बीजगणित — समीकरण, असमिकाएँ व मापांक

अंकगणित के बाद CAT के QA खंड का दूसरा सबसे बड़ा भाग बीजगणित है — सामान्यतः बाईस में से पाँच से सात प्रश्न, और टाइप-इन (TITA) प्रश्नों में इसका हिस्सा इससे भी अधिक, जहाँ ऋणात्मक अंकन नहीं है। यह तथ्य आपकी रणनीति बदल देना चाहिए: जिस बीजगणित TITA प्रश्न पर आप 60% निश्चित हैं, वह प्रयास योग्य है; वहीं MCQ पर 60% का अनुमान औसतन एक-तिहाई अंक की हानि कराता है। CAT का बीजगणित विद्यालय-स्तरीय अभ्यास से इसलिए भिन्न नहीं है कि गुणनखंडन कठिन है; अंतर यह है कि CAT व्यंजक की संरचना पूछता है — इसके कितने मूल हैं, यह अधिकतम कितना मान ले सकता है, k के किन मानों पर इसका व्यवहार बदल जाता है। यह अध्याय वही बनाता है: द्विघात व उनके मूल, बहुपद शेषफल, संकेत-योजना विधि व AM–GM सहित असमिकाएँ, तथा मापांक — जहाँ असावधान परीक्षार्थी सर्वाधिक अंक खोते हैं।

CAT बीजगणित में क्या पूछता है — और क्या कभी नहीं

IIM कोई पाठ्यक्रम प्रकाशित नहीं करते — केवल पेपर प्रारूप। अतः "CAT बीजगणित" की सीमाएँ किसी दस्तावेज़ से उद्धृत नहीं, बल्कि पेपरों से ही पढ़नी पड़ती हैं, और उन्हें ईमानदारी से बताने का तरीका यह है कि क्या आया है और क्या नहीं, दोनों की सूची दी जाए। नीचे की तालिका जारी पेपरों का हमारा पठन है, आधिकारिक पाठ्यक्रम नहीं।

CAT में बीजगणित: दायरे में और दायरे से बाहर
नियमित रूप से पूछा जाता	नहीं पूछा जाता
द्विघात — मूल, मूलों की प्रकृति, योग व गुणनफल, सर्वनिष्ठ मूल, अधिकतम व निम्नतम	किसी भी प्रकार की त्रिकोणमिति — आधुनिक पेपर में कोई सर्वसमिका या ऊँचाई-दूरी प्रश्न नहीं आया
असमिकाएँ — द्विघात व परिमेय, तथा उन पर आधारित अधिकतम/निम्नतम प्रश्न	आव्यूह व सारणिक
मापांक समीकरण व असमिकाएँ	कलन — अवकलन व समाकलन
बहुपद — शेषफल व गुणनखंड प्रमेय, पूर्णांक मूल	सम्मिश्र संख्याएँ
युगपत समीकरण, पूर्णांक-हल गणना सहित	माध्य, माध्यिका व बहुलक से आगे की सांख्यिकी

🎯 "नहीं पूछा जाता" स्तंभ की उपयोगिता

CAT अभ्यर्थी के सामने पेपर विस्तृत है और सप्ताह सीमित। त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं पर लगाया प्रत्येक घंटा वह घंटा है जो अंकगणित पर नहीं लगा — और QA में सर्वाधिक अंक देने वाला एकल भाग अंकगणित ही है। क्या छोड़ना है, यह जानना भी पाठ्यक्रम का हिस्सा है।

द्विघात — हल किए बिना मूल पढ़ें

ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) के लिए CAT जो पूछता है वह तीन राशियों से निकल आता है: विविक्तकर D = b² − 4ac, मूलों का योग −b/a तथा मूलों का गुणनफल c/a। मूल स्वयं निकालने की आवश्यकता प्रायः नहीं पड़ती।

विविक्तकर क्या बताता है
शर्त	मूल हैं
D > 0 तथा पूर्ण वर्ग (a, b, c पूर्णांक)	दो भिन्न परिमेय मूल
D > 0, पूर्ण वर्ग नहीं	दो भिन्न अपरिमेय मूल, और वे संयुग्मी हैं: p ± √q
D = 0	एक पुनरावृत्त मूल, जो −b/2a के बराबर
D < 0	कोई वास्तविक मूल नहीं

हल किए बिना मूलों का चिह्न। गुणनफल c/a > 0 का अर्थ दोनों मूलों का चिह्न समान; तब योग −b/a बताता है कि कौन-सा। गुणनफल c/a < 0 का अर्थ मूलों के चिह्न विपरीत। उदाहरण: x² − 5x + 6 = 0 में गुणनफल +6 व योग +5, अतः दोनों मूल धनात्मक (वे 2 व 3 हैं)। तथा x² − x − 6 = 0 में गुणनफल −6, अतः मूल शून्य के दोनों ओर (वे 3 व −2 हैं)।
अधिकतम व निम्नतम। परवलय y = ax² + bx + c का मोड़ x = −b/2a पर है, और मोड़-मान c − b²/4a। यदि a > 0 तो यह ऊपर खुलता है, अतः वह मान निम्नतम; यदि a < 0 तो नीचे खुलता है और मान अधिकतम। उदाहरण: 6 + 4x − x² का अधिकतम x = −4/(2 × −1) = 2 पर है, और उसका मान 6 + 8 − 4 = 10।
समीकरण पुनः बनाना। यदि मूलों का योग S व गुणनफल P दिया है, तो समीकरण x² − Sx + P = 0 है। "एक समीकरण के मूल दूसरे के दोगुने हैं" प्रकार के प्रश्न इसी विधि से बनते हैं: नया योग = 2S, नया गुणनफल = 4P।
सर्वनिष्ठ मूल। यदि ax² + bx + c = 0 तथा px² + qx + r = 0 के दोनों मूल समान हों, तो a/p = b/q = c/r। यदि ठीक एक मूल समान हो, तो दोनों समीकरणों को घटाएँ — x² पद कट जाते हैं और शेष रैखिक समीकरण सीधे सर्वनिष्ठ मूल दे देता है।
हल उदाहरण। k के किन मानों पर x² + kx + 9 = 0 के मूल समान होंगे? समान मूल का अर्थ D = 0, अतः k² − 4(1)(9) = 0, k² = 36, k = ±6। ध्यान दें दोनों चिह्न मान्य हैं — जो प्रश्न केवल +6 चाहता है वह असावधानी से लिखा गया है, और TITA में आपको शब्दावली से तय करना पड़ेगा कि कौन-सा अपेक्षित है।

⚠️ a ≠ 0 का जाल

जो प्रश्न कहता है "समीकरण (k − 2)x² + 4x + 1 = 0 के मूल समान हैं", उसमें दूसरा उत्तर छिपा है: यदि k = 2 हो तो समीकरण द्विघात ही नहीं रहता — वह 4x + 1 = 0 बन जाता है जिसका एक मूल है, जिसे कुछ प्रश्न "समान मूल" गिनते हैं और कुछ नहीं। देखें कि प्रश्न "द्विघात समीकरण" कहता है (तब k ≠ 2 अनिवार्य) या केवल "समीकरण" (तब k = 2 पर भी विचार करना होगा)।

बहुपद — शेषफल व पूर्णांक मूल

शेषफल प्रमेय। f(x) को (x − a) से भाग देने पर शेषफल केवल f(a) है। कुछ भाग देने की आवश्यकता नहीं। उदाहरण: x³ − 4x + 7 को (x − 2) से भाग देने पर शेषफल f(2) = 8 − 8 + 7 = 7।
गुणनखंड प्रमेय। (x − a), f(x) को पूर्णतः विभाजित करता है जब f(a) = 0। अतः "यदि (x − 3), x³ − kx + 6 का गुणनखंड है तो k ज्ञात करें" एक प्रतिस्थापन है: 27 − 3k + 6 = 0, k = 11।
पूर्णांक मूल कहाँ खोजें। यदि पूर्णांक गुणांकों वाले बहुपद का अग्र गुणांक 1 हो और उसका कोई पूर्णांक मूल हो, तो वह मूल अचर पद को विभाजित करता है। x³ − 6x² + 11x − 6 के लिए संभावनाएँ 6 के भाजक हैं: ±1, ±2, ±3, ±6। 1 रखने पर 1 − 6 + 11 − 6 = 0, अतः (x − 1) गुणनखंड है, और शेष (x − 2)(x − 3) बनता है। मूल: 1, 2, 3।
घन बहुपद के लिए योग व गुणनफल। ax³ + bx² + cx + d = 0 के तीन मूलों के लिए: योग = −b/a, जोड़ों के गुणनफलों का योग = c/a, गुणनफल = −d/a। CAT इन्हें द्विघात रूपों की तरह ही प्रयोग करता है — हल किए बिना उत्तर देने हेतु।

असमिकाएँ — संकेत योजना

एक ही विधि CAT की लगभग प्रत्येक बहुपद व परिमेय असमिका हल कर देती है। इसे निश्चित प्रक्रिया के रूप में सीखना उचित है, क्योंकि यहाँ परीक्षार्थियों की गलतियाँ वैचारिक नहीं, प्रक्रियागत होती हैं।

सब कुछ एक ओर लाएँ जिससे असमिका व्यंजक > 0 (या < 0, ≥ 0, ≤ 0) पढ़ी जाए। ऐसी राशि से कभी तिर्यक गुणा न करें जो ऋणात्मक हो सकती है — इस विषय की सबसे आम गलती यही है।
व्यंजक का पूर्ण गुणनखंडन करें और अंश व हर के प्रत्येक मूल को संख्या-रेखा पर अंकित करें।
व्यंजक विषम बहुलता वाले प्रत्येक मूल पर चिह्न बदलता है और सम बहुलता वाले मूल (वर्ग गुणनखंड) पर चिह्न नहीं बदलता।
सबसे दाईं अंतराल में एक बड़ी संख्या रखकर पूरे व्यंजक का चिह्न ज्ञात करें, फिर नियम 3 के अनुसार बाईं ओर बदलते जाएँ।
जब असमिका ≥ या ≤ हो तो अंश के मूल सम्मिलित करें। हर के मूल सदा वर्जित रहते हैं, चिह्न कोई भी हो, क्योंकि वहाँ व्यंजक अपरिभाषित है।

हल उदाहरण 1. (x − 1)(x − 4) < 0 हल करें। मूल 1 व 4 पर; बड़े x हेतु गुणनफल धनात्मक, अतः दाईं ओर से चिह्न + − + चलते हैं। व्यंजक मूलों के बीच ऋणात्मक है: 1 < x < 4।
हल उदाहरण 2. (x − 2)/(x + 3) ≥ 0 हल करें। अंश का मूल 2 (सम्मिलित), हर का मूल −3 (सदा वर्जित)। बड़े x हेतु अनुपात धनात्मक। दाईं ओर से चिह्न: x > 2 पर +, −3 < x < 2 पर −, x < −3 पर +। उत्तर: x < −3 या x ≥ 2। तिर्यक गुणा करके x − 2 ≥ 0 लेने पर पूरी बाईं शाखा छूट जाती।
हल उदाहरण 3 (सम बहुलता)। (x − 1)²(x − 5) > 0 हल करें। वर्ग गुणनखंड चिह्न कभी नहीं बदलता, अतः व्यंजक ठीक वहाँ धनात्मक है जहाँ (x − 5) धनात्मक है, सिवाय x = 1 के जहाँ वह शून्य है। उत्तर: x > 5।

🧠 AM ≥ GM — याद रखने योग्य एकमात्र असमिका

अनृणात्मक संख्याओं हेतु समांतर माध्य गुणोत्तर माध्य से कम नहीं होता, और समता केवल तब जब सभी संख्याएँ समान हों। दो संख्याओं हेतु: (a + b)/2 ≥ √(ab)। "निम्नतम मान ज्ञात करें" प्रकार के अधिकांश प्रश्न इससे एक पंक्ति में हल हो जाते हैं। उदाहरण: x > 0 हेतु x + 1/x का निम्नतम 2 है, क्योंकि (x + 1/x)/2 ≥ √(x · 1/x) = 1, और समता x = 1 पर। शर्त पर ध्यान दें — x < 0 हेतु उसी व्यंजक का अधिकतम −2 होता है, जो एक प्रिय जाल है।

मापांक — जहाँ अंक खोए जाते हैं

|x| का अर्थ x की शून्य से दूरी है, अतः यह कभी ऋणात्मक नहीं होता। इसे "चिह्न हटाना" न मानकर दूरी मानने से अधिकांश प्रश्न पारदर्शी हो जाते हैं: |x − 3| का अर्थ x व 3 के बीच की दूरी है, अतः |x − 3| < 5 का अर्थ x, 3 से 5 की परिधि में है, यानी −2 < x < 8। कोई स्थिति-विभाजन नहीं चाहिए।

चार मानक रूप
कथन	समतुल्य
\|x\| = a, a > 0	x = a या x = −a
\|x\| = a, a < 0	कोई हल नहीं — मापांक कभी ऋणात्मक नहीं
\|x\| < a, a > 0	−a < x < a (एक अंतराल)
\|x\| > a, a > 0	x < −a या x > a (दो अंतराल)

दो मापांक: क्रांतिक बिंदुओं पर विभाजन। |x − 1| + |x − 4| = 5 हल करने हेतु वे बिंदु अंकित करें जहाँ प्रत्येक मापांक चिह्न बदलता है — 1 व 4 — और तीन क्षेत्र देखें। x < 1 हेतु: (1 − x) + (4 − x) = 5 से x = 0 ✓ (0 < 1, अतः मान्य)। 1 ≤ x ≤ 4 हेतु: (x − 1) + (4 − x) = 3 ≠ 5, कोई हल नहीं। x > 4 हेतु: (x − 1) + (x − 4) = 5 से x = 5 ✓। उत्तर: x = 0 या x = 5। दूरी-पठन इसकी पुष्टि करता है: हमें वे बिंदु चाहिए जिनकी 1 व 4 से दूरियों का योग 5 हो, और चूँकि दोनों 3 दूर हैं, बिंदु किसी भी ओर 1 इकाई बाहर होना चाहिए।
प्रत्याशी मानों की उस क्षेत्र से जाँच सदा करें जिसे आपने माना था। वर्ग करने या स्थिति-विभाजन से अतिरिक्त मान बनते हैं जो बीजगणित संतुष्ट करते हैं, मूल समीकरण नहीं। |x − 2| = 2x − 7 का वर्ग करने पर x² − 4x + 4 = 4x² − 28x + 49, यानी x² − 8x + 15 = 0, जिसके मूल 3 व 5 हैं। दोनों को मूल समीकरण में रखें: x = 3 पर बायाँ पक्ष |1| = 1 और दायाँ पक्ष 6 − 7 = −1 — अस्वीकृत, क्योंकि मापांक ऋणात्मक नहीं हो सकता। x = 5 पर बायाँ पक्ष |3| = 3 और दायाँ पक्ष 10 − 7 = 3 ✓। अतः समीकरण का ठीक एक हल है, x = 5, और दूसरा वर्ग करने की उपज था। जाँच छोड़ने वाला परीक्षार्थी "दो हल" उत्तर देता।
दूरियों के योग का निम्नतम। |x − a| + |x − b| का निम्नतम |a − b| है, जो a व b के बीच कहीं भी प्राप्त होता है। तीन बिंदुओं हेतु यह मध्य बिंदु पर निम्नतम होता है। इससे कठिन दिखने वाला प्रश्न एक पंक्ति का हो जाता है: |x − 2| + |x − 6| + |x − 9| का निम्नतम x = 6 पर है, और उसका मान 4 + 0 + 3 = 7।

वास्तविक पेपर में बीजगणित का प्रयास

TITA अनुमान का गणित बदल देता है। टाइप-इन प्रश्न पर ऋणात्मक अंकन नहीं है, अतः जो उत्तर आप बना सकें उसे भरना निःशुल्क है। MCQ पर गलत उत्तर संभावित 3 अंकों के विरुद्ध 1 अंक की हानि कराता है — अतः चार विकल्पों में अंधे अनुमान का प्रत्याशित मान (3 − 3)/4 = 0 है, और दो विकल्पों तक सीमित अनुमान का प्रत्याशित मान धनात्मक। पहले विकल्प घटाएँ, फिर अनुमान लगाएँ; यदि कोई भी संख्या बन रही हो तो TITA कभी खाली न छोड़ें।
विकल्प रखकर देखें। जब MCQ चार संख्याएँ देता है और बीजगणित लंबा दिखता है, तो विकल्प जाँचना प्रायः हल करने से तेज़ होता है — और यह गलत नहीं हो सकता, क्योंकि उत्तर उनमें से ही है। यह वैध विधि है, कोई लज्जाजनक शॉर्टकट नहीं।
एक संख्या से जाँच। किसी बीजीय रूपांतरण पर भरोसा करने से पहले दोनों पक्षों में सुविधाजनक मान रखें — x = 1, या a = b = 1। चिह्न की चूक तुरंत सामने आ जाती है। यहाँ लगाए तीस सेकंड पूरा प्रश्न बचा लेते हैं।

मुख्य बिंदु

किसी भी द्विघात हेतु विविक्तकर b² − 4ac, योग −b/a तथा गुणनफल c/a लगभग प्रत्येक प्रश्न का उत्तर मूल निकाले बिना दे देते हैं।
परवलय x = −b/2a पर मुड़ता है: a > 0 पर निम्नतम, a < 0 पर अधिकतम। यह एक पंक्ति बीजगणित के अधिकांश "अधिकतम संभव मान" प्रश्नों का उत्तर देती है।
असमिका में ऐसे व्यंजक से तिर्यक गुणा कभी न करें जो ऋणात्मक हो सकता है। सब कुछ एक ओर लाएँ, मूल अंकित करें, और संख्या-रेखा से चिह्न पढ़ें।
हर के मूल हल-समुच्चय से सदा वर्जित रहते हैं, असमिका की दिशा कोई भी हो — वहाँ व्यंजक अपरिभाषित होता है।
|x − a| को "x से a की दूरी" पढ़ें। |x − a| < b एक अंतराल बनता है और |x − a| > b दो, स्थिति-विभाजन की आवश्यकता ही नहीं।
मापांक समीकरण के प्रत्येक संभावित हल को पुनः रखकर जाँचें। स्थिति-विभाजन व वर्ग करना, दोनों ऐसे मान बना देते हैं जिन्हें मूल समीकरण अस्वीकार करता है।
CAT त्रिकोणमिति, आव्यूह, कलन व सम्मिश्र संख्याएँ नहीं पूछता। बीजगणित की पुनरावृत्ति में जो छोड़ा जाए वह उतना ही सोचा-समझा होना चाहिए जितना जो रखा जाए।

अभ्यास प्रश्न (8)

उत्तर खोलने से पहले प्रत्येक प्रश्न हल करें। हर व्याख्या सही विकल्प के साथ लुभावना गलत विकल्प भी बताती है, क्योंकि अंक वहीं जाते हैं।

यदि समीकरण x² + kx + 16 = 0 के मूल समान हैं, तो k का मान है:
1. ±4
2. ±8
3. केवल 8
4. ±16
उत्तर देखें
उत्तर: B — ±8
समान मूल का अर्थ विविक्तकर शून्य: k² − 4(1)(16) = 0, अतः k² = 64 और k = ±8। दोनों चिह्न वास्तविक हैं: k = 8 से (x + 4)² = 0 और k = −8 से (x − 4)² = 0, दोनों में पुनरावृत्त मूल। विकल्प ±4, 64 के बजाय 16 का वर्गमूल लेने से आता है।
x² − 7x + 12 = 0 के मूल α व β हैं। जिस समीकरण के मूल 2α व 2β हैं, वह है:
1. x² − 14x + 48 = 0
2. x² − 14x + 24 = 0
3. x² − 7x + 48 = 0
4. x² − 28x + 48 = 0
उत्तर देखें
उत्तर: A — x² − 14x + 48 = 0
मूल समीकरण में योग 7 व गुणनफल 12। दोनों मूल दोगुने करने पर योग दोगुना होकर 14 और गुणनफल चार गुना होकर 48। समीकरण x² − 14x + 48 = 0। सीधी जाँच: मूल 3 व 4 हैं, अतः नए मूल 6 व 8 — योग 14, गुणनफल 48 ✓। विकल्प B गुणनफल को 4 के बजाय 2 से गुणा करता है, जो सामान्य गलती है।
10 + 6x − x² का अधिकतम मान है:
1. 16
2. 19
3. 13
4. 10
उत्तर देखें
उत्तर: B — 19
यहाँ a = −1 ऋणात्मक है, अतः परवलय नीचे खुलता है और मोड़-बिंदु अधिकतम है। वह x = −b/2a = −6/(2 × −1) = 3 पर है, और वहाँ मान 10 + 18 − 9 = 19। विकल्प 10, x = 0 पर का मान है — जो अचर पद को उत्तर मान लेने वालों हेतु जाल है।
(x − 3)/(x + 2) ≤ 0 का हल-समुच्चय है:
1. −2 ≤ x ≤ 3
2. −2 < x ≤ 3
3. x < −2 या x ≥ 3
4. −2 < x < 3
उत्तर देखें
उत्तर: B — −2 < x ≤ 3
अंश 3 पर शून्य होता है और हर −2 पर। बड़े x हेतु अनुपात धनात्मक, अतः दाईं ओर से चिह्न: x > 3 पर +, −2 < x < 3 पर −, x < −2 पर +। हमें ≤ 0 चाहिए, अतः मध्य अंतराल लेंगे। x = 3 सम्मिलित है क्योंकि वहाँ अंश शून्य है और व्यंजक वैध रूप से 0 है। x = −2 वर्जित है क्योंकि वहाँ व्यंजक अपरिभाषित है — और ठीक यही सही विकल्प को विकल्प A से अलग करता है।
x > 0 हेतु x + 4/x का निम्नतम मान है:
1. 2
2. 4
3. 5
4. 8
उत्तर देखें
उत्तर: B — 4
दो धनात्मक राशियों x व 4/x पर AM ≥ GM से: (x + 4/x)/2 ≥ √(x × 4/x) = √4 = 2, अतः x + 4/x ≥ 4। समता हेतु x = 4/x चाहिए, यानी x = 2, और वास्तव में 2 + 4/2 = 4। उत्तर 2 तब मिलता है जब गुणोत्तर माध्य पर रुक जाएँ और उसे दोगुना करना भूल जाएँ।
|x − 5| = −3 को संतुष्ट करने वाले x के वास्तविक मानों की संख्या है:
1. 2
2. 1
3. 0
4. अनंत
उत्तर देखें
उत्तर: C — 0
मापांक एक दूरी है, और दूरी कभी ऋणात्मक नहीं होती, अतः x का कोई मान |x − 5| को −3 नहीं बना सकता। उत्तर 0 है। जो परीक्षार्थी यंत्रवत "x − 5 = ±3" लिखता है उसे x = 8 व x = 2 मिलते हैं और वह 2 उत्तर देता है — परंतु वे |x − 5| = 3 के हल हैं, जो भिन्न समीकरण है। इसी कारण मापांक के प्रत्येक हल को पुनः रखकर जाँचना आवश्यक है।
सभी वास्तविक x हेतु |x − 2| + |x − 7| का निम्नतम मान है:
1. 0
2. 5
3. 9
4. 2.5
उत्तर देखें
उत्तर: B — 5
व्यंजक को x से 2 तक और x से 7 तक की कुल दूरी के रूप में पढ़ें। 2 व 7 के बीच का कोई भी x कुल ठीक उनका अंतर 5 देता है; बाहर का कोई भी x अतिरिक्त दूरी दो बार जोड़ता है। अतः निम्नतम 5 है, जो 2 ≤ x ≤ 7 पर सर्वत्र प्राप्त होता है — एक पूरा अंतराल, कोई एक बिंदु नहीं। x = 4 से जाँच: 2 + 3 = 5 ✓; और x = 0: 2 + 7 = 9, जो विकल्प C है और अंतराल के बाहर के बिंदु का मान है।
यदि (x − 2), x³ − 3x² + kx − 4 का गुणनखंड है, तो k का मान है:
1. 4
2. 2
3. 6
4. −4
उत्तर देखें
उत्तर: A — 4
गुणनखंड प्रमेय से, (x − 2) बहुपद को पूर्णतः विभाजित करता है जब x = 2 रखने पर शून्य मिले: 8 − 12 + 2k − 4 = 0, अतः 2k = 8 और k = 4। भाग देने की आवश्यकता नहीं। जाँच: x = 2 पर x³ − 3x² + 4x − 4 = 8 − 12 + 8 − 4 = 0 ✓