फलन, लघुगणक व श्रेढ़ियाँ

ये तीन विषय मिलकर बाईस QA प्रश्नों में से लगभग तीन से पाँच बनाते हैं, और CAT इन्हें जोड़ना पसंद करता है: ऐसी श्रेढ़ी जिसके पद लघुगणक हों, या ऐसा फलन जिसके मान श्रेढ़ी बनाएँ। प्रत्येक इतना छोटा है कि पूरा सीखा जा सकता है — अंकगणित की तरह यहाँ विशेष स्थितियों की लंबी पूँछ नहीं है — जिससे QA खंड में प्रति घंटा सर्वाधिक प्रतिफल इसी भाग का है। श्रेढ़ी-तालिका के आठ सूत्र व लघुगणक के पाँच नियम ठीक से सीख लें और आप इन प्रकार का प्रत्येक प्रश्न कर सकेंगे, केवल वे नहीं जो संयोग से पहचान में आ जाएँ।

समांतर श्रेढ़ियाँ

AP प्रत्येक चरण में एक निश्चित सार्व अंतर d जोड़ती है। प्रथम पद a हो तो n-वाँ पद a + (n − 1)d और n पदों का योग (n/2)[2a + (n − 1)d] है, जिसे इस अधिक उपयोगी दूसरे रूप में याद रखना उचित है: n × (प्रथम व अंतिम पद का औसत)।

  • औसत रूप ही तेज़ रूप है। 17 से 63 तक के पूर्णांकों का योग = (पदों की संख्या) × (औसत) = 47 × 40 = 1880। पद गिनें 63 − 17 + 1 = 47, और AP का औसत सदा उसके दोनों सिरों का औसत होता है: (17 + 63)/2 = 40। सूत्र में मान रखने की आवश्यकता नहीं।
  • सममित चर चुनें। यदि AP में तीन संख्याओं का योग 24 हो, तो उन्हें a − d, a, a + d लिखें: योग 3a = 24, अतः a = 8 तुरंत। चार पदों हेतु a − 3d, a − d, a + d, a + 3d लें — योग 4a। यह एक आदत AP शब्द-प्रश्नों से अधिकांश बीजगणित हटा देती है।
  • दो पद पूरी श्रेढ़ी दे देते हैं। यदि 7वाँ पद 31 और 15वाँ पद 63 हो, तो 8d = 63 − 31 = 32, अतः d = 4, और a = 31 − 6(4) = 7। कोई भी दो पद पूरी श्रेढ़ी निश्चित कर देते हैं, अतः तीन पद देने वाला प्रश्न आपको एक जाँच दे रहा है।
  • जब योग सूत्र रूप में दिया हो। यदि Sₙ = 3n² + 5n, तो n-वाँ पद Sₙ − Sₙ₋₁ = [3n² + 5n] − [3(n−1)² + 5(n−1)] = 6n + 2। n = 1 से जाँच: S₁ = 8 और 6(1) + 2 = 8 ✓। यह घटाव-युक्ति किसी भी अनुक्रम पर काम करती है, केवल AP पर नहीं।

गुणोत्तर व हरात्मक श्रेढ़ियाँ

याद रखने योग्य सूत्र
राशिसूत्र
GP का n-वाँ पदarⁿ⁻¹
GP के n पदों का योग (r ≠ 1)a(rⁿ − 1)/(r − 1)
GP का अनंत तक योगa/(1 − r), केवल जब |r| < 1
a व b का गुणोत्तर माध्य√(ab)
a व b का हरात्मक माध्य2ab/(a + b)
प्रथम n प्राकृत संख्याओं का योगn(n + 1)/2
प्रथम n वर्गों का योगn(n + 1)(2n + 1)/6
प्रथम n घनों का योग[n(n + 1)/2]²
  • हल उदाहरण (अनंत GP)। 6 + 2 + 2/3 + … का योग a/(1 − r) है जिसमें a = 6, r = 1/3, अतः 6/(2/3) = 9। शर्त महत्वपूर्ण है: वही सूत्र 2 + 4 + 8 + … पर लगाने से −2 मिलेगा, जो निरर्थक है — यह श्रेणी अपसारी है क्योंकि r = 2 का परिमाण 1 से कम नहीं।
  • धनात्मक संख्याओं हेतु AM ≥ GM ≥ HM, और तीनों बराबर केवल तब जब संख्याएँ बराबर हों। तथा दो संख्याओं हेतु GM² = AM × HM, जिससे "तीसरा माध्य ज्ञात करें" प्रकार के अनेक प्रश्न एक गुणा बन जाते हैं। 4 व 9 से जाँच: AM = 6.5, GM = 6, HM = 2(36)/13 = 72/13 ≈ 5.54 — क्रम सही है, और 6.5 × 72/13 = 36 = 6² ✓
  • HP उलटी हुई AP है। यदि a, b, c हरात्मक श्रेढ़ी में हैं तो 1/a, 1/b, 1/c समांतर श्रेढ़ी में हैं। HP पर सीधे कार्य कभी न करें — पदों को उलटें, AP का कार्य करें, फिर उलट दें।

लघुगणक — पाँच नियम व एक आदत

log_b(x) = y का अर्थ b^y = x है। यही एक पंक्ति परिभाषा है, और लघुगणक को घात के रूप में पढ़ लेने से अधिकांश भ्रम मिट जाता है। आधार धनात्मक हो और 1 न हो, तथा x धनात्मक हो — अतः शून्य या ऋणात्मक संख्या का लघुगणक नहीं होता, और CAT के कई जाल इसी से बनते हैं।

नियम
नियमकब प्रयोग करें
log(mn) = log m + log nलघुगणक के भीतर गुणनफल हो
log(m/n) = log m − log nलघुगणक के भीतर भागफल हो
log(mᵏ) = k log mभीतर घात हो — पाँचों में सर्वाधिक प्रयुक्त नियम
log_b(x) = log(x)/log(b)दो भिन्न आधारों की तुलना करनी हो (आधार परिवर्तन)
log_b(b) = 1 तथा log_b(1) = 0सदा — ये दोनों पूरे व्यंजक समाप्त कर देते हैं
  • हल उदाहरण 1. log₂8 + log₃9 = 3 + 2 = 5, क्योंकि 2³ = 8 और 3² = 9। प्रत्येक को "कौन-सी घात यह देती है?" पढ़ें और कोई विधि आवश्यक नहीं।
  • हल उदाहरण 2 (आधार परिवर्तन)। log₄8 = log8/log4 = 3log2/2log2 = 3/2। log2 कट जाता है — इसीलिए संख्याएँ असुविधाजनक लगने पर भी आधार परिवर्तन लगाना उचित है।
  • हल उदाहरण 3 (एक समीकरण)। log₂(x) + log₂(x − 2) = 3 हल करें। जोड़ें: log₂[x(x − 2)] = 3, अतः x(x − 2) = 8, x² − 2x − 8 = 0, जिससे x = 4 या x = −2। परंतु x = −2 पर दोनों लघुगणक अपरिभाषित हो जाते हैं, अतः एकमात्र उत्तर x = 4 है। अमान्य मूल हटाना यहाँ वैकल्पिक नहीं — यही पूरा प्रश्न है।
  • अंक गिनना। धनात्मक पूर्णांक N में अंकों की संख्या ⌊log₁₀N⌋ + 1 है। चूँकि log₁₀2 ≈ 0.301, अतः 2¹⁰⁰ में ⌊30.1⌋ + 1 = 31 अंक हैं। CAT ने ठीक यही रूप एक से अधिक बार पूछा है।
⚠️ प्रांत का जाल
प्रत्येक लघुगणकीय समीकरण दो बार हल करना चाहिए: एक बार बीजगणितीय रूप से, और एक बार यह पूछकर कि प्रत्येक उत्तर हर लघुगणक के तर्क को धनात्मक रखता है या नहीं। इस विषय के प्रश्न प्रायः इसी उद्देश्य से बनाए जाते हैं कि एक मूल उस जाँच में विफल हो — वह "अतिरिक्त" मूल ही भ्रमक विकल्प होता है।

फलन — प्रांत, संयोजन व आलेख

  • प्रांत वह है जहाँ नियम अर्थपूर्ण हो। तीन प्रतिबंध लगभग हर CAT प्रश्न को ढँक लेते हैं: हर शून्य न हो, सम मूल के भीतर ऋणात्मक न हो, और लघुगणक का तर्क धनात्मक हो। f(x) = √(x − 3)/(x − 5) का प्रांत x ≥ 3 है, सिवाय x = 5 के।
  • संयोजन दाएँ से बाएँ चलता है। f(g(x)) का अर्थ पहले g लगाएँ। f(x) = 2x + 1 व g(x) = x² हेतु f(g(3)) = f(9) = 19 जबकि g(f(3)) = g(7) = 49। ये भिन्न हैं, और क्रम बदलने वाला प्रश्न ठीक यही जाँचता है।
  • विषम व सम। f(−x) = f(x) होने पर f सम है (y-अक्ष के प्रति सममित); f(−x) = −f(x) होने पर विषम (मूल बिंदु के प्रति सममित)। x², |x| व cos-प्रकार के आकार सम हैं; x, x³ व 1/x विषम। अधिकांश फलन दोनों में से कोई नहीं, और सममिति जानने से कभी-कभी बिना गणना उत्तर मिल जाता है — किसी भी विषम फलन हेतु f(a) + f(−a) = 0 होता है।
  • आलेख रूपांतरण, उसी क्रम में जिसमें लोग भ्रमित होते हैं। f(x) + k आलेख को k से ऊपर ले जाता है। f(x + k) उसे k से बाईं ओर ले जाता है — दाईं ओर नहीं, और यही लगभग सार्वत्रिक गलती है। −f(x) उसे लंबवत पलटता है; f(−x) क्षैतिज। |f(x)| x-अक्ष के नीचे के पूरे भाग को ऊपर परावर्तित कर देता है।
  • हल उदाहरण (फलनीय समीकरण)। यदि प्रत्येक x ≠ 0 हेतु f(x) + 2f(1/x) = 3x, तो f(2) ज्ञात करें। x = 2 रखें: f(2) + 2f(1/2) = 6। x = 1/2 रखें: f(1/2) + 2f(2) = 3/2। दूसरे को 2 से गुणा कर पहले से घटाएँ: 4f(2) − f(2) = 3 − 6, अतः 3f(2) = −3 और f(2) = −1। व्युत्क्रम रखना इस पूरे प्रश्न-प्रकार की मानक चाल है।
🧠 नियम पर भरोसा करने से पहले संख्या से जाँचें
निश्चित नहीं कि f(x + 2) बाएँ या दाएँ खिसकाता है? f(x) = x² लें और पूछें नया आलेख कहाँ न्यूनतम होता है। f(x + 2) = (x + 2)², जो x = −2 पर शून्य है — यानी बाईं ओर। दस सेकंड का प्रतिस्थापन आधे-याद नियम से बेहतर है।

मुख्य बिंदु

  • किसी भी AP का योग = (पदों की संख्या) × (प्रथम व अंतिम पद का औसत)। यही रूप प्रयोग करें, दो-पंक्ति वाला सूत्र नहीं।
  • AP के तीन पद a − d, a, a + d लिखें। योग 3a बन जाता है और शब्द-प्रश्न एक समीकरण में सिमट जाता है।
  • अनंत GP का योग a/(1 − r) केवल तब जब |r| < 1। यदि सूत्र असंभव मान दे तो श्रेणी अपसारी है और उत्तर है "कोई परिमित योग नहीं"।
  • log_b(x) = y का अर्थ केवल b^y = x है। लघुगणक को घात के रूप में पढ़ लेने से अधिकांश प्रश्न बिना किसी नियम के हल हो जाते हैं।
  • प्रत्येक लघुगणक समीकरण दो बार हल करें: बीजगणितीय रूप से, फिर यह जाँचकर कि हर मूल प्रत्येक तर्क को धनात्मक रखता है। अस्वीकृत मूल प्रायः विकल्पों में होता है।
  • f(x + k) आलेख को बाईं ओर खिसकाता है, दाईं ओर नहीं। संदेह में स्मृति पर भरोसा करने के बजाय किसी सरल फलन में संख्या रखें।
  • f(x) व f(1/x) वाले फलनीय समीकरण x तथा फिर 1/x रखकर, और दोनों परिणामों को युगपत समीकरण मानकर हल होते हैं।

अभ्यास प्रश्न (8)

उत्तर खोलने से पहले प्रत्येक प्रश्न हल करें। हर व्याख्या सही विकल्प के साथ लुभावना गलत विकल्प भी बताती है, क्योंकि अंक वहीं जाते हैं।

  1. 17 से 63 तक (दोनों सम्मिलित) सभी पूर्णांकों का योग है:

    1. 1840
    2. 1880
    3. 1920
    4. 1800
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — 1880

    पदों की संख्या = 63 − 17 + 1 = 47 ("+1" ही परीक्षार्थी भूलते हैं)। AP का औसत उसके सिरों का औसत: (17 + 63)/2 = 40। योग = 47 × 40 = 1880। +1 छोड़ने पर 46 × 40 = 1840 मिलता है, जो विकल्प A है।

  2. एक AP में 7वाँ पद 31 और 15वाँ पद 63 है। प्रथम पद है:

    1. 7
    2. 4
    3. 3
    4. 11
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — 7

    दोनों पदों के बीच 8 चरण हैं, अतः 8d = 63 − 31 = 32 और d = 4। तब a = 31 − 6d = 31 − 24 = 7। जाँच: 7वाँ पद 7 + 6(4) = 31 ✓ और 15वाँ 7 + 14(4) = 63 ✓। विकल्प B सार्व अंतर है, जो भ्रमक के रूप में दिया गया है।

  3. श्रेणी 6 + 2 + 2/3 + 2/9 + … का अनंत तक योग है:

    1. 8
    2. 9
    3. 12
    4. श्रेणी का कोई परिमित योग नहीं
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — 9

    प्रत्येक पद पिछले का एक-तिहाई है, अतः r = 1/3 व a = 6। चूँकि |r| < 1, अनंत योग विद्यमान है और a/(1 − r) = 6/(1 − 1/3) = 6/(2/3) = 9 के बराबर। प्रथम चार पद जोड़कर जाँचें: 6 + 2 + 0.667 + 0.222 = 8.889, जो 9 के निकट है और बढ़ रहा है।

  4. यदि किसी अनुक्रम के प्रथम n पदों का योग Sₙ = 3n² + 5n है, तो 10वाँ पद है:

    1. 62
    2. 65
    3. 350
    4. 56
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — 62

    n-वाँ पद Sₙ − Sₙ₋₁ है। यहाँ S₁₀ = 300 + 50 = 350 और S₉ = 243 + 45 = 288, अतः 10वाँ पद 350 − 288 = 62। विकल्प C स्वयं S₁₀ है — दस पदों का योग, जो एक चरण पहले रुक जाने वालों हेतु है। (सामान्य पद 6n + 2 है, जो n = 10 पर 62 देता है ✓)

  5. log₂8 + log₃9 + log₅125 का मान है:

    1. 6
    2. 8
    3. 9
    4. 10
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — 8

    प्रत्येक को घात के रूप में पढ़ें: 2³ = 8 अतः पहला 3; 3² = 9 अतः दूसरा 2; 5³ = 125 अतः तीसरा 3। कुल 3 + 2 + 3 = 8। लघुगणक का कोई नियम आवश्यक नहीं — केवल परिभाषा।

  6. log₂(x) + log₂(x − 2) = 3 को संतुष्ट करने वाले x के वास्तविक मानों की संख्या है:

    1. 2
    2. 1
    3. 0
    4. अनंत
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — 1

    जोड़ने पर log₂[x(x − 2)] = 3, अतः x(x − 2) = 8 और x² − 2x − 8 = 0, जिसके मूल 4 व −2 हैं। अब प्रांत की जाँच: मूल समीकरण हेतु x > 0 तथा x − 2 > 0 चाहिए, अतः x को 2 से बड़ा होना चाहिए। x = 4 मान्य; x = −2 पर दोनों लघुगणक अपरिभाषित, अतः अस्वीकृत। ठीक एक हल। उत्तर 2 देने का अर्थ है प्रांत की जाँच छोड़ दी गई।

  7. यदि f(x) = 2x + 1 और g(x) = x², तो f(g(3)) − g(f(3)) का मान है:

    1. 0
    2. −30
    3. 30
    4. 68
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — −30

    f(g(3)): पहले g लगाएँ, g(3) = 9, फिर f(9) = 19। g(f(3)): पहले f लगाएँ, f(3) = 7, फिर g(7) = 49। अंतर 19 − 49 = −30। विकल्प A यह मान लेने से मिलता है कि संयोजन क्रम-विनिमेय है, जो वह नहीं है।

  8. एक फलन प्रत्येक अशून्य x हेतु f(x) + 2f(1/x) = 3x संतुष्ट करता है। f(2) का मान है:

    1. 2
    2. −1
    3. 1
    4. −2
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — −1

    x = 2 रखने पर f(2) + 2f(1/2) = 6। x = 1/2 रखने पर f(1/2) + 2f(2) = 3/2। दूसरे समीकरण को दोगुना करें: 2f(1/2) + 4f(2) = 3। उसमें से पहला घटाएँ: 4f(2) − f(2) = 3 − 6, अतः 3f(2) = −3 और f(2) = −1। व्युत्क्रम प्रतिस्थापन ही इस प्रश्न-प्रकार की पूरी विधि है।