अभ्यास सेट — केसलेट व आँकड़ा पर्याप्तता

अभ्यास प्रश्न (8)

उत्तर खोलने से पहले प्रत्येक प्रश्न हल करें। हर व्याख्या सही विकल्प के साथ लुभावना गलत विकल्प भी बताती है, क्योंकि अंक वहीं जाते हैं।

1. सेट 1 — केसलेट। 120 विद्यार्थियों की कक्षा में प्रत्येक विद्यार्थी कितनी भी विदेशी भाषाएँ पढ़ सकता है। 60 विद्यार्थी फ़्रेंच पढ़ते हैं, 50 जर्मन और 40 स्पेनिश। 20 फ़्रेंच व जर्मन दोनों पढ़ते हैं, 15 जर्मन व स्पेनिश दोनों, तथा 18 फ़्रेंच व स्पेनिश दोनों। 8 विद्यार्थी तीनों भाषाएँ पढ़ते हैं।

   ℹ️ अतिव्यापन ध्यान से पढ़ें

   प्रत्येक युग्मवार आँकड़ा — "20 फ़्रेंच व जर्मन दोनों पढ़ते हैं" — उस युग्म के सभी को गिनता है, उन 8 सहित जो तीनों पढ़ते हैं। यह उनकी संख्या नहीं है जो ठीक वही दो पढ़ते हैं।

   कितने विद्यार्थी तीनों में से कोई भाषा नहीं पढ़ते?

   1. 15
   2. 23
   3. 8
   4. 0
   उत्तर देखें

   उत्तर: A — 15

   संघ = 60 + 50 + 40 − 20 − 15 − 18 + 8 = 105। युग्मवार आँकड़े घटते हैं और त्रिक पुनः जुड़ता है, क्योंकि तीनों पढ़ने वाले 8 विद्यार्थी उन घटावों से तीन बार हट गए और एक बार लौटाना आवश्यक है। अतः 120 − 105 = 15 कोई भाषा नहीं पढ़ते। अंतिम +8 भूलने पर 97 और अतः 23 मिलता है, जो विकल्प B है — तीन-समुच्चय प्रश्नों की मानक गलती, और भाग-जुड़कर-पूर्ण की जाँच तीस सेकंड के योग्य होने का कारण।

2. सेट 1 — केसलेट। 120 विद्यार्थियों की कक्षा में प्रत्येक विद्यार्थी कितनी भी विदेशी भाषाएँ पढ़ सकता है। 60 विद्यार्थी फ़्रेंच पढ़ते हैं, 50 जर्मन और 40 स्पेनिश। 20 फ़्रेंच व जर्मन दोनों पढ़ते हैं, 15 जर्मन व स्पेनिश दोनों, तथा 18 फ़्रेंच व स्पेनिश दोनों। 8 विद्यार्थी तीनों भाषाएँ पढ़ते हैं।

   ℹ️ अतिव्यापन ध्यान से पढ़ें

   प्रत्येक युग्मवार आँकड़ा — "20 फ़्रेंच व जर्मन दोनों पढ़ते हैं" — उस युग्म के सभी को गिनता है, उन 8 सहित जो तीनों पढ़ते हैं। यह उनकी संख्या नहीं है जो ठीक वही दो पढ़ते हैं।

   कितने विद्यार्थी तीनों में से ठीक एक भाषा पढ़ते हैं?

   1. 68
   2. 105
   3. 150
   4. 76
   उत्तर देखें

   उत्तर: A — 68

   केवल फ़्रेंच = 60 − 20 − 18 + 8 = 30; केवल जर्मन = 50 − 20 − 15 + 8 = 23; केवल स्पेनिश = 40 − 18 − 15 + 8 = 15। कुल 68। प्रत्येक पंक्ति में +8 पर ध्यान दें: दोनों युग्मवार आँकड़े घटाने से तीनों पढ़ने वाले दो बार हट जाते हैं, अतः एक प्रति लौट आती है। पूरी आकृति जाँचें: 68 एक पढ़ते हैं, 29 ठीक दो, 8 तीनों — यानी 105, जो संघ से मेल खाता है, और बाहर के 15 मिलाकर 120 ✓

3. सेट 1 — केसलेट। 120 विद्यार्थियों की कक्षा में प्रत्येक विद्यार्थी कितनी भी विदेशी भाषाएँ पढ़ सकता है। 60 विद्यार्थी फ़्रेंच पढ़ते हैं, 50 जर्मन और 40 स्पेनिश। 20 फ़्रेंच व जर्मन दोनों पढ़ते हैं, 15 जर्मन व स्पेनिश दोनों, तथा 18 फ़्रेंच व स्पेनिश दोनों। 8 विद्यार्थी तीनों भाषाएँ पढ़ते हैं।

   ℹ️ अतिव्यापन ध्यान से पढ़ें

   प्रत्येक युग्मवार आँकड़ा — "20 फ़्रेंच व जर्मन दोनों पढ़ते हैं" — उस युग्म के सभी को गिनता है, उन 8 सहित जो तीनों पढ़ते हैं। यह उनकी संख्या नहीं है जो ठीक वही दो पढ़ते हैं।

   कितने विद्यार्थी तीनों में से कम-से-कम दो भाषाएँ पढ़ते हैं?

   1. 53
   2. 37
   3. 29
   4. 45
   उत्तर देखें

   उत्तर: B — 37

   "कम-से-कम दो" = (ठीक दो) + (तीनों)। ठीक दो = (20 − 8) + (15 − 8) + (18 − 8) = 12 + 7 + 10 = 29, और तीनों 8, अतः 37। विकल्प A, 53, है 20 + 15 + 18 — युग्मवार आँकड़ों को छपे रूप में जोड़ना, जो तीनों पढ़ने वालों को तीन बार गिनता है। विकल्प C "ठीक दो" है, जो भिन्न प्रश्न का उत्तर है और ठीक इसी कारण दिया गया है: "कम-से-कम" व "ठीक" को निर्देश की तरह पढ़ें।

4. सेट 1 — केसलेट। 120 विद्यार्थियों की कक्षा में प्रत्येक विद्यार्थी कितनी भी विदेशी भाषाएँ पढ़ सकता है। 60 विद्यार्थी फ़्रेंच पढ़ते हैं, 50 जर्मन और 40 स्पेनिश। 20 फ़्रेंच व जर्मन दोनों पढ़ते हैं, 15 जर्मन व स्पेनिश दोनों, तथा 18 फ़्रेंच व स्पेनिश दोनों। 8 विद्यार्थी तीनों भाषाएँ पढ़ते हैं।

   ℹ️ अतिव्यापन ध्यान से पढ़ें

   प्रत्येक युग्मवार आँकड़ा — "20 फ़्रेंच व जर्मन दोनों पढ़ते हैं" — उस युग्म के सभी को गिनता है, उन 8 सहित जो तीनों पढ़ते हैं। यह उनकी संख्या नहीं है जो ठीक वही दो पढ़ते हैं।

   कितने विद्यार्थी केवल फ़्रेंच पढ़ते हैं?

   1. 22
   2. 30
   3. 38
   4. 60
   उत्तर देखें

   उत्तर: B — 30

   60 − 20 − 18 + 8 = 30। विकल्प A, 22, है 60 − 20 − 18, जिसमें 8 पुनः नहीं जोड़ा गया: दोनों युग्मवार आँकड़े घटाने से तीनों पढ़ने वाले दो बार हट गए, अतः एक लौटाना आवश्यक है। यही एक सुधार जुड़ने वाले सेट और न जुड़ने वाले सेट के बीच का अंतर है, और वह आकृति के प्रत्येक क्षेत्र में आता है।

5. सेट 2 — आँकड़ा पर्याप्तता। नीचे प्रत्येक प्रश्न एक जिज्ञासा व दो कथन देता है। तय करें कि कथन जिज्ञासा का अद्वितीय उत्तर देने हेतु पर्याप्त हैं या नहीं — यह जान लेने के बाद कि आप उत्तर निकाल सकते हैं, उसे निकालें नहीं।

   • जो कथन संभावनाओं को दो तक सीमित करता है वह पर्याप्त नहीं है। जाँच अद्वितीय उत्तर की है।
   • पहले प्रत्येक कथन अकेला जाँचें, और उसके बाद ही दोनों साथ। आरंभ से दोनों साथ पढ़ने पर ही वह कथन छूट जाता है जो अकेला ही पर्याप्त था।

   x का मान क्या है? I. x, 20 से बड़ी सबसे छोटी अभाज्य संख्या है। II. x विषम है।

   1. केवल कथन I पर्याप्त है
   2. केवल कथन II पर्याप्त है
   3. दोनों कथन साथ आवश्यक हैं
   4. दोनों साथ भी नहीं
   उत्तर देखें

   उत्तर: A — केवल कथन I पर्याप्त है

   कथन I ठीक एक संख्या बताता है: 21 तीन से विभाज्य है और 22 दो से, अतः 20 से बड़ी सबसे छोटी अभाज्य 23 है। अद्वितीय, अतः पर्याप्त। कथन II प्रत्येक विषम संख्या की अनुमति देता है, जिससे कोई सहायता नहीं। ध्यान दें कि II उत्तर से संगत है — 23 विषम है — और संगति पर्याप्तता नहीं है, तथा यह प्रश्न इसी भ्रम पर बना है।

6. सेट 2 — आँकड़ा पर्याप्तता। नीचे प्रत्येक प्रश्न एक जिज्ञासा व दो कथन देता है। तय करें कि कथन जिज्ञासा का अद्वितीय उत्तर देने हेतु पर्याप्त हैं या नहीं — यह जान लेने के बाद कि आप उत्तर निकाल सकते हैं, उसे निकालें नहीं।

   • जो कथन संभावनाओं को दो तक सीमित करता है वह पर्याप्त नहीं है। जाँच अद्वितीय उत्तर की है।
   • पहले प्रत्येक कथन अकेला जाँचें, और उसके बाद ही दोनों साथ। आरंभ से दोनों साथ पढ़ने पर ही वह कथन छूट जाता है जो अकेला ही पर्याप्त था।

   क्या त्रिभुज समकोण है? I. उसकी दो भुजाएँ 3 सेमी व 4 सेमी हैं। II. उसकी तीनों भुजाएँ 3 सेमी, 4 सेमी व 5 सेमी हैं।

   1. केवल कथन I पर्याप्त है
   2. केवल कथन II पर्याप्त है
   3. दोनों कथन साथ आवश्यक हैं
   4. दोनों साथ भी नहीं
   उत्तर देखें

   उत्तर: B — केवल कथन II पर्याप्त है

   कथन I तीसरी भुजा खुली छोड़ता है: 3, 4, 5 समकोण है (9 + 16 = 25) जबकि 3, 4, 6 नहीं (9 + 16 ≠ 36), अतः उत्तर हाँ या नहीं हो सकता है — अपर्याप्त। कथन II तीनों भुजाएँ स्थिर कर निश्चित "हाँ" देता है, अतः वह स्वयं पर्याप्त है। विकल्प C जाल है: कथन I कुछ भी नहीं जोड़ता जो II में पहले से न हो, और जो कथन दूसरे का उपसमुच्चय हो वह कभी "आवश्यक" नहीं होता।

7. सेट 2 — आँकड़ा पर्याप्तता। नीचे प्रत्येक प्रश्न एक जिज्ञासा व दो कथन देता है। तय करें कि कथन जिज्ञासा का अद्वितीय उत्तर देने हेतु पर्याप्त हैं या नहीं — यह जान लेने के बाद कि आप उत्तर निकाल सकते हैं, उसे निकालें नहीं।

   • जो कथन संभावनाओं को दो तक सीमित करता है वह पर्याप्त नहीं है। जाँच अद्वितीय उत्तर की है।
   • पहले प्रत्येक कथन अकेला जाँचें, और उसके बाद ही दोनों साथ। आरंभ से दोनों साथ पढ़ने पर ही वह कथन छूट जाता है जो अकेला ही पर्याप्त था।

   A की वर्तमान आयु क्या है? I. A की आयु B की दोगुनी है। II. B 12 वर्ष का है।

   1. केवल कथन I पर्याप्त है
   2. केवल कथन II पर्याप्त है
   3. दोनों कथन साथ आवश्यक हैं
   4. दोनों साथ भी नहीं
   उत्तर देखें

   उत्तर: C — दोनों कथन साथ आवश्यक हैं

   कथन I बिना आधार का संबंध देता है — A की आयु कोई भी सम संख्या हो सकती है। कथन II, B की आयु देता है परंतु A के बारे में कुछ नहीं। दोनों साथ, A = 2 × 12 = 24, अद्वितीय रूप से। यह पाठ्यपुस्तक वाला "दोनों आवश्यक" आकार है: एक कथन संबंध देता है, दूसरा मान, और एक के बिना दूसरा किसी काम का नहीं। ध्यान दें कि प्रश्न का उत्तर देने हेतु 24 निकालना आवश्यक नहीं — यह जान लेना कि आप निकाल सकते हैं, पूरा कार्य है।

8. सेट 2 — आँकड़ा पर्याप्तता। नीचे प्रत्येक प्रश्न एक जिज्ञासा व दो कथन देता है। तय करें कि कथन जिज्ञासा का अद्वितीय उत्तर देने हेतु पर्याप्त हैं या नहीं — यह जान लेने के बाद कि आप उत्तर निकाल सकते हैं, उसे निकालें नहीं।

   • जो कथन संभावनाओं को दो तक सीमित करता है वह पर्याप्त नहीं है। जाँच अद्वितीय उत्तर की है।
   • पहले प्रत्येक कथन अकेला जाँचें, और उसके बाद ही दोनों साथ। आरंभ से दोनों साथ पढ़ने पर ही वह कथन छूट जाता है जो अकेला ही पर्याप्त था।

   दो-अंकीय संख्या N क्या है? I. N, 9 का गुणज है। II. N पूर्ण वर्ग है।

   1. केवल कथन I पर्याप्त है
   2. केवल कथन II पर्याप्त है
   3. दोनों कथन साथ आवश्यक हैं
   4. दोनों साथ भी नहीं
   उत्तर देखें

   उत्तर: D — दोनों साथ भी नहीं

   कथन I में 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81 व 99 संभव हैं — अपर्याप्त। कथन II में 16, 25, 36, 49, 64 व 81 — अपर्याप्त। दोनों साथ, वे दो-अंकीय संख्याएँ जो 9 की गुणज व पूर्ण वर्ग दोनों हैं: 36 व 81 — दो संभावनाएँ, अतः अब भी अपर्याप्त। यही वह निर्णय है जिससे परीक्षार्थी बचते हैं, क्योंकि दोनों कथन स्पष्ट रूप से बहुत सीमित कर देते हैं; परंतु दो तक सीमित करना उत्तर देना नहीं है, और निश्चित होने का एकमात्र ढंग यह है कि बचे हुए मान गिन लिए जाएँ, यह महसूस न किया जाए कि उत्तर अब निश्चित हो ही गया होगा।