गणना, प्रायिकता व समुच्चय सिद्धांत

बाईस QA प्रश्नों में से दो-तीन इसी भाग से आते हैं, और ये वही प्रश्न हैं जिन्हें परीक्षार्थी निश्चित महसूस करते हुए सर्वाधिक गलत करते हैं। अंकगणित नगण्य है — कठिनाई पूरी तरह यह तय करने में है कि गिनना क्या है। क्या यहाँ क्रम मायने रखता है? पुनरावृत्ति की अनुमति है? यह "कम-से-कम एक" है या "ठीक एक"? मॉडल सही बना लें तो गणना दस सेकंड की है; गलत बना लें तो आप आत्मविश्वास से भरा गलत उत्तर बनाएँगे। अतः यह अध्याय अपना परिश्रम सूत्रों पर नहीं, निर्णयों पर लगाता है: कुछ भी गिनने से पहले पूछे जाने वाले चार प्रश्न, वह पूरक-युक्ति जो अधिकांश कठिन प्रायिकता प्रश्नों को सरल बना देती है, तथा दो-समुच्चय व तीन-समुच्चय के सूत्र जो वेन प्रश्नों को यांत्रिक बना देते हैं।

गिनने से पहले पूछे जाने वाले चार प्रश्न

गणना की लगभग प्रत्येक गलती पहले दस सेकंड में हुई मॉडलिंग की गलती होती है। इन चार प्रश्नों को क्रम से पूछ लेना अधिकांश गलतियाँ हटा देता है, और इसमें उस सुधार से कम समय लगता है जो बाद में करना पड़ता।

क्या क्रम मायने रखता है? यदि हाँ तो यह क्रमचय है (क्रम, वरीयता, बैठक, संख्या बनाना, अध्यक्ष व सचिव चुनना)। यदि नहीं तो संचय (समिति, टीम, हस्तमिलाप, फल चुनना)। "8 में से 3 चुनना" 56 है; "8 में से 3 को क्रम में लगाना" 336, यानी छह गुना अधिक, क्योंकि प्रत्येक चयन को 3! = 6 प्रकार से क्रमित किया जा सकता है।
क्या पुनरावृत्ति की अनुमति है? चार-अंकीय PIN में है (10⁴ = 10,000 संभावनाएँ); भिन्न अंकों वाली चार-अंकीय संख्या में नहीं। पहले अंक पर ध्यान दें: चार-अंकीय संख्या 0 से आरंभ नहीं हो सकती, अतः गणना 9 × 9 × 8 × 7 = 4536 है, 10 × 9 × 8 × 7 नहीं।
क्या वस्तुएँ भिन्न-पहचान वाली हैं? पाँच भिन्न पुस्तकें अलमारी में 5! = 120 क्रम देती हैं। पाँच समान पुस्तकें एक। शब्द MISSISSIPPI में 11 अक्षर हैं परंतु भिन्न व्यवस्थाएँ केवल 11!/(4!·4!·2!) = 34,650, क्योंकि दोहराए अक्षरों में भेद नहीं किया जा सकता।
क्या विपरीत गिनना सरल है? "कम-से-कम एक" में लगभग सदा। पाँच उछालों में कम-से-कम एक चित आने के तरीके 2⁵ − 1 = 31 हैं, जिन्हें "सभी परिणाम घटा वह एक जिसमें कोई चित नहीं" के रूप में गिना गया। सीधे स्थितियाँ गिनने का अर्थ पाँच पद जोड़ना है।

⚠️ "कम-से-कम" और "ठीक" भिन्न प्रश्न हैं

इन दो शब्दों को निर्देश की तरह पढ़ें, क्योंकि प्रश्न-निर्माता दोनों उत्तर विकल्पों में रखते हैं। "कम-से-कम दो" में दो, तीन, चार व अधिक सम्मिलित हैं; "ठीक दो" में वे सब बाहर। यदि शब्दावली "कम-से-कम" है तो पूरक की ओर जाएँ। यदि "ठीक" है तो केवल वही स्थिति गिनें।

गणना के औज़ार

क्या प्रयोग करें, और कब
औज़ार	सूत्र व उपयोग
संचय	C(n, r) = n!/[r!(n − r)!] — वे चयन जिनमें क्रम अप्रासंगिक
क्रमचय	P(n, r) = n!/(n − r)! — व्यवस्थाएँ, यानी चयन के बाद क्रम
दोहराए अक्षर	n! को प्रत्येक पुनरावृत्ति-संख्या के भाज्य से भाग
वृत्तीय व्यवस्थाएँ	(n − 1)! — एक स्थान स्थिर, क्योंकि केवल सापेक्ष स्थिति मायने रखती है
साथ रहने वाली वस्तुएँ	उन्हें एक खंड बना दें, व्यवस्थित करें, फिर खंड के भीतर व्यवस्थित करें
अलग रहने वाली वस्तुएँ	पहले अन्य को व्यवस्थित करें, फिर इन्हें उनके बीच के रिक्त स्थानों में रखें
समान वस्तुएँ भिन्न समूहों में	C(n + r − 1, r − 1) — "तारे व दंड" गणना

हल उदाहरण (साथ)। 5 व्यक्ति एक पंक्ति में कितने प्रकार से बैठ सकते हैं यदि दो विशेष व्यक्ति साथ बैठने ही चाहिए? युग्म को एक खंड मानें: 4 वस्तुएँ 4! = 24 प्रकार से व्यवस्थित होती हैं, और युग्म भीतर 2 प्रकार से स्थान बदल सकता है, अतः 24 × 2 = 48। कुल 5! = 120 में से, यानी 40% व्यवस्थाओं में वे साथ बैठते हैं — जो उपयोगी जाँच है, क्योंकि सहज बुद्धि कहती है "आधे से कम"।
हल उदाहरण (अलग)। 5 व्यक्ति कितने प्रकार से बैठ सकते हैं जिससे दो विशेष व्यक्ति कभी साथ न हों? कुल घटा साथ: 120 − 48 = 72। पुनः पूरक — "कभी नहीं" वाली स्थितियाँ सीधे गिनने पर प्रत्येक रिक्त स्थान हेतु स्थितियाँ बनानी पड़तीं।
हल उदाहरण (शर्त सहित समिति)। 6 पुरुष व 4 महिलाओं में से 4 सदस्यों की कितनी समितियों में कम-से-कम एक महिला होगी? कुल समितियाँ C(10,4) = 210; केवल पुरुषों की C(6,4) = 15; अतः 210 − 15 = 195। चारों स्थितियाँ (1, 2, 3 या 4 महिलाएँ) जोड़ने पर भी 80 + 90 + 24 + 1 = 195 — वही उत्तर, चार गुना परिश्रम।
हल उदाहरण (तारे व दंड)। 10 समान चॉकलेट 3 बच्चों को कितने प्रकार से दी जा सकती हैं यदि किसी बच्चे को शून्य भी मिल सकता है? C(10 + 3 − 1, 3 − 1) = C(12, 2) = 66। यदि प्रत्येक बच्चे को कम-से-कम एक मिलनी ही चाहिए, तो पहले एक-एक दे दें और शेष 7 बाँटें: C(9, 2) = 36।

प्रायिकता — दो बार गिनें, एक बार भाग दें

इस स्तर पर प्रायिकता अंत में एक भाग के साथ की गई गणना है: अनुकूल परिणाम ÷ कुल परिणाम, बशर्ते प्रत्येक परिणाम समसंभाव्य हो। प्रश्न अपनी कठिनाई इसी शर्त में छिपाते हैं, अतः भाग देने से पहले अपना प्रतिदर्श-समष्टि स्पष्ट रूप से लिख लें।

पूरक नियम। P(कम-से-कम एक) = 1 − P(कोई नहीं)। दो पासे फेंके गए: कम-से-कम एक छक्के की संभावना 1 − (5/6)² = 1 − 25/36 = 11/36। ध्यान दें यह 1/6 + 1/6 = 1/3 नहीं है — वह उस परिणाम को दो बार गिनता है जिसमें दोनों छक्के हैं, और 11/36 ठीक उसी एक परिणाम से 12/36 से कम है।
योग, अतिव्यापन घटाकर। P(A या B) = P(A) + P(B) − P(A और B)। एक पत्ता निकाला गया: P(बादशाह या पान) = 4/52 + 13/52 − 1/52 = 16/52 = 4/13। पान का बादशाह एक ही पत्ता है और एक बार ही गिना जाना चाहिए।
प्रतिस्थापन सहित व रहित। दो पत्ते निकाले गए: P(दोनों बादशाह) प्रतिस्थापन सहित (4/52)(4/52) = 1/169 है, परंतु रहित (4/52)(3/51) = 1/221। CAT प्रायः प्रतिस्थापन-रहित का अर्थ रखता है, और खोजने योग्य शब्द है "एक के बाद एक, प्रतिस्थापन के बिना" — अथवा केवल "दो पत्ते निकाले गए", जिसका अर्थ वही है।
सप्रतिबंध प्रायिकता। P(A | B) = P(A और B)/P(B)। एक पासे पर सम संख्या आई है; उसके 6 होने की संभावना? शर्त प्रतिदर्श-समष्टि को {2, 4, 6} तक छोटा कर देती है, अतः उत्तर 1/3 है, 1/6 नहीं। प्रश्न को "अब प्रतिदर्श-समष्टि छोटी है" के रूप में फिर पढ़ना सूत्र से तेज़ है।
प्रायिकता कभी 0 व 1 के बाहर नहीं होती। यह जाँचने योग्य होने के लिए अत्यंत स्पष्ट लगता है, और वास्तविक गलतियाँ पकड़ता है: यदि गुणा की श्रृंखला 7/5 दे, तो "प्रतिस्थापन रहित" को "सहित" मान लिया गया, अथवा दो प्रायिकताएँ जोड़ दी गईं जिन्हें गुणा करना था।

समुच्चय सिद्धांत — दो सूत्र व एक आकृति

दो समुच्चय। n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B)। 50 विद्यार्थियों की कक्षा में 30 क्रिकेट, 25 फुटबॉल तथा 10 दोनों खेलते हैं, तो कम-से-कम एक खेलने वाले 30 + 25 − 10 = 45, अतः 5 कोई नहीं खेलते। यही अंतिम चरण — "कोई नहीं" की गणना — प्रश्न प्रायः पूछता है।
तीन समुच्चय। n(A ∪ B ∪ C) = n(A) + n(B) + n(C) − n(A∩B) − n(B∩C) − n(C∩A) + n(A∩B∩C)। चिह्नों पर ध्यान दें: युग्म घटते हैं, त्रिक पुनः जुड़ता है। उस अंतिम धन-चिह्न में गलती सामान्य है, और यह याद रखना उचित है कि क्यों — तीनों में आने वाला अवयव युग्मवार घटावों से तीन बार हट गया, अतः एक बार लौटाना आवश्यक है।
अतिव्यापन का अधिकतम व निम्नतम। ये शुद्ध तर्क हैं, और CAT इन्हें सीधे प्रतिस्थापन से अधिक पसंद करता है। यदि किसी समूह के 70% को चाय और 80% को कॉफ़ी पसंद है, तो अतिव्यापन अधिकतम 70% (चाय पसंद करने वाले सभी को कॉफ़ी भी पसंद हो सकती है) तथा कम-से-कम 50% (70 + 80 − 100) है। निचली सीमा ही छूटती है: 100 के समूह में दो बहुमतों का अतिव्यापन कम-से-कम उनके योग घटा 100 होना ही चाहिए।
तीन समुच्चय हों तो आकृति बनाएँ। पहले केंद्र भरें, फिर युग्मवार क्षेत्र (प्रत्येक से केंद्र घटाकर), फिर एकल क्षेत्र। बाहर-से-भीतर कार्य करने पर ही लोग मध्य को तीन बार गिन बैठते हैं।

🎯 यह भाग फिर कहाँ आता है

समुच्चय-गणना केवल QA का विषय नहीं है। "तीन उत्पादों में से कम-से-कम दो कितने ग्राहकों ने खरीदे" पर बना DILR सेट वही तीन-समुच्चय सूत्र है, वेन आरेख के स्थान पर तालिका के साथ। यहाँ लगाया समय दो बार फल देता है।

मुख्य बिंदु

क्रम मायने रखता है → क्रमचय; नहीं रखता → संचय। किसी सूत्र को छूने से पहले यह तय करें, क्योंकि उसके बाद सब कुछ इसी उत्तर पर निर्भर है।
"कम-से-कम एक" हेतु पूरक गिनें: कुल घटा "कोई नहीं" वाली स्थिति। सीधी गणना में कई स्थितियाँ होती हैं और प्रत्येक चूक का अवसर है।
चार-अंकीय संख्या शून्य से आरंभ नहीं हो सकती। प्रत्येक गणना-प्रश्न में "संख्या" या "भिन्न" जैसे साधारण शब्द में छिपी शर्त खोजें।
साथ रहने वाली वस्तुएँ एक खंड बन जाती हैं; अलग रहने वाली वस्तुएँ अन्य द्वारा छोड़े रिक्त स्थानों में जाती हैं।
n वस्तुओं की वृत्तीय व्यवस्थाएँ (n − 1)! हैं, क्योंकि केवल सापेक्ष स्थिति मायने रखती है — एक स्थान स्थिर करें और शेष को व्यवस्थित करें।
तीन-समुच्चय सूत्र में युग्मवार अतिव्यापन घटते हैं और त्रिक अतिव्यापन पुनः जुड़ता है। तीनों में आने वाला अवयव तीन बार हटा, अतः एक बार लौटाना आवश्यक है।
100 के समूह में दो बहुमतों का अतिव्यापन कम-से-कम उनके योग घटा 100 होना चाहिए। अधिकतम/निम्नतम प्रश्न का यही आधा भाग परीक्षार्थी भूलते हैं।

अभ्यास प्रश्न (8)

उत्तर खोलने से पहले प्रत्येक प्रश्न हल करें। हर व्याख्या सही विकल्प के साथ लुभावना गलत विकल्प भी बताती है, क्योंकि अंक वहीं जाते हैं।

अंक 0 से 9 का प्रयोग करते हुए, किसी अंक की पुनरावृत्ति के बिना, चार-अंकीय संख्याएँ कितनी बन सकती हैं?
1. 5040
2. 4536
3. 10000
4. 4500
उत्तर देखें
उत्तर: B — 4536
पहला अंक 0 नहीं हो सकता, अतः उसके 9 विकल्प हैं। शेष तीन स्थानों पर कोई भी अप्रयुक्त अंक आ सकता है, 0 सहित: 9, फिर 8, फिर 7। गणना 9 × 9 × 8 × 7 = 4536। विकल्प A, 5040, यानी 10 × 9 × 8 × 7 — वह उत्तर जो अग्र शून्य की अनुमति देने से मिलता है, जिससे वह तीन-अंकीय संख्या बन जाती।
5 व्यक्ति एक पंक्ति में कितने प्रकार से बैठ सकते हैं यदि दो विशेष व्यक्ति एक-दूसरे के बगल में बैठने ही चाहिए?
1. 24
2. 48
3. 72
4. 120
उत्तर देखें
उत्तर: B — 48
युग्म को एक खंड मानें। चार वस्तुएँ (खंड तथा तीन व्यक्ति) 4! = 24 प्रकार से व्यवस्थित होती हैं, और खंड के भीतर दोनों 2 प्रकार से स्थान बदल सकते हैं: 24 × 2 = 48। विकल्प A भीतरी अदल-बदल भूल जाता है; विकल्प C, 72, पूरक है — वे व्यवस्थाएँ जिनमें वे साथ नहीं हैं (120 − 48)।
6 पुरुषों व 4 महिलाओं में से 4 सदस्यों की समिति बनानी है जिसमें कम-से-कम एक महिला हो। ऐसी समितियों की संख्या है:
1. 195
2. 210
3. 80
4. 15
उत्तर देखें
उत्तर: A — 195
पूरक का प्रयोग करें। 10 व्यक्तियों में से 4 की सभी समितियाँ: C(10,4) = 210। जिनमें कोई महिला नहीं, वे पूर्णतः 6 पुरुषों में से: C(6,4) = 15। अतः 210 − 15 = 195। लंबे मार्ग से जाँच: ठीक 1 महिला C(4,1)C(6,3) = 4 × 20 = 80; ठीक 2, C(4,2)C(6,2) = 6 × 15 = 90; ठीक 3, C(4,3)C(6,1) = 4 × 6 = 24; ठीक 4, C(4,4) = 1। कुल 80 + 90 + 24 + 1 = 195 ✓ विकल्प C "ठीक एक महिला" की गणना है, जो शब्दावली ने पूछी नहीं।
शब्द MISSISSIPPI के अक्षरों की भिन्न व्यवस्थाओं की संख्या है:
1. 39916800
2. 34650
3. 11550
4. 69300
उत्तर देखें
उत्तर: B — 34650
शब्द में 11 अक्षर हैं: M एक बार, I चार बार, S चार बार, P दो बार। समान अक्षरों में भेद नहीं किया जा सकता, अतः 11! को I हेतु 4!, S हेतु 4! तथा P हेतु 2! से भाग दें: 39,916,800 / (24 × 24 × 2) = 39,916,800 / 1152 = 34,650। विकल्प A स्वयं 11! है, यानी वह गणना जब प्रत्येक अक्षर भिन्न-पहचान वाला होता।
दो पासे फेंके गए। कम-से-कम एक छक्का आने की प्रायिकता है:
1. 1/3
2. 11/36
3. 1/36
4. 25/36
उत्तर देखें
उत्तर: B — 11/36
पूरक का प्रयोग करें: P(कोई छक्का नहीं) = (5/6)(5/6) = 25/36, अतः P(कम-से-कम एक छक्का) = 1 − 25/36 = 11/36। विकल्प A, 1/3 = 12/36, तब मिलता है जब 1/6 + 1/6 जोड़ दें — वह दोहरे छक्के के परिणाम को दो बार गिनता है, और 12/36 व 11/36 का अंतर ठीक वही एक परिणाम है।
52 पत्तों की सामान्य गड्डी से एक के बाद एक दो पत्ते निकाले गए, प्रतिस्थापन के बिना। दोनों बादशाह होने की प्रायिकता है:
1. 1/169
2. 1/221
3. 1/13
4. 4/52
उत्तर देखें
उत्तर: B — 1/221
पहला पत्ता बादशाह होने की प्रायिकता 4/52। उसके बाद 51 पत्तों में केवल 3 बादशाह शेष, अतः दूसरा बादशाह होने की प्रायिकता 3/51। गुणा करने पर: (4/52)(3/51) = 12/2652 = 1/221। विकल्प A, 1/169, यानी (4/52)² — प्रतिस्थापन सहित का उत्तर, जिसे प्रश्न स्पष्ट रूप से वर्जित करता है।
50 विद्यार्थियों की कक्षा में 30 क्रिकेट, 25 फुटबॉल तथा 10 दोनों खेलते हैं। कितने कोई भी खेल नहीं खेलते?
1. 5
2. 10
3. 45
4. 0
उत्तर देखें
उत्तर: A — 5
कम-से-कम एक खेल खेलने वाले 30 + 25 − 10 = 45 हैं, जिसमें वे 10 घटाए गए जो दोनों योगों में गिने गए थे। अतः 50 − 45 = 5 कोई नहीं खेलते। विकल्प C, 45, "कम-से-कम एक" की गणना है — मध्यवर्ती चरण, और बारंबार भ्रमक, क्योंकि प्रश्न शेष बचे लोगों को पूछता है।
एक सर्वेक्षण में 70% लोगों ने कहा कि उन्हें चाय पसंद है और 80% ने कहा कॉफ़ी पसंद है। दोनों पसंद करने वालों का न्यूनतम संभव प्रतिशत है:
1. 70%
2. 50%
3. 10%
4. 0%
उत्तर देखें
उत्तर: B — 50%
अधिकतम 100% लोग ही कम-से-कम एक पेय पसंद कर सकते हैं, अतः n(चाय) + n(कॉफ़ी) − n(दोनों) ≤ 100, यानी 70 + 80 − n(दोनों) ≤ 100, जिससे n(दोनों) ≥ 50। अतः अतिव्यापन कम-से-कम 50% है, और ठीक 50% तब होता है जब प्रत्येक व्यक्ति कम-से-कम एक पसंद करता हो। विकल्प D हेतु 150% लोगों का अस्तित्व आवश्यक होता। (तुलना हेतु अधिकतम 70% है — चाय पसंद करने वाले सभी को कॉफ़ी भी पसंद हो सकती है।)