CAT गहराई पर ज्यामिति व निर्देशांक ज्यामिति

ज्यामिति सामान्यतः बाईस QA प्रश्नों में से चार से छह होती है, और यही वह विषय है जिसमें परीक्षार्थी सूत्र जानते हुए भी सर्वाधिक अंक खोते हैं। कारण यह है कि CAT प्रायः सूत्र लगाने को नहीं कहता; वह पूछता है कि दी गई रचना किस बात को अनिवार्य बना देती है। एक विशिष्ट प्रश्न त्रिभुज देता है जिसमें एक रेखा खींची है और अनुपात पूछता है — कोई लंबाई दी ही नहीं। वह क्षेत्रमिति के वेश में समरूपता का प्रश्न है। यह अध्याय वे परिणाम देता है जो ऐसे प्रश्नों का उत्तर देते हैं: समरूपता व अनुपात प्रमेय, बिंदु-घात सहित वृत्त प्रमेय, त्रिभुज के विशेष केंद्र, तथा निर्देशांक ज्यामिति — जो उस रचना के स्थान पर, जो दिखाई न दे, एक बीजीय गणना रख देती है जो दिखाई देती है। क्षेत्रफल व आयतन के सूत्र आधार-अध्याय में हैं और यहाँ दोहराए नहीं गए।

समरूपता — CAT ज्यामिति का सर्वाधिक पूछा विचार

दो त्रिभुज समरूप होते हैं जब उनके कोण मेल खाएँ; तब उनकी भुजाएँ एक निश्चित अनुपात k में होती हैं। तीन परिणाम निकलते हैं, और CAT दूसरे को जाँचता है:

  1. संगत भुजाएँ अनुपात k में होती हैं।
  2. संगत क्षेत्रफल अनुपात k² में होते हैं — k में नहीं। इस विषय में सर्वाधिक अंक यहीं खोए जाते हैं।
  3. समरूप ठोसों हेतु आयतन अनुपात k³ में होते हैं।
  • आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय (थेल्स)। त्रिभुज की एक भुजा के समांतर खींची रेखा अन्य दो भुजाओं को समान अनुपात में काटती है। अतः त्रिभुज ABC में यदि DE ∥ BC, तो AD/DB = AE/EC। विलोमतः यदि वे अनुपात बराबर हों तो रेखा समांतर है — और इसी से "सिद्ध करें DE ∥ BC" प्रकार के प्रश्न एक भाग-क्रिया बन जाते हैं।
  • हल उदाहरण (k² का जाल)। त्रिभुज ABC में DE ∥ BC तथा AD : DB = 2 : 3। छोटा त्रिभुज ADE पूरे त्रिभुज के क्षेत्रफल का कितना भाग है? भुजाओं का अनुपात AD/AB = 2/5, अतः क्षेत्रफलों का अनुपात (2/5)² = 4/25। जो परीक्षार्थी 2/5 उत्तर देता है उसने क्षेत्रफल हेतु भुजा-अनुपात लगा दिया — इस स्तर की सबसे आम ज्यामिति-गलती। अतः समलंब DBCE में शेष 21/25 है।
  • कोण समद्विभाजक प्रमेय। कोण A का समद्विभाजक BC को D पर मिलता है जहाँ BD/DC = AB/AC। जो प्रश्न दो भुजाएँ देकर तीसरी का विभाजन पूछे, वह लगभग सदा यही प्रमेय है।
  • माध्यिका के जानने योग्य तथ्य। माध्यिका त्रिभुज को समान क्षेत्रफल वाले दो त्रिभुजों में बाँटती है (समान आधार, समान ऊँचाई)। तीनों माध्यिकाएँ केंद्रक पर मिलती हैं, जो प्रत्येक को शीर्ष से 2 : 1 अनुपात में बाँटता है, और उनसे बने छहों छोटे त्रिभुजों का क्षेत्रफल बराबर होता है।

त्रिभुज — CAT जिन परिणामों को दोहराता है

कंठस्थ योग्य
परिणामयह क्या देता है
क्षेत्रफल = r × s, जहाँ r अंतःत्रिज्या व s अर्धपरिमापकिसी भी त्रिभुज की अंतःत्रिज्या उसके क्षेत्रफल से — कोई रचना नहीं
समकोण त्रिभुज में r = (a + b − c)/2, जहाँ c कर्णपेपर के सर्वाधिक सामान्य त्रिभुज हेतु सबसे तेज़ अंतःत्रिज्या
समकोण त्रिभुज की परित्रिज्या = कर्ण का आधासमकोण वृत्त पर स्थित होता है — बहुत बार छिपा तथ्य
त्रिभुज असमिका: कोई भी भुजा अन्य दो के योग से कमपूर्णांक-भुजा वाले कितने त्रिभुज संभव हैं, यह गिनना
पाइथागोरीय त्रिक: 3-4-5, 5-12-13, 8-15-17, 7-24-25, 9-40-41गणना से पहले उत्तर पहचानना, और उनके सभी गुणज
  • हल उदाहरण (अंतःत्रिज्या)। समकोण त्रिभुज की भुजाएँ 6 व 8, अतः कर्ण 10 और क्षेत्रफल 24। अर्धपरिमाप s = (6 + 8 + 10)/2 = 12, अतः r = क्षेत्रफल/s = 24/12 = 2। समकोण त्रिभुज का शॉर्टकट भी वही देता है: (6 + 8 − 10)/2 = 2 ✓
  • हल उदाहरण (त्रिभुज गिनना)। परिमाप 12 वाले पूर्णांक-भुजा त्रिभुज कितने हैं? a ≤ b ≤ c तथा c < a + b के साथ सूची: (2,5,5), (3,4,5), (4,4,4)। और (1,5,6)? नहीं — 1 + 5 = 6, जो 6 से बड़ा नहीं, अतः वे तीन बिंदु संरेख हैं, त्रिभुज नहीं। उत्तर: 3। पूरा कार्य असमिका करती है; जाल है अपभ्रष्ट स्थिति को गिन लेना।

वृत्त — अधिकांश प्रश्नों का उत्तर देने वाली चार प्रमेय

  • एक ही चाप पर खड़ा केंद्र का कोण परिधि के कोण का दोगुना होता है। इसका सर्वाधिक प्रयुक्त विशेष रूप: अर्धवृत्त का कोण समकोण होता है। यदि प्रश्न व्यास और वृत्त पर एक बिंदु का उल्लेख करे, तो आपको समकोण दे दिया गया है।
  • स्पर्श रेखा स्पर्श बिंदु पर त्रिज्या के लंबवत होती है, और बाह्य बिंदु से खींची दो स्पर्श रेखाएँ समान लंबाई की होती हैं। ये दोनों मिलकर लगभग प्रत्येक स्पर्श-प्रश्न को समकोण त्रिभुज बना देती हैं।
  • बिंदु-घात। वृत्त के भीतर P पर काटती दो जीवाओं हेतु: PA × PB = PC × PD। बाह्य बिंदु से दो छेदक रेखाओं हेतु भी: PA × PB = PC × PD। तथा स्पर्श रेखा PT व छेदक PAB हेतु: PT² = PA × PB। यही एक परिवार अधिकांश "लंबाई ज्ञात करें" वृत्त-प्रश्नों का उत्तर देता है।
  • चक्रीय चतुर्भुज। सम्मुख कोणों का योग 180° होता है। विलोमतः यदि चतुर्भुज के सम्मुख कोणों का योग 180° हो तो उसके चारों शीर्ष एक ही वृत्त पर होते हैं — और इसी से प्रश्न वह वृत्त छिपा लेता है जिसे वह खींचता ही नहीं।
  • हल उदाहरण (बिंदु-घात)। बाह्य बिंदु P से 8 लंबाई की स्पर्श रेखा वृत्त को स्पर्श करती है, और P से जाने वाली छेदक रेखा उसे A व B पर काटती है जहाँ PA = 4। PB ज्ञात करें। PT² = PA × PB से 64 = 4 × PB, अतः PB = 16, और जीवा AB = 16 − 4 = 12।

निर्देशांक ज्यामिति — रचना के स्थान पर बीजगणित

CAT में निर्देशांक ज्यामिति का मूल्य रेखाओं पर सीधे पूछे गिने-चुने प्रश्न नहीं हैं। मूल्य यह है कि समकोण या सममित आकृति का उल्लेख करने वाला कोई भी समतल-ज्यामिति प्रश्न अक्षों पर रखा जा सकता है और अंकगणित बन जाता है। समकोण को मूल बिंदु पर और भुजाओं को अक्षों के साथ रखें, और लंबाइयाँ घटाव बन जाती हैं।

आवश्यक सूत्र, इससे अधिक नहीं
किसके लिएसूत्र
दो बिंदुओं के बीच दूरी√[(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²]
मध्य बिंदु((x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2)
खंड को m : n में बाँटने वाला बिंदु((mx₂ + nx₁)/(m + n), (my₂ + ny₁)/(m + n))
शीर्षों से त्रिभुज का क्षेत्रफल½|x₁(y₂ − y₃) + x₂(y₃ − y₁) + x₃(y₁ − y₂)|
ढाल, तथा समांतर/लंबवत जाँचm = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁); समांतर यदि m₁ = m₂, लंबवत यदि m₁m₂ = −1
केंद्र (h, k) व त्रिज्या r वाला वृत्त(x − h)² + (y − k)² = r²
  • संरेखता का अर्थ शून्य क्षेत्रफल। तीन बिंदु एक रेखा पर ठीक तब होते हैं जब क्षेत्रफल-सूत्र 0 दे। (1,2), (3,6) व (5,10) हेतु: ½|1(6 − 10) + 3(10 − 2) + 5(2 − 6)| = ½|−4 + 24 − 20| = 0, अतः वे संरेख हैं। यह दो ढालों की तुलना से तेज़ और सुरक्षित है, जिसमें शून्य से भाग आ सकता है।
  • हल उदाहरण (आकृति रखना)। समकोण त्रिभुज की भुजाएँ 6 व 8 अक्षों के साथ हैं। उसका परिकेंद्र कहाँ है? शीर्ष (0,0), (6,0) व (0,8) पर रखें। समकोण त्रिभुज का परिकेंद्र कर्ण का मध्य बिंदु होता है, अतः वह ((6 + 0)/2, (0 + 8)/2) = (3, 4) पर है, और परित्रिज्या वहाँ से मूल बिंदु की दूरी √(9 + 16) = 5 — जो कर्ण 10 का ठीक आधा ✓
  • रेखाएँ व अंतःखंड। रेखा x/a + y/b = 1 अक्षों को (a, 0) व (0, b) पर काटती है, अतः वह अक्षों के साथ जो त्रिभुज बनाती है उसका क्षेत्रफल ½|ab| है। "बिंदु (2, 3) से जाने वाली, समान अंतःखंड काटने वाली रेखा" पूछने वाले प्रश्न a = b रखकर व प्रतिस्थापन से हल होते हैं: 2/a + 3/a = 1, जिससे a = 5 और रेखा x + y = 5।
🎯 "अक्षों पर रखें" का अभ्यास क्यों
40 मिनट के खंड में आप आकृति को ताकते हुए यह आशा नहीं कर सकते कि रचना दिख जाएगी। आकृति को अक्षों पर रखना एक ऐसी विधि है जो सदा आरंभ हो जाती है — यह उस समस्या को, जो दिखाई न दे, ऐसी गणना में बदल देती है जो निश्चित रूप से हो सकती है। यह सुंदर संश्लिष्ट हल से धीमी है और हल न मिलने से बहुत तेज़।

मुख्य बिंदु

  • समरूप आकृतियों में भुजाएँ k से, क्षेत्रफल k² से और आयतन k³ से बढ़ते हैं। जहाँ k² चाहिए वहाँ k लगाना इस स्तर की सबसे आम ज्यामिति-गलती है।
  • त्रिभुज की एक भुजा के समांतर रेखा अन्य दो को समानुपाती रूप से बाँटती है। बिना लंबाई दिए "अनुपात ज्ञात करें" वाले अधिकांश प्रश्न यही प्रमेय हैं।
  • क्षेत्रफल = r × s किसी भी त्रिभुज की अंतःत्रिज्या देता है, और समकोण त्रिभुज हेतु r = (a + b − c)/2 उसे तुरंत दे देता है।
  • अर्धवृत्त का कोण समकोण होता है, और समकोण त्रिभुज की परित्रिज्या उसके कर्ण की आधी। उल्लिखित व्यास का अर्थ है उपहार में मिला समकोण।
  • बिंदु-घात — P से जाने वाली किसी भी रेखा हेतु PA × PB, और स्पर्श रेखा हेतु PT² — अधिकांश वृत्त-लंबाई प्रश्नों का उत्तर एक समीकरण में देता है।
  • तीन बिंदु ठीक तब संरेख होते हैं जब निर्देशांक क्षेत्रफल-सूत्र शून्य दे — यह ढालों की तुलना से सुरक्षित है, जिसमें शून्य से भाग आ सकता है।
  • जब आकृति में समकोण या सममिति-अक्ष हो, उसे निर्देशांक अक्षों पर रखें। सदा आरंभ हो जाने वाली विधि उस सूझ से बेहतर है जो आए ही न।

अभ्यास प्रश्न (8)

उत्तर खोलने से पहले प्रत्येक प्रश्न हल करें। हर व्याख्या सही विकल्प के साथ लुभावना गलत विकल्प भी बताती है, क्योंकि अंक वहीं जाते हैं।

  1. त्रिभुज ABC में DE, BC के समांतर है जहाँ D, AB पर और E, AC पर है, तथा AD : DB = 2 : 3। त्रिभुज ADE व त्रिभुज ABC के क्षेत्रफलों का अनुपात है:

    1. 2 : 5
    2. 4 : 25
    3. 4 : 9
    4. 2 : 3
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — 4 : 25

    DE ∥ BC होने से ADE, ABC के समरूप है। संगत भुजाओं का अनुपात AD : AB = 2 : (2 + 3) = 2 : 5, अतः क्षेत्रफलों का अनुपात उसका वर्ग, 4 : 25। विकल्प A में भुजा-अनुपात को क्षेत्रफल-अनुपात मान लिया गया; विकल्प C में 2 : 3 का वर्ग किया गया, यानी हर में AB के बजाय DB लिया गया।

  2. एक समकोण त्रिभुज की भुजाएँ 6 सेमी व 8 सेमी हैं। उसके अंतर्वृत्त की त्रिज्या है:

    1. 2 सेमी
    2. 2.4 सेमी
    3. 3 सेमी
    4. 5 सेमी
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — 2 सेमी

    कर्ण 10 है (3-4-5 त्रिक का दोगुना), क्षेत्रफल ½ × 6 × 8 = 24 और अर्धपरिमाप 12, अतः r = क्षेत्रफल/s = 24/12 = 2। समकोण त्रिभुज का शॉर्टकट पुष्टि करता है: r = (6 + 8 − 10)/2 = 2। विकल्प D, 5, परित्रिज्या है (कर्ण का आधा), जो जानबूझकर रखा भ्रमक है।

  3. पूर्णांक भुजाओं वाले कितने त्रिभुजों का परिमाप 12 इकाई है?

    1. 2
    2. 3
    3. 4
    4. 5
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — 3

    12 का योग देने वाले उन अक्रमित त्रिकों की सूची बनाएँ जो त्रिभुज असमिका संतुष्ट करते हैं: (2,5,5), (3,4,5) व (4,4,4)। विफल होने वाले हैं (1,5,6), जहाँ 1 + 5 = 6 है जो 6 से बड़ा नहीं, तथा इसी कारण (2,4,6), (1,4,7) व (3,3,6) — समता का अर्थ तीनों बिंदु संरेख, यानी कोई त्रिभुज नहीं। अतः उत्तर 3 है, और अपभ्रष्ट स्थितियाँ गिनने से ही बड़े विकल्प बनते हैं।

  4. बाह्य बिंदु P से 8 सेमी लंबी स्पर्श रेखा एक वृत्त को स्पर्श करती है। P से एक छेदक रेखा वृत्त को A व B पर काटती है, जहाँ PA = 4 सेमी। जीवा AB की लंबाई है:

    1. 12 सेमी
    2. 16 सेमी
    3. 20 सेमी
    4. 8 सेमी
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — 12 सेमी

    बिंदु-घात से PT² = PA × PB, अतः 64 = 4 × PB और PB = 16। परंतु PB, P से मापा जाता है और उसमें PA सम्मिलित है, अतः जीवा AB = PB − PA = 16 − 4 = 12। विकल्प B, PB है — जो प्रश्न ने पूछा ही नहीं; परीक्षा में यह अंतर दो बार पढ़ने योग्य है।

  5. जिस त्रिभुज के शीर्ष (1, 1), (5, 1) व (5, 4) हैं, उसका क्षेत्रफल है:

    1. 6 वर्ग इकाई
    2. 12 वर्ग इकाई
    3. 7.5 वर्ग इकाई
    4. 10 वर्ग इकाई
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — 6 वर्ग इकाई

    दो भुजाएँ अक्ष-समांतर हैं: (1,1) से (5,1) तक आधार 4 और (5,1) से (5,4) तक ऊँचाई 3, अतः क्षेत्रफल ½ × 4 × 3 = 6। सूत्र भी वही देता है: ½|1(1 − 4) + 5(4 − 1) + 5(1 − 1)| = ½|−3 + 15 + 0| = 6। विकल्प B आधार × ऊँचाई है, आधा किए बिना।

  6. बिंदु (1, 2), (3, 6) व (5, k) संरेख हैं। k का मान है:

    1. 8
    2. 10
    3. 12
    4. 9
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — 10

    (1,2) से (3,6) तक ढाल (6 − 2)/(3 − 1) = 2। संरेखता हेतु (3,6) से (5,k) तक ढाल भी 2 होनी चाहिए: (k − 6)/(5 − 3) = 2, अतः k − 6 = 4 और k = 10। क्षेत्रफल-सूत्र से जाँच: ½|1(6 − 10) + 3(10 − 2) + 5(2 − 6)| = ½|−4 + 24 − 20| = 0 ✓

  7. एक रेखा (2, 3) से जाती है और दोनों अक्षों पर समान अंतःखंड काटती है। उसका समीकरण है:

    1. x + y = 5
    2. x − y = −1
    3. 2x + 3y = 13
    4. 3x + 2y = 12
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — x + y = 5

    समान अंतःखंड का अर्थ रेखा x/a + y/a = 1, यानी x + y = a। बिंदु रखने पर: 2 + 3 = 5, अतः रेखा x + y = 5। अंतःखंड जाँचें: (5, 0) व (0, 5), समान ✓। विकल्प B उस बिंदु से ढाल 1 वाली रेखा है, जो −1 व 1 अंतःखंड काटती है — परिमाण में समान, परंतु समान अंतःखंड नहीं।

  8. दो समरूप बेलनों की ऊँचाइयाँ 2 : 3 के अनुपात में हैं। उनके आयतनों का अनुपात है:

    1. 2 : 3
    2. 4 : 9
    3. 8 : 27
    4. 6 : 9
    उत्तर देखें

    उत्तर: C — 8 : 27

    समरूप ठोसों में प्रत्येक रैखिक विमा समान गुणक से बढ़ती है, अतः त्रिज्याएँ भी 2 : 3 में हैं और आयतन घन के अनुपात में: 2³ : 3³ = 8 : 27। विकल्प B, 4 : 9, उनके पृष्ठीय क्षेत्रफलों का अनुपात है — क्षेत्रफल हेतु सही, आयतन हेतु गलत। "समरूप" शब्द पर ध्यान दें: समान त्रिज्या व भिन्न ऊँचाई वाले दो बेलनों के आयतन 2 : 3 में होते हैं, अतः इस प्रश्न में वह शब्द वास्तविक कार्य कर रहा है।