) — और परिवर्तनों की शृंखला एक गुणनफल; a% व b% के दो क्रमागत परिवर्तन a + b + ab/100 देते हैं।
  • मार्क-अप लागत पर, बट्टा अंकित मूल्य पर, लाभ लागत पर: लाभ गुणक = (1 + m)(1 − d), और खोटा बाट उसे वास्तव में दी गई भिन्न से और भाग देता है।
  • दो वर्ष में CI − SI = P(r/100)²; भिन्नात्मक वर्ष में पूरे वर्ष चक्रवृद्धि होते हैं और भिन्न भाग पर साधारण ब्याज जुड़ता है; समान किस्तें वर्तमान मान बराबर करके मिलती हैं।
  • एलिगेशन: मात्राएँ (c₂ − m) : (m − c₁) के अनुपात में, प्रत्येक भाग दूसरे घटक की माध्य से दूरी; बार-बार प्रतिस्थापन से मूल द्रव V(1 − x/V)ⁿ बचता है।
  • n सदस्यों में से एक बदलने पर कुल n × (औसत में परिवर्तन) से बदलता है, और दो चालों पर समान दूरियों का औसत हरात्मक माध्य 2uv/(u + v) है, कभी (u + v)/2 नहीं।

अभ्यास प्रश्न (8)

उत्तर खोलने से पहले प्रत्येक प्रश्न हल करें। हर व्याख्या सही विकल्प के साथ लुभावना गलत विकल्प भी बताती है, क्योंकि अंक वहीं जाते हैं।

  1. चीनी का मूल्य 25% बढ़ जाता है। एक परिवार को अपना उपभोग कितने प्रतिशत घटाना चाहिए ताकि चीनी पर उसका व्यय समान रहे?

    1. 25%
    2. 20%
    3. 12.5%
    4. 33⅓%
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — 20%

    25% वृद्धि गुणक 5/4 है, अतः मूल्य × मात्रा स्थिर रखने हेतु मात्रा को 4/5 से गुणा करना होगा, अर्थात 1/5 = 20% की कमी। समतुल्यतः r/(100 + r) × 100 = 25/125 × 100 = 20%। मान 25% उल्टे में वही प्रतिशत उत्तर देने का जाल है, जो आधार बदलने की उपेक्षा करता है। मान 33⅓%, r/(100 − r) है — 25% कमी का विलोम, वृद्धि का नहीं। मान 12.5% वृद्धि का आधा है और किसी सही विधि से नहीं आता।

  2. दो प्रत्याशियों के चुनाव में डाले गए मतों का 10% अवैध था। विजेता को वैध मतों का 60% मिला और वह 1,800 मतों से जीता। कुल कितने मत डाले गए?

    1. 9,000
    2. 8,100
    3. 10,000
    4. 3,000
    उत्तर देखें

    उत्तर: C — 10,000

    पराजित को वैध मतों का 40% मिला, अतः अंतर 60% − 40% = वैध मतों का 20% = 1,800। वैध मत = 1,800/0.2 = 9,000। ये डाले गए मतों का 90% हैं, अतः कुल = 9,000/0.9 = 10,000। मान 9,000 वैध मतों पर रुक जाता है और अवैध 10% भूल जाता है। मान 8,100, 9,000 को भाग देने के बजाय 0.9 से गुणा करता है — गुणक से गलत दिशा में जाना। मान 3,000, 1,800/0.6 है, जो जीत के अंतर को विजेता का पूरा मत मान लेता है।

  3. एक व्यापारी अपने माल पर क्रय मूल्य से 25% ऊपर अंकित करता है, अंकित मूल्य पर 20% बट्टा देता है, और 1 kg बेचने का दावा करते हुए 900 g का बाट प्रयोग करता है। उसका वास्तविक लाभ प्रतिशत है:

    1. 0%
    2. 15%
    3. 10%
    4. 11.11%
    उत्तर देखें

    उत्तर: D — 11.11%

    1 kg की लागत ₹ 100 मानें। अंकित मूल्य = 125; 20% बट्टे के बाद ग्राहक 125 × 0.8 = ₹ 100 देता है। परंतु ग्राहक को केवल 900 g मिलता है, जिसकी व्यापारी को लागत ₹ 90 थी। लाभ = 90 की लागत पर 10 = 10/90 = 11.11%। मान 0% केवल मूल्य-शृंखला (1.25 × 0.8 = 1) से आता है और खोटे बाट की उपेक्षा करता है। मान 15% प्रतिशतों को जोड़ता-घटाता है (25 − 20 + 10)। मान 10%, 100 g की कमी को वास्तव में दिए 900 g के बजाय 1,000 g पर लाभ मानता है।

  4. ₹ 8,000, 10% वार्षिक दर पर वार्षिक चक्रवृद्धि ब्याज से 1½ वर्ष में कितना हो जाता है?

    1. ₹ 9,240
    2. ₹ 9,200
    3. ₹ 9,261
    4. ₹ 9,680
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — ₹ 9,240

    वार्षिक चक्रवृद्धि में पहला पूरा वर्ष चक्रवृद्धि होता है और शेष आधा वर्ष संचित राशि पर आधी वार्षिक दर से साधारण ब्याज कमाता है: 8,000 × 1.1 = 8,800, फिर 8,800 × 1.05 = ₹ 9,240। मान ₹ 9,200 पूरी अवधि साधारण ब्याज है (8,000 × 10 × 1.5/100 = 1,200 जोड़ा)। मान ₹ 9,261 = 8,000 × 1.05³ तब का उत्तर है जब ब्याज अर्धवार्षिक चक्रवृद्धि हो, जिसे प्रश्न बाहर करता है। मान ₹ 9,680 = 8,000 × 1.21 दो पूरे वर्षों की चक्रवृद्धि है।

  5. ₹ 15/kg की चाय को ₹ 20/kg की चाय के साथ किस अनुपात में मिलाया जाए कि मिश्रण ₹ 16.50/kg का हो?

    1. 3 : 7
    2. 1 : 1
    3. 7 : 3
    4. 2 : 3
    उत्तर देखें

    उत्तर: C — 7 : 3

    एलिगेशन से, सस्ता : महँगा = (20 − 16.5) : (16.5 − 15) = 3.5 : 1.5 = 7 : 3। जाँच: (7 × 15 + 3 × 20)/10 = (105 + 60)/10 = 16.5 ✓। मान 3 : 7 क्रॉस को उल्टा पढ़ना है — प्रत्येक घटक का भाग दूसरे घटक की माध्य से दूरी होना चाहिए, और चूँकि 16.50, 15 के निकट है, सस्ती चाय अधिक होगी। मान 1 : 1 से माध्य 17.50 आता, और 2 : 3 से 18।

  6. एक पात्र में 50 लीटर शुद्ध दूध है। 10 लीटर निकालकर जल भर दिया जाता है, और यह क्रिया कुल तीन बार की जाती है। अंत में पात्र में जल की मात्रा है:

    1. 30 L
    2. 25.6 L
    3. 18 L
    4. 24.4 L
    उत्तर देखें

    उत्तर: D — 24.4 L

    प्रत्येक क्रिया उपस्थित दूध का (1 − 10/50) = 0.8 भाग रखती है, अतः तीन क्रियाओं के बाद दूध 50 × 0.8³ = 50 × 0.512 = 25.6 L, और जल 50 − 25.6 = 24.4 L। मान 25.6 L दूध है, जल नहीं — प्रश्न जल पूछता है। मान 30 L रैखिक चूक 3 × 10 है, जो उपेक्षा करती है कि दूसरा व तीसरा निकास दूध के साथ कुछ जल भी निकालता है। मान 18 L केवल दो क्रियाओं के बाद का जल है (50 − 50 × 0.64)।

  7. 40% ऐल्कोहॉल विलयन के 60 लीटर में 90% ऐल्कोहॉल विलयन के कितने लीटर मिलाए जाएँ कि परिणामी मिश्रण 60% ऐल्कोहॉल हो?

    1. 90 L
    2. 40 L
    3. 60 L
    4. 30 L
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — 40 L

    एलिगेशन से 40% व 90% विलयन (90 − 60) : (60 − 40) = 30 : 20 = 3 : 2 में मिलते हैं। 40% विलयन के 60 L "3" भाग हैं, अतः 90% विलयन 60 × 2/3 = 40 L। जाँच: ऐल्कोहॉल = 0.4 × 60 + 0.9 × 40 = 24 + 36 = 100 L में 60 L = 60% ✓। मान 90 L अनुपात को उल्टा करता है (60 × 3/2)। मान 60 L समान मात्राएँ मानता है, जिससे 65% आता। मान 30 L, 3 : 2 को 2 : 1 पढ़ने से आता है।

  8. एक कार यात्रा का पहला चौथाई 30 km/h पर और शेष तीन-चौथाई 60 km/h पर तय करती है। पूरी यात्रा हेतु उसकी औसत चाल है:

    1. 40 km/h
    2. 48 km/h
    3. 45 km/h
    4. 52.5 km/h
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — 48 km/h

    यात्रा D km मानें। पहले चौथाई का समय = (D/4)/30 = D/120 h; शेष का समय = (3D/4)/60 = D/80 h। कुल समय = D/120 + D/80 = (2D + 3D)/240 = D/48 h, अतः औसत चाल D ÷ (D/48) = 48 km/h। मान 40 km/h हरात्मक माध्य 2 × 30 × 60/90 है, जो केवल समान दूरियों पर मान्य है। मान 52.5 km/h चालों को दूरी से भारित करता है, (30 + 3 × 60)/4, जो औसत चाल की विधि नहीं है। मान 45 km/h दोनों चालों का सादा माध्य है, जो केवल समान समय पर मान्य है।