अभ्यास सेट — TITA (उत्तर टाइप करें)

आठ प्रश्न, कोई विकल्प नहीं। आप उत्तर टाइप करते हैं, और गलत टाइप किए उत्तर पर कोई अंक नहीं कटता — इससे प्रयास का गणित पेपर के MCQ भाग से पूर्णतः भिन्न हो जाता है। +3/−1 वाले MCQ पर अंधा अनुमान ऋणात्मक प्रत्याशा रखता है; TITA प्रश्न पर प्रत्येक प्रयास की प्रत्याशा अऋणात्मक है, अतः एकमात्र प्रश्न यह है कि वह मिनट कहीं और अधिक उपयोगी है या नहीं। यहाँ दो आदतें बनानी चाहिए। पहली, यदि आपके पास कोई संख्या है तो TITA प्रश्न कभी खाली न छोड़ें — आधी हुई गणना भी नि:शुल्क जमा होती है। दूसरी, जो रूप पूछा गया है वही टाइप करें: "₹ लाख में" पूछने वाले प्रश्न का उत्तर करोड़ का आँकड़ा नहीं है, और प्रतिशत पूछने पर 5 सही है जबकि 0.05 गलत। नीचे किसी के लिए कैलकुलेटर आवश्यक नहीं, और वास्तविक परीक्षा का ऑन-स्क्रीन कैलकुलेटर इनमें से अधिकांश को धीमा ही करेगा।

TITA प्रश्न कैसे हल किया जाता है

  1. शुरू करने से पहले पढ़ें कि उत्तर किस रूप में चाहिए — संख्या, प्रतिशत, राशि, या हलों की गिनती। TITA के अधिकांश अंक सही गणना को गलत इकाई में टाइप करने से जाते हैं।
  2. विकल्प न होने पर पीछे से काम करने का आधार नहीं बचता, अतः अनुमान व प्रतिस्थापन शॉर्टकट नहीं रहते। वास्तव में हल करने की अपेक्षा रखें और उसी हिसाब से मिनट तय करें।
  3. पूर्णांक को पूर्णांक की तरह टाइप करें। यहाँ और वास्तविक परीक्षा में 12 तथा 12.00 दोनों स्वीकार्य हैं, परंतु बॉक्स में कोई इकाई या शब्द संख्या नहीं है और उसे संख्या नहीं पढ़ा जाएगा।
  4. जिस पर भी काम किया है, उसका उत्तर दें। कोई दंड नहीं है, अतः खाली बॉक्स वह अंक है जो आपने न लेने का निर्णय किया।

मुख्य बिंदु

  • गलत TITA उत्तर पर कुछ नहीं कटता, अतः कोई भी संख्या खाली से बेहतर है। पेपर की संरचना के बारे में जानने योग्य सबसे मूल्यवान बात यही असममिति है।
  • विकल्प न होने से पीछे से हल करना संभव नहीं — समान विषय के MCQ से TITA प्रश्न सामान्यतः अधिक समय लेता है, और चयन इसी आधार पर करें।
  • x + 1/x = k से सीधे x² + 1/x² = k² − 2 मिलता है। दिए व्यंजक का वर्ग करना x निकालने से तेज़ है।
  • |x − a| + |x − b| उनके बीच के प्रत्येक बिंदु पर a व b की दूरी के बराबर होता है, अतः ऐसे समीकरण के अनंत वास्तविक हल और गिनने योग्य पूर्णांक हल होते हैं।
  • समांतर श्रेणी के योग हेतु पहले परिसर का प्रथम व अंतिम पद खोजें; गिनती अंतर से और योग सिरों के औसत से मिल जाता है।
  • दो समुच्चयों के अतिव्यापन का प्रश्न एक समीकरण है: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|, और "कोई नहीं" की गिनती पहले सर्वनिष्ठ से घटा दें।

अभ्यास प्रश्न (8)

उत्तर खोलने से पहले प्रत्येक प्रश्न हल करें। हर व्याख्या सही विकल्प के साथ लुभावना गलत विकल्प भी बताती है, क्योंकि अंक वहीं जाते हैं।

  1. यदि x + 1/x = 4 हो, तो x² + 1/x² का मान क्या है?

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 14

    दिए व्यंजक का वर्ग करें: (x + 1/x)² = x² + 2 + 1/x², अतः x² + 1/x² = 4² − 2 = 14। व्यर्थ मार्ग है x² − 4x + 1 = 0 हल कर x = 2 ± √3 निकालना और फिर अपरिमेय संख्या का वर्ग करना — उत्तर 14 ही आता है, परंतु चार गुना समय लगता है और अंकगणितीय चूक का न्योता देता है। ध्यान दें कि वही सर्वसमिका एक बार और लगाने से x⁴ + 1/x⁴ = 14² − 2 = 194 मिलता है, जो सामान्य अगला प्रश्न है।

  2. |x − 3| + |x + 2| = 5 को कितने पूर्णांक मान x संतुष्ट करते हैं?

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 6

    व्यंजक को दूरी की तरह पढ़ें: |x − 3| + |x + 2| का अर्थ है x से 3 की दूरी जोड़ x से −2 की दूरी। ये दो बिंदु 5 दूर हैं, अतः उनके बीच के प्रत्येक x पर (सिरे सहित) योग 5 है और बाहर 5 से अधिक। [−2, 3] के पूर्णांक हैं −2, −1, 0, 1, 2, 3 — कुल 6। जाल है इसे तीन स्थितियों में हल कर केवल दो सिरे बताना, जिससे 2 आता है; दूसरी ओर का जाल है "अनंत" कहना, जो वास्तविक हलों के लिए सत्य है परंतु प्रश्न ने पूर्णांक पूछे हैं।

  3. 17 से विभाज्य सभी तीन-अंकीय प्राकृत संख्याओं का योग क्या है?

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 28832

    पहले सिरे खोजें। 17 का सबसे छोटा तीन-अंकीय गुणज 17 × 6 = 102 है; सबसे बड़ा 17 × 58 = 986। अतः पद 17 × 6 से 17 × 58 तक हैं — यानी 58 − 6 + 1 = 53 पद, समांतर श्रेणी में। योग = 53 × (102 + 986)/2 = 53 × 544 = 28,832। दो चूकें आम हैं: 17 × 5 = 85 से शुरू करना, जो तीन-अंकीय नहीं है, और गिनती 58 − 6 = 52 लेना, जो यह भूल जाता है कि दोनों सिरे शामिल हैं।

  4. ऐसी कितनी चार-अंकीय संख्याएँ बनाई जा सकती हैं जिनका प्रत्येक अंक विषम हो और कोई अंक दोहराया न जाए?

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 120

    विषम अंक हैं 1, 3, 5, 7, 9 — कुल पाँच, और इनमें 0 नहीं है, अतः अग्रणी अंक की वह बाधा जो ऐसे प्रश्नों को उलझाती है यहाँ लागू नहीं होती। पाँच में से चार को क्रम में चुनना = 5 × 4 × 3 × 2 = 120, जो ⁵P₄ है। आम भूल 5⁴ = 625 है, जो दोहराव की अनुमति देती है; दूसरी है अग्रणी शून्य की स्थिति घटाना, जो एक भी नहीं है क्योंकि 0 सम है।

  5. यदि log₂ x + log₄ x = 6 हो, तो x का मान क्या है?

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 16

    दोनों लघुगणक एक ही आधार पर लाएँ। log₄ x = log₂ x / log₂ 4 = (1/2)·log₂ x, अतः समीकरण बनता है log₂ x + (1/2)log₂ x = 6, यानी (3/2)·log₂ x = 6, अतः log₂ x = 4 और x = 2⁴ = 16। जाँच: log₂ 16 = 4 तथा log₄ 16 = 2, और 4 + 2 = 6। सामान्य भूल आधार बदलने के बजाय तर्कों को जोड़ देना है, जिससे बायाँ पक्ष गुणनफल का लघुगणक बन जाता है और ऐसी संख्या मिलती है जो किसी को संतुष्ट नहीं करती।

  6. जिस त्रिभुज की भुजाएँ 13, 14 व 15 इकाई हैं, उसका क्षेत्रफल वर्ग इकाई में क्या है?

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 84

    हीरोन सूत्र: s = (13 + 14 + 15)/2 = 21, और क्षेत्रफल = √(21 × 8 × 7 × 6) = √7056 = 84। अंकगणित दिखने से आसान है — 21 × 8 = 168, 7 × 6 = 42, और 168 × 42 = 7056, जिसका वर्गमूल ठीक 84 है। यह त्रिभुज याद रखने योग्य है, क्योंकि CAT इसे दोहराता है: भुजाएँ 13, 14, 15 से क्षेत्रफल 84 आता है, जिससे 14 लंबाई की भुजा पर लंब ठीक 2 × 84 / 14 = 12 होता है। पहले त्रिभुज असमिका जाँचने की आदत रखें, क्योंकि 3, 4 व 9 भुजाओं वाले "त्रिभुज" का क्षेत्रफल नहीं होता और हीरोन त्रुटि के बजाय ऋणात्मक संख्या का वर्गमूल थमा देगा।

  7. 100 लोगों के समूह में 60 चाय पीते हैं, 50 कॉफ़ी पीते हैं और 20 कोई भी नहीं पीते। कितने दोनों पीते हैं?

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 30

    "कोई नहीं" वाले समूह को पहले सर्वनिष्ठ से हटाएँ: 100 − 20 = 80 लोग दोनों में से कम-से-कम एक पीते हैं, अतः |T ∪ C| = 80। फिर 80 = 60 + 50 − |T ∩ C|, जिससे |T ∩ C| = 110 − 80 = 30। सबसे आम गलत उत्तर 110 − 100 = 10 है, जो भूल जाता है कि सौ में से 20 दोनों वृत्तों के बाहर हैं और इसलिए गलत सम्मिलन प्रयोग करता है। शीघ्र जाँच: दोनों में 30 होने पर केवल चाय 30 और केवल कॉफ़ी 20, तथा 30 + 20 + 30 + 20 = 100।

  8. रेखा 3x + 4y = 24, x-अक्ष को A पर और y-अक्ष को B पर काटती है। त्रिभुज OAB का क्षेत्रफल वर्ग इकाई में क्या है, जहाँ O मूल बिंदु है?

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

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    उत्तर: 24

    x-अंतःखंड हेतु y = 0 रखें: 3x = 24, अतः A = (8, 0)। y-अंतःखंड हेतु x = 0 रखें: 4y = 24, अतः B = (0, 6)। त्रिभुज मूल बिंदु पर समकोण है, अतः क्षेत्रफल = (1/2) × 8 × 6 = 24। सामान्य परिणाम साथ रखने योग्य है: रेखा x/a + y/b = 1 अक्षों के साथ |ab|/2 क्षेत्रफल का त्रिभुज काटती है, और 3x + 4y = 24 वही x/8 + y/6 = 1 है। जाल है गुणांक 3 व 4 को अंतःखंड पढ़ लेना और 6 उत्तर देना।